Η ευθεία y = 3x + 2 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -12x ^ 2 + bx-10. Βρείτε το b, δεδομένου ότι η τετμημένη του σημείου επαφής είναι μικρότερη από το μηδέν.

Δείξε λύση

Λύση

Έστω x_0 η τετμημένη του σημείου στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -12x ^ 2 + bx-10, από την οποία διέρχεται η εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση.

Η τιμή της παραγώγου στο σημείο x_0 είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης, δηλαδή y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Από την άλλη πλευρά, το σημείο εφαπτομένης ανήκει και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και η εφαπτομένη, δηλαδή -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων \ αρχή (περιπτώσεις) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ τέλος (περιπτώσεις)

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x_0 ^ 2 = 1, που σημαίνει είτε x_0 = -1, είτε x_0 = 1. Σύμφωνα με τη συνθήκη, η τετμημένη του σημείου επαφής είναι μικρότερη από το μηδέν, επομένως x_0 = -1, τότε b = 3 + 24x_0 = -21.

Απάντηση

Κατάσταση

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) (η οποία είναι μια διακεκομμένη γραμμή που αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα). Χρησιμοποιώντας το σχήμα, υπολογίστε το F (9) -F (5), όπου το F (x) είναι ένα από τα αντιπαράγωγα του f (x).

Δείξε λύση

Λύση

Σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz, η διαφορά F (9) -F (5), όπου το F (x) είναι ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης f (x), είναι ίση με το εμβαδόν του οριοθετημένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x), από τις ευθείες y = 0 , x = 9 και x = 5. Σύμφωνα με το γράφημα, προσδιορίζουμε ότι το υποδεικνυόμενο καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα τραπέζιο με βάσεις ίσες με 4 και 3 και ύψος 3.

Η περιοχή του είναι \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. Επίπεδο προφίλ». Εκδ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της y = f "(x) - η παράγωγος της συνάρτησης f (x), που ορίζεται στο διάστημα (-4; 10). Βρείτε τα διαστήματα μείωσης της συνάρτησης f (x). Στο απαντήστε, υποδείξτε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Δείξε λύση

Λύση

Όπως γνωρίζετε, η συνάρτηση f (x) μειώνεται σε εκείνα τα διαστήματα σε κάθε σημείο των οποίων η παράγωγος f "(x) είναι μικρότερη από το μηδέν. Λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί το μήκος της μεγαλύτερης από αυτές, τρεις τέτοιες Τα διαστήματα διακρίνονται φυσικά από το σχήμα: (-4; -2) , (0; 3), (5; 9).

Το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά - (5; 9) είναι ίσο με 4.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. Επίπεδο προφίλ». Εκδ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση του y = f "(x) - η παράγωγος της συνάρτησης f (x), που ορίζεται στο διάστημα (-8; 7). Βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f (x) που ανήκουν το διάστημα [-6; -2].

Δείξε λύση

Λύση

Το γράφημα δείχνει ότι η παράγωγος f "(x) της συνάρτησης f (x) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σε τέτοια σημεία θα υπάρχει μέγιστο) σε ακριβώς ένα σημείο (μεταξύ -5 και -4) από το διάστημα [-6; -2 ]. Επομένως, υπάρχει ακριβώς ένα μέγιστο σημείο στο διάστημα [-6; -2].

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. Επίπεδο προφίλ». Εκδ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x), που ορίζεται στο διάστημα (-2; 8). Να προσδιορίσετε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f (x) είναι 0.

Δείξε λύση

Λύση

Η ισότητα προς το μηδέν της παραγώγου σε ένα σημείο σημαίνει ότι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, που σχεδιάζεται σε αυτό το σημείο, είναι παράλληλη στον άξονα Ox. Επομένως, βρίσκουμε σημεία στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη με τον άξονα Ox. Σε αυτό το γράφημα, τέτοια σημεία είναι ακραία σημεία (σημεία μέγιστου ή ελάχιστου). Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν 5 ακραία σημεία.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. Επίπεδο προφίλ». Εκδ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

Η ευθεία y = -3x + 4 είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = -x ^ 2 + 5x-7. Βρείτε την τετμημένη του σημείου επαφής.

Δείξε λύση

Λύση

Η κλίση της ευθείας προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -x ^ 2 + 5x-7 σε ένα αυθαίρετο σημείο x_0 είναι ίση με y "(x_0). Αλλά y" = - 2x + 5, οπότε y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. Γωνιακός ο συντελεστής της ευθείας y = -3x + 4 που καθορίζεται στη συνθήκη είναι ίσος με -3. Οι παράλληλες γραμμές έχουν την ίδια κλίση. Επομένως, βρίσκουμε την τιμή x_0 τέτοια ώστε = -2x_0 + 5 = -3.

Παίρνουμε: x_0 = 4.

Απάντηση

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. Επίπεδο προφίλ». Εκδ. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και τα σημεία -6, -1, 1, 4 σημειώνονται στον άξονα της τετμημένης. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η τιμή της παραγώγου είναι η μικρότερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Master class στα μαθηματικά

στην 11η τάξη

πανω σε αυτο το θεμα

«ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΣΤΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ ΤΗΣ ΧΡΗΣΗΣ "

καθηγητής μαθηματικών

Martynenko E.N.

ακαδημαϊκό έτος 2017-2018

Ο σκοπός του master - class: αναπτύξουν τις δεξιότητες των μαθητώνεφαρμογή θεωρητικών γνώσεων με θέμα «Παράγωγο της συνάρτησης» για την επίλυση των προβλημάτων της ενιαίας κρατικής εξέτασης.

Καθήκοντα

Εκπαιδευτικός:να συνοψίσει και να συστηματοποιήσει τις γνώσεις των μαθητών για το θέμα

"Παράγωγο μιας συνάρτησης", εξετάστε τα πρωτότυπα των προβλημάτων ΧΡΗΣΗΣ σε αυτό το θέμα, παρέχουν στους μαθητές την ευκαιρία να δοκιμάσουν τις γνώσεις τους όταν επιλύουν προβλήματα μόνοι τους.

Ανάπτυξη: προωθεί την ανάπτυξη της μνήμης, της προσοχής, της αυτοεκτίμησης και των δεξιοτήτων αυτοελέγχου. ο σχηματισμός βασικών βασικών ικανοτήτων (σύγκριση, αντιπαράθεση, ταξινόμηση αντικειμένων, προσδιορισμός κατάλληλων τρόπων επίλυσης ενός εκπαιδευτικού προβλήματος με βάση καθορισμένους αλγόριθμους, ικανότητα να ενεργούν ανεξάρτητα σε μια κατάσταση αβεβαιότητας, έλεγχος και αξιολόγηση των δραστηριοτήτων τους, εύρεση και εξαλείψει τις αιτίες των δυσκολιών που έχουν προκύψει).

Εκπαιδευτικός: προάγω:

Διαμόρφωση υπεύθυνης στάσης απέναντι στη μάθηση μεταξύ των μαθητών.

ανάπτυξη ενός διαρκούς ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά·

δημιουργώντας ένα θετικό εγγενές κίνητρο για τη μελέτη των μαθηματικών.

Τεχνολογίες: ατομική διαφοροποιημένη μάθηση, ΤΠΕ.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ : λεκτική, οπτική, πρακτική, προβληματική.

Μορφές εργασίας: ατομική, μετωπική, ανά ζεύγη.

Εξοπλισμός και υλικά για το μάθημα:προβολέας, οθόνη, υπολογιστής, προσομοιωτής(Παράρτημα # 1), παρουσίαση για το μάθημα(Παράρτημα # 2), ατομικά - διαφοροποιημένες κάρτες για ανεξάρτητη εργασία σε ζευγάρια(Παράρτημα αρ. 3), κατάλογος ιστοσελίδων στο Διαδίκτυο, ατομικά διαφοροποιημένες εργασίες για το σπίτι(Παράρτημα #4).

Επεξήγηση για το master class.

Αυτό το master class πραγματοποιείται στην τάξη 11 για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Στοχεύει στην εφαρμογή θεωρητικού υλικού με θέμα «Παράγωγος συνάρτησης» στην επίλυση προβλημάτων εξέτασης.

Διάρκεια του master class- 20 λεπτά.

Δομή Master class

Ι. Οργανωτική στιγμή -1 λεπτό.

ΙΙ. Επικοινωνία του θέματος, οι στόχοι του master - class, κίνητρα εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων - 1 λεπτό.

III. Μετωπική εργασία. Εκπαίδευση «Εργασίες Νο 14 ΒΑΣΗ, Νο 7 ΠΡΟΦΙΛ Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης». Ανάλυση της εργασίας με τον προσομοιωτή - 7 λεπτά.

IV.Ατομικά - διαφοροποιημένη εργασία σε ζευγάρια. Ανεξάρτητη επίλυση προβλημάτων Νο. 12. (ΠΡΟΦΙΛ) Αμοιβαίος έλεγχος - 9 λεπτά. Δοκιμή σε απευθείας σύνδεση (BASE) Ανάλυση των αποτελεσμάτων της δοκιμής - 8 λεπτά

V. Έλεγχος ατομικών εργασιών για το σπίτι. -1 λεπτό.

Vi. Ατομικά - διαφοροποιημένες εργασίες -1 λεπ.

Vii. ΔΟΚΙΜΗ ΕΛΕΓΧΟΥ 20 ΛΕΠΤΑ (4 ΕΠΙΛΟΓΕΣ)

Πρόοδος Master class

Εγώ .Οργάνωση χρόνου.

II Επικοινωνία του θέματος, των στόχων του master - class, κίνητρα εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων.

(Διαφάνειες 1-2, Παράρτημα # 2)

Το θέμα του μαθήματός μας είναι «Η παράγωγος συνάρτησης στις εργασίες της εξέτασης». Όλοι γνωρίζουν το ρητό «Μικρό καρούλι αλλά αγαπητό». Ένα από αυτά τα «καρούλια» στα μαθηματικά είναι η παράγωγος. Το παράγωγο χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων στα μαθηματικά, τη φυσική, τη χημεία, τα οικονομικά και άλλους κλάδους. Σας επιτρέπει να επιλύετε προβλήματα απλά, όμορφα και ενδιαφέροντα.

Το θέμα «Παράγωγο» παρουσιάζεται στην εργασία Νο 14 του βασικού επιπέδου και στις εργασίες του επιπέδου προφίλ Νο 7,12, 18 και της ενιαίας κρατικής εξέτασης.

Εργαστήκατε με έγγραφα που ρυθμίζουν τη δομή και το περιεχόμενο των υλικών μέτρησης ελέγχου της ενιαίας κρατικής εξέτασης στα μαθηματικά 2018. Κάντε ένα συμπέρασμα σχετικά με το ποιες γνώσεις και δεξιότητες χρειάζεστε για να επιλύσετε με επιτυχία τα προβλήματα ΧΡΗΣΗΣ στο θέμα "Παράγωγο".

(Διαφάνειες 3-4, Παράρτημα # 2)

Έχετε μάθει «Κωδικοποιητής των στοιχείων περιεχομένου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ για την προετοιμασία μετρητικών υλικών ελέγχου για την ενιαία κρατική εξέταση»,

«Κωδικοποιητής απαιτήσεων για το επίπεδο κατάρτισης των αποφοίτων», «Προδιαγραφές μετρητικών υλικών ελέγχου», «Έκδοση επίδειξης υλικών μέτρησης ελέγχου της ενιαίας κρατικής εξέτασης 2018» καιανακάλυψα ποιες γνώσεις και δεξιότητες χρειάζονται για τη συνάρτηση και την παράγωγό της για την επιτυχή επίλυση προβλημάτων στο θέμα «Παράγωγος».

Απαραίτητη

• ΞΕΡΩ

κανόνες υπολογισμού παραγώγων·

παράγωγα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.

τη γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου·
εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
μελέτη συνάρτησης με χρήση παραγώγου.

• ΙΚΑΝΟΣ ΓΙΑ

εκτελέστε ενέργειες με συναρτήσεις (περιγράψτε τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης σύμφωνα με το γράφημα, βρείτε τις υψηλότερες και τις χαμηλότερες τιμές της).

• ΧΡΗΣΗ

αποκτήσει γνώσεις και δεξιότητες στην πράξη και την καθημερινή ζωή.

Έχετε θεωρητική γνώση του θέματος του Παράγωγου. Σήμερα θα το κάνουμεΜΑΘΕΤΕ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΕ ΤΙΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΙΑ ΝΑ ΕΠΙΛΥΝΕΤΕ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ.(Διαφάνεια 4, Παράρτημα Αρ. 2)

Δεν είναι για τίποτα Το είπε ο Αριστοτέλης«ΤΟ ΝΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΜΟΝΟ ΣΤΗ ΓΝΩΣΗ, ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΕΙ ΤΗ ΓΝΩΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ»(Διαφάνεια 5, Παράρτημα Αρ. 2)

Στο τέλος του μαθήματος, θα επιστρέψουμε στον στόχο του μαθήματός μας και θα μάθουμε αν τον πετύχαμε;

III ... Μετωπική εργασία.Εκπαίδευση «Εργασίες Νο. 14 ΒΑΣΗ Νο. 7 ΠΡΟΦΙΛ Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης» (Παράρτημα αρ. 1). Ανάλυση της εργασίας με τον προσομοιωτή.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση από τις τέσσερις προτεινόμενες.

Ποια, κατά τη γνώμη σας, είναι η δυσκολία ολοκλήρωσης της εργασίας # 7;

Τι πιστεύετε, ποια είναι τα τυπικά λάθη που κάνουν οι απόφοιτοι στις εξετάσεις όταν λύνουν αυτό το πρόβλημα;

Όταν απαντάτε στις ερωτήσεις της εργασίας Νο. 14 ΒΑΣΗ ΚΑΙ Νο. 7 ΠΡΟΦΙΛ, πρέπει να είστε σε θέση να περιγράψετε τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες της συνάρτησης από το γράφημα της παραγώγου και από το γράφημα της συνάρτησης - τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες της παράγωγο της συνάρτησης. Και αυτό απαιτεί καλές θεωρητικές γνώσεις στα εξής θέματα: «Γεωμετρική και μηχανική σημασία της παραγώγου. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συναρτήσεων».

Αναλύστε ποιες εργασίες σας προκάλεσαν δυσκολίες;

Ποιες θεωρητικές ερωτήσεις πρέπει να γνωρίζετε;

IV. Ηλεκτρονική δοκιμή στις εργασίες №14 (BASE)Ανάλυση των αποτελεσμάτων των δοκιμών.

Ιστότοπος για δοκιμή στο μάθημα:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Ποιος δεν έχει κάνει λάθη;

Ποιος αντιμετώπισε δυσκολία στις δοκιμές; Γιατί;

Σε ποιες εργασίες έγιναν λάθη;

Συμπερασματικά, ποιες θεωρητικές ερωτήσεις πρέπει να γνωρίζετε;

Ατομικά - διαφοροποιημένη εργασία σε ζευγάρια. Ανεξάρτητη επίλυση προβλημάτων №12. (ΠΡΟΦΙΛ)Αμοιβαία επαλήθευση.(Παράρτημα # 3)

Θυμηθείτε τον αλγόριθμο για την επίλυση προβλημάτων №12 της εξέτασης για την εύρεση ακραίων σημείων, άκρων συνάρτησης, τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο διάστημα χρησιμοποιώντας την παράγωγο.

Λύστε προβλήματα με παράγωγο

Οι μαθητές αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα:

"Σκεφτείτε, είναι δυνατόν να λύσετε ορισμένα προβλήματα # 12 με διαφορετικό τρόπο, χωρίς να χρησιμοποιήσετε παράγωγο;"

1 ζευγάρι

2 ζευγάρια

3 ζευγάρια

4 ζευγάρια

(Οι μαθητές υπερασπίζονται τη λύση τους γράφοντας τα κύρια βήματα για την επίλυση προβλημάτων στον πίνακα κιμωλίας. Οι μαθητές παρέχουν δύο τρόπους επίλυσης του προβλήματος #2).

Λύση ενός προβλήματος. Συμπέρασμα για μαθητές:

«Μερικά προβλήματα Νο. 12 της εξέτασης για την εύρεση της μικρότερης και μεγαλύτερης τιμής μιας συνάρτησης μπορούν να λυθούν χωρίς τη χρήση της παραγώγου, βασιζόμενοι στις ιδιότητες των συναρτήσεων».

Αναλύστε ποιο λάθος κάνατε στην εργασία;

Ποιες θεωρητικές ερωτήσεις πρέπει να επαναλάβετε;

V. Έλεγχος ατομικών εργασιών για το σπίτι. (Διαφάνειες 7-8, Παράρτημα Αρ. 2)

Ο Vegelman V. έλαβε ατομική εργασία: από τα εγχειρίδια προετοιμασίας για την εξέταση με αριθμό 18.

(Ο μαθητής δίνει τη λύση στο πρόβλημα, στηριζόμενος στη συναρτησιακή-γραφική μέθοδο, ως μία από τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων Νο 18 της εξέτασης και δίνει μια σύντομη επεξήγηση αυτής της μεθόδου).

Vii. Ατομικά - διαφοροποιημένες εργασίες για το σπίτι

(Διαφάνεια 9, Παράρτημα Αρ. 2), (Παράρτημα # 4).

Έχω ετοιμάσει μια λίστα με ιστοσελίδες στο Διαδίκτυο για να προετοιμαστώ για την εξέταση. Μπορείτε επίσης να κάνετε δοκιμές σε απευθείας σύνδεση σε αυτούς τους ιστότοπους. Για το επόμενο μάθημα, πρέπει: 1) να αναθεωρήσετε το θεωρητικό υλικό για το θέμα "Παράγωγο συνάρτησης".

2) στον ιστότοπο "Ανοικτή τράπεζα εργασιών στα μαθηματικά" (http://mathege.ru/ ) βρείτε πρωτότυπα εργασιών Νο. 14 ΒΑΣΗ ΚΑΙ Νο. 7 και 12 ΠΡΟΦΙΛ και επίλυση τουλάχιστον 10 προβλημάτων ΠΡΟΦΙΛ.

3) V. Vegelman, επίλυση προβλημάτων με παραμέτρους (ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4). εργασίες 1-8 (επιλογή 1).ΕΝΑ ΒΑΣΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΤΗΣ

VIII. Βαθμοί μαθήματος.

Πώς θα αξιολογούσατε τον εαυτό σας για ένα μάθημα;

Πιστεύετε ότι θα μπορούσατε να τα πάτε καλύτερα στο μάθημα;

IX. Περίληψη μαθήματος. Αντανάκλαση

Ας συνοψίσουμε τη δουλειά μας. Ποιος ήταν ο σκοπός του μαθήματος; Πιστεύετε ότι έχει επιτευχθεί;

Κοιτάξτε τον πίνακα και με μία πρόταση, επιλέγοντας την αρχή της φράσης, συνεχίστε με την πρόταση που σας ταιριάζει περισσότερο.

Ενιωσα…

Εμαθα…

Κατάφερα …

Μπορούσα να ...

Θα προσπαθήσω …

Με εξέπληξε αυτό …

Ήθελα…

Μπορείτε να πείτε ότι κατά τη διάρκεια του μαθήματος υπήρξε εμπλουτισμός του αποθέματος γνώσεων σας;

Έτσι, επαναλάβατε τις θεωρητικές ερωτήσεις σχετικά με την παράγωγο της συνάρτησης, εφαρμόσατε τις γνώσεις σας στην επίλυση των πρωτοτύπων των εργασιών USE (No. 14 BASIC LEVEL No. 7,12 PROFILE LEVEL) και ο V. Vegelman ολοκλήρωσε την εργασία Νο. 18 με μια παράμετρο, που είναι έργο αυξημένου βαθμού δυσκολιών.

Ήταν χαρά μου να συνεργαστώ μαζί σας και ελπίζω ότι θα μπορέσετε να εφαρμόσετε με επιτυχία τις γνώσεις που αποκτήσατε στα μαθήματα των μαθηματικών όχι μόνο όταν περάσετε τις εξετάσεις, αλλά και στις περαιτέρω σπουδές σας.

Θα ήθελα να τελειώσω το μάθημα με τα λόγια ενός Ιταλού φιλοσόφουΘωμάς Ακινάτης«Η γνώση είναι τόσο πολύτιμο πράγμα που δεν είναι ντροπή να την αποκτήσεις από οποιαδήποτε πηγή».(Διαφάνεια 10, Παράρτημα # 2).

Σας εύχομαι καλή επιτυχία στην προετοιμασία για τις εξετάσεις!

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Προετοιμασία για την εξέταση SIMULATOR με θέμα "Παράγωγο" Αριθμός εργασίας 14 βασικό επίπεδο, αριθμός 7, επίπεδο προφίλ 12

f (x) f / (x) x Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης y = f (x), που καθορίζεται στο διάστημα (- 8; 8). Ας εξερευνήσουμε τις ιδιότητες του γραφήματος και θα μπορέσουμε να απαντήσουμε σε πολλές ερωτήσεις σχετικά με τις ιδιότητες της συνάρτησης, αν και το γράφημα της ίδιας της συνάρτησης δεν παρουσιάζεται! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Βρείτε βαθμούς όπου f / (x) = 0 (αυτά είναι τα μηδενικά της συνάρτησης). + - - + +

ΕΡΓΑΣΙΑ αριθμός 14 Μαθηματικά βασικό επίπεδο

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και τα σημεία A, B, C και D σημειώνονται στον άξονα Ox. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση, αντιστοιχίστε σε κάθε σημείο τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης και της παραγώγου της. ABCD 1) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική 2) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική 3) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική 4) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική και η τιμή της η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική

№ 1 Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και σημειώνονται τα σημεία A, B, C και D στον άξονα Ox. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση, αντιστοιχίστε σε κάθε σημείο τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης και της παραγώγου της. 1) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική 2) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο το σημείο είναι αρνητικό 3) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική 4) η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι αρνητική και η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι θετική ABCD

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x). Τα σημεία a, b, c, d και e ορίζουν διαστήματα στον άξονα Ox. Χρησιμοποιώντας το γράφημα, αντιστοιχίστε σε κάθε διάστημα το χαρακτηριστικό της συνάρτησης ή της παραγώγου της. Α) (α; β) Β) (β; γ) Γ) (γ; δ) Δ) (δ; ε) 1) οι τιμές της συνάρτησης είναι θετικές σε κάθε σημείο του διαστήματος 2) οι τιμές ​​της παραγώγου της συνάρτησης είναι αρνητικές σε κάθε σημείο του διαστήματος 3) οι τιμές της παραγώγου της συνάρτησης είναι θετικές σε κάθε σημείο του διαστήματος 4) οι τιμές της συνάρτησης είναι αρνητικές σε κάθε σημείο του διαστήματος

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x). Οι αριθμοί a, b, c, d και e ορίζουν τα διαστήματα στον άξονα Ox. Χρησιμοποιώντας το γράφημα, αντιστοιχίστε σε κάθε διάστημα το χαρακτηριστικό της συνάρτησης ή της παραγώγου της. Α) (α; β) Β) (β; γ) Γ) (γ; δ) Δ) (δ; ε) 1) οι τιμές της συνάρτησης είναι θετικές σε κάθε σημείο του διαστήματος 2) οι τιμές ​​της συνάρτησης είναι αρνητικές σε κάθε σημείο του διαστήματος 3) οι τιμές των συναρτήσεων παραγώγων είναι αρνητικές σε κάθε σημείο του διαστήματος 4) οι τιμές της παραγώγου της συνάρτησης είναι θετικές σε κάθε σημείο του διαστήματος

Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και των εφαπτομένων που σύρονται σε αυτήν σε σημεία με τετμημένες A, B, C και D. A B C D 1) - 1,5 2) 0,5 3) 2 4) - 0,3

Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και των εφαπτομένων που σύρονται σε αυτήν σε σημεία με τετμημένες A, B, C και D. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

ΕΡΓΑΣΙΑ αριθμός 7 Επίπεδο προφίλ μαθηματικών

Προβλήματα για τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου

1) Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Βρείτε την τιμή της παραγώγου στο σημείο x 0. -2 -0,5 2 0,5 Σκέψου! Νομίζω! Σωστά! Νομίζω! x 0 Γεωμετρική σημασία της παραγώγου: k = tg α Η γωνία κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα Ox είναι αμβλεία, άρα k

5 11 8 2) Η συνεχής συνάρτηση y = f (x) τίθεται στο διάστημα (-6; 7). Το σχήμα δείχνει το γράφημα της. Βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y = 6. Ελέγχοντας y = f (x) y x 3 Σκεφτείτε! Νομίζω! Νομίζω! Σωστά! - 6 7 y = 6. Σημείο διακοπής. Το παράγωγο ΔΕΝ υπάρχει σε αυτό το σημείο! О -4 3 5 1, 5

Εργασίες για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών μιας συνάρτησης από τη γραφική παράσταση της παραγώγου της

3) Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης y = f / (x), που δίνεται στο διάστημα (- 6; 8). Εξετάστε τη συνάρτηση y = f (x) για ακρότατο και υποδείξτε τον αριθμό των ακραίων σημείων της. 2 1 4 5 Λάθος! Δεν είναι αλήθεια! Σωστά! Δεν είναι αλήθεια! Ελέγξτε (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης που καθορίζεται στο διάστημα [-5; 5]. Εξετάστε τη συνάρτηση για μονοτονία και υποδείξτε το μεγαλύτερο μέγιστο σημείο. 3 2 4 5 Σκέψου! Νομίζω! Σωστά! Νομίζω! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 Από τα δύο μέγιστα σημεία, το μεγαλύτερο x max = 3 max max y

7) Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης. Βρείτε το μήκος του αυξανόμενου διαστήματος αυτής της συνάρτησης. Ελέγξτε O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 ΣΚΕΦΤΕΙΤΕ! + ΣΚΕΦΤΕΙΤΕ! ΣΩΣΤΑ! ΝΟΜΙΖΩ! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης στο διάστημα [-5; 5]. Εξετάστε τη συνάρτηση y = f (x) για μονοτονία και υποδείξτε τον αριθμό των διαστημάτων μείωσης. 3 2 4 1 Σκέψου! Νομίζω! Σωστά! Νομίζω! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

Εργασίες για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών μιας παραγώγου γραφήματος μιας συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης y = f (x). Στην τετμημένη σημειώνονται εννέα σημεία: x 1, x 2, ..., x 9. Να βρείτε όλα τα σημειωμένα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f (x) είναι αρνητική. Στην απάντηση, αναφέρετε τον αριθμό αυτών των σημείων.

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x), που ορίζεται στο διάστημα (a; b). Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική. α) β) Αποφασίστε μόνοι σας! Λύση. αν αυξηθεί. Ολόκληρες λύσεις για: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. Ο αριθμός τους είναι 4. Ολόκληρες λύσεις για: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. Ο αριθμός τους είναι 5. Απάντηση: 4. Απάντηση: 5.

Προβλήματα για τη φυσική σημασία της παραγώγου

Απάντηση: 3 Απάντηση: 14

ΕΡΓΑΣΙΑ αριθμός 12 Επίπεδο προφίλ μαθηματικών

Ανεξάρτητη εργασία σε ζευγάρια Αριθμός εργασίας 12 Επίπεδο προφίλ

Προεπισκόπηση:

Παράρτημα 3 ατομικές κάρτες Νο. 12

1. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης1 Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης

2.Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης2 Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης

Linnik D. Vovnenko I

1.Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης1. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησηςστο τμήμα

στο τμήμα

Vegelman V.

ΕΝΑ.

1. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης1. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης

2. Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης2. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησηςστο τμήμα

Στο τμήμα

Λεοντίεβα Α. Ισαένκο Κ.

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΚΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2

Μετατροπή γραφημάτων συναρτήσεων.

Στόχος

Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων χρησιμοποιώντας διάφορους μετασχηματισμούς, απαντήστε στην ερώτηση του προβλήματος.

Ολοκλήρωση της εργασίας

Μεθοδικές οδηγίες

Το έργο έχει σχεδιαστεί για 10 παραλλαγές, ο αριθμός παραλλαγής συμπίπτει με το τελευταίο ψηφίο του σειριακού αριθμού στη λίστα. Για παράδειγμα, 1, 11, 21, 31 ... εκτελέστε 1 επιλογή, 2,12, 22 ... - 2 επιλογή, κ.λπ.

Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη: το πρώτο μέρος της εργασίας 1 - 5, αυτές είναι εργασίες που πρέπει να ολοκληρωθούν για να λάβετε πίστωση, εάν αυτές οι εργασίες ολοκληρωθούν με σφάλμα, πρέπει να διορθωθούν και να υποβληθεί η εργασία πάλι για επαλήθευση. Το δεύτερο μέρος περιέχει εργασίες, ολοκληρώνοντας τις οποίες μπορείτε να κερδίσετε έναν επιπλέον βαθμό: το κύριο μέρος +2 εργασίες - "4", το κύριο μέρος +3 εργασίες - "5".

Εργασία 1. Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή, δύο σημεία αρκούν για να τη σχεδιάσουμε. (λαμβάνουμε τις τιμές του ορίσματος x αυθαίρετα και την τιμή της συνάρτησης y, μετράμε αντικαθιστώντας την στον τύπο).

Για να ελέγξετε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το καθορισμένο σημείο, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σημείου αντί για x και y, εάν έχετε τη σωστή ισότητα, τότε η ευθεία διέρχεται από το καθορισμένο σημείο, διαφορετικά δεν .

Εργασία 2, 3, 4. Τα γραφήματα των καθορισμένων συναρτήσεων λαμβάνονται από τα γραφήματα των συναρτήσεων , χρησιμοποιώντας μια μετατόπιση κατά μήκος του άξονα x ή y.

, πρώτα σχεδιάζουμε τη συνάρτηση ή , μετά το μετατοπίζουμε κατά μονάδες "a" προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά (+ a - προς τα αριστερά, - και προς τα δεξιά), μετά το μετατοπίζουμε κατά μονάδες "c" προς τα πάνω ή προς τα κάτω (+ b - επάνω, -b - κάτω)

Ομοίως και με άλλες λειτουργίες:

Εργασία 5 Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης: , πρέπει: 1) να σχεδιάσετε τη συνάρτηση , 2) αφήστε το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται πάνω από τον άξονα x αμετάβλητο, 3) αντικατοπτρίστηκε το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα x.

Εργασίες για μια ανεξάρτητη λύση.

Υποχρεωτικό μέρος

Εργασία 1. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης, προσδιορίστε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το καθορισμένο σημείο:

Εργασία 2. Σχεδιάστε ένα γράφημα μιας τετραγωνικής συνάρτησης, καθορίστε το σύνολο τιμών για αυτήν τη συνάρτηση.

Εργασία 3. Δημιουργήστε ένα γράφημα της συνάρτησης, προσδιορίστε εάν η καθορισμένη συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται.

Εργασία 4. Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης, απαντήστε στην ερώτηση του προβλήματος.

Εργασία 5. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιέχει το πρόσημο του συντελεστή.

Εργασίες για πρόσθετη αξιολόγηση.

Εργασία 6. Σχεδιάστε ένα γράφημα μιας συνάρτησης που δίνεται τμηματικά, προσδιορίστε εάν υπάρχει σημείο διακοπής για αυτήν τη συνάρτηση:

Εργασία 7. Προσδιορίστε πόσες λύσεις έχει το σύστημα εξισώσεων, η απάντηση είναι να δικαιολογήσετε. Βγάλτε συμπεράσματα απαντώντας στις ερωτήσεις.

Ποιες λειτουργίες έχετε σχεδιάσει σε αυτό το έργο;

Πώς ονομάζεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης;

Πώς ονομάζεται η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης;

Ποιους μετασχηματισμούς γραφημάτων γνωρίζετε;

Πώς βρίσκεται η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης στο σύστημα συντεταγμένων; Περίεργο γράφημα συνάρτησης;

Η παράγωγος της συνάρτησης $ y = f (x) $ σε ένα δεδομένο σημείο $ x_0 $ είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αντίστοιχη αύξηση του ορίσματός της, με την προϋπόθεση ότι η τελευταία τείνει στο μηδέν:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

Η διαφοροποίηση είναι η λειτουργία εύρεσης παραγώγου.

Παράγωγος πίνακας ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων

Λειτουργία	Παράγωγο
$ γ $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -six $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (αμαρτία ^ 2x) $

Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης

1. Η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

Η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων.

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. Παράγωγο του έργου

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

Βρείτε την Παράγωγο $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. Παράγωγος του πηλίκου

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

Βρείτε την Παράγωγο $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης ισούται με το γινόμενο της παραγώγου της εξωτερικής συνάρτησης από την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

Η φυσική έννοια του παραγώγου

Αν ένα υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα και η συντεταγμένη του αλλάζει ανάλογα με το χρόνο σύμφωνα με το νόμο $ x (t) $, τότε η στιγμιαία ταχύτητα αυτού του σημείου είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης.

Το σημείο κινείται κατά μήκος της γραμμής συντεταγμένων σύμφωνα με το νόμο $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, όπου $ x (t) $ είναι η συντεταγμένη τη στιγμή $ t $. Σε ποιο χρονικό σημείο η ταχύτητα του σημείου θα είναι ίση με $12 $;

1. Η ταχύτητα είναι η παράγωγος του $ x (t) $, άρα βρίσκουμε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης

$ v (t) = x "(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. Για να βρείτε ποια χρονική στιγμή $ t $ η ταχύτητα ήταν ίση με $ 12 $, συνθέστε και λύστε την εξίσωση:

Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου

Θυμηθείτε ότι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που δεν είναι παράλληλη με τους άξονες συντεταγμένων μπορεί να γραφτεί με τη μορφή $ y = kx + b $, όπου $ k $ είναι η κλίση της ευθείας. Ο συντελεστής $ k $ είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μεταξύ της ευθείας γραμμής και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα $ Ox $.

Η παράγωγος της συνάρτησης $ f (x) $ στο σημείο $ x_0 $ είναι ίση με την κλίση $ k $ της εφαπτομένης στο γράφημα σε αυτό το σημείο:

Επομένως, μπορούμε να συντάξουμε μια γενική ισότητα:

$ f "(x_0) = k = tgα $

Στο σχήμα, η εφαπτομένη στη συνάρτηση $ f (x) $ αυξάνεται, επομένως, ο συντελεστής $ k> 0 $. Αφού $ k> 0 $, τότε $ f "(x_0) = tgα> 0 $. Η γωνία $ α $ μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης $ Ox $ είναι οξεία.

Στο σχήμα, η εφαπτομένη στη συνάρτηση $ f (x) $ μειώνεται, επομένως, ο συντελεστής $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Στο σχήμα, η εφαπτομένη στη συνάρτηση $ f (x) $ είναι παράλληλη με τον άξονα $ Ox $, επομένως, ο συντελεστής $ k = 0 $, επομένως, $ f "(x_0) = tan α = 0 $. σημείο $ x_0 $ στο οποίο καλείται $ f "(x_0) = 0 $ άκρο.

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $ y = f (x) $ και την εφαπτομένη σε αυτή τη γραφική παράσταση, σχεδιασμένη στο σημείο με την τετμημένη $ x_0 $. Βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης $ f (x) $ στο σημείο $ x_0 $.

Η εφαπτομένη στο γράφημα αυξάνεται, επομένως, $ f "(x_0) = tg α> 0 $

Για να βρείτε το $ f "(x_0) $, βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα $ Ox $. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την εφαπτομένη στο τρίγωνο $ ABC $.

Βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας $ BAC $. (Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

Απάντηση: 0,25 $

Η παράγωγος χρησιμοποιείται επίσης για την εύρεση των διαστημάτων των συναρτήσεων αύξησης και μείωσης:

Εάν $ f "(x)> 0 $ στο διάστημα, τότε η συνάρτηση $ f (x) $ αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.

Αν $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $ y = f (x) $. Βρείτε ανάμεσα στα σημεία $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.

Σε απάντηση, σημειώστε τον αριθμό των πόντων που δίνονται.

Στην εργασία με αριθμό 13 του USE στα μαθηματικά του βασικού επιπέδου, θα πρέπει να επιδείξετε τις δεξιότητες και τις γνώσεις μιας από τις έννοιες της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης: παράγωγοι σε ένα σημείο ή ρυθμοί αύξησης ή μείωσης. Η θεωρία θα προστεθεί σε αυτήν την εργασία λίγο αργότερα, αλλά αυτό δεν μας εμποδίζει να αναλύσουμε λεπτομερώς αρκετές τυπικές επιλογές.

Ανάλυση τυπικών επιλογών για τις εργασίες Νο 14 της ΧΡΗΣΗΣ στα μαθηματικά του βασικού επιπέδου

Επιλογή 14MB1

Το γράφημα δείχνει την εξάρτηση της θερμοκρασίας από το χρόνο κατά τη διάρκεια της προθέρμανσης ενός κινητήρα επιβατικού αυτοκινήτου. Ο οριζόντιος άξονας δείχνει τον χρόνο σε λεπτά που έχουν περάσει από την εκκίνηση του κινητήρα. ο κατακόρυφος άξονας είναι η θερμοκρασία του κινητήρα σε βαθμούς Κελσίου.

Χρησιμοποιώντας το γράφημα, αντιστοιχίστε σε κάθε χρονικό διάστημα το χαρακτηριστικό της διαδικασίας προθέρμανσης του κινητήρα σε αυτό το διάστημα.

Στον πίνακα, κάτω από κάθε γράμμα, σημειώστε τον αντίστοιχο αριθμό.

Αλγόριθμος εκτέλεσης:

1. Επιλέξτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο έπεσε η θερμοκρασία.
2. Εφαρμόστε έναν χάρακα στους 30 ° C και προσδιορίστε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο η θερμοκρασία ήταν κάτω από 30 ° C.

Λύση:

Ας επιλέξουμε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο έπεσε η θερμοκρασία. Αυτή η περιοχή είναι ορατή με γυμνό μάτι, ξεκινά 8 λεπτά από τη στιγμή που τίθεται σε λειτουργία ο κινητήρας.

Εφαρμόστε έναν χάρακα στους 30 ° C και προσδιορίστε το χρονικό διάστημα στο οποίο η θερμοκρασία ήταν κάτω από 30 ° C.

Κάτω από τον χάρακα θα υπάρχει ένα τμήμα που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα 0 - 1 λεπτό.

Χρησιμοποιώντας ένα μολύβι και ένα χάρακα, θα βρούμε σε ποιο χρονικό διάστημα η θερμοκρασία ήταν στην περιοχή από 40 ° C έως 80 ° C.

Ας παραλείψουμε τις καθέτους από τα σημεία που αντιστοιχούν σε 40 ° C και 80 ° C στη γραφική παράσταση, και από τα ληφθέντα σημεία θα παραλείψουμε τις κάθετες στον άξονα του χρόνου.

Βλέπουμε ότι αυτό το διάστημα θερμοκρασίας αντιστοιχεί σε ένα χρονικό διάστημα 3 - 6,5 λεπτών. Δηλαδή από αυτά που δίνονται στη συνθήκη 3 - 6 λεπτά.

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο εξάλειψης για να επιλέξουμε την απάντηση που λείπει.

Επιλογή 14MB2

Λύση:

Ας αναλύσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. Αν η συνάρτηση αυξάνεται, τότε η παράγωγος είναι θετική και το αντίστροφο. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν στα άκρα σημεία.

Πρώτον, η συνάρτηση Α αυξάνεται, δηλ. το παράγωγο είναι θετικό. Αυτό αντιστοιχεί στα γραφήματα των παραγώγων 2 και 3. Στο μέγιστο σημείο της συνάρτησης x = -2, δηλαδή σε αυτό το σημείο η παράγωγος πρέπει να είναι μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται από το γράφημα με αριθμό 3.

Πρώτον, η συνάρτηση Β μειώνεται, δηλ. το παράγωγο είναι αρνητικό. Αυτό αντιστοιχεί στα γραφήματα των παραγώγων 1 και 4. Το μέγιστο σημείο της συνάρτησης είναι x = -2, δηλαδή σε αυτό το σημείο η παράγωγος πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται από το γράφημα με αριθμό 4.

Πρώτον, η συνάρτηση Β αυξάνεται, δηλ. το παράγωγο είναι θετικό. Αυτό αντιστοιχεί στα γραφήματα των παραγώγων 2 και 3. Το μέγιστο σημείο της συνάρτησης x = 1, δηλαδή σε αυτό το σημείο η παράγωγος πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται από το γράφημα με αριθμό 2.

Με τη μέθοδο της εξάλειψης, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Γ αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της παραγώγου στον αριθμό 1.

Απάντηση: 3421.

Επιλογή 14MB3

Αλγόριθμος εκτέλεσης για καθεμία από τις συναρτήσεις:

1. Προσδιορίστε τα διαστήματα αυξανόμενων και φθίνουσες συναρτήσεις.
2. Προσδιορίστε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία των συναρτήσεων.
3. Βγάλτε συμπεράσματα, βάλτε τα προτεινόμενα χρονοδιαγράμματα σε ευθυγράμμιση.

Λύση:

Ας αναλύσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Α.

Εάν η συνάρτηση αυξάνεται, τότε η παράγωγος είναι θετική και το αντίστροφο. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν στα άκρα σημεία.

Το ακραίο σημείο είναι το σημείο στο οποίο επιτυγχάνεται η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης.

Πρώτον, η συνάρτηση Α αυξάνεται, δηλ. το παράγωγο είναι θετικό. Αυτό αντιστοιχεί στα γραφήματα των παραγώγων 3 και 4. Στο μέγιστο σημείο της συνάρτησης x = 0, δηλαδή σε αυτό το σημείο η παράγωγος πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται από το γράφημα με αριθμό 4.

Ας αναλύσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Β.

Πρώτον, η συνάρτηση Β μειώνεται, δηλ. το παράγωγο είναι αρνητικό. Αυτό αντιστοιχεί στα γραφήματα των παραγώγων 1 και 2. Το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης είναι x = -1, δηλαδή σε αυτό το σημείο η παράγωγος πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται από το γράφημα με αριθμό 2.

Ας αναλύσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Β.

Πρώτον, η συνάρτηση Β μειώνεται, δηλ. το παράγωγο είναι αρνητικό. Αυτό αντιστοιχεί στα γραφήματα των παραγώγων 1 και 2. Το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης x = 0, δηλαδή σε αυτό το σημείο η παράγωγος πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Αυτή η προϋπόθεση πληρούται από το γράφημα με αριθμό 1.

Με τη μέθοδο της εξάλειψης, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Γ αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της παραγώγου στον αριθμό 3.

Απάντηση: 4213.

Επιλογή 14MB4

Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και των εφαπτομένων που σύρονται σε αυτήν σε σημεία με τετμημένες A, B, C και D.Η δεξιά στήλη δείχνει τις τιμές της παραγώγου στα σημεία A, B, C και D. Χρησιμοποιώντας το γράφημα, αντιστοιχίστε σε κάθε σημείο την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε αυτό.

ΠΟΝΤΕΣ
ΕΝΑ
V
ΜΕ
ρε

ΟΙ ΑΞΙΕΣ ΤΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Ας θυμηθούμε τι σημαίνει το παράγωγο, δηλαδή, η τιμή του στο σημείο - η τιμή της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης (συντελεστής) της εφαπτομένης.

Στις απαντήσεις, έχουμε δύο θετικές και δύο αρνητικές επιλογές. Όπως θυμόμαστε, αν ο συντελεστής μιας ευθείας γραμμής (γραφικά y = kx + b) θετική, τότε η ευθεία αυξάνεται, εάν είναι αρνητική, τότε η ευθεία μειώνεται.

Έχουμε δύο αύξουσες ευθείες - στα σημεία Α και Δ. Ας θυμηθούμε τώρα τι σημαίνει η τιμή του συντελεστή k;

Ο συντελεστής k δείχνει πόσο γρήγορα αυξάνεται ή μειώνεται η συνάρτηση (στην πραγματικότητα, ο ίδιος ο συντελεστής k είναι η παράγωγος της συνάρτησης y = kx + b).

Επομένως, το k = 2/3 αντιστοιχεί σε μια πιο επίπεδη γραμμή - D και k = 3 - A.

Ομοίως, στην περίπτωση αρνητικών τιμών: το σημείο Β αντιστοιχεί σε μια πιο απότομη ευθεία με k = - 4, και το σημείο C - -1/2.

Επιλογή 14MB5

Στο σχήμα, οι τελείες δείχνουν τις μηνιαίες πωλήσεις θερμαντικών σωμάτων στο κατάστημα οικιακών συσκευών. Οι μήνες εμφανίζονται οριζόντια και ο αριθμός των θερμαντήρων που πωλούνται κάθετα. Για λόγους σαφήνειας, τα σημεία συνδέονται με μια γραμμή.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα, αντιστοιχίστε καθεμία από τις υποδεικνυόμενες χρονικές περιόδους με ένα χαρακτηριστικό πώλησης των θερμαντήρων.

Αλγόριθμος Εκτέλεσης

Αναλύουμε τα μέρη του γραφήματος που αντιστοιχούν σε διαφορετικές εποχές. Διατυπώνουμε τις καταστάσεις που εμφανίζονται στο διάγραμμα. Βρίσκουμε τις πιο κατάλληλες επιλογές απάντησης για αυτούς.

Λύση:

Το χειμώνα ο αριθμός των πωλήσεων ξεπερνούσε τα 120 τμχ/μήνα και αυξανόταν συνεχώς. Αυτή η κατάσταση αντιστοιχεί στην απάντηση αριθμό 3. Εκείνοι. παίρνουμε: Α – 3.

Την άνοιξη, οι πωλήσεις μειώθηκαν σταδιακά από 120 θερμάστρες το μήνα σε 50. Η επιλογή 2 είναι η πιο κοντινή σε αυτή τη διατύπωση. Εχουμε: Β – 2.

Το καλοκαίρι ο αριθμός των πωλήσεων δεν άλλαξε και ήταν ελάχιστος. Το δεύτερο μέρος αυτής της διατύπωσης δεν αντικατοπτρίζεται στις απαντήσεις και μόνο το # 4 είναι κατάλληλο για το πρώτο. Άρα έχουμε: ΣΤΙΣ 4.

Το φθινόπωρο οι πωλήσεις αυξήθηκαν, αλλά ο αριθμός τους σε κανέναν από τους μήνες δεν ξεπέρασε τις 100 μονάδες. Αυτή η κατάσταση περιγράφεται στην επιλογή #1. Παίρνουμε: Ζ – 1.

Επιλογή 14MB6

Το γράφημα δείχνει την εξάρτηση της ταχύτητας ενός κανονικού λεωφορείου από την ώρα. Στον κατακόρυφο άξονα η ταχύτητα του λεωφορείου σημειώνεται σε km / h, στον οριζόντιο άξονα - ο χρόνος σε λεπτά από την έναρξη της κίνησης του λεωφορείου.

Χρησιμοποιώντας το γράφημα, αντιστοιχίστε σε κάθε χρονικό διάστημα το χαρακτηριστικό της κίνησης του διαύλου σε αυτό το διάστημα.

Αλγόριθμος Εκτέλεσης

1. Προσδιορίστε την τιμή διαίρεσης στην οριζόντια και κάθετη κλίμακα.
2. Αναλύουμε με τη σειρά τις προτεινόμενες προτάσεις 1–4 από τη δεξιά στήλη ("Χαρακτηριστικά"). Τα συγκρίνουμε με τα χρονικά διαστήματα από την αριστερή στήλη του πίνακα, βρίσκουμε τα ζευγάρια «γράμμα-αριθμός» για την απάντηση.

Λύση:

Η διαίρεση στην οριζόντια κλίμακα είναι 1 s και η κάθετη κλίμακα είναι 20 km / h.

1. Όταν το λεωφορείο κάνει στάση, η ταχύτητά του είναι 0. Το λεωφορείο είχε μηδενική ταχύτητα για 2 λεπτά στη σειρά μόνο από το 9ο έως το 11ο λεπτό. Αυτός ο χρόνος εμπίπτει στο διάστημα 8–12 λεπτών. Λοιπόν, έχουμε ένα ζευγάρι για την απάντηση: Β – 1.
2. Το λεωφορείο είχε ταχύτητα 20 km/h και άνω για αρκετά χρονικά διαστήματα. Επιπλέον, η επιλογή Α δεν είναι κατάλληλη εδώ, επειδή, για παράδειγμα, στο 7ο λεπτό η ταχύτητα ήταν 60 km / h, η επιλογή B - επειδή έχει ήδη εφαρμοστεί, η επιλογή D - επειδή στην αρχή και στο τέλος του διαστήματος το λεωφορείο είχε μηδενική ταχύτητα... Σε αυτή την περίπτωση, η επιλογή Β είναι κατάλληλη (12–16 λεπτά). Σε αυτό το διάστημα, το λεωφορείο ξεκινά να κινείται με ταχύτητα 40 km/h, στη συνέχεια επιταχύνει στα 100 km/h και στη συνέχεια μειώνει σταδιακά την ταχύτητα στα 20 km/h. Έτσι, έχουμε: ΣΤΟ 2.
3. Το όριο ταχύτητας ορίζεται εδώ. Ταυτόχρονα, δεν εξετάζουμε τις επιλογές Β και Γ. Τα υπόλοιπα διαστήματα Α και Δ είναι και τα δύο κατάλληλα. Επομένως, θα ήταν σωστό να εξετάσετε πρώτα την 4η επιλογή και μετά να επιστρέψετε ξανά στην 3η.
4. Από τα δύο εναπομείναντα διαστήματα, μόνο τα 4–8 λεπτά είναι κατάλληλα για το χαρακτηριστικό Νο. 4, αφού σε αυτό το διάστημα έγινε διακοπή (στο 6ο λεπτό). Στο μεσοδιάστημα των 18-22 λεπτών δεν έγιναν στάσεις. Παίρνουμε: Α – 4... Επομένως, για το χαρακτηριστικό Νο. 3 είναι απαραίτητο να ληφθεί το διάστημα Г, δηλ. αποδεικνύεται ένα ζευγάρι Ζ – 3.

Επιλογή 14MB7

Το διάστικτο σχήμα δείχνει την αύξηση του πληθυσμού της Κίνας από το 2004 έως το 2013. Οριζόντια δείχνει το έτος, κάθετα - αύξηση πληθυσμού ως ποσοστό (αύξηση πληθυσμού σε σχέση με πέρυσι). Για λόγους σαφήνειας, τα σημεία συνδέονται με μια γραμμή.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα, αντιστοιχίστε καθεμία από τις υποδεικνυόμενες χρονικές περιόδους με τα χαρακτηριστικά της αύξησης του πληθυσμού της Κίνας κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου..

Αλγόριθμος Εκτέλεσης

1. Προσδιορίστε την τιμή διαίρεσης της κάθετης κλίμακας της εικόνας. Βρίσκεται ως η διαφορά μεταξύ ενός ζεύγους παρακείμενων τιμών κλίμακας, διαιρούμενη με το 2 (αφού υπάρχουν 2 διαιρέσεις μεταξύ δύο γειτονικών τιμών).
2. Αναλύουμε διαδοχικά τα χαρακτηριστικά 1–4 που δίνονται στη συνθήκη (αριστερή στήλη πίνακα). Συγκρίνουμε καθένα από αυτά με μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο (δεξιά στήλη πίνακα).

Λύση:

Η διαίρεση της κάθετης κλίμακας είναι 0,01%.

1. Η πτώση της ανάπτυξης συνεχίστηκε συνεχώς από το 2004 έως το 2010. Την περίοδο 2010–2011, η ανάπτυξη ήταν σταθερά ελάχιστη και από το 2012 άρχισε να αυξάνεται. Εκείνοι. η ανάπτυξη σταμάτησε το 2010. Φέτος είναι στην περίοδο 2009–2011. Αντίστοιχα, έχουμε: ΣΕ 1.
2. Η «πιο απότομη» πτωτική γραμμή του γραφήματος στο σχήμα θα πρέπει να θεωρείται η μεγαλύτερη πτώση στην ανάπτυξη. Αφορά την περίοδο 2006-2007. και είναι 0,04% ετησίως (0,59-0,56 = 0,04% το 2006 και 0,56-0,52 = 0,04% το 2007). Από εδώ παίρνουμε: Α2.
3. Η ανάπτυξη που αναφέρεται στο χαρακτηριστικό Νο. 3 ξεκίνησε το 2007, συνεχίστηκε το 2008 και ολοκληρώθηκε το 2009. Αυτό αντιστοιχεί στη χρονική περίοδο Β, δηλ. έχουμε: Β – 3.
4. Η πληθυσμιακή αύξηση άρχισε να αυξάνεται μετά το 2011, δηλ. το 2012-2013 Επομένως, παίρνουμε: G-4.

Επιλογή 14MB8

Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και των εφαπτομένων που σύρονται σε αυτήν σε σημεία με τετμημένες A, B, C και D.

Η δεξιά στήλη δείχνει τις τιμές της παραγώγου της συνάρτησης στα σημεία A, B, C και D. Χρησιμοποιώντας το γράφημα, αντιστοιχίστε σε κάθε σημείο την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε αυτό.

Αλγόριθμος Εκτέλεσης

1. Θεωρήστε ένα ζεύγος εφαπτομένων που έχει οξεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα της τετμημένης. Τα συγκρίνουμε, βρίσκουμε μια αντιστοιχία μεταξύ του ζεύγους των αντίστοιχων τιμών των παραγώγων.
2. Θεωρήστε ένα ζεύγος εφαπτομένων που σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα της τετμημένης. Τα συγκρίνουμε σε απόλυτη τιμή, προσδιορίζουμε την αντιστοιχία τους με τις τιμές των παραγώγων μεταξύ των δύο που παραμένουν στη δεξιά στήλη.

Λύση:

Μια οξεία γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης σχηματίζεται από παράγωγα στο σημείο Β και στο σημείο Γ. Αυτά τα παράγωγα έχουν θετικές τιμές. Επομένως, εδώ θα πρέπει να επιλέξετε μεταξύ των τιμών Νο. 1 και 3. Εφαρμόζοντας τον κανόνα ότι εάν η γωνία είναι μικρότερη από 45 0, τότε η παράγωγος είναι μικρότερη από 1 και εάν είναι μεγαλύτερη, τότε μεγαλύτερη από 1, καταλήγουμε στο συμπέρασμα: στο σημείο Β, η παράγωγος στο συντελεστή είναι μεγαλύτερη από 1, στο σημείο Γ - μικρότερη από 1. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να κάνετε ζεύγη για την απάντηση: ΣΤΙΣ 3και С – 1.

Οι παράγωγοι στο σημείο Α και στο σημείο Δ σχηματίζουν αμβλεία γωνία με τη θετική φορά της τετμημένης. Και εδώ εφαρμόζουμε τον ίδιο κανόνα, παραφράζοντάς τον λίγο: όσο περισσότερο «πιέζεται» η εφαπτομένη στο σημείο στην γραμμή της τετμημένης (στην αρνητική της φορά), τόσο μεγαλύτερη είναι σε απόλυτη τιμή. Τότε παίρνουμε: η παράγωγος στο σημείο Α είναι μικρότερη σε απόλυτη τιμή από την παράγωγο στο σημείο Δ. Ως εκ τούτου, έχουμε ζεύγη για την απάντηση: Α2και Δ – 4.

Επιλογή 14MB9

Στο σχήμα, οι τελείες δείχνουν τη μέση ημερήσια θερμοκρασία αέρα στη Μόσχα τον Ιανουάριο του 2011. Οριζόντια δείχνει την ημέρα του μήνα, κάθετα - τη θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου. Για λόγους σαφήνειας, τα σημεία συνδέονται με μια γραμμή.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα, αντιστοιχίστε καθεμία από τις υποδεικνυόμενες χρονικές περιόδους με το χαρακτηριστικό της αλλαγής θερμοκρασίας.

Αλγόριθμος Εκτέλεσης

Αναλύουμε διαδοχικά τα χαρακτηριστικά 1-4 (δεξιά στήλη), χρησιμοποιώντας το γράφημα στο σχήμα. Το καθένα από αυτά το βάζουμε σε αντιστοιχία με μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο (αριστερή στήλη).

Λύση:

1. Αύξηση της θερμοκρασίας παρατηρήθηκε μόνο στο τέλος της περιόδου στις 22-28 Ιανουαρίου. Εδώ στις 27 και 28 αυξήθηκε κατά 1 και 2 βαθμούς αντίστοιχα. Στο τέλος της περιόδου στις 1–7 Ιανουαρίου, η θερμοκρασία ήταν σταθερή (–10 βαθμοί), στο τέλος της περιόδου 8–14 και 15–21 Ιανουαρίου, μειώθηκε (από –1 σε –2 και από –11 σε– 12 μοίρες, αντίστοιχα). Επομένως, παίρνουμε: Ζ – 1.
2. Δεδομένου ότι κάθε χρονική περίοδος καλύπτει 7 ημέρες, η θερμοκρασία πρέπει να αναλύεται ξεκινώντας από την 4η ημέρα κάθε περιόδου. Η θερμοκρασία παρέμεινε αμετάβλητη για 3-4 ημέρες μόνο από τις 4 έως τις 7 Ιανουαρίου. Επομένως, παίρνουμε την απάντηση: Α2.
3. Η ελάχιστη μηνιαία θερμοκρασία παρατηρήθηκε στις 17 Ιανουαρίου. Ο αριθμός αυτός είναι την περίοδο 15-21 Ιανουαρίου. Από εδώ έχουμε ένα ζευγάρι: ΣΤΙΣ 3.
4. Η μέγιστη θερμοκρασία έπεσε στις 10 Ιανουαρίου και ανήλθε στους +1 βαθμούς. Αυτή η ημερομηνία είναι μεταξύ 8 και 14 Ιανουαρίου. Ως εκ τούτου, έχουμε: Β – 4.

Επιλογή 14MB10

Αλγόριθμος Εκτέλεσης

1. Η τιμή της συνάρτησης σε ένα σημείο είναι θετική αν αυτό το σημείο βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ox.
2. Η παράγωγος σε ένα σημείο είναι μεγαλύτερη από το μηδέν εάν η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει οξεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα Ox.

Λύση:

Σημείο Α. Είναι κάτω από τον άξονα Ox, που σημαίνει ότι η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι αρνητική. Εάν σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε αυτό, τότε η γωνία μεταξύ αυτής και της θετικής κατεύθυνσης Ox θα είναι περίπου 90 0, δηλ. σχηματίζει οξεία γωνία. Έτσι, σε αυτή την περίπτωση, ο χαρακτηριστικός αριθμός 3 είναι κατάλληλος. Εκείνοι. έχουμε: Α – 3.

Σημείο Β. Βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ox, δηλ. το σημείο έχει θετική συνάρτηση. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο θα είναι αρκετά κοντά στον άξονα της τετμημένης, σχηματίζοντας αμβλεία γωνία (λίγο μικρότερη από 180 0) με τη θετική της φορά. Αντίστοιχα, το παράγωγο σε αυτό το σημείο είναι αρνητικό. Επομένως, εδώ είναι κατάλληλο το χαρακτηριστικό 1. Παίρνουμε την απάντηση: ΣΕ 1.

Σημείο Γ. Το σημείο βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ox, η εφαπτομένη σε αυτό σχηματίζει μια μεγάλη αμβλεία γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης. Εκείνοι. στο σημείο Γ, η τιμή τόσο της συνάρτησης όσο και της παραγώγου είναι αρνητική, η οποία αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό Νο. 2. Απάντηση: Γ – 2.

Σημείο Δ. Το σημείο βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ox και η εφαπτομένη σε αυτό σχηματίζει οξεία γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Αυτό υποδηλώνει ότι τόσο η τιμή της συνάρτησης όσο και η τιμή της παραγώγου είναι μεγαλύτερες από το μηδέν εδώ. Απάντηση: Δ – 4.

Επιλογή 14MB11

Στο σχήμα, οι τελείες δείχνουν τις μηνιαίες πωλήσεις ψυγείων στο κατάστημα οικιακών συσκευών. Οι μήνες εμφανίζονται οριζόντια και ο αριθμός των ψυγείων που πωλούνται κατακόρυφα. Για λόγους σαφήνειας, τα σημεία συνδέονται με μια γραμμή.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα, αντιστοιχίστε καθεμία από τις υποδεικνυόμενες χρονικές περιόδους με ένα χαρακτηριστικό πωλήσεων των ψυγείων..