Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälön muoto on y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Kutsutaan yhtälöä (10.8). tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

,

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).

Ellipsiparametrien välinen suhde
ja ilmaistaan ​​suhteella:

(4)

Ellipsin epäkeskisyyskutsutaan interfokaalisen etäisyyden suhteeksi2cpääakselille2a:

Rehtorit ellipsejä kutsutaan y-akselin suuntaisiksi suoriksi viivoiksi, jotka ovat etäisyyden päässä tästä akselista. Suuntaviivayhtälöt:
.

Jos ellipsiyhtälössä
, niin ellipsin polttopisteet ovat y-akselilla.

Niin,

Annetaan kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2). Kirjoitamme suoran yhtälön muotoon (5), missä k vielä tuntematon kerroin:

Kohdasta lähtien M 2 kuuluu tiettyyn riviin, niin sen koordinaatit täyttävät yhtälön (5): . Ilmaisemalla tästä ja korvaamalla sen yhtälöön (5) saamme halutun yhtälön:

Jos Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon, joka on helpompi muistaa:

(6)

Esimerkki. Kirjoita pisteiden M 1 (1.2) ja M 2 (-2.3) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. . Käyttämällä suhteellisuusominaisuutta ja suorittamalla tarvittavat muunnokset, saamme suoran yleisen yhtälön:

Kahden viivan välinen kulma

Harkitse kahta riviä l 1 ja l 2:

l 1: , , ja

l 2: , ,

φ on niiden välinen kulma (). Kuva 4 näyttää: .

Täältä , tai

Kaavan (7) avulla voidaan määrittää yksi viivojen välisistä kulmista. Toinen kulma on .

Esimerkki. Kaksi suoraa saadaan yhtälöistä y=2x+3 ja y=-3x+2. etsi näiden viivojen välinen kulma.

Ratkaisu. Yhtälöistä voidaan nähdä, että k 1 \u003d 2 ja k 2 \u003d-3. korvaamalla nämä arvot kaavaan (7), löydämme

. Joten näiden viivojen välinen kulma on .

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot

Jos suoraan l 1 ja l 2 ovat siis yhdensuuntaiset φ=0 ja tgφ = 0. kaavasta (7) seuraa, että , mistä k 2 \u003d k 1. Siten kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehto on niiden kaltevuuden yhtäläisyys.

Jos suoraan l 1 ja l 2 kohtisuorassa siis φ = π/2, α2 = π/2+ α1. . Siten kahden suoran kohtisuoran ehtona on, että niiden kaltevuus on suuruudeltaan käänteinen ja vastakkainen etumerkillä.

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C \u003d 0 määritellään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M tietylle suoralle pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan ​​kulkevan suoran yhtälö.

Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3v + 3 = 0;

Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b.

k =. Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, niin sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: mistä b \u003d 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.

Etäisyys pisteestä suoraan määräytyy pisteestä suoralle pudonneen kohtisuoran pituuden mukaan.

Jos suora on yhdensuuntainen projektiotason kanssa (t | | P 1), sitten määrittääksesi etäisyyden pisteestä A suoraan h pisteestä on pudotettava kohtisuora A vaakasuoraan h.

Tarkastellaan monimutkaisempaa esimerkkiä, kun viiva on yleisessä asemassa. Olkoon tarpeen määrittää etäisyys pisteestä M suoraan a yleinen kanta.

Määritelmätehtävä yhdensuuntaisten viivojen väliset etäisyydet ratkaistu samalla tavalla kuin edellinen. Yhdeltä suoralta otetaan piste ja siitä piirretään kohtisuora toiselle suoralle. Pystysuoran pituus on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys.

Toisen järjestyksen käyrä on suora, jonka määrittää toisen asteen yhtälö nykyisten suorakulmaisten koordinaattien suhteen. Yleisessä tapauksessa Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

jossa A, B, C, D, E, F ovat reaalilukuja ja vähintään yksi luvuista A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Ympyrä

Ympyrän keskipiste- tämä on tason pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tason C pisteestä (a, b).

Ympyrä saadaan seuraavalla yhtälöllä:

Missä x, y ovat mielivaltaisen ympyrän pisteen koordinaatit, R on ympyrän säde.

Ympyräyhtälön merkki

1. Ei ole termiä x, y

2. Kertoimet kohdissa x 2 ja y 2 ovat yhtä suuret

Ellipsi

Ellipsi kutsutaan tason pisteiden paikkaa, joiden kunkin etäisyyden summaa tämän tason kahdesta annetusta pisteestä kutsutaan polttopisteeksi (vakioarvo).

Ellipsin kanoninen yhtälö:

X ja y kuuluvat ellipsiin.

a on ellipsin pääpuoliakseli

b on ellipsin pieni puoliakseli

Ellipsissä on 2 symmetria-akselia OX ja OY. Ellipsin symmetria-akselit ovat sen akseleita, niiden leikkauspiste on ellipsin keskipiste. Akselia, jolla polttopisteet sijaitsevat, kutsutaan polttoakseli. Ellipsin ja akselien leikkauspiste on ellipsin kärki.

Puristus (venytys) suhde: ε = c/a- epäkeskisyys (luonnollistaa ellipsin muotoa), mitä pienempi se on, sitä vähemmän ellipsi ulottuu polttoakselia pitkin.

Jos ellipsin keskipisteet eivät ole keskustassa С(α, β)

Hyperbeli

Hyperbolia jota kutsutaan tason pisteiden paikaksi, itseisarvo etäisyyksissä, joista kukin on tämän tason kahdesta annetusta pisteestä, jota kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo, joka eroaa nollasta.

Hyperbolin kanoninen yhtälö

Hyperbolalla on kaksi symmetria-akselia:

a - todellinen symmetrian puoliakseli

b - kuvitteellinen symmetrian puoliakseli

Hyperbolan asymptootit:

Paraabeli

paraabeli on pisteiden paikka tasossa, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä F, jota kutsutaan fokuseksi, ja tietystä suorasta, jota kutsutaan suuntaviivaksi.

Kanoninen paraabeliyhtälö:

Y 2 \u003d 2px, missä p on etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan (paraabeliparametri)

Jos paraabelin kärki on C (α, β), niin paraabelin yhtälö (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Jos polttoakseli otetaan y-akseliksi, paraabeliyhtälö on muodossa: x 2 \u003d 2qy

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden suoran suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleinen

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja KANSSA Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa, riippuen mistä tahansa tiedosta

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suoran yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k olla nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 olla nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaali suoran yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran viivan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten terävä kulma näiden viivojen välillä

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Linja läpi pisteen M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja klo 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Annetaan kaksi pistettä M(X 1 ,Omistaa 1) ja N(X 2,y 2). Etsitään näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö.

Koska tämä viiva kulkee pisteen läpi M, silloin kaavan (1.13) mukaan sen yhtälöllä on muoto

Omistaa – Y 1 = K(X-x 1),

Missä K on tuntematon rinne.

Tämän kertoimen arvo määritetään ehdosta, että haluttu suora kulkee pisteen läpi N, mikä tarkoittaa, että sen koordinaatit täyttävät yhtälön (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Täältä löydät tämän viivan kaltevuuden:

,

Tai muuntamisen jälkeen

(1.14)

Kaava (1.14) määrittelee Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö M(X 1, Y 1) ja N(X 2, Y 2).

Erityisessä tapauksessa, kun pistettä M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, makaa koordinaattiakseleilla, yhtälö (1.14) saa yksinkertaisemman muodon

Yhtälö (1.15) olla nimeltään Segmenttien suoran yhtälö, täällä A ja B tarkoittaa segmenttejä, jotka on leikattu suoralla akseleilla (kuva 1.6).

Kuva 1.6

Esimerkki 1.10. Kirjoita pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö M(1, 2) ja B(3, –1).

. Kohdan (1.14) mukaan halutun suoran yhtälöllä on muoto

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Siirtämällä kaikki ehdot vasemmalle puolelle, saamme lopulta halutun yhtälön

3X + 2Y – 7 = 0.

Esimerkki 1.11. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle suoralle M(2, 1) ja viivojen leikkauspiste X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Löydämme suorien leikkauspisteen koordinaatit ratkaisemalla nämä yhtälöt yhdessä

Jos lisäämme nämä yhtälöt termi kerrallaan, saamme 2 X+ 1 = 0, mistä . Korvaamalla löydetyn arvon mihin tahansa yhtälöön, löydämme ordinaatan arvon Omistaa:

Kirjoita nyt pisteiden (2, 1) ja :n kautta kulkevan suoran yhtälö:

tai .

Eli tai -5( Y – 1) = X – 2.

Lopuksi saadaan halutun suoran yhtälö muodossa X + 5Y – 7 = 0.

Esimerkki 1.12. Etsi pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö M(2.1) ja N(2,3).

Kaavan (1.14) avulla saamme yhtälön

Siinä ei ole järkeä, koska toinen nimittäjä on nolla. Tehtävän ehdosta voidaan nähdä, että molempien pisteiden abskissoilla on sama arvo. Siten vaadittu viiva on yhdensuuntainen akselin kanssa OY ja sen yhtälö on: x = 2.

Kommentti . Jos kirjoitettaessa suoran yhtälöä kaavan (1.14) mukaisesti, yksi nimittäjistä on yhtä suuri kuin nolla, niin haluttu yhtälö voidaan saada rinnastamalla vastaava osoittaja nollaan.

Tarkastellaan muita tapoja asettaa suora viiva tasoon.

1. Olkoon nollasta poikkeava vektori kohtisuorassa annettua suoraa vastaan L, ja pointti M 0(X 0, Y 0) sijaitsee tällä viivalla (kuva 1.7).

Kuva 1.7

Me merkitsemme M(X, Y) mielivaltainen piste viivalla L. Vektorit ja Ortogonaalinen. Käyttämällä ortogonaalisuusehtoja näille vektoreille saamme tai A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Olemme saaneet yhtälön pisteen läpi kulkevasta suorasta M 0 on kohtisuorassa vektoriin nähden. Tätä vektoria kutsutaan Normaali vektori suoralle viivalle L. Tuloksena oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

vai niin + Vau + KANSSA= 0, missä KANSSA = –(AX 0 + Tekijä: 0), (1.16),

Missä A ja V ovat normaalivektorin koordinaatit.

Saamme suoran yleisen yhtälön parametrisessa muodossa.

2. Tasossa oleva suora voidaan määritellä seuraavasti: olkoon nollasta poikkeava vektori yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa L ja piste M 0(X 0, Y 0) sijaitsee tällä rivillä. Ota jälleen mielivaltainen kohta M(X, y) suoralla viivalla (kuva 1.8).

Kuva 1.8

Vektorit ja kollineaarinen.

Kirjataan ylös näiden vektorien kollineaarisuuden ehto: , missä T on mielivaltainen luku, jota kutsutaan parametriksi. Kirjoitetaan tämä yhtälö koordinaatteina:

Näitä yhtälöitä kutsutaan Parametriset yhtälöt Suoraan. Jätetään parametri pois näistä yhtälöistä T:

Nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa

. (1.18)

Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan Suoran suoran kanoninen yhtälö. Vektoripuhelu Suuntavektori suora .

Kommentti . On helppo nähdä, että jos on suoran normaalivektori L, niin sen suuntavektori voi olla vektori , koska , eli .

Esimerkki 1.13. Kirjoita pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö M 0(1, 1) yhdensuuntainen linjan 3 kanssa X + 2Omistaa– 8 = 0.

Ratkaisu . Vektori on normaalivektori annetuille ja halutuille viivoille. Käytetään pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöä M 0 annetulla normaalivektorilla 3( X –1) + 2(Omistaa– 1) = 0 tai 3 X + 2v- 5 \u003d 0. Saimme halutun suoran yhtälön.

Katsotaanpa, kuinka laaditaan kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö esimerkkien avulla.

Esimerkki 1.

Muodosta pisteiden A (-3; 9) ja B (2; -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Menetelmä 1 - muodosta yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus.

Suoran ja kaltevuuden yhtälöllä on muoto. Korvaamalla pisteiden A ja B koordinaatit suoran yhtälöön (x = -3 ja y = 9 - ensimmäisessä tapauksessa x = 2 ja y = -1 - toisessa), saadaan yhtälöjärjestelmä. josta löydämme k:n ja b:n arvot:

Kun 1. ja 2. yhtälöt lisätään termi kerrallaan, saadaan: -10 = 5k, josta k = -2. Korvaamalla k = -2 toiseen yhtälöön saadaan b: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.

Siten y = -2x + 3 on haluttu yhtälö.

Menetelmä 2 - muodosta suoran yleinen yhtälö.

Suoran yleisellä yhtälöllä on muoto. Korvaamalla pisteiden A ja B koordinaatit yhtälöön, saadaan järjestelmä:

Koska tuntemattomien lukumäärä on suurempi kuin yhtälöiden määrä, järjestelmä ei ole ratkaistavissa. Mutta voit ilmaista kaikki muuttujat yhden kautta. Esimerkiksi b:n kautta.

Kerrotaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö -1:llä ja lisätään termi kerrallaan toisella:

saamme: 5a-10b = 0. Siten a = 2b.

Korvaa tuloksena oleva lauseke toiseen yhtälöön: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
Korvaa a = 2b, c = -3b yhtälössä ax + luvulla + c = 0:

2bx + by-3b = 0. Jäljelle jää jakaa molemmat osat b:llä:

Suoran suoran yleinen yhtälö on helppo pelkistää suoran yhtälöön, jossa on kaltevuus:

Menetelmä 3 - muodosta 2 pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.

Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöllä on:

Korvaa tähän yhtälöön pisteiden A (-3; 9) ja B (2; -1) koordinaatit.

(eli x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

ja yksinkertaistaa:

josta 2x + y-3 = 0.

Koulukurssilla käytetään useimmiten yhtälöä suora ja kaltevuus. Mutta helpoin tapa on johtaa ja käyttää kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön kaavaa.

Kommentti.

Jos annettujen pisteiden koordinaatteja korvattaessa yksi yhtälön nimittäjistä

osoittautuu nollaksi, niin haluttu yhtälö saadaan vastaavan osoittajan nollaksi.

Esimerkki 2.

Tee yhtälö kahden pisteen C (5; -2) ja D (7; -2) kautta kulkevasta suorasta.

Korvaa yhtälöön suora, joka kulkee 2 pisteen kautta, pisteiden C ja D koordinaatit.