Έστω x ένας αυθαίρετος σημείο πάγου σε κάποια γειτονιά ενός σταθερού σημείου x 0. η διαφορά x - x 0 συνήθως ονομάζεται αύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής (ή αύξηση του ορίσματος) στο σημείο x 0 και συμβολίζεται με Δx. Με αυτόν τον τρόπο,

Δx = x –x 0,

απ' όπου προκύπτει ότι

Αύξηση συνάρτησης -τη διαφορά μεταξύ των δύο τιμών της συνάρτησης.

Αφήστε τη λειτουργία στο = f (x), ορίζεται όταν η τιμή του ορίσματος είναι ίση με Χ 0. Δώστε στο όρισμα μια αύξηση D Χ, ᴛ.ᴇ. θεωρήστε την τιμή του επιχειρήματος ίση Χ 0 + Δ Χ... Ας υποθέσουμε ότι αυτή η τιμή ορίσματος βρίσκεται επίσης στο πεδίο εφαρμογής αυτής της συνάρτησης. Τότε η διαφορά Δ y = f (x 0 + Δ Χ) – f (x 0)είναι σύνηθες να καλούμε τη συνάρτηση προσαύξηση. Αύξηση συνάρτησης φά(Χ) στο σημείο Χείναι μια συνάρτηση που συνήθως συμβολίζεται με Δ x στστη νέα μεταβλητή Δ Χοριζεται ως

Δ x στ(Δ Χ) = φά(Χ + Δ Χ) − φά(Χ).

Να βρείτε την αύξηση του ορίσματος και την αύξηση της συνάρτησης στο σημείο x 0, αν

Παράδειγμα 2. Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης f (x) = x 2, αν x = 1, ∆x = 0,1

Λύση: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Αντικαθιστώντας τις τιμές x = 1 και ∆x = 0,1, παίρνουμε Δf = 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 = 0,2 + 0,01 = 0,21

Βρείτε την αύξηση του ορίσματος και την αύξηση της συνάρτησης στο σημείο x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2,4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0,8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Ορισμός: Παράγωγοσυνάρτηση σε ένα σημείο, συνηθίζεται να καλούμε το όριο (αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο) του λόγου της συνάρτησης προσαύξηση προς το όρισμα προσαύξηση, με την προϋπόθεση ότι το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Οι παρακάτω ονομασίες παραγώγων χρησιμοποιούνται συχνότερα:

Με αυτόν τον τρόπο,

Η εύρεση της παραγώγου συνήθως ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση ... Εισήχθη ορισμός της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης: Μια συνάρτηση f που έχει μια παράγωγο σε κάθε σημείο ενός συγκεκριμένου διαστήματος συνήθως ονομάζεται διαφοροποιήσιμη σε ένα δεδομένο διάστημα.

Ας οριστεί μια συνάρτηση σε κάποια γειτονιά ενός σημείου. U(Χ 0) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

φά(Χ 0 + η) = φά(Χ 0) + Αχ + ο(η)

αν υπάρχει.

Προσδιορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Αφήστε τη λειτουργία f (x)που ορίζεται στο διάστημα (α; β), και είναι τα σημεία αυτού του διαστήματος.

Ορισμός... Παράγωγη συνάρτηση f (x)σε ένα σημείο, συνηθίζεται να καλούμε το όριο του λόγου της συνάρτησης προσαύξηση προς το όρισμα αύξηση στο. Υποδεικνύεται.

Όταν το τελευταίο όριο παίρνει μια συγκεκριμένη τελική αξία, τότε μιλούν για την ύπαρξη η τελική παράγωγος στο σημείο... Αν το όριο είναι άπειρο, τότε το λένε η παράγωγος είναι άπειρη σε ένα δεδομένο σημείο... Αν το όριο δεν υπάρχει, τότε η παράγωγος της συνάρτησης δεν υπάρχει σε αυτό το σημείο.

Λειτουργία f (x)ονομάζεται διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο που έχει πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό.

Εάν η συνάρτηση f (x)διαφοροποιήσιμο σε κάθε σημείο κάποιου διαστήματος (α; β), τότε η συνάρτηση ονομάζεται διαφοροποιήσιμη σε αυτό το διάστημα. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, οποιοδήποτε σημείο Χαπό το ενδιάμεσο (α; β)μπορούμε να συσχετίσουμε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, δηλαδή έχουμε την ευκαιρία να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση, η οποία ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης f (x)στο μεσοδιάστημα (α; β).

Η λειτουργία εύρεσης παραγώγου συνήθως ονομάζεται διαφοροποίηση.

1. προσαύξηση ορίσματος και αύξηση συνάρτησης.

Ας δοθεί μια συνάρτηση. Ας πάρουμε δύο τιμές του ορίσματος: αρχική και τροποποιείται, που συνήθως συμβολίζεται
, που - καλείται η τιμή με την οποία αλλάζει το όρισμα κατά τη μετάβαση από την πρώτη τιμή στη δεύτερη αυξάνοντας το όρισμα.

Τιμές ορίσματος και αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης: αρχική και τροποποιήθηκε
, η αξία , με το οποίο η τιμή της συνάρτησης αλλάζει όταν το όρισμα αλλάζει κατά ένα ποσό, καλείται με την αύξηση της συνάρτησης.

2. η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Αριθμός ονομάζεται όριο της συνάρτησης
όταν τείνει να εάν για οποιοδήποτε αριθμό
υπάρχει τέτοιος αριθμός
αυτό για όλους
ικανοποιώντας την ανισότητα
, η ανισότητα
.

Δεύτερος ορισμός: Ένας αριθμός ονομάζεται το όριο μιας συνάρτησης που τείνει προς, εάν για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχει μια γειτονιά του σημείου τέτοια ώστε για οποιαδήποτε από αυτήν τη γειτονιά. Σημειώνεται
.

3. απείρως μεγάλες και απειροελάχιστες συναρτήσεις σε ένα σημείο. Μια απειροελάχιστη συνάρτηση σε ένα σημείο είναι μια συνάρτηση της οποίας το όριο όταν τείνει σε ένα δεδομένο σημείο είναι μηδέν. Μια απείρως μεγάλη συνάρτηση σε ένα σημείο είναι μια συνάρτηση της οποίας το όριο όταν τείνει σε ένα δεδομένο σημείο είναι ίσο με το άπειρο.

4. κύρια θεωρήματα για τα όρια και τις συνέπειές τους (χωρίς απόδειξη).

συνέπεια: ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το οριακό πρόσημο:

Αν οι ακολουθίες και συγκλίνουν και το όριο της ακολουθίας είναι μη μηδενικό, λοιπόν

συνέπεια: ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το οριακό πρόσημο.

11.αν υπάρχουν όρια συναρτήσεων
και
και το όριο της συνάρτησης είναι μη μηδενικό,

τότε υπάρχει και ένα όριο της αναλογίας τους, ίσο με το λόγο των ορίων των συναρτήσεων και:

.

12.αν
, τότε
, ισχύει και το αντίστροφο.

13. θεώρημα για το όριο της ενδιάμεσης ακολουθίας. Αν οι ακολουθίες
συγκλίνοντας, και
και
τότε

5. το όριο της συνάρτησης στο άπειρο.

Ο αριθμός a ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο (καθώς το x τείνει στο άπειρο) εάν για οποιαδήποτε ακολουθία τείνει στο άπειρο
αντιστοιχεί μια ακολουθία τιμών που τείνουν προς τον αριθμό ένα.

6. g είναι τα όρια μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμός έναονομάζεται όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε για όλους n> Νη ανισότητα ισχύει
.

Αυτό συμβολικά ορίζεται ως εξής:
έκθεση .

Το γεγονός ότι ο αριθμός έναείναι το όριο της ακολουθίας, που συμβολίζεται ως εξής:

.

7. τον αριθμό «ε». φυσικούς λογάριθμους.

Αριθμός "ΜΙ" αντιπροσωπεύει το όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας, n- μέλος του οποίου
, δηλ.

.

Φυσικός λογάριθμος - λογάριθμος με βάση μι. συμβολίζονται φυσικοί λογάριθμοι
χωρίς να προσδιορίζεται η βάση.

Αριθμός
σας επιτρέπει να μεταβείτε από το δεκαδικό σε φυσικό λογάριθμο και πίσω.

, ονομάζεται συντελεστής μετάβασης από τους φυσικούς λογάριθμους στο δεκαδικό.

8. αξιοσημείωτα όρια
,

.

Πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

έτσι στο

από το οριακό θεώρημα της ενδιάμεσης ακολουθίας

δεύτερο αξιοσημείωτο όριο:

.

Να αποδείξει την ύπαρξη του ορίου
χρησιμοποιήστε το λήμμα: για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό
και
η ανισότητα είναι αλήθεια
(2) (για
ή
η ανισότητα μετατρέπεται σε ισότητα.)

Η ακολουθία (1) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

.

Τώρα εξετάστε μια βοηθητική ακολουθία με έναν κοινό όρο
βεβαιωθείτε ότι μειώνεται και οριοθετείται από κάτω:
αν
, τότε η ακολουθία μειώνεται. Αν
, τότε η ακολουθία οριοθετείται από κάτω. Ας δείξουμε αυτό:

λόγω ισότητας (2)

δηλ.
ή
... Δηλαδή, η ακολουθία είναι φθίνουσα, αφού η ακολουθία είναι οριοθετημένη από κάτω. Αν η ακολουθία είναι φθίνουσα και οριοθετημένη από κάτω, τότε έχει ένα όριο. Τότε

έχει όριο και ακολουθία (1), αφού

και
.

Ο L. Euler ονόμασε αυτό το όριο .

9. μονόπλευρα όρια, κενό συνάρτησης.

Ο αριθμός Α είναι το αριστερό όριο εάν ισχύει το ακόλουθο για οποιαδήποτε ακολουθία:.

Ο αριθμός Α είναι το σωστό όριο εάν ισχύει το ακόλουθο για οποιαδήποτε ακολουθία:.

Αν στο σημείο έναπου ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή του ορίου της, παραβιάζεται η συνθήκη συνέχειας της συνάρτησης, τότε το σημείο έναονομάζεται σημείο ασυνέχειας ή ασυνέχεια μιας συνάρτησης.

12. το άθροισμα των μελών μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία η σχέση μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων μελών παραμένει αμετάβλητη, αυτή η σχέση ονομάζεται παρονομαστής της προόδου. Το άθροισμα του πρώτου nμέλη μιας γεωμετρικής προόδου εκφράζεται με τον τύπο
Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο - μια πρόοδο στην οποία η απόλυτη τιμή του παρονομαστή της είναι μικρότερη από το μηδέν. - το πρώτο μέλος· - ο παρονομαστής της εξέλιξης· - ο αριθμός του ληφθέντος μέλους της ακολουθίας. Το άθροισμα μιας άπειρης φθίνουσας προόδου είναι ένας αριθμός στον οποίο το άθροισμα των πρώτων μελών μιας φθίνουσας προόδου πλησιάζει χωρίς όριο με απεριόριστη αύξηση του αριθμού.
τότε. Το άθροισμα των όρων μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι .

Ορισμός 1

Εάν για κάθε ζεύγος $ (x, y) $ τιμών δύο ανεξάρτητων μεταβλητών από μια συγκεκριμένη περιοχή συσχετίζεται μια συγκεκριμένη τιμή $ z $, τότε το $ z $ λέγεται ότι είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών $ (x, y) $. Σημείωση: $ z = f (x, y) $.

Όσον αφορά τη συνάρτηση $ z = f (x, y) $, εξετάστε τις έννοιες των γενικών (πλήρης) και των μερικών προσαυξήσεων μιας συνάρτησης.

Έστω μια συνάρτηση $ z = f (x, y) $ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών $ (x, y) $.

Παρατήρηση 1

Εφόσον οι μεταβλητές $ (x, y) $ είναι ανεξάρτητες, η μία από αυτές μπορεί να αλλάξει, ενώ η άλλη παραμένει σταθερή.

Ας δώσουμε στη μεταβλητή $ x $ μια αύξηση $ \ Delta x $, διατηρώντας την τιμή της μεταβλητής $ y $ αμετάβλητη.

Τότε η συνάρτηση $ z = f (x, y) $ θα λάβει μια αύξηση, η οποία θα ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με τη μεταβλητή $ x $. Ονομασία:

Ομοίως, ας δώσουμε στη μεταβλητή $ y $ μια αύξηση $ \ Delta y $, διατηρώντας την τιμή της μεταβλητής $ x $ αμετάβλητη.

Τότε η συνάρτηση $ z = f (x, y) $ θα λάβει μια αύξηση, η οποία θα ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με τη μεταβλητή $ y $. Ονομασία:

Εάν στο όρισμα $ x $ δοθεί η αύξηση $ \ Δέλτα x $, και στο όρισμα $ y $ - η αύξηση $ \ Δέλτα y $, τότε η πλήρης αύξηση της δεδομένης συνάρτησης $ z = f (x, y) $ είναι λαμβάνεται. Ονομασία:

Έτσι, έχουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) z = f (x + \ Δέλτα x, y) -f (x, y) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ x $;

$ \ Δέλτα _ (y) z = f (x, y + \ Δέλτα y) -f (x, y) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ y $;

$ \ Δέλτα z = f (x + \ Δέλτα x, y + \ Δέλτα y) -f (x, y) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $.

Παράδειγμα 1

Λύση:

$ \ Δέλτα _ (x) z = x + \ Δέλτα x + y $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ x $;

$ \ Δέλτα _ (y) z = x + y + \ Δέλτα y $ είναι η μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ y $.

$ \ Δέλτα z = x + \ Δέλτα x + y + \ Δέλτα y $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το πηλίκο και τη συνολική αύξηση της συνάρτησης $ z = xy $ στο σημείο $ (1; 2) $ για $ \ Δέλτα x = 0,1; \, \, \ Δέλτα y = 0,1 $.

Λύση:

Με τον ορισμό της ιδιωτικής προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) z = (x + \ Δέλτα x) \ cdot y $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ x $

$ \ Δέλτα _ (y) z = x \ cdot (y + \ Δέλτα y) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ y $;

Με τον ορισμό της πλήρους προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα z = (x + \ Δέλτα x) \ cdot (y + \ Δέλτα y) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $.

Ως εκ τούτου,

\ [\ Δέλτα _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ Δέλτα _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Δέλτα z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Παρατήρηση 2

Η συνολική αύξηση μιας δεδομένης συνάρτησης $ z = f (x, y) $ δεν είναι ίση με το άθροισμα των μερικών της αυξήσεων $ \ Δέλτα _ (x) z $ και $ \ Δέλτα _ (y) z $. Μαθηματικός συμβολισμός: $ \ Δέλτα z \ ne \ Δέλτα _ (x) z + \ Δέλτα _ (y) z $.

Παράδειγμα 3

Ελέγξτε την παρατήρηση για λειτουργία

Λύση:

$ \ Δέλτα _ (x) z = x + \ Δέλτα x + y $; $ \ Δέλτα _ (y) z = x + y + \ Δέλτα y $; $ \ Δέλτα z = x + \ Δέλτα x + y + \ Δέλτα y $ (που λαμβάνεται στο παράδειγμα 1)

Να βρείτε το άθροισμα των μερικών αυξήσεων της δεδομένης συνάρτησης $ z = f (x, y) $

\ [\ Δέλτα _ (x) z + \ Δέλτα _ (y) z = x + \ Δέλτα x + y + (x + y + \ Δέλτα y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Δέλτα x + \ Δέλτα y. \]

\ [\ Δέλτα _ (x) z + \ Δέλτα _ (y) z \ ne \ Δέλτα z. \]

Ορισμός 2

Εάν για κάθε τριπλό $ (x, y, z) $ τιμών τριών ανεξάρτητων μεταβλητών από μια συγκεκριμένη περιοχή συσχετίζεται μια συγκεκριμένη τιμή $ w $, τότε το $ w $ λέγεται ότι είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών $ ( x, y, z) $ σε αυτήν την περιοχή.

Σημείωση: $ w = f (x, y, z) $.

Ορισμός 3

Εάν για κάθε συλλογή $ (x, y, z, ..., t) $ τιμών ανεξάρτητων μεταβλητών από μια συγκεκριμένη περιοχή συσχετίζεται μια συγκεκριμένη τιμή $ w $, τότε το $ w $ λέγεται ότι είναι μια συνάρτηση από τις μεταβλητές $ (x, y, z, ..., t) $ σε αυτόν τον τομέα.

Σημείωση: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Για μια συνάρτηση τριών ή περισσότερων μεταβλητών, με τον ίδιο τρόπο όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, προσδιορίζονται μερικές προσαυξήσεις για καθεμία από τις μεταβλητές:

$ \ Δέλτα _ (z) w = f (x, y, z + \ Δέλτα z) -f (x, y, z) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ επί $ z $;

$ \ Δέλτα _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Δέλτα t) -f (x, y, z, ..., t) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z, ..., t) $ επί $ t $.

Παράδειγμα 4

Γράψτε το πηλίκο και τη συνολική αύξηση μιας συνάρτησης

Λύση:

Με τον ορισμό της ιδιωτικής προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) w = ((x + \ Δέλτα x) + y) \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ x $

$ \ Δέλτα _ (y) w = (x + (y + \ Δέλτα y)) \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ y $;

$ \ Δέλτα _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ z $;

Με τον ορισμό της πλήρους προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα w = ((x + \ Δέλτα x) + (y + \ Δέλτα y)) \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ .

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε το πηλίκο και τη συνολική αύξηση της συνάρτησης $ w = xyz $ στο σημείο $ (1; 2; 1) $ για $ \ Δέλτα x = 0,1; \, \, \ Δέλτα y = 0,1; \, \, \ Δέλτα z = 0,1 $.

Λύση:

Με τον ορισμό της ιδιωτικής προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) w = (x + \ Δέλτα x) \ cdot y \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ x $

$ \ Δέλτα _ (y) w = x \ cdot (y + \ Δέλτα y) \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ y $;

$ \ Δέλτα _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ z $;

Με τον ορισμό της πλήρους προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα w = (x + \ Δέλτα x) \ cdot (y + \ Δέλτα y) \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $.

Ως εκ τούτου,

\ [\ Δέλτα _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Δέλτα _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Από γεωμετρική άποψη, η συνολική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ (εξ ορισμού, $ \ Δέλτα z = f (x + \ Δέλτα x, y + \ Δέλτα y) -f (x , y) $) ισούται με την αύξηση της συνάρτησης εφαρμογής της γραφικής παράστασης $ z = f (x, y) $ κατά τη μετάβαση από το σημείο $ M (x, y) $ στο σημείο $ M_ (1) (x + \ Δέλτα x , y + \ Δέλτα y) $ (Εικ. 1).

Εικόνα 1.

στην ιατρική και βιολογική φυσική

ΔΙΑΛΕΞΗ Νο. 1

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.

ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ.

1. Η έννοια του παραγώγου, η μηχανική και γεωμετρική του σημασία.

ένα ) Αυξήσεις επιχειρημάτων και συναρτήσεων.

Έστω η συνάρτηση y = f (x), όπου x είναι η τιμή του ορίσματος από τον τομέα της συνάρτησης. Εάν επιλέξουμε δύο τιμές του ορίσματος xo και x από ένα ορισμένο διάστημα του τομέα της συνάρτησης, τότε η διαφορά μεταξύ των δύο τιμών του ορίσματος ονομάζεται αύξηση του ορίσματος: x - xo = ∆x .

Η τιμή του ορίσματος x μπορεί να προσδιοριστεί μέσω του x 0 και της αύξησής του: x = x o + ∆x.

Η διαφορά μεταξύ δύο τιμών της συνάρτησης ονομάζεται αύξηση της συνάρτησης: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Η αύξηση του ορίσματος και της συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά (Εικ. 1). Οι αυξήσεις επιχειρήματος και οι αυξήσεις συναρτήσεων μπορεί να είναι είτε θετικές είτε αρνητικές. Όπως προκύπτει από το Σχ. 1 γεωμετρικά, η αύξηση του ορίσματος ∆х απεικονίζεται με την αύξηση της τετμημένης και η αύξηση της συνάρτησης ∆у παριστάνεται από την αύξηση της τεταγμένης. Ο υπολογισμός της αύξησης της συνάρτησης πρέπει να εκτελείται με την ακόλουθη σειρά:

Δώστε στο όρισμα μια αύξηση ∆x και λάβετε την τιμή - x + ∆x.

2) βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης για την τιμή του ορίσματος (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) βρίσκουμε την αύξηση της συνάρτησης ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Παράδειγμα:Προσδιορίστε την αύξηση της συνάρτησης y = x 2 εάν το όρισμα έχει αλλάξει από x o = 1 σε x = 3. Για το σημείο x o η τιμή της συνάρτησης f (x o) = x² o; για το σημείο (x о + ∆х) η τιμή της συνάρτησης f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = х2 о + 2х о ∆х + ∆х 2, από όπου ∆f = f (x о + ∆х) –f (х о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

σι)Εργασίες που οδηγούν στην έννοια του παραγώγου. Ορισμός παραγώγου, η φυσική του σημασία.

Η έννοια του ορίσματος και της προσαύξησης συνάρτησης είναι απαραίτητη για την εισαγωγή της έννοιας της παραγώγου, η οποία ιστορικά προέκυψε από την ανάγκη προσδιορισμού της ταχύτητας ορισμένων διεργασιών.

Σκεφτείτε πώς μπορείτε να προσδιορίσετε την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης. Αφήστε το σώμα να κινηθεί ευθύγραμμα σύμφωνα με το νόμο: ∆Ѕ =  · ∆t. Για άρτια κίνηση:  = ∆Ѕ / ∆t.

Για μεταβλητή κίνηση, η τιμή του ΔЅ / ∆t καθορίζει την τιμή του av. , δηλαδή βλ. = ∆Ѕ / ∆t. Όμως η μέση ταχύτητα δεν καθιστά δυνατή την αντανάκλαση των χαρακτηριστικών της κίνησης του σώματος και να δώσει μια ιδέα της πραγματικής ταχύτητας τη στιγμή t. Με μείωση του χρονικού διαστήματος, δηλ. στο Δt → 0, η μέση ταχύτητα τείνει στο όριό της - τη στιγμιαία ταχύτητα:

 στιγμιαία =
 Τετ =
∆Ѕ / ∆t.

Ο στιγμιαίος ρυθμός μιας χημικής αντίδρασης προσδιορίζεται με τον ίδιο τρόπο:

 στιγμιαία =
 Τετ =
∆χ / ∆t,

όπου x είναι η ποσότητα της ουσίας που σχηματίζεται κατά τη διάρκεια μιας χημικής αντίδρασης κατά τη διάρκεια του χρόνου t. Παρόμοιες εργασίες για τον προσδιορισμό της ταχύτητας διαφόρων διεργασιών οδήγησαν στην εισαγωγή της έννοιας της παραγώγου μιας συνάρτησης στα μαθηματικά.

Έστω μια συνεχής συνάρτηση f (x) που ορίζεται στο διάστημα] a, σε [και η προσαύξησή της Δf = f (x + ∆x) –f (x).
είναι συνάρτηση του Δx και εκφράζει τον μέσο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης.

Όριο αναλογίας , όταν ∆х → 0, εφόσον υπάρχει αυτό το όριο, λέγεται παράγωγος της συνάρτησης :

y "x =

.

Η παράγωγος συμβολίζεται:
- (πρώτο x εγκεφαλικό), f " (x) - (eff stroke κατά x) ; y "- (παύλα)· dy / dх – (de igrek po de iks); - (παιχνίδι με τελεία).

Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να πούμε ότι η στιγμιαία ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης είναι η χρονική παράγωγος της διαδρομής:

 στιγμιαία = S "t = f " (t).

Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης σε σχέση με το όρισμα x είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f (x):

y "x = f " (x) =  στιγμιαίο.

Αυτή είναι η φυσική έννοια του παραγώγου. Η διαδικασία εύρεσης μιας παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση, επομένως η έκφραση "διαφοροποιώ μια συνάρτηση" είναι ισοδύναμη με την έκφραση "εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης".

v)Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Π
η παράγωγος της συνάρτησης y = f (x) έχει μια απλή γεωμετρική σημασία που σχετίζεται με την έννοια της εφαπτομένης σε μια καμπύλη γραμμή σε κάποιο σημείο Μ. Επιπλέον, η εφαπτομένη, δηλ. μια ευθεία γραμμή εκφράζεται αναλυτικά ως y = kx = tanx, όπου – τη γωνία κλίσης της εφαπτομένης (ευθεία γραμμή) στον άξονα Χ. Ας παραστήσουμε μια συνεχή καμπύλη σε συνάρτηση με το y = f (x), πάρουμε ένα σημείο M στην καμπύλη και ένα σημείο M 1 κοντά σε αυτό και δίνουν μια διατομή μέσω αυτών. Η κλίση του σε sec = tan β = Εάν το σημείο М 1 πλησιάσει το M, τότε η αύξηση του ορίσματος ∆х θα τείνει στο μηδέν, και η τέμνουσα στο β = α θα πάρει τη θέση της εφαπτομένης. Από το Σχ. 2 προκύπτει: tgα =
tgβ =
= y "x. Αλλά το tgα είναι ίσο με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης:

k = tgα =
= y "x = f " (Χ). Άρα, η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο είναι ίση με την τιμή της παραγώγου της στο σημείο της εφαπτομένης. Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

ΣΟΛ)Γενικός κανόνας για την εύρεση του παραγώγου.

Με βάση τον ορισμό μιας παραγώγου, η διαδικασία διαφοροποίησης μιας συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

Να σχηματίσετε την αναλογία της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος:

;

Παράδειγμα: f (x) = x 2; φά " (x) = ?.

Ωστόσο, όπως φαίνεται ακόμη και από αυτό το απλό παράδειγμα, η εφαρμογή της καθορισμένης ακολουθίας κατά τη λήψη παραγώγων είναι μια επίπονη και πολύπλοκη διαδικασία. Επομένως, για διάφορες συναρτήσεις εισάγονται γενικοί τύποι διαφοροποίησης, οι οποίοι παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα «Βασικοί τύποι διαφοροποίησης συναρτήσεων».

Ορισμός 1

Εάν για κάθε ζεύγος $ (x, y) $ τιμών δύο ανεξάρτητων μεταβλητών από μια συγκεκριμένη περιοχή συσχετίζεται μια συγκεκριμένη τιμή $ z $, τότε το $ z $ λέγεται ότι είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών $ (x, y) $. Σημείωση: $ z = f (x, y) $.

Όσον αφορά τη συνάρτηση $ z = f (x, y) $, εξετάστε τις έννοιες των γενικών (πλήρης) και των μερικών προσαυξήσεων μιας συνάρτησης.

Έστω μια συνάρτηση $ z = f (x, y) $ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών $ (x, y) $.

Παρατήρηση 1

Εφόσον οι μεταβλητές $ (x, y) $ είναι ανεξάρτητες, η μία από αυτές μπορεί να αλλάξει, ενώ η άλλη παραμένει σταθερή.

Ας δώσουμε στη μεταβλητή $ x $ μια αύξηση $ \ Delta x $, διατηρώντας την τιμή της μεταβλητής $ y $ αμετάβλητη.

Τότε η συνάρτηση $ z = f (x, y) $ θα λάβει μια αύξηση, η οποία θα ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με τη μεταβλητή $ x $. Ονομασία:

Ομοίως, ας δώσουμε στη μεταβλητή $ y $ μια αύξηση $ \ Delta y $, διατηρώντας την τιμή της μεταβλητής $ x $ αμετάβλητη.

Τότε η συνάρτηση $ z = f (x, y) $ θα λάβει μια αύξηση, η οποία θα ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με τη μεταβλητή $ y $. Ονομασία:

Εάν στο όρισμα $ x $ δοθεί η αύξηση $ \ Δέλτα x $, και στο όρισμα $ y $ - η αύξηση $ \ Δέλτα y $, τότε η πλήρης αύξηση της δεδομένης συνάρτησης $ z = f (x, y) $ είναι λαμβάνεται. Ονομασία:

Έτσι, έχουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) z = f (x + \ Δέλτα x, y) -f (x, y) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ x $;

$ \ Δέλτα _ (y) z = f (x, y + \ Δέλτα y) -f (x, y) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ y $;

$ \ Δέλτα z = f (x + \ Δέλτα x, y + \ Δέλτα y) -f (x, y) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $.

Παράδειγμα 1

Λύση:

$ \ Δέλτα _ (x) z = x + \ Δέλτα x + y $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ x $;

$ \ Δέλτα _ (y) z = x + y + \ Δέλτα y $ είναι η μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ y $.

$ \ Δέλτα z = x + \ Δέλτα x + y + \ Δέλτα y $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το πηλίκο και τη συνολική αύξηση της συνάρτησης $ z = xy $ στο σημείο $ (1; 2) $ για $ \ Δέλτα x = 0,1; \, \, \ Δέλτα y = 0,1 $.

Λύση:

Με τον ορισμό της ιδιωτικής προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) z = (x + \ Δέλτα x) \ cdot y $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ x $

$ \ Δέλτα _ (y) z = x \ cdot (y + \ Δέλτα y) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ σε σχέση με $ y $;

Με τον ορισμό της πλήρους προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα z = (x + \ Δέλτα x) \ cdot (y + \ Δέλτα y) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $.

Ως εκ τούτου,

\ [\ Δέλτα _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ Δέλτα _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Δέλτα z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Παρατήρηση 2

Η συνολική αύξηση μιας δεδομένης συνάρτησης $ z = f (x, y) $ δεν είναι ίση με το άθροισμα των μερικών της αυξήσεων $ \ Δέλτα _ (x) z $ και $ \ Δέλτα _ (y) z $. Μαθηματικός συμβολισμός: $ \ Δέλτα z \ ne \ Δέλτα _ (x) z + \ Δέλτα _ (y) z $.

Παράδειγμα 3

Ελέγξτε την παρατήρηση για λειτουργία

Λύση:

$ \ Δέλτα _ (x) z = x + \ Δέλτα x + y $; $ \ Δέλτα _ (y) z = x + y + \ Δέλτα y $; $ \ Δέλτα z = x + \ Δέλτα x + y + \ Δέλτα y $ (που λαμβάνεται στο παράδειγμα 1)

Να βρείτε το άθροισμα των μερικών αυξήσεων της δεδομένης συνάρτησης $ z = f (x, y) $

\ [\ Δέλτα _ (x) z + \ Δέλτα _ (y) z = x + \ Δέλτα x + y + (x + y + \ Δέλτα y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Δέλτα x + \ Δέλτα y. \]

\ [\ Δέλτα _ (x) z + \ Δέλτα _ (y) z \ ne \ Δέλτα z. \]

Ορισμός 2

Εάν για κάθε τριπλό $ (x, y, z) $ τιμών τριών ανεξάρτητων μεταβλητών από μια συγκεκριμένη περιοχή συσχετίζεται μια συγκεκριμένη τιμή $ w $, τότε το $ w $ λέγεται ότι είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών $ ( x, y, z) $ σε αυτήν την περιοχή.

Σημείωση: $ w = f (x, y, z) $.

Ορισμός 3

Εάν για κάθε συλλογή $ (x, y, z, ..., t) $ τιμών ανεξάρτητων μεταβλητών από μια συγκεκριμένη περιοχή συσχετίζεται μια συγκεκριμένη τιμή $ w $, τότε το $ w $ λέγεται ότι είναι μια συνάρτηση από τις μεταβλητές $ (x, y, z, ..., t) $ σε αυτόν τον τομέα.

Σημείωση: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Για μια συνάρτηση τριών ή περισσότερων μεταβλητών, με τον ίδιο τρόπο όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, προσδιορίζονται μερικές προσαυξήσεις για καθεμία από τις μεταβλητές:

$ \ Δέλτα _ (z) w = f (x, y, z + \ Δέλτα z) -f (x, y, z) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ επί $ z $;

$ \ Δέλτα _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Δέλτα t) -f (x, y, z, ..., t) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z, ..., t) $ επί $ t $.

Παράδειγμα 4

Γράψτε το πηλίκο και τη συνολική αύξηση μιας συνάρτησης

Λύση:

Με τον ορισμό της ιδιωτικής προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) w = ((x + \ Δέλτα x) + y) \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ x $

$ \ Δέλτα _ (y) w = (x + (y + \ Δέλτα y)) \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ y $;

$ \ Δέλτα _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ z $;

Με τον ορισμό της πλήρους προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα w = ((x + \ Δέλτα x) + (y + \ Δέλτα y)) \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ .

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε το πηλίκο και τη συνολική αύξηση της συνάρτησης $ w = xyz $ στο σημείο $ (1; 2; 1) $ για $ \ Δέλτα x = 0,1; \, \, \ Δέλτα y = 0,1; \, \, \ Δέλτα z = 0,1 $.

Λύση:

Με τον ορισμό της ιδιωτικής προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα _ (x) w = (x + \ Δέλτα x) \ cdot y \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ x $

$ \ Δέλτα _ (y) w = x \ cdot (y + \ Δέλτα y) \ cdot z $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ y $;

$ \ Δέλτα _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - μερική αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $ σε σχέση με $ z $;

Με τον ορισμό της πλήρους προσαύξησης, βρίσκουμε:

$ \ Δέλτα w = (x + \ Δέλτα x) \ cdot (y + \ Δέλτα y) \ cdot (z + \ Δέλτα z) $ - πλήρης αύξηση της συνάρτησης $ w = f (x, y, z) $.

Ως εκ τούτου,

\ [\ Δέλτα _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Δέλτα _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Από γεωμετρική άποψη, η συνολική αύξηση της συνάρτησης $ z = f (x, y) $ (εξ ορισμού, $ \ Δέλτα z = f (x + \ Δέλτα x, y + \ Δέλτα y) -f (x , y) $) ισούται με την αύξηση της συνάρτησης εφαρμογής της γραφικής παράστασης $ z = f (x, y) $ κατά τη μετάβαση από το σημείο $ M (x, y) $ στο σημείο $ M_ (1) (x + \ Δέλτα x , y + \ Δέλτα y) $ (Εικ. 1).

Εικόνα 1.