این مقاله به تکنیک‌هایی برای حل معادلات و نابرابری‌های مختلف اختصاص دارد
متغیر زیر علامت ماژول

اگر در امتحان به معادله یا نابرابری با مدول برخورد کردید، می توانید آن را با
بدون دانستن هیچ روش خاصی و فقط با استفاده از تعریف ماژول. حقیقت،
می تواند یک ساعت و نیم از زمان گرانبهای امتحان را بگیرد.

بنابراین، ما می خواهیم در مورد تکنیک هایی که حل چنین مشکلاتی را ساده می کند، به شما بگوییم.

اول از همه، این را به خاطر بسپارید

انواع مختلف را در نظر بگیرید معادلات با مدول... (بعداً به سراغ نابرابری ها خواهیم رفت.)

در سمت چپ ماژول، در سمت راست عدد است

این ساده ترین حالت است. بیایید معادله را حل کنیم

فقط دو عدد وجود دارد که ماژول آنها برابر با چهار است. اینها 4 و -4 هستند. بنابراین، معادله
معادل ترکیب دو مورد ساده است:

معادله دوم هیچ راه حلی ندارد. راه حل های اول: x = 0 و x = 5.

پاسخ: 0; 5.

متغیر هم در زیر ماژول و هم در خارج از ماژول

در اینجا باید ماژول را طبق تعریف گسترش دهید. ... ... یا فکر کردن!

معادله بسته به علامت عبارت زیر مدول به دو حالت تقسیم می شود.
به عبارت دیگر، این معادل ترکیبی از دو سیستم است:

راه حل سیستم اول:. سیستم دوم هیچ راه حلی ندارد.
پاسخ 1.

حالت اول: x ≥ 3. ماژول را بردارید:

عدد به دلیل منفی بودن شرط x ≥ 3 را برآورده نمی کند و بنابراین ریشه معادله اصلی نیست.

اجازه دهید دریابیم که آیا عدد این شرایط را برآورده می کند یا خیر. برای انجام این کار، تفاوت را بنویسید و علامت آن را تعیین کنید:

از این رو، بیش از سه است و بنابراین ریشه معادله اصلی است

حالت دوم: x< 3. Снимаем модуль:

عدد . بزرگتر از، و بنابراین شرط x را برآورده نمی کند< 3. Проверим :

به معنای، . ریشه معادله اصلی است.

طبق تعریف ماژول حذف شود؟ حتی فکر کردن به آن ترسناک است، زیرا متمایز کننده یک مربع کامل نیست. بهتر است از ملاحظات زیر استفاده کنیم: معادله ای به شکل | A | = B معادل ترکیب دو سیستم است:

یکسان، اما کمی متفاوت:

به عبارت دیگر، ما دو معادله A = B و A = -B را حل می کنیم و سپس ریشه هایی را انتخاب می کنیم که شرط B ≥ 0 را برآورده کنند.

بیا شروع کنیم. ابتدا معادله اول را حل می کنیم:

سپس معادله دوم را حل می کنیم:

حال در هر مورد علامت سمت راست را بررسی می کنیم:

بنابراین، تنها و مناسب هستند.

معادلات درجه دوم با جایگزینی | x | = t

بیایید معادله را حل کنیم:

از آنجایی که جایگزینی راحت است | x | = t. ما گرفتیم:

پاسخ: 1±.

ماژول برابر با ماژول است

ما در مورد معادلات شکل صحبت می کنیم | A | = | B |. این هدیه سرنوشت است. بدون افشای ماژول طبق تعریف! ساده است:

به عنوان مثال، معادله: را در نظر بگیرید. مساوی است با مجموع زیر:

باقی مانده است که هر یک از معادلات مجموعه را حل کرده و پاسخ را یادداشت کنید.

دو یا چند ماژول

بیایید معادله را حل کنیم:

بیایید با هر ماژول به طور جداگانه زحمت نکشیم و آن را با تعریف گسترش دهیم - گزینه های زیادی وجود خواهد داشت. یک راه منطقی تر وجود دارد - روش فواصل.

عبارات مدول در نقاط x = 1، x = 2 و x = 3 ناپدید می شوند. این نقاط خط اعداد را به چهار بازه (بازه) تقسیم می کنند. این نقاط را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم و در فواصل به دست آمده علائم هر یک از عبارات را در زیر ماژول ها مرتب می کنیم. (ترتیب نشانه ها مانند ترتیب ماژول های مربوطه در معادله است.)

بنابراین، ما باید چهار مورد را در نظر بگیریم - زمانی که x در هر یک از بازه‌ها باشد.

مورد 1: x ≥ 3. همه ماژول ها "با یک مثبت" حذف می شوند:

مقدار بدست آمده x = 5 شرط x ≥ 3 را برآورده می کند و بنابراین ریشه معادله اصلی است.

مورد 2: 2 ≤ x ≤ 3. آخرین ماژول اکنون "با منهای" حذف شده است:

مقدار حاصل از x نیز خوب است - به بازه مورد نظر تعلق دارد.

مورد 3: 1 ≤ x ≤ 2. ماژول های دوم و سوم "با منهای" حذف می شوند:

ما برابری عددی صحیح را برای هر x از بازه در نظر گرفته شده به عنوان راه حل برای این معادله به دست آوردیم.

مورد 4: x ≤ 1 ≤ 1. ماژول های دوم و سوم "با منهای" حذف می شوند:

چیز جدیدی نیست. ما قبلاً می دانیم که x = 1 یک راه حل است.

پاسخ: ∪ (5).

ماژول در ماژول

بیایید معادله را حل کنیم:

ما با گسترش ماژول داخلی شروع می کنیم.

1) x ≤ 3. دریافت می کنیم:

عبارت زیر مدول ناپدید می شود. این نکته متعلق به در نظر گرفته شده است
فاصله بنابراین باید دو مورد فرعی را تحلیل کنیم.

1.1) در این مورد می گیریم:

این مقدار x معتبر نیست زیرا به بازه مورد نظر تعلق ندارد.

1.2). سپس:

این مقدار x نیز معتبر نیست.

بنابراین، برای x ≤ 3 هیچ راه حلی وجود ندارد. بریم سراغ مورد دوم.

2) x ≥ 3. داریم:

در اینجا ما خوش شانس هستیم: عبارت x + 2 در بازه مورد بررسی مثبت است! بنابراین، هیچ مورد فرعی دیگری وجود نخواهد داشت: ماژول "با یک امتیاز" حذف می شود:

این مقدار x در بازه در نظر گرفته شده است و بنابراین ریشه معادله اصلی است.

اینگونه است که تمام وظایف از این نوع حل می شود - ماژول های تودرتو را یکی یکی باز می کنیم و از داخلی شروع می کنیم.

مدرسه متوسطه MBOU شماره 17 ایوانف

« معادلات با مدول "
توسعه روشی

گردآوری شده توسط

معلم ریاضی

N.V. لبدوا

20010 گرم.

یادداشت توضیحی

فصل 1 مقدمه

بخش 2. خواص اساسی بخش 3. تفسیر هندسی مفهوم مدول یک عدد بخش 4. نمودار تابع y = | x | بخش 5. کنوانسیون ها

فصل 2. حل معادلات حاوی یک ماژول

بخش 1. معادلات فرم | F (x) | = m (ساده ترین) بخش 2. معادلات فرم F (| x |) = m بخش 3. معادلات فرم | F (x) | = G (x) بخش 4. معادلات فرم | F (x) | = ± F (x) (زیبا) بخش 5. معادلات فرم | F (x) | = | G (x) | بخش 6. نمونه هایی از حل معادلات غیر استاندارد بخش 7. معادلات فرم | F (x) | + | G (x) | = 0 بخش 8. معادلات فرم | a 1 x ± b 1 | ± | a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± در n | = متر بخش 9. معادلات حاوی چند ماژول

فصل 3. نمونه هایی از حل معادلات مختلف با یک ماژول.

بخش 1. معادلات مثلثاتی بخش 2. معادلات نمایی بخش 3. معادلات لگاریتمی بخش 4. معادلات غیر منطقی بخش 5. وظایف با پیچیدگی افزایش یافته است پاسخ تمرینات کتابشناسی - فهرست کتب

یادداشت توضیحی.

مفهوم قدر مطلق (مدول) یک عدد حقیقی یکی از ویژگی های اساسی آن است. این مفهوم در شاخه های مختلف علوم فیزیکی، ریاضی و فنی رواج دارد. در تمرین آموزش یک دوره ریاضی در دبیرستان مطابق با برنامه وزارت دفاع فدراسیون روسیه، مفهوم "مقدار مطلق یک عدد" به طور مکرر اتفاق می افتد: در کلاس ششم، تعریف یک ماژول، معنای هندسی آن معرفی شده است. در کلاس هشتم، مفهوم خطای مطلق شکل می گیرد، حل ساده ترین معادلات و نابرابری های حاوی ماژول در نظر گرفته می شود، خواص ریشه دوم حسابی مطالعه می شود. در کلاس یازدهم، این مفهوم در بخش "ریشه". n- درجه ".تجربه تدریس نشان می‌دهد که دانش‌آموزان اغلب در حل تکالیفی که نیاز به دانش این مطالب دارند، با مشکلاتی مواجه می‌شوند و اغلب قبل از شروع به تکمیل از آن می‌گذرند. در متون تکالیف امتحانی درس پایه نهم و یازدهم نیز تکالیف مشابه درج شده است. علاوه بر این، الزاماتی که دانشگاه ها برای فارغ التحصیلان مدارس قائل می شوند، متفاوت است، یعنی در سطحی بالاتر از الزامات برنامه درسی مدرسه. برای زندگی در جامعه مدرن، بسیار مهم است که یک سبک ریاضی از تفکر شکل بگیرد که در مهارت های ذهنی خاصی ظاهر می شود. در فرآیند حل مسائل با ماژول ها، توانایی استفاده از تکنیک هایی مانند تعمیم و مشخص سازی، تجزیه و تحلیل، طبقه بندی و نظام مندسازی، قیاس مورد نیاز است. حل چنین وظایفی به شما امکان می دهد دانش بخش های اصلی دوره مدرسه، سطح تفکر منطقی، مهارت های اولیه فعالیت تحقیقاتی را بررسی کنید. این کار به یکی از بخش ها - حل معادلات حاوی یک ماژول اختصاص دارد. از سه فصل تشکیل شده است. فصل اول به معرفی مفاهیم اساسی و مهم ترین محاسبات نظری می پردازد. در فصل دوم، نه نوع اساسی از معادلات حاوی یک ماژول پیشنهاد شده است، روش‌هایی برای حل آنها در نظر گرفته شده، نمونه‌هایی از سطوح مختلف پیچیدگی تحلیل می‌شوند. فصل سوم معادلات پیچیده تر و غیر استاندارد (مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و غیر منطقی) را ارائه می دهد. هر نوع معادله دارای تمرین هایی برای حل مستقل است (پاسخ ها و دستورالعمل ها پیوست شده است). هدف اصلی این کار ارائه کمک روش شناختی به معلمان در آماده سازی دروس و در سازماندهی دوره های اختیاری است. این مطالب همچنین می تواند به عنوان کمک آموزشی برای دانش آموزان دبیرستانی مورد استفاده قرار گیرد. وظایف ارائه شده در کار جالب هستند و همیشه قابل حل نیستند، که این امکان را فراهم می کند تا انگیزه آموزشی دانش آموزان را آگاه تر کند، توانایی های آنها را آزمایش کند و سطح آمادگی فارغ التحصیلان مدرسه را برای پذیرش در دانشگاه ها بهبود بخشد. انتخاب متمایز تمرینات پیشنهادی شامل انتقال از سطح تولید مثل تسلط بر مواد به خلاقانه و همچنین فرصتی برای آموزش نحوه استفاده از دانش خود در حل مشکلات غیر استاندارد است.

فصل 1 مقدمه.

بخش 1. تعیین قدر مطلق .

تعریف : قدر مطلق (مدول) یک عدد واقعی آیک عدد غیر منفی نامیده می شود: آیا -آ. تعیین: │ آ │ رکورد به صورت زیر خوانده می شود: "ماژول عدد a" یا "قدر مطلق عدد a"

│ a، اگر a> 0

│a│ = │ 0 اگر a = 0 (1)

│ - الف، اگر الف
مثال ها: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

گسترش ماژول بیان:

الف) │x - 8│، اگر x> 12 ب) │2x + 3│، اگر x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

بخش 2. خواص اساسی.

بیایید ویژگی های اصلی قدر مطلق را در نظر بگیریم. دارایی شماره 1: اعداد مخالف دارای ماژول های مساوی هستند، یعنی. │а│ = │- a│اجازه دهید نشان دهیم که برابری درست است. بیایید تعریف عدد را بنویسیم - آ : │- a│= (2) اجازه دهید مجموعه های (1) و (2) را با هم مقایسه کنیم. بدیهی است که تعاریف قدر مطلق اعداد آو - آمطابقت دادن از این رو، │а│ = │- a│
هنگامی که ویژگی های زیر را در نظر می گیریم، خودمان را به فرمول بندی آنها محدود می کنیم، زیرا اثبات آنها در اینجا آمده است ملک شماره 2: قدر مطلق مجموع تعداد محدودی از اعداد حقیقی از مجموع مقادیر مطلق عبارت ها تجاوز نمی کند: │а 1 + а 2 + ... + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ + ... + │а n │ ملک شماره 3: قدر مطلق تفاوت بین دو عدد واقعی از مجموع مقادیر مطلق آنها تجاوز نمی کند: │а - в│ ≤│а│ + │в│ ملک شماره 4: قدر مطلق حاصل ضرب تعداد محدودی از اعداد حقیقی برابر است با حاصلضرب قدر مطلق عوامل: ملک شماره 5: قدر مطلق ضریب اعداد حقیقی برابر است با ضریب قدر مطلق آنها:

بخش 3. تفسیر هندسی مفهوم مدول یک عدد.

هر عدد واقعی را می توان با یک نقطه از خط اعداد مرتبط کرد که تصویر هندسی عدد واقعی داده شده خواهد بود. هر نقطه روی خط اعداد مربوط به فاصله آن از مبدا است، یعنی. طول قطعه از مبدا تا نقطه داده شده. این فاصله همیشه به عنوان یک مقدار غیر منفی در نظر گرفته می شود. بنابراین، طول قطعه مربوطه، تفسیر هندسی قدر مطلق عدد واقعی داده شده خواهد بود

تصویر هندسی ارائه شده به وضوح خاصیت شماره 1، i.e. ماژول های اعداد مخالف برابر هستند. از این رو، اعتبار برابری به راحتی قابل درک است: │x - a│ = │a - x│. همچنین حل معادله │х│ = m که m ≥ 0 یعنی x 1,2 = ± m آشکارتر می شود. مثال ها: 1) │х│ = 4 x 1،2 = 4 ± 2) │х - 3│ = 1
x 1.2 = 2; 4

بخش 4. نمودار تابع y = │х│

دامنه این تابع همه اعداد واقعی است.

بخش 5. کنوانسیون ها.

در آینده، هنگام بررسی مثال هایی از حل معادلات، از قراردادهای زیر استفاده خواهد شد: (- علامت سیستم [- علامت کلیت هنگام حل سیستم معادلات (نابرابری ها)، محل تلاقی راه حل های موجود در سیستم معادلات (نابرابری ها) پیدا می شود. هنگام حل مجموعه ای از معادلات (نابرابری ها)، اتحاد راه حل های موجود در مجموعه معادلات (نابرابری ها) پیدا می شود.

فصل 2. حل معادلات حاوی یک ماژول.

در این فصل به روش های جبری برای حل معادلات حاوی یک یا چند ماژول می پردازیم.

بخش 1. معادلات فرم │F (x) │ = m

معادله ای از این نوع را ساده ترین می گویند. راه حل دارد اگر و فقط اگر m ≥ 0 باشد. با تعریف مدول، معادله اصلی معادل ترکیبی از دو معادله است: │ اف(x) │ =متر
مثال ها:
№1. معادله را حل کنید: │7x - 2│ = 9


پاسخ: x 1 = - 1; ایکس 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1. x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 پاسخ: مجموع ریشه ها - 2 است.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 x 2 = m، m ≥ 0 x = 0 را نشان می دهیم ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - هر دو مقدار شرط m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 را برآورده می کنند پاسخ: تعداد ریشه های معادله 7 است. تمرینات:
№1. معادله را حل کنید و مجموع ریشه ها را نشان دهید: │х - 5│ = 3 №2 ... معادله را حل کنید و ریشه کوچکتر را نشان دهید: │x 2 + x│ = 0 №3 ... معادله را حل کنید و ریشه بزرگتر را نشان دهید: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 معادله را حل کنید و کل ریشه را نشان دهید: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 معادله را حل کنید و تعداد ریشه ها را نشان دهید: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

بخش 2. معادلات فرم F (│х│) = m

آرگومان تابع در سمت چپ زیر علامت مدول است و سمت راست مستقل از متغیر است. دو روش برای حل معادلات از این نوع در نظر بگیرید. روش 1:با تعریف قدر مطلق، معادله اصلی معادل ترکیب دو سیستم است. در هر یک از آنها یک شرط بر یک عبارت زیر ماژول اعمال می شود. اف(│х│) =متر
از آنجایی که تابع F (│х│) در کل دامنه تعریف زوج است، ریشه معادلات F (x) = m و F (-x) = m جفت اعداد متضاد هستند. بنابراین کافی است یکی از سیستم ها را حل کنید (هنگام بررسی مثال هایی از این طریق، حل یک سیستم آورده می شود). روش 2:بکارگیری روش معرفی متغیر جدید. در این مورد، نام │х│ = a معرفی می شود، که در آن ≥ 0 است. این روش در طراحی حجم کمتری دارد.
مثال ها: №1 ... معادله را حل کنید: 3x 2 - 4│x│ = - 1 بیایید از معرفی یک متغیر جدید استفاده کنیم. ما │x│ = a را نشان می دهیم، جایی که a ≥ 0 است. معادله 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 را به دست می آوریم. │ = 1 و │х│ = 1/3. هر معادله دو ریشه دارد. پاسخ: x 1 = 1; ایکس 2 = - 1; ایکس 3 = 1 / 3 ; ایکس 4 = - 1 / 3 . №2. معادله را حل کنید: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
اجازه دهید راه حل اولین سیستم مجموعه را پیدا کنیم: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 توجه داشته باشید که x 2 اینطور نیست شرط x ≥ 0 را برآورده کنید. راه حل سیستم دوم برعکس x 1 خواهد بود. پاسخ: x 1 = -5+√57 / 8 ; ایکس 2 = 5-√57 / 8 .№3 . معادله را حل کنید: x 4 - │х│ = 0 علامت │х│ = a، که در آن a ≥ 0 است. معادله a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 را به دست می آوریم. = 1 به متغیر اصلی برگردید: │х│ = 0 و │х│ = 1 х = 0. ± 1 پاسخ: x 1 = 0; ایکس 2 = 1; ایکس 3 = - 1.
تمرینات: №6. معادله را حل کنید: 2│x│ - 4.5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد ریشه ها را مشخص کنید: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... معادله را حل کنید، در پاسخ کل جواب ها را نشان دهید: x 4 + │x│ - 2 = 0

بخش 3. معادلات شکل │F (x) │ = G (x)

سمت راست معادله ای از این شکل به متغیر بستگی دارد و بنابراین، اگر و فقط اگر سمت راست تابع G (x) ≥ 0 باشد، راه حل دارد. معادله اصلی را می توان به دو روش حل کرد. : روش 1:استاندارد، مبتنی بر افشای یک ماژول بر اساس تعریف آن است و شامل یک انتقال معادل به ترکیبی از دو سیستم است. │ اف(x) │ =جی(ایکس)

منطقی است که از این روش در مورد یک عبارت پیچیده برای تابع G (x) و کمتر پیچیده - برای تابع F (x) استفاده کنیم، زیرا حل نابرابری ها با تابع F (x) فرض می شود. روش 2:این شامل انتقال به یک سیستم معادل است که در آن یک شرط در سمت راست تحمیل می شود. │ اف(ایکس)│= جی(ایکس)

استفاده از این روش در صورتی راحت‌تر است که عبارت تابع G (x) پیچیده‌تر از تابع F (x) باشد، زیرا فرض بر این است که نابرابری G (x) ≥ 0 است. علاوه بر این، در مورد چندین ماژول، این روش برای اعمال گزینه دوم توصیه می شود. مثال ها: №1. معادله را حل کنید: │x + 2│ = 6 -2x
(1 راه) پاسخ: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 راه) جواب: حاصلضرب ریشه 3 است.
№3. معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را مشخص کنید:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

پاسخ: مجموع ریشه ها 4 است.
تمرینات: №9. │x + 4│ = - 3x №10. معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد جواب ها را مشخص کنید: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... معادله را حل کنید، در پاسخ حاصل ضرب ریشه ها را مشخص کنید: │х + 3│ = х 2 + х - 6

بخش 4. معادلات شکل │F (x) │ = F (x) و │F (x) │ = - F (x)

معادلات از این نوع گاهی اوقات "زیباترین" نامیده می شوند. از آنجایی که سمت راست معادلات به یک متغیر بستگی دارد، راه حل وجود دارد اگر و تنها در صورتی که سمت راست آن غیر منفی باشد. بنابراین، معادلات اصلی معادل نابرابری‌های زیر هستند:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 و │F (x) │ = - F (x) F (x) مثال ها: №1 ... معادله را حل کنید، در پاسخ، ریشه کل کوچکتر را نشان دهید: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 پاسخ: x = 1№2. معادله را حل کنید، در پاسخ طول شکاف را نشان دهید: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] پاسخ: طول شکاف 6 است.№3 . معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد جواب های عدد صحیح را نشان دهید: │2 + х - х 2 │ = 2 + х - х 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - х - 2 ≤ 0 [- 1; 2] پاسخ: 4 راه حل کامل.№4 . معادله را حل کنید، در پاسخ بزرگترین ریشه را مشخص کنید:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1.2 =
≈ 1,4

پاسخ: x = 3.

تمرینات: №12. معادله را حل کنید، در پاسخ تمام ریشه را نشان دهید: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد جواب های عدد صحیح را نشان دهید: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. معادله را حل کنید، در جواب یک عدد صحیح بنویسید که ریشه معادله نباشد:

بخش 5. معادلات شکل │F (x) │ = │G (x) │

از آنجایی که هر دو طرف معادله غیر منفی هستند، راه حل شامل در نظر گرفتن دو حالت است: عبارات زیرماژول از نظر علامت مساوی یا مخالف هستند. بنابراین، معادله اصلی معادل ترکیبی از دو معادله است: │ اف(ایکس)│= │ جی(ایکس)│
مثال ها: №1. معادله را حل کنید، در پاسخ تمام ریشه را نشان دهید: │x + 3│ = │2x - 1│
پاسخ: ریشه کامل x = 4.№2. معادله را حل کنید: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
پاسخ: x = 2.№3 . معادله را حل کنید، در جواب حاصل ضرب ریشه ها را مشخص کنید:




ریشه معادله 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1.2 = - 1 ± √5 / 4 پاسخ: حاصلضرب ریشه ها برابر 0.25- است. تمرینات: №15 ... معادله را حل کنید، جواب کامل را در پاسخ خود بنویسید: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. معادله را حل کنید، در پاسخ ریشه کوچکتر را نشان دهید: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را مشخص کنید:

بخش 6. نمونه هایی از حل معادلات غیر استاندارد

در این بخش، نمونه‌هایی از معادلات غیر استاندارد را بررسی می‌کنیم که در حل آن‌ها قدر مطلق یک عبارت با تعریف آشکار می‌شود. مثال ها:

№1. معادله را حل کنید، در پاسخ مجموع ریشه ها را مشخص کنید: x │x│- 5x - 6 = 0
پاسخ: مجموع ریشه ها 1 است №2. . معادله را حل کنید، در پاسخ ریشه کوچکتر را نشان دهید: x 2 - 4x
- 5 = 0
پاسخ: ریشه کوچکتر x = - 5. №3. معادله را حل کنید:

پاسخ: x = -1. تمرینات: №18. معادله را حل کنید و مجموع ریشه ها را نشان دهید: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. معادله را حل کنید: x 2 - 3x =

№20. معادله را حل کنید:

بخش 7. معادلات شکل │F (x) │ + │G (x) │ = 0

به راحتی می توان دید که در سمت چپ یک معادله از این نوع مجموع مقادیر غیر منفی قرار دارد. در نتیجه، معادله اصلی یک راه حل دارد اگر و تنها در صورتی که هر دو عبارت به طور همزمان برابر با صفر باشند. معادله معادل یک سیستم معادلات است: │ اف(ایکس)│+│ جی(ایکس)│=0
مثال ها: №1 ... معادله را حل کنید:
پاسخ: x = 2. №2. معادله را حل کنید: پاسخ: x = 1. تمرینات: №21. معادله را حل کنید: №22 ... معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را مشخص کنید: №23 ... معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد جواب ها را مشخص کنید:

بخش 8. معادلات شکل │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + در 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

برای حل معادلات از این نوع از روش فواصل استفاده می شود. اگر آن را با گسترش متوالی ماژول ها حل کنیم، به دست می آوریم nمجموعه ای از سیستم ها، که بسیار دست و پا گیر و ناخوشایند است. بیایید الگوریتم روش فواصل را در نظر بگیریم: 1). مقادیر متغیر را پیدا کنید ایکسکه در آن هر ماژول برابر با صفر است (صفر عبارات زیر ماژول):
2). مقادیر یافت شده را روی خط عددی که به فواصل تقسیم می شود علامت بزنید (تعداد بازه ها به ترتیب برابر است با n+1 ) 3). علامتی را که هر ماژول با آن در هر یک از فواصل به دست آمده نشان می دهد مشخص کنید (هنگام ایجاد راه حل، می توانید با علامت گذاری علائم روی آن از یک خط عددی استفاده کنید) 4). معادله اصلی معادل کل است n+1 سیستم هایی که هر کدام نشان دهنده تعلق یک متغیر است ایکسیکی از فواصل مثال ها: №1 ... معادله را حل کنید، در پاسخ بزرگترین ریشه را مشخص کنید:
یک). صفرهای عبارات زیرماژول را بیابید: x = 2; x = -3 2). اجازه دهید مقادیر یافت شده را روی خط شماره علامت گذاری کنیم و علامتی را که با آن هر ماژول در فواصل به دست آمده گسترش می یابد تعیین کنیم:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- بدون راه حل معادله دو ریشه دارد. پاسخ: بزرگترین ریشه x = 2. №2. معادله را حل کنید، در پاسخ تمام ریشه را مشخص کنید:
یک). صفرهای عبارات زیرماژول را بیابید: x = 1.5; x = - 1 2). اجازه دهید مقادیر یافت شده را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم و مشخص کنیم که هر ماژول با چه علامتی در فواصل به دست آمده نشان داده می شود: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1.5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
سیستم آخر هیچ راه حلی ندارد، بنابراین معادله دو ریشه دارد. در مسیر حل معادله باید به علامت «-» در مقابل ماژول دوم توجه کنید. پاسخ: ریشه کامل x = 7. №3. معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را مشخص کنید: 1). صفرهای عبارات زیرماژول را بیابید: x = 5; x = 1; x = - 2 2). اجازه دهید مقادیر یافت شده را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم و مشخص کنیم که هر ماژول با چه علامتی در فواصل به دست آمده نشان داده می شود: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
معادله دو ریشه x = 0 و 2 دارد. پاسخ: مجموع ریشه ها 2 است. №4 . حل معادله: 1). صفرهای عبارات زیرماژول را بیابید: x = 1; x = 2; x = 3.2). اجازه دهید علامتی را که با آن هر ماژول در فواصل به دست آمده نشان داده می شود تعیین کنیم. 3).
بیایید راه حل های سه سیستم اول را با هم ترکیب کنیم. پاسخ: ؛ x = 5.
تمرینات: №24. معادله را حل کنید:
№25. معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را مشخص کنید: №26. معادله را حل کنید، در پاسخ ریشه کوچکتر را مشخص کنید: №27. معادله را حل کنید، در پاسخ ریشه بزرگتر را نشان دهید:

بخش 9. معادلات حاوی چند ماژول

معادلات حاوی چندین ماژول مقادیر مطلق را در عبارات زیر ماژول فرض می کنند. اصل اصلی برای حل معادلات از این نوع، افشای متوالی ماژول ها است که با "خارجی" شروع می شود. در جریان حل، از تکنیک های مورد بحث در بخش های №1، №3 استفاده می شود.

مثال ها: №1. معادله را حل کنید:
پاسخ: x = 1; - یازده №2. معادله را حل کنید:
پاسخ: x = 0; 4 - 4. №3. معادله را حل کنید، در جواب حاصل ضرب ریشه ها را مشخص کنید:
پاسخ: حاصل ضرب ریشه ها برابر با 8 است. №4. معادله را حل کنید:
اجازه دهید معادلات مجموعه را نشان دهیم (1) و (2) و برای راحتی طراحی راه حل هر کدام را جداگانه در نظر بگیرید. از آنجایی که هر دو معادله شامل بیش از یک ماژول هستند، انجام یک انتقال معادل به مجموعه‌ای از سیستم‌ها راحت‌تر است. (1)

(2)


پاسخ:
تمرینات: №36. معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را بنویسید: 5 │3x-5│ = 25 x №37. معادله را حل کنید، اگر بیش از یک ریشه وجود دارد، در پاسخ مجموع ریشه ها را مشخص کنید: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. معادله را حل کنید: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد ریشه ها را با: 2 │ sin х│ = √2 نشان دهید №40 ... معادله را حل کنید، در پاسخ تعداد ریشه ها را مشخص کنید:

بخش 3. معادلات لگاریتمی.

قبل از حل معادلات زیر لازم است خواص لگاریتم ها و تابع لگاریتمی تکرار شود. مثال ها: №1. معادله را حل کنید، در پاسخ حاصل ضرب ریشه ها را مشخص کنید: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 مورد: اگر x ≥ - 1، سپس log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - شرایط را برآورده می کند х ≥ - 1 2 مورد: اگر х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - شرایط x - 1 را برآورده می کند
جواب: حاصلضرب ریشه ها 15 است.
№2. معادله را حل کنید، در جواب مجموع ریشه ها را مشخص کنید: lg
O.D.Z.

پاسخ: مجموع ریشه ها 0.5 است.
№3. معادله log 5 را حل کنید
O.D.Z.

پاسخ: x = 9. №4. معادله را حل کنید: │2 + log 0.2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 بیایید از فرمول انتقال به پایه دیگر استفاده کنیم. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 صفرهای عبارات زیرماژول را بیابید: x = 25; x = این اعداد محدوده مقادیر مجاز را به سه بازه تقسیم می کنند، بنابراین معادله معادل ترکیب سه سیستم است.
پاسخ: )