Тази статия е посветена на техники за решаване на различни уравнения и неравенства, съдържащи
променлива под знака на модула.

Ако на изпита попаднете на уравнение или неравенство с модул, можете да го решите чрез
без да познавате никакви специални методи и да използвате само дефиницията на модула. Истина,
може да отнеме час и половина ценно време за изпит.

Затова искаме да ви разкажем за техниките, които опростяват решаването на подобни проблеми.

Преди всичко запомнете това

Помислете за различните видове уравнения с модул... (Ще преминем към неравенствата по-късно.)

Вляво е модулът, вдясно е номерът

Това е най-простият случай. Нека решим уравнението

Има само две числа, чиито модули са равни на четири. Това са 4 и −4. Следователно, уравнението
е еквивалентна на комбинация от две прости:

Второто уравнение няма решения. Решения на първото: x = 0 и x = 5.

Отговор: 0; 5.

Променлива както под модула, така и извън модула

Тук трябва да разширите модула по дефиниция. ... ... или да мисля!

Уравнението се разделя на два случая в зависимост от знака на израза под модула.
С други думи, това е равносилно на комбинация от две системи:

Решение на първата система:. Втората система няма решения.
Отговор: 1.

Първи случай: x ≥ 3. Извадете модула:

Числото, тъй като е отрицателно, не отговаря на условието x ≥ 3 и следователно не е корен на първоначалното уравнение.

Нека разберем дали числото отговаря на това условие. За да направите това, съставете разликата и определете нейния знак:

Следователно е повече от три и следователно е коренът на оригиналното уравнение

Втори случай: x< 3. Снимаем модуль:

номер . по-голямо от и следователно не отговаря на условието x< 3. Проверим :

Означава,. е коренът на оригиналното уравнение.

Премахване на модула по дефиниция? Страшно е дори да си помисля, защото дискриминантът не е пълен квадрат. Нека по-добре да използваме следното съображение: уравнение от вида | A | = B е еквивалентно на комбинацията от две системи:

Същото, но малко по-различно:

С други думи, ние решаваме две уравнения, A = B и A = −B, и след това избираме корени, които отговарят на условието B ≥ 0.

Да започваме. Първо решаваме първото уравнение:

След това решаваме второто уравнение:

Сега във всеки случай проверяваме знака от дясната страна:

Следователно, само и са подходящи.

Квадратни уравнения със замяна | x | = t

Нека решим уравнението:

Тъй като е удобно да се направи замяната | x | = t. Получаваме:

Отговор: ± 1.

Модулът е равен на модул

Говорим за уравнения от вида | A | = | B |. Това е подарък на съдбата. Без разкриване на модули по дефиниция! Просто е:

Например, разгледайте уравнението:. То е равносилно на следната съвкупност:

Остава да решим всяко от уравненията на множеството и да запишем отговора.

Два или повече модула

Нека решим уравнението:

Нека не се занимаваме с всеки модул поотделно и да го разширяваме по дефиниция – ще има твърде много опции. Има по-рационален начин - методът на интервалите.

Модулните изрази изчезват в точките x = 1, x = 2 и x = 3. Тези точки разделят числовата права на четири интервала (интервали). Отбелязваме тези точки на числовата права и подреждаме знаците за всеки от изразите под модулите на получените интервали. (Редът на знаците е същият като реда на съответните модули в уравнението.)

По този начин трябва да разгледаме четири случая - когато x е във всеки от интервалите.

Случай 1: x ≥ 3. Всички модули се премахват "с плюс":

Получената стойност x = 5 удовлетворява условието x ≥ 3 и следователно е коренът на оригиналното уравнение.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последният модул вече е премахнат "с минус":

Получената стойност на x също е добра - тя принадлежи към разглеждания интервал.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Вторият и третият модул се премахват "с минус":

Получихме правилното числово равенство за всяко х от разглеждания интервал служи като решение на това уравнение.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Вторият и третият модул се премахват "с минус":

Нищо ново. Вече знаем, че x = 1 е решение.

Отговор: ∪ (5).

Модул в модул

Нека решим уравнението:

Започваме с разширяване на вътрешния модул.

1) x ≤ 3. Получаваме:

Изразът под модула изчезва при. Тази точка принадлежи към разглежданите
интервал. Следователно трябва да анализираме два подслучая.

1.1) В този случай получаваме:

Тази стойност на x не е валидна, тъй като не принадлежи на разглеждания интервал.

1.2). Тогава:

Тази стойност на x също не е валидна.

Така че за x ≤ 3 няма решения. Да преминем към втория случай.

2) x ≥ 3. Имаме:

Тук имаме късмет: изразът x + 2 е положителен в разглеждания интервал! Следователно няма да има повече подслучаи: модулът се премахва "с плюс":

Тази стойност на x е в разглеждания интервал и следователно е коренът на оригиналното уравнение.

Така се решават всички задачи от този тип - отваряме вложените модули един по един, започвайки от вътрешния.

МБОУ СОУ No17 Иванов

« Уравнения с модул "
Методическа разработка

Съставено от

учител по математика

Н. В. Лебедева

20010 г.

Обяснителна бележка

Глава 1 Въведение

Раздел 2. Основни свойства Раздел 3. Геометрична интерпретация на понятието модул на число Раздел 4. Графика на функцията y = |x | Раздел 5. Конвенции

Глава 2. Решаване на уравнения, съдържащи модул

Раздел 1. Уравнения от вида | F (x) | = m (най-простият) Раздел 2. Уравнения от вида F (| x |) = m Раздел 3. Уравнения от вида | F (x) | = G (x) Раздел 4. Уравнения от вида | F (x) | = ± F (x) (красиво) Раздел 5. Уравнения от вида | F (x) | = | G (x) | Раздел 6. Примери за решаване на нестандартни уравнения Раздел 7. Уравнения от вида | F (x) | + | G (x) | = 0 Раздел 8. Уравнения от вида |a 1 x ± b 1 | ± | a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± в n | = m Раздел 9. Уравнения, съдържащи множество модули

Глава 3. Примери за решаване на различни уравнения с модул.

Раздел 1. Тригонометрични уравнения Раздел 2. Експоненциални уравнения Раздел 3. Логаритмични уравнения Раздел 4. Ирационални уравнения Раздел 5. Задачи с повишена сложност Отговори на упражнения Библиография

Обяснителна бележка.

Концепцията за абсолютната стойност (модул) на реално число е една от съществените му характеристики. Това понятие е широко разпространено в различни клонове на физическите, математическите и техническите науки. В практиката на преподаване на курс по математика в средното училище в съответствие с Програмата на Министерството на отбраната на Руската федерация понятието "абсолютна стойност на число" се среща многократно: в 6-ти клас дефиницията на модул, въвежда се геометричното му значение; в 8. клас се формира понятието абсолютна грешка, разглежда се решението на най-простите уравнения и неравенства, съдържащи модула, изучават се свойствата на аритметичния квадратен корен; в 11. клас понятието се намира в раздел „Корен н-та степен".Преподавателският опит показва, че учениците често срещат трудности при решаването на задачи, които изискват познаване на този материал, и често пропускат, преди да започнат да изпълняват. В текстовете на изпитните задачи за курса на 9. и 11. клас са включени и подобни задачи. Освен това изискванията, които университетите поставят към завършилите училища, се различават, а именно на по-високо ниво от изискванията на училищната програма. За живота в съвременното общество е много важно да се формира математически стил на мислене, проявяващ се в определени умствени умения. В процеса на решаване на задачи с модули е необходима способност за прилагане на такива техники като обобщение и конкретизация, анализ, класификация и систематизация, аналогия. Решаването на такива задачи ви позволява да проверите знанията по основните раздели на училищния курс, нивото на логическо мислене, първоначалните умения за изследователски дейности. Тази работа е посветена на един от разделите - решаване на уравнения, съдържащи модул. Състои се от три глави. Първата глава въвежда основните понятия и най-важните теоретични изчисления. Във втора глава са предложени девет основни типа уравнения, съдържащи модул, разгледани са методи за тяхното решаване, анализирани са примери с различни нива на сложност. Третата глава предлага по-сложни и нестандартни уравнения (тригонометрични, експоненциални, логаритмични и ирационални). Всеки вид уравнение има упражнения за самостоятелно решение (приложени са отговорите и указанията). Основната цел на тази работа е да окаже методическа помощ на учителите при подготовка за уроци и при организиране на факултативни дисциплини. Материалът може да се използва и като учебно помагало на гимназисти. Задачите, предлагани в работата, са интересни и не винаги лесни за решаване, което позволява да се направи по-съзнателна образователната мотивация на учениците, да се тестват техните способности и да се подобри нивото на подготовка на завършилите училище за постъпване в университети. Диференцираният подбор на предложените упражнения включва преход от репродуктивното ниво на овладяване на материала към творческото, както и възможността да научите как да прилагате знанията си при решаване на нестандартни задачи.

Глава 1 Въведение.

Раздел 1. Определяне на абсолютната стойност .

Определение : Абсолютната стойност (модул) на реално число анеотрицателно число се нарича: аили -а. Обозначаване: │ а │ Записът се чете, както следва: "модулът на числото a" или "абсолютната стойност на числото a"

│ а, ако а> 0

│a│ = │ 0, ако a = 0 (1)

│ - а, ако а
Примери: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Разширете модула за експресия:

а) │x - 8│, ако x> 12 б) │2x + 3│, ако x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Раздел 2. Основни свойства.

Нека разгледаме основните свойства на абсолютната стойност. Имот № 1: Противоположните числа имат равни модули, т.е. │а│ = │- a│Нека покажем, че равенството е правилно. Нека напишем определението на числото - а : │- а│= (2) Нека сравним колекции (1) и (2). Очевидно дефинициите на абсолютните стойности на числата аи - асъвпада. следователно, │а│ = │- a│
Когато разглеждаме следните свойства, ние се ограничаваме до тяхната формулировка, тъй като тяхното доказателство е дадено Свойство № 2: Абсолютната стойност на сбора от краен брой реални числа не надвишава сумата от абсолютните стойности на членовете: │а 1 + а 2 + ... + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ + ... + │а n │ Имот номер 3: Абсолютната стойност на разликата между две реални числа не надвишава сбора от техните абсолютни стойности: │а - в│ ≤│а│ + │в│ Свойство № 4: Абсолютната стойност на произведението на краен брой реални числа е равна на произведението на абсолютните стойности на факторите: Свойство № 5: Абсолютната стойност на частното от реалните числа е равна на частното от техните абсолютни стойности:

Раздел 3. Геометрична интерпретация на понятието модул на число.

Всяко реално число може да бъде свързано с точка от числовата права, която ще бъде геометричното изображение на даденото реално число. Всяка точка на числовата права съответства на нейното разстояние от началото, т.е. дължината на отсечката от началото до дадената точка. Това разстояние винаги се счита за неотрицателна стойност. Следователно дължината на съответния сегмент ще бъде геометричната интерпретация на абсолютната стойност на даденото реално число

Представената геометрична илюстрация ясно потвърждава свойство No1, т.е. модулите с противоположни числа са равни. Следователно валидността на равенството се разбира лесно: │x - a│ = │a - x│. Също така, решението на уравнението │х│ = m, където m ≥ 0, а именно х 1,2 = ± m, става по-очевидно. Примери: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
х 1,2 = 2; 4

Раздел 4. Графика на функцията y = │х│

Обхватът на тази функция е всички реални числа.

Раздел 5. Конвенции.

В бъдеще, когато се разглеждат примери за решаване на уравнения, ще се използват следните конвенции: (- знак на системата [- знак на съвкупността При решаване на системата от уравнения (неравенства) се намира пресечната точка на решенията, включени в системата от уравнения (неравенства). При решаване на набор от уравнения (неравенства) се намира обединението на решенията, включени в набора от уравнения (неравенства).

Глава 2. Решаване на уравнения, съдържащи модул.

В тази глава ще разгледаме алгебричните начини за решаване на уравнения, съдържащи един или повече модули.

Раздел 1. Уравнения от вида │F (x) │ = m

Уравнение от този тип се нарича най-просто. То има решение, ако и само ако m ≥ 0. По дефиницията на модула, оригиналното уравнение е еквивалентно на комбинация от две уравнения: │ Ф(x) │ =м
Примери:
№1. Решете уравнението: │7x - 2│ = 9


Отговор: х 1 = - 1; х 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; х 2 = -3 Отговор: сборът от корените е - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 означаваме x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - и двете стойности удовлетворяват условието m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Отговор: броят на корените на уравнението е 7. Упражнения:
№1. Решете уравнението и посочете сумата от корените: │х - 5│ = 3 №2 ... Решете уравнението и посочете по-малкия корен: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Решете уравнението и посочете по-големия корен: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Решете уравнението и посочете целия корен: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Решете уравнението и посочете броя на корените: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Раздел 2. Уравнения от вида F (│х│) = m

Аргументът на функцията от лявата страна е под знака на модула, а дясната страна е независима от променливата. Помислете за два начина за решаване на уравнения от този тип. Метод 1:По дефиниция на абсолютната стойност, оригиналното уравнение е еквивалентно на комбинацията от две системи. Във всеки от които условие е наложено на подмодулен израз. Ф(│х│) =м
Тъй като функцията F (│х│) е четна в цялата област на дефиниция, корените на уравненията F (x) = m и F (- x) = m са двойки противоположни числа. Следователно е достатъчно да се реши една от системите (при разглеждане на примери по този начин ще бъде дадено решението на една система). Метод 2:Прилагане на метода за въвеждане на нова променлива. В този случай се въвежда обозначението │х│ = a, където a ≥ 0. Този метод е по-малко обемист като дизайн.
Примери: №1 ... Решете уравнението: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Нека използваме въвеждането на нова променлива. Означаваме │x│ = a, където a ≥ 0. Получаваме уравнението 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Връщайки се към първоначалната променлива: │x │ = 1 и │х│ = 1/3. Всяко уравнение има два корена. Отговор: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Решете уравнението: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Нека намерим решението на първата система от множеството: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Забележете, че x 2 не удовлетворява условието x ≥ 0. Решение втората система ще бъде противоположна на x 1. Отговор: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Решете уравнението: x 4 - │х│ = 0 Означете │х│ = a, където a ≥ 0. Получаваме уравнението a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Връщане към първоначалната променлива: │х│ = 0 и │х│ = 1 х = 0; ± 1 Отговор: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = - 1.
Упражнения: №6. Решете уравнението: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Решете уравнението, в отговора посочете броя на корените: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Решете уравнението, като в отговора посочете целите решения: x 4 + │x│ - 2 = 0

Раздел 3. Уравнения от вида │F (x) │ = G (x)

Дясната страна на уравнение от тази форма зависи от променливата и следователно има решение, ако и само ако дясната страна е функция G (x) ≥ 0. Оригиналното уравнение може да бъде решено по два начина : Метод 1:Стандарт, се основава на разкриването на модул въз основа на неговата дефиниция и се състои в еквивалентен преход към комбинация от две системи. │ Ф(x) │ =г(Х)

Този метод е рационално да се използва в случай на сложен израз за функцията G (x) и по-малко сложен - за функцията F (x), тъй като се приема решението на неравенствата с функцията F (x). Метод 2:Състои се в преход към еквивалентна система, в която от дясната страна е наложено условие. │ Ф(х)│= г(х)

Този метод е по-удобен за използване, ако изразът за функцията G (x) е по-малко сложен, отколкото за функцията F (x), тъй като се приема, че неравенството G (x) ≥ 0. Освен това, в случай на няколко модула, този метод се препоръчва за прилагане на втория вариант. Примери: №1. Решете уравнението: │x + 2│ = 6 -2x
(1 начин) Отговор: х = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2-посочен) Отговор: Произведението на корените е 3.
№3. Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Отговор: сборът от корените е 4.
Упражнения: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Решете уравнението, в отговора посочете броя на решенията: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Решете уравнението, като в отговора посочете произведението на корените: │х + 3│ = х 2 + х - 6

Раздел 4. Уравнения от вида │F (x) │ = F (x) и │F (x) │ = - F (x)

Уравненията от този вид понякога се наричат ​​„най-красивите“. Тъй като дясната страна на уравненията зависи от променлива, решенията съществуват само ако дясната страна е неотрицателна. Следователно, оригиналните уравнения са еквивалентни на неравенствата:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 и │F (x) │ = - F (x) F (x) Примери: №1 ... Решете уравнението, в отговора посочете по-малкия цял корен: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Отговор: х = 1№2. Решете уравнението, като в отговора посочете дължината на пролуката: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Отговор: Дължината на пролуката е 6.№3 . Решете уравнението, като в отговора посочете броя на целочислените решения: │2 + х - х 2 │ = 2 + х - х 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - х - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Отговор: 4 цели решения.№4 . Решете уравнението, в отговора посочете най-големия корен:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Отговор: х = 3.

Упражнения: №12. Решете уравнението, в отговора посочете целия корен: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Решете уравнението, като в отговора посочете броя на целочислените решения: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Решете уравнението, в отговора напишете цяло число, което не е корен на уравнението:

Раздел 5. Уравнения от вида │F (x) │ = │G (x) │

Тъй като и двете страни на уравнението са неотрицателни, решението включва разглеждане на два случая: изразите на подмодула са равни или противоположни по знак. Следователно, оригиналното уравнение е еквивалентно на комбинация от две уравнения: │ Ф(х)│= │ г(х)│
Примери: №1. Решете уравнението, в отговора посочете целия корен: │x + 3│ = │2x - 1│
Отговор: цял корен x = 4.№2. Решете уравнението: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Отговор: x = 2.№3 . Решете уравнението, в отговора посочете произведението на корените:




Корени на уравнение 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Отговор: произведението на корените е равно на - 0,25. Упражнения: №15 ... Решете уравнението, напишете цялото решение във вашия отговор: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Решете уравнението, като в отговора посочете по-малкия корен: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените:

Раздел 6. Примери за решаване на нестандартни уравнения

В този раздел ще разгледаме примери за нестандартни уравнения, при решаването на които абсолютната стойност на израз се разкрива по дефиниция. Примери:

№1. Решете уравнението, като в отговора посочете сумата от корените: x │x│- 5x - 6 = 0
Отговор: сборът от корените е 1 №2. . Решете уравнението, в отговора посочете по-малкия корен: x 2 - 4x
- 5 = 0
Отговор: по-малък корен x = - 5. №3. Решете уравнението:

Отговор: x = -1. Упражнения: №18. Решете уравнението и посочете сумата от корените: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Решете уравнението: x 2 - 3x =

№20. Решете уравнението:

Раздел 7. Уравнения от вида │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Лесно е да се види, че от лявата страна на уравнение от този тип е сборът от неотрицателни стойности. Следователно, оригиналното уравнение има решение, ако и само ако и двата члена са едновременно равни на нула. Уравнението е еквивалентно на система от уравнения: │ Ф(х)│+│ г(х)│=0
Примери: №1 ... Решете уравнението:
Отговор: x = 2. №2. Решете уравнението: Отговор: х = 1. Упражнения: №21. Решете уравнението: №22 ... Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените: №23 ... Решете уравнението, в отговора посочете броя на решенията:

Раздел 8. Уравнения от вида │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

За решаване на уравнения от този тип се използва методът на интервалите. Ако го решим чрез последователно разширяване на модулите, тогава получаваме нкомплекти от системи, което е много тромаво и неудобно. Нека разгледаме алгоритъма на метода на интервалите: 1). Намерете променливи стойности хпри което всеки модул е ​​равен на нула (нули на изразите на подмодула):
2). Маркирайте намерените стойности на числовата права, която е разделена на интервали (броят на интервалите, съответно, е н+1 ) 3). Определете знака, с който се разкрива всеки модул на всеки от получените интервали (при вземане на решение можете да използвате числова права, като маркирате знаци върху нея) 4). Оригиналното уравнение е еквивалентно на съвкупността н+1 системи, всяка от които показва принадлежността на променлива хедин от интервалите. Примери: №1 ... Решете уравнението, в отговора посочете най-големия корен:
едно). Намерете нулите на изразите на подмодула: x = 2; x = -3 2). Нека да отбележим намерените стойности на числовата права и да определим знака, с който всеки модул се разширява на получените интервали:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- няма решения Уравнението има два корена. Отговор: най-големият корен x = 2. №2. Решете уравнението, в отговора посочете целия корен:
едно). Намерете нулите на изразите на подмодула: x = 1,5; x = - 1 2). Нека да отбележим намерените стойности на числовата права и да определим с какъв знак се разкрива всеки модул на получените интервали: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Последната система няма решения, следователно уравнението има два корена. В хода на решаването на уравнението трябва да обърнете внимание на знака "-" пред втория модул. Отговор: цял корен x = 7. №3. Решете уравнението, като в отговора посочете сумата от корените: 1). Намерете нулите на изразите на подмодула: x = 5; х = 1; x = - 2 2). Нека да отбележим намерените стойности на числовата права и да определим с какъв знак се разкрива всеки модул на получените интервали: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Уравнението има два корена x = 0 и 2. Отговор: сборът от корените е 2. №4 . Решете уравнението: 1). Намерете нулите на изразите на подмодула: x = 1; х = 2; х = 3,2). Нека определим знака, с който се разкрива всеки модул на получените интервали. 3).
Нека комбинираме решенията на първите три системи. Отговор: ; х = 5.
Упражнения: №24. Решете уравнението:
№25. Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените: №26. Решете уравнението, в отговора посочете по-малкия корен: №27. Решете уравнението, в отговора посочете по-големия корен:

Раздел 9. Уравнения, съдържащи множество модули

Уравненията, съдържащи множество модули, приемат абсолютни стойности в изразите на подмодула. Основният принцип за решаване на уравнения от този тип е последователното разкриване на модули, като се започне от "външния". В хода на решението се използват техниките, разгледани в раздели №1, №3.

Примери: №1. Решете уравнението:
Отговор: x = 1; - единадесет. №2. Решете уравнението:
Отговор: x = 0; 4; - 4. №3. Решете уравнението, в отговора посочете произведението на корените:
Отговор: произведението на корените е - 8. №4. Решете уравнението:
Нека означим уравненията на множеството (1) и (2) и разгледайте решението на всеки от тях поотделно за удобство на дизайна. Тъй като и двете уравнения съдържат повече от един модул, е по-удобно да се извърши еквивалентен преход към набори от системи. (1)

(2)


Отговор:
Упражнения: №36. Решете уравнението, в отговора напишете сумата от корените: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Решете уравнението, ако има повече от един корен, в отговора посочете сумата от корените: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Решете уравнението: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Решете уравнението, като в отговора посочете броя на корените с: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Решете уравнението, в отговора посочете броя на корените:

Раздел 3. Логаритмични уравнения.

Преди решаването на следните уравнения е необходимо да се повторят свойствата на логаритмите и логаритмичната функция. Примери: №1. Решете уравнението, като в отговора посочете произведението на корените: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 случай: ако x ≥ - 1, тогава log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - удовлетворява условието х ≥ - 1 2 случай: ако х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - отговаря на условието x - 1
Отговор: произведението на корените е - 15.
№2. Решете уравнението, в отговора посочете сумата от корените: lg
O.D.Z.

Отговор: сборът от корените е 0,5.
№3. Решете уравнението: log 5
O.D.Z.

Отговор: х = 9. №4. Решете уравнението: │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Нека използваме формулата за преход към друга база. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Намерете нулите на изразите на подмодула: x = 25; x = Тези числа разделят диапазона от допустими стойности на три интервала, така че уравнението е еквивалентно на комбинацията от три системи.
Отговор: )