Pravilni pentagon je geometrijska figura koja je formirana presekom pet pravih linija koje stvaraju pet identičnih uglova. Ova figura se zove Pentagon. Rad umjetnika usko je povezan s pentagonom - njihovi crteži su zasnovani na pravilnim geometrijskim oblicima. Da biste to učinili, morate znati kako brzo izgraditi pentagon.

Zašto je ova brojka zanimljiva? Zgrada je u obliku petougla Ministarstvo odbrane Sjedinjenih Američkih Država. To se vidi na fotografijama snimljenim sa visine leta. U prirodi nema kristala i kamenja čiji bi oblik podsjećao na pentagon. Samo na ovoj slici broj lica poklapa se sa brojem dijagonala.

Parametri pravilnog pentagona

Pravougaoni pentagon, kao i svaka figura u geometriji, ima svoje parametre. Poznavajući potrebne formule, možete izračunati ove parametre, što će olakšati proces izgradnje pentagona. Metode i formule izračunavanja:

• zbir svih uglova u poligonima je 360 ​​stepeni. U pravilnom pentagonu svi su uglovi jednaki, odnosno središnji ugao se nalazi na ovaj način: 360/5 = 72 stepena;
• unutrašnji ugao se nalazi na ovaj način: 180*(n -2)/n = 180*(5−2)/5 = 108 stepeni. Zbir svih unutrašnjih uglova: 108*5 = 540 stepeni.

Strana petougla se nalazi pomoću parametara koji su već dati u izjavi problema:

• ako je krug opisan oko peterokuta i poznat je njegov polumjer, strana se nalazi prema sljedećoj formuli: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * R.
• Ako je poluprečnik kruga upisanog u pentagon poznat, onda je formula za izračunavanje stranice poligona: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Uz poznatu dijagonalu peterokuta, njegova se strana izračunava na sljedeći način: a \u003d D / 1,618.

Područje pentagona, kao i njegova strana, ovisi o već pronađenim parametrima:

• koristeći poznati polumjer upisane kružnice, područje se nalazi na sljedeći način: S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r.
• opisani krug oko peterokuta omogućava vam da pronađete područje koristeći sljedeću formulu: S = (n * R2 * sin α) / 2 = 2,3776 * R2.
• zavisno od strane petougla: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Izgradnja Pentagona

Možete izgraditi pravilan pentagon koristeći ravnalo i šestar, na osnovu kruga upisanog u njega ili jedne od strana.

Kako nacrtati pentagon na osnovu upisanog kruga? Da biste to učinili, nabavite kompas i ravnalo i poduzmite sljedeće korake:

1. Prvo morate nacrtati krug sa centrom O, a zatim odabrati tačku na njemu, A - vrh pentagona. Linija se povlači od centra prema vrhu.
2. Zatim se konstruiše segment okomit na pravu OA, koji takođe prolazi kroz O - centar kružnice. Njegov presek sa kružnicom označen je tačkom B. Segment O.V. je prepolovljen tačkom C.
3. Tačka C će postati centar nove kružnice koja prolazi kroz A. Tačka D je njen presek sa pravom linijom OB unutar granica prve figure.
4. Nakon toga, kroz D se povlači treći krug, čiji je centar tačka A. Seče se sa prvom figurom u dve tačke, moraju biti označene slovima E i F.
5. Sljedeća kružnica ima središte u tački E i prolazi kroz A, a njezino sjecište s originalnom je u novoj tački G.
6. Posljednji krug na ovoj slici povučen je kroz tačku A sa centrom F. Tačka H je postavljena na njenom sjecištu sa početnom.
7. Na prvom krugu, nakon svih preduzetih koraka, pojavilo se pet tačaka koje se moraju spojiti segmentima. Tako je dobijen pravilan petougao AE G H F.

Kako izgraditi pravilan pentagon na drugačiji način? Uz pomoć ravnala i kompasa, pentagon se može izgraditi malo brže. Za ovo vam je potrebno:

1. Prvo morate koristiti šestar da nacrtate krug, čije je središte tačka O.
2. Nacrtan je poluprečnik OA - segment koji je ucrtan na kružnicu. Prepolovljena je tačkom B.
3. Segment OS je nacrtan okomito na poluprečnik OA, tačke B i C povezane su pravom linijom.
4. Sljedeći korak je iscrtavanje dužine segmenta BC sa šestarom na dijametralnoj liniji. Tačka D izgleda okomito na segment OA. Tačke B i D su povezane, formirajući novi segment.
5. Da biste dobili veličinu stranice pentagona, potrebno je spojiti tačke C i D.
6. D se uz pomoć šestara prenosi u krug i označava tačkom E. Povezivanjem E i C možete dobiti prvu stranu pravilnog petougla. Slijedeći ovu instrukciju, možete naučiti kako brzo izgraditi pentagon s jednakim stranama, nastavljajući graditi njegove druge strane kao prvu.

U pentagonu sa istim stranicama, dijagonale su jednake i formiraju petokraku zvijezdu, koja se naziva pentagram. Zlatni omjer je omjer veličine dijagonale i stranice pentagona.

Pentagon nije pogodan za potpuno punjenje aviona. Upotreba bilo kojeg materijala u ovom obliku ostavlja praznine ili stvara preklapanja. Iako prirodni kristali ovog oblika ne postoje u prirodi, kada se na površini glatkih bakarnih proizvoda formira led, pojavljuju se molekule u obliku pentagona, koje su povezane u lance.

Najlakši način da dobijete pravilan pentagon od trake papira je da ga povežete u čvor i malo pritisnete. Ova metoda je korisna za roditelje predškolske djece koji žele naučiti svoje mališane da prepoznaju geometrijske oblike.

Video

Pogledajte kako možete brzo nacrtati pentagon.

5.3. zlatni pentagon; konstrukcija Euklida.

Predivan primjer "zlatnog presjeka" je pravilan pentagon - konveksan i u obliku zvijezde (slika 5).

Da biste napravili pentagram, potrebno je da napravite pravilan pentagon.

Neka je O centar kružnice, A tačka na kružnici, a E središte segmenta OA. Okomita na poluprečnik OA, vraćena u tački O, seče se sa kružnicom u tački D. Koristeći šestar, iscrtavamo segment CE = ED na prečniku. Dužina stranice pravilnog petougla upisanog u krug je DC. Odvajamo segmente DC na kružnici i dobivamo pet bodova za crtanje pravilnog petougla. Uglove pentagona spajamo kroz jednu dijagonalu i dobivamo pentagram. Sve dijagonale pentagona dijele se na segmente povezane zlatnim rezom.

Svaki kraj peterokutne zvijezde je zlatni trokut. Njegove strane čine ugao od 36° na vrhu, a osnova položena sa strane dijeli ga proporcionalno zlatnom presjeku.

Tu je i zlatni kockast - ovo je pravougaoni paralelepiped sa ivicama dužine 1,618, 1 i 0,618.

Sada razmotrite dokaz koji je ponudio Euklid u Elementima.

Pogledajmo sada kako Euklid koristi zlatni omjer da bi se izgradio ugao od 72 stepena - pod tim uglom je vidljiva stranica pravilnog petougla

iz središta opisane kružnice. Počnimo sa

segment ABE, podijeljen u sredini i

Dakle, neka je AC = AE. Označiti sa a jednake uglove EBC i CEB. Kako je AC=AE, ugao ACE je također jednak a. Teorema da je zbir uglova trougla 180 stepeni omogućava vam da pronađete ugao ALL: on je 180-2a, a ugao EAC je 3a - 180. Ali tada je ugao ABC 180-a. Zbrajanjem uglova trougla ABC dobijamo

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Otuda je 5a=360, dakle a=72.

Dakle, svaki od uglova u osnovi trougla BEC je dvostruko veći od ugla na vrhu, jednak 36 stepeni. Dakle, da bi se konstruisao pravilan petougao, potrebno je samo nacrtati bilo koju kružnicu sa središtem u tački E, koja siječe EC u tački X i stranu EB u tački Y: segment XY je jedna od stranica pravilnog petougla upisana u krug; Obilazeći cijeli krug, možete pronaći sve druge strane.

Sada dokazujemo da je AC=AE. Pretpostavimo da je vrh C povezan pravolinijskim segmentom sa središtem N segmenta BE. Imajte na umu da pošto je CB = CE, onda je ugao CNE pravi ugao. Prema Pitagorinoj teoremi:

CN 2 = a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Dakle imamo (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Dakle, AC = ja = jAB = AE, što je trebalo dokazati

5.4 Arhimedova spirala.

Uzastopno odsijecajući kvadrate od zlatnih pravokutnika do beskonačnosti, svaki put spajajući suprotne točke s četvrtinom kruga, dobivamo prilično elegantnu krivulju. Prvu pažnju na nju je privukao starogrčki naučnik Arhimed, čije ime nosi. Proučio ju je i izveo jednačinu ove spirale.

Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u tehnologiji.

6. Fibonačijevi brojevi.

Ime italijanskog matematičara Leonarda iz Pize, koji je poznatiji po nadimku Fibonači (Fibonacci je skraćenica od filius Bonacci, odnosno Bonačijev sin), posredno se povezuje sa zlatnim rezom.

Godine 1202 napisao je knjigu "Liber abacci", odnosno "Knjigu o abakusu". "Liber abacci" je obimno djelo koje sadrži gotovo sva aritmetička i algebarska znanja tog vremena i koje je odigralo značajnu ulogu u razvoju matematike u zapadnoj Evropi u narednih nekoliko stoljeća. Konkretno, iz ove knjige Evropljani su se upoznali sa hinduističkim („arapskim“) brojevima.

Materijal objavljen u knjizi objašnjava veliki broj problema koji čine značajan dio ove rasprave.

Razmotrite jedan takav problem:

Koliko se parova zečeva rodi iz jednog para u jednoj godini?

Neko je postavio par zečeva na određeno mesto, ograđeno sa svih strana zidom, da bi saznao koliko će se parova zečeva roditi tokom ove godine, ako je priroda zečeva takva da za mesec dana par zečevi će se razmnožavati drugog, a zečevi rađaju od drugog mjeseca nakon rođenja"

Mjeseci	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Parovi zečeva	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Pređimo sada sa zečeva na brojeve i razmotrimo sljedeće numerički niz:

u 1 , u 2 … u n

u kojoj je svaki član jednak zbiru prethodna dva, tj. za bilo koji n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Ovaj niz asimptotski (približava se sve sporije) teži nekoj konstantnoj vezi. Međutim, ovaj omjer je iracionalan, odnosno radi se o broju s beskonačnim, nepredvidivim nizom decimalnih cifara u razlomku. Ne može se tačno izraziti.

Ako se bilo koji član Fibonačijevog niza podijeli s onim koji mu prethodi (na primjer, 13:8), rezultat će biti vrijednost koja fluktuira oko iracionalne vrijednosti 1,61803398875... i premašuje je ili ne postiže svaki drugi put.

Asimptotično ponašanje niza, opadajuće fluktuacije njegovog odnosa oko iracionalnog broja Φ mogu postati razumljivije ako pokažemo omjere prvih nekoliko članova niza. Ovaj primjer pokazuje odnos drugog pojma prema prvom, trećeg prema drugom, četvrtog prema trećem itd.:

1:1 = 1,0000, što je manje od phi za 0,6180

2:1 = 2,0000, što je 0,3820 više phi

3:2 = 1,5000, što je manje od phi za 0,1180

5:3 = 1,6667, što je 0,0486 phi više

8:5 = 1,6000, što je manje od phi za 0,0180

Kako se krećete duž Fibonačijevog niza sumiranja, svaki novi član će dijeliti sljedeći sa sve većom aproksimacijom nedostižnom F.

Osoba podsvjesno traži Božansku proporciju: ona je potrebna da bi se zadovoljila njegova potreba za utjehom.

Kada podijelimo bilo koji član Fibonačijevog niza sljedećim, dobijamo samo recipročnu vrijednost 1,618 (1:1,618=0,618). Ali ovo je takođe vrlo neobičan, čak i izvanredan fenomen. Budući da je prvobitni omjer beskonačan razlomak, i ovaj omjer ne bi trebao imati kraja.

Kada svaki broj podijelimo sljedećim iza njega, dobijemo broj 0,382

Odabirom odnosa na ovaj način dobijamo glavni skup Fibonačijevih koeficijenata: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.Spomenimo i 0,5. Svi oni igraju posebnu ulogu u prirodi, a posebno u tehničkoj analizi.

Ovdje treba napomenuti da je Fibonacci samo podsjetio čovječanstvo na svoj niz, budući da je u antičko doba bio poznat pod imenom Zlatni rez.

Zlatni presek, kao što smo videli, nastaje u vezi sa pravilnim pentagonom, pa stoga Fibonačijevi brojevi igraju ulogu u svemu što ima veze sa pravilnim pentagonima – konveksnim i zvezdastim.

Fibonačijev niz mogao je ostati samo matematički incident da nije bilo činjenice da su svi istraživači zlatne podjele u biljnom i životinjskom svijetu, a da ne spominjemo umjetnost, uvijek dolazili do ove serije kao aritmetičkog izraza zakona o zlatnom podjelu. . Naučnici su nastavili da aktivno razvijaju teoriju Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka. Yu.Matiyasevich koristeći Fibonaccijeve brojeve rješava Hilbertov 10. problem (o rješenju Diofantovih jednačina). Postoje elegantne metode za rješavanje brojnih kibernetičkih problema (teorija pretraživanja, igre, programiranje) korištenjem Fibonačijevih brojeva i zlatnog presjeka. U SAD se čak stvara i Matematičko fibonačijevo udruženje, koje od 1963. godine izdaje poseban časopis.

Jedno od dostignuća u ovoj oblasti je otkriće generalizovanih Fibonačijevih brojeva i generalizovanih zlatnih rezova. Fibonačijev niz (1, 1, 2, 3, 5, 8) i "binarni" niz brojeva koje je on otkrio 1, 2, 4, 8, 16 ... (tj. niz brojeva do n , gdje god prirodni broj, manje od n može se predstaviti zbirom nekih brojeva ovog niza) na prvi pogled su potpuno različiti. Ali algoritmi za njihovu konstrukciju su vrlo slični jedni drugima: u prvom slučaju, svaki broj je zbir prethodnog broja sa samim sobom 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., u drugom - ovo je zbir dva prethodna broja 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Je li moguće pronaći opštu matematičku formulu iz koje „binarni niz, a Fibonačijev niz?

Zaista, postavimo numerički parametar S, koji može imati bilo koju vrijednost: 0, 1, 2, 3, 4, 5... odvojen od prethodnog sa S koraka. Ako n-ti termin ovu seriju označavamo sa S (n), onda dobijamo opštu formulu S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Očigledno, sa S = 0, iz ove formule dobićemo „binarni“ niz, sa S = 1 - Fibonačijev niz, sa S = 2, 3, 4. novi niz brojeva, koji se nazivaju S-Fibonačijevi brojevi.

Uopšteno govoreći, zlatni S-razmjer je pozitivan korijen jednačine zlatnog S-presjeka x S+1 – x S – 1 = 0.

Lako je pokazati da se pri S = 0 dobije podjela segmenta na pola, a kod S = 1 dobije se poznati klasični zlatni rez.

Omjeri susjednih Fibonačijevih S-brojeva sa apsolutnom matematičkom tačnošću poklapaju se u granici sa zlatnim S-proporcijama! To jest, zlatni S-preseci su numeričke invarijante Fibonačijevih S-brojeva.

7. Zlatni rez u umjetnosti.

7.1. Zlatni rez u slikarstvu.

Osvrćući se na primjere "zlatnog presjeka" u slikarstvu, ne može se ne zaustaviti pažnja na djelu Leonarda da Vincija. Njegov identitet je jedna od misterija istorije. Sam Leonardo da Vinci je rekao: „Neka se niko ko nije matematičar ne usudi da čita moja dela.

Nema sumnje da je Leonardo da Vinci bio veliki umjetnik, njegovi savremenici su to već prepoznali, ali njegova ličnost i djelovanje ostat će obavijeni velom misterije, budući da je potomcima ostavio ne koherentan prikaz svojih ideja, već samo brojne rukom pisane skice, bilješke. koji kažu "obojica svi na svijetu."

Portret Monna Lise (Gioconda) već dugi niz godina privlači pažnju istraživača koji su otkrili da je kompozicija crteža zasnovana na zlatnim trouglovima koji su dijelovi pravilnog zvjezdanog petougla.

Takođe, proporcija zlatnog preseka pojavljuje se na Šiškinovoj slici. Na ovoj čuvenoj slici I. I. Šiškina jasno su vidljivi motivi zlatnog preseka. Jarko osvijetljeni bor (koji stoji u prvom planu) dijeli dužinu slike prema zlatnom omjeru. Desno od bora je brežuljak obasjan suncem. Desnu stranu slike dijeli horizontalno prema zlatnom rezu.

Raphaelova slika "Masakr nevinih" prikazuje još jedan element zlatnog omjera - zlatnu spiralu. Na Rafaelovoj pripremnoj skici povučene su crvene linije koje idu od semantičkog centra kompozicije - tačke gde su se ratnički prsti sklopili oko gležnja deteta - duž figura deteta, žene koja ga drži za sebe, ratnika sa podignutog mača a zatim duž figura iste grupe na desnoj strani skice . Nije poznato da li je Rafael izgradio zlatnu spiralu ili je osetio.

T. Cook je koristio zlatni presjek kada je analizirao sliku Sandra Botticellija "Rođenje Venere".

7.2. Piramide zlatnog preseka.

Medicinska svojstva piramida, posebno zlatnog presjeka, nadaleko su poznata. Prema nekim od najčešćih mišljenja, prostorija u kojoj se nalazi takva piramida izgleda veća, a zrak je prozirniji. Snovi se počinju bolje pamtiti. Također je poznato da je zlatni rez bio naširoko korišten u arhitekturi i skulpturi. Primjer za to su bili: Panteon i Partenon u Grčkoj, zgrade arhitekata Bazhenova i Malevicha

8. Zaključak.

Mora se reći da zlatni omjer ima veliku primjenu u našim životima.

Dokazano je da je ljudsko tijelo linijom pojasa podijeljeno proporcionalno zlatnom rezu.

Školjka nautilusa je uvijena poput zlatne spirale.

Zahvaljujući zlatnom omjeru otkriven je asteroidni pojas između Marsa i Jupitera - srazmjerno tome da bi tu trebala biti još jedna planeta.

Pobuđenje žice u tački koja je dijeli u odnosu na zlatnu podjelu neće uzrokovati da struna vibrira, odnosno, ovo je tačka kompenzacije.

Na avionima sa elektromagnetnim izvorima energije stvaraju se pravougaone ćelije sa proporcijom zlatnog preseka.

Gioconda je izgrađena na zlatnim trouglovima, zlatna spirala je prisutna na Rafaelovoj slici "Masakr nevinih".

Proporcija pronađena na slici Sandra Botticellija "Rođenje Venere"

Postoje mnogi arhitektonski spomenici izgrađeni pomoću zlatnog preseka, uključujući Panteon i Partenon u Atini, zgrade arhitekata Baženova i Maleviča.

Džon Kepler, koji je živeo pre pet vekova, poseduje izjavu: "Geometrija ima dva velika blaga. Prva je Pitagorina teorema, druga je podela segmenta u ekstremnom i prosečnom odnosu"

Bibliografija

1. D. Pidow. Geometrija i umjetnost. – M.: Mir, 1979.

2. Časopis "Nauka i tehnologija"

3. Časopis "Quantum", 1973, br. 8.

4. Časopis "Matematika u školi", 1994, br. 2; br. 3.

5. Kovalev F.V. Zlatni rez u slikarstvu. K.: Škola Vyscha, 1989.

6. Stahov A. Kodovi zlatnog preseka.

7. Vorobyov N.N. "Fibonačijevi brojevi" - M.: Nauka 1964

8. "Matematika - enciklopedija za djecu" M.: Avanta +, 1998.

9. Informacije sa Interneta.

Fibonačijeve matrice i takozvane "zlatne" matrice, nova kompjuterska aritmetika, nova teorija kodiranja i nova teorija kriptografije. Suština nove nauke je revizija sve matematike sa stanovišta zlatnog preseka, počevši od Pitagore, što će, naravno, povući nove i svakako vrlo zanimljive matematičke rezultate u teoriji. Praktično rečeno - "zlatna" kompjuterizacija. I zato što...

Na ovaj rezultat neće uticati. Osnova zlatnog preseka je invarijanta rekurzivnih odnosa 4 i 6. Ovo pokazuje "stabilnost" zlatnog preseka, jednog od principa organizacije žive materije. Takođe, osnova zlatnog preseka je rešenje dve egzotične rekurzivne sekvence (Sl. 4.) Sl. 4 rekurzivne fibonačijeve sekvence tako da...

Uho je j5, a udaljenost od uha do krune je j6. Dakle, u ovoj statui vidimo geometrijsku progresiju sa nazivnikom j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Sl. 9). Dakle, zlatni rez je jedan od temeljnih principa u umjetnosti antičke Grčke. Ritmovi srca i mozga. Ljudsko srce kuca ravnomerno - oko 60 otkucaja u minuti u mirovanju. Srce se stisne kao klip...

Ako pri ruci nema kompasa, tada možete nacrtati jednostavnu zvijezdu s pet zraka, a zatim jednostavno spojiti ove zrake. kao što možete vidjeti na slici ispod, dobija se apsolutno pravilan pentagon.

Matematika je složena nauka i ima mnogo tajni, neke od njih su vrlo smiješne. Ako vas takve stvari zanimaju, savjetujem vam da pronađete knjigu Funny Math.

Krug se može nacrtati ne samo sa šestarom. Možete, na primjer, koristiti olovku i konac. Na navoju mjerimo željeni prečnik. Jedan kraj čvrsto stegnemo na komad papira, gdje ćemo nacrtati krug. A na drugom kraju konca, olovka je postavljena i opsjednuta. Sada radi kao sa šestarom: razvučemo konac i lagano pritisnemo krug oko kruga olovkom.

Unutar kruga nacrtajte seljake iz središta: okomitu i vodoravnu liniju. Tačka preseka vertikalne linije i kružnice biće vrh petougla (tačka 1). Sada dijelimo desnu polovicu vodoravne linije na pola (tačka 2). Mjerimo udaljenost od ove tačke do vrha petougla i stavljamo ovaj segment lijevo od tačke 2 (tačka 3). Uz pomoć konca i olovke crtamo luk od tačke 1 poluprečnika do tačke 3 koji siječe prvu kružnicu s lijeve i desne strane - točke presjeka će biti vrhovi petougla. Označimo njihovu tačku 4 i 5.

Sada od tačke 4 napravimo luk koji siječe krug u donjem dijelu, polumjera jednakim dužini od tačke 1 do 4 - to će biti tačka 6. Slično, od tačke 5 - označit ćemo tačku 7.

Ostaje da povežemo naš pentagon sa vrhovima 1, 5, 7, 6, 4.

Znam kako da napravim jednostavan pentagon koristeći šestar: nacrtaj krug, označi pet tačaka, poveži ih. Možete izgraditi petougao sa jednakim stranama, za to nam je još uvijek potreban kutomjer. Stavili smo istih 5 tačaka duž kutomjera. Da biste to učinili, označite uglove od 72 stepena. Zatim se također povezujemo sa segmentima i dobivamo figuru koja nam je potrebna.

Zeleni krug se može nacrtati proizvoljnim radijusom. U ovaj krug ćemo upisati pravilan petougao. Bez kompasa nemoguće je nacrtati tačan krug, ali to nije potrebno. Krug i sve dalje konstrukcije mogu se raditi ručno. Zatim, kroz središte kruga O, trebate nacrtati dvije međusobno okomite linije i označiti jednu od točaka presjeka linije s kružnicom A. Tačka A će biti vrh peterokuta. Podijelimo poluprečnik OB na pola i stavimo tačku C. Iz tačke C nacrtamo drugi krug poluprečnika AC. Iz tačke A nacrtamo treći krug poluprečnika AD. Tačke preseka trećeg kruga sa prvim (E i F) takođe će biti vrhovi petougla. Iz tačaka E i F poluprečnika AE napravimo zareze na prvom krugu i dobijemo preostale vrhove petougla G i H.



Adepti crne umjetnosti: da biste jednostavno, lijepo i brzo nacrtali pentagon, trebali biste nacrtati ispravnu, skladnu osnovu za pentagram (zvijezdu petokraku) i spojiti krajeve zraka ove zvijezde ravnim, ravnim linijama. Ako je sve urađeno ispravno, spojna linija oko baze će biti željeni petougao.

(na slici - popunjen, ali neispunjen pentagram)



Za one koji nisu sigurni u ispravan dizajn pentagrama: uzmite Da Vincijevog Vitruvijanskog čovjeka kao osnovu (vidi dolje)



Ako vam je potreban petougao, nasumično probijte 5. tačku i njihova vanjska kontura će biti petougao.

Ako vam je potreban pravilan pentagon, onda je ova konstrukcija nemoguća bez matematičkog kompasa, jer bez njega ne možete nacrtati dva identična, ali ne i paralelna segmenta. Bilo koji drugi alat koji vam omogućava da nacrtate dva identična, ali ne i paralelna segmenta, ekvivalentan je matematičkom kompasu.



Prvo morate nacrtati krug, zatim vodilice, zatim drugi točkasti krug, pronaći gornju tačku, zatim izmjeriti dva gornja ugla, izvući donje od njih. Imajte na umu da je radijus kompasa isti u cijeloj konstrukciji.

Sve zavisi od toga kakav vam je pentagon potreban. Ako ih ima, onda stavite pet tačaka i povežite ih (naravno, ne postavljamo tačke u pravu liniju). A ako vam treba petougao pravilnog oblika, uzmite bilo kojih pet dužine (trake papira, šibice, olovke itd.), rasporedite pentagon i ocrtajte ga.

Pentagon se može nacrtati, na primjer, iz zvijezde. Ako znate nacrtati zvijezdu, ali ne znate kako nacrtati pentagon, nacrtajte zvijezdu olovkom, zatim spojite susjedne krajeve zvijezde zajedno, a zatim obrišite samu zvijezdu.

Drugi način. Izrežite traku papira dužine jednake željenoj strani petougla, a uske širine, recimo 0,5 - 1 cm. Prema šablonu, izrežite još četiri iste trake duž ove trake da ih napravite samo 5 .

Zatim stavite list papira (bolje ga je pričvrstiti na stol s četiri gumba ili igle). Zatim položite ovih 5 traka na list tako da formiraju pentagon. Zakačite ovih 5 traka na komad papira iglama ili iglama tako da ostanu nepomične. Zatim zaokružite rezultirajući pentagon i uklonite ove pruge s lista.



Ako nema kompasa i trebate napraviti pentagon, onda vam mogu savjetovati sljedeće. Sam sam ga napravio. Možete nacrtati ispravnu zvijezdu petokraku. A nakon toga, da biste dobili petougao, trebate samo povezati sve vrhove zvijezde. Ovako će ispasti pentagon. Evo šta ćemo dobiti



Povezali smo vrhove zvijezde parnim crnim linijama i dobili smo petougao.

8. juna 2011

Prvi način- na ovoj strani S uz pomoć kutomjera.

Nacrtajte pravu liniju i na njoj iscrtajte AB = S; ovu pravu uzimamo kao poluprečnik i ovim poluprečnikom iz tačaka A i B opisujemo lukove: zatim, pomoću kutomjera, gradimo uglove od 108 ° u tim tačkama, čije će se stranice sijeći s lukovima u tačkama C i D; iz ovih tačaka poluprečnika AB = 5 opisujemo lukove koji se seku u tački E, i povezujemo tačke L, C, E, D, B pravim linijama.

Rezultirajući pentagon- željeno.

Drugi način. Nacrtajte krug poluprečnika r. Iz tačke A šestarom povlačimo luk poluprečnika AM sve dok se ne siječe u tačkama B i C sa kružnicom. Povezujemo B i C linijom koja će se ukrštati horizontalna osa u tački E.

Zatim, iz tačke E, nacrtamo luk koji će preseći horizontalnu liniju u tački O. Konačno, iz tačke F, opišemo luk koji će preseći krug u tačkama H i K. Odvojivši rastojanje FO \u003d FH \u003d FK pet puta duž kruga i povezujući tačke podjele linijama, dobivamo pravilan pentagon.

Treći način. U ovaj krug upišite pravilan petougao. Crtamo dva međusobno okomita prečnika AB i MC. Podijelite poluprečnik AO tačkom E na pola. Iz tačke E, kao iz centra, povučemo luk kružnice poluprečnika EM i njime označimo prečnik AB u tački F. Segment MF jednak je strani željenog pravilnog petougla. Sa rješenjem kompasa jednakim MF, pravimo serife N 1, P 1, Q 1, K 1 i povezujemo ih pravim linijama.

Na slici je prikazan šestougao duž ove strane.

Direktno AB \u003d 5, kao polumjer, iz tačaka A i B opisujemo lukove koji se sijeku u C; iz ove tačke, sa istim poluprečnikom, opisujemo kružnicu na kojoj će se strana A B odložiti 6 puta.

Hexagon ADEFGB- željeno.

"Renoviranje prostorija tokom renoviranja",
N.P.Krasnov

Prvi način izgradnje. Crtamo horizontalnu (AB) i vertikalnu (CD) os i od tačke njihovog preseka M odvajamo poluose u odgovarajućoj skali. Nacrtajte sporednu poluos od tačke M na velikoj osi do tačke E. Elipsa, prva metoda konstrukcije Podijelite BE na 2 dijela i nacrtajte jednu od tačke M na velikoj osi (do F ili H) ...

Osnova za nanošenje farbanja je potpuno završeno farbanje površina zidova, plafona i drugih konstrukcija; farbanje se vrši na visokokvalitetnom ljepilu i uljanim bojama, napravljenim za obrezivanje ili žljebljenje. Počevši da razvija skicu završne obrade, majstor mora jasno zamisliti cijelu kompoziciju u domaćem okruženju i jasno realizirati kreativnu ideju. Samo ako se poštuje ovaj osnovni uslov može se ispravno ...

Mjerenje izvedenog rada, osim u posebnim slučajevima, vrši se prema površini stvarno obrađene površine, uzimajući u obzir njen reljef i minus neobrađena mjesta. Za određivanje stvarno obrađenih površina tokom farbanja treba koristiti faktore konverzije date u tabelama. A. Drveni prozorski uređaji (mjerenje se vrši po površini otvora duž vanjske konture kutija) Naziv uređaja Koeficijent za ...

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

pravilan pentagon(gr. πενταγωνον ) je geometrijska figura, pravilan poligon sa pet strana.

Svojstva

• Dodekaedar je jedini pravilan poliedar čija su lica pravilni pentagoni.
• Pentagon je zgrada američkog Ministarstva odbrane u obliku pravilnog pentagona.
• Pravilan petougao je pravilan poligon s najmanjim brojem uglova koji se ne može popločiti na ravni.
• U prirodi nema kristala sa licima u obliku pravilnog pentagona.
• Pentagon sa svim svojim dijagonalama je projekcija 4-simpleksa.

vidi takođe

Napišite recenziju na članak "Regularni Pentagon"

Bilješke

Po broju strana ispravan trouglovi Četvorouglovi vidi takođe

Poligoni zvezdasti poligoni Ravni parketi Pravilni poliedri i sferni parketi Kepler-Poinsot poliedri saće Četvorodimenzionalni poliedri

Odlomak koji karakteriše Regularni Pentagon

Petja nije znao koliko je to trajalo: uživao je, stalno se iznenađivao sopstvenom zadovoljstvu i kajao se što nema ko da mu kaže. Probudio ga je Lihačovljev blagi glas.
- Gotovo, vaša visosti, raširite stražu na dva dela.
Petya se probudila.
- Postaje svijetlo, stvarno, svijetli! On je plakao.
Ranije nevidljivi konji postali su vidljivi do repa, a vodena svjetlost je bila vidljiva kroz gole grane. Petja se stresao, skočio, izvadio iz džepa novčanicu od rublje i dao je Lihačovu, mahnuo njome, isprobao sablju i stavio je u korice. Kozaci odvezuju konje i stežu pojas.
„Evo komandanta“, rekao je Lihačov. Denisov je izašao iz stražarnice i, dozivajući Petju, naredio da se spremi.

Brzo su u polumraku razmontirali konje, stegnuli obruče i sredili komande. Denisov je stajao na stražarnici i izdavao posljednja naređenja. Pešadija iz grupe, udarivši stotinu stopa, napredovala je putem i brzo nestala između drveća u predzornjoj magli. Ezaul je naredio nešto kozacima. Petja je držao konja u redu, nestrpljivo čekajući naređenje za jahanje. Umiveno hladnom vodom, lice, posebno oči, izgorele su od vatre, jeza mu je prošla niz leđa, a nešto mu je u celom telu brzo i ravnomerno zadrhtalo.
- Pa, jeste li spremni? rekao je Denisov. - Hajde konje.
Dali su konje. Denisov se naljutio na Kozaka jer su mu obruči bili slabi i, izgrdivši ga, sjeo je. Petja je uzeo stremen. Konj ga je iz navike htio ugristi za nogu, ali Petja, ne osjećajući njegovu težinu, brzo je skočio u sedlo i, osvrćući se na husare koji su se kretali u mraku, dojahao do Denisova.
- Vasilije Fjodoroviču, hoćete li mi nešto poveriti? Molim te... za ime Boga...” rekao je. Činilo se da je Denisov zaboravio na postojanje Petje. Osvrnuo se na njega.
„Reći ću ti jednu stvar“, rekao je strogo, „slušaj me i nigde se ne mešaj.
Tokom čitavog putovanja, Denisov nije rekao ni reč Petji i jahao je u tišini. Kada smo stigli na rub šume, polje je bilo osjetno svjetlije. Denisov je nešto šapatom rekao esaulu, a kozaci su počeli da prolaze pored Petje i Denisova. Kada su svi prošli, Denisov je dodirnuo svog konja i jahao nizbrdo. Sjedeći na potkoljenici i klizeći, konji su se spustili sa svojim jahačima u udubinu. Petja je jahala pored Denisova. Drhtanje u cijelom njegovom tijelu je postajalo sve jače. Bivalo je sve lakše, samo je magla skrivala udaljene predmete. Vozeći se i osvrćući se, Denisov je klimnuo glavom kozaku koji je stajao pored njega.
- Signal! on je rekao.
Kozak je podigao ruku, začuo se pucanj. I u istom trenutku začuo se zveket konja u galopu ispred, povici sa raznih strana i još pucnjeva.
U istom trenutku kada su se začuli prvi zvuci gaženja i vriske, Petja je, šutnuvši konja i otpustivši uzde, ne slušajući Denisova koji je vikao na njega, galopirao naprijed. Petji se učini da je odjednom osvanulo vedro, kao usred dana, u trenutku kada se začuo pucanj. Skočio je na most. Kozaci su galopirali naprijed duž puta. Na mostu je naleteo na zaostalog kozaka i pojurio dalje. Ispred su bili neki ljudi - sigurno su bili Francuzi - koji su trčali s desne strane puta na lijevu. Jedan je pao u blato pod noge Petjinog konja.
Kozaci su se nagurali oko jedne kolibe, nešto radeći. Iz sredine gomile začuo se užasan krik. Petja je dojurio do ove gomile i prvo što je ugledao bilo je bledo lice Francuza sa drhtavom donjom vilicom, koji se držao za dršku uperene u njega.
“Ura!.. Momci...naši...” poviče Petja i, dajući uzde uzbuđenom konju, pojuri naprijed niz ulicu.
Ispred su se čuli pucnji. Kozaci, husari i odrpani ruski zarobljenici, koji su bježali s obje strane puta, svi su nešto glasno i nepovezano vikali. Mladić, bez šešira, sa crvenim namrštenim licem, Francuz u plavom šinjelu odbio se od husara bajonetom. Kada je Petja skočio, Francuz je već pao. Ponovo kasno, Petja mu je proletela kroz glavu, i on je galopirao tamo gde su se čuli česti pucnji. U dvorištu vlastelinstva u kojem je sinoć bio s Dolohovim čula se pucnjava. Francuzi su sedeli tamo iza pletene ograde u gustom vrtu obraslom žbunjem i pucali na kozake koji su se nagomilali na kapiji. Približavajući se kapiji, Petja je, u dimu praha, ugledao Dolohova sa bledim, zelenkastim licem, kako nešto viče ljudima. „Na zaobilaznici! Čekaj pješadiju!” viknuo je dok je Petja dojahala do njega.
„Čekaj?.. Ura!”, poviče Petja i bez ijednog minuta oklevanja odgalopira do mesta gde su se čuli pucnji i gde je dim baruta bio gušći. Začuo se rafal, zaškripali su prazni i udareni meci. Kozaci i Dolohov skočili su za Petjom kroz kapiju kuće. Francuzi su, u zaljuljanom gustom dimu, jedni bacili oružje i istrčali iz žbunja prema Kozacima, drugi su trčali nizbrdo do bare. Petja je galopirao na konju po dvorištu vlastelinstva i, umjesto da drži uzde, čudno i brzo mahao je objema rukama i sve dalje padao sa sedla na jednu stranu. Konj se, naletevši na vatru koja je tinjala na jutarnjem svetlu, odmorio, a Petja je teško pala na mokro tlo. Kozaci su videli kako mu se brzo trzaju ruke i noge, uprkos činjenici da mu se glava nije pomerala. Metak mu je probio glavu.
Nakon razgovora sa visokim francuskim oficirom, koji je izašao iza kuće s maramicom na maču i objavio da se predaju, Dolohov je sišao s konja i prišao Petji, nepomično, raširenih ruku.
„Spremni“, rekao je mršteći se i prošao kroz kapiju da sretne Denisova koji mu je išao prema njemu.
- Ubijen?! — uzviknu Denisov, ugledavši iz daljine onu njemu poznatu, nesumnjivo beživotnu poziciju, u kojoj leži Petjino telo.
„Spreman“, ponovi Dolohov, kao da mu je izgovaranje ove reči pričinilo zadovoljstvo, i brzo pođe do zarobljenika, koje su opkolili sjašeni kozaci. - Nećemo to uzeti! viknuo je Denisovu.