عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است همه گزینه های ارائه را نشان ندهند. اگر به این کار علاقه دارید، لطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

کلید واژه ها:ذوزنقه منحنی منحنی یکپارچه، ناحیه ای از شکل های محدود شده توسط نیلوفرها

تجهیزات: وایت برد، کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای

نوع درس: درس-سخنرانی

اهداف درس:

• آموزشی:ایجاد فرهنگ کار ذهنی، ایجاد موقعیت موفقیت برای هر دانش آموز، ایجاد انگیزه مثبت برای یادگیری. توانایی صحبت کردن و گوش دادن به دیگران را توسعه دهید.
• در حال توسعه:شکل‌گیری استقلال دانش‌آموز در کاربرد دانش در موقعیت‌های مختلف، توانایی تجزیه و تحلیل و نتیجه‌گیری، توسعه منطق، توسعه توانایی طرح صحیح سؤالات و یافتن پاسخ برای آنها. بهبود شکل گیری محاسبات، مهارت های محاسباتی، توسعه تفکر دانش آموزان در دوره تکمیل وظایف پیشنهادی، توسعه فرهنگ الگوریتمی.
• آموزشی: برای شکل دادن به مفهوم ذوزنقه منحنی، انتگرال، مهارت های محاسبه مساحت شکل های مسطح

روش تدریس:توضیحی و گویا

در طول کلاس ها

در کلاس های قبل نحوه محاسبه مساحت اشکالی که مرز آنها خطوط چند ضلعی است را یاد گرفتیم. روش هایی در ریاضیات وجود دارد که به شما امکان می دهد مساحت اشکالی را که با منحنی محدود شده اند محاسبه کنید. چنین اشکالی ذوزنقه های منحنی نامیده می شوند و مساحت آنها با استفاده از ضد مشتقات محاسبه می شود.

ذوزنقه منحنی ( اسلاید 1)

ذوزنقه منحنی شکلی است که با نمودار یک تابع محدود شده است، schm)، سر راست x = aو x = bو آبسیسا

انواع ذوزنقه های منحنی ( اسلاید 2)

ما انواع مختلفی از ذوزنقه های منحنی را در نظر می گیریم و متوجه می شویم: یکی از خطوط مستقیم به یک نقطه تبدیل می شود، نقش تابع محدود کننده توسط خط مستقیم ایفا می شود.

ناحیه ذوزنقه ای منحنی (اسلاید 3)

انتهای سمت چپ شکاف را ثابت کنید آ،و راست ایکستغییر خواهیم کرد، یعنی دیواره سمت راست ذوزنقه منحنی را جابجا می کنیم و شکلی در حال تغییر می گیریم. مساحت یک ذوزنقه منحنی متغیر که توسط نمودار تابع محدود شده است، ضد مشتق است. افبرای عملکرد f

و در بخش [ آ؛ ب] ناحیه ذوزنقه منحنی که توسط تابع تشکیل شده است f،برابر است با افزایش ضد مشتق این تابع:

تمرین 1:

مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده با نمودار تابع را بیابید: f (x) = x 2و مستقیم y = 0، x = 1، x = 2.

راه حل: ( طبق اسلاید 3 الگوریتم)

بیایید یک نمودار از تابع و خطوط رسم کنیم

یکی از پاد مشتق های تابع را پیدا کنید f (x) = x 2 :

خودآزمایی با اسلاید

انتگرال

ذوزنقه ای منحنی را در نظر بگیرید که توسط تابع داده شده است fدر بخش [ آ؛ ب]. بیایید این بخش را به چند قسمت تقسیم کنیم. مساحت کل ذوزنقه به مجموع مساحت ذوزنقه های منحنی کوچکتر تقسیم می شود. ( اسلاید 5)... هر یک از این ذوزنقه ها را می توان تقریباً یک مستطیل در نظر گرفت. مجموع مساحت این مستطیل ها تصوری تقریبی از کل مساحت ذوزنقه منحنی به دست می دهد. هر چه کوچکتر قسمت را تقسیم کنیم [ آ؛ ب]، هر چه مساحت را با دقت بیشتری محاسبه کنیم.

اجازه دهید این استدلال را در قالب فرمول بنویسیم.

تقسیم بخش [ آ؛ ب] به n قسمت توسط نقطه x 0 = a، x1، ...، xn = b.طول k-هفتم با نشان دادن xk = xk - xk-1... بیایید مقدار را جبران کنیم

از نظر هندسی، این مجموع مساحت شکل سایه دار در شکل ( متر.)

مجموع فرم را مجموع انتگرال تابع می نامند f. (شم.)

مجموع انتگرال مقدار تقریبی مساحت را نشان می دهد. مقدار دقیق با رفتن به حد به دست می آید. تصور کنید که ما پارتیشن بخش [ آ؛ ب] به طوری که طول تمام بخش های کوچک به صفر تمایل دارد. سپس ناحیه شکل تشکیل شده به ناحیه ذوزنقه منحنی نزدیک می شود. می توان گفت مساحت ذوزنقه منحنی برابر با حد مجموع انتگرال است. Sk.t. (شم.)یا یک انتگرال، یعنی

تعریف:

انتگرال تابع f (x)از جانب آقبل از بحد مجموع انتگرال نامیده می شود

= (شم.)

فرمول نیوتن لایب نیتس

به یاد داشته باشید که حد مجموع انتگرال برابر با مساحت ذوزنقه منحنی است، به این معنی که می توانید بنویسید:

Sk.t. = (شم.)

از طرف دیگر، مساحت ذوزنقه منحنی با فرمول محاسبه می شود

S K. t. (شم.)

با مقایسه این فرمول ها به این نتیجه می رسیم:

= (شم.)

این برابری فرمول نیوتن-لایب نیتس نامیده می شود.

برای راحتی محاسبات، فرمول به شکل زیر نوشته شده است:

= = (شم.)

تکالیف: (شم.)

1. انتگرال را با فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنید: اسلاید 5 را بررسی کنید)

2. انتگرال ها را مطابق نقشه بسازید ( اسلاید 6 را بررسی کنید)

3. مساحت شکل محدود شده با خطوط را بیابید: y = x 3، y = 0، x = 1، x = 2. ( اسلاید 7)

پیدا کردن مساحت شکل های صاف ( اسلاید 8)

چگونه ناحیه شکل هایی را که ذوزنقه های منحنی نیستند پیدا می کنید؟

اجازه دهید دو تابع داده شود که نمودارهای آنها را در اسلاید می بینید ... (شم.)لازم است مساحت شکل پر شده را پیدا کنید ... (شم.)... شکل مورد نظر یک ذوزنقه منحنی است؟ و چگونه می توان مساحت آن را با استفاده از خاصیت افزایش سطح پیدا کرد؟ دو ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید و مساحت دیگری را از مساحت یکی از آنها کم کنید ( schm.)

بیایید یک الگوریتم برای یافتن منطقه توسط انیمیشن در یک اسلاید بسازیم:

1. نمودارهای تابع رسم
2. نقاط تقاطع نمودارها را روی محور آبسیسا طرح کنید
3. شکل به دست آمده را در تقاطع نمودارها سایه بزنید
4. ذوزنقه های منحنی را پیدا کنید که تقاطع یا اتحاد آنها یک شکل معین است.
5. مساحت هر یک از آنها را محاسبه کنید
6. تفاوت یا مجموع مساحت ها را پیدا کنید

تکلیف شفاهی: نحوه بدست آوردن مساحت یک شکل سایه دار (با کمک انیمیشن بگویید، اسلاید 8 و 9)

مشق شب:خلاصه، شماره 353 (الف)، شماره 364 (الف) را کار کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 9-11 مدرسه عصر (نوبت) / ویرایش. G. D. گلیزر. - م: آموزش و پرورش، 1362.
2. باشماکوف M.I. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 10-11 دبیرستان / باشماکوف M.I. - م: آموزش و پرورش، 1370.
3. باشماکوف M.I. ریاضیات: کتاب درسی برای مؤسسات اولیه. و چهارشنبه پروفسور تحصیلات / M.I. باشماکوف - م: آکادمی، 2010.
4. کولموگروف A.N. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10-11. موسسات آموزشی / A.N. Kolmogorov. - م: آموزش و پرورش، 2010.
5. اس ال استروفسکی چگونه برای یک درس ارائه دهیم؟ / S.L. استروفسکی. - M .: 1 سپتامبر 2010.

مثال 1 . مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: x + 2y - 4 = 0، y = 0، x = -3 و x = 2

بیایید یک شکل بسازیم (شکل را ببینید) یک خط مستقیم x + 2y - 4 = 0 در دو نقطه A (4; 0) و B (0; 2) می سازیم. با بیان y از طریق x، y = -0.5x + 2 را دریافت می کنیم. با فرمول (1)، که در آن f (x) = -0.5x + 2، a = -3، b = 2، پیدا می کنیم

S = = [-0.25 = 11.25 متر مربع. واحدها

مثال 2. مساحت شکل محدود شده توسط خطوط را محاسبه کنید: x - 2y + 4 = 0، x + y - 5 = 0 و y = 0.

راه حل. بیایید شکل را بسازیم.

یک خط مستقیم بسازید x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0، y = 2، B (0؛ 2).

یک خط مستقیم x + y - 5 = 0 بسازید: y = 0، x = 5، C (5؛ 0)، x = 0، y = 5، D (0؛ 5).

با حل سیستم معادلات نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید:

x = 2، y = 3; م (2؛ 3).

برای محاسبه مساحت مورد نیاز، مثلث AMC را به دو مثلث AMN و NMC تقسیم می کنیم، زیرا وقتی x از A به N تغییر می کند، مساحت با یک خط مستقیم محدود می شود و زمانی که x از N به C تغییر می کند، یک خط مستقیم است.

برای مثلث AMN داریم:; y = 0.5x + 2، یعنی f (x) = 0.5x + 2، a = - 4، b = 2.

برای مثلث NMC داریم: y = - x + 5، یعنی f (x) = - x + 5، a = 2، b = 5.

پس از محاسبه مساحت هر یک از مثلث ها و جمع کردن نتایج، متوجه می شویم:

مربع واحدها

مربع واحدها

9 + 4.5 = 13.5 متر مربع واحدها چک: = 0.5AС = 0.5 متر مربع. واحدها

مثال 3. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y = x 2 ، y = 0، x = 2، x = 3.

در این مورد، لازم است مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده با سهمی y = x محاسبه شود. 2 ، خطوط مستقیم x = 2 و x = 3 و محور Ox (نگاه کنید به شکل.) با فرمول (1)، مساحت یک ذوزنقه منحنی را پیدا می کنیم.

= = 6 متر مربع واحدها

مثال 4. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y = - x 2 + 4 و y = 0

بیایید شکل را بسازیم. ناحیه مورد نظر بین سهمی y = - x محصور شده است 2 + 4 و محور Ox.

نقاط تقاطع سهمی را با محور Ox بیابید. با فرض y = 0، x = از آنجایی که این شکل نسبت به محور Oy متقارن است، مساحت شکل واقع در سمت راست محور Oy را محاسبه می کنیم و نتیجه دو برابر می شود: = + 4x] مربع. واحدها 2 = 2 متر مربع واحدها

مثال 5. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y 2 = x، yx = 1، x = 4

در اینجا لازم است مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده با شاخه بالایی سهمی y محاسبه شود. 2 = x، محور Ox و خطوط مستقیم x = 1 و x = 4 (شکل را ببینید)

با فرمول (1)، که در آن f (x) = a = 1 و b = 4، ما = (= واحد مربع) داریم.

مثال 6 . مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y = sinx، y = 0، x = 0، x =.

ناحیه مورد نیاز توسط نیم موج سینوسی و محور Ox محدود می شود (شکل را ببینید).

ما داریم - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 مربع. واحدها

مثال 7. مساحت شکل محدود شده توسط خطوط را محاسبه کنید: y = - 6x، y = 0 و x = 4.

شکل زیر محور Ox قرار دارد (شکل را ببینید).

بنابراین مساحت آن را با فرمول (3) پیدا می کنیم.

= =

مثال 8. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y = و x = 2. منحنی y = را با نقاط رسم کنید (شکل را ببینید). بنابراین، مساحت شکل را با فرمول (4) پیدا می کنیم.

مثال 9 .

ایکس 2 + در 2 = r 2 .

در اینجا باید مساحت محدود شده با دایره x را محاسبه کنید 2 + در 2 = r 2 ، یعنی مساحت دایره ای با شعاع r که در مبدأ متمرکز است. اجازه دهید قسمت چهارم این ناحیه را با گرفتن حدود ادغام از 0 پیدا کنیم

دور; ما داریم: 1 = = [

از این رو، 1 =

مثال 10. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y = x 2 و y = 2x

این شکل با سهمی y = x محدود می شود 2 و خط مستقیم y = 2x (نگاه کنید به شکل.) برای تعیین نقاط تقاطع خطوط داده شده، سیستم معادلات را حل می کنیم: x 2 - 2x = 0 x = 0 و x = 2

با استفاده از فرمول (5) برای یافتن مساحت، به دست می آوریم

= = [جایگزینی:

] =

از این رو، انتگرال نامناسب همگرا می شود و مقدار آن برابر است.

تابعی را که می خواهید انتگرال آن را پیدا کنید وارد کنید

ماشین حساب یک راه حل دقیق برای انتگرال های معین ارائه می دهد.

این ماشین حساب انتگرال قطعی f (x) را با حد بالا و پایین معین حل می کند.

نمونه هایی از

با استفاده از مدرک
(مربع و مکعب) و کسرها

(x ^ 2 - 1) / (x ^ 3 + 1)

ریشه دوم

Sqrt (x) / (x + 1)

ریشه مکعبی

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

استفاده از سینوس و کسینوس

2 * گناه (x) * cos (x)

آرکسین

X * آرکسین (x)

آرکوزین

X * آرکوس (x)

کاربرد لگاریتم

X * log (x، 10)

لگاریتم طبیعی

غرفه دار

Tg (x) * sin (x)

کوتانژانت

Ctg (x) * cos (x)

کسرهای غیر منطقی

(sqrt (x) - 1) / sqrt (x ^ 2 - x - 1)

Arctangent

X * arctg (x)

Arccotangent

X * arсctg (x)

سینوس و کسینوس هیبربولیک

2 * sh (x) * ch (x)

تانژانت هیبربولیک و کوتانژانت

Ctgh (x) / tgh (x)

آرکسین هیبربولیک و آرکوزین

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

مماس قوس هیبربولیک و کوتانژانت قوس

X ^ 2 * arctgh (x) * arcctgh (x)

قوانین برای وارد کردن عبارات و توابع

عبارات می توانند شامل توابع باشند (تعیین ها به ترتیب حروف الفبا آورده شده اند): مطلق (x)قدر مطلق ایکس
(مدول ایکسیا | x |) آرکوس (x)تابع - کسینوس معکوس ایکس آرکوش (x)آرکوزین هیپربولیک از ایکس آرکسین (x)آرکسین از ایکس آرکسین (x)آرکسین هذلولی از ایکس arctg (x)تابع - متقاطع از ایکس arctgh (x)هذلولی قطبی از ایکس ه هعددی که تقریباً 2.7 است انقضا (x)تابع - توان از ایکس(مانند ه^ایکس) گزارش (x)یا ln (x)لگاریتم طبیعی از ایکس
(بدست آوردن log7 (x)، باید log (x) / log (7) (یا مثلاً برای log10 (x)= گزارش (x) / گزارش (10)) پیعدد Pi است که تقریباً 3.14 است گناه (x)تابع - سینوسی از ایکس cos (x)تابع - کسینوس از ایکس سین (x)تابع - سینوسی هذلولی از ایکس cosh (x)تابع - کسینوس هذلولی از ایکس sqrt (x)تابع - جذر از ایکس مربع (x)یا x ^ 2تابع - مربع ایکس tg (x)تابع - مماس از ایکس tgh (x)تابع - مماس هذلولی از ایکس cbrt (x)تابع - ریشه مکعبی از ایکس

عملیات زیر را می توان در عبارات استفاده کرد: اعداد واقعیدر فرم وارد کنید 7.5 ، نه 7,5 2 * x- ضرب 3 / x- تقسیم x ^ 3- توانمندی x + 7- اضافه شدن x - 6- منها کردن
توابع دیگر: طبقه (x)عملکرد - گرد کردن ایکسرو به پایین (طبقه مثال (4.5) == 4.0) سقف (x)عملکرد - گرد کردن ایکسبه سمت بالا (سقف مثال (4.5) == 5.0) علامت (x)تابع - علامت ایکس erf (x)تابع خطا (یا انتگرال احتمال) لاپلاس (x)تابع لاپلاس

این مقاله به شما نشان می دهد که چگونه با استفاده از محاسبات انتگرال، مساحت یک شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید. برای اولین بار در دوران دبیرستان زمانی که مطالعه انتگرال های معین به پایان رسیده است و زمان شروع تفسیر هندسی از دانش به دست آمده در عمل فرا رسیده است، با فرمول بندی چنین مسئله ای مواجه می شویم.

بنابراین، آنچه برای حل موفقیت آمیز مشکل یافتن مساحت یک شکل با استفاده از انتگرال لازم است:

• توانایی ساختن نقشه ها به درستی؛
• توانایی حل یک انتگرال معین با استفاده از فرمول معروف نیوتن-لایبنیتس.
• توانایی "دیدن" راه حل سودمندتر - یعنی، برای درک اینکه چگونه در این یا آن مورد انجام ادغام راحت تر خواهد بود؟ در امتداد محور x (OX) یا محور y (OY)؟
• خوب، کجا بدون محاسبات صحیح؟) این شامل درک نحوه حل آن نوع دیگر از انتگرال ها و محاسبات عددی صحیح است.

الگوریتم حل مسئله محاسبه مساحت شکل محدود شده با خطوط:

1. ما یک نقاشی می سازیم. توصیه می شود این کار را روی یک تکه کاغذ در قفس، با مقیاس بزرگ انجام دهید. نام این تابع را با مداد بالای هر نمودار امضا می کنیم. امضای نمودارها صرفاً برای راحتی محاسبات بیشتر انجام می شود. پس از دریافت نمودار شکل مورد نظر، در بیشتر موارد فوراً قابل مشاهده خواهد بود که از چه حدود ادغام استفاده می شود. بنابراین، ما مشکل را به صورت گرافیکی حل می کنیم. با این حال، این اتفاق می افتد که مقادیر حدود کسری یا غیر منطقی هستند. بنابراین، می توانید محاسبات اضافی انجام دهید، به مرحله دو بروید.

2. اگر حدود ادغام به صراحت تعیین نشده باشد، آنگاه نقاط تلاقی نمودارها را با یکدیگر پیدا می کنیم و می بینیم که آیا حل گرافیکی ما با حل تحلیلی مطابقت دارد یا خیر.

3. بعد، شما باید نقاشی را تجزیه و تحلیل کنید. بسته به نحوه قرارگیری نمودارهای تابع، رویکردهای مختلفی برای یافتن مساحت یک شکل وجود دارد. بیایید مثال های مختلف پیدا کردن مساحت یک شکل را با استفاده از انتگرال در نظر بگیریم.

3.1. کلاسیک ترین و ساده ترین نسخه مشکل زمانی است که باید ناحیه ذوزنقه منحنی را پیدا کنید. ذوزنقه منحنی چیست؟ این یک شکل صاف است که توسط محور x محدود شده است. (y = 0)، سر راست x = a، x = bو هر منحنی پیوسته در فاصله از آقبل از ب... علاوه بر این، این رقم غیر منفی است و در زیر محور آبسیسا قرار ندارد. در این حالت، مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با یک انتگرال معین است که با فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه می شود:

مثال 1 y = x2 - 3x + 3، x = 1، x = 3، y = 0.

خطوط محدود کننده شکل کدامند؟ ما یک سهمی داریم y = x2 - 3x + 3که بالای محور قرار دارد اوه، غیر منفی است، زیرا تمام نقاط این سهمی مثبت است. علاوه بر این، خطوط مستقیم x = 1و x = 3که به موازات محور قرار دارند OU، خطوط مرزی شکل در سمت چپ و راست هستند. خوب y = 0، این محور x است که شکل را از زیر محدود می کند. شکل به دست آمده همانطور که در تصویر سمت چپ مشاهده می شود سایه زده می شود. در این صورت می توانید بلافاصله شروع به حل مشکل کنید. ما یک مثال ساده از ذوزنقه منحنی داریم که با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس آن را حل می کنیم.

3.2. در پاراگراف 3.1 قبلی، موردی را تحلیل کردیم که ذوزنقه منحنی در بالای محور x قرار دارد. حال حالتی را در نظر بگیرید که شرایط مسئله یکسان است، با این تفاوت که تابع زیر محور x قرار دارد. یک منهای به فرمول استاندارد نیوتن-لایبنیتس اضافه می شود. ما چگونگی حل مشکل مشابه را بیشتر در نظر خواهیم گرفت.

مثال 2 ... مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید y = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.

در این مثال، سهمی داریم y = x2 + 6x + 2که از زیر محور سرچشمه می گیرد اوه، سر راست x = -4، x = -1، y = 0... اینجا y = 0شکل مورد نظر را از بالا محدود می کند. مستقیم x = -4و x = -1اینها مرزهایی هستند که در آنها یک انتگرال معین محاسبه می شود. اصل حل مسئله یافتن مساحت یک شکل تقریباً به طور کامل با مثال شماره 1 مطابقت دارد. تنها تفاوت این است که تابع داده شده مثبت نیست و همچنان در بازه پیوسته است. [-4; -1] ... چه چیزی مثبت نیست؟ همانطور که از شکل می بینید، شکلی که در x مشخص شده است، منحصراً مختصات "منفی" دارد که باید آنها را هنگام حل مسئله ببینیم و به خاطر بسپاریم. ما مساحت شکل را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس و فقط با علامت منفی در ابتدا جستجو می کنیم.

مقاله ناقص است.