Το διάγραμμα στο σχήμα 5:

Και επόμενο παράδειγμα: Λύστε την ανισότητα 0,6 2x - 3< 0,36 .

Ακολουθώντας το σχήμα στο σχήμα 5, λαμβάνουμε
2x - 3> log 0,6 0,36,
2x - 3> 2,
2x> 5,
x> 2,5

Απάντηση: (2,5; +∞) .

Εξετάστε το τελευταίο σχήμα για την επίλυση μιας ανισότητας της μορφής a f (x)< b , στο α> 0και σι<0 φαίνεται στο Σχήμα 6:

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την ανισότητα:

Σημειώνουμε ότι ανεξάρτητα από τον αριθμό που αντικαθιστούμε για το x, η αριστερή πλευρά της ανίσωσης είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και η έκφρασή μας είναι μικρότερη από -8, δηλ. και μηδέν, τότε δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: χωρίς λύσεις.

Γνωρίζοντας πώς λύνονται οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις, μπορεί κανείς να προχωρήσει επίλυση εκθετικών ανισώσεων.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή x που να ικανοποιεί την ανισότητα

Εφόσον το 6 x είναι μεγαλύτερο από το μηδέν (για οποιοδήποτε x ο παρονομαστής δεν εξαφανίζεται), πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί 6 x, παίρνουμε:

440 - 2 6 2x> 8, λοιπόν
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

Χ< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Απάντηση: 1.

Παράδειγμα 2.

Λύστε την ανισότητα 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

Συμβολίζουμε 2 x έως y, λαμβάνουμε την ανισότητα y 2 - 3y + 2 ≤ 0, λύνουμε αυτήν την τετραγωνική ανισότητα.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 και y 2 = 2.

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, θα απεικονίσουμε το γράφημα:

Τότε η λύση της ανισότητας είναι η ανίσωση 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Απάντηση: (0; 1) .

Παράδειγμα 3... Λύστε την ανισότητα 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Ας συλλέξουμε εκφράσεις με τις ίδιες βάσεις σε ένα μέρος της ανισότητας

5 x +1 - 2,5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Βγάζουμε 5 x στην αριστερή πλευρά της ανισότητας και 3 x στη δεξιά πλευρά της ανισότητας και παίρνουμε την ανισότητα

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με την έκφραση 3 3 x, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει, αφού το 3 3 x είναι θετικός αριθμός, παίρνουμε την ανισότητα:

Χ< 2 (так как 5/3 > 1).

Απάντηση: (–∞; 2) .

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με την επίλυση εκθετικών ανισοτήτων ή θέλετε να εξασκηθείτε στην επίλυση παρόμοιων παραδειγμάτων, εγγραφείτε στα μαθήματά μου. Καθηγήτρια Valentina Galinevskaya.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Και σήμερα, οι ορθολογικές ανισότητες δεν μπορούν να λύσουν τα πάντα. Πιο συγκεκριμένα, δεν μπορεί να αποφασίσει μόνο ο καθένας. Λίγοι μπορούν να το κάνουν αυτό.
Κλίτσκο

Αυτό το μάθημα θα είναι σκληρό. Τόσο σκληρά που μόνο οι Εκλεκτοί θα φτάσουν στο τέλος. Επομένως, πριν ξεκινήσετε την ανάγνωση, συνιστώ να αφαιρέσετε γυναίκες, γάτες, έγκυα παιδιά και ...

Έλα, είναι πραγματικά απλό. Ας υποθέσουμε ότι έχετε κατακτήσει τη μέθοδο των διαστημάτων (αν δεν την έχετε κατακτήσει, σας συνιστώ να επιστρέψετε και να τη διαβάσετε) και μάθετε πώς να επιλύετε ανισότητες της μορφής $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) \ gt 0 $, όπου $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) $ είναι κάποιο πολυώνυμο ή γινόμενο πολυωνύμων.

Πιστεύω ότι δεν θα σας είναι δύσκολο να λύσετε, για παράδειγμα, αυτό το είδος παιχνιδιού (παρεμπιπτόντως, δοκιμάστε το για προθέρμανση):

\ [\ start (στοίχιση) & \ αριστερά (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ δεξιά) \ αριστερά (4x + 25 \ δεξιά) \ gt 0; \\ & x \ αριστερά (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ δεξιά) \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ ge 0; \\ & \ αριστερά (8x - ((x) ^ (4)) \ δεξιά) ((\ αριστερά (x-5 \ δεξιά)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο την εργασία και ας εξετάσουμε όχι μόνο τα πολυώνυμα, αλλά τα λεγόμενα ορθολογικά κλάσματα της μορφής:

όπου $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) $ και $ Q \ αριστερά (x \ δεξιά) $ είναι όλα τα ίδια πολυώνυμα της μορφής $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, ή το γινόμενο τέτοιων πολυωνύμων.

Αυτό θα είναι ορθολογική ανισότητα. Το θεμελιώδες σημείο είναι η παρουσία της μεταβλητής $ x $ στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, αυτές είναι ορθολογικές ανισότητες:

\ [\ start (στοίχιση) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ αριστερά (7x + 1 \ δεξιά) \ αριστερά (11x + 2 \ δεξιά)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ αριστερά (3-x \ δεξιά)) ^ (2)) \ αριστερά (4 - ((x) ^ ( 2)) \ δεξιά)) \ ge 0. \\ \ τέλος (ευθυγράμμιση) \]

Και αυτή δεν είναι μια ορθολογική, αλλά η πιο κοινή ανισότητα, η οποία λύνεται με τη μέθοδο των διαστημάτων:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

Κοιτάζοντας μπροστά, θα πω αμέσως: υπάρχουν τουλάχιστον δύο τρόποι για να λυθούν οι ορθολογικές ανισότητες, αλλά όλοι κατά κάποιο τρόπο μειώνονται στη μέθοδο των διαστημάτων που είναι ήδη γνωστά σε εμάς. Επομένως, πριν εξετάσουμε αυτές τις μεθόδους, ας θυμηθούμε τα παλιά γεγονότα, διαφορετικά δεν θα υπάρχει νόημα από το νέο υλικό.

Τι πρέπει να γνωρίζετε ήδη

Δεν υπάρχουν πολλά σημαντικά γεγονότα. Πραγματικά χρειαζόμαστε μόνο τέσσερις.

Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού

Ναι, ναι: θα μας στοιχειώνουν σε όλο το σχολικό πρόγραμμα μαθηματικών. Και στο πανεπιστήμιο επίσης. Υπάρχουν αρκετοί από αυτούς τους τύπους, αλλά χρειαζόμαστε μόνο τα εξής:

\ [\ start (στοίχιση) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ αριστερά (a \ pm b \ δεξιά)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((β) ^ (2)) = \ αριστερά (a-b \ δεξιά) \ αριστερά (a + b \ δεξιά); \\ & ((a) ^ (3)) + ((β) ^ (3)) = \ αριστερά (a + b \ δεξιά) \ αριστερά (((a) ^ (2)) - ab + ((β ) ^ (2)) \ δεξιά); \\ & ((a) ^ (3)) - ((β) ^ (3)) = \ αριστερά (ab \ δεξιά) \ αριστερά (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ δεξιά). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Δώστε προσοχή στους δύο τελευταίους τύπους - αυτοί είναι το άθροισμα και η διαφορά των κύβων (όχι ο κύβος αθροίσματος ή διαφοράς!). Είναι εύκολο να τα θυμάστε αν παρατηρήσετε ότι το πρόσημο στην πρώτη παρένθεση ταιριάζει με το πρόσημο στην αρχική έκφραση και στη δεύτερη είναι το αντίθετο από το πρόσημο στην αρχική έκφραση.

Γραμμικές εξισώσεις

Αυτές είναι οι απλούστερες εξισώσεις της μορφής $ ax + b = 0 $, όπου $ a $ και $ b $ είναι συνηθισμένοι αριθμοί, με $ a \ ne 0 $. Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί απλά:

\ [\ έναρξη (ευθυγράμμιση) & ax + b = 0; \\ & τσεκούρι = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Σημειώστε ότι έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε με τον συντελεστή $ a $, επειδή $ a \ ne 0 $. Αυτή η απαίτηση είναι αρκετά λογική, αφού για $ a = 0 $ παίρνουμε αυτό:

Πρώτον, δεν υπάρχει μεταβλητή $ x $ σε αυτήν την εξίσωση. Σε γενικές γραμμές, αυτό δεν πρέπει να μας μπερδεύει (αυτό συμβαίνει, ας πούμε, στη γεωμετρία, και αρκετά συχνά), αλλά παρόλα αυτά δεν αντιμετωπίζουμε πλέον μια γραμμική εξίσωση.

Δεύτερον, η λύση αυτής της εξίσωσης εξαρτάται αποκλειστικά από τον συντελεστή $ b $. Αν το $ b $ είναι επίσης μηδέν, τότε η εξίσωσή μας έχει τη μορφή $ 0 = 0 $. Αυτή η ισότητα είναι πάντα αληθινή. Επομένως, το $ x $ είναι οποιοσδήποτε αριθμός (συνήθως γράφεται ως εξής: $ x \ in \ mathbb (R) $). Εάν ο συντελεστής $ b $ δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε η ισότητα $ b = 0 $ δεν ικανοποιείται ποτέ, δηλ. καμία απάντηση (γράψτε $ x \ στο \ varnothing $ και διαβάστε "το σύνολο λύσεων είναι κενό").

Για να αποφύγουμε όλες αυτές τις επιπλοκές, απλώς υποθέτουμε $ a \ ne 0 $, κάτι που σε καμία περίπτωση δεν περιορίζει την περαιτέρω σκέψη μας.

Τετραγωνικές εξισώσεις

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι αυτό ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση:

Εδώ στα αριστερά είναι ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, και πάλι $ a \ ne 0 $ (διαφορετικά, αντί για τετραγωνική εξίσωση, παίρνουμε μια γραμμική). Οι παρακάτω εξισώσεις λύνονται μέσω της διάκρισης:

1. Αν $ D \ gt 0 $, παίρνουμε δύο διαφορετικές ρίζες.
2. Εάν $ D = 0 $, τότε θα υπάρχει μια ρίζα, αλλά η δεύτερη πολλαπλότητα (τι είναι αυτή η πολλαπλότητα και πώς να τη λάβετε υπόψη - περισσότερα για αυτό αργότερα). Ή μπορούμε να πούμε ότι η εξίσωση έχει δύο ίδιες ρίζες.
3. Για $ D \ lt 0 $, δεν υπάρχουν καθόλου ρίζες και το πρόσημο του πολυωνύμου $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ για οποιοδήποτε $ x $ συμπίπτει με το πρόσημο του συντελεστή $ ένα $. Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ένα πολύ χρήσιμο γεγονός, για το οποίο για κάποιο λόγο ξεχνούν να μιλήσουν στα μαθήματα άλγεβρας.

Οι ίδιες οι ρίζες θεωρούνται σύμφωνα με τον γνωστό τύπο:

\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

Ως εκ τούτου, παρεμπιπτόντως, και οι περιορισμοί στη διάκριση. Άλλωστε η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν υπάρχει. Όσο για τις ρίζες, πολλοί μαθητές έχουν ένα τρομερό χάος στο κεφάλι τους, γι 'αυτό έγραψα ειδικά ένα ολόκληρο μάθημα: τι είναι μια ρίζα στην άλγεβρα και πώς να την μετρήσετε - συνιστώ ανεπιφύλακτα να το διαβάσετε. :)

Ενέργειες με λογικά κλάσματα

Όλα όσα γράφτηκαν παραπάνω, τα ξέρετε ήδη αν έχετε μελετήσει τη μέθοδο των διαστημάτων. Αλλά αυτό που θα αναλύσουμε τώρα δεν έχει ανάλογα στο παρελθόν - αυτό είναι ένα εντελώς νέο γεγονός.

Ορισμός. Ένα ορθολογικό κλάσμα είναι μια έκφραση όπως

\ [\ frac (P \ αριστερά (x \ δεξιά)) (Q \ αριστερά (x \ δεξιά)) \]

όπου $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) $ και $ Q \ αριστερά (x \ δεξιά) $ είναι πολυώνυμα.

Προφανώς, είναι εύκολο να ληφθεί μια ανισότητα από ένα τέτοιο κλάσμα - αρκεί απλώς να αντιστοιχίσετε το σύμβολο "περισσότερο" ή "λιγότερο" στα δεξιά. Και λίγο πιο πέρα ​​θα ανακαλύψουμε ότι είναι ευχαρίστηση να λύνεις τέτοια προβλήματα, όλα είναι πολύ απλά εκεί.

Τα προβλήματα ξεκινούν όταν υπάρχουν πολλά τέτοια κλάσματα σε μια παράσταση. Πρέπει να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή - και είναι αυτή τη στιγμή που γίνεται μεγάλος αριθμός επιθετικών λαθών.

Επομένως, για να λύσετε με επιτυχία ορθολογικές εξισώσεις, πρέπει να κατέχετε σταθερά δύο δεξιότητες:

1. Παραγοντοποίηση του πολυωνύμου $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) $;
2. Στην πραγματικότητα, η αναγωγή των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Πώς να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο; Πολύ απλό. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πολυώνυμο της μορφής

Το εξισώνουμε με μηδέν. Λαμβάνουμε την εξίσωση του $ n $ -ου βαθμού:

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( α) _ (1)) x + ((α) _ (0)) = 0 \]

Ας υποθέσουμε ότι λύσαμε αυτήν την εξίσωση και πήραμε τις ρίζες $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (μην ανησυχείτε: στις περισσότερες περιπτώσεις θα υπάρχουν όχι περισσότερες από δύο από αυτές τις ρίζες) ... Σε αυτήν την περίπτωση, το αρχικό μας πολυώνυμο μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

\ [\ start (στοίχιση) & P \ αριστερά (x \ δεξιά) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ αριστερά ( x - ((x) _ (1)) \ δεξιά) \ cdot \ αριστερά (x - ((x) _ (2)) \ δεξιά) \ cdot ... \ cdot \ αριστερά (x - ((x) _ ( n)) \ δεξιά) \ τέλος (στοίχιση) \]

Αυτό είναι όλο! Σημειώστε: ο συντελεστής $ ((a) _ (n)) $ δεν έχει εξαφανιστεί πουθενά - θα είναι ένας ξεχωριστός παράγοντας πριν από τις αγκύλες και, εάν είναι απαραίτητο, μπορεί να εισαχθεί σε οποιαδήποτε από αυτές τις αγκύλες (η πρακτική δείχνει ότι με $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ υπάρχουν σχεδόν πάντα κλάσματα μεταξύ των ριζών).

Εργο. Απλοποιήστε την έκφραση:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ φράκ (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

Λύση. Αρχικά, ας δούμε τους παρονομαστές: είναι όλοι γραμμικά διώνυμα, και δεν υπάρχει τίποτα να λάβουμε υπόψη. Ας συνυπολογίσουμε λοιπόν τους αριθμητές:

\ [\ start (στοίχιση) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ αριστερά (x + 5 \ δεξιά) \ αριστερά (x-4 \ δεξιά); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ αριστερά (x- \ frac (3) (2) \ δεξιά) \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) = \ αριστερά (2x- 3 \ δεξιά) \ αριστερά (x-1 \ δεξιά); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) \ αριστερά (x- \ frac (2) (5) \ δεξιά) = \ αριστερά (x +2 \ δεξιά) \ αριστερά (2-5x \ δεξιά). \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Προσοχή: στο δεύτερο πολυώνυμο, ο κύριος συντελεστής "2", σε πλήρη συμφωνία με το σχήμα μας, εμφανίστηκε πρώτα μπροστά από το στήριγμα και στη συνέχεια εισήχθη στην πρώτη αγκύλη, αφού το κλάσμα βγήκε εκεί.

Το ίδιο έγινε και στο τρίτο πολυώνυμο, μόνο που εκεί συγχέεται και η σειρά των όρων. Ωστόσο, ο συντελεστής "−5" κατέληξε στη δεύτερη παρένθεση (θυμηθείτε: μπορείτε να εισαγάγετε τον παράγοντα σε μία και μόνο παρένθεση!), Το οποίο μας έσωσε από την ταλαιπωρία που σχετίζεται με τις κλασματικές ρίζες.

Όσο για το πρώτο πολυώνυμο, όλα είναι απλά εκεί: οι ρίζες του αναζητούνται είτε με τον καθιερωμένο τρόπο μέσω της διάκρισης, είτε με το θεώρημα του Vieta.

Ας επιστρέψουμε στην αρχική έκφραση και ας την ξαναγράψουμε με τους παραγοντοποιημένους αριθμητές:

\ [\ αρχή (μήτρα) \ frac (\ αριστερά (x + 5 \ δεξιά) \ αριστερά (x-4 \ δεξιά)) (x-4) - \ frac (\ αριστερά (2x-3 \ δεξιά) \ αριστερά ( x-1 \ δεξιά)) (2x-3) - \ frac (\ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) \ αριστερά (2-5x \ δεξιά)) (x + 2) = \\ = \ αριστερά (x + 5 \ δεξιά) - \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) - \ αριστερά (2-5x \ δεξιά) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ τέλος (μήτρα) \]

Απάντηση: $5x + $4.

Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Λίγα μαθηματικά στις τάξεις 7-8 - αυτό είναι όλο. Το νόημα όλων των μετασχηματισμών είναι να αποκτήσετε κάτι απλό από μια περίπλοκη και τρομακτική έκφραση που είναι εύκολο να δουλέψετε.

Ωστόσο, αυτό δεν θα συμβαίνει πάντα. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε ένα πιο σοβαρό πρόβλημα.

Αλλά πρώτα, ας καταλάβουμε πώς να φέρουμε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Ο αλγόριθμος είναι εξαιρετικά απλός:

1. Παράγοντες και οι δύο παρονομαστές.
2. Θεωρήστε τον πρώτο παρονομαστή και προσθέστε σε αυτόν τους παράγοντες που βρίσκονται στον δεύτερο παρονομαστή, αλλά όχι στον πρώτο. Το προϊόν που προκύπτει θα είναι ο κοινός παρονομαστής.
3. Βρείτε ποιοι παράγοντες λείπουν για κάθε ένα από τα αρχικά κλάσματα, ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με τη γενική.

Ίσως αυτός ο αλγόριθμος να σας φαίνεται απλώς ένα κείμενο στο οποίο υπάρχουν "πολλά γράμματα". Επομένως, θα αναλύσουμε τα πάντα με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Εργο. Απλοποιήστε την έκφραση:

\ [\ αριστερά (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ δεξιά) \ cdot \ αριστερά (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ δεξιά) \]

Λύση. Είναι καλύτερα να λύνονται τόσο μεγάλα προβλήματα τμηματικά. Ας γράψουμε τι υπάρχει στην πρώτη παρένθεση:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]

Σε αντίθεση με το προηγούμενο πρόβλημα, εδώ δεν είναι όλα τόσο απλά με τους παρονομαστές. Ας συνυπολογίσουμε το καθένα από αυτά.

Το τετραγωνικό τριώνυμο $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί, καθώς η εξίσωση $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ δεν έχει ρίζες (η διάκριση είναι αρνητική ). Το αφήνουμε αναλλοίωτο.

Ο δεύτερος παρονομαστής - το κυβικό πολυώνυμο $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - μετά από προσεκτική εξέταση είναι η διαφορά των κύβων και μπορεί εύκολα να αποσυντεθεί σύμφωνα με τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά) \]

Τίποτα άλλο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί, αφού στην πρώτη αγκύλη υπάρχει ένα γραμμικό διώνυμο, και στη δεύτερη υπάρχει μια κατασκευή ήδη γνώριμη σε εμάς, η οποία δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Τέλος, ο τρίτος παρονομαστής είναι ένα γραμμικό διώνυμο που δεν μπορεί να αποσυντεθεί. Έτσι, η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) - \ φράκ (1) (x-2) \]

Είναι προφανές ότι ο κοινός παρονομαστής θα είναι ακριβώς $ \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά) $, και για να μειωθούν όλα τα κλάσματα σε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα σε $ \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) $ και το τελευταίο σε $ \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά) $. Τότε μένει μόνο να δώσουμε τα εξής:

\ [\ αρχή (μήτρα) \ frac (x \ cdot \ αριστερά (x-2 \ δεξιά)) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) + \ φράκ (((x) ^ (2)) + 8) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) - \ frac (1 \ cdot \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ δεξιά)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) + \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 8 \ δεξιά) - \ αριστερά ((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) = \\ = \ φράκ (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) = \\ = \ φράκ (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)). \\ \ τέλος (μήτρα) \]

Προσοχή στη δεύτερη γραμμή: όταν ο παρονομαστής είναι ήδη κοινός, δηλ. αντί για τρία ξεχωριστά κλάσματα, γράψαμε ένα μεγάλο, δεν πρέπει να απαλλαγείτε αμέσως από τις παρενθέσεις. Είναι καλύτερα να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και να σημειώσετε ότι, ας πούμε, υπήρχε ένα μείον μπροστά από το τρίτο κλάσμα - και δεν θα πάει πουθενά, αλλά θα "κολλήσει" στον αριθμητή μπροστά από την παρένθεση. Αυτό θα σας γλιτώσει από πολλά λάθη.

Λοιπόν, στην τελευταία γραμμή, είναι χρήσιμο να συνυπολογίσουμε τον αριθμητή. Επιπλέον, αυτό είναι ένα ακριβές τετράγωνο και οι συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού μας βοηθούν ξανά. Εχουμε:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά)) = \ frac (((\ αριστερά (x-2 \ δεξιά)) ^ (2))) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ δεξιά) ) = \ φράκ (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Τώρα ας αντιμετωπίσουμε το δεύτερο στήριγμα με τον ίδιο τρόπο. Εδώ θα γράψω απλώς μια αλυσίδα ισοτήτων:

\ [\ start (μήτρα) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) + \ frac (2 \ cdot \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) ) \ cdot \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) = \ φράκ (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) ). \\ \ τέλος (μήτρα) \]

Επιστρέφουμε στο αρχικό πρόβλημα και εξετάζουμε το προϊόν:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)) = \ φράκ (1) (x + 2) \]

Απάντηση: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

Το νόημα αυτής της εργασίας είναι το ίδιο με αυτό της προηγούμενης: να δείξετε πόσο μπορούν να απλοποιηθούν οι ορθολογικές εκφράσεις αν προσεγγίσετε με σύνεση τη μεταμόρφωσή τους.

Και τώρα που τα γνωρίζετε όλα αυτά, ας περάσουμε στο κύριο θέμα του σημερινού μαθήματος - επίλυση κλασματικών-ορθολογικών ανισοτήτων. Επιπλέον, μετά από μια τέτοια προετοιμασία, οι ίδιες οι ανισότητες θα σπάσουν σαν καρύδια. :)

Ο κύριος τρόπος επίλυσης ορθολογικών ανισοτήτων

Υπάρχουν τουλάχιστον δύο προσεγγίσεις για την επίλυση ορθολογικών ανισοτήτων. Τώρα θα εξετάσουμε ένα από αυτά - αυτό που είναι γενικά αποδεκτό στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών.

Αλλά πρώτα, ας σημειώσουμε μια σημαντική λεπτομέρεια. Όλες οι ανισότητες χωρίζονται σε δύο τύπους:

1. Αυστηρό: $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ gt 0 $ ή $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ lt 0 $;
2. Lax: $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ ge 0 $ ή $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ le 0 $.

Οι ανισότητες του δεύτερου τύπου μπορούν εύκολα να αναχθούν στον πρώτο, καθώς και στην εξίσωση:

Αυτή η μικρή "προσθήκη" $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) = 0 $ οδηγεί σε ένα τόσο δυσάρεστο πράγμα όπως οι γεμάτες κουκκίδες - τις γνωρίσαμε ξανά με τη μέθοδο της απόστασης. Διαφορετικά, δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ αυστηρών και μη αυστηρών ανισοτήτων, οπότε ας αναλύσουμε τον καθολικό αλγόριθμο:

1. Συλλέξτε όλα τα μη μηδενικά στοιχεία στη μία πλευρά του πρόσημου της ανισότητας. Για παράδειγμα, στα αριστερά.
2. Φέρτε όλα τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή (αν υπάρχουν πολλά τέτοια κλάσματα), φέρτε παρόμοια. Στη συνέχεια, αν είναι δυνατόν, συνυπολογίστε το στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, παίρνουμε μια ανισότητα της μορφής $ \ frac (P \ αριστερά (x \ δεξιά)) (Q \ αριστερά (x \ δεξιά)) \ vee 0 $, όπου το σημάδι επιλογής είναι το σύμβολο της ανισότητας.
3. Ρυθμίστε τον αριθμητή στο μηδέν: $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) = 0 $. Λύνουμε αυτήν την εξίσωση και παίρνουμε τις ρίζες $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... Τότε απαιτούμε ότι ο παρονομαστής δεν ήταν ίσος με μηδέν: $ Q \ αριστερά (x \ δεξιά) \ ne 0 $. Φυσικά, στην πραγματικότητα, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση $ Q \ αριστερά (x \ δεξιά) = 0 $, και παίρνουμε τις ρίζες $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (σε πραγματικά προβλήματα δύσκολα θα υπάρχουν περισσότερες από τρεις τέτοιες ρίζες).
4. Σημειώνουμε όλες αυτές τις ρίζες (με και χωρίς αστερίσκους) σε μια μόνο αριθμητική γραμμή και οι ρίζες χωρίς αστέρια ζωγραφίζονται και με αστέρια αφαιρούνται.
5. Τοποθετούμε τα σύμβολα συν και μείον, επιλέγουμε τα διαστήματα που χρειαζόμαστε. Εάν η ανισότητα μοιάζει με $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ gt 0 $, τότε η απάντηση θα είναι τα διαστήματα που σημειώνονται με "συν". Αν $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ lt 0 $, τότε κοιτάξτε τα διαστήματα με "πλην".

Η πρακτική δείχνει ότι οι μεγαλύτερες δυσκολίες προκαλούνται από τα σημεία 2 και 4 - οι ικανοί μετασχηματισμοί και η σωστή διάταξη των αριθμών σε αύξουσα σειρά. Λοιπόν, και στο τελευταίο βήμα, να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί: τοποθετούμε πάντα ταμπέλες, βασιζόμενοι σε η πιο πρόσφατη ανισότητα που γράφτηκε πριν πάει στις εξισώσεις... Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας που κληρονομήθηκε από τη μέθοδο της απόστασης.

Άρα, το σχέδιο υπάρχει. Ας εξασκηθούμε.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

Λύση. Έχουμε μπροστά μας μια αυστηρή ανισότητα της μορφής $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ lt 0 $. Προφανώς, τα σημεία 1 και 2 από το σχέδιό μας έχουν ήδη ολοκληρωθεί: όλα τα στοιχεία της ανισότητας συγκεντρώνονται στα αριστερά, τίποτα δεν χρειάζεται να φέρει τον κοινό παρονομαστή. Επομένως, πηγαίνουμε απευθείας στο τρίτο σημείο.

Ρυθμίστε τον αριθμητή στο μηδέν:

\ [\ έναρξη (στοίχιση) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ τέλος (στοίχιση) \]

Και ο παρονομαστής:

\ [\ έναρξη (στοίχιση) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Πολλοί άνθρωποι μένουν σε αυτό το μέρος, γιατί θεωρητικά πρέπει να γράψετε $ x + 7 \ ne 0 $, όπως απαιτείται από το ODZ (δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, αυτό είναι όλο). Αλλά τελικά, στο μέλλον θα αφαιρέσουμε τα σημεία που προήλθαν από τον παρονομαστή, οπότε δεν χρειάζεται να περιπλέκετε τους υπολογισμούς σας για άλλη μια φορά - γράψτε παντού ένα σύμβολο ίσου και μην ανησυχείτε. Κανείς δεν θα μειώσει τους βαθμούς για αυτό. :)

Τέταρτο σημείο. Σημειώνουμε τις ρίζες που προκύπτουν στην αριθμητική γραμμή:

Όλα τα σημεία είναι τρυπημένα επειδή η ανισότητα είναι αυστηρή

Σημείωση: όλα τα σημεία είναι τρυπημένα, αφού η αρχική ανισότητα είναι αυστηρή... Και εδώ δεν έχει σημασία αν αυτά τα σημεία προήλθαν από τον αριθμητή ή από τον παρονομαστή.

Λοιπόν, κοιτάμε τα σημάδια. Πάρτε οποιονδήποτε αριθμό $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. Για παράδειγμα, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (αλλά θα μπορούσατε εξίσου να έχετε πάρει $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ ή $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). Παίρνουμε:

Έτσι, στα δεξιά όλων των ριζών, έχουμε μια θετική περιοχή. Και όταν περνάτε από κάθε ρίζα, το πρόσημο αλλάζει (δεν θα συμβαίνει πάντα αυτό, αλλά για αυτό αργότερα). Επομένως, προχωράμε στο πέμπτο σημείο: τακτοποιήστε τα σημάδια και επιλέξτε αυτό που χρειάζεστε:

Επιστρέφουμε στην τελευταία ανισότητα, που ήταν πριν τη λύση των εξισώσεων. Στην πραγματικότητα, συμπίπτει με την αρχική, επειδή δεν πραγματοποιήσαμε μετασχηματισμούς σε αυτήν την εργασία.

Επειδή απαιτείται για την επίλυση μιας ανισότητας της μορφής $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ lt 0 $, σκίασα το διάστημα $ x \ σε \ αριστερά (-7; 3 \ δεξιά) $ - είναι το μόνο σημειώνεται με το σύμβολο μείον. Αυτή είναι η απάντηση.

Απάντηση: $ x \ in \ αριστερά (-7; 3 \ δεξιά) $

Αυτό είναι όλο! Είναι δύσκολο? Όχι, όχι δύσκολο. Είναι αλήθεια, και το έργο ήταν εύκολο. Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο την αποστολή και ας σκεφτούμε μια πιο «φανταχτερή» ανισότητα. Όταν το λύνω, δεν θα δίνω πλέον τόσο λεπτομερείς υπολογισμούς - απλώς θα περιγράψω τα βασικά σημεία. Γενικά, θα το κανονίσουμε με τον ίδιο τρόπο που θα γινόταν σε μια ανεξάρτητη εργασία ή εξέταση. :)

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (\ αριστερά (7x + 1 \ δεξιά) \ αριστερά (11x + 2 \ δεξιά)) (13x-4) \ ge 0 \]

Λύση. Αυτή είναι μια χαλαρή ανισότητα της μορφής $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ ge 0 $. Όλα τα μη μηδενικά στοιχεία συλλέγονται στα αριστερά, δεν υπάρχουν διαφορετικοί παρονομαστές. Ας προχωρήσουμε στις εξισώσεις.

Αριθμητής:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & \ αριστερά (7x + 1 \ δεξιά) \ αριστερά (11x + 2 \ δεξιά) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (2)) = - \ φράκ (2) (11). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Παρονομαστής:

\ [\ έναρξη (στοίχιση) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Δεν ξέρω τι είδους διεστραμμένο ήταν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι ρίζες δεν λειτούργησαν πολύ καλά: θα ήταν δύσκολο να τα τοποθετήσετε στην αριθμητική γραμμή. Και αν με τη ρίζα $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα (αυτός είναι ο μόνος θετικός αριθμός - θα είναι στα δεξιά), τότε $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ και $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ απαιτούν πρόσθετη έρευνα: ποιο ειναι μεγαλύτερο?

Μπορείτε να μάθετε, για παράδειγμα, ως εξής:

\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

Ελπίζω να μην χρειάζεται να εξηγήσω γιατί το αριθμητικό κλάσμα $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Εάν είναι απαραίτητο, συνιστώ να θυμάστε πώς να εκτελείτε ενέργειες με κλάσματα.

Και σημειώνουμε και τις τρεις ρίζες στην αριθμητική γραμμή:

Οι τελείες από τον αριθμητή συμπληρώνονται, από τον παρονομαστή - αφαιρούνται

Τοποθετούμε πινακίδες. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε $ ((x) _ (0)) = 1 $ και να μάθετε το πρόσημο σε αυτό το σημείο:

\ [\ start (στοίχιση) & f \ αριστερά (x \ δεξιά) = \ frac (\ αριστερά (7x + 1 \ δεξιά) \ αριστερά (11x + 2 \ δεξιά)) (13x-4); \\ & f \ αριστερά (1 \ δεξιά) = \ frac (\ αριστερά (7 \ cdot 1 + 1 \ δεξιά) \ αριστερά (11 \ cdot 1 + 2 \ δεξιά)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Η τελευταία ανισότητα πριν από τις εξισώσεις ήταν $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ ge 0 $, επομένως μας ενδιαφέρει το σύμβολο συν.

Πήραμε δύο σύνολα: το ένα είναι ένα συνηθισμένο τμήμα και το άλλο είναι μια ανοιχτή ακτίνα στην αριθμητική γραμμή.

Απάντηση: $ x \ σε \ αριστερά [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ δεξιά] \ bigcup \ αριστερά (\ frac (4) (13); + \ infty \ δεξιά ) $

Μια σημαντική σημείωση σχετικά με τους αριθμούς που αντικαθιστούμε για το σύμβολο στο δεξιότερο διάστημα. Δεν είναι καθόλου απαραίτητο να αντικαταστήσετε έναν αριθμό κοντά στη δεξιά ρίζα. Μπορείτε να πάρετε δισεκατομμύρια ή ακόμα και "συν-άπειρο" - σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο του πολυωνύμου σε μια παρένθεση, αριθμητή ή παρονομαστή καθορίζεται αποκλειστικά από το πρόσημο του συντελεστή που οδηγεί.

Ας ρίξουμε μια άλλη ματιά στη συνάρτηση $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) $ από την τελευταία ανισότητα:

Υπάρχουν τρία πολυώνυμα στο αρχείο της:

\ [\ start (στοίχιση) & ((P) _ (1)) \ αριστερά (x \ δεξιά) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ αριστερά (x \ δεξιά) = 11x + 2; \\ & Q \ αριστερά (x \ δεξιά) = 13x-4. \ τέλος (στοίχιση) \]

Όλα είναι γραμμικά διώνυμα και όλοι οι αρχικοί συντελεστές (αριθμοί 7, 11 και 13) είναι θετικοί. Επομένως, όταν αντικαθιστούμε πολύ μεγάλους αριθμούς, τα ίδια τα πολυώνυμα θα είναι επίσης θετικά. :)

Αυτός ο κανόνας μπορεί να φαίνεται υπερβολικά περίπλοκος, αλλά μόνο στην αρχή, όταν αναλύουμε πολύ εύκολα προβλήματα. Σε σοβαρές ανισότητες, η αντικατάσταση συν-άπειρου θα μας επιτρέψει να καταλάβουμε τα ζώδια πολύ πιο γρήγορα από το τυπικό $ ((x) _ (0)) = 100 $.

Θα αντιμετωπίσουμε τέτοιες προκλήσεις πολύ σύντομα. Αλλά πρώτα, ας δούμε έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης κλασματικών-ορθολογικών ανισοτήτων.

Εναλλακτικός τρόπος

Αυτή την τεχνική μου την πρότεινε ένας από τους μαθητές μου. Εγώ ο ίδιος δεν το έχω χρησιμοποιήσει ποτέ, αλλά η πρακτική έχει δείξει ότι πολλοί μαθητές είναι πραγματικά πιο βολικοί να λύσουν τις ανισότητες με αυτόν τον τρόπο.

Άρα, τα αρχικά δεδομένα είναι τα ίδια. Είναι απαραίτητο να λυθεί η κλασματική-ορθολογική ανισότητα:

\ [\ frac (P \ αριστερά (x \ δεξιά)) (Q \ αριστερά (x \ δεξιά)) \ gt 0 \]

Ας σκεφτούμε: πώς είναι το πολυώνυμο $ Q \ αριστερά (x \ δεξιά) $ "χειρότερο" από το πολυώνυμο $ P \ αριστερά (x \ δεξιά) $; Γιατί πρέπει να εξετάσουμε ξεχωριστές ομάδες ριζών (με και χωρίς αστερίσκο), να σκεφτούμε τα σημεία διάτρησης κ.λπ.; Είναι απλό: ένα κλάσμα έχει ένα πεδίο ορισμού, το σύμφωνο του οποίου το κλάσμα έχει νόημα μόνο όταν ο παρονομαστής του είναι μη μηδενικός.

Διαφορετικά, δεν μπορούν να εντοπιστούν διαφορές μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή: τον εξισώνουμε επίσης με το μηδέν, αναζητούμε ρίζες και μετά τις σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή. Γιατί λοιπόν να μην αντικαταστήσετε την κλασματική ράβδο (στην πραγματικότητα, το σύμβολο της διαίρεσης) με τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό και να γράψετε όλες τις απαιτήσεις του DHS με τη μορφή ξεχωριστής ανισότητας; Για παράδειγμα, όπως αυτό:

\ [\ frac (P \ αριστερά (x \ δεξιά)) (Q \ αριστερά (x \ δεξιά)) \ gt 0 \ Δεξιό βέλος \ αριστερά \ (\ αρχή (στοίχιση) & P \ αριστερά (x \ δεξιά) \ cdot Q \ αριστερά (x \ δεξιά) \ gt 0, \\ & Q \ αριστερά (x \ δεξιά) \ ne 0. \\ \ τέλος (στοίχιση) \ δεξιά. \]

Σημειώστε: αυτή η προσέγγιση θα μειώσει το πρόβλημα στη μέθοδο των διαστημάτων, αλλά δεν θα περιπλέξει καθόλου τη λύση. Εξάλλου, θα εξακολουθήσουμε να εξισώνουμε το πολυώνυμο $ Q \ αριστερά (x \ δεξιά) $ με μηδέν.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό σε προβλήματα του πραγματικού κόσμου.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

Λύση. Ας προχωρήσουμε λοιπόν στη μέθοδο της απόστασης:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ δεξιό βέλος \ αριστερά \ (\ αρχή (στοίχιση) & \ αριστερά (x + 8 \ δεξιά) \ αριστερά (x-11 \ δεξιά) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ τέλος (στοίχιση) \ δεξιά. \]

Η πρώτη ανισότητα είναι εύκολο να λυθεί. Απλώς εξισώνουμε κάθε παρένθεση με μηδέν:

\ [\ start (στοίχιση) & x + 8 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (2)) = 11. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Η δεύτερη ανισότητα είναι επίσης απλή:

Σημειώνουμε τα σημεία $ ((x) _ (1)) $ και $ ((x) _ (2)) $ στην αριθμητική γραμμή. Όλοι τους καταργούνται, αφού η ανισότητα είναι αυστηρή:

Το δεξί σημείο τρυπήθηκε δύο φορές. Είναι εντάξει.

Παρατηρήστε το σημείο $ x = 11 $. Αποδεικνύεται ότι είναι "τρυπημένο δύο φορές": αφενός το βγάζουμε λόγω της σοβαρότητας της ανισότητας και αφετέρου λόγω της πρόσθετης απαίτησης του DHS.

Σε κάθε περίπτωση, θα είναι απλώς ένα σημείο παρακέντησης. Επομένως, τακτοποιούμε τα σημάδια για την ανισότητα $ \ αριστερά (x + 8 \ δεξιά) \ αριστερά (x-11 \ δεξιά) \ gt 0 $ - το τελευταίο που είδαμε πριν αρχίσουμε να λύνουμε τις εξισώσεις:

Μας ενδιαφέρουν οι θετικές περιοχές, αφού λύνουμε μια ανισότητα της μορφής $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ gt 0 $ - και τις σκιάζουμε. Μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση.

Απάντηση. $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; -8 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά (11; + \ infty \ δεξιά) $

Χρησιμοποιώντας αυτήν τη λύση ως παράδειγμα, θα ήθελα να σας προειδοποιήσω για ένα κοινό λάθος μεταξύ αρχαρίων μαθητών. Δηλαδή: ποτέ μην επεκτείνετε τις παρενθέσεις στις ανισότητες! Αντίθετα, προσπαθήστε να συνυπολογίσετε τα πάντα - θα απλοποιήσει τη λύση και θα σας γλιτώσει από πολλά προβλήματα.

Τώρα ας δοκιμάσουμε κάτι λίγο πιο δύσκολο.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (\ αριστερά (2x-13 \ δεξιά) \ αριστερά (12x-9 \ δεξιά)) (15x + 33) \ le 0 \]

Λύση. Αυτή είναι μια χαλαρή ανισότητα της μορφής $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ le 0 $, επομένως πρέπει να δώσετε μεγάλη προσοχή στις γεμάτες κουκκίδες εδώ.

Προχωρώντας στη μέθοδο της απόστασης:

\ [\ αριστερά \ (\ έναρξη (στοίχιση) & \ αριστερά (2x-13 \ δεξιά) \ αριστερά (12x-9 \ δεξιά) \ αριστερά (15x + 33 \ δεξιά) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ τέλος (στοίχιση) \ δεξιά. \]

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & \ αριστερά (2x-13 \ δεξιά) \ αριστερά (12x-9 \ δεξιά) \ αριστερά (15x + 33 \ δεξιά) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x ) _ (1)) = 6,5; \\ & 12x-9 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (2)) = 0,75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (3)) = - 2,2. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Λαμβάνουμε υπόψη μια επιπλέον απαίτηση:

Σημειώνουμε όλες τις ρίζες που προκύπτουν στην αριθμητική γραμμή:

Εάν ένα σημείο τρυπιέται και σκιάζεται ταυτόχρονα, θεωρείται τρυπημένο σημείο.

Και πάλι, δύο σημεία «επικαλύπτονται» μεταξύ τους - αυτό είναι φυσιολογικό, θα είναι πάντα έτσι. Είναι σημαντικό μόνο να καταλάβετε ότι το σημείο που επισημαίνεται τόσο τρυπημένο όσο και γεμάτο είναι στην πραγματικότητα τρυπημένο. Εκείνοι. Το «γκουγκάρισμα» είναι πιο δυνατή δράση από το «ζωγραφική».

Αυτό είναι απολύτως λογικό, γιατί με το gouging σημειώνουμε σημεία που επηρεάζουν το πρόσημο της συνάρτησης, αλλά δεν συμμετέχουν τα ίδια στην απάντηση. Και αν κάποια στιγμή ο αριθμός πάψει να μας ταιριάζει (για παράδειγμα, δεν μπαίνει στο ODZ), το διαγράφουμε από την εξέταση μέχρι το τέλος του προβλήματος.

Γενικά, σταμάτα να φιλοσοφείς. Τοποθετούμε πινακίδες και ζωγραφίζουμε σε αυτά τα διαστήματα που επισημαίνονται με το σύμβολο μείον:

Απάντηση. $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; -2,2 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά [0,75; 6,5 \ δεξιά] $.

Και πάλι θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε αυτή την εξίσωση:

\ [\ αριστερά (2x-13 \ δεξιά) \ αριστερά (12x-9 \ δεξιά) \ αριστερά (15x + 33 \ δεξιά) = 0 \]

Για άλλη μια φορά: μην ανοίγετε ποτέ παρενθέσεις σε τέτοιες εξισώσεις! Θα το κάνετε μόνο πιο δύσκολο για τον εαυτό σας. Θυμηθείτε: το γινόμενο είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Κατά συνέπεια, αυτή η εξίσωση απλώς «καταρρέει» σε αρκετές μικρότερες, τις οποίες λύσαμε στο προηγούμενο πρόβλημα.

Λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητα των ριζών

Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς από τα προηγούμενα προβλήματα ότι είναι οι χαλαρές ανισότητες που είναι οι πιο δύσκολες, γιατί σε αυτές πρέπει να παρακολουθείτε τις γεμάτες κουκκίδες.

Αλλά υπάρχει ένα ακόμη μεγαλύτερο κακό στον κόσμο - αυτές είναι πολλαπλές ρίζες στις ανισότητες. Εδώ πρέπει ήδη να μην ακολουθήσετε κάποιες γεμάτες κουκκίδες εκεί - εδώ το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να μην αλλάξει ξαφνικά όταν περνάτε από αυτά τα ίδια σημεία.

Δεν έχουμε εξετάσει κάτι τέτοιο σε αυτό το μάθημα (αν και παρόμοιο πρόβλημα συναντήθηκε συχνά στη μέθοδο του διαστήματος). Επομένως, εισάγουμε έναν νέο ορισμό:

Ορισμός. Η ρίζα της εξίσωσης $ ((\ αριστερά (x-a \ δεξιά)) ^ (n)) = 0 $ είναι ίση με $ x = a $ και ονομάζεται ρίζα της πολλαπλότητας $ n $ ου.

Στην πραγματικότητα, δεν μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα η ακριβής αξία της πολλαπλότητας. Το μόνο που έχει σημασία είναι αν αυτός ο αριθμός $ n $ είναι άρτιος ή μονός. Επειδή:

1. Αν $ x = a $ είναι μια ρίζα άρτιας πολλαπλότητας, τότε το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει κατά τη διέλευση από αυτήν.
2. Και αντίστροφα, εάν $ x = a $ είναι μια ρίζα περιττής πολλαπλότητας, τότε το πρόσημο της συνάρτησης θα αλλάξει.

Μια ειδική περίπτωση μιας ρίζας περιττής πολλαπλότητας είναι όλα τα προηγούμενα προβλήματα που συζητήθηκαν σε αυτό το μάθημα: παντού η πολλαπλότητα είναι ίση με ένα.

Και επιπλέον. Πριν ξεκινήσουμε την επίλυση προβλημάτων, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε μια λεπτότητα που θα φαίνεται προφανής σε έναν έμπειρο μαθητή, αλλά οδηγεί πολλούς αρχάριους σε λήθαργο. Και συγκεκριμένα:

Η ρίζα της πολλαπλότητας $ n $ προκύπτει μόνο όταν ολόκληρη η έκφραση αυξηθεί σε αυτήν την ισχύ: $ ((\ αριστερά (xa \ δεξιά)) ^ (n)) $, και όχι $ \ αριστερά (((x) ^ (n )) - a \ δεξιά) $.

Για άλλη μια φορά: η αγκύλη $ ((\ αριστερά (xa \ δεξιά)) ^ (n)) $ μας δίνει τη ρίζα $ x = a $ πολλαπλότητας $ n $, αλλά η αγκύλη $ \ αριστερά (((x) ^ ( n)) -a \ δεξιά) $ ή, όπως συμβαίνει συχνά, $ (a - ((x) ^ (n))) $ μας δίνει τη ρίζα (ή δύο ρίζες, αν $ n $ είναι άρτια) της πρώτης πολλαπλότητας , ανεξάρτητα από το τι ισούται με $ n $.

Συγκρίνω:

\ [((\ αριστερά (x-3 \ δεξιά)) ^ (5)) = 0 \ Δεξιό βέλος x = 3 \ αριστερά (5k \ δεξιά) \]

Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ: ολόκληρος ο βραχίονας ανυψώθηκε στην πέμπτη ισχύ, οπότε στην έξοδο πήραμε μια ρίζα της πέμπτης ισχύος. Και τώρα:

\ [\ αριστερά (((x) ^ (2)) - 4 \ δεξιά) = 0 \ Δεξί βέλος ((x) ^ (2)) = 4 \ Δεξί βέλος x = \ μ.μ. 2 \]

Έχουμε δύο ρίζες, αλλά και οι δύο έχουν την πρώτη πολλαπλότητα. Ή εδώ είναι ένα άλλο:

\ [\ αριστερά (((x) ^ (10)) - 1024 \ δεξιά) = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) ^ (10)) = 1024 \ Δεξιό βέλος x = \ μμ 2 \]

Και μην σας μπερδεύει ο δέκατος βαθμός. Το κύριο πράγμα είναι ότι το 10 είναι ένας ζυγός αριθμός, οπότε στην έξοδο έχουμε δύο ρίζες και και οι δύο έχουν πάλι την πρώτη πολλαπλότητα.

Γενικά, να είστε προσεκτικοί: η πολλαπλότητα εμφανίζεται μόνο όταν ο βαθμός αναφέρεται σε ολόκληρη την παρένθεση, όχι μόνο στη μεταβλητή.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ φράκ (((x) ^ (2)) ((\ αριστερά (6-x \ δεξιά)) ^ (3)) \ αριστερά (x + 4 \ δεξιά)) (((\ αριστερά (x + 7 \ δεξιά)) ^ (5))) \ ge 0 \]

Λύση. Ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε με έναν εναλλακτικό τρόπο - μέσω της μετάβασης από το συγκεκριμένο στο έργο:

\ [\ αριστερά \ (\ αρχή (στοίχιση) & ((x) ^ (2)) ((\ αριστερά (6-x \ δεξιά)) ^ (3)) \ αριστερά (x + 4 \ δεξιά) \ cdot ( (\ αριστερά (x + 7 \ δεξιά)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ αριστερά (x + 7 \ δεξιά)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ τέλος (στοίχιση ) \ σωστά. \]

Αντιμετωπίζουμε την πρώτη ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος:

\ [\ start (στοίχιση) & ((x) ^ (2)) ((\ αριστερά (6-x \ δεξιά)) ^ (3)) \ αριστερά (x + 4 \ δεξιά) \ cdot ((\ αριστερά ( x + 7 \ δεξιά)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Δεξιό βέλος x = 0 \ αριστερά (2k \ δεξιά); \\ & ((\ αριστερά (6-x \ δεξιά)) ^ (3)) = 0 \ Δεξιό βέλος x = 6 \ αριστερά (3k \ δεξιά); \\ & x + 4 = 0 \ Δεξιό βέλος x = -4; \\ & ((\ αριστερά (x + 7 \ δεξιά)) ^ (5)) = 0 \ Δεξιό βέλος x = -7 \ αριστερά (5k \ δεξιά). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Επιπλέον, λύνουμε τη δεύτερη ανισότητα. Στην πραγματικότητα, το έχουμε ήδη λύσει, αλλά για να μην βρουν οι αναθεωρητές λάθος στη λύση, καλύτερα να το λύσουμε ξανά:

\ [((\ αριστερά (x + 7 \ δεξιά)) ^ (5)) \ ne 0 \ Δεξιό βέλος x \ ne -7 \]

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν πολλαπλασιασμοί στην τελευταία ανισότητα. Πράγματι: τι διαφορά έχει πόσες φορές να διαγράψουμε το σημείο $ x = -7 $ στην αριθμητική γραμμή; Τουλάχιστον μία φορά, τουλάχιστον πέντε - το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο: ένα τρυπημένο σημείο.

Ας σημειώσουμε όλα όσα πήραμε στην αριθμητική γραμμή:

Όπως είπα, το σημείο $ x = -7 $ τελικά θα τρυπηθεί. Οι πολλαπλότητες ταξινομούνται με βάση τη λύση της ανισότητας με τη μέθοδο των διαστημάτων.

Απομένει να τοποθετηθούν οι πινακίδες:

Δεδομένου ότι το σημείο $ x = 0 $ είναι ρίζα άρτιας πολλαπλότητας, το πρόσημο δεν αλλάζει όταν το διέρχεται. Τα υπόλοιπα σημεία έχουν περιττή πολλαπλότητα και όλα είναι απλά με αυτά.

Απάντηση. $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; -7 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά [-4; 6 \ δεξιά] $

Σημειώστε ξανά $ x = 0 $. Λόγω της ομοιόμορφης πολλαπλότητας, προκύπτει ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: στα αριστερά του, τα πάντα είναι ζωγραφισμένα πάνω, στα δεξιά, επίσης, και το ίδιο το σημείο είναι εντελώς βαμμένο.

Κατά συνέπεια, δεν χρειάζεται να απομονωθεί κατά την εγγραφή μιας απάντησης. Εκείνοι. δεν χρειάζεται να γράψετε κάτι σαν $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ (αν και τυπικά αυτή η απάντηση θα είναι επίσης σωστή). Αντίθετα, γράφουμε αμέσως $ x \ στο \ αριστερά [-4; 6 \ δεξιά] $.

Τέτοια αποτελέσματα είναι δυνατά μόνο για ρίζες άρτια πολλαπλότητα. Και στο επόμενο έργο θα αντιμετωπίσουμε την αντίθετη «εκδήλωση» αυτού του αποτελέσματος. Ετοιμος?

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (((\ αριστερά (x-3 \ δεξιά)) ^ (4)) \ αριστερά (x-4 \ δεξιά)) (((\ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) ^ (2)) \ αριστερά (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ δεξιά)) \ ge 0 \]

Λύση. Αυτή τη φορά θα πάμε σύμφωνα με το τυπικό σχήμα. Ρυθμίστε τον αριθμητή στο μηδέν:

\ [\ start (στοίχιση) & ((\ αριστερά (x-3 \ δεξιά)) ^ (4)) \ αριστερά (x-4 \ δεξιά) = 0; \\ & ((\ αριστερά (x-3 \ δεξιά)) ^ (4)) = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (1)) = 3 \ αριστερά (4k \ δεξιά); \\ & x-4 = 0 \ Δεξιό βέλος ((x) _ (2)) = 4. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Και ο παρονομαστής:

\ [\ start (στοίχιση) & ((\ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) ^ (2)) \ αριστερά (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ δεξιά) = 0; \\ & ((\ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) ^ (2)) = 0 \ Δεξί βέλος x_ (1) ^ (*) = 1 \ αριστερά (2k \ δεξιά); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Δεξιό βέλος x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Εφόσον λύνουμε μια ασθενή ανισότητα της μορφής $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) \ ge 0 $, οι ρίζες από τον παρονομαστή (που είναι με αστερίσκους) θα τρυπηθούν και από τον αριθμητή θα συμπληρωθούν.

Τοποθετούμε πινακίδες και εκκολάπτουμε περιοχές που επισημαίνονται με ένα "συν":

Το σημείο $ x = 3 $ είναι απομονωμένο. Αυτό είναι μέρος της απάντησης

Πριν γράψετε την τελική απάντηση, ρίξτε μια προσεκτική ματιά στην εικόνα:

1. Το σημείο $ x = 1 $ έχει άρτια πολλαπλότητα, αλλά το ίδιο είναι τρυπημένο. Επομένως, θα πρέπει να απομονωθεί στην απάντηση: πρέπει να γράψετε $ x \ στο \ αριστερά (- \ infty; 1 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά (1; 2 \ δεξιά) $ και όχι $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; 2 \ δεξιά) $.
2. Το σημείο $ x = 3 $ έχει επίσης άρτια πολλαπλότητα και συμπληρώνεται ταυτόχρονα. Η διάταξη των πινακίδων δείχνει ότι το ίδιο το σημείο μας ταιριάζει, αλλά ένα βήμα αριστερά και δεξιά - και βρισκόμαστε σε μια περιοχή που σίγουρα δεν μας ταιριάζει. Τέτοια σημεία ονομάζονται απομονωμένα και γράφονται ως $ x \ στο \ αριστερά \ (3 \ δεξιά \) $.

Συνδυάζουμε όλα τα κομμάτια που προκύπτουν σε ένα κοινό σύνολο και γράφουμε την απάντηση.

Απάντηση: $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; 1 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά (1; 2 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά \ (3 \ δεξιά \) \ bigcup \ αριστερά [4; 5 \ δεξιά) $

Ορισμός. Επίλυση ανισοτήτων σημαίνει βρείτε πολλές από όλες τις λύσεις του, ή να αποδείξετε ότι αυτό το σύνολο είναι κενό.

Φαίνεται: τι μπορεί να είναι ακατανόητο εδώ; Ναι, το θέμα είναι ότι τα σύνολα μπορούν να καθοριστούν με διαφορετικούς τρόπους. Ας γράψουμε ξανά την απάντηση στο τελευταίο πρόβλημα:

Διαβάζουμε κυριολεκτικά όσα γράφονται. Η μεταβλητή "x" ανήκει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο, το οποίο προκύπτει συνδυάζοντας (το σύμβολο "U") τέσσερα ξεχωριστά σύνολα:

• Το διάστημα $ \ αριστερά (- \ infty; 1 \ δεξιά) $, που κυριολεκτικά σημαίνει "όλοι οι αριθμοί μικρότεροι από ένα, αλλά όχι ο ίδιος".
• $ \ Αριστερά (1; 2 \ δεξιά) $ διάστιχο, π.χ. "Όλοι οι αριθμοί στην περιοχή από 1 έως 2, αλλά όχι οι ίδιοι οι αριθμοί 1 και 2".
• Το σύνολο $ \ αριστερά \ (3 \ δεξιά \) $, που αποτελείται από έναν μόνο αριθμό - τρία.
• Διάστημα $ \ αριστερά [4; 5 \ δεξιά) $, που περιέχει όλους τους αριθμούς στην περιοχή από 4 έως 5, καθώς και τους τέσσερις, αλλά όχι το πέντε.

Το τρίτο σημείο έχει ενδιαφέρον εδώ. Σε αντίθεση με τα διαστήματα, τα οποία ορίζουν άπειρα σύνολα αριθμών και δηλώνουν μόνο τα όρια αυτών των συνόλων, το σύνολο $ \ αριστερά \ (3 \ δεξιά \) $ καθορίζει ακριβώς έναν αριθμό με απαρίθμηση.

Για να καταλάβετε ότι απλώς παραθέτουμε συγκεκριμένους αριθμούς που περιλαμβάνονται στο σετ (και δεν βάζουμε όρια ή οτιδήποτε άλλο), χρησιμοποιούνται σγουρά τιράντες. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός $ \ αριστερά \ (1; 2 \ δεξιά \) $ σημαίνει ακριβώς "ένα σύνολο που αποτελείται από δύο αριθμούς: 1 και 2", αλλά όχι ένα τμήμα από το 1 έως το 2. Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να συγχέετε αυτές τις έννοιες .

Ο κανόνας για την πρόσθεση πολλαπλασιαστών

Λοιπόν, στο τέλος του σημερινού μαθήματος, ένα μικρό τενεκεδάκι από τον Pavel Berdov. :)

Οι προσεκτικοί μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη θέσει την ερώτηση: τι θα συμβεί αν βρεθούν οι ίδιες ρίζες στον αριθμητή και στον παρονομαστή; Λοιπόν, λειτουργεί ο ακόλουθος κανόνας:

Προστίθενται τα πολλαπλάσια των ίδιων ριζών. Είναι πάντα. Ακόμα κι αν αυτή η ρίζα εμφανίζεται και στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

Μερικές φορές είναι καλύτερο να αποφασίζεις παρά να μιλάς. Επομένως, λύνουμε το εξής πρόβλημα:

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ φράκ (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ αριστερά (((x) ^ (2)) - 16 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ δεξιά)) \ ge 0 \]

\ [\ έναρξη (στοίχιση) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Τίποτα ιδιαίτερο ακόμα. Ορίστε τον παρονομαστή στο μηδέν:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & \ αριστερά (((x) ^ (2)) - 16 \ δεξιά) \ αριστερά (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ δεξιά) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Δεξιό βέλος x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Δεξί βέλος x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Βρέθηκαν δύο ίδιες ρίζες: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ και $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Και τα δύο είναι πρώτο πάσο. Επομένως, τα αντικαθιστούμε με μια ρίζα $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, αλλά ήδη με πολλαπλότητα 1 + 1 = 2.

Επιπλέον, υπάρχουν επίσης πανομοιότυπες ρίζες: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ και $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Είναι επίσης της πρώτης πολλαπλότητας, επομένως μόνο $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ της πολλαπλότητας 1 + 1 = 2 απομένει.

Σημείωση: και στις δύο περιπτώσεις, αφήσαμε ακριβώς τη «τρυπημένη» ρίζα και η «γεμισμένη» απορρίφθηκε από την εξέταση. Γιατί ακόμη και στην αρχή του μαθήματος συμφωνήσαμε: αν ένα σημείο είναι και τρυπημένο και βαμμένο, τότε το θεωρούμε ακόμα τρυπημένο.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε τέσσερις ρίζες και όλες αφαιρέθηκαν:

\ [\ έναρξη (στοίχιση) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ αριστερά (2k \ δεξιά); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ αριστερά (2k \ δεξιά). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Τα σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητα:

Τοποθετούμε πινακίδες και ζωγραφίζουμε τις περιοχές που μας ενδιαφέρουν:

Τα παντα. Χωρίς μεμονωμένα σημεία και άλλες διαστροφές. Μπορείτε να γράψετε την απάντηση.

Απάντηση. $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; -7 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά (4; + \ infty \ δεξιά) $.

Κανόνας πολλαπλασιασμού

Μερικές φορές συμβαίνει μια ακόμη πιο δυσάρεστη κατάσταση: μια εξίσωση με πολλαπλές ρίζες αυξάνεται η ίδια σε μια συγκεκριμένη ισχύ. Σε αυτή την περίπτωση, οι πολλαπλότητες όλων των αρχικών ριζών αλλάζουν.

Αυτό είναι σπάνιο, γι' αυτό και οι περισσότεροι μαθητές δεν έχουν εμπειρία στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Και ο κανόνας είναι ο εξής:

Όταν η εξίσωση αυξάνεται στην ισχύ $ n $, οι πολλαπλότητες όλων των ριζών της αυξάνονται επίσης κατά $ n $ φορές.

Με άλλα λόγια, η εκθετικότητα οδηγεί σε πολλαπλασιασμούς πολλαπλασιαζόμενους με την ίδια ισχύ. Ας εξετάσουμε αυτόν τον κανόνα με ένα παράδειγμα:

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (x ((\ αριστερά (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ δεξιά)) ^ (2)) ((\ αριστερά (x-4 \ δεξιά)) ^ (5)) ) (((\ αριστερά (2-x \ δεξιά)) ^ (3)) ((\ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) ^ (2))) \ le 0 \]

Λύση. Ρυθμίστε τον αριθμητή στο μηδέν:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Με τον πρώτο παράγοντα, όλα είναι ξεκάθαρα: $ x = 0 $. Τότε όμως αρχίζουν τα προβλήματα:

\ [\ start (στοίχιση) & ((\ αριστερά (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ δεξιά)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ αριστερά (2k \ δεξιά); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & (x) _ (2)) = 3 \ αριστερά (2k \ δεξιά) \ αριστερά (2k \ δεξιά) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ αριστερά (4k \ δεξιά) \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ έχει μια μοναδική ρίζα της δεύτερης πολλαπλότητας: $ x = 3 $. Τότε ολόκληρη η εξίσωση τετραγωνίζεται. Επομένως, η πολλαπλότητα της ρίζας θα είναι $ 2 \ cdot 2 = 4 $, την οποία καταγράψαμε τελικά.

\ [((\ αριστερά (x-4 \ δεξιά)) ^ (5)) = 0 \ Δεξιό βέλος x = 4 \ αριστερά (5k \ δεξιά) \]

Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με τον παρονομαστή:

\ [\ start (στοίχιση) & ((\ αριστερά (2-x \ δεξιά)) ^ (3)) ((\ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ αριστερά (2-x \ δεξιά)) ^ (3)) = 0 \ Δεξιό βέλος x_ (1) ^ (*) = 2 \ αριστερά (3k \ δεξιά); \\ & ((\ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) ^ (2)) = 0 \ Δεξιό βέλος x_ (2) ^ (*) = 1 \ αριστερά (2k \ δεξιά). \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Συνολικά, πήραμε πέντε βαθμούς: δύο τρυπημένα και τρία γεμάτα. Δεν υπάρχουν ρίζες που συμπίπτουν στον αριθμητή και στον παρονομαστή, γι' αυτό απλώς τις σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή:

Τακτοποιούμε τα σημάδια λαμβάνοντας υπόψη τις πολλαπλότητες και ζωγραφίζουμε τα διαστήματα που μας ενδιαφέρουν:

Και πάλι, ένα απομονωμένο σημείο και ένα τρυπημένο

Λόγω ριζών ακόμη και πολλαπλότητας, πήραμε και πάλι μερικά "μη τυπικά" στοιχεία. Αυτό είναι $ x \ σε \ αριστερά [0; 1 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά (1; 2 \ δεξιά) $, όχι $ x \ στο \ αριστερά [0; 2 \ δεξιά) $, και επίσης το απομονωμένο σημείο $ x \ σε \ αριστερά \ (3 \ δεξιά \) $.

Απάντηση. $ x \ σε \ αριστερά [0; 1 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά (1; 2 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά \ (3 \ δεξιά \) \ bigcup \ αριστερά [4; + \ infty \ δεξιά) $

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα δεν είναι τόσο δύσκολα. Το κύριο πράγμα είναι η προσοχή. Η τελευταία ενότητα αυτού του μαθήματος εστιάζει στους μετασχηματισμούς - αυτούς που συζητήσαμε στην αρχή.

Προμετατροπές

Οι ανισότητες που συζητάμε σε αυτή την ενότητα δεν είναι περίπλοκες. Ωστόσο, σε αντίθεση με τις προηγούμενες εργασίες, εδώ θα πρέπει να εφαρμόσετε δεξιότητες από τη θεωρία των ορθολογικών κλασμάτων - παραγοντοποίηση και αναγωγή σε κοινό παρονομαστή.

Συζητήσαμε αυτό το θέμα λεπτομερώς στην αρχή του σημερινού μαθήματος. Εάν δεν είστε σίγουροι ότι καταλαβαίνετε περί τίνος πρόκειται, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να επιστρέψετε και να επαναλάβετε. Γιατί δεν έχει νόημα να στριμώχνεις μεθόδους για την επίλυση ανισώσεων αν «επιπλέεις» στον μετασχηματισμό των κλασμάτων.

Στην εργασία, παρεμπιπτόντως, θα υπάρχουν επίσης πολλές παρόμοιες εργασίες. Τοποθετούνται σε ξεχωριστή υποενότητα. Και εκεί θα βρείτε πολύ μη τετριμμένα παραδείγματα. Αλλά αυτό θα είναι στην εργασία, και τώρα ας αναλύσουμε μερικές τέτοιες ανισότητες.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

Λύση. Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά:

\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

Φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή, ανοίγουμε τις αγκύλες, δίνουμε παρόμοιους όρους στον αριθμητή:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & \ frac (x \ cdot x) (\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ cdot x) - \ frac (\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) (x \ cdot \ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ αριστερά (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ δεξιά)) (x \ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ αριστερά (x-1 \ δεξιά)) \ le 0. \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Τώρα έχουμε μια κλασική κλασματική-ορθολογική ανισότητα, η λύση της οποίας δεν είναι πλέον δύσκολη. Προτείνω να το λύσουμε με μια εναλλακτική μέθοδο - μέσω της μεθόδου των διαστημάτων:

\ [\ start (στοίχιση) & \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά) \ cdot x \ cdot \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ φράκ (2) (3), \ ((x) _ (2)) = 0, \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Μην ξεχνάτε τον περιορισμό που προήλθε από τον παρονομαστή:

Σημειώνουμε όλους τους αριθμούς και τους περιορισμούς στην αριθμητική γραμμή:

Όλες οι ρίζες έχουν την πρώτη πολλαπλότητα. Κανένα πρόβλημα. Απλώς τοποθετούμε τις πινακίδες και ζωγραφίζουμε τις περιοχές που χρειαζόμαστε:

Είναι όλο. Μπορείτε να γράψετε την απάντηση.

Απάντηση. $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; 0 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά [(2) / (3) \ ;; 1 \ δεξιά) $.

Φυσικά, αυτό ήταν απλώς ένα παράδειγμα. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε το πρόβλημα πιο σοβαρά. Και παρεμπιπτόντως, το επίπεδο αυτής της εργασίας είναι αρκετά συνεπές με την ανεξάρτητη και ελεγκτική εργασία σε αυτό το θέμα στην τάξη 8.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

Λύση. Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

Πριν ανάγουμε και τα δύο κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, συνυπολογίζουμε αυτούς τους παρονομαστές. Κι αν βγουν οι ίδιες αγκύλες; Με τον πρώτο παρονομαστή, είναι εύκολο:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά) \]

Το δεύτερο είναι λίγο πιο δύσκολο. Μη διστάσετε να βάλετε έναν σταθερό παράγοντα στην παρένθεση όπου εμφανίζεται το κλάσμα. Θυμηθείτε: το αρχικό πολυώνυμο είχε ακέραιους συντελεστές, επομένως υπάρχει μεγάλη πιθανότητα η παραγοντοποίηση να έχει και ακέραιους συντελεστές (στην πραγματικότητα, θα είναι πάντα έτσι, εκτός από την περίπτωση που η διάκριση είναι παράλογη).

\ [\ start (στοίχιση) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x- \ frac (2) (3) \ δεξιά) = \\ & = \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά) \ τέλος (στοίχιση) \]

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχει μια κοινή παρένθεση: $ \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) $. Επιστρέφουμε στην ανισότητα και φέρνουμε και τα δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή:

\ [\ start (στοίχιση) & \ frac (1) (\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά)) - \ frac (1) (\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά) -1 \ cdot \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά)) (\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά ) \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά) \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά) \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά)) \ ge 0; \\ \ τέλος (στοίχιση) \]

Ορίστε τον παρονομαστή στο μηδέν:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 9 \ δεξιά) \ αριστερά (3x-2 \ δεξιά) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ τέλος ( στοίχιση) \]

Χωρίς πολλαπλότητες ή σύμπτωση ρίζες. Σημειώνουμε τέσσερις αριθμούς σε ευθεία γραμμή:

Τοποθετούμε πινακίδες:

Καταγράφουμε την απάντηση.

Απάντηση: $ x \ σε \ αριστερά (- \ infty; -9 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά ((2) / (3) \ ;; 1 \ δεξιά) \ bigcup \ αριστερά [5,5; + \ infty \ δεξιά) $.

Τα παντα! Κάπως έτσι, μετά διάβασα αυτή τη γραμμή. :)

Στο άρθρο θα εξετάσουμε λύση ανισοτήτων... Θα σας πούμε με προσιτό τρόπο για πώς να κατασκευάσετε μια λύση για τις ανισότητες, με ξεκάθαρα παραδείγματα!

Πριν εξετάσουμε τη λύση των ανισοτήτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας κατανοήσουμε τις βασικές έννοιες.

Γενικές πληροφορίες για τις ανισότητες

Ανισότηταονομάζεται έκφραση στην οποία οι συναρτήσεις συνδέονται με πρόσημα σχέσης>,. Οι ανισώσεις είναι αριθμητικές και αλφαβητικές.
Οι ανισότητες με δύο ζώδια της σχέσης ονομάζονται διπλές, με τρία - τριπλά κ.λπ. Για παράδειγμα:
a (x)> b (x),
a (x) a (x) b (x),
α (χ) β (χ).
α (x) Οι ανισώσεις που περιέχουν το πρόσημο> ή δεν είναι αυστηρές.
Επίλυση της ανισότηταςείναι οποιαδήποτε τιμή της μεταβολής στην οποία ισχύει αυτή η ανισότητα.
"Λύστε την ανισότητα«σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να βρεθούν πολλές από όλες τις λύσεις του. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι επίλυσης ανισοτήτων... Για λύσεις για την ανισότηταχρησιμοποιήστε την αριθμητική γραμμή, η οποία είναι άπειρη. Για παράδειγμα, λύση της ανισότητας x> 3 είναι ένα διάστημα από το 3 έως το + και ο αριθμός 3 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το διάστημα, επομένως ένα σημείο σε μια ευθεία συμβολίζεται με έναν κενό κύκλο, αφού η ανισότητα είναι αυστηρή.
+
Η απάντηση θα είναι: x (3; +).
Η τιμή x = 3 δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο λύσεων, επομένως η παρένθεση είναι στρογγυλή. Το ζώδιο του απείρου περιβάλλεται πάντα από μια παρένθεση. Το σημάδι σημαίνει «ανήκειν».
Εξετάστε πώς να λύσετε ανισότητες χρησιμοποιώντας ένα άλλο υπογεγραμμένο παράδειγμα:
x 2
-+
Η τιμή x = 2 περιλαμβάνεται στο σύνολο των λύσεων, επομένως η αγκύλη είναι τετράγωνη και ένα σημείο στη γραμμή συμβολίζεται με έναν γεμάτο κύκλο.
Η απάντηση θα είναι: x. Το γράφημα του συνόλου αποφάσεων φαίνεται παρακάτω.

Διπλές ανισότητες

Όταν δύο ανισότητες συνδέονται με μια λέξη και, ή, τότε σχηματίζεται διπλή ανισότητα... Διπλή ανισότητα όπως
-3 και 2x + 5 ≤ 7
που ονομάζεται συνδεδεμένοςγιατί χρησιμοποιεί και... Γράψιμο -3 Διπλές ανισώσεις μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τις αρχές της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των ανισώσεων.

Παράδειγμα 2Λύστε -3 ΛύσηΕχουμε

Το σύνολο των λύσεων (x | x ≤ -1 ή x> 3). Μπορούμε επίσης να γράψουμε μια λύση χρησιμοποιώντας συμβολισμό διαστήματος και σύμβολο για συγχωνεύσειςή εγκλείσματα και των δύο συνόλων: (-∞ -1] (3, ∞) Η γραφική παράσταση του συνόλου λύσεων φαίνεται παρακάτω.

Για δοκιμή, σχεδιάστε y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 και y 3 = 1. Σημειώστε ότι για (x | x ≤ -1 ή x> 3), y 1 ≤ y 2 ή y 1> y 3.

Ανισώσεις με απόλυτη τιμή (μέτρο)

Οι ανισότητες μερικές φορές περιέχουν ενότητες. Για την επίλυσή τους χρησιμοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες.
Για a> 0 και μια αλγεβρική παράσταση x:
| x | | x | > το a ισοδυναμεί με x ή x> α.
Παρόμοιες δηλώσεις για | x | ≤ a και | x | ≥ α.

Για παράδειγμα,
| x | | y | ≥ 1 ισοδυναμεί με y ≤ -1 ή y ≥ 1;
και | 2x + 3 | ≤ 4 ισοδυναμεί με -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Παράδειγμα 4Να λύσετε καθεμία από τις παρακάτω ανισώσεις. Σχεδιάστε το σύνολο των λύσεων.
α) | 3x + 2 | β) | 5 - 2x | ≥ 1

Λύση
α) | 3x + 2 |