Tämä artikkeli on omistettu tekniikoille, joilla ratkaistaan ​​erilaisia ​​yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka sisältävät
muuttuja moduulimerkin alla.

Jos törmäät kokeessa yhtälöön tai epäyhtälöön moduulin kanssa, voit ratkaista sen,
tuntematta lainkaan erityisiä menetelmiä ja käyttämällä vain moduulimäärittelyä. Totuus,
se voi viedä puolitoista tuntia arvokasta koeaikaa.

Siksi haluamme kertoa sinulle tekniikoista, jotka yksinkertaistavat tällaisten ongelmien ratkaisua.

Ensinnäkin muistetaan se

Harkitse erilaisia ​​tyyppejä yhtälöt moduulilla. (Epätasa-arvosta lisää myöhemmin.)

Vasen moduuli, oikea numero

Tämä on yksinkertaisin tapaus. Ratkaistaan ​​yhtälö

On vain kaksi lukua, joiden moduuli on neljä. Nämä ovat 4 ja -4. Siksi yhtälö
vastaa kahden yksinkertaisen yhdistelmää:

Toisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Ensimmäisen ratkaisut: x = 0 ja x = 5.

Vastaus: 0; 5.

Muuttuva sekä moduulin alla että moduulin ulkopuolella

Tässä sinun on laajennettava moduulia määritelmän mukaan. . . tai kuvittele!

Yhtälö jakautuu kahteen tapaukseen riippuen moduulin alla olevan lausekkeen etumerkistä.
Toisin sanoen se vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu: . Toisessa järjestelmässä ei ole ratkaisuja.
Vastaus: 1.

Ensimmäinen tapaus: x ≥ 3. Irrota moduuli:

Luku , joka on negatiivinen, ei täytä ehtoa x ≥ 3, joten se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Selvitetään, täyttääkö numero tämän ehdon. Tätä varten teemme eron ja määritämme sen merkin:

Siten enemmän kuin kolme ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri

Toinen tapaus: x< 3. Снимаем модуль:

Numero. on suurempi kuin , ja siksi se ei täytä ehtoa x< 3. Проверим :

Tarkoittaa,. on alkuperäisen yhtälön juuri.

Poistetaanko moduuli määritelmän mukaan? On pelottavaa edes ajatella sitä, koska erottaja ei ole täydellinen neliö. Käytetään paremmin seuraavaa pohdintaa: yhtälö muotoa |A| = B vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

Sama, mutta hieman erilainen:

Toisin sanoen ratkaisemme kaksi yhtälöä, A = B ja A = −B, ja valitsemme sitten juuret, jotka täyttävät ehdon B ≥ 0.

Aloitetaan. Ensin ratkaisemme ensimmäisen yhtälön:

Sitten ratkaisemme toisen yhtälön:

Nyt tarkastetaan jokaisessa tapauksessa oikean puolen merkki:

Siksi vain ja sopivat.

Toisen asteen yhtälöt |x|:llä = t

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Koska , on kätevää tehdä muutos |x| = t. Saamme:

Vastaus: ±1.

Modulus on yhtä kuin modulo

Puhumme yhtälöistä muotoa |A| = |B|. Tämä on kohtalon lahja. Ei moduulilaajennuksia määritelmän mukaan! Se on yksinkertaista:

Harkitse esimerkiksi yhtälöä: . Se vastaa seuraavaa sarjaa:

On vielä ratkaistava jokainen populaatioyhtälö ja kirjoitettava vastaus muistiin.

Kaksi tai useampi moduuli

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Emme vaivaudu jokaiseen moduuliin erikseen ja avaa sitä määritelmän mukaan - vaihtoehtoja on liikaa. On olemassa järkevämpi tapa - intervallimenetelmä.

Moduulien alla olevat lausekkeet häviävät pisteistä x = 1, x = 2 ja x = 3. Nämä pisteet jakavat lukujonon neljään väliin (intervalle). Merkitsemme nämä pisteet numeroviivalle ja asetamme kunkin lausekkeen merkit moduulien alle saatuihin intervalliin. (Etumerkkien järjestys on sama kuin yhtälön vastaavien moduulien järjestys.)

Siksi meidän on tarkasteltava neljää tapausta - kun x on kussakin välissä.

Tapaus 1: x ≥ 3. Kaikki moduulit poistetaan "plussalla":

Tuloksena oleva arvo x = 5 täyttää ehdon x ≥ 3 ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri.

Tapaus 2: 2 ≤ x ≤ 3. Viimeinen moduuli on nyt poistettu "miinusmerkillä":

Saatu x:n arvo on myös sopiva - se kuuluu tarkasteltuun väliin.

Tapaus 3: 1 ≤ x ≤ 2. Toinen ja kolmas moduuli poistetaan "miinusmerkillä":

Olemme saaneet oikean numeerisen yhtälön mille tahansa x:lle tarkastelusta väliltä, ​​ne toimivat ratkaisuina tähän yhtälöön.

Tapaus 4: x ≤ 1 ≤ 1. Toinen ja kolmas moduuli poistetaan "miinuksella":

Ei mitään uutta. Tiedämme jo, että x = 1 on ratkaisu.

Vastaus: ∪ (5).

Moduuli moduulin sisällä

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Aloitamme laajentamalla sisäistä moduulia.

1) x ≤ 3. Saamme:

Moduulin alla oleva lauseke katoaa kohdassa . Tämä kohta kuuluu harkittuun
intervalli. Siksi meidän on tarkasteltava kahta alitapausta.

1.1) Tässä tapauksessa saamme:

Tämä x:n arvo ei ole hyvä, koska se ei kuulu tarkasteltavaan väliin.

1.2). Sitten:

Tämä x-arvo ei myöskään ole hyvä.

Joten arvolle x ≤ 3 ei ole ratkaisuja. Siirrytään toiseen tapaukseen.

2) x ≥ 3. Meillä on:

Tässä olemme onnekkaita: lauseke x + 2 on positiivinen tarkasteluvälillä! Siksi alitapauksia ei enää ole: moduuli poistetaan "plussalla":

Tämä x:n arvo on tarkasteluvälissä ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri.

Näin kaikki tämän tyyppiset tehtävät ratkaistaan ​​- avaamme sisäkkäiset moduulit vuorotellen, alkaen sisäisestä.

MBOU lukio №17 Ivanov

« Modulo-yhtälöt»
Metodista kehitystä

Käännetty

matikan opettaja

Lebedeva N.V.

20010

Selittävä huomautus

Luku 1 Johdanto

Osa 2. Pääominaisuudet Luku 3. Lukumoduulin käsitteen geometrinen tulkinta Osa 4. Funktio y = |x| Osa 5 Yleissopimukset

kappale 2

Osa 1. Yhtälöt muotoa |F(х)| = m (alkueläimet) Kappale 2. Yhtälöt muotoa F(|х|) = m Osa 3. Yhtälöt muotoa |F(х)| = G(x) Osa 4. Yhtälöt muotoa |F(х)| = ± F(x) (kaunis) Osa 5. Yhtälöt muotoa |F(х)| = |G(x)| Osa 6. Esimerkkejä epästandardien yhtälöiden ratkaisemisesta Osa 7. Yhtälöt muotoa |F(х)| + |G(x)| = 0 Kappale 8. Yhtälöt muotoa |а 1 x ± в 1 | ± |a 2 x ± in 2 | ± …|a n x ± in n | = m Osa 9. Yhtälöt, jotka sisältävät useita moduuleja

Luku 3. Esimerkkejä erilaisten yhtälöiden ratkaisemisesta moduulin avulla.

Osa 1. Trigonometriset yhtälöt Osa 2. Eksponentiaaliyhtälöt Osa 3. Logaritmiset yhtälöt Osa 4. Irrationaaliset yhtälöt Osa 5. Monimutkaiset tehtävät Vastaukset harjoituksiin Bibliografia

Selittävä huomautus.

Reaaliluvun itseisarvon (moduulin) käsite on yksi sen olennaisista ominaisuuksista. Tätä käsitettä käytetään laajalti fysiikan, matemaattisten ja teknisten tieteiden eri aloilla. Käytännössä matematiikan kurssin opettamisessa toisen asteen koulutuksessa Venäjän federaation puolustusministeriön ohjelman mukaisesti käsite "luvun absoluuttinen arvo" kohdataan toistuvasti: 6. luokalla moduulin määritelmä. , sen geometrinen merkitys otetaan käyttöön; 8. luokalla muodostetaan absoluuttisen virheen käsite, tarkastellaan yksinkertaisimpien moduulin sisältävien yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisua, tutkitaan aritmeettisen neliöjuuren ominaisuuksia; 11. luokalla käsite löytyy osiosta "Juuri naste." Opetuskokemus osoittaa, että opiskelijoilla on usein vaikeuksia ratkaista tehtäviä, jotka edellyttävät tämän materiaalin tuntemusta, ja usein ohittavat ennen suorittamisen aloittamista. 9. ja 11. luokan tenttitehtävien teksteissä on myös vastaavia tehtäviä. Lisäksi vaatimukset, joita yliopistot asettavat valmistuneille, ovat erilaisia, nimittäin korkeampia kuin koulun opetussuunnitelman vaatimukset. Nyky-yhteiskunnan elämälle matemaattisen ajattelutavan muodostuminen, joka ilmenee tietyissä henkisissä taidoissa, on erittäin tärkeää. Moduulien ongelmien ratkaisuprosessissa vaaditaan kykyä soveltaa sellaisia ​​tekniikoita kuin yleistys ja konkretisointi, analysointi, luokittelu ja systematisointi, analogia. Tällaisten tehtävien ratkaisun avulla voit tarkistaa koulukurssin pääosien tiedot, loogisen ajattelun tason ja tutkimuksen alkutaidot. Tämä työ on omistettu yhdelle osasta - moduulin sisältävien yhtälöiden ratkaisusta. Se koostuu kolmesta luvusta. Ensimmäisessä luvussa esitellään peruskäsitteet ja tärkeimmät teoreettiset laskelmat. Toisessa luvussa ehdotetaan yhdeksän perusyhtälötyyppiä, jotka sisältävät moduulin, tarkastellaan menetelmiä niiden ratkaisemiseksi ja analysoidaan esimerkkejä eri monimutkaisuusasteista. Kolmas luku tarjoaa monimutkaisempia ja epästandardeja yhtälöitä (trigonometrinen, eksponentiaalinen, logaritminen ja irrationaalinen). Jokaiselle yhtälötyypille on harjoituksia itsenäiseen ratkaisuun (vastaukset ja ohjeet ovat liitteenä). Tämän työn päätarkoituksena on antaa metodologista apua opettajille oppituntien valmistelussa ja valinnaisten kurssien järjestämisessä. Materiaalia voidaan käyttää myös lukiolaisten opetusapuna. Työssä ehdotetut tehtävät ovat mielenkiintoisia ja ei aina helposti ratkaistavissa, mikä mahdollistaa opiskelijoiden oppimismotivaation tietoisuuden lisäämisen, kykyjen testaamisen ja valmistuneiden korkeakouluihin pääsyn parantamisen. Eriytetty valinta ehdotetuista harjoituksista tarkoittaa siirtymistä materiaalin assimilaatioiden lisääntymiseltä luovaan tasoon sekä mahdollisuutta opettaa soveltamaan tietojaan epätyypillisten ongelmien ratkaisemisessa.

Luku 1. Johdanto.

Osa 1. Itseisarvon määrittäminen .

Määritelmä : Reaaliluvun itseisarvo (moduuli). a kutsutaan ei-negatiiviseksi numeroksi: a tai -a. Nimitys: │ a │ Merkintä kuuluu seuraavasti: "luvun a moduuli" tai "luvun a absoluuttinen arvo"

│ a jos a > 0

│a│ = │ 0, jos a = 0 (1)

│ - a, jos a
Esimerkkejä: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Laajenna lausekemoduuli:

a) │x - 8│ jos x > 12 b) │2x + 3│ jos x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

Osa 2. Perusominaisuudet.

Harkitse itseisarvon perusominaisuuksia. Kiinteistö nro 1: Vastakkaisilla luvuilla on samat moduulit, ts. │а│=│-а│ Osoittakaamme tasa-arvon oikeellisuus. Kirjoita numeron määritelmä muistiin - a : │- a│= (2) Verrataan joukkoja (1) ja (2). Ilmeisesti numeroiden absoluuttisten arvojen määritelmät a ja - a täsmätä. Siten, │а│=│-а│
Kun tarkastellaan seuraavia ominaisuuksia, rajoitamme niiden muotoiluun, koska niiden todisteet on annettu Kiinteistö nro 2: Äärillisen määrän reaalilukujen summan itseisarvo ei ylitä termien itseisarvojen summaa: Kiinteistö nro 3: Kahden reaaliluvun välisen eron itseisarvo ei ylitä niiden absoluuttisten arvojen summaa: │а - в│ ≤│а│+│в│ Kiinteistö nro 4: Äärillisen määrän reaalilukujen tulon itseisarvo on yhtä suuri kuin tekijöiden itseisarvojen tulo: │а · в│=│а│·│в│ Kiinteistö nro 5: Reaalilukujen osamäärän itseisarvo on yhtä suuri kuin niiden absoluuttisten arvojen osamäärä:

Luku 3. Lukumoduulin käsitteen geometrinen tulkinta.

Jokainen reaaliluku voidaan liittää numeroviivan pisteeseen, joka on tämän reaaliluvun geometrinen esitys. Jokainen numeroviivan piste vastaa sen etäisyyttä origosta, ts. janan pituus origosta annettuun pisteeseen. Tätä etäisyyttä pidetään aina ei-negatiivisena arvona. Siksi vastaavan segmentin pituus on geometrinen tulkinta annetun reaaliluvun itseisarvosta

Esitetty geometrinen kuva vahvistaa selvästi ominaisuuden nro 1, ts. vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret. Tästä lähtien tasa-arvon pätevyys on helposti ymmärrettävissä: │x - a│= │a - x│. On myös ilmeisempää ratkaista yhtälö │х│= m, missä m ≥ 0, nimittäin x 1,2 = ± m. Esimerkkejä: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

Osa 4. Funktion y \u003d │х│ kaavio

Tämän funktion toimialue on kaikki reaaliluvut.

Osa 5. Symbolit.

Jatkossa, kun tarkastellaan esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta, käytetään seuraavia sopimuksia: ( - järjestelmämerkki [ - aseta merkki Yhtälöjärjestelmää (epäyhtälöitä) ratkaistaessa löydetään järjestelmään sisältyvien yhtälöiden (epäyhtälöiden) ratkaisujen leikkauspiste. Kun ratkaistaan ​​yhtälöjoukkoa (epäyhtälöitä), löydetään joukkoon sisältyvien yhtälöiden (epäyhtälöiden) ratkaisujen liitto.

kappale 2

Tässä luvussa tarkastellaan algebrallisia tapoja ratkaista yhtälöitä, jotka sisältävät yhden tai useamman moduulin.

Kappale 1. Yhtälöt muotoa │F (х) │= m

Tämän tyyppistä yhtälöä kutsutaan yksinkertaisimmiksi. Sillä on ratkaisu silloin ja vain jos m ≥ 0. Moduulin määritelmän mukaan alkuperäinen yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää: │ F(x)│=m
Esimerkkejä:
№1. Ratkaise yhtälö: │7x - 2│= 9


Vastaus: x 1 = -1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3 x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Vastaus: juurien summa on -2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 merkitsee x 2 = m, m ≥ 0 x = 0; ±√5 m 2 – 5 m + 4 = 0 m = 1; 4 – molemmat arvot täyttävät ehdon m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Vastaus: yhtälön 7 juurien lukumäärä. Harjoitukset:
№1. Ratkaise yhtälö ja osoita juurien summa: │x - 5│= 3 №2 . Ratkaise yhtälö ja osoita pienempi juuri: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . Ratkaise yhtälö ja osoita suurempi juuri: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Ratkaise yhtälö ja osoita koko juuri: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .Ratkaise yhtälö ja ilmoita juurien lukumäärä: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

Kappale 2. Yhtälöt muotoa F(│х│) = m

Vasemmalla puolella oleva funktion argumentti on modulo-merkin alla, kun taas oikea puoli on riippumaton muuttujasta. Tarkastellaan kahta tapaa ratkaista tämän tyyppisiä yhtälöitä. 1 tapa: Absoluuttisen arvon määritelmän mukaan alkuperäinen yhtälö vastaa kahden järjestelmän kokonaisuutta. Joissa kussakin alimoduulilausekkeelle asetetaan ehto. F(│х│) =m
Koska funktio F(│х│) on parillinen koko määritelmäalueella, yhtälöiden F(х) = m ja F(-х) = m juuret ovat vastakkaisten lukujen pareja. Siksi riittää, että ratkaistaan ​​yksi järjestelmistä (tällä tavalla esimerkkejä tarkasteltaessa annetaan yhden järjestelmän ratkaisu). 2 tapa: Uuden muuttujan käyttöönottomenetelmän soveltaminen. Tässä tapauksessa otetaan käyttöön merkintä │х│= a, jossa a ≥ 0. Tämä menetelmä on suunnittelultaan pienempi.
Esimerkkejä: №1 . Ratkaise yhtälö: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Käytetään uuden muuttujan käyttöönottoa. Merkitään │x│= a, missä a ≥ 0. Saamme yhtälön 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Palataan alkuperäiseen muuttujaan: │x │ = 1 ja │х│ = 1/3. Jokaisella yhtälöllä on kaksi juuria. Vastaus: x 1 = 1; X 2 = -1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Ratkaise yhtälö: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1/2 │x│ + 3x 2
Etsitään ensimmäisen joukkojärjestelmän ratkaisu: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 Huomaa, että x 2 tekee eivät täytä ehtoa x ≥ 0. Ratkaisun mukaan toinen järjestelmä on vastakkainen luku x 1 . Vastaus: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Ratkaise yhtälö: x 4 - │х│= 0 Merkitse │х│= a, missä a ≥ 0. Saamme yhtälön a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d a 2 \u003d 1 Palaamme alkuperäiseen muuttujaan: │х│=0 ja │х│= 1 x = 0; ± 1 Vastaus: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Harjoitukset: №6. Ratkaise yhtälö: 2│х│ - 4,5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien lukumäärä: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa kokonaisratkaisut: x 4 + │х│ - 2 = 0

Osa 3. Yhtälöt muotoa │F(х)│ = G(х)

Tämän tyyppisen yhtälön oikea puoli riippuu muuttujasta ja siksi sillä on ratkaisu silloin ja vain, jos oikea puoli on funktio G(x) ≥ 0. Alkuperäinen yhtälö voidaan ratkaista kahdella tavalla: 1 tapa: Standardi, joka perustuu moduulin julkistamiseen sen määritelmän perusteella ja koostuu vastaavasta siirtymisestä kahden järjestelmän yhdistelmään. │ F(x)│ =G(X)

On järkevää käyttää tätä menetelmää funktion G(x) kompleksisen lausekkeen tapauksessa ja funktion F(x) vähemmän monimutkaisen lausekkeen tapauksessa, koska sen oletetaan ratkaisevan epäyhtälöt funktion F(x) kanssa. 2 tapa: Se koostuu siirtymisestä vastaavaan järjestelmään, jossa oikealle puolelle asetetaan ehto. │ F(x)│= G(x)

Tätä menetelmää on helpompi käyttää, jos funktion G(x) lauseke on vähemmän monimutkainen kuin funktion F(x), koska epäyhtälön G(x) ratkaisu oletetaan ≥ 0. Lisäksi tapauksessa Useista moduuleista tätä menetelmää suositellaan käyttämään toista vaihtoehtoa. Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö: │x + 2│= 6 -2x
(1 tapa) Vastaus: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(kaksisuuntainen) Vastaus: Juurien tulo on 3.
№3. Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

Vastaus: juurien summa on 4.
Harjoitukset: №9. │x + 4│= - 3x №10. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa ratkaisujen lukumäärä: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

Kappale 4. Yhtälöt muotoa │F(x)│= F(x) ja │F(x)│= - F(x)

Tämän tyyppisiä yhtälöitä kutsutaan joskus "kauniiksi". Koska yhtälöiden oikea puoli riippuu muuttujasta, ratkaisuja on olemassa jos ja vain, jos oikea puoli on ei-negatiivinen. Siksi alkuperäiset yhtälöt ovat ekvivalentteja epäyhtälöille:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 ja │F(x)│= - F(x) F(x) Esimerkkejä: №1 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi kokonaisluvun juuri: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Vastaus: x = 1№2. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa raon pituus: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Vastaus: raon pituus on 6.№3 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa kokonaislukuratkaisujen lukumäärä: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Vastaus: 4 kokonaista ratkaisua.№4 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa suurin juuri:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Vastaus: x = 3.

Harjoitukset: №12. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa koko juuri: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa kokonaislukuratkaisujen lukumäärä: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Ratkaise yhtälö, osoita vastauksessa kokonaisluku, joka ei ole yhtälön juuri:

Kappale 5. Yhtälöt muotoa │F(x)│= │G(x)│

Koska yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, ratkaisuun sisältyy kaksi tapausta: alimoduulilausekkeet ovat etumerkillisesti yhtä suuria tai vastakkaisia. Siksi alkuperäinen yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää: │ F(x)│= │ G(x)│
Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa koko juuri: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Vastaus: kokonaisluvun juuri x = 4.№2. Ratkaise yhtälö: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Vastaus: x = 2.№3 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo:




Yhtälön juuret 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1,2 \u003d - 1±√5 / 4 Vastaus: juurien tulo on 0,25. Harjoitukset: №15 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa koko ratkaisu: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi juuri: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa:

Osa 6. Esimerkkejä epästandardien yhtälöiden ratkaisemisesta

Tässä osiossa tarkastellaan esimerkkejä epästandardeista yhtälöistä, joiden ratkaisussa lausekkeen itseisarvo paljastuu määritelmän mukaan. Esimerkkejä:

№1. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Vastaus: juurien summa on 1 №2. . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi juuri: x 2 - 4x
- 5 = 0
Vastaus: pienempi juuri x = - 5. №3. Ratkaise yhtälö:

Vastaus: x = -1. Harjoitukset: №18. Ratkaise yhtälö ja kirjoita juurien summa: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Ratkaise yhtälö: x 2 - 3x \u003d

№20. Ratkaise yhtälö:

Kappale 7. Yhtälöt muotoa │F(x)│+│G(x)│=0

On helppo nähdä, että tämän tyyppisen yhtälön vasemmalla puolella on ei-negatiivisten suureiden summa. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä on ratkaisu silloin ja vain, jos molemmat termit ovat samanaikaisesti nolla. Yhtälö vastaa yhtälöjärjestelmää: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Esimerkkejä: №1 . Ratkaise yhtälö:
Vastaus: x = 2. №2. Ratkaise yhtälö: Vastaus: x = 1. Harjoitukset: №21. Ratkaise yhtälö: №22 . Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa: №23 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa ratkaisujen lukumäärä:

Osa 8. Muodon yhtälöt

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään intervallimenetelmää. Jos se ratkaistaan ​​moduulien peräkkäisellä laajentamisella, saamme n järjestelmäsarjoja, mikä on erittäin hankalaa ja hankalaa. Tarkastellaan intervallimenetelmän algoritmia: 1). Etsi muuttuvia arvoja X, jonka jokainen moduuli on yhtä suuri kuin nolla (alimoduulilausekkeiden nollia):
2). Löydetyt arvot on merkitty numeroviivalle, joka on jaettu intervalleihin (välien lukumäärä vastaavasti on yhtä suuri kuin n+1 ) 3). Määritä millä merkillä kukin moduuli paljastuu kullakin saadulla aikavälillä (ratkaisua tehdessäsi voit käyttää numeroviivaa merkitsemällä siihen merkit) 4). Alkuperäinen yhtälö vastaa joukkoa n+1 järjestelmät, joissa kussakin muuttujan jäsenyys ilmoitetaan X yksi intervalleista. Esimerkkejä: №1 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa suurin juuri:
yksi). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 2; x = -3 2). Merkitsemme löydetyt arvot numeroriville ja määritämme, millä merkillä kukin moduuli paljastuu saaduilla aikaväleillä:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- ei ratkaisuja Yhtälöllä on kaksi juuria. Vastaus: suurin juuri on x = 2. №2. Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen koko juuri:
yksi). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 1,5; x = -1 2). Merkitsemme löydetyt arvot numeroriville ja määritämme millä merkillä kukin moduuli paljastuu saaduilla aikaväleillä: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Viimeisellä järjestelmällä ei ole ratkaisuja, joten yhtälöllä on kaksi juuria. Yhtälöä ratkaiseessasi sinun tulee kiinnittää huomiota toisen moduulin edessä olevaan "-"-merkkiin. Vastaus: kokonaisluvun juuri x = 7. №3. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: 1). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Merkitsemme löydetyt arvot numeroriville ja määritämme, millä merkillä kukin moduuli paljastuu saaduilla aikaväleillä: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Yhtälöllä on kaksi juuria x = 0 ja 2. Vastaus: juurien summa on 2. №4 . Ratkaise yhtälö: 1). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Määritetään merkki, jolla jokaista moduulia laajennetaan saaduilla aikaväleillä. 3).
Yhdistämme kolmen ensimmäisen järjestelmän ratkaisut. Vastaus: ; x = 5.
Harjoitukset: №24. Ratkaise yhtälö:
№25. Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa: №26. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi juuri: №27. Ratkaise yhtälö, anna vastauksesi suurempi juuri:

Osa 9. Yhtälöt, jotka sisältävät useita moduuleja

Useita moduuleja sisältävät yhtälöt olettavat absoluuttisten arvojen läsnäolon alimoduulilausekkeissa. Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemisen perusperiaate on moduulien peräkkäinen paljastaminen, alkaen "ulkoisesta". Ratkaisun aikana käytetään kohdissa 1, 3 käsiteltyjä tekniikoita.

Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö:
Vastaus: x = 1; - yksitoista. №2. Ratkaise yhtälö:
Vastaus: x = 0; 4; - 4. №3. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo:
Vastaus: Juurien tulo on 8. №4. Ratkaise yhtälö:
Merkitse väestöyhtälöitä (1) ja (2) ja harkitse jokaisen ratkaisua erikseen suunnittelun helpottamiseksi. Koska molemmat yhtälöt sisältävät useamman kuin yhden moduulin, on kätevämpää suorittaa vastaava siirtyminen järjestelmäjoukkoon. (1)

(2)


Vastaus:
Harjoitukset: №36. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Ratkaise yhtälö, jos juuria on useampi kuin yksi, ilmoita vastauksessa juurien summa: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Ratkaise yhtälö: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien lukumäärä: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien lukumäärä:

Osa 3. Logaritmiset yhtälöt.

Ennen seuraavien yhtälöiden ratkaisemista on tarpeen tarkastella logaritmien ja logaritmisen funktion ominaisuuksia. Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ -1

Tapaus 1: jos x ≥ - 1, niin log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – täyttää ehdon x ≥ - 1 2 tapaus: jos x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – täyttää ehdon x - 1
Vastaus: Juurien tulo on 15.
№2. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: lg
O.D.Z.

Vastaus: juurien summa on 0,5.
№3. Ratkaise yhtälö: log 5
O.D.Z.

Vastaus: x = 9. №4. Ratkaise yhtälö: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Käytetään kaavaa siirtymiseen toiseen kantaan. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 25; x \u003d Nämä luvut jakavat sallittujen arvojen alueen kolmeen väliin, joten yhtälö vastaa kolmen järjestelmän kokonaisuutta.
Vastaus:)