раздели: математика

Цели на урока:

Образователни: учат да решават системи от експоненциални уравнения; за затвърждаване на уменията за решаване на уравнения, включени в тези системи

Образователна: възпитавайте спретнатост.

Развиване: развиване на култура на писане и говорене.

Оборудване:компютър; мултимедиен проектор.

По време на занятията

Организиране на времето

учител. Днес ще продължим нашето изучаване на глава Експоненциална функция. Ще формулираме темата на урока малко по-късно. По време на урока ще попълните формулярите за отговори, които са на вашите маси ( см. Приложение No1 ). Отговорите ще бъдат обобщени.

Актуализация на знанията.

Учениците отговарят на въпроси:

• Каква форма има експоненциалната функция?

Устна работа. Работете върху слайдове от 1 до 5.

• Кое уравнение се нарича експоненциално?
• Какви методи за решение познавате?

Устна работа на слайдове 6 до 10.

• Какво свойство на експоненциалната функция се използва за решаване на експоненциалното неравенство?

Устна работа на слайдове от 11 до 15.

Упражнение. Запишете отговорите на тези въпроси във формуляр за отговори № 1. ( см. Приложение No1 ). (слайдове от 16 до 31)

Проверка на домашната работа

.

Проверяваме домашното си, както следва.

Заменете корените на уравненията със съответната буква и познайте думата.

Учениците разглеждат формуляр за отговори № 2 ( Приложение 1) ... Учителят демонстрира слайд номер 33

(Учениците назовават дума (слайд 34)).

• Какви явления протичат по законите на тази функция?

Поканват се студентите да решат задачи от изпит B12 (слайд 35) и да запишат решението във формуляр за отговори № 3 ( Приложение 1).

В хода на проверка на домашната работа и решаване на задача B12 ще повторим методите за решаване на експоненциалните уравнения.

Учениците откриват, че решаването на уравнение в две променливи изисква друго уравнение.

След това се формулира темата на урока (слайд номер 37).

Системата се записва в тетрадки (слайд номер 38).

За да решим тази система, повтаряме метода на заместване (слайд 39).

Методът на добавяне се повтаря при решаване на системата (слайд 38 до 39).

Първично затвърдяване на изучавания материал

:

Учениците решават самостоятелно системи от уравнения във формуляри за отговори № 4 ( Приложение 1 ), получаване на индивидуални съвети от учител.

Обобщавайки. Отражение.

Продължете фразите.

• Днес в урока повторих...
• Днес в урока поправих...
• Днес в урока, който научих...
• Днес в урока, който научих...

В края на урока учениците записват домашните си, предават листовете с отговори

Домашна задача:

No 59 (четно) и No 62 (четно).

литература

1. Всички задачи на групата 3000 задачи на Единния държавен изпит - Издателство "Изпит" Москва, 2011 г. Под редакцията на A.L. Семенова, И. В. Яшченко.
2. S.A. Шестаков, П.И. Захаров EGE 2010 математическа задача C1 под редакцията на A.L. Семенова, И. В. Yashchenko Московско издателство "MCNMO".
3. Урок по алгебра и началото на математическия анализ, 10 клас Ю. М. Колягин Москва "Образование", 2008 г.

Урок и презентация на тема: "Експоненциални уравнения и експоненциални неравенства"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивен урок за 9-11 клас "Тригонометрия"
Интерактивен урок за 10-11 клас "Логаритми"

Определяне на експоненциални уравнения

Момчета, изучавахме експоненциални функции, научихме техните свойства и изградихме графики, анализирахме примери за уравнения, в които се срещат експоненциални функции. Днес ще изучаваме експоненциални уравнения и неравенства.

Определение. Уравнения от вида: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, където $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ се наричат ​​експоненциални уравнения.

Спомняйки си теоремите, които изучавахме в темата "Експоненциална функция", можем да представим нова теорема:
Теорема. Експоненциалното уравнение $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, където $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, е еквивалентно на уравнението $ f (x) = g (x ) $.

Примери за експоненциални уравнения

Пример.
Решете уравнения:
а) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
б) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
в) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Решение.
а) Знаем добре, че $27 = 3 ^ 3 $.
Нека пренапишем нашето уравнение: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Използвайки горната теорема, получаваме, че нашето уравнение се свежда до уравнението $ 3x-3 = 3 $, като решаваме това уравнение, получаваме $ x = 2 $.
Отговор: $ x = 2 $.

Б) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Тогава нашето уравнение може да бъде пренаписано: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Отговор: $ x = 0 $.

В) Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -3 $.
Отговор: $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -3 $.

Пример.
Решете уравнението: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Решение:
Ще извършим последователно поредица от действия и ще приведем двете страни на нашето уравнение към едни и същи основи.
Нека извършим серия от операции от лявата страна:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Да преминем към дясната страна:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) $ 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Отговор: $ x = 0 $.

Пример.
Решете уравнението: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Решение:
Нека пренапишем нашето уравнение: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Нека направим промяната на променливите, нека $ a = 3 ^ x $.
В новите променливи уравнението ще приеме формата: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ и $ a_2 = 3 $.
Нека извършим обратната промяна на променливите: $ 3 ^ x = -12 $ и $ 3 ^ x = 3 $.
В последния урок научихме, че експоненциалните изрази могат да приемат само положителни стойности, запомнете графиката. Следователно първото уравнение няма решения, второто има едно решение: $ x = 1 $.
Отговор: $ x = 1 $.

Нека съставим контролен списък с начини за решаване на експоненциални уравнения:
1. Графичен метод.Представяме двете страни на уравнението под формата на функции и изграждаме техните графики, намираме пресечните точки на графиките. (Използвахме този метод в миналия урок).
2. Принципът на равенството на показателите.Принципът се основава на факта, че два израза с еднакви основи са равни само ако степените (индикаторите) на тези бази са равни. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Променлив метод за подмяна.Този метод трябва да се използва, ако уравнението при промяна на променливите опростява формата си и е много по-лесно за решаване.

Пример.
Решете системата от уравнения: $ \ begin (случаи) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ край (случаи) $.
Решение.
Разгледайте двете уравнения на системата поотделно:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Помислете за второто уравнение:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Нека използваме метода за промяна на променливите, нека $ y = 2 ^ (x + y) $.
Тогава уравнението ще приеме вида:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ и $ y_2 = -3 $.
Преминавайки към първоначалните променливи, от първото уравнение получаваме $ x + y = 2 $. Второто уравнение няма решения. Тогава нашата първоначална система от уравнения е еквивалентна на системата: $ \ begin (случаи) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ край (случаи) $.
Изваждайки второто от първото уравнение, получаваме: $ \ begin (случаи) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ край (случаи) $.
$ \ начало (случаи) y = -1, \\ x = 3. \ край (случаи) $.
Отговор: $ (3; -1) $.

Експоненциални неравенства

Да преминем към неравенствата. При решаване на неравенства е необходимо да се обърне внимание на основата на степента. Има два възможни сценария за развитие на събитията при решаване на неравенства.

Теорема. Ако $ a> 1 $, то експоненциалното неравенство $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ е еквивалентно на неравенството $ f (x)> g (x) $.
Ако $0 a ^ (g (x)) $ е еквивалентно на неравенството $ f (x)

Пример.
Решете неравенствата:
а) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
б) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) в) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Решение.
а) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) В нашето уравнение основата е по-малка от 1 , то при замяна на неравенство с еквивалентно знакът трябва да се промени.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

В) Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Нека използваме метода на интервалното решение:
Отговор: $ (- ∞; -5] U)