خط y = 3x + 2 مماس با نمودار تابع y = -12x ^ 2 + bx-10 است. با توجه به اینکه ابسیسا نقطه تماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

راه حل را نشان دهید

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y = -12x ^ 2 + bx-10 باشد که مماس بر این نمودار از آن عبور می کند.

مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر با شیب مماس است، یعنی y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. از طرف دیگر، نقطه مماس به هر دو نمودار تابع تعلق دارد. و مماس، یعنی -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. ما سیستم معادلات را بدست می آوریم \ شروع (موارد) -24x_0 + b = 3، \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ پایان (موارد)

با حل این سیستم، x_0 ^ 2 = 1 می گیریم، که به معنای x_0 = -1، یا x_0 = 1 است. طبق شرط، آبسیسا نقطه لمس کمتر از صفر است، بنابراین x_0 = -1، سپس b = 3 + 24x_0 = -21.

پاسخ

وضعیت

شکل، نمودار تابع y = f (x) را نشان می دهد (که یک خط شکسته است که از سه پاره خط مستقیم تشکیل شده است). با استفاده از شکل، F (9) -F (5) را محاسبه کنید، که در آن F (x) یکی از ضد مشتقات f (x) است.

راه حل را نشان دهید

راه حل

بر اساس فرمول نیوتن-لایب نیتس، تفاوت F (9) -F (5)، که در آن F (x) یکی از پاد مشتق های تابع f (x) است، برابر با مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده است. توسط نمودار تابع y = f (x)، توسط خطوط مستقیم y = 0، x = 9 و x = 5. با توجه به نمودار مشخص می کنیم که ذوزنقه منحنی نشان داده شده ذوزنقه ای با پایه های برابر با 4 و 3 و ارتفاع 3 است.

مساحت آن است \ فراک (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10.5.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح نمایه ". اد. FF Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نمودار y = f "(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f (x) که در بازه (4-؛ 10) تعریف شده است. فواصل کاهش تابع f (x) را بیابید. پاسخ، طول بزرگترین آنها را نشان دهید.

راه حل را نشان دهید

راه حل

همانطور که می دانید تابع f (x) در بازه هایی کاهش می یابد که مشتق f "(x) کمتر از صفر است. فواصل به طور طبیعی از شکل متمایز می شوند: (-4؛ -2)؛ (0؛ 3؛ (5؛ 9).

طول بزرگترین آنها - (5؛ 9) برابر با 4 است.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح نمایه ". اد. FF Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نمودار y = f "(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f (x) که در بازه (8-؛ 7) تعریف شده است. تعداد حداکثر نقاط تابع f (x) متعلق به فاصله [-6؛ -2].

راه حل را نشان دهید

راه حل

نمودار نشان می دهد که مشتق f "(x) تابع f (x) علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد (در چنین نقاطی است که حداکثر وجود خواهد داشت) دقیقاً در یک نقطه (بین -5 و -4) از بازه [-6; -2].بنابراین، دقیقاً یک نقطه حداکثر در بازه [-6; -2] وجود دارد.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح نمایه ". اد. FF Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نمودار تابع y = f (x) را نشان می دهد که در بازه (2-؛ 8) تعریف شده است. تعداد نقاطی که مشتق تابع f (x) 0 است را تعیین کنید.

راه حل را نشان دهید

راه حل

برابری صفر مشتق در یک نقطه به این معنی است که مماس بر نمودار تابع رسم شده در این نقطه، موازی با محور Ox است. بنابراین، نقاطی را می یابیم که مماس بر نمودار تابع با محور Ox موازی است. در این نمودار، چنین نقاطی نقاط افراطی (نقاط حداکثر یا حداقل) هستند. همانطور که می بینید، 5 نقطه افراطی وجود دارد.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح نمایه ". اد. FF Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

خط y = -3x + 4 با مماس نمودار تابع y = -x ^ 2 + 5x-7 موازی است. آبسیسا نقطه تماس را پیدا کنید.

راه حل را نشان دهید

راه حل

شیب خط مستقیم به نمودار تابع y = -x ^ 2 + 5x-7 در نقطه دلخواه x_0 برابر است با y "(x_0). اما y" = - 2x + 5، بنابراین y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. زاویه ای ضریب خط y = -3x + 4 مشخص شده در شرط برابر است با -3 خطوط موازی دارای شیب یکسانی هستند بنابراین مقدار x_0 را به گونه ای می یابیم که = -2x_0 + 5 = -3.

دریافت می کنیم: x_0 = 4.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح نمایه ". اد. FF Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نمودار تابع y = f (x) را نشان می دهد و نقاط -6، -1، 1، 4 روی محور آبسیسا مشخص شده اند. در کدام یک از این نقاط مقدار مشتق کوچکتر است؟ این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

کلاس کارشناسی ارشد در ریاضیات

در کلاس 11

در این مورد

"تابع مشتق

در وظایف استفاده "

معلم ریاضی

مارتیننکو E.N.

سال تحصیلی 2017-2018

هدف از استاد - کلاس: توسعه مهارت های دانش آموزاناستفاده از دانش نظری در موضوع "مشتق تابع" برای حل مشکلات آزمون دولتی واحد.

وظایف

آموزشی:خلاصه کردن و نظام مند کردن دانش دانش آموزان در مورد موضوع

"مشتق از یک تابع"، نمونه های اولیه مسائل USE را در مورد این موضوع در نظر بگیرید، این فرصت را برای دانش آموزان فراهم می کند تا دانش خود را هنگام حل مسائل به تنهایی آزمایش کنند.

در حال توسعه: تقویت حافظه، توجه، عزت نفس و مهارت های خودکنترلی؛ شکل گیری شایستگی های کلیدی اساسی (مقایسه، کنار هم قرار دادن، طبقه بندی اشیاء، تعیین راه های مناسب برای حل یک مسئله آموزشی بر اساس الگوریتم های مشخص، توانایی عمل مستقل در شرایط نامطمئن، کنترل و ارزیابی فعالیت های آنها، یافتن و از بین بردن علل مشکلات پیش آمده).

آموزشی: ترویج:

شکل گیری نگرش مسئولانه نسبت به یادگیری در بین دانش آموزان؛

ایجاد علاقه پایدار به ریاضیات؛

ایجاد انگیزه درونی مثبت برای مطالعه ریاضی.

فن آوری ها: یادگیری متمایز فردی، ICT.

روش های تدریس : کلامی، تصویری، عملی، مشکل دار.

اشکال کار: انفرادی، جلویی، به صورت جفت.

تجهیزات و مواد برای درس:پروژکتور، صفحه نمایش، کامپیوتر، شبیه ساز(پیوست 1)، ارائه برای درس(پیوست شماره 2)، به صورت جداگانه - کارت های متمایز برای کار مستقل به صورت جفت(پیوست شماره 3) فهرست سایت های اینترنتی، تکالیف جداگانه(پیوست شماره 4).

توضیح برای کلاس کارشناسی ارشد.

این مستر کلاس در کلاس 11 برای آمادگی برای آزمون دولتی واحد برگزار می شود. هدف استفاده از مطالب نظری در موضوع "مشتق یک تابع" در حل مسائل امتحانی است.

مدت زمان کلاس کارشناسی ارشد- 20 دقیقه.

ساختار کلاس استاد

I. لحظه سازمانی -1 دقیقه.

2. ارتباط موضوع، اهداف استاد - کلاس، انگیزه فعالیت های آموزشی - 1 دقیقه.

III. کار جلویی. آموزش "تکلیف شماره 14 پایه، شماره 7 مشخصات آزمون دولتی واحد". تجزیه و تحلیل کار با شبیه ساز - 7 دقیقه.

IV. به صورت انفرادی - کار متمایز به صورت جفت. راه حل مستقل مشکلات شماره 12. (پروفایل) بررسی متقابل - 9 دقیقه. تست آنلاین (BASE) تجزیه و تحلیل نتایج آزمون - 8 دقیقه

V. بررسی تکالیف فردی. -1 دقیقه.

Vi. تکالیف جداگانه - 1 دقیقه.

vii. تست کنترل 20 دقیقه (4 گزینه)

پیشرفت در کلاس استاد

من .زمان سازماندهی

II ارتباط موضوع، اهداف استاد کلاس، انگیزه فعالیت های آموزشی.

(اسلایدهای 1-2، پیوست شماره 2)

موضوع درس ما "مشتق تابع در وظایف امتحان" است. ضرب المثل "قرقره کوچک اما عزیز" را همه می دانند. یکی از این "قرقره ها" در ریاضیات مشتق است. این مشتق در حل بسیاری از مسائل کاربردی در ریاضیات، فیزیک، شیمی، اقتصاد و سایر رشته ها استفاده می شود. این به شما امکان می دهد مشکلات را به سادگی، زیبا و جالب حل کنید.

مبحث مشتق در تکلیف شماره 14 پایه پایه و در تکالیف سطح نیمرخ شماره 7،12، 18 و آزمون نمونه دولتی ارائه شده است.

شما با اسناد تنظیم کننده ساختار و محتوای مواد اندازه گیری کنترلی آزمون دولتی یکپارچه در ریاضیات 2018 کار کردید. در مورد دانش و مهارت هایی که برای حل موفقیت آمیز مشکلات USE در موضوع "مشتق" نیاز دارید، نتیجه گیری کنید.

(اسلایدهای 3-4، پیوست شماره 2)

یاد گرفتی "تدوین کننده عناصر محتوا در ریاضیات برای تهیه مواد اندازه گیری کنترل برای آزمون دولتی واحد"،

"تدوین کننده الزامات سطح آموزش فارغ التحصیلان"، "مشخصات مواد اندازه گیری کنترلی"، "نسخه نمایشی مواد اندازه گیری کنترلی آزمون یکپارچه دولتی 2018" ومتوجه شدم فهمیدن پی بردن چه دانش و مهارتی در مورد تابع و مشتق آن برای حل موفقیت آمیز مسائل در مورد "مشتق" مورد نیاز است.

ضروری است

• بدانید

قوانین محاسبه مشتق.

مشتقات توابع ابتدایی پایه؛

معنای هندسی و فیزیکی مشتق؛
معادله مماس بر نمودار تابع؛
مطالعه یک تابع با استفاده از مشتق

• قادر بودن به

انجام اقدامات با توابع (رفتار و ویژگی های یک تابع را با توجه به نمودار توصیف کنید، بالاترین و کمترین مقادیر آن را پیدا کنید).

• استفاده کنید

کسب دانش و مهارت در عمل و زندگی روزمره.

شما از مبحث مشتق اطلاعات نظری دارید. امروز ما خواهیم کرداستفاده از دانش در مورد تابع مشتق برای حل مشکلات استفاده را بیاموزید.(اسلاید 4، پیوست شماره 2)

بیهوده نیست ارسطو این را گفت"ذهن تنها در دانش نیست، بلکه در توانایی به کار بردن دانش در عمل نیز هست"(اسلاید 5، پیوست شماره 2)

در پایان درس به هدف درس خود برمی گردیم و متوجه می شویم که آیا به آن رسیده ایم؟

III ... کار جلویی.آموزش "وظایف شماره 14 پایه شماره 7 مشخصات آزمون یکپارچه دولتی" (پیوست شماره 1). تجزیه و تحلیل کار با شبیه ساز.

پاسخ صحیح را از بین چهار مورد پیشنهادی انتخاب کنید.

به نظر شما دشواری تکمیل کار شماره 7 چیست؟

فکر می کنید، اشتباهات معمولی که فارغ التحصیلان در امتحان هنگام حل این مشکل مرتکب می شوند چیست؟

هنگام پاسخ دادن به سؤالات تکلیف شماره 14 BASE و شماره 7 PROFILE، باید بتوانید رفتار و ویژگی های تابع را از نمودار مشتق و از نمودار تابع - رفتار و ویژگی های تابع را توصیف کنید. مشتق تابع و این مستلزم دانش نظری خوب در موضوعات زیر است: «معنای هندسی و مکانیکی مشتق. مماس بر نمودار تابع. کاربرد مشتق در مطالعه توابع ".

تجزیه و تحلیل کنید که چه وظایفی برای شما مشکل ایجاد کرده است؟

چه سوالات نظری را باید بدانید؟

IV. تست آنلاین در تکالیف №14 (BASE)تجزیه و تحلیل نتایج آزمایش.

سایت تست در درس:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

چه کسی اشتباه نکرده است؟

چه کسی در تست کردن مشکل داشت؟ چرا؟

در چه وظایفی اشتباهاتی رخ داده است؟

نتیجه گیری کنید، چه سوالات نظری را باید بدانید؟

به صورت انفرادی - کار متمایز به صورت جفت. راه حل مستقل مشکلات №12. (مشخصات)تایید متقابل(پیوست شماره 3)

الگوریتم حل مسائل شماره 12 آزمون را برای یافتن نقاط اضطراری، حداکثر یک تابع، بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در بازه با استفاده از مشتق به خاطر بسپار.

حل مسائل با مشتق

دانش آموزان با مشکلی روبرو هستند:

"فکر کنید، آیا می توان برخی از مسائل شماره 12 را به روشی متفاوت، بدون استفاده از مشتق حل کرد؟"

1 جفت

2 جفت

3 جفت

4 جفت

(دانش آموزان با نوشتن مراحل اصلی حل مسائل روی تخته گچی از راه حل خود دفاع می کنند. دانش آموزان دو راه برای حل مسئله شماره 2 ارائه می دهند).

راه حل یک مشکل. نتیجه گیری برای دانش آموزان:

برخی از مشکلات شماره 12 آزمون برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقدار یک تابع بدون استفاده از مشتق و با تکیه بر خواص توابع قابل حل است.

تجزیه و تحلیل کنید که چه اشتباهی در کار انجام داده اید؟

چه سؤالات نظری را باید تکرار کنید؟

V. بررسی تکالیف فردی. (اسلایدهای 7-8، پیوست شماره 2)

به Vegelman V. تکالیف فردی داده شد: از کتابچه راهنمای آماده سازی برای امتحان شماره 18.

(دانشجو راه حل مسئله را با تکیه بر روش کارکردی- گرافیکی به عنوان یکی از روش های حل مسائل شماره 18 امتحان بیان می کند و در مورد این روش توضیح مختصری می دهد).

vii. تکالیف فردی - متمایز

(اسلاید 9، پیوست شماره 2، (پیوست شماره 4).

من لیستی از سایت های اینترنتی را برای آمادگی در آزمون آماده کرده ام. همچنین می توانید در این سایت ها تست آنلاین انجام دهید. برای درس بعدی، شما باید: 1) مطالب نظری را در مورد موضوع "مشتق یک تابع" مرور کنید.

2) در سایت "بانک باز وظایف در ریاضیات" (http://mathege.ru/ ) نمونه اولیه وظایف شماره 14 BASE AND No. 7 و 12 PROFILE را پیدا کنید و حداقل 10 مشکل را حل کنید.

3) V. Vegelman، مسائل را با پارامترها حل کنید (پیوست 4). وظایف 1-8 (گزینه 1).یک سطح پایه از

هشتم. نمرات درسی

به خودتان برای یک درس چه امتیازی می دهید؟

آیا فکر می کنید می توانستید در درس بهتر عمل کنید؟

IX خلاصه درس. انعکاس

بیایید کارمان را خلاصه کنیم. هدف از درس چه بود؟ به نظر شما محقق شده است؟

به تابلو نگاه کنید و در یک جمله با انتخاب ابتدای عبارت، جمله ای را که بیشتر مناسب شماست ادامه دهید.

من احساس کردم…

یاد گرفتم…

من مدیریت کردم …

من توانستم ...

سعی میکنم…

من تعجب کردم که …

من می خواستم…

آیا می توانید بگویید که در طول درس، دانش شما غنی شد؟

بنابراین، شما سوالات نظری در مورد مشتق تابع را تکرار کردید، دانش خود را در حل نمونه های اولیه وظایف USE (شماره 14 BASIC LEVEL شماره 7،12 PROFILE LEVEL) به کار بردید، و V. Vegelman وظیفه شماره 18 را تکمیل کرد. با یک پارامتر، که وظیفه ای از مشکلات درجه افزایش یافته است.

همکاری با شما برای من مایه خرسندی بود و امیدوارم بتوانید دانش کسب شده در درس ریاضی را نه تنها در هنگام قبولی در آزمون، بلکه در ادامه تحصیل نیز با موفقیت به کار ببرید.

می خواهم درس را با سخنان یک فیلسوف ایتالیایی به پایان برسانمتوماس آکویناسدانش چنان چیز گرانبهایی است که گرفتن آن از هیچ منبعی شرم آور نیست.(اسلاید 10، پیوست شماره 2).

برای شما آرزوی موفقیت در آمادگی برای امتحان دارم!

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، برای خود یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

آماده سازی برای امتحان شبیه ساز با موضوع "مشتق" کار شماره 14 سطح پایه، شماره 7، سطح پروفایل 12

f (x) f / (x) x شکل نمودار مشتق تابع y = f (x) را نشان می دهد که در بازه (-8؛ 8) مشخص شده است. بیایید ویژگی های نمودار را بررسی کنیم و می توانیم به بسیاری از سؤالات در مورد ویژگی های تابع پاسخ دهیم، اگرچه نمودار خود تابع ارائه نشده است! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 امتیاز پیدا کنید که در آن f / (x) = 0 (اینها صفرهای تابع هستند). + - - + +

تکلیف شماره 14 ریاضی سطح پایه

در شکل نمودار تابع y = f (x) و نقاط A، B، C و D در محور Ox مشخص شده اند. با استفاده از نمودار، ویژگی های تابع و مشتق آن را به هر نقطه اختصاص دهید. ABCD 1) مقدار تابع در نقطه منفی است و مقدار مشتق تابع در نقطه مثبت است 2) مقدار تابع در نقطه مثبت است و مقدار مشتق تابع در نقطه منفی است 3) مقدار تابع در نقطه منفی است و مقدار مشتق تابع در نقطه منفی است 4) مقدار تابع در نقطه مثبت است و مقدار مشتق تابع در نقطه مثبت است

№ 1 در شکل نمودار تابع y = f (x) و نقاط A، B، C و D در محور Ox مشخص شده است. با استفاده از نمودار، ویژگی های تابع و مشتق آن را به هر نقطه اختصاص دهید. 1) مقدار تابع در نقطه مثبت است و مقدار مشتق تابع در نقطه منفی است 2) مقدار تابع در نقطه منفی است و مقدار مشتق تابع در نقطه نقطه منفی است 3) مقدار تابع در نقطه مثبت است و مقدار مشتق تابع در نقطه مثبت است 4) مقدار تابع در نقطه منفی است و مقدار مشتق تابع در نقطه ABCD مثبت است

شکل نمودار تابع y = f (x) را نشان می دهد. نقاط a، b، c، d و e فواصل را در محور Ox تعریف می کنند. با استفاده از نمودار، مشخصه تابع یا مشتق آن را به هر بازه اختصاص دهید. الف) (الف؛ ب) ب) (ب؛ ج) ج) (ج؛ د) د) (د؛ ه) 1) مقادیر تابع در هر نقطه از بازه مثبت هستند 2) مقادیر مشتق تابع در هر نقطه از بازه منفی است 3) مقادیر مشتق تابع در هر نقطه از بازه مثبت است 4) مقادیر تابع در هر نقطه از بازه منفی است.

شکل نمودار تابع y = f (x) را نشان می دهد. اعداد a، b، c، d و e فواصل روی محور Ox را مشخص می کنند. با استفاده از نمودار، مشخصه تابع یا مشتق آن را به هر بازه اختصاص دهید. الف) (الف؛ ب) ب) (ب؛ ج) ج) (ج؛ د) د) (د؛ ه) 1) مقادیر تابع در هر نقطه از بازه مثبت هستند 2) مقادیر تابع در هر نقطه از بازه منفی است 3) مقادیر توابع مشتق در هر نقطه از بازه منفی است 4) مقادیر مشتق تابع در هر نقطه از بازه مثبت است.

شکل نموداری از یک تابع و مماس های کشیده شده روی آن را در نقاطی با ابسیساهای A، B، C و D نشان می دهد. A B C D 1) - 1.5 2) 0.5 3) 2 4) - 0.3

شکل نموداری از یک تابع و مماس های کشیده شده روی آن را در نقاطی با ابسیساهای A، B، C و D نشان می دهد. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

تکلیف شماره 7 سطح مشخصات ریاضی

مسائل مربوط به معنای هندسی مشتق

1) شکل نمودار تابع y = f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق را در نقطه x 0 بیابید. -2 -0.5 2 0.5 فکر کن! فکر! درست! فکر! x 0 معنای هندسی مشتق: k = tg α زاویه میل مماس به محور Ox مبهم است، بنابراین k

5 11 8 2) تابع پیوسته y = f (x) روی بازه (-6؛ 7) تنظیم می شود. شکل نمودار او را نشان می دهد. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع با خط مستقیم y = 6 موازی است. بررسی y = f (x) y x 3 فکر کنید! فکر! فکر! درست! - 6 7 y = 6. نقطه شکست. مشتق در این مرحله وجود ندارد! О -4 3 5 1، 5

وظایف تعیین ویژگی های یک تابع از نمودار مشتق آن

3) شکل نمودار مشتق تابع y = f / (x) را نشان می دهد که در بازه (- 6؛ 8) داده شده است. تابع y = f (x) را برای اکسترومم بررسی کنید و تعداد نقاط منتهی آن را نشان دهید. 2 1 4 5 اشتباه است! درست نیست! درست! درست نیست! (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + حداقل حداکثر О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) شکل نمودار مشتق یک تابع مشخص شده در بازه [-5؛ 5] را نشان می دهد. تابع را از نظر یکنواختی بررسی کنید و بزرگترین نقطه حداکثر را نشان دهید. 3 2 4 5 فکر کن! فکر! درست! فکر! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 از دو حداکثر نقطه، بزرگترین x max = 3 max max y

7) شکل نمودار مشتق تابع را نشان می دهد. طول بازه افزایشی این تابع را بیابید. O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 فکر کنید! + فکر کن درست! فکر! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) شکل نمودار مشتق یک تابع مجموعه در بازه [-5؛ 5] را نشان می دهد. تابع y = f (x) را از نظر یکنواختی بررسی کنید و تعداد فواصل کاهش را نشان دهید. 3 2 4 1 فکر کن! فکر! درست! فکر! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

وظایف برای تعیین ویژگی های مشتق نمودار یک تابع.

شکل نمودار تابع متمایزپذیر y = f (x) را نشان می دهد. نه نقطه روی آبسیسا مشخص شده است: x 1، x 2، ...، x 9. تمام نقاط علامت گذاری شده ای که مشتق تابع f (x) در آنها منفی است را بیابید. در پاسخ تعداد این نقاط را مشخص کنید.

شکل نمودار تابع y = f (x) را نشان می دهد که در بازه (a; b) تعریف شده است. تعداد نقاط صحیحی که مشتق تابع در آنها مثبت است را تعیین کنید. الف) ب) خودتان تصمیم بگیرید! راه حل. اگر افزایش یابد راه حل های کل برای: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. تعداد آنها 4 است. جواب های کل برای: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. تعداد آنها 5 است. جواب: 4. جواب: 5.

مشکلات برای معنای فیزیکی مشتق

جواب: 3 جواب: 14

تکلیف شماره 12 سطح مشخصات ریاضی

کار مستقل به صورت جفت کار شماره 12 سطح نمایه

پیش نمایش:

ضمیمه 3 کارت انفرادی شماره 12

1. حداکثر نقطه تابع را پیدا کنید1 حداقل نقطه تابع را پیدا کنید

2. حداکثر نقطه تابع را پیدا کنید2 حداقل نقطه تابع را پیدا کنید

Linnik D. Vovnenko I

1. کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید1. بزرگترین مقدار تابع را بیابیددر بخش

در بخش

وگلمن وی.

آ.

1. حداکثر نقطه تابع را پیدا کنید1. حداقل نقطه تابع را پیدا کنید

2. کوچکترین مقدار تابع را بیابید2. بزرگترین مقدار تابع را بیابیددر بخش

در بخش

Leontyeva A. Isaenko K.

تمرین خارج از حسابرسی 2

تبدیل نمودارهای تابع

هدف

نمودارهای توابع را با استفاده از تبدیل های مختلف بسازید، به سوال مسئله پاسخ دهید.

تکمیل کار

دستورالعمل های روشی

این کار برای 10 نوع طراحی شده است، شماره نسخه با آخرین رقم شماره سریال در لیست مطابقت دارد. به عنوان مثال، 1، 11، 21، 31 ... انجام 1 گزینه، 2،12، 22 ... - 2 گزینه، و غیره.

کار از دو قسمت تشکیل شده است: قسمت اول وظیفه 1 - 5، اینها کارهایی هستند که برای گرفتن اعتبار باید تکمیل شوند، اگر این کارها با خطا انجام شد باید اصلاح شوند و کار ارسال شود. دوباره برای تایید قسمت دوم شامل وظایفی است که با تکمیل آنها می توانید نمره اضافی کسب کنید: قسمت اصلی +2 کار - "4" ، قسمت اصلی +3 کار - "5".

وظیفه 1. نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است، دو نقطه برای رسم آن کافی است. (مقادیر آرگومان x را دلخواه می گیریم و مقدار تابع y را با جایگزین کردن آن در فرمول شمارش می کنیم).

برای بررسی اینکه آیا نمودار تابع از نقطه مشخص شده عبور می کند یا خیر، باید مختصات نقطه را به جای x و y جایگزین کنید، اگر برابری صحیح را به دست آورید، خط مستقیم از نقطه مشخص شده عبور می کند، در غیر این صورت اینطور نیست. .

وظیفه 2، 3، 4. نمودارهای توابع مشخص شده از نمودارهای توابع به دست می آیند. , با استفاده از یک تغییر در امتداد محور x یا y.

، ابتدا تابع را رسم می کنیم یا ، سپس آن را با واحدهای "a" به راست یا چپ (+ a - به چپ، - و به راست) منتقل می کنیم، سپس آن را با واحدهای "c" به بالا یا پایین (+ b - بالا، -b) تغییر می دهیم. - پایین)

به همین ترتیب با توابع دیگر:

وظیفه 5 رسم نمودار تابع: ، باید: 1) تابع را رسم کنید ، 2) بخشی از نمودار را که بالای محور x قرار دارد بدون تغییر رها کنید، 3) بخشی از نمودار را که زیر محور x قرار دارد منعکس کنید.

وظایف برای یک راه حل مستقل.

قسمت اجباری

وظیفه 1. نمودار یک تابع خطی را رسم کنید، تعیین کنید که آیا نمودار تابع از نقطه مشخص شده عبور می کند یا خیر:

وظیفه 2. نمودار یک تابع درجه دوم را رسم کنید، مجموعه مقادیر را برای این تابع مشخص کنید.

وظیفه 3. یک نمودار از تابع بسازید، تعیین کنید که آیا تابع مشخص شده افزایش یا کاهش می یابد.

وظیفه 4. یک نمودار از تابع بسازید، به سوال مسئله پاسخ دهید.

وظیفه 5. نمودار تابع حاوی علامت مدول را رسم کنید.

وظایف برای ارزیابی اضافی

وظیفه 6. نموداری از یک تابع را به صورت تکه ای رسم کنید، مشخص کنید که آیا نقطه شکستی برای این تابع وجود دارد یا خیر:

تکلیف 7. تعیین کنید که سیستم معادلات چند راه حل دارد، پاسخ آن توجیه است. با پاسخ دادن به سوالات نتیجه گیری کنید.

چه کارکردهایی را در این اثر ترسیم کرده اید؟

نام نمودار یک تابع خطی چیست؟

نام نمودار یک تابع درجه دوم چیست؟

چه تبدیل های نموداری را می دانید؟

نمودار یک تابع زوج چگونه در دستگاه مختصات قرار دارد؟ نمودار تابع فرد؟

مشتق تابع $ y = f (x) $ در یک نقطه معین $ x_0 $ حد نسبت افزایش تابع به افزایش متناظر آرگومان آن است، مشروط بر اینکه دومی به صفر تمایل داشته باشد:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

تمایز عملیات یافتن مشتق است.

جدول مشتق برخی از توابع ابتدایی

عملکرد	مشتق
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (گناه ^ 2x) $

قوانین اساسی برای تمایز

1. مشتق جمع (تفاوت) برابر است با جمع (تفاوت) مشتقات.

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

مشتق تابع $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $ را بیابید

مشتق جمع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات.

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. مشتق از اثر

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

مشتق $ f (x) = 4x cosx $ را پیدا کنید

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. مشتق از ضریب

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x)") / (g ^ 2 (x)) $

مشتق $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $ را پیدا کنید

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. مشتق تابع مختلط برابر است با حاصلضرب مشتق تابع بیرونی توسط مشتق تابع درونی.

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

معنای فیزیکی مشتق

اگر یک نقطه مادی به صورت مستقیم حرکت کند و مختصات آن بسته به زمان مطابق قانون $ x (t) $ تغییر کند، سرعت آنی این نقطه برابر با مشتق تابع است.

نقطه در امتداد خط مختصات طبق قانون $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $ حرکت می کند، که در آن $ x (t) $ مختصات در زمان $ t $ است. در چه نقطه ای از زمان سرعت نقطه برابر با 12 دلار خواهد بود؟

1. سرعت مشتق $ x (t) $ است، بنابراین مشتق تابع داده شده را پیدا می کنیم.

$ v (t) = x "(t) = 1.5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. برای اینکه بفهمید سرعت $ t $ در چه لحظه ای برابر با $ 12 $ بوده است، معادله را بنویسید و حل کنید:

معنای هندسی مشتق

به یاد بیاورید که معادله یک خط مستقیم که با محورهای مختصات موازی نیست را می توان به شکل $ y = kx + b $ نوشت که $ k $ شیب خط مستقیم است. ضریب $ k $ برابر است با مماس زاویه شیب بین خط مستقیم و جهت مثبت محور $ Ox $.

مشتق تابع $ f (x) $ در نقطه $ x_0 $ برابر است با شیب $ k $ مماس بر نمودار در این نقطه:

بنابراین، می توانیم یک برابری کلی ترسیم کنیم:

$ f "(x_0) = k = tgα $

در شکل، مماس بر تابع $ f (x) $ افزایش می یابد، بنابراین، ضریب $ k> 0 $. از آنجایی که $ k> 0 $، پس $ f "(x_0) = tgα> 0 $. زاویه $ α $ بین مماس و جهت مثبت $ Ox $ حاد است.

در شکل، مماس بر تابع $ f (x) $ کاهش می یابد، بنابراین، ضریب $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

در شکل، مماس تابع $ f (x) $ موازی با محور $ Ox $ است، بنابراین، ضریب $ k = 0 $، بنابراین، $ f "(x_0) = tan α = 0 $. نقطه $ x_0 $ که در آن $ f "(x_0) = 0 $، فراخوانی شد مفرط.

شکل، نمودار تابع $ y = f (x) $ و مماس بر این نمودار را نشان می دهد که در نقطه ای با ابسیسا $ x_0 $ ترسیم شده است. مقدار مشتق تابع $ f (x) $ را در نقطه $ x_0 $ بیابید.

خط مماس به نمودار افزایش می یابد، بنابراین، $ f "(x_0) = tg α> 0 $

برای پیدا کردن $f "(x_0) $، مماس زاویه تمایل بین مماس و جهت مثبت محور $ Ox $ را پیدا کنید. برای این کار، مماس را به مثلث $ ABC $ اضافه کنید.

مماس زاویه $ BAC $ را پیدا کنید. (مماس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به ساقه مجاور است.)

Tg $ BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0.25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0.25 $

پاسخ: 0.25 دلار

مشتق همچنین برای یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش استفاده می شود:

اگر $ f "(x)> 0 $ در بازه، تابع $ f (x) $ در این بازه افزایش می یابد.

اگر $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

شکل نمودار تابع $ y = f (x) $ را نشان می دهد. در بین نقاط x_1، x_2، x_3... x_7 $ نقاطی را بیابید که مشتق تابع در آنها منفی است.

در پاسخ، تعداد امتیازهای داده شده را یادداشت کنید.

در کار شماره 13 USE در ریاضیات سطح پایه، باید مهارت و دانش یکی از مفاهیم رفتار یک تابع را نشان دهید: مشتقات در یک نقطه یا نرخ های افزایش یا کاهش. تئوری کمی بعد به این کار اضافه خواهد شد، اما این مانع از آن نمی شود که چندین گزینه معمولی را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنیم.

تجزیه و تحلیل گزینه های معمولی برای وظایف شماره 14 USE در ریاضیات سطح پایه

گزینه 14MB1

نمودار وابستگی دما به زمان در طول گرم شدن موتور خودروی سواری را نشان می دهد. محور افقی زمان سپری شده از شروع موتور را بر حسب دقیقه نشان می دهد. محور عمودی دمای موتور بر حسب درجه سانتیگراد است.

با استفاده از نمودار، مشخصه فرآیند گرم شدن موتور در این بازه را به هر بازه زمانی اختصاص دهید.

در جدول زیر هر حرف عدد مربوطه را مشخص کنید.

الگوریتم اجرا:

1. بازه زمانی کاهش دما را انتخاب کنید.
2. یک خط کش را روی 30 درجه سانتیگراد اعمال کنید و فاصله زمانی را که در طی آن دما زیر 30 درجه سانتیگراد بود مشخص کنید.

راه حل:

اجازه دهید فاصله زمانی کاهش دما را انتخاب کنیم. این ناحیه با چشم غیرمسلح قابل مشاهده است، 8 دقیقه از لحظه روشن شدن موتور شروع می شود.

یک خط کش را روی 30 درجه سانتیگراد اعمال کنید و فاصله زمانی را که در آن دما زیر 30 درجه سانتیگراد بود تعیین کنید.

در زیر خط کش یک بخش مربوط به فاصله زمانی 0 - 1 دقیقه وجود دارد.

با استفاده از یک مداد و یک خط کش، متوجه خواهیم شد که در چه بازه زمانی دما در محدوده 40 درجه سانتیگراد تا 80 درجه سانتیگراد بوده است.

عمودها را از نقاط مربوط به 40 درجه سانتیگراد و 80 درجه سانتیگراد به نمودار حذف می کنیم و از نقاط به دست آمده عمودهای محور زمان را حذف می کنیم.

می بینیم که این فاصله دمایی مربوط به فاصله زمانی 3 - 6.5 دقیقه است. یعنی از آنهایی که در شرایط داده شده 3 - 6 دقیقه.

برای انتخاب پاسخ گمشده از روش حذف استفاده می کنیم.

گزینه 14MB2

راه حل:

بیایید نمودار تابع A را تجزیه و تحلیل کنیم. اگر تابع افزایش یابد، مشتق مثبت است و بالعکس. مشتق تابع در نقاط انتهایی برابر با صفر است.

اول، تابع A افزایش می یابد، یعنی. مشتق مثبت است این مربوط به نمودارهای مشتقات 2 و 3 است. در نقطه حداکثر تابع x = -2، یعنی در این نقطه مشتق باید صفر باشد. این شرط در نمودار شماره 3 وجود دارد.

اول، تابع B کاهش می یابد، یعنی. مشتق منفی است. این مربوط به نمودارهای مشتقات 1 و 4 است. حداکثر نقطه تابع x = -2 است، یعنی در این نقطه مشتق باید برابر با صفر باشد. این شرط در نمودار شماره 4 وجود دارد.

اول، تابع B افزایش می یابد، یعنی. مشتق مثبت است این مربوط به نمودارهای مشتقات 2 و 3 است. حداکثر نقطه تابع x = 1، یعنی در این نقطه مشتق باید برابر با صفر باشد. این شرط توسط نمودار شماره 2 برقرار است.

با روش حذف می توان تعیین کرد که نمودار تابع Γ با نمودار مشتق شماره 1 مطابقت دارد.

جواب: 3421.

گزینه 14MB3

الگوریتم اجرای هر یک از توابع:

1. فواصل توابع افزایش و کاهش را تعیین کنید.
2. حداکثر و حداقل نقاط توابع را تعیین کنید.
3. نتیجه گیری کنید، برنامه های پیشنهادی را در یک ردیف قرار دهید.

راه حل:

بیایید نمودار تابع A را تجزیه و تحلیل کنیم.

اگر تابع در حال افزایش باشد، مشتق مثبت است و بالعکس. مشتق تابع در نقاط انتهایی برابر با صفر است.

نقطه افراطی نقطه ای است که در آن مقدار حداکثر یا حداقل یک تابع به دست می آید.

اول، تابع A افزایش می یابد، یعنی. مشتق مثبت است این مربوط به نمودارهای مشتقات 3 و 4 است. در نقطه حداکثر تابع x = 0، یعنی در این نقطه مشتق باید برابر با صفر باشد. این شرط در نمودار شماره 4 وجود دارد.

اجازه دهید نمودار تابع B را تجزیه و تحلیل کنیم.

اول، تابع B کاهش می یابد، یعنی. مشتق منفی است. این مربوط به نمودارهای مشتقات 1 و 2 است. حداقل نقطه تابع x = -1 است، یعنی در این نقطه مشتق باید برابر با صفر باشد. این شرط توسط نمودار شماره 2 برقرار است.

بیایید نمودار تابع B را تجزیه و تحلیل کنیم.

اول، تابع B کاهش می یابد، یعنی. مشتق منفی است. این مربوط به نمودارهای مشتقات 1 و 2 است. حداقل نقطه تابع x = 0، یعنی در این نقطه مشتق باید برابر با صفر باشد. این شرط توسط نمودار شماره 1 برقرار است.

با روش حذف می توان تعیین کرد که نمودار تابع Γ با نمودار مشتق شماره 3 مطابقت دارد.

جواب: 4213.

گزینه 14MB4

شکل نموداری از یک تابع و مماس های کشیده شده روی آن را در نقاطی با ابسیساهای A، B، C و D نشان می دهد.ستون سمت راست مقادیر مشتق را در نقاط A، B، C و D نشان می دهد. با استفاده از نمودار، مقدار مشتق تابع موجود در آن را به هر نقطه اختصاص دهید.

نکته ها
آ
V
با
دی

ارزش های مشتق
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

بیایید به یاد بیاوریم که مشتق به چه معناست، یعنی مقدار آن در نقطه - مقدار تابع مشتق در یک نقطه برابر است با مماس شیب (ضریب) مماس.

در پاسخ ها دو گزینه مثبت و دو گزینه منفی داریم. همانطور که به یاد داریم، اگر ضریب یک خط مستقیم (گرافیک y = kx + b) مثبت، سپس خط مستقیم افزایش می یابد، اگر منفی باشد، خط مستقیم کاهش می یابد.

ما دو خط مستقیم صعودی داریم - در نقاط A و D. حالا بیایید به یاد بیاوریم که مقدار ضریب k به چه معناست؟

ضریب k نشان می دهد که تابع با چه سرعتی افزایش یا کاهش می یابد (در واقع ضریب k خود مشتق تابع y = kx + b است).

بنابراین، k = 2/3 مربوط به یک خط صاف تر - D، و k = 3 - A است.

به طور مشابه، در مورد مقادیر منفی: نقطه B مربوط به یک خط مستقیم تندتر با k = - 4، و نقطه C - -1/2 است.

گزینه 14MB5

در شکل نقطه ها فروش ماهانه بخاری در فروشگاه لوازم خانگی را نشان می دهد. ماه ها به صورت افقی و تعداد بخاری های فروخته شده به صورت عمودی نشان داده شده است. برای وضوح، نقاط با یک خط به هم متصل می شوند.

با استفاده از شکل، هر یک از دوره های زمانی مشخص شده را با ویژگی فروش بخاری ها مطابقت دهید.

الگوریتم اجرا

بخش های نمودار مربوط به فصول مختلف را تجزیه و تحلیل می کنیم. ما موقعیت های نمایش داده شده در نمودار را فرمول بندی می کنیم. ما مناسب ترین گزینه های پاسخ را برای آنها پیدا می کنیم.

راه حل:

در زمستان، تعداد فروش بیش از 120 عدد در ماه بود و به طور مداوم در حال افزایش بود. این وضعیت با پاسخ شماره 3 مطابقت دارد. آن ها ما گرفتیم: الف – 3.

در بهار، فروش به تدریج از 120 بخاری در ماه به 50 بخاری کاهش یافت. گزینه 2 نزدیکترین گزینه به این عبارت است. ما داریم: ب - 2.

در تابستان تعداد فروش تغییری نکرد و حداقل بود. بخش دوم این عبارت در پاسخ ها منعکس نشده است و فقط شماره 4 برای اولی مناسب است. از این رو داریم: در ساعت 4.

در پاییز، فروش رشد کرد، اما تعداد آنها در هیچ یک از ماه ها از 100 دستگاه فراتر نرفت. این وضعیت در گزینه شماره 1 توضیح داده شده است. ما گرفتیم: G – 1.

گزینه 14MB6

نمودار وابستگی سرعت یک اتوبوس معمولی به زمان را نشان می دهد. در محور عمودی سرعت اتوبوس بر حسب کیلومتر در ساعت مشخص شده است، در محور افقی - زمان بر حسب دقیقه از شروع حرکت اتوبوس.

با استفاده از نمودار، مشخصه حرکت اتوبوس در این بازه را به هر بازه زمانی اختصاص دهید.

الگوریتم اجرا

1. قیمت تقسیم را در مقیاس افقی و عمودی تعیین کنید.
2. ما به نوبه خود عبارات پیشنهادی 1-4 را از ستون سمت راست ("ویژگی ها") تجزیه و تحلیل می کنیم. ما آنها را با فواصل زمانی ستون سمت چپ جدول مقایسه می کنیم، جفت های "حرف-عدد" را برای پاسخ پیدا می کنیم.

راه حل:

تقسیم بندی در مقیاس افقی 1 ثانیه و مقیاس عمودی 20 کیلومتر در ساعت است.

1. وقتی اتوبوس توقف می کند سرعت آن 0 است. اتوبوس فقط از دقیقه 9 تا 11 2 دقیقه متوالی سرعت صفر داشت. این زمان در فاصله 8 تا 12 دقیقه قرار می گیرد. بنابراین، ما یک جفت برای پاسخ داریم: ب - 1.
2. سرعت اتوبوس در چندین بازه زمانی 20 کیلومتر در ساعت و بیشتر بود. علاوه بر این، گزینه A در اینجا مناسب نیست، زیرا به عنوان مثال، در دقیقه 7 سرعت 60 کیلومتر در ساعت بود، گزینه B - زیرا قبلا اعمال شده است، گزینه D - زیرا در ابتدا و انتهای فاصله اتوبوس سرعت صفر داشت... در این مورد، گزینه B مناسب است (12-16 دقیقه). در این فاصله، اتوبوس با سرعت 40 کیلومتر در ساعت شروع به حرکت می کند، سپس به سرعت 100 کیلومتر در متر می رسد و سپس به تدریج سرعت را به 20 کیلومتر در ساعت کاهش می دهد. بنابراین، ما داریم: در 2.
3. محدودیت سرعت در اینجا تعیین شده است. در عین حال گزینه های B و C را در نظر نمی گیریم. بازه های باقی مانده A و D هر دو مناسب هستند. بنابراین، درست است که ابتدا گزینه 4 را در نظر بگیرید و دوباره به گزینه 3 برگردید.
4. از دو بازه باقیمانده، تنها 4 تا 8 دقیقه برای مشخصه شماره 4 مناسب است، زیرا در این فاصله (در دقیقه 6) توقف وجود داشت. در فاصله 18-22 دقیقه هیچ توقفی وجود نداشت. ما گرفتیم: الف – 4... از این رو نتیجه می شود که برای مشخصه شماره 3 لازم است فاصله Г، یعنی. معلوم می شود یک زوج G – 3.

گزینه 14MB7

شکل نقطه چین نشان دهنده افزایش جمعیت چین از سال 2004 تا 2013 است. به صورت افقی سال را نشان می دهد، به صورت عمودی - رشد جمعیت به عنوان درصد (افزایش جمعیت نسبت به سال گذشته). برای وضوح، نقاط با یک خط به هم متصل می شوند.

با استفاده از شکل، هر یک از دوره های زمانی مشخص شده را با ویژگی های رشد جمعیت چین در این دوره مطابقت دهید..

الگوریتم اجرا

1. قیمت تقسیم مقیاس عمودی تصویر را تعیین کنید. به عنوان تفاوت بین یک جفت مقادیر مقیاس مجاور، تقسیم بر 2 (از آنجایی که 2 تقسیم بین دو مقدار مجاور وجود دارد) یافت می شود.
2. ما به طور متوالی ویژگی های 1-4 داده شده در شرایط (ستون جدول سمت چپ) را تجزیه و تحلیل می کنیم. ما هر یک از آنها را با یک دوره زمانی خاص (ستون جدول سمت راست) مقایسه می کنیم.

راه حل:

تقسیم مقیاس عمودی 0.01٪ است.

1. کاهش رشد به طور مداوم از سال 2004 تا 2010 ادامه یافت. در سال های 2010-2011، رشد به طور پایدار حداقل بود و از سال 2012 شروع به افزایش کرد. آن ها رشد در سال 2010 متوقف شد. این سال در دوره 2009-2011 است. بر این اساس داریم: در 1.
2. "تندترین" خط سقوط نمودار در شکل را باید بزرگترین افت رشد در نظر گرفت. مربوط به دوره 2006-2007 است. و 0.04% در سال است (0.59-0.56 = 0.04% در سال 2006 و 0.56-0.52 = 0.04% در سال 2007). از اینجا دریافت می کنیم: الف – 2.
3. رشد نشان داده شده در مشخصه شماره 3 در سال 2007 آغاز شد، در سال 2008 ادامه یافت و در سال 2009 به پایان رسید. این مربوط به دوره زمانی B است، یعنی. ما داریم: ب – 3.
4. رشد جمعیت پس از سال 2011 شروع به افزایش کرد، یعنی. در سال 2012-2013 بنابراین، دریافت می کنیم: G-4.

گزینه 14MB8

شکل نموداری از یک تابع و مماس های کشیده شده روی آن را در نقاطی با ابسیساهای A، B، C و D نشان می دهد.

ستون سمت راست مقادیر مشتق تابع را در نقاط A، B، C و D نشان می دهد. با استفاده از نمودار، به هر نقطه مقدار مشتق تابع موجود در آن را اختصاص دهید.

الگوریتم اجرا

1. یک جفت مماس را در نظر بگیرید که زاویه تند با جهت مثبت محور آبسیسا دارند. ما آنها را مقایسه می کنیم، بین جفت مقادیر متناظر مشتقات مطابقت پیدا می کنیم.
2. یک جفت مماس را در نظر بگیرید که یک زاویه منفرد با جهت مثبت محور آبسیسا تشکیل می دهند. ما آنها را در مقدار مطلق مقایسه می کنیم، مطابقت آنها را با مقادیر مشتقات در بین دو باقی مانده در ستون سمت راست تعیین می کنیم.

راه حل:

یک زاویه حاد با جهت مثبت محور آبسیسا توسط مشتقات در نقطه B و نقطه C تشکیل می شود. این مشتقات دارای مقادیر مثبت هستند. بنابراین، در اینجا باید بین مقادیر شماره 1 و 3 یکی را انتخاب کنید. با اعمال این قانون که اگر زاویه کمتر از 45 0 باشد، مشتق کمتر از 1 و اگر بیشتر باشد، بیشتر از 1 باشد، نتیجه می گیریم: در نقطه B، مشتق مدول بزرگتر از 1 است، در نقطه C - کمتر از 1. این بدان معنی است که می توانید برای پاسخ جفت بسازید: در ساعت 3و С – 1.

مشتقات نقطه A و نقطه D با جهت مثبت آبسیسا یک زاویه منفرد تشکیل می دهند. و در اینجا ما همان قانون را اعمال می کنیم و کمی آن را بازنویسی می کنیم: هر چه مماس در نقطه به خط آبسیسا (به جهت منفی آن) "فشار" شود، قدر مطلق آن بیشتر است. سپس دریافت می کنیم: مشتق در نقطه A از نظر قدر مطلق کمتر از مشتق در نقطه D است. بنابراین ما جفت هایی برای پاسخ داریم: الف – 2و د - 4.

گزینه 14MB9

در شکل، نقطه ها میانگین دمای هوای روزانه مسکو را در ژانویه 2011 نشان می دهند. به صورت افقی روز ماه را نشان می دهد، به صورت عمودی - دما را بر حسب درجه سانتیگراد. برای وضوح، نقاط با یک خط به هم متصل می شوند.

با استفاده از شکل، هر یک از دوره های زمانی مشخص شده را با ویژگی تغییر دما مطابقت دهید.

الگوریتم اجرا

ما به طور متوالی ویژگی های 1-4 (ستون سمت راست) را با استفاده از نمودار در شکل تجزیه و تحلیل می کنیم. ما هر یک از آنها را با یک دوره زمانی خاص (ستون سمت چپ) مطابقت می دهیم.

راه حل:

1. افزایش دما تنها در پایان دوره در 22 تا 28 ژانویه مشاهده شد. اینجا در 27 و 28 به ترتیب 1 و 2 درجه افزایش یافت. در پایان دوره از 1 تا 7 ژانویه، دما پایدار بود (10- درجه)، در پایان 8-14 ژانویه و 15-21 ژانویه کاهش یافت (از -1 به -2 و از -11 به - به ترتیب 12 درجه). بنابراین، دریافت می کنیم: G – 1.
2. از آنجایی که هر دوره زمانی 7 روز را شامل می شود، دما باید از روز چهارم هر دوره تجزیه و تحلیل شود. دما فقط از 4 تا 7 ژانویه به مدت 3-4 روز بدون تغییر باقی ماند. بنابراین به جواب می رسیم: الف – 2.
3. حداقل دمای ماهانه در 17 ژانویه مشاهده شد. این عدد در بازه زمانی 15 تا 21 ژانویه است. از اینجا ما یک جفت داریم: در ساعت 3.
4. حداکثر دما در 10 ژانویه کاهش یافت و به +1 درجه رسید. این تاریخ بین 8 تا 14 ژانویه است. از این رو داریم: ب - 4.

گزینه 14MB10

الگوریتم اجرا

1. اگر این نقطه بالای محور Ox قرار گیرد، مقدار تابع در یک نقطه مثبت است.
2. مشتق در یک نقطه بزرگتر از صفر است اگر مماس به این نقطه یک زاویه حاد با جهت مثبت محور Ox تشکیل دهد.

راه حل:

نقطه A. زیر محور Ox است، یعنی مقدار تابع در آن منفی است. اگر یک مماس در آن رسم کنید، زاویه بین آن و جهت مثبت Ox حدود 90 0 خواهد بود، یعنی. یک زاویه حاد تشکیل می دهد. بنابراین، در این مورد، مشخصه شماره 3 مناسب است. آن ها ما داریم: الف – 3.

نقطه B. در بالای محور Ox قرار دارد، i.e. نقطه دارای مقدار تابع مثبت است. خط مماس در این نقطه کاملاً نزدیک به محور آبسیسا خواهد بود و زاویه ای مبهم (کمی کمتر از 180 0) با جهت مثبت آن تشکیل می دهد. بر این اساس، مشتق در این نقطه منفی است. بنابراین، مشخصه 1 در اینجا مناسب است. پاسخ را دریافت می کنیم: در 1.

نقطه C. نقطه در زیر محور Ox قرار دارد، مماس در آن یک زاویه منفرد بزرگ با جهت مثبت محور آبسیسا تشکیل می دهد. آن ها در نقطه C، مقدار تابع و مشتق هر دو منفی است که با مشخصه شماره 2 مطابقت دارد. پاسخ: ج – 2.

نقطه D. نقطه بالای محور Ox است و مماس موجود در آن یک زاویه تند با جهت مثبت محور تشکیل می دهد. این نشان می دهد که هم مقدار تابع و هم مقدار مشتق در اینجا بزرگتر از صفر هستند. پاسخ: د - 4.

گزینه 14MB11

در شکل نقطه ها فروش ماهیانه یخچال در فروشگاه لوازم خانگی را نشان می دهد. ماه ها به صورت افقی نمایش داده می شوند و تعداد یخچال های فروخته شده به صورت عمودی. برای وضوح، نقاط با یک خط به هم متصل می شوند.

با استفاده از شکل، هر یک از دوره های زمانی مشخص شده را با ویژگی فروش یخچال مطابقت دهید..