Μια μέθοδος εξορθολογισμού για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων με μεταβλητή βάση. Μέθοδος εξορθολογισμού Μέθοδος εξορθολογισμού εκθετικών εξισώσεων

Δημοτικό Αυτόνομο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα "Γυμνάσιο Yarkovskaya"

Έργο μελέτης

Επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων με μέθοδο εξορθολογισμού

MAOU "Γυμνάσιο Yarkovskaya"

Shanskikh Daria

Επιβλέπων καθηγητής μαθηματικών

MAOU "Γυμνάσιο Yarkovskaya"

Yarkovo 2013

1) Εισαγωγή ……………………………………………………………………… .2

2) Κύριο μέρος ……………………………………………… ..3

3) Συμπέρασμα …………………………………………………… ..9

4) Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας …………… .10

5) Παραρτήματα …………………………………………………… 11-12

1. Εισαγωγή

Συχνά, κατά την επίλυση εργασιών USE από το μέρος "C", και ειδικά στις εργασίες C3, υπάρχουν ανισότητες που περιέχουν λογαριθμικές εκφράσεις με ένα άγνωστο στη βάση του λογαρίθμου. Για παράδειγμα, εδώ είναι η τυπική ανισότητα:

Κατά κανόνα, η κλασική μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση τέτοιων εργασιών, δηλαδή εφαρμόζεται η μετάβαση σε ένα ισοδύναμο σύνολο συστημάτων

Με την τυπική προσέγγιση, το παράδειγμα επιλύεται σύμφωνα με το σχήμα: το γινόμενο είναι μικρότερο από το μηδέν, όταν οι παράγοντες έχουν αντίθετα πρόσημα. Δηλαδή, εξετάζεται ένα σύνολο δύο συστημάτων ανισοτήτων, στα οποία κάθε ανισότητα χωρίζεται σε επτά ακόμη. Επομένως, μπορεί να προταθεί μια λιγότερο επίπονη μέθοδος για την επίλυση αυτής της τυπικής ανισότητας. Αυτή είναι μια τεχνική εξορθολογισμού γνωστή στη μαθηματική βιβλιογραφία ως αποσύνθεση.

Ολοκληρώνοντας το έργο, έθεσα τους παρακάτω στόχους :

1) Κατακτήστε αυτήν την τεχνική απόφασης

2) Να εξασκηθούν οι δεξιότητες επίλυσης εργασιών Γ3 από τις εκπαιδευτικές και διαγνωστικές εργασίες το 2013.

Το έργο του έργουείναι η μελέτη της θεωρητικής βάσης της μεθόδου εξορθολογισμού.

Συνάφειατης εργασίας έγκειται στο γεγονός ότι αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να λύσετε με επιτυχία τις λογαριθμικές ανισότητες του μέρους C3 της εξέτασης στα μαθηματικά.

2. Κύριο μέρος

Θεωρήστε μια λογαριθμική ανισότητα της μορφής

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; ύψος γραμμής: 150% ">, (1)

όπου μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt, ύψος γραμμής: 150% "> Η τυπική μέθοδος για την επίλυση μιας τέτοιας ανισότητας περιλαμβάνει την ανάλυση δύο περιπτώσεων στο εύρος των αποδεκτών τιμών της ανισότητας.

Στην πρώτη περίπτωσηόταν οι βάσεις των λογαρίθμων ικανοποιούν την συνθήκη

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; line-height: 150% ">, σχεδιάζεται το σύμβολο της ανισότητας: font-size: 14.0pt; line-height: 150%"> Στη δεύτερη περίπτωση όταν η βάση ικανοποιεί την προϋπόθεση, διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας:.

Με την πρώτη ματιά, όλα είναι λογικά, θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις και στη συνέχεια θα συνδυάσουμε τις απαντήσεις. Είναι αλήθεια ότι όταν εξετάζετε τη δεύτερη περίπτωση, προκύπτει μια συγκεκριμένη ενόχληση - πρέπει να επαναλάβετε τους υπολογισμούς από την πρώτη περίπτωση κατά 90 τοις εκατό (μετασχηματίστε, βρείτε τις ρίζες των βοηθητικών εξισώσεων, προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας του σημείου). Τίθεται ένα φυσικό ερώτημα - είναι δυνατόν να συνδυαστούν όλα αυτά με κάποιο τρόπο;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα περιέχεται στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1. Λογαριθμική ανισότητα

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt, ύψος γραμμής: 150% "> ισοδυναμεί με το ακόλουθο σύστημα ανισότητας :

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; Ύψος γραμμής: 150% "> (2)

Απόδειξη.

1. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι οι τέσσερις πρώτες ανισώσεις του συστήματος (2) ορίζουν το σύνολο των αποδεκτών τιμών της αρχικής λογαριθμικής ανισότητας. Ας στρέψουμε τώρα την προσοχή μας στην πέμπτη ανισότητα. Αν μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt; γραμμή-ύψος: 150% ">, τότε ο πρώτος παράγοντας αυτής της ανισότητας θα είναι αρνητικός. Όταν ακυρώνετε με αυτό, θα πρέπει να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο, τότε θα έχετε την ανισότητα .

Αν , τότε ο πρώτος παράγοντας της πέμπτης ανισότητας είναι θετικός, τον ακυρώνουμε χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο της ανισότητας,παίρνουμε την ανισότηταμέγεθος γραμματοσειράς: 14,0 pt, ύψος γραμμής: 150% ">. Άρα η πέμπτη ανισότητα του συστήματος περιλαμβάνει και τις δύο περιπτώσεις της προηγούμενης μεθόδου.

Το Terem είναι αποδεδειγμένο.

Οι κύριες διατάξεις της θεωρίας της μεθόδου του εξορθολογισμού.

Η μέθοδος εξορθολογισμού είναι η αντικατάσταση μιας σύνθετης έκφρασης F (x ) σε μια πιο απλή έκφραση G (x ) για την οποία η ανισότητα G (x ) EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "> F(Χ ) 0 στον τομέα της έκφρασης F (x).

Ας επισημάνουμε μερικές εκφράσειςφά και τις αντίστοιχες εκλογικευτικές εκφράσεις τους G, όπου u, v,, p, q - εκφράσεις με δύο μεταβλητές ( u> 0; u ≠ 1; v> 0,> 0), ένα - σταθερός αριθμός (ένα > 0, ένα ≠ 1).

	Έκφραση ΣΤ	Έκφραση Γ
		(Α'1) ( v - φ)

1 β

		)
2 β

Απόδειξη

1. Αφήστε λογαβ - λογαφ> 0, αυτό είναι logav> λογαφ,Εξάλλου a> 0, a ≠ 1, v> 0,

φ > 0.

Αν 0< ένα < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Ως εκ τούτου, το σύστημα των ανισοτήτων

ένα -1<0

v – φ < 0

Από πού ακολουθεί η ανισότητα (ένα – 1)( v – φ ) > 0 αληθές στον τομέα της έκφρασηςφά = λογάβ - λογαφ.

Αν ένα > 1, τότε v > φ . Επομένως, η ανισότητα ( ένα – 1)( v – φ )> 0. Αντίθετα, αν η ανισότητα ( ένα – 1)( v – φ )> 0 σχετικά με το εύρος των αποδεκτών τιμών ( ένα > 0, ένα ≠ 1, v> 0, φ> 0),τότε σε αυτή την περιοχή ισοδυναμεί με συνδυασμό δύο συστημάτων.

ένα – 1<0 ένα – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Κάθε σύστημα συνεπάγεται την ανισότηταλογάβ > λογαφ, αυτό είναι λογάβ - λογαφ > 0.

Ομοίως, εξετάζουμε τις ανισότητεςφά< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Αφήστε κάποιο αριθμό ένα> 0 και ένα≠ 1, τότε έχουμε

λογότυπο v- loguφ = EL-US "style =" μέγεθος γραμματοσειράς: 14.0pt; line-height: 150% "> v - 1)( u- 1) (φ -u).

4.Από την ανισότητα υπεριώδες- uφ > 0 πρέπει υπεριώδες > uφ. Έστω a> 1, λοιπόνλογότυπο υπεριώδες > logauφ ή

( u – φ) λογότυπο u > 0.

Ως εκ τούτου, λαμβάνοντας υπόψη την αντικατάσταση 1b και την συνθήκηένα > 1 παίρνουμε

( v – φ)( ένα – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Ομοίως, οι ανισότητεςφά< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Η απόδειξη είναι παρόμοια με την Απόδειξη 4.

6. Η απόδειξη αντικατάστασης 6 προκύπτει από την ισοδυναμία των ανισοτήτων |σ | > | q | και p 2> q 2

(| σ |< | q | и p 2 < q 2 ).

Ας συγκρίνουμε τον όγκο των λύσεων με ανισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή στη βάση του λογαρίθμου χρησιμοποιώντας την κλασική μέθοδο και τη μέθοδο εξορθολογισμού

3. συμπέρασμα

Πιστεύω ότι τα καθήκοντα που έθεσα στον εαυτό μου ενώ έκανα τη δουλειά έχουν επιτευχθεί. Το έργο είναι πρακτικής σημασίας, καθώς η μέθοδος που προτείνεται στην εργασία καθιστά δυνατή τη σημαντική απλοποίηση της επίλυσης των λογαριθμικών ανισοτήτων. Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των υπολογισμών που οδηγούν στην απάντηση μειώνεται περίπου στο μισό, γεγονός που όχι μόνο εξοικονομεί χρόνο, αλλά σας επιτρέπει επίσης να κάνετε λιγότερα αριθμητικά λάθη και λάθη «απροσεξίας». Τώρα, όταν λύνω προβλήματα C3, χρησιμοποιώ αυτήν τη μέθοδο.

4. Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

1. , - Μέθοδοι επίλυσης ανισώσεων με μία μεταβλητή. - 2011.

2. - Ένας οδηγός για τα μαθηματικά. - 1972.

3. - Μαθηματικά για τον υποψήφιο. Μόσχα: MCNMO, 2008.

Yezhova Elena Sergeevna
Θέση:καθηγητής μαθηματικών
Εκπαιδευτικό ίδρυμα: MOU "Γυμνάσιο Νο. 77"
Τοποθεσία:Σαράτοφ
Όνομα υλικού:μεθοδική ανάπτυξη
Θέμα:Η μέθοδος εξορθολογισμού για την επίλυση ανισοτήτων κατά την προετοιμασία για τις εξετάσεις "
Ημερομηνία δημοσίευσης: 16.05.2018
Κεφάλαιο:πλήρης εκπαίδευση

Προφανώς, η ίδια ανισότητα μπορεί να λυθεί με πολλούς τρόπους. Καλή τύχη

με τον επιλεγμένο τρόπο ή, όπως λέγαμε, με ορθολογικό τρόπο, οποιαδήποτε

η ανισότητα θα λυθεί γρήγορα και εύκολα, η επίλυσή της θα αποδειχθεί όμορφη και ενδιαφέρουσα.

Θα ήθελα να εξετάσω λεπτομερέστερα τη λεγόμενη μέθοδο εξορθολογισμού για

επίλυση λογαριθμικών και εκθετικών ανισώσεων, καθώς και ανισώσεων που περιέχουν

μεταβλητή κάτω από το σύμβολο της ενότητας.

Η κύρια ιδέα της μεθόδου.

Η μέθοδος αντικατάστασης παραγόντων χρησιμοποιείται για την επίλυση ανισοτήτων που μειώνονται στη μορφή

Όπου το σύμβολο "

»Δηλώνει ένα από τα τέσσερα πιθανά ζώδια ανισότητας:

Κατά την επίλυση της ανισότητας (1), μας ενδιαφέρει μόνο το πρόσημο οποιουδήποτε παράγοντα στον αριθμητή

ή τον παρονομαστή, και όχι την απόλυτη τιμή του. Επομένως, εάν για κάποιο λόγο εμείς

δεν είναι βολικό να δουλεύεις με αυτόν τον πολλαπλασιαστή, μπορούμε να τον αντικαταστήσουμε με άλλον

συμπίπτει με αυτό στον τομέα του ορισμού της ανισότητας και έχοντας σε αυτόν τον τομέα

τις ίδιες ρίζες.

Αυτό καθορίζει την κύρια ιδέα της μεθόδου αντικατάστασης πολλαπλασιαστή. Είναι σημαντικό να το διορθώσετε

το γεγονός ότι η αντικατάσταση των παραγόντων πραγματοποιείται μόνο εάν η ανισότητα

στη μορφή (1), δηλαδή όταν απαιτείται η σύγκριση του προϊόντος με το μηδέν.

Το κύριο μέρος της αντικατάστασης οφείλεται στις ακόλουθες δύο ισοδύναμες δηλώσεις.

Δήλωση 1. Η συνάρτηση f (x) είναι αυστηρά αύξουσα αν και μόνο αν για

τυχόν τιμές του t

) αγώνες

σημάδι με τη διαφορά (f (t

)), δηλαδή στ<=>(τ

(↔ σημαίνει σύμπτωση)

Δήλωση 2. Η συνάρτηση f (x) είναι αυστηρά φθίνουσα εάν και μόνο εάν για

τυχόν τιμές του t

από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, η διαφορά (t

) αγώνες

σημάδι με τη διαφορά (f (t

)), δηλαδή f ↓<=>(τ

Η τεκμηρίωση αυτών των δηλώσεων προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του αυστηρά

μονότονη λειτουργία. Σύμφωνα με αυτές τις δηλώσεις, μπορεί να διαπιστωθεί ότι

Η διαφορά στις μοίρες κατά μήκος της ίδιας βάσης συμπίπτει πάντα σε πρόσημο με

το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ των δεικτών αυτών των βαθμών από την απόκλιση της βάσης από το ένα,

Η διαφορά στους λογάριθμους στην ίδια βάση συμπίπτει πάντα σε πρόσημο με

από το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ των αριθμών αυτών των λογαρίθμων από την απόκλιση της βάσης από τη μονάδα, τότε

Το γεγονός ότι η διαφορά των μη αρνητικών μεγεθών συμπίπτει σε πρόσημο με τη διαφορά

τετράγωνα αυτών των ποσοτήτων, επιτρέπει τις ακόλουθες αντικαταστάσεις:

Λύστε την ανισότητα

Λύση.

Ας προχωρήσουμε σε ένα ισοδύναμο σύστημα:

Από την πρώτη ανισότητα παίρνουμε

Η δεύτερη ανισότητα ισχύει για όλους

Από την τρίτη ανισότητα παίρνουμε

Έτσι, το σύνολο των λύσεων στην αρχική ανισότητα:

Λύστε την ανισότητα

Λύση.

Ας λύσουμε την ανισότητα:

Απάντηση: (−4; −3)

Λύστε την ανισότητα

Ας μειώσουμε την ανισότητα σε μια μορφή στην οποία η διαφορά στις τιμές του λογαριθμικού

Αντικαταστήστε τη διαφορά στις τιμές της λογαριθμικής συνάρτησης με τη διαφορά στις τιμές του ορίσματος. V

η συνάρτηση αυξάνεται στον αριθμητή και μειώνεται στον παρονομαστή, επομένως το πρόσημο της ανισότητας

θα αλλάξει στο αντίθετο. Είναι σημαντικό να μην ξεχάσετε να λάβετε υπόψη το εύρος του ορισμού

λογαριθμική συνάρτηση· επομένως, αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα ανισώσεων.

Ρίζες αριθμητή: 8; οκτώ;

Ρίζα παρονομαστή: 1

Λύστε την ανισότητα

Αντικαθιστούμε στον αριθμητή τη διαφορά των απόλυτων τιμών δύο συναρτήσεων με τη διαφορά των τετραγώνων τους και σε

ο παρονομαστής είναι η διαφορά των τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης από τη διαφορά των ορισμάτων.

Στον παρονομαστή, η συνάρτηση είναι φθίνουσα, πράγμα που σημαίνει ότι το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει σε

απεναντι απο.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το πεδίο ορισμού του λογαριθμικού

Λύνουμε την πρώτη ανισότητα με τη μέθοδο των διαστημάτων.

Ρίζες αριθμητή:

Ρίζες παρονομαστή:

Λύστε την ανισότητα

Αντικαθιστούμε στον αριθμητή και στον παρονομαστή τη διαφορά μεταξύ των τιμών των μονότονων συναρτήσεων με τη διαφορά

τις τιμές των ορισμάτων, λαμβάνοντας υπόψη τον τομέα ορισμού των συναρτήσεων και τη φύση της μονοτονίας.

Ρίζες αριθμητή:

Ρίζες παρονομαστή:

Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες αντικαταστάσεις (εξαιρουμένου του O D Z).

α) Αντικατάσταση σταθερών παραγόντων πρόσημου.

β) Αντικατάσταση μη σταθερών πολλαπλασιαστών με τη μονάδα.

γ) Αντικατάσταση μη σταθερών παραγόντων με εκθετικούς και λογαριθμικούς

εκφράσεις.

Λύση. ODZ:

Αντικατάσταση πολλαπλασιαστών:

Έχουμε ένα σύστημα:

Σε αυτή την ανισότητα οι παράγοντες

θεωρούνται ως διαφορές μη αρνητικών μεγεθών, αφού οι εκφράσεις 1

Το ODZ μπορεί να λάβει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές.

Έχουμε ένα σύστημα:

Αντικατάσταση πολλαπλασιαστών:

Έχουμε ένα σύστημα:

Αντικατάσταση πολλαπλασιαστών:

Έχουμε ένα σύστημα:

Αντικατάσταση πολλαπλασιαστών:

Έχουμε ένα σύστημα:

Ως αποτέλεσμα, έχουμε: x

Μέθοδος εξορθολογισμού(μέθοδος αποσύνθεσης, μέθοδος αντικατάστασης πολλαπλασιαστή, μέθοδος αντικατάστασης

λειτουργίες, ο κανόνας των σημείων) είναι η αντικατάσταση της μιγαδικής έκφρασης F (x) με ένα περισσότερο

μια απλή παράσταση G (x) για την οποία η ανισότητα G (x)

Το 0 είναι ισοδύναμο με την ανισότητα F (x

0 στο πεδίο της έκφρασης F (x).

Ενότητες: Μαθηματικά

Η πρακτική του ελέγχου των εξεταστικών γραπτών δείχνει ότι η μεγαλύτερη δυσκολία για τους μαθητές είναι η επίλυση των υπερβατικών ανισοτήτων, ιδιαίτερα των λογαριθμικών ανισοτήτων με μεταβλητή βάση. Επομένως, η περίληψη του μαθήματος που παρουσιάζεται στην προσοχή σας είναι μια παρουσίαση της μεθόδου εξορθολογισμού (άλλα ονόματα είναι η μέθοδος αποσύνθεσης (Modenov VP), η μέθοδος αντικατάστασης παραγόντων (Golubev VI)), η οποία σας επιτρέπει να μειώσετε πολύπλοκα λογαριθμικά, εκθετικά , συνδύασε τις ανισότητες σε ένα σύστημα απλούστερων ορθολογικών ανισοτήτων. Κατά κανόνα, η μέθοδος των διαστημάτων που εφαρμόζεται στις ορθολογικές ανισότητες μέχρι τη στιγμή της μελέτης του θέματος "Επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων" είναι καλά κατακτημένη και επεξεργασμένη. Επομένως, οι μαθητές με μεγάλο ενδιαφέρον και ενθουσιασμό αποδέχονται εκείνες τις μεθόδους που τους επιτρέπουν να απλοποιήσουν τη λύση, να τη συντομεύσουν και, τελικά, να εξοικονομήσουν χρόνο στην εξέταση για την επίλυση άλλων εργασιών.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός: ενημέρωση βασικών γνώσεων κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισοτήτων. εισαγωγή ενός νέου τρόπου επίλυσης των ανισοτήτων. βελτίωση των δεξιοτήτων επίλυσης
Ανάπτυξη: ανάπτυξη μαθηματικών οριζόντων, μαθηματικός λόγος, αναλυτική σκέψη
Εκπαιδευτικός: εκπαίδευση ακρίβειας και αυτοελέγχου.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1. Οργανωτική στιγμή.Χαιρετίσματα. Καθορισμός των στόχων του μαθήματος.

2. Προπαρασκευαστικό στάδιο:

Λύστε ανισότητες:

3. Έλεγχος της εργασίας(Αρ. 11.81 * α)

Κατά την επίλυση της ανισότητας

Έπρεπε να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σχήμα για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων με μεταβλητή βάση:

Εκείνοι. Πρέπει να ληφθούν υπόψη 2 περιπτώσεις: η βάση είναι μεγαλύτερη από 1 ή η βάση είναι μικρότερη από 1.

4. Επεξήγηση του νέου υλικού

Αν κοιτάξετε προσεκτικά αυτούς τους τύπους, θα παρατηρήσετε ότι το σημάδι της διαφοράς σολ(Χ) – η(Χ) ταιριάζει με το πρόσημο του αρχείου καταγραφής διαφορών φά(Χ) σολ(Χ) - ημερολόγιο φά(Χ) η(Χ) στην περίπτωση μιας αυξανόμενης συνάρτησης ( φά(Χ)> 1, δηλ. φά(Χ) - 1> 0) και είναι αντίθετο με το πρόσημο του ημερολογίου διαφορών φά(Χ) σολ(Χ) - ημερολόγιο φά(Χ) η(Χ) στην περίπτωση μιας φθίνουσας συνάρτησης (0< φά(Χ) < 1, т.е. φά(Χ) – 1 < 0)

Επομένως, αυτό το σύνολο μπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων:

Αυτή είναι η ουσία της μεθόδου εξορθολογισμού - η αντικατάσταση της πιο σύνθετης έκφρασης Α με μια απλούστερη έκφραση Β, η οποία είναι ορθολογική. Σε αυτήν την περίπτωση, η ανισότητα V V 0 θα είναι ισοδύναμη με την ανισότητα A V 0 στο πεδίο ορισμού της παράστασης A.

Παράδειγμα 1.Ας ξαναγράψουμε την ανισότητα ως ισοδύναμο σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων.

Σημειώστε ότι οι συνθήκες (1) - (4) είναι οι συνθήκες για το πεδίο της ανισότητας, τις οποίες προτείνω να βρείτε στην αρχή της λύσης.

Παράδειγμα 2.Επίλυση της ανισότητας με τη μέθοδο εξορθολογισμού:

Το πεδίο της ανισότητας καθορίζεται από τις συνθήκες:

Παίρνουμε:

Μένει να γράψουμε την ανισότητα (5)

Λαμβάνοντας υπόψη το πεδίο ορισμού

Απάντηση: (3; 5)

5. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης

I. Να γράψετε την ανισότητα ως σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων:

II. Φανταστείτε τη δεξιά πλευρά της ανισότητας ως τον λογάριθμο στη βάση που απαιτείται και μεταβείτε στο ισοδύναμο σύστημα:

Ο δάσκαλος καλεί τους μαθητές που έχουν γράψει τα συστήματα από τις ομάδες I και II στον πίνακα και προσφέρει σε έναν από τους πιο δυνατούς μαθητές να λύσει την οικιακή ανισότητα (Αρ. 11.81 * α) με εξορθολογισμό.

6. Εργασίες επαλήθευσης

Επιλογή 1

Επιλογή 2

1. Γράψτε ένα σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων για την επίλυση ανισώσεων:

2. Λύστε την ανισότητα με εξορθολογισμό

Κριτήρια βαθμολόγησης:

3-4 βαθμοί - "ικανοποιητικό"?
5-6 βαθμοί - "καλό"?
7 βαθμοί - «άριστα».

7. Αντανάκλαση

Απαντήστε στην ερώτηση: ποια από τις γνωστές μεθόδους για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων με μεταβλητή βάση θα σας επιτρέψει να χρησιμοποιήσετε πιο αποτελεσματικά τον χρόνο σας στις εξετάσεις;

8. Εργασία για το σπίτι:№№ 11,80 * (a, b), 11,81 * (a, b), 11,84 * (a, b) για την επίλυση της μεθόδου εξορθολογισμού.

Βιβλιογραφία:

Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. Για 11 cl. γενική εκπαίδευση. Ιδρύματα / [Σ.Μ. Νικόλσκι, Μ.Κ. Ποταπόφ, Ν.Ν. Reshetnikov, A.V. Shevkin] - 5η έκδ. - M .: Εκπαίδευση, JSC "Εγχειρίδια της Μόσχας", 2006.
Ο Α.Γ. Koryanov, A.A. Προκόφιεφ... Υλικό μαθήματος «Προετοιμασία καλών μαθητών για την Ενιαία Κρατική Εξέταση»: διαλέξεις 1-4. - Μ .: Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο «Πρώτη Σεπτέμβρη», 2012.

Ενότητες: Μαθηματικά

Συχνά, κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, υπάρχουν προβλήματα με μια μεταβλητή βάση του λογαρίθμου. Άρα, μια ανισότητα της μορφής

είναι μια τυπική σχολική ανισότητα. Κατά κανόνα, για την επίλυσή του, εφαρμόζεται μια μετάβαση σε ένα ισοδύναμο σύνολο συστημάτων:

Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η ανάγκη επίλυσης επτά ανισοτήτων, χωρίς να υπολογίζονται δύο συστήματα και ένα σύνολο. Ήδη με δεδομένες τετραγωνικές συναρτήσεις, η επίλυση ενός συνόλου μπορεί να είναι χρονοβόρα.

Μπορεί να προταθεί ένας εναλλακτικός, λιγότερο επίπονος τρόπος επίλυσης αυτής της τυπικής ανισότητας. Για αυτό, λαμβάνουμε υπόψη το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 1. Έστω μια συνεχής αύξουσα συνάρτηση στο σύνολο X. Τότε σε αυτό το σύνολο το πρόσημο της αύξησης της συνάρτησης θα συμπίπτει με το πρόσημο της αύξησης του ορίσματος, δηλαδή, , που .

Σημείωση: εάν μια συνεχής φθίνουσα συνάρτηση στο σύνολο X, τότε.

Ας επιστρέψουμε στην ανισότητα. Ας πάμε στον δεκαδικό λογάριθμο (μπορείτε να πάτε σε οποιονδήποτε με σταθερή βάση μεγαλύτερη από μία).

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα, σημειώνοντας στον αριθμητή την αύξηση των συναρτήσεων και στον παρονομαστή. Άρα είναι αλήθεια

Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των υπολογισμών που οδηγούν στην απάντηση μειώνεται περίπου στο μισό, γεγονός που όχι μόνο εξοικονομεί χρόνο, αλλά σας επιτρέπει επίσης να κάνετε λιγότερα αριθμητικά λάθη και λάθη «απροσεξίας».

Παράδειγμα 1.

Συγκρίνοντας με το (1) βρίσκουμε , , .

Περνώντας στο (2) θα έχουμε:

Παράδειγμα 2.

Συγκρίνοντας με το (1) βρίσκουμε,,.

Περνώντας στο (2) θα έχουμε:

Παράδειγμα 3.

Δεδομένου ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση για και , τότε ορίζεται η απάντηση.

Το σύνολο των παραδειγμάτων στα οποία μπορεί να εφαρμοστεί το Θεώρημα 1 μπορεί εύκολα να επεκταθεί εάν ληφθεί υπόψη το Θεώρημα 2.

Αφήστε στο σετ Χσυναρτήσεις,,, και σε αυτό το σύνολο τα σημάδια και συμπίπτουν, δηλ. τότε θα είναι δίκαιο.

Παράδειγμα 4.

Παράδειγμα 5.

Με την τυπική προσέγγιση, το παράδειγμα επιλύεται σύμφωνα με το σχήμα: το γινόμενο είναι μικρότερο από το μηδέν, όταν οι παράγοντες έχουν αντίθετα πρόσημα. Εκείνοι. εξετάζεται το σύνολο των δύο συστημάτων ανισοτήτων, στα οποία, όπως αναφέρθηκε στην αρχή, κάθε ανισότητα χωρίζεται σε επτά ακόμη.

Αν λάβουμε υπόψη το Θεώρημα 2, τότε καθένας από τους παράγοντες, λαμβάνοντας υπόψη τον (2), μπορεί να αντικατασταθεί από μια άλλη συνάρτηση που έχει το ίδιο πρόσημο σε αυτό το παράδειγμα O.D.Z.

Η μέθοδος αντικατάστασης της αύξησης μιας συνάρτησης με μια αύξηση του ορίσματος, λαμβάνοντας υπόψη το Θεώρημα 2, αποδεικνύεται πολύ βολική κατά την επίλυση τυπικών προβλημάτων C3 της εξέτασης.

Παράδειγμα 6.

Παράδειγμα 7.

... Ας υποδηλώσουμε. Παίρνουμε

... Σημειώστε ότι η αντικατάσταση συνεπάγεται:. Επιστρέφοντας στην εξίσωση, παίρνουμε .

Παράδειγμα 8.

Στα θεωρήματα που χρησιμοποιούμε, δεν υπάρχει περιορισμός στις κλάσεις των συναρτήσεων. Σε αυτό το άρθρο, για παράδειγμα, τα θεωρήματα έχουν εφαρμοστεί στην επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων. Τα επόμενα παραδείγματα θα δείξουν την υπόσχεση της μεθόδου για την επίλυση άλλων τύπων ανισοτήτων.

Η μέθοδος εξορθολογισμού σάς επιτρέπει να μετακινηθείτε από την ανισότητα που περιέχει μιγαδικές εκθετικές, λογαριθμικές κ.λπ. εκφράσεις στην ισοδύναμη απλούστερη ορθολογική της ανισότητα.

Πριν αρχίσουμε λοιπόν να μιλάμε για εξορθολογισμό στις ανισότητες, ας μιλήσουμε για την ισοδυναμία.

Ισοδυναμίας

Ισοδύναμο ή ισοδύναμοονομάζονται εξισώσεις (ανισώσεις), των οποίων τα σύνολα των ριζών συμπίπτουν. Ισοδύναμες θεωρούνται και οι εξισώσεις (ανισώσεις) που δεν έχουν ρίζες.

Παράδειγμα 1.Οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες, αφού έχουν τις ίδιες ρίζες.

Παράδειγμα 2.Οι εξισώσεις και είναι επίσης ισοδύναμες, αφού η λύση σε καθεμία από αυτές είναι το κενό σύνολο.

Παράδειγμα 3.Ανισότητες και είναι ισοδύναμες, αφού η λύση και στα δύο είναι πολλές.

Παράδειγμα 4.και - είναι άνισοι. Η λύση στη δεύτερη εξίσωση είναι μόνο 4 και η λύση της πρώτης είναι και 4 και 2.

Παράδειγμα 5.Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την ανισότητα, αφού και στις δύο ανισότητες - η λύση είναι 6.

Δηλαδή, οι ισοδύναμες ανισότητες (εξισώσεις) στην εμφάνιση μπορεί να απέχουν αρκετά από την ομοιότητα.

Στην πραγματικότητα, όταν λύνουμε μιγαδικές, μεγάλες εξισώσεις (ανισώσεις) όπως αυτή, και παίρνουμε την απάντηση, δεν έχουμε στα χέρια μας τίποτα περισσότερο από μια εξίσωση (ανισότητα) που είναι ισοδύναμη με την αρχική. Η θέα είναι διαφορετική, αλλά η ουσία είναι η ίδια!

Παράδειγμα 6.Ας θυμηθούμε πώς αντιμετωπίσαμε την ανισότητα πριν γνωρίσετε τη μέθοδο του διαστήματος... Αντικαταστήσαμε την αρχική ανισότητα με ένα σύνολο δύο συστημάτων:

Δηλαδή, η ανισότητα και το τελευταίο σύνολο είναι ισοδύναμα μεταξύ τους.

Επίσης, θα μπορούσαμε, έχοντας στα χέρια μας το συγκεντρωτικό

αντικαταστήστε το με μια ανισότητα, η οποία μπορεί να λυθεί σε χρόνο μηδέν με τη μέθοδο των διαστημάτων.

Έχουμε πλησιάσει τη μέθοδο του εξορθολογισμού στις λογαριθμικές ανισότητες.

Μέθοδος εξορθολογισμού σε λογαριθμικές ανισώσεις

Σκεφτείτε την ανισότητα.

Αντιπροσωπεύουμε το 4 ως λογάριθμο:

Έχουμε να κάνουμε με μεταβλητή βάση του λογαρίθμου, επομένως, ανάλογα με το αν η βάση του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη από 1 ή μικρότερη από 1 (δηλαδή έχουμε να κάνουμε με συνάρτηση αύξουσα ή φθίνουσα), το πρόσημο της ανισότητας θα παραμείνει ή αλλάζω σε "". Επομένως, προκύπτει ένας συνδυασμός (ένωση) δύο συστημάτων:

Όμως, ΠΡΟΣΟΧΗ, αυτό το σύστημα πρέπει να λυθεί λαμβάνοντας υπόψη το OHS! Δεν φόρτωσα επίτηδες το σύστημα ODZ για να μην χαθεί η κύρια ιδέα.

Κοιτάξτε, τώρα θα ξαναγράψουμε το σύστημά μας έτσι (θα μεταφέρουμε τα πάντα σε κάθε γραμμή ανισότητας στην αριστερή πλευρά):

Σας θυμίζει κάτι αυτό; Κατ' αναλογία με παράδειγμα 6αντικαθιστούμε αυτό το σύνολο συστημάτων με την ανισότητα:

Έχοντας λύσει αυτήν την ανισότητα στο ODZ, θα λάβουμε μια λύση στην ανισότητα.

Ας βρούμε πρώτα το ODV της αρχικής ανισότητας:

Τώρα ας αποφασίσουμε

Λύση της τελευταίας ανισότητας, λαμβάνοντας υπόψη το DHS:

Να, λοιπόν, αυτό το «μαγικό» τραπέζι:

Σημειώστε ότι ο πίνακας λειτουργεί υπό τις προϋποθέσεις

πού είναι οι συναρτήσεις του,

- συνάρτηση ή αριθμός,

- ένα από τα σημάδια

Σημειώστε επίσης ότι η δεύτερη και η τρίτη γραμμή του πίνακα είναι συνέπειες της πρώτης. Στη δεύτερη γραμμή το 1 αντιπροσωπεύεται πριν ως, και στην τρίτη - το 0 αναπαρίσταται ως.

Και μερικές ακόμη χρήσιμες συνέπειες (ελπίζω να καταλάβετε εύκολα από πού προέρχονται):

πού είναι οι συναρτήσεις του,

- συνάρτηση ή αριθμός,

- ένα από τα σημάδια

Μέθοδος εξορθολογισμού σε εκθετικές ανισώσεις

Ας λύσουμε την ανισότητα.

Η επίλυση της αρχικής ανισότητας ισοδυναμεί με την επίλυση της ανισότητας

Απάντηση: .

Πίνακας για εξορθολογισμό σε εκθετικές ανισότητες:

- συναρτήσεις από, - συνάρτηση ή αριθμός, - ένα από τα σύμβολα Ο πίνακας λειτουργεί υπό όρους. Επίσης στην τρίτη, τέταρτη γραμμή - επιπλέον -

Και πάλι, στην πραγματικότητα, πρέπει να απομνημονεύσετε την πρώτη και την τρίτη γραμμή του πίνακα. Η δεύτερη γραμμή είναι μια ειδική περίπτωση της πρώτης και η τέταρτη γραμμή είναι μια ειδική περίπτωση της τρίτης.