Определенный интеграл как предел интегральной суммы
может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий
Если
хотя бы одно из этих условий нарушено,
то определение теряет смысл. Действительно,
в случае бесконечного отрезка, например
[a
;
)
его нельзя разбить на п
частей конечной длины
,
которая к тому же с увеличением количества
отрезков стремилась бы к нулю. В случае
же неограниченной в некоторой точке
с
[a
;
b
]
нарушается требование произвольного
выбора точки
на частичных отрезках – нельзя выбрать
=с
,
поскольку значение функции в этой точке
не определено. Однако и для этих случаев
можно обобщить понятие определенного
интеграла, введя еще один предельный
переход. Интегралы по бесконечным
промежуткам и от разрывных (неограниченных)
функций называют несобственными
.
Определение.
Пусть
функция
определена на промежутке [a
;
)
и интегрируема на любом конечном отрезке
[a
;
b
],
т.е. существует
для любого b
> a
.
Предел вида
называют несобственным
интегралом
первого
рода
(или
несобственным интегралом по бесконечному
промежутку) и обозначают
.
Таким
образом, по определению,
=
.
Если
предел справа существует и конечен, то
несобственный интеграл
называют сходящимся
.
Если этот предел бесконечен, или не
существует вообще, то говорят, что
несобственный интеграл расходится
.
Аналогично
можно ввести понятие несобственного
интеграла от функции
по промежутку (–;
b
]:
=
.
А
несобственный интеграл от функции
по промежутку (–;
+)
определяется как сумма введенных выше
интегралов:
=
+
,
где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.
С
геометрической точки зрения, интеграл
,
,
определяет численное значение площади
бесконечной криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции
,
слева – прямой
,
снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла
означает существование конечной площади
такой трапеции и равенство ее пределу
площади криволинейной трапеции с
подвижной правой стенкой
.
На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница :
=
=
F(+
)
– F(a
),
где
F(+
)
=
.
Если этот предел существует, то интеграл
сходится, в противном случае – расходится.
Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.
Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.
Определение
Пусть
функция
определена на промежутке [a
;
b
),
неограниченна в некоторой окрестности
точки b
,
и непрерывна на любом отрезке
,
где >0
(и, следовательно, интегрируема на этом
отрезке, т.е.
существует). Предел вида
называется несобственным
интегралом второго рода
(или несобственным интегралом от
неограниченной функции) и обозначается
.
Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению
=
.
Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся . Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Аналогично
можно определить несобственный интеграл
от функции
имеющей бесконечный разрыв в точке а
:
=
.
Если
функция
имеет бесконечный разрыв во внутренней
точке с
,
то несобственный интеграл определяется
следующим образом
=
+
=
+
.
Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.
С
геометрической точки зрения, несобственный
интеграл от неограниченной функции
также характеризует площадь неограниченной
криволинейной трапеции:
Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.
Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости . Признаки сходимости несобственных интегралов:
1) Признак сравнения .
Пусть
для всех х
.
Тогда, если
сходится, то сходится и
,
причем
.
Если
расходится, то расходится и
.
2)
Если сходится
,
то сходится и
(последний интеграл в этом случае
называется абсолютно
сходящимся
).
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.
Примеры решения задач.
Пример 1.
а)
;
б)
;
в)
г)
; д)
.
Решение.
а) По определению имеем:
.
б) Аналогично
Следовательно,
данный интеграл сходится и равен
.
в)
По определению
=
+
,
причем, а
– произвольное число. Положим в нашем
случае
,
тогда получим:
Данный интеграл сходится.
Значит, данный интеграл расходится.
д)
Рассмотрим
.
Чтобы найти первообразную подынтегральной
функции, необходимо применить метод
интегрирования по частям. Тогда получим:
Поскольку
ни
,
ни
не существуют, то не существует и
Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 2.
Исследовать
сходимость интеграла
в зависимости от п
.
Решение.
При
имеем:
Если
,
то
и
.
Следовательно, интеграл расходится.
Если
,
то
,
а
,
тогда
=
,
Следовательно, интеграл сходится.
Если
,
то
следовательно, интеграл расходится.
Таким
образом,
Пример 3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Интеграл
является несобственным интегралом
второго рода, поскольку подынтегральная
функция
не ограничена в точке
.
Тогда, по определению,
.
Интеграл сходится и равен
.
б)
Рассмотрим
.
Здесь также подынтегральная функция
не ограничена в точке
.
Поэтому, данный интеграл – несобственный
второго рода и по определению,
Следовательно, интеграл расходится.
в)
Рассмотрим
.
Подынтегральная функция
терпит бесконечный разрыв в двух точках:
и
,
первая из которых принадлежит промежутку
интегрирования
.
Следовательно, данный интеграл –
несобственный второго рода. Тогда, по
определению
=
=
.
Следовательно,
интеграл сходится и равен
.
Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.
Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет, обращаясь в бесконечность.
Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.
Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f (x ) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f (x ) (на рисунке ниже - красного цвета), x = a и осью абсцисс.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.
Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае - расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.
Несобственные интегралы первого рода - с бесконечными пределами и их сходимость
Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом
Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x ) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.
.
Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся , а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. На основании определения несобственного интеграла находим
Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.
В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса - не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).
Решение. Предположим сначала, что , тогда
В полученном выражении перейдём к пределу при :
Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .
В первом случае, то есть при
имеет место .
Если , то
и
не существует.
Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .
Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница 
,
можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:
.
Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Предел этого интеграла существует:
Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:
Предел этого интеграла также существует:
.
Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:
Несобственные интегралы второго рода - от неограниченных функций и их сходимость
Пусть функция f (x ) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.
Определение. Несобственным интегралом функции f (x ) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.
.
Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим.
Рассмотрим два вида несобственных интервалов:
- 1. Несобственные интегралы I-го рода с бесконечными пределами интегрирования;
- 2. Несобственные интегралы II-го рода от функций с бесконечными разрывами.
Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования
Определение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов:
Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.
Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.
Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка функций имеем:
Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1.
Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?g(x)?f(x), при любых х? а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции.
Пример. Исследовать сходимость интеграла:
Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией. Для знакоположительных на интервале . Определяются несобственные интегралы второго рода по-разному, в зависимости от расположения точек разрыва на промежутке [a ; b ].
1) Предположим, что функция f (x ) имеет бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке области интегрирования (c Î(a ; b )) В остальных точках отрезка [a ; b ] функция предполагается непрерывной.
Тогда, если существуют и конечны пределы и , то говорят, что интеграл сходится и равен
. (8.22)
2) Пусть единственная точка разрыва функции f
(x
) совпадает с точкой а
. (8.23)
3) Пусть единственная точка разрыва функции f
(x
) совпадает с точкой b
. Тогда, если существует и конечен предел , то говорят, что интеграл сходится, и равен
. (8.24)
Всюду предполагается, что e > 0 и d > 0.
Задача 8.12. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. x = 2. Следовательно,
Задача 8.13. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке x = 0 (внутри области интегрирования). Следовательно,
Первый предел существует и конечен, но второй предел равен бесконечности ( при ). Следовательно, данный интеграл расходится.
Глава 9. Функции нескольких переменных
§9.1. Определение n -мерного евклидова пространства R n .
Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных полезно ввести понятие n -мерного пространства для любого n = 1, 2, 3,… .
2 Точкой x n -мерного пространства (вектором) называется упорядоченная совокупность n действительных чисел .
Число называется i -ой координатой вектора .
2 Расстояние между двумя точками n -мерного пространства и определяется по формуле:
Расстояние от точки до точки x называется модулем вектора x и обозначается . Из формулы (9.1) следует, что .
В n -мерном пространстве естественным образом вводится понятие скалярного произведения:
Угол между векторами x и y можно определить по формуле:
По прежнему, векторы x и y перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
2Совокупность всех точек n -мерного пространства, в котором определено расстояние согласно формуле (9.1) и скалярное произведение, называется n -мерным евклидовым векторным пространством и обозначается через .
В случае n = 1 пространство совпадает с прямой, в случае n = 2 – с плоскостью, а в случае n = 3 – с пространством.
2 Пусть и . Совокупность всех точек таких, что , называется n -мерным шаром с центром в точке x или e -окрестностью точки x в пространстве и обозначается .
В координатной форме это определение выглядит так:
В случае прямой, т.е. при n = 1, окрестность точки представляет из себя интервал с центром в точке радиуса e . В случае плоскости, т.е. при n = 2, окрестность точки представляет из себя открытый круг с центром в точке радиуса e . В случае пространства, т.е. при n = 3 окрестность точки представляет из себя открытый шар с центром в точке радиуса e .
§9.2. Область определения функции нескольких переменных. Непрерывность
2 Функцией n переменных называется такое правило (закон), по которому каждому набору, состоящему из n переменных , взятому из некоторой области D n -мерного пространства , ставится в соответствие единственное число z . В наиболее простом случае .
2 Функцией 2-х переменных называется такое правило (закон), по которому каждой точке M (x ; y ), принадлежащей некоторой области D плоскости xOy , ставится в соответствие единственное число z .
Множество точек в пространстве с координатами образуют некоторую поверхность (рис. 9.1), возвышающуюся над областью D (геометрический смысл функции двух переменных).
2 Область D , для которой построено указанное выше соответствие, называется областью определения функции .
Задача 9.1. Найти область определения функции
Решение. Искомая область определения является множеством точек на плоскости xOy , удовлетворяющих системе неравенств . Неравенства и меняют свой знак на противоположный (соответственно) при пересечении следующих линий: x = y и x = 0, y = 0. Эти линии разбивают плоскость xOy на 6 областей. Последовательно, подставляя произвольные точки, из каждой области в систему , убеждаемся в том, что объединение областей (1) и (3) является областью определения исходной функции. Причем прямая x = y , за исключением точки (0; 0), входит в область определения, а прямые x = 0, и y = 0 – не входят (рис. 9.2).
2 Замыканием области называется множество точек пространства , в любой окрестности каждой из которых содержатся точки области D .
Пусть, например, D – некоторая открытая (граница не включается) область на плоскости xOy . Тогда замыкание области получится, если к области D присоединить ее границу Г .
2 Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и пусть – некоторая точка замыкания области D (). Число А называется пределом функции в точке М 0 , если для любого числа e > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех точек , отличных от точки М 0 и удаленных от нее меньше, чем на δ , выполнено неравенство .
2 Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке () и имеет место равенство .
§9.3. Линии уровня функции двух переменных
2 Линии на плоскости xOy , заданные уравнениями , где С – произвольная константа, называются линиями уровня функции .
Линии уровня являются линиями пересечения поверхности, заданной функцией и плоскости z = C , параллельной плоскости xOy . С помощью линий уровня можно изучать форму поверхности, заданной функцией .
Пример 9.2. Найти линии уровня и определить форму поверхности, заданной уравнением .
Уравнения линий уровня в данном случае имеют вид . При C < 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy ). При C = 0 уравнению линии уровня удовлетворяет только одна точка x = 0, y = 0 (с плоскостью xOy поверхность пересекается только вначале координат). При C > 0 линии уровня являются эллипсами , с полуосями и . Линии уровня, соответствующие различным значениям С , изображены на рис. 9.3. Поверхность, заданная уравнением , называется эллиптическим параболоидом (рис. 9.4).
§9.4. Частные производные первого порядка
Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и – некоторая точка области D .
x
, (9.2)
2 Частной производной функции в точке по переменной y (обозначается или ) называется
, (9.3)
если данный предел существует и конечен.
2 Частной производной функции n переменных в точке по переменной x i называется
, (9.4)
если данный предел существует и конечен.
Как видно из формул (9.2) – (9.4), частные производные определяются аналогично тому, как определялась производная функции одной переменной. При вычислении предела приращение получает только одна из переменных, остальные переменные приращения не получают и остаются постоянными. Следовательно, частные производные можно вычислять по тем же правилам, что и обычные производные, обращаясь со всеми свободными переменными (кроме той, по которой производится дифференцирование) как с константами.
Задача 9.3. Найти частные производные функции
Решение. .
Задача 9.4. Найти частные производные функции .
Решение. При дифференцировании данной функции по переменной x мы пользуемся правилом дифференцирования степенной функции, а при нахождении частной производной по переменной y – правилом дифференцирования показательной функции:
Задача 9.5. Вычислить частные производные функции в точке .
Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем частные производные
Подставляя в частные производные координаты точки М , получим
§9.5. Градиент функции нескольких переменных.
Производная по направлению
2 Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных данной функции, вычисленных в данной точке:
2 Производной функции в точке по направлению вектора называется проекция вектора градиента данной функции, вычисленного в точке М 0 , на данное направление
Вычисляя проекцию вектора на вектор в соответствие с формулой (2.6), получим
. (9.7)
Замечая, что , где a
– угол, который вектор образует с осью OX
, получим еще одну формулу для вычисления производной по направлению вектора
Задача 9.6. Найти градиент функции в точке М 0 (4; 2) и производную по направлению вектора
Решение. Найдем частные производные
Вычислим значения частных производных в точке М 0:
Градиент функции в точке М 0 найдем по формуле (9.5):
Задача 9.7. В точке М 0 (0; 1) вычислить производную функции по направлению биссектрисы второго координатного угла.
Решение. Найдем частные производные функции :
Вычислим значения частных производных и градиент функции в точке М 0:
Производную функции в точке М 0 по направлению биссектрисы второго координатного угла (данное направление составляет с осью OX угол a = 135°) найдем по формуле (9.8):
§9.6. Дифференциал функции нескольких переменных
и его применение к приближенным вычислениям
1 Если в точке функция имеет непрерывные частные производные и , то ее полное приращение при переходе от точки М 0 к точке может быть представлено в виде:
, (9.9)
где при , .
2 Выражение называется полным дифференциалом функции в точке .
Из формулы (9.9) следует, что дифференциал функции является главной линейной частью полного приращения функции . При достаточно млых Dx и Dy выражение существенно меньше дифференциала и им можно пренебречь. Таким образом, мы приходим к следующей приближенной формуле:
. (9.10)
Замечание.
Формулой (9.10) можно пользоваться для приближенного вычисления значений функций только в точках , достаточно близких к точке . Чем меньше значение , тем точнее значение , найденное по формуле (9.9).
Пример 9.8. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала.
Рассмотрим функцию . Требуется вычислить значение z 1 этой функции в точке (x 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). Воспользуемся приближенной формулой (9.9), выбрав в качестве точки точку (0; 7). Тогда Dx = x 1 – x 0 = 0,09 – 0 = 0,09, Dy = y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.
Следовательно,
§9.7. Частные производные высших порядков
Пусть в области D задана функция , имеющая в этой области непрерывные частные производные и . Таким образом, в области D мы получили две новые непрерывные функции двух переменных и . Если в некоторой точке области D функции и имеют частные производные как по переменной x , так и по переменой y , то эти производные называются производными второго порядка функции . Они обозначаются следующим образом:
1 Если в некоторой точке области D функция имеет непрерывные смешанные производные и , то в точке эти производные равны: . D , необходимо выполнение условий: D = 32 – 9 = 23.
Так как дискриминант больше нуля, то в точке М функция имеет экстремум. А именно, локальный минимум, поскольку А и С больше нуля. При этом
Называется Несобственным интегралом
От функции
F
(X
) с бесконечным верхним пределом.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется Сходящимся
. А если же он не существует или равен
± ¥, то этот несобственный интеграл называется Расходящимся.
Если F
(X
) ≥ 0
для всех X
≥
A
, то У
несобственного интеграла (6.1) имеется очевидный геометрический смысл, вытекающий из геометрического смысла (4.3) обычного определенного интеграла. Действительно, согласно рис. 5.14 
(6.2)
(6.3)
Здесь S ¥ - площадь бесконечно протяженной в направлении оси Ох криволинейной трапеции (рис. 5.15). Несмотря на свою бесконечную протяженность, она может оказаться и конечной. Но это может произойти, согласно рис. 5.15, лишь в случае, когда Y = F (X ) → 0 при X → ¥ . Да и то, если функция Y = F (X ) → 0 при X → ¥ достаточно быстро.
Пример 1. Найти площадь S ¥ , изображенную на рис. 5.16.
,
так как lnB
→
¥
при B
→
¥
.
Итак, S ¥ = ¥. И это несмотря на то, что функция при X → ¥ . Несобственный интеграл , а значит, он расходится.
Пример 2. Найти площадь S ¥ , изображенную на рис. 5.17.
Здесь S ¥ = 1. То есть бесконечно протяженная площадь оказалась конечной. Это произошло потому, что подинтегральная функция при X → ¥ достаточно быстро (по крайней мере, гораздо быстрее, чем подинтегральная функция в предыдущем примере). Несобственный интеграл (число), а значит, он сходится.
Пример 3 . Выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл .
Решение . Вычислим это интеграл:
Не существует. Это очевидно, если вспомнить поведение графика функции Y = = SinX (синусоиды) при X → ¥ . Таким образом, не существует, а значит, он расходится. Впрочем, это и не могло быть иначе, ибо подинтегральная функция cosX не стремится к нулю при Х → ¥ .
Заметим, что при вычислении несобственных интегралов типа , как и при вычислении обычных определенных интегралов , можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница:
|
|
Здесь 
Действительно:
Если значение F (¥ ) существует и конечно, то согласно формуле (6.4) Ньютона-Лейбница сходится и несобственный интеграл .
Примечание. Совершенно аналогично интегралам с бесконечным верхним пределом можно рассматривать несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом и даже с обоими бесконечными пределами интегрирования. То есть интегралы вида
|
|
Для их вычисления тоже можно применять формулу Ньютона-Лейбница.
Пример 4.
Итак, 
(число), то есть этот интеграл сходится. Его величина π равна площади S
¥
бесконечно протяженной в обе стороны фигуры, изображенной на рис. 5.18. 
Заметим, что сам факт сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования не обязательно устанавливать с помощью прямого вычисления этих интегралов. Это вопрос часто можно решить и гораздо проще, сравнив данный несобственный интеграл с каким-либо другим, для которого сходимость-расходимость уже установлена.
Пусть, например, для всех имеет место неравенство F
(X
)
£
G
(X
),
Где Y
=
F
(X
)
И Y
=
G
(X
) -
Две непрерывные и неотрицательные функции (рис. 5.19). Тогда очевидно, что
|
|
Из неравенства (6.6) и рис. 5.19 очевидным образом следует так называемый Признак сравнения несобственных интегралов :
|
1) Если (число) - сходится, то и 2) Если 3) Если 4) Если |
(число) - сходится, причем B
- расходится, то и 
- расходится.В качестве функции G (X ) , с которой на промежутке Сравнивают данную функцию F (X ), часто используют функцию , а в качестве интеграла сравнения - интеграл , учитывая при этом, что при A > 0 и любых α функция - положительная и непрерывная функция, и что
|
|
Пример 5.
Решение.
Очевидно, что 
для всех X
Î
}
