نمودار در شکل 5:

و مثال بعدی: حل نابرابری 0.6 2x - 3< 0,36 .

با پیروی از طرح شکل 5، به دست می آوریم
2x - 3> log 0.6 0.36،
2x - 3> 2،
2x> 5،
x> 2.5

پاسخ: (2,5; +∞) .

آخرین طرح را برای حل نابرابری فرم در نظر بگیرید a f (x)< b ، در a> 0و ب<0 در شکل 6 نشان داده شده است:

به عنوان مثال، بیایید نابرابری را حل کنیم:

توجه می کنیم که مهم نیست چه عددی را جایگزین x کنیم، سمت چپ نابرابری همیشه بزرگتر از صفر است و عبارت ما کمتر از 8- است، یعنی. و صفر، پس هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: بدون راه حل.

با دانستن اینکه چگونه ساده ترین نابرابری های نمایی حل می شوند، می توان ادامه داد حل نابرابری های نمایی.

مثال 1.

بزرگترین مقدار صحیح x را که نابرابری را برآورده می کند، پیدا کنید

از آنجایی که 6 x بزرگتر از صفر است (برای هر x مخرج ناپدید نمی شود)، هر دو طرف نابرابری را در 6 x ضرب می کنیم، به دست می آوریم:

440 - 2 6 2x> 8، سپس
- 2 6 2x> 8 - 440،
- 2 6 2x> - 332،
6 2 برابر< 216,
2 برابر< 3,

ایکس< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

پاسخ 1.

مثال 2.

حل نابرابری 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

2 x تا y را نشان می دهیم، نابرابری y 2 - 3y + 2 ≤ 0 را به دست می آوریم، این نابرابری مربع را حل می کنیم.

y 2 - 3y +2 = 0،
y 1 = 1 و y 2 = 2.

شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، نمودار را به تصویر می کشیم:

سپس راه حل نابرابری، نابرابری 1 است< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

پاسخ: (0; 1) .

مثال 3... حل نابرابری 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
بیایید عباراتی را با پایه های یکسان در یک قسمت از نابرابری جمع آوری کنیم

5 x +1 - 2.5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

در سمت چپ نابرابری 5 x و در سمت راست نامساوی 3 x خارج می کنیم و نابرابری را به دست می آوریم.

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

هر دو طرف نابرابری را با عبارت 3 3 x تقسیم می کنیم، علامت نابرابری تغییر نمی کند، زیرا 3 3 x یک عدد مثبت است، نابرابری را بدست می آوریم:

ایکس< 2 (так как 5/3 > 1).

پاسخ: (–∞; 2) .

اگر در مورد حل نابرابری های نمایی سوالی دارید یا می خواهید حل مثال های مشابه را تمرین کنید، در درس های من ثبت نام کنید. معلم والنتینا گالینفسایا.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

و امروز، نابرابری های عقلانی نمی توانند همه چیز را حل کنند. به عبارت دقیق تر، نه تنها همه می توانند تصمیم بگیرند. تعداد کمی می توانند این کار را انجام دهند.
کلیچکو

این درس سخت خواهد بود آنقدر سخت که فقط برگزیدگان به انتها خواهند رسید. بنابراین، قبل از شروع مطالعه، حذف زنان، گربه ها، کودکان باردار و ... را توصیه می کنم.

بیا، در واقع ساده است. فرض کنید بر روش فواصل تسلط دارید (اگر به آن مسلط نیستید، توصیه می کنم به عقب برگردید و مطالعه کنید) و یاد گرفتید که چگونه نابرابری های شکل $ P \ چپ (x \ راست) \ gt 0 $ را حل کنید. $ P \ چپ (x \ راست) $ چند جمله ای یا حاصل چند جمله ای است.

من معتقدم که حل کردن مثلاً این نوع بازی برای شما دشوار نخواهد بود (البته برای گرم کردن آن را امتحان کنید):

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ راست) \ چپ (4x + 25 \ راست) \ gt 0; \\ & x \ چپ (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ راست) \ چپ (x-1 \ راست) \ ge 0; \\ & \ چپ (8x - ((x) ^ (4)) \ راست) ((\ چپ (x-5 \ راست)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم و نه فقط چند جمله ای ها، بلکه کسرهای به اصطلاح گویا را در نظر بگیریم:

که در آن $ P \ چپ (x \ راست) $ و $ Q \ چپ (x \ راست) $ همه چند جمله‌ای یکسان هستند به شکل $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $، یا حاصل ضرب چنین چندجمله ای ها.

این نابرابری عقلانی خواهد بود. نکته اساسی وجود متغیر $ x $ در مخرج است. برای مثال، اینها نابرابری های عقلانی هستند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ چپ (7x + 1 \ راست) \ چپ (11x + 2 \ راست)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ فرک (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ چپ (3-x \ راست)) ^ (2)) \ چپ (4 - ((x) ^ ( 2)) \ راست)) \ ge 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

و این یک نابرابری منطقی نیست، بلکه رایج ترین نابرابری است که با روش فواصل حل می شود:

\ [\ فراک (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

با نگاهی به آینده، فوراً می گویم: حداقل دو راه برای حل نابرابری های منطقی وجود دارد، اما همه آنها به نحوی به روش فواصل زمانی که قبلاً برای ما شناخته شده است کاهش می یابد. بنابراین، قبل از بررسی این روش ها، حقایق قدیمی را یادآوری می کنیم، در غیر این صورت از مطالب جدید هیچ معنایی وجود نخواهد داشت.

آنچه شما باید از قبل بدانید

حقایق مهم زیادی وجود ندارد. ما واقعاً فقط به چهار نفر نیاز داریم.

فرمول ضرب مختصر

بله، بله: آنها ما را در سراسر برنامه درسی ریاضی مدرسه تعقیب خواهند کرد. و همچنین در دانشگاه. تعداد کمی از این فرمول ها وجود دارد، اما ما فقط به موارد زیر نیاز داریم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ چپ (a \ pm b \ راست)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((ب) ^ (2)) = \ چپ (a-b \ راست) \ چپ (a + b \ راست); \\ & ((a) ^ (3)) + ((ب) ^ (3)) = \ چپ (a + b \ راست) \ چپ (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ) ^ (2)) \ سمت راست); \\ & ((a) ^ (3)) - ((ب) ^ (3)) = \ چپ (ab \ راست) \ چپ (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ راست). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

به دو فرمول آخر توجه کنید - اینها مجموع و تفاضل مکعب ها هستند (نه مکعب مجموع یا تفاوت!). اگر متوجه شوید که علامت در پرانتز اول با علامت عبارت اصلی مطابقت دارد و در دومی مخالف علامت عبارت اصلی است، به راحتی می توانید آنها را به خاطر بسپارید.

معادلات خطی

اینها ساده ترین معادلات به شکل $ ax + b = 0 $ هستند که $ a $ و $ b $ اعداد معمولی با $ a \ ne 0 $ هستند. این معادله را می توان به سادگی حل کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ax + b = 0; \\ & تبر = -b; \\ & x = - \ فراک (ب) (a). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

توجه داشته باشید که ما حق داریم بر ضریب $ a $ تقسیم کنیم، زیرا $ a \ ne 0 $. این نیاز کاملاً منطقی است، زیرا برای $ a = 0 $ این را دریافت می کنیم:

اول اینکه هیچ متغیر $ x $ در این معادله وجود ندارد. به طور کلی، این نباید ما را گیج کند (مثلاً در هندسه و اغلب اوقات این اتفاق می افتد)، اما با این وجود دیگر با یک معادله خطی روبرو نیستیم.

ثانیاً، حل این معادله صرفاً به ضریب $ b $ بستگی دارد. اگر $ b $ نیز صفر باشد، معادله ما به شکل $ 0 = 0 $ است. این برابری همیشه صادق است. بنابراین، $ x $ هر عددی است (معمولاً به این صورت نوشته می شود: $ x \ در \ mathbb (R) $). اگر ضریب $ b $ برابر با صفر نباشد، برابری $ b = 0 $ هرگز برآورده نمی شود، یعنی. بدون پاسخ ($ x \ در \ varnothing $ بنویسید و "مجموعه راه حل ها خالی است" را بخوانید).

برای جلوگیری از همه این عوارض، ما به سادگی $ a \ ne 0 $ را فرض می کنیم، که به هیچ وجه تفکر بعدی ما را محدود نمی کند.

معادلات درجه دوم

به شما یادآوری می کنم که به این معادله درجه دوم می گویند:

اینجا در سمت چپ یک چند جمله ای درجه دوم و دوباره $ a \ ne 0 $ است (در غیر این صورت، به جای یک معادله درجه دوم، یک معادله خطی دریافت می کنیم). معادلات زیر از طریق تفکیک حل می شوند:

1. اگر $ D \ gt 0 $ باشد، دو ریشه متفاوت بدست می آوریم.
2. اگر $ D = 0 $ باشد، یک ریشه وجود خواهد داشت، اما از تعدد دوم (این تعدد چیست و چگونه آن را در نظر بگیریم - بعداً در این مورد بیشتر توضیح خواهیم داد). یا می توان گفت که معادله دو ریشه یکسان دارد.
3. برای $ D \ lt 0 $، هیچ ریشه ای وجود ندارد، و علامت چند جمله ای $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ برای هر $ x $ با علامت ضریب $ منطبق است. یک دلار به هر حال، این یک واقعیت بسیار مفید است که به دلایلی فراموش می کنند در درس های جبر در مورد آن صحبت کنند.

خود ریشه ها طبق فرمول شناخته شده در نظر گرفته می شوند:

\ [((x) _ (1،2)) = \ فراک (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

از این رو، به هر حال، و محدودیت در ممیز. از این گذشته، جذر یک عدد منفی وجود ندارد. در مورد ریشه ها ، بسیاری از دانش آموزان در سر خود آشفتگی وحشتناکی دارند ، بنابراین من به طور خاص یک درس کامل را یادداشت کردم: ریشه در جبر چیست و چگونه آن را بشماریم - خواندن آن را به شدت توصیه می کنم. :)

اعمال با کسرهای گویا

همه چیزهایی که در بالا نوشته شد، اگر روش فواصل را مطالعه کرده باشید، قبلاً می دانید. اما آنچه اکنون تحلیل خواهیم کرد در گذشته مشابهی ندارد - این یک واقعیت کاملاً جدید است.

تعریف. کسر گویا عبارتی است مانند

\ [\ فراک (P \ چپ (x \ راست)) (Q \ چپ (x \ راست)) \]

که $ P \ چپ (x \ راست) $ و $ Q \ چپ (x \ راست) $ چند جمله‌ای هستند.

بدیهی است که بدست آوردن نابرابری از چنین کسری آسان است - فقط کافی است علامت "بیشتر" یا "کمتر" را به سمت راست اختصاص دهید. و کمی جلوتر متوجه خواهیم شد که حل چنین مشکلاتی لذت بخش است، همه چیز در آنجا بسیار ساده است.

مشکلات زمانی شروع می شوند که چندین کسری از این قبیل در یک عبارت وجود داشته باشد. آنها باید به یک مخرج مشترک تقلیل داده شوند - و در این لحظه است که تعداد زیادی از اشتباهات تهاجمی انجام می شود.

بنابراین، برای حل موفقیت آمیز معادلات منطقی، باید به دو مهارت کاملاً تسلط داشته باشید:

1. فاکتورگیری چند جمله ای $ P \ چپ (x \ راست) $;
2. در واقع، کاهش کسرها به یک مخرج مشترک.

چگونه یک چند جمله ای را فاکتور کنیم؟ بسیار ساده. فرض کنید یک چند جمله ای از فرم داریم

آن را با صفر برابر می کنیم. معادله $ n $ -مین درجه را بدست می آوریم:

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( الف) _ (1)) x + ((الف) _ (0)) = 0 \]

فرض کنید این معادله را حل کردیم و ریشه های $ ((x) _ (1))، \ ...، \ ((x) _ (n)) $ (ناراحت نباشید: در بیشتر موارد وجود خواهد داشت بیش از دو مورد از این ریشه ها) ... در این مورد، چند جمله ای اصلی ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & P \ چپ (x \ راست) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((الف) _ (1)) x + ((الف) _ (0)) = \\ & = ((الف) _ (n)) \ چپ ( x - ((x) _ (1)) \ راست) \ cdot \ چپ (x - ((x) _ (2)) \ سمت راست) \ cdot ... \ cdot \ چپ (x - ((x) _ (n)) \ سمت راست) \ پایان (تراز کردن) \]

همین! لطفاً توجه داشته باشید: ضریب اصلی $ ((a) _ (n)) $ هیچ جا ناپدید نشده است - این یک عامل جداگانه در جلوی براکت ها خواهد بود و در صورت لزوم می توان آن را در هر یک از این براکت ها درج کرد (تمرین نشان می دهد که با $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ تقریبا همیشه کسری در بین ریشه ها وجود دارد.

وظیفه. عبارت را ساده کنید:

\ [\ فراک (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ فراک (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ فرک (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

راه حل. ابتدا، بیایید به مخرج ها نگاه کنیم: همه آنها دوجمله ای خطی هستند و چیزی برای فاکتور وجود ندارد. پس بیایید اعداد را فاکتور بگیریم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ چپ (x + 5 \ راست) \ چپ (x-4 \ راست); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ چپ (x- \ فرک (3) (2) \ راست) \ چپ (x-1 \ راست) = \ چپ (2x- 3 \ راست) \ چپ (x-1 \ راست)؛ \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ چپ (x + 2 \ راست) \ چپ (x- \ فرک (2) (5) \ راست) = \ چپ (x +2 \ راست) \ چپ (2-5x \ راست). \\\ پایان (تراز کردن) \]

توجه کنید: در چند جمله ای دوم، ضریب پیشرو "2"، مطابق با طرح ما، ابتدا در جلوی براکت ظاهر شد و سپس به اولین براکت وارد شد، زیرا کسری از آنجا خارج شد.

در چند جمله ای سوم نیز همین اتفاق افتاد، فقط در آنجا ترتیب عبارت ها نیز اشتباه گرفته شده است. با این حال، ضریب "-5" در پرانتز دوم به پایان رسید (به یاد داشته باشید: شما می توانید فاکتور را در یک پرانتز وارد کنید!)، که ما را از ناراحتی مرتبط با ریشه های کسری نجات داد.

در مورد چند جمله‌ای اول، همه چیز در آنجا ساده است: ریشه‌های آن یا به روش استاندارد از طریق ممیز یا با قضیه ویتا جستجو می‌شوند.

بیایید به عبارت اصلی برگردیم و آن را با اعداد فاکتوریزه شده بازنویسی کنیم:

\ [\ شروع (ماتریس) \ frac (\ چپ (x + 5 \ راست) \ چپ (x-4 \ راست)) (x-4) - \ frac (\ چپ (2x-3 \ راست) \ چپ ( x-1 \ راست)) (2x-3) - \ فراک (\ چپ (x + 2 \ راست) \ چپ (2-5x \ راست)) (x + 2) = \\ = \ چپ (x + 5 \ راست) - \ چپ (x-1 \ راست) - \ چپ (2-5x \ راست) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ پایان (ماتریس) \]

پاسخ: 5 دلار + 4 دلار.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست. کمی ریاضی در کلاس های 7-8 - همین. هدف همه تحولات این است که از یک عبارت پیچیده و ترسناک چیزی ساده بدست آوریم که کار با آن آسان باشد.

با این حال، همیشه اینطور نخواهد بود. بنابراین، اکنون یک مشکل جدی تر را در نظر خواهیم گرفت.

اما ابتدا بیایید بفهمیم که چگونه دو کسر را به مخرج مشترک بیاوریم. الگوریتم بسیار ساده است:

1. عامل هر دو مخرج;
2. مخرج اول را در نظر بگیرید و عواملی را که در مخرج دوم هستند، اما در اولی نه، به آن اضافه کنید. محصول حاصل مخرج مشترک خواهد بود.
3. دریابید که برای هر یک از کسرهای اصلی چه عواملی وجود ندارد تا مخرج ها برابر با کلی شوند.

شاید این الگوریتم به نظر شما فقط متنی باشد که در آن "حروف زیادی" وجود دارد. بنابراین، ما همه چیز را با یک مثال خاص تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

وظیفه. عبارت را ساده کنید:

\ [\ چپ (\ فرک (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ فرک (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ فراک (1) (x-2) \ راست) \ cdot \ چپ (\ فراک (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ فرک (2) (2-x) \ راست) \]

راه حل. بهتر است چنین مشکلات بزرگی را به صورت قطعات حل کنیم. بیایید آنچه در پرانتز اول وجود دارد را بنویسیم:

\ [\ فراک (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ فرک (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ فراک (1) (x-2) \]

برخلاف مشکل قبلی، در اینجا همه چیز با مخرج ها چندان ساده نیست. بیایید هر یک از آنها را فاکتور کنیم.

مثلث درجه دوم $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ را نمی توان فاکتور گرفت، زیرا معادله $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ هیچ ریشه ای ندارد (ممیز منفی است. ). ما آن را بدون تغییر می گذاریم.

مخرج دوم - چند جمله ای مکعبی $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - پس از بررسی دقیق تفاوت مکعب ها است و می توان به راحتی طبق فرمول های ضرب اختصاری تجزیه کرد:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست) \]

هیچ چیز دیگری را نمی توان فاکتور گرفت، زیرا در براکت اول یک دوجمله ای خطی وجود دارد، و در دومی ساختاری از قبل برای ما آشنا وجود دارد که هیچ ریشه واقعی ندارد.

در نهایت، مخرج سوم یک دوجمله ای خطی است که قابل تجزیه نیست. بنابراین، معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

\ [\ فراک (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ فرک (((x) ^ (2)) + 8) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) - \ فرک (1) (x-2) \]

کاملاً واضح است که مخرج مشترک دقیقاً $ \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $ خواهد بود و برای کاهش همه کسرها به آن، باید کسر اول را در $ \ چپ (x-2 \ راست) $ و کسر آخر را در $ \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست) $ ضرب کنید. سپس فقط ارائه موارد زیر باقی می ماند:

\ [\ شروع (ماتریس) \ فرک (x \ cdot \ چپ (x-2 \ راست)) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) + \ فرک (((x) ^ (2)) + 8) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) - \ frac (1 \ cdot \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ راست)) = \\ = \ فراک (x \ cdot \ چپ (x-2 \ راست) + \ چپ (((x) ^ (2)) + 8 \ راست) - \ چپ ((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) = \\ = \ فرک (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) = \\ = \ فرک (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)). \\ \ پایان (ماتریس) \]

به خط دوم توجه کنید: وقتی مخرج قبلاً مشترک است، یعنی. به جای سه کسر جداگانه، یک کسر بزرگ نوشتیم، نباید فوراً از شر پرانتز خلاص شوید. بهتر است یک خط اضافی بنویسید و توجه داشته باشید که مثلاً در جلوی کسر سوم یک منهای وجود دارد - و به جایی نمی رسد ، اما در صورت شمار مقابل پرانتز "آویزان" می شود. این شما را از بسیاری از اشتباهات نجات می دهد.

خوب، در خط آخر، فاکتور گرفتن شمارنده مفید است. علاوه بر این، این یک مربع دقیق است و فرمول های ضرب اختصاری دوباره به کمک ما می آیند. ما داریم:

\ [\ فراک (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست)) = \ فراک (((\ چپ (x-2 \ راست)) ^ (2))) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ راست) ) = \ فراک (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

حالا به همین ترتیب با براکت دوم برخورد می کنیم. در اینجا من فقط زنجیره ای از برابری ها را می نویسم:

\ [\ شروع (ماتریس) \ فرک (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ فراک (2) (2-x) = \ فراک ((( x) ^ (2))) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x + 2 \ راست)) - \ فرک (2) (2-x) = \\ = \ فرک (((x) ^ (2))) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x + 2 \ راست)) + \ فراک (2) (x-2) = \\ = \ فرک (((x) ^ ( 2))) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x + 2 \ راست)) + \ فراک (2 \ cdot \ چپ (x + 2 \ راست)) (\ چپ (x-2 \ راست ) \ cdot \ چپ (x + 2 \ راست)) = \\ = \ فراک (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ چپ (x + 2 \ راست)) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x + 2 \ راست)) = \ فرک (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x + 2 \ راست) ). \\ \ پایان (ماتریس) \]

ما به مشکل اصلی باز می گردیم و به محصول نگاه می کنیم:

\ [\ فراک (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ سمت چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x + 2 \ راست)) = \ فرک (1) (x + 2) \]

پاسخ: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

معنای این کار مانند کار قبلی است: برای نشان دادن اینکه اگر عاقلانه به تحول آنها نزدیک شوید چقدر می توان عبارات عقلانی را ساده کرد.

و اکنون که همه اینها را می دانید، بیایید به موضوع اصلی درس امروز برویم - حل نابرابری های کسری - عقلی. علاوه بر این، پس از چنین آماده‌سازی، خود نابرابری‌ها مانند آجیل ترک خواهند خورد. :)

راه اصلی برای حل نابرابری های منطقی

حداقل دو رویکرد برای حل نابرابری های منطقی وجود دارد. اکنون یکی از آنها را در نظر خواهیم گرفت - موردی که به طور کلی در دوره ریاضیات مدرسه پذیرفته شده است.

اما ابتدا به یک نکته مهم توجه می کنیم. همه نابرابری ها به دو نوع تقسیم می شوند:

1. دقیق: $ f \ چپ (x \ راست) \ gt 0 $ یا $ f \ چپ (x \ راست) \ lt 0 $;
2. سست: $ f \ چپ (x \ راست) \ ge 0 $ یا $ f \ چپ (x \ راست) \ le 0 $.

نابرابری های نوع دوم را می توان به راحتی به اولی کاهش داد، همچنین به معادله:

این "افزودن" کوچک $ f \ چپ (x \ راست) = 0 $ منجر به چنین چیز ناخوشایندی مانند نقاط پر می شود - ما دوباره با روش فاصله با آنها آشنا شدیم. در غیر این صورت، تفاوتی بین نابرابری های دقیق و غیر دقیق وجود ندارد، بنابراین بیایید الگوریتم جهانی را تجزیه و تحلیل کنیم:

1. همه عناصر غیر صفر را در یک طرف علامت نابرابری جمع آوری کنید. به عنوان مثال، در سمت چپ؛
2. همه کسرها را به یک مخرج مشترک بیاورید (اگر چند کسر از این قبیل وجود دارد)، موارد مشابه را بیاورید. سپس در صورت امکان آن را در صورت و مخرج فاکتور بگیرید. به هر شکلی، نابرابری به شکل $ \ frac (P \ چپ (x \ راست)) (Q \ چپ (x \ راست)) \ vee 0 $ دریافت می‌کنیم، جایی که علامت علامت علامت نابرابری است.
3. عدد را روی صفر قرار دهید: $ P \ چپ (x \ راست) = 0 $. این معادله را حل می کنیم و ریشه های $ ((x) _ (1)) $، $ ((x) _ (2)) $، $ ((x) _ (3)) $، ... را بدست می آوریم، سپس ما نیاز داریم که مخرج برابر با صفر نبود: $ Q \ چپ (x \ راست) \ ne 0 $. البته در واقع باید معادله $ Q \ چپ (x \ راست) = 0 $ را حل کنیم و ریشه های $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) را بدست آوریم. $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (در مشکلات واقعی به سختی بیش از سه ریشه وجود خواهد داشت).
4. همه این ریشه ها (با و بدون ستاره) را روی یک خط عددی مشخص می کنیم و ریشه های بدون ستاره روی آنها نقاشی می شوند و با ستاره ها بیرون می آیند.
5. علائم مثبت و منفی را قرار می دهیم، فواصل مورد نیاز خود را انتخاب می کنیم. اگر نابرابری مانند $ f \ چپ (x \ راست) \ gt 0 $ به نظر می رسد، آنگاه پاسخ فواصل مشخص شده با "plus" خواهد بود. اگر $ f \ چپ (x \ راست) \ lt 0 $، سپس به فواصل با "منهای" نگاه کنید.

تمرین نشان می دهد که بیشترین مشکلات ناشی از نقاط 2 و 4 - تبدیل های شایسته و ترتیب صحیح اعداد به ترتیب صعودی است. خوب، و در آخرین مرحله، بسیار مراقب باشید: ما همیشه با تکیه بر علائم، علائم را قرار می دهیم جدیدترین نابرابری که قبل از رفتن به معادلات نوشته شده است... این یک قانون جهانی است که از روش فاصله گذاری به ارث رسیده است.

بنابراین، این طرح وجود دارد. بیایید تمرین کنیم.

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

راه حل. ما یک نابرابری شدید از شکل $ f \ چپ (x \ راست) \ lt 0 $ داریم. بدیهی است که نکات 1 و 2 از طرح ما قبلاً تکمیل شده است: تمام عناصر نابرابری در سمت چپ جمع آوری شده اند، هیچ چیز لازم نیست به یک مخرج مشترک آورده شود. بنابراین مستقیماً به سراغ نکته سوم می رویم.

عدد را روی صفر قرار دهید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ پایان (تراز کردن) \]

و مخرج:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

بسیاری از مردم به این مکان پایبند هستند، زیرا از نظر تئوری، همانطور که توسط ODZ لازم است، باید $ x + 7 \ ne 0 $ بنویسید (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، فقط همین). اما پس از همه، ما در آینده نقاطی را که از مخرج آمده اند حذف خواهیم کرد، بنابراین نیازی نیست یک بار دیگر محاسبات خود را پیچیده کنید - همه جا علامت مساوی بنویسید و نگران نباشید. هیچ کس امتیاز را برای این پایین نمی آورد. :)

نکته چهارم. ریشه های حاصل را روی خط عدد علامت گذاری می کنیم:

همه نقاط سوراخ می شوند زیرا نابرابری شدید است

توجه داشته باشید: همه نقاط سوراخ شده اند، زیرا نابرابری اصلی سخت است... و در اینجا فرقی نمی کند که این نقاط از صورت آمده باشد یا از مخرج.

خوب، ما به علائم نگاه می کنیم. هر عددی را بگیرید $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. به عنوان مثال، $ ((x) _ (0)) = 100 $ (اما شما می توانید به خوبی $ ((x) _ (0)) = 3.1 $ یا $ ((x) _ (0) بگیرید. ) = 1 \ 000 \ 000 $). ما گرفتیم:

بنابراین، در سمت راست همه ریشه ها، یک ناحیه مثبت داریم. و هنگام عبور از هر ریشه، علامت تغییر می کند (همیشه اینطور نخواهد بود، اما بعداً در مورد آن بیشتر خواهد شد). بنابراین، به نکته پنجم می رویم: علائم را مرتب کنید و مورد نیاز خود را انتخاب کنید:

برمی گردیم به آخرین نابرابری که قبل از حل معادلات بود. در واقع با نمونه اصلی منطبق است، زیرا ما هیچ تغییری در این کار انجام ندادیم.

از آنجایی که برای حل نابرابری به شکل $ f \ چپ (x \ راست) \ lt 0 $ لازم است ، من بازه $ x \ را در \ چپ (-7؛ 3 \ راست) $ سایه زدم - این تنها مورد است. با علامت منفی مشخص شده است. این پاسخ است.

پاسخ: $ x \ در \ چپ (-7؛ 3 \ راست) $

همین! آیا سخت است؟ نه سخت نیست درست است، و کار آسان بود. حالا بیایید کمی ماموریت را پیچیده کنیم و یک نابرابری "فانتزی" تر را در نظر بگیریم. هنگام حل آن، دیگر چنین محاسبات دقیقی را انجام نمی دهم - فقط نکات کلیدی را بیان می کنم. به طور کلی، ما آن را به همان روشی که در یک کار یا امتحان مستقل انجام می شود ترتیب می دهیم. :)

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (\ چپ (7x + 1 \ راست) \ چپ (11x + 2 \ راست)) (13x-4) \ ge 0 \]

راه حل. این یک نابرابری شل از شکل $ f \ چپ (x \ راست) \ ge 0 $ است. همه عناصر غیر صفر در سمت چپ جمع آوری می شوند، هیچ مخرج متفاوتی وجود ندارد. بریم سراغ معادلات.

صورت کسر:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (7x + 1 \ راست) \ چپ (11x + 2 \ راست) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ فلش راست ((x) _ (1)) = - \ فرانک (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ فلش راست ((x) _ (2)) = - \ فرک (2) (11). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

مخرج:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ فراک (4) (13). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

من نمی دانم این مشکل چه نوع انحرافی بود، اما ریشه ها خیلی خوب کار نکردند: قرار دادن آنها در خط اعداد دشوار است. و اگر با ریشه $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \؛ $ همه چیز کم و بیش واضح است (این تنها عدد مثبت است - در سمت راست خواهد بود)، سپس $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \؛ $ و $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \؛ $ نیاز به تحقیقات اضافی دارد: کدام یک بزرگتر است؟

شما می توانید به عنوان مثال، به صورت زیر دریابید:

\ [((x) _ (1)) = - \ فراک (1) (7) = - \ فراک (2) (14) \ gt - \ فرک (2) (11) = ((x) _ (2) )) \]

امیدوارم نیازی به توضیح نباشد که چرا کسر عددی $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? در صورت لزوم، توصیه می کنم به یاد داشته باشید که چگونه اقدامات را با کسری انجام دهید.

و هر سه ریشه را روی خط عدد مشخص می کنیم:

نقاط از صورت پر شده است، از مخرج - حذف شده است

ما تابلوها را قرار می دهیم. به عنوان مثال، می توانید $ ((x) _ (0)) = 1 $ را بگیرید و علامت را در این مرحله پیدا کنید:

\ [\ start (تراز کردن) & f \ چپ (x \ راست) = \ frac (\ چپ (7x + 1 \ راست) \ چپ (11x + 2 \ راست)) (13x-4); \\ & f \ چپ (1 \ راست) = \ فراک (\ چپ (7 \ cdot 1 + 1 \ راست) \ چپ (11 \ cdot 1 + 2 \ راست)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ end (تراز کردن) \]

آخرین نابرابری قبل از معادلات $ f \ چپ (x \ راست) \ ge 0 $ بود، بنابراین ما به علامت مثبت علاقه داریم.

ما دو مجموعه دریافت کردیم: یکی یک قطعه معمولی و دیگری یک پرتو باز روی خط اعداد است.

پاسخ: $ x \ in \ چپ [- \ فرک (2) (11)؛ - \ فراک (1) (7) \ راست] \ bigcup \ چپ (\ frac (4) (13)؛ + \ infty \ right ) دلار

یک نکته مهم در مورد اعدادی که در سمت راست ترین فاصله جایگزین علامت می کنیم. اصلاً لازم نیست عددی نزدیک به سمت راست ترین ریشه جایگزین شود. شما می توانید میلیاردها یا حتی "بعلاوه بی نهایت" بگیرید - در این مورد، علامت چند جمله ای در پرانتز، صورت یا مخرج منحصراً با علامت ضریب پیشرو تعیین می شود.

بیایید نگاهی دیگر به تابع $ f \ چپ (x \ راست) $ از آخرین نابرابری بیندازیم:

سه چند جمله ای در کارنامه او وجود دارد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((P) _ (1)) \ چپ (x \ راست) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ چپ (x \ راست) = 11x + 2; \\ & Q \ چپ (x \ راست) = 13x-4. \ پایان (تراز کردن) \]

همه آنها دوجمله ای خطی هستند و همه ضرایب پیشرو (اعداد 7، 11 و 13) مثبت هستند. بنابراین، هنگام جایگزینی اعداد بسیار بزرگ، خود چند جمله ای ها نیز مثبت خواهند بود. :)

این قانون ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد، اما فقط در ابتدا، زمانی که مسائل بسیار آسان را تجزیه و تحلیل می کنیم. در نابرابری های جدی، جایگزینی به اضافه-بی نهایت به ما این امکان را می دهد که علائم را بسیار سریعتر از استاندارد $ ((x) _ (0)) = 100 $ کشف کنیم.

ما خیلی زود با چنین چالش هایی روبرو خواهیم شد. اما ابتدا، بیایید به یک راه جایگزین برای حل نابرابری های کسری-عقلانی نگاه کنیم.

راه جایگزین

این تکنیک توسط یکی از شاگردانم به من پیشنهاد شد. من خودم هرگز از آن استفاده نکرده ام، اما تمرین نشان داده است که بسیاری از دانش آموزان واقعا راحت تر برای حل نابرابری ها به این روش هستند.

بنابراین، داده های اولیه یکسان است. برای حل نابرابری کسری - عقلی ضروری است:

\ [\ فراک (P \ چپ (x \ راست)) (Q \ چپ (x \ راست)) \ gt 0 \]

بیایید فکر کنیم: چگونه چند جمله ای $ Q \ چپ (x \ راست) $ "بدتر" از چند جمله ای $ P \ چپ (x \ راست) $ است؟ چرا باید گروه های جداگانه ای از ریشه ها (با و بدون ستاره) را در نظر بگیریم، به نقاط سوراخ و ... فکر کنیم؟ ساده است: یک کسری حوزه تعریفی دارد که صامت آن کسری تنها زمانی معنا پیدا می کند که مخرج آن غیر صفر باشد.

در غیر این صورت، هیچ تفاوتی بین صورت و مخرج قابل ردیابی نیست: ما همچنین آن را با صفر برابر می کنیم، به دنبال ریشه ها می گردیم، سپس آنها را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم. پس چرا میله کسری (در واقع علامت تقسیم) را با ضرب معمولی جایگزین نمی کنیم و تمام الزامات DHS را در قالب یک نابرابری جداگانه نمی نویسیم؟ به عنوان مثال، مانند این:

\ [\ frac (P \ چپ (x \ راست)) (Q \ چپ (x \ راست)) \ gt 0 \ فلش راست \ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) و P \ چپ (x \ راست) \ cdot Q \ چپ (x \ راست) \ gt 0، \\ & Q \ چپ (x \ راست) \ ne 0. \\ \ انتهای (تراز کردن) \ راست. \]

لطفا توجه داشته باشید: این رویکرد مشکل را به روش فواصل کاهش می دهد، اما به هیچ وجه راه حل را پیچیده نمی کند. پس از همه، ما همچنان چند جمله ای $ Q \ چپ (x \ راست) $ را با صفر برابر خواهیم کرد.

بیایید ببینیم که این چگونه روی مشکلات دنیای واقعی کار می کند.

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراکس (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

راه حل. پس بیایید به روش فاصله گذاری برویم:

\ [\ فرک (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ فلش راست \ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) و \ چپ (x + 8 \ راست) \ چپ (x-11 \ راست) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (تراز کردن) \ سمت راست. \]

نابرابری اول به راحتی قابل حل است. ما فقط هر پرانتز را با صفر برابر می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x + 8 = 0 \ فلش راست ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ فلش راست ((x) _ (2)) = 11. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

نابرابری دوم نیز ساده است:

نقاط $ ((x) _ (1)) $ و $ ((x) _ (2)) $ را روی خط عدد علامت گذاری می کنیم. همه آنها حذف شده اند، زیرا نابرابری شدید است:

نقطه سمت راست دو بار سوراخ شد. این خوبه.

به نقطه $ x = 11 $ توجه کنید. معلوم می شود که "دوبار سوراخ می شود": از یک طرف به دلیل شدت نابرابری آن را بیرون می آوریم و از طرف دیگر به دلیل نیاز اضافی DHS.

در هر صورت، این فقط یک نقطه سوراخ خواهد بود. بنابراین، ما علائم نابرابری $ \ چپ (x + 8 \ راست) \ چپ (x-11 \ راست) \ gt 0 $ را ترتیب می دهیم - آخرین موردی که قبل از شروع حل معادلات دیدیم:

ما به مناطق مثبت علاقه مندیم، زیرا در حال حل یک نابرابری به شکل $ f \ چپ (x \ راست) \ gt 0 $ - و سایه زدن آنها هستیم. فقط برای نوشتن پاسخ باقی مانده است.

پاسخ. $ x \ in \ چپ (- \ infty; -8 \ right) \ bigcup \ چپ (11; + \ infty \ راست) $

با استفاده از این راه حل به عنوان مثال، می خواهم شما را نسبت به یک اشتباه رایج در بین دانش آموزان مبتدی هشدار دهم. یعنی: هرگز پرانتزها را در نابرابری ها باز نکنید! برعکس، سعی کنید همه چیز را فاکتور بگیرید - این راه حل را ساده می کند و شما را از مشکلات زیادی نجات می دهد.

حالا بیایید چیزی کمی دشوارتر را امتحان کنیم.

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (\ چپ (2x-13 \ راست) \ چپ (12x-9 \ راست)) (15x + 33) \ le 0 \]

راه حل. این یک نابرابری شل از فرم $ f \ چپ (x \ راست) \ le 0 $ است، بنابراین باید به نقاط پر شده در اینجا توجه زیادی داشته باشید.

حرکت به روش فاصله گذاری:

\ [\ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (2x-13 \ راست) \ چپ (12x-9 \ راست) \ چپ (15x + 33 \ راست) \ le 0، \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \ سمت راست. \]

بریم سراغ معادله:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (2x-13 \ راست) \ چپ (12x-9 \ راست) \ چپ (15x + 33 \ راست) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ فلش راست ((x ) _ (1)) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ فلش راست ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ فلش راست ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

ما یک نیاز اضافی را در نظر می گیریم:

تمام ریشه های به دست آمده را روی خط شماره علامت گذاری می کنیم:

اگر نقطه ای همزمان سوراخ و سایه دار شود، نقطه سوراخ شده محسوب می شود.

دوباره، دو نقطه با یکدیگر "همپوشانی" دارند - این طبیعی است، همیشه همینطور خواهد بود. فقط درک این نکته مهم است که نقطه ای که هم سوراخ شده و هم پر شده است در واقع سوراخ شده است. آن ها "گوغ زدن" عملی قوی تر از "نقاشی" است.

این کاملاً منطقی است، زیرا با گوگ کردن، نقاطی را علامت گذاری می کنیم که بر علامت تابع تأثیر می گذارد، اما خود در پاسخ شرکت نمی کنند. و اگر در نقطه‌ای دیگر این عدد به ما نمی‌رسد (مثلاً وارد ODZ نمی‌شود)، آن را تا پایان مشکل از بررسی حذف می‌کنیم.

در کل دست از فلسفه ورزی بردارید. ما علائم را روی فواصل زمانی که با علامت منفی مشخص شده اند قرار می دهیم و رنگ می کنیم:

پاسخ. $ x \ در \ چپ (- \ infty؛ -2.2 \ راست) \ bigcup \ چپ [0.75؛ 6.5 \ راست] $.

و باز هم توجه شما را به این معادله جلب می کنم:

\ [\ چپ (2x-13 \ راست) \ چپ (12x-9 \ راست) \ چپ (15x + 33 \ راست) = 0 \]

یک بار دیگر: هرگز پرانتز را در معادلات اینگونه باز نکنید! شما فقط کار را برای خود سخت تر خواهید کرد. به یاد داشته باشید: زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. در نتیجه، این معادله به سادگی به چندین معادله کوچکتر "از هم می پاشد" که در مسئله قبلی حل کردیم.

با در نظر گرفتن تعدد ریشه ها

از مشکلات قبلی به راحتی می توان فهمید که این نابرابری های ضعیف هستند که سخت ترین هستند، زیرا در آنها باید نقاط پر شده را پیگیری کنید.

اما یک شر حتی بزرگتر در جهان وجود دارد - اینها ریشه های متعددی در نابرابری دارند. در اینجا شما قبلاً باید از چند نقطه پر شده پیروی نکنید - در اینجا علامت نابرابری ممکن است هنگام عبور از همین نقاط به طور ناگهانی تغییر نکند.

ما در این درس چیزی شبیه به این را در نظر نگرفته ایم (البته در روش بازه ای اغلب با مشکل مشابهی مواجه می شد). بنابراین تعریف جدیدی ارائه می کنیم:

تعریف. ریشه معادله $ ((\ چپ (x-a \ راست)) ^ (n)) = 0 $ برابر است با $ x = a $ و به آن ریشه تعدد $ n $ می گویند.

در واقع، ما علاقه خاصی به ارزش دقیق تعدد نداریم. تنها چیزی که مهم است این است که آیا این عدد $ n $ زوج است یا فرد. زیرا:

1. اگر $ x = a $ یک ریشه چندتایی زوج باشد، علامت تابع هنگام عبور از آن تغییر نمی کند.
2. و بالعکس، اگر $ x = a $ ریشه ای از تعدد فرد باشد، علامت تابع تغییر می کند.

تمام مسائل قبلی که در این درس مورد بحث قرار گرفت، یک مورد خاص از ریشه تعدد فرد است: همه جا تعدد برابر با یک است.

و بیشتر قبل از شروع حل مشکلات، می خواهم توجه شما را به نکته ای جلب کنم که برای یک دانش آموز باتجربه بدیهی به نظر می رسد، اما بسیاری از مبتدیان را دچار گیجی می کند. برای مثال:

ریشه تعدد $ n $ تنها زمانی بوجود می آید که کل عبارت به این توان افزایش یابد: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ و نه $ \ left (((x) ^ (n )) - a \ سمت راست) $.

بار دیگر: براکت $ ((\ چپ (xa \ راست)) ^ (n)) $ ریشه $ x = a $ چندگانگی $ n $ را به ما می دهد، اما براکت $ \ چپ (((x) ^ ( n)) -a \ right) $ یا، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، $ (a - ((x) ^ (n))) $ ریشه (یا دو ریشه، اگر $ n $ زوج باشد) را به ما می دهد. کثرت اول، مهم نیست که برابر n $ است.

مقایسه کنید:

\ [((\ چپ (x-3 \ راست)) ^ (5)) = 0 \ فلش راست x = 3 \ چپ (5k \ راست) \]

همه چیز در اینجا واضح است: کل براکت به توان پنجم افزایش یافته است، بنابراین در خروجی ریشه قدرت پنجم را دریافت کردیم. و حالا:

\ [\ چپ (((x) ^ (2)) - 4 \ راست) = 0 \ فلش راست ((x) ^ (2)) = 4 \ فلش راست x = \ بعد از ظهر 2 \]

ما دو ریشه گرفتیم، اما هر دو دارای تعدد اول هستند. یا اینم یکی دیگه:

\ [\ چپ (((x) ^ (10)) - 1024 \ راست) = 0 \ فلش راست ((x) ^ (10)) = 1024 \ فلش راست x = \ pm 2 \]

و در درجه دهم سردرگم نشوید. نکته اصلی این است که 10 یک عدد زوج است، بنابراین در خروجی ما دو ریشه داریم و هر دوی آنها مجدداً دارای کثرت اول هستند.

به طور کلی، مراقب باشید: کثرت تنها زمانی رخ می دهد که درجه به کل پرانتز اشاره دارد، نه فقط به متغیر.

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فرک (((x) ^ (2)) ((\ چپ (6-x \ راست)) ^ (3)) \ چپ (x + 4 \ راست)) (((\ چپ (x + 7 \ راست)) ^ (5))) \ ge 0 \]

راه حل. بیایید سعی کنیم آن را به روشی جایگزین حل کنیم - از طریق انتقال از خاص به کار:

\ [\ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) ((\ چپ (6-x \ راست)) ^ (3)) \ چپ (x + 4 \ راست) \ cdot ( (\ چپ (x + 7 \ راست)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ چپ (x + 7 \ راست)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ پایان (تراز ) \ درست. \]

با استفاده از روش بازه ای با نابرابری اول برخورد می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) ((\ چپ (6-x \ راست)) ^ (3)) \ چپ (x + 4 \ راست) \ cdot ((\ چپ ( x + 7 \ راست)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ فلش راست x = 0 \ چپ (2k \ راست); \\ & ((\ چپ (6-x \ راست)) ^ (3)) = 0 \ فلش راست x = 6 \ چپ (3k \ راست); \\ & x + 4 = 0 \ فلش راست x = -4; \\ & ((\ چپ (x + 7 \ راست)) ^ (5)) = 0 \ فلش راست x = -7 \ چپ (5k \ راست). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

علاوه بر این، نابرابری دوم را حل می کنیم. در واقع، ما قبلا آن را حل کرده ایم، اما برای اینکه بازبینان راه حل را ایراد نگیرند، بهتر است دوباره آن را حل کنند:

\ [((\ چپ (x + 7 \ راست)) ^ (5)) \ ne 0 \ فلش راست x \ ne -7 \]

لطفاً توجه داشته باشید که در آخرین نابرابری هیچ چندگانه ای وجود ندارد. در واقع: چه فرقی می کند که چند بار از نقطه $ x = -7 $ روی خط عدد خط بکشیم؟ حداقل یک بار، حداقل پنج - نتیجه یکسان خواهد بود: یک نقطه سوراخ شده.

بیایید همه چیزهایی را که در خط اعداد به دست آوردیم علامت گذاری کنیم:

همانطور که گفتم نقطه $ x = -7 $ در نهایت سوراخ می شود. کثرت ها بر اساس حل نابرابری با روش فواصل مرتب می شوند.

باقی مانده است که علائم را قرار دهید:

از آنجایی که نقطه $ x = 0 $ ریشه چندتایی زوج است، علامت هنگام عبور از آن تغییر نمی کند. بقیه نقاط دارای تعدد فرد هستند و همه چیز با آنها ساده است.

پاسخ. $ x \ in \ چپ (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ چپ [-4؛ 6 \ راست] $

دوباره به $ x = 0 $ توجه کنید. به دلیل تعدد یکنواخت، یک جلوه جالب ایجاد می شود: در سمت چپ آن، همه چیز روی آن نقاشی شده است، سمت راست نیز، و خود نقطه کاملاً روی آن نقاشی شده است.

در نتیجه، هنگام ضبط پاسخ نیازی به جداسازی آن نیست. آن ها نیازی به نوشتن چیزی مانند $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ نیست (اگرچه به طور رسمی این پاسخ نیز صحیح خواهد بود). در عوض، ما بلافاصله $ x \ را در \ left [-4; 6 \ right] $ می نویسیم.

چنین تأثیراتی فقط برای ریشه های حتی چندگانه امکان پذیر است. و در کار بعدی با "تجلی" مخالف این اثر روبرو خواهیم شد. آماده؟

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (((\ چپ (x-3 \ راست)) ^ (4)) \ چپ (x-4 \ راست)) (((\ چپ (x-1 \ راست)) ^ (2)) \ چپ (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ راست)) \ ge 0 \]

راه حل. این بار طبق طرح استاندارد پیش خواهیم رفت. عدد را روی صفر قرار دهید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ چپ (x-3 \ راست)) ^ (4)) \ چپ (x-4 \ راست) = 0; \\ & ((\ چپ (x-3 \ راست)) ^ (4)) = 0 \ فلش راست ((x) _ (1)) = 3 \ چپ (4k \ راست); \\ & x-4 = 0 \ فلش راست ((x) _ (2)) = 4. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

و مخرج:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ چپ (x-1 \ راست)) ^ (2)) \ چپ (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ راست) = 0; \\ & ((\ چپ (x-1 \ راست)) ^ (2)) = 0 \ فلش راست x_ (1) ^ (*) = 1 \ چپ (2k \ راست); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ فلش راست x_ (2) ^ (*) = 5؛ \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

از آنجایی که ما در حال حل یک نابرابری ضعیف از شکل $ f \ چپ (x \ راست) \ ge 0 $ هستیم، ریشه‌های مخرج (که با ستاره هستند) سوراخ می‌شوند و از صورت آن‌ها پر می‌شوند.

ما علائم و مناطق دریچه ای را که با علامت "پلاس" مشخص شده اند قرار می دهیم:

نقطه $ x = 3 $ جدا شده است. این بخشی از پاسخ است

قبل از نوشتن پاسخ نهایی، به تصویر دقت کنید:

1. نقطه $ x = 1 $ دارای تعدد زوج است، اما خودش سوراخ شده است. بنابراین، باید در پاسخ جدا شود: شما باید $ x \ در \ چپ (- \ infty؛ 1 \ right) \ bigcup \ چپ (1; 2 \ راست) $ بنویسید و نه $ x \ در \ چپ (- \ infty؛ 2 \ راست) $.
2. نقطه $ x = 3 $ نیز دارای تعدد زوج است و در همان زمان پر می شود. ترتیب نشانه ها نشان می دهد که نقطه به خودی خود مناسب ما است، اما یک قدم به چپ و راست - و ما خود را در منطقه ای می یابیم که قطعاً مناسب ما نیست. چنین نقاطی ایزوله نامیده می شوند و به صورت $ x \ در \ چپ \ (3 \ راست \) $ نوشته می شوند.

تمام قطعات به دست آمده را در یک مجموعه مشترک ترکیب می کنیم و پاسخ را یادداشت می کنیم.

پاسخ: x $ در \ چپ (- \ infty؛ 1 \ راست) \ bigcup \ چپ (1; 2 \ right) \ bigcup \ چپ \ (3 \ راست \) \ bigcup \ چپ [4; 5 \ سمت راست) $

تعریف. حل نابرابری یعنی بسیاری از همه راه حل های او را پیدا کنید، یا ثابت کنید که این مجموعه خالی است.

به نظر می رسد: در اینجا چه چیزی می تواند غیرقابل درک باشد؟ بله، واقعیت این است که مجموعه ها را می توان به روش های مختلف مشخص کرد. بیایید یک بار دیگر پاسخ آخرین مشکل را یادداشت کنیم:

آنچه نوشته شده را به معنای واقعی کلمه می خوانیم. متغیر "x" متعلق به مجموعه خاصی است که با ترکیب (علامت "U") چهار مجموعه جداگانه به دست می آید:

• بازه $ \ left (- \ infty; 1 \ right) $ که به معنای واقعی کلمه "همه اعداد کوچکتر از یک، اما نه خود یک" است.
• $ \ چپ (1؛ 2 \ راست) فاصله $، به عنوان مثال. "همه اعداد در محدوده 1 تا 2، اما نه خود اعداد 1 و 2"؛
• مجموعه $ \ چپ \ (3 \ راست \) $ ، متشکل از یک عدد - سه.
• بازه $ \ چپ [4؛ 5 \ راست) $، شامل تمام اعداد در محدوده 4 تا 5، و همچنین خود چهار، اما نه پنج.

نکته سوم در اینجا مورد توجه است. برخلاف بازه‌ها که مجموعه‌های نامتناهی از اعداد را تعریف می‌کنند و فقط مرزهای این مجموعه‌ها را نشان می‌دهند، مجموعه $ \ چپ \ (3 \ راست \) $ دقیقاً یک عدد را با شمارش مشخص می‌کند.

برای درک اینکه ما فقط اعداد خاص موجود در مجموعه را فهرست می کنیم (و نه تعیین حد و مرز یا هر چیز دیگری)، از بریس های فرفری استفاده می شود. به عنوان مثال، نماد $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ دقیقاً به معنای "مجموعه ای متشکل از دو عدد 1 و 2" است، اما نه قطعه ای از 1 تا 2. تحت هیچ شرایطی این مفاهیم را اشتباه نگیرید. .

قاعده جمع چند گانه

خوب، در پایان درس امروز، یک قلع کوچک از پاول بردوف. :)

شاگردان توجه احتمالاً قبلاً این سؤال را مطرح کرده اند: اگر همان ریشه ها در صورت و مخرج پیدا شود چه اتفاقی می افتد؟ بنابراین، قانون زیر کار می کند:

کثرات همان ریشه ها اضافه می شود. همیشه ... هست. حتی اگر این ریشه هم در صورت و هم در مخرج باشد.

گاهی تصمیم گرفتن بهتر از حرف زدن است. بنابراین، مشکل زیر را حل می کنیم:

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ چپ (((x) ^ (2)) - 16 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ راست)) \ ge 0 \]

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2؛ \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

هنوز چیز خاصی نیست مخرج را صفر کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (((x) ^ (2)) - 16 \ راست) \ چپ (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ راست) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ فلش راست x_ (1) ^ (*) = 4؛ \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ فلش راست x_ (3) ^ (*) = - 7؛ \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

دو ریشه یکسان یافت شد: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ و $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. هر دو تا اول هستند. بنابراین، آنها را با یک ریشه $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $ جایگزین می کنیم، اما قبلاً با تعدد 1 + 1 = 2.

علاوه بر این، ریشه های یکسانی نیز وجود دارد: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ و $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. آنها همچنین از کثرت اول هستند، بنابراین فقط $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ از تعدد 1 + 1 = 2 باقی می ماند.

لطفاً توجه داشته باشید: در هر دو مورد، ما دقیقاً ریشه "پنچر" را رها کرده ایم و "پر" را از نظر دور انداخته ایم. چون حتی در ابتدای درس هم توافق کردیم: اگر نقطه ای هم سوراخ شود و هم رنگ شود، باز هم آن را سوراخ می دانیم.

در نتیجه، ما چهار ریشه داریم و همه از بین رفتند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ چپ (2k \ راست)؛ \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ چپ (2k \ راست). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

با در نظر گرفتن تعدد، آنها را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم:

ما تابلوها را روی مناطق مورد علاقه خود قرار می دهیم و نقاشی می کنیم:

همه چیز. بدون نقاط مجزا و انحرافات دیگر. می توانید پاسخ را یادداشت کنید.

پاسخ. $ x \ in \ چپ (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ چپ (4; + \ infty \ راست) $.

قانون ضرب

گاهی اوقات وضعیت حتی ناخوشایندتر رخ می دهد: معادله ای با ریشه های متعدد خود به یک قدرت معین ارتقا می یابد. در این صورت، کثرت همه ریشه های اصلی تغییر می کند.

این نادر است، به همین دلیل است که اکثر دانش آموزان تجربه ای در حل چنین مشکلاتی ندارند. و قانون به شرح زیر است:

هنگامی که معادله به توان $ n $ افزایش می یابد، تعدد همه ریشه های آن نیز n $ برابر می شود.

به عبارت دیگر، توان منجر به ضرب در همان توان می شود. بیایید این قانون را با یک مثال در نظر بگیریم:

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (x ((\ چپ (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ راست)) ^ (2)) ((\ چپ (x-4 \ راست)) ^ (5)) ) (((\ چپ (2-x \ راست)) ^ (3)) ((\ چپ (x-1 \ راست)) ^ (2))) \ le 0 \]

راه حل. عدد را روی صفر قرار دهید:

زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. با اولین عامل، همه چیز واضح است: $ x = 0 $. اما پس از آن مشکلات شروع می شود:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ چپ (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ راست)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ چپ (2k \ سمت راست)؛ \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ چپ (2k \ راست) \ چپ (2k \ راست) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ چپ (4k \ راست) \\ \ انتهای (تراز کردن) \]

همانطور که می بینید، معادله $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ دارای یک ریشه از کثرت دوم است: $ x = 3 $. سپس کل معادله مربع می شود. بنابراین تعدد ریشه $ 2 \ cdot 2 = 4 $ خواهد بود که در نهایت آن را یادداشت کردیم.

\ [((\ چپ (x-4 \ راست)) ^ (5)) = 0 \ فلش راست x = 4 \ چپ (5k \ راست) \]

در مخرج نیز مشکلی وجود ندارد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ چپ (2-x \ راست)) ^ (3)) ((\ چپ (x-1 \ راست)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ چپ (2-x \ راست)) ^ (3)) = 0 \ فلش راست x_ (1) ^ (*) = 2 \ چپ (3k \ راست); \\ & ((\ چپ (x-1 \ راست)) ^ (2)) = 0 \ فلش راست x_ (2) ^ (*) = 1 \ چپ (2k \ راست). \\ \ پایان (تراز کردن) \]

در کل پنج امتیاز گرفتیم: دو تا سوراخ و سه تا پر. هیچ ریشه ای در صورت و مخرج منطبق نیست، بنابراین آنها را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم:

ما علائم را با در نظر گرفتن کثرت ها مرتب می کنیم و در فواصل مورد علاقه خود رنگ می کنیم:

باز هم یک نقطه جدا شده و یکی سوراخ شد

به دلیل ریشه های حتی تعدد، ما دوباره چند عنصر "غیر استاندارد" دریافت کردیم. این $ x \ در \ چپ [0; 1 \ راست) \ bigcup \ چپ (1; 2 \ راست) $ است، نه $ x \ در \ چپ [0; 2 \ راست) $، و همچنین نقطه ایزوله $ x \ در \ چپ \ (3 \ راست \) $.

پاسخ. $ x \ در \ چپ [0؛ 1 \ راست) \ bigcup \ چپ (1; 2 \ راست) \ bigcup \ چپ \ (3 \ راست \) \ bigcup \ چپ [4; + \ infty \ right) $

همانطور که می بینید، همه چیز چندان دشوار نیست. نکته اصلی توجه است. بخش آخر این درس بر روی دگرگونی ها متمرکز است - همان مواردی که در ابتدا در مورد آنها صحبت کردیم.

پیش تبدیل ها

نابرابری هایی که در این بخش مورد بحث قرار می دهیم پیچیده نیستند. با این حال، برخلاف کارهای قبلی، در اینجا باید مهارت هایی را از نظریه کسرهای گویا - فاکتورسازی و کاهش به مخرج مشترک اعمال کنید.

در همان ابتدای درس امروز به تفصیل به این موضوع پرداختیم. اگر مطمئن نیستید که متوجه شده اید در مورد چیست، اکیداً توصیه می کنم که به عقب برگردید و تکرار کنید. زیرا اگر در تبدیل کسرها «شناور» شوید، روش‌هایی را برای حل نابرابری‌ها درهم می‌چینید.

اتفاقاً در تکالیف نیز کارهای مشابه زیادی وجود خواهد داشت. آنها در یک زیربخش جداگانه قرار می گیرند. و در آنجا نمونه های بسیار بی اهمیتی را خواهید یافت. اما این در تکالیف خواهد بود، و اکنون اجازه دهید چند مورد از این نابرابری ها را تحلیل کنیم.

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (x) (x-1) \ le \ فراک (x-2) (x) \]

راه حل. همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید:

\ [\ فراک (x) (x-1) - \ فراک (x-2) (x) \ le 0 \]

ما به یک مخرج مشترک می آوریم، پرانتزها را باز می کنیم، اصطلاحات مشابهی را در صورت می دهیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ فرک (x \ cdot x) (\ چپ (x-1 \ راست) \ cdot x) - \ فرک (\ چپ (x-2 \ راست) \ چپ (x-1 \ راست)) (x \ cdot \ چپ (x-1 \ راست)) \ le 0; \\ & \ فرک (((x) ^ (2)) - \ چپ (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ راست)) (x \ چپ (x-1 \ راست)) \ le 0; \\ & \ فراک (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ چپ (x-1 \ راست)) \ le 0; \\ & \ فرک (3x-2) (x \ چپ (x-1 \ راست)) \ le 0. \\\ انتهای (تراز کردن) \]

اکنون ما یک نابرابری کسری - منطقی کلاسیک داریم که حل آن دیگر دشوار نیست. من پیشنهاد می کنم آن را با یک روش جایگزین - از طریق روش فواصل حل کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (3x-2 \ راست) \ cdot x \ cdot \ چپ (x-1 \ راست) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ فرک (2) (3)؛ \ ((x) _ (2)) = 0؛ \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

محدودیت ناشی از مخرج را فراموش نکنید:

ما تمام اعداد و محدودیت ها را در خط شماره مشخص می کنیم:

همه ریشه ها دارای کثرت اول هستند. مشکلی نیست ما فقط تابلوها را قرار می دهیم و روی قسمت هایی که نیاز داریم نقاشی می کنیم:

این همه است. می توانید پاسخ را یادداشت کنید.

پاسخ. $ x \ in \ چپ (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ چپ [(2) / (3) \ ;; 1 \ راست) $.

البته این فقط یک مثال بود. بنابراین، اکنون مشکل را جدی تر بررسی خواهیم کرد. و اتفاقاً سطح این کار کاملاً با کار مستقل و کنترلی در مورد این موضوع در کلاس 8 مطابقت دارد.

وظیفه. حل نابرابری:

\ [\ فراک (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ فراک (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

راه حل. همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید:

\ [\ فرک (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ فرک (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

قبل از تقلیل هر دو کسر به یک مخرج مشترک، این مخرج ها را فاکتور می کنیم. اگر همان براکت ها بیرون بیاید چه؟ با مخرج اول، آسان است:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x + 9 \ راست) \]

دومی کمی سخت تر است. با خیال راحت در پرانتز جایی که کسری ظاهر می شود، یک عامل ثابت قرار دهید. به یاد داشته باشید: چند جمله ای اصلی دارای ضرایب صحیح است، بنابراین احتمال زیادی وجود دارد که فاکتورسازی ضرایب صحیح نیز داشته باشد (در واقع، همیشه همینطور خواهد بود، مگر زمانی که ممیز غیرمنطقی باشد).

\ [\ شروع (تراز کردن) و 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x- \ فرک (2) (3) \ راست) = \\ & = \ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (3x-2 \ راست) \ پایان (تراز کردن) \]

همانطور که می بینید، یک پرانتز مشترک وجود دارد: $ \ left (x-1 \ right) $. به نابرابری برمی گردیم و هر دو کسر را به یک مخرج مشترک می آوریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ فرک (1) (\ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x + 9 \ راست)) - \ فرک (1) (\ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (3x-2 \ راست)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ چپ (3x-2 \ راست) -1 \ cdot \ چپ (x + 9 \ راست)) (\ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x + 9 \ راست ) \ چپ (3x-2 \ راست)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x + 9 \ راست) \ چپ (3x-2 \ راست)) \ ge 0; \\ & \ فرک (2x-11) (\ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x + 9 \ راست) \ چپ (3x-2 \ راست)) \ ge 0; \\ \ پایان (تراز کردن) \]

مخرج را صفر کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (x-1 \ راست) \ چپ (x + 9 \ راست) \ چپ (3x-2 \ راست) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1؛ \ x_ (2) ^ (*) = - 9؛ \ x_ (3) ^ (*) = \ فرک (2) (3) \\ \ پایان ( تراز کردن) \]

بدون چندگانگی یا ریشه های همزمان. چهار عدد را روی خط مستقیم علامت گذاری می کنیم:

ما علائم را قرار می دهیم:

پاسخ را یادداشت می کنیم.

پاسخ: $ x \ in \ چپ (- \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ چپ ((2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ راست) دلار.

همه چیز! مثل آن، سپس من این خط را خواندم. :)

در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها... ما به روشی در دسترس به شما خواهیم گفت چگونه برای نابرابری ها راه حل بسازیم، با مثال های واضح!

قبل از در نظر گرفتن حل نابرابری ها با استفاده از مثال ها، بیایید مفاهیم اساسی را درک کنیم.

اطلاعات کلی در مورد نابرابری ها

نابرابریبه عبارتی گفته می شود که در آن توابع با علائم رابطه به هم متصل می شوند>،. نابرابری ها هم عددی و هم حروف الفبا هستند.
نابرابری های دارای دو علامت رابطه را مضاعف، با سه - سه و غیره می نامند. برای مثال:
a (x)> b (x)،
a (x) a (x) b (x)،
a (x) b (x).
a (x) نابرابری های حاوی علامت> یا سخت نیستند.
حل نابرابریهر مقدار از تغییر است که در آن این نابرابری صادق است.
"حل نابرابری"به این معنی است که باید بسیاری از همه راه حل های آن را پیدا کرد. انواع مختلفی وجود دارد روش های حل نابرابری ها... برای راه حل های نابرابریاز خط عددی که بی نهایت است استفاده کنید. برای مثال، راه حل نابرابری x> 3 بازه ای از 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین یک نقطه در یک خط مستقیم با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری شدید است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x = 3 در مجموعه راه حل گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه با یک پرانتز احاطه شده است. علامت به معنای "تعلق" است.
نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از مثال علامت دار دیگر در نظر بگیرید:
x 2
-+
مقدار x = 2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت مربع است و یک نقطه از خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x. نمودار مجموعه تصمیم در زیر نشان داده شده است.

نابرابری های مضاعف

وقتی دو نامساوی با یک کلمه به هم متصل می شوند و, یا، سپس تشکیل می شود نابرابری مضاعف... نابرابری مضاعف مانند
-3 و 2x + 5 ≤ 7
تماس گرفت متصلزیرا استفاده می کند و... نوشتن -3 نابرابری های مضاعف را می توان با استفاده از اصول جمع و ضرب نامساوی ها حل کرد.

مثال 2حل -3 راه حلما داریم

مجموعه راه حل ها (x | x ≤ -1 یا x> 3). ما همچنین می توانیم با استفاده از علامت فاصله و نماد برای یک راه حل بنویسیم ادغام هایا شامل هر دو مجموعه: (-∞ -1] (3، ∞) نمودار مجموعه راه حل در زیر نشان داده شده است.

برای آزمایش، y 1 = 2x - 5، y 2 = -7، و y 3 = 1 را رسم کنید. توجه داشته باشید که برای (x | x ≤ -1 یا x> 3)، y 1 ≤ y 2 یا y 1> y 3.

نامساوی با مقدار مطلق (مدول)

گاهی اوقات نابرابری ها شامل ماژول ها هستند. برای حل آنها از خواص زیر استفاده می شود.
برای a> 0 و یک عبارت جبری x:
| x | | x | > a معادل x یا x> a است.
عبارات مشابه برای | x | ≤ a و | x | ≥ a.

برای مثال،
| x | | y | ≥ 1 معادل y ≤ -1 است یا y ≥ 1;
و | 2x + 3 | ≤ 4 معادل -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 است.

مثال 4هر یک از نامساوی های زیر را حل کنید. مجموعه ای از راه حل ها را ترسیم کنید.
الف) | 3x + 2 | ب) | 5 - 2x | ≥ 1

راه حل
الف) | 3x + 2 |