Définition.La variable aléatoire s'appelle évaluation paramètre inconnu, si la valeur de cette variable aléatoire, trouvée à partir des résultats d'une série de mesures, peut être considérée comme une valeur approximative de ce paramètre, c'est-à-dire si l'égalité est vraie.

Exemple. Si la probabilité d'occurrence d'un certain événement est considérée comme un paramètre inconnu, alors l'estimation de ce paramètre est la fréquence d'apparition de l'événement dans des essais indépendants (voir la définition statistique de la probabilité et le théorème de Bernoulli).

Exemple. Laissez les variables aléatoires ont la même espérance mathématique, c'est-à-dire . Alors l'estimation de la valeur de l'espérance mathématique générale de ces variables aléatoires est la moyenne arithmétique ces variables aléatoires. Un cas particulier important de la situation considérée est le suivant

Exemple. Une estimation d'un certain paramètre est la moyenne arithmétique résultats mesures indépendantes de ce paramètre (voir le théorème de Chebyshev).

En utilisant directement l'égalité approximative parler de estimation ponctuelle paramètre inconnu.

C'est aussi possible estimation d'intervalle paramètre inconnu. Afin d'expliquer en quoi cela consiste, nous introduisons les concepts suivants.

Définition.Pour un intervalle arbitraire, cela s'appelle Intervalle de confiance;la quantité elle-même est appelée dans ce cas erreur d'échantillonnage marginale.

Définition.La probabilité que la valeur inconnue du paramètre estimé soit couverte par un intervalle de confiance est appelée probabilité de confiance.

Ainsi, si – estimation des paramètres , Que

– probabilité de confiance (on suppose que l’estimation est une variable aléatoire continue).

L'estimation par intervalles consiste, par exemple, à calculer la probabilité de confiance pour une erreur d'échantillonnage maximale donnée.

La résolution du problème de l'estimation par intervalles est associée à la détermination de la nature de la loi de distribution de l'estimation utilisée .

Considérons maintenant quelques propriétés des estimations.

Définition.L'estimation du paramètre est appelée impartial, si l'espérance mathématique de cette estimation est égale au paramètre estimé, c'est-à-dire

Définition.L'estimation du paramètre est appelée riche, si la relation limite suivante est valable pour une relation arbitraire

En d’autres termes, une estimation d’un paramètre est cohérente si cette estimation converge en probabilité vers le paramètre donné. (Rappelons que des exemples de convergence de ce genre sont donnés par les théorèmes de Bernoulli et Chebyshev, voir § 6.2.)

Définition.Une estimation impartiale d’un paramètre est appelée efficace, s'il présente la plus petite variance parmi toutes les estimations non biaisées trouvées à partir d'un échantillon d'une taille donnée.

Exemple. Fréquence la survenance d'un événement est une estimation impartiale, cohérente et efficace de la probabilité cet evènement . Notez que les propriétés d’impartialité et de cohérence de la fréquence ont en fait été examinées plus tôt par nous dans un contexte légèrement différent. En effet, l’impartialité des fréquences – l’égalité – est l’une des propriétés d’une variable aléatoire distribuée binomialement (voir § 3.3). La consistance de la fréquence est énoncée par le théorème de Bernoulli (voir § 6.2).

Exemple. La moyenne arithmétique d'un certain nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées est une estimation impartiale et cohérente de l'espérance mathématique générale de ces variables aléatoires. En effet, l'impartialité est la propriété 5 de l'espérance mathématique (voir § 3.3). La cohérence est confirmée par le théorème de Chebyshev (voir § 6.2).

La distribution d'une variable aléatoire (répartition de la population) est généralement caractérisée par un certain nombre de caractéristiques numériques :

• pour une distribution normale N(a, σ) est l'espérance mathématique a et l'écart type σ ;
• pour une distribution uniforme, R(a,b) sont les limites de l'intervalle dans lequel les valeurs de cette variable aléatoire sont observées.

De telles caractéristiques numériques, généralement inconnues, sont appelées paramètres de population . Estimation des paramètres - la caractéristique numérique correspondante calculée à partir de l'échantillon. Les estimations des paramètres de population se répartissent en deux classes : indiquer Et intervalle.

Lorsqu'un score est déterminé par un seul nombre, on l'appelle estimation ponctuelle. L'estimation ponctuelle, en fonction de l'échantillon, est une variable aléatoire et varie d'un échantillon à l'autre avec des expériences répétées.
Les estimations ponctuelles ont des exigences auxquelles elles doivent satisfaire pour être « inoffensives » dans quelque sens que ce soit. Ce non déplacé, efficacité Et richesse.

Estimations d'intervalle sont déterminés par deux nombres - les extrémités de l'intervalle qui couvre le paramètre estimé. Contrairement aux estimations ponctuelles, qui ne donnent pas une idée de la distance entre le paramètre estimé et eux, les estimations par intervalles nous permettent d'établir l'exactitude et la fiabilité des estimations.

En tant qu'estimations ponctuelles de l'espérance mathématique, de la dispersion et de l'écart type, les caractéristiques de l'échantillon sont utilisées, respectivement, la moyenne de l'échantillon, la dispersion de l'échantillon et l'écart type de l'échantillon.

Propriété d'estimation impartiale.
Une condition souhaitable pour l’évaluation est l’absence d’erreur systématique, c’est-à-dire lors de l'utilisation répétée de son estimation au lieu du paramètre θ, la valeur moyenne de l'erreur d'approximation est nulle - c'est propriété d'estimation impartiale.

Définition. Une estimation est dite non biaisée si son espérance mathématique est égale à la vraie valeur du paramètre estimé :

La moyenne arithmétique de l'échantillon est une estimation impartiale de l'espérance mathématique et la variance de l'échantillon - estimation biaisée de la variance générale D. Une estimation non biaisée de la variance générale est l'estimation

Propriété de cohérence de l'évaluation.
La deuxième condition d'une estimation - sa cohérence - signifie que l'estimation s'améliore avec l'augmentation de la taille de l'échantillon.

Définition. Grade est dit cohérent s'il converge en probabilité vers le paramètre estimé θ comme n → ∞.

La convergence des probabilités signifie qu’avec un échantillon de grande taille, la probabilité d’écarts importants entre l’estimation et la valeur réelle est faible.

Propriété d'estimation efficace.
La troisième exigence permet de sélectionner la meilleure estimation parmi plusieurs estimations du même paramètre.

Définition. Un estimateur sans biais est efficace s’il présente la plus petite variance parmi tous les estimateurs sans biais.

Cela signifie que l'estimation effective présente une dispersion minimale par rapport à la valeur réelle du paramètre. Notez qu'une estimation efficace n'existe pas toujours, mais parmi deux estimations, il est généralement possible de choisir la plus efficace, c'est-à-dire avec moins de variance. Par exemple, pour un paramètre inconnu a d’une population normale N(a,σ), la moyenne arithmétique de l’échantillon et la médiane de l’échantillon peuvent être considérées comme une estimation non biaisée. Mais la variance de la médiane de l’échantillon est environ 1,6 fois supérieure à la variance de la moyenne arithmétique. Par conséquent, une estimation plus efficace est la moyenne arithmétique de l’échantillon.

Exemple n°1. Trouvez une estimation impartiale de la variance des mesures d'une variable aléatoire à l'aide d'un seul appareil (sans erreurs systématiques), dont les résultats de mesure (en mm) : 13,15,17.
Solution. Tableau de calcul des indicateurs.

X	|x - x moy |	(x - x moyenne) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

Moyenne arithmétique simple(estimation impartiale de l'espérance mathématique)


Dispersion- caractérise la mesure de dispersion autour de sa valeur moyenne (une mesure de dispersion, c'est-à-dire un écart par rapport à la moyenne - estimation biaisée).


Estimateur de variance sans biais- estimation cohérente de la variance (variance corrigée).

Exemple n°2. Trouver une estimation impartiale de l'espérance mathématique des mesures d'une certaine variable aléatoire par un appareil (sans erreurs systématiques), dont les résultats de mesure (en mm) : 4,5,8,9,11.
Solution. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4

Exemple n°3. Trouvez la variance corrigée S2 pour une taille d'échantillon de n = 10 si la variance de l'échantillon est D = 180.
Solution. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200

probabilités, qui a la propriété qu'à mesure que le nombre d'observations augmente, la probabilité d'écarts de l'estimation par rapport au paramètre estimé d'un montant dépassant un certain nombre donné tend vers zéro. Plus précisément : laissez X 1 , X 2 ,......, X n - des résultats d'observation indépendants, dont la distribution dépend du paramètre inconnu θ, et pour chaque n fonction Tn = Tn(X1,..., Xn) est une estimation de θ construite à partir du premier n observations, puis la séquence d'estimations ( Tn) est dit cohérent si n→ ∞ pour tout nombre arbitraire ε > 0 et toute valeur admissible de θ

(c'est à dire. Tn converge vers θ en probabilité). Par exemple, toute estimation impartiale (voir Estimation impartiale) Tn paramètre θ (ou estimation avec ETn→ 0), dont la dispersion tend vers zéro lorsque l’on augmente n, est S.o. paramètre θ dû à l’inégalité de Chebyshev

Donc, l'échantillon signifie

La cohérence, qui est une caractéristique souhaitable de toute estimation statistique, concerne uniquement les propriétés asymptotiques de l'estimation et caractérise faiblement la qualité de l'estimation pour une taille d'échantillon finie dans des problèmes pratiques. Il existe des critères qui permettent de choisir parmi tous les S.o. possibles. un paramètre est celui qui possède les qualités nécessaires. Voir Estimations statistiques.

Le concept de S.o. a été proposé pour la première fois par le mathématicien anglais R. Fisher (1922).

Lit. : Kramer G., Méthodes mathématiques de la statistique, trad. de l'anglais M., 1975; Rao S. R., Méthodes statistiques linéaires et leurs applications, trans. de l'anglais M., 1968.

A.V. Prokhorov.

Grande Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

Voyez ce qu’est « évaluation substantielle » dans d’autres dictionnaires :

En statistiques mathématiques, il s'agit d'une estimation ponctuelle dont la probabilité converge vers le paramètre estimé. Table des matières 1 Définitions 2 Propriétés 3 ... Wikipédia

Une version abrégée du terme « séquence cohérente d’évaluations… » Encyclopédie mathématique

- ... Wikipédia

Une fonction de variables aléatoires utilisée pour estimer des paramètres théoriques inconnus. distributions de probabilité. Méthodes de la théorie d'O. s. servir de base à la théorie moderne des erreurs ; généralement les paramètres inconnus sont mesurés physiquement... ... Encyclopédie mathématique

ÉVALUATION COHÉRENTE- EVALUATION STATISTIQUE… Sociologie : Encyclopédie

Un concept qui étend l’idée d’estimation efficace aux grands échantillons. Une définition sans ambiguïté de A. e. O. n'a pas. Par exemple, dans le classique option dont nous parlons asymptotique. l’efficacité de l’évaluation dans une classe d’évaluations convenablement sélectionnée. Exactement,… … Encyclopédie mathématique

Estimation superefficace, abréviation généralement acceptée du terme séquence d'estimations superefficace (superefficace), utilisée en relation avec une séquence cohérente d'estimations asymptotiquement normales d'un paramètre inconnu, au paradis... Encyclopédie mathématique

- (modèle probit, probit anglais) utilisé dans divers domaines (économétrie, toxicologie, etc.) modèle statistique (non linéaire) et méthode d'analyse de la dépendance de variables qualitatives (principalement binaires) sur un ensemble... ... Wikipédia

La moyenne (empirique) de l'échantillon est une approximation de la moyenne théorique de la distribution basée sur un échantillon de celle-ci. Définition Soit un échantillon d'une distribution de probabilité définie sur un espace de probabilité... ... Wikipedia

Les estimations statistiques sont des statistiques utilisées pour estimer les paramètres inconnus des distributions d'une variable aléatoire. Par exemple, s'il s'agit de variables aléatoires indépendantes avec une distribution normale donnée, alors il y aura... ... Wikipédia

Livres

• Un estimateur semi-défini simple et positif de la matrice de covariance asymptotique, cohérent en présence d'hétéroscédasticité et d'autocorrélation, Whitney Newey. Les travaux de Whitney K. Newey et de Kenneth D. West sont l'un des articles les plus cités et les plus connus en économie en raison de leur vaste portée.…

Au paramètre en cours d'évaluation.

Définitions

• Laisser $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n,\backslash ldots$ - échantillon Pour distribution, en fonction du paramètre $\backslash theta\; \backslash in\; \backslash Theta$. Puis l'estimation $\backslash hat(\backslash theta)\; \backslash equiv\; \backslash hat(\backslash theta)(X\_1,\backslash ldots,X\_n)$ est dit riche si

$$ par probabilitéà $n\backslash à\backslash infty$.

Dans le cas contraire, l'évaluation est dite invalide.

• Grade $\backslash hat(\backslash thêta)$ appelé trés riche, Si

$\backslash hat(\backslash theta)\; \backslash to\; \backslash theta,\backslash quad\; \backslash forall\; \backslash theta\backslash in\; \backslash Theta$ presque certainementà $n\backslash à\backslash infty$.

En pratique, il n’est pas possible de « voir » la convergence « de manière presque certaine », puisque les échantillons sont finis. Ainsi, pour les statistiques appliquées, il suffit d'exiger la cohérence de l'évaluation. De plus, les évaluations qui seraient raisonnables, mais peu riches, « dans la vie » sont très rares. La loi des grands nombres pour des quantités identiquement distribuées et indépendantes avec un premier moment fini est également remplie dans une version renforcée ; toutes les statistiques d'ordre extrême convergent également en raison de la monotonie, non seulement en probabilité, mais presque certainement.

Signe

• Si l'estimation converge vers la vraie valeur du paramètre « dans le carré moyen » ou si l'estimation est asymptotiquement sans biais et que sa variance tend vers zéro, alors une telle estimation sera cohérente.

Propriétés

• Des propriétés des convergences Variables aléatoires nous avons qu’une estimation fortement cohérente est toujours cohérente. L’inverse, d’une manière générale, n’est pas vrai.
• Puisque la dispersion des estimations cohérentes tend vers zéro, souvent à un taux de l'ordre de 1/n, les estimations cohérentes sont comparées entre elles par la dispersion asymptotique de la variable aléatoire. $\backslash sqrt\; (n)\; (\backslash hat(\backslash theta)-\backslash theta)$(l'espérance mathématique asymptotique de cette valeur est nulle).

Notions associées

• La partition s'appelle super riche, si la variance de la variable aléatoire $n\; (\backslash hat(\backslash theta)-\backslash theta)$ tend vers une valeur finie. Autrement dit, le taux de convergence de l'estimation vers la valeur réelle est nettement supérieur à celui d'une estimation cohérente. Par exemple, les estimations des paramètres de régression s'avèrent extrêmement cohérentes. cointégré des séries chronologiques.

Exemples

• Moyenne de l'échantillon $\backslash bar(X)\; =\; \backslash frac(1)(n)\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^n\; X\_i$ est une estimation fortement cohérente espérance mathématique $X\_i$.
• Périodogramme est non déplacé, mais un bilan intenable densité spectrale.

voir également

Donnez votre avis sur l'article "Évaluation du son"

Extrait caractérisant une évaluation significative

"Oh, Seigneur, aie pitié", ajouta encore le diacre.
- Tu vas là-bas, ils sont là. Elle est. «Je n'arrêtais pas de m'énerver et de pleurer», a encore dit la femme. - Elle est. C'est ici.
Mais Pierre n'a pas écouté la femme. Depuis plusieurs secondes, sans quitter les yeux, il regardait ce qui se passait à quelques pas de lui. Il regarda la famille arménienne et deux soldats français qui s'approchaient des Arméniens. L'un de ces soldats, un petit homme agité, était vêtu d'un pardessus bleu ceinturé par une corde. Il avait une casquette sur la tête et ses pieds étaient nus. L'autre, qui frappa particulièrement Pierre, était un homme long, voûté, blond et maigre, aux mouvements lents et à l'expression idiote. Celui-ci était vêtu d'une capuche à frise, d'un pantalon bleu et de grosses bottes déchirées. Un petit Français sans bottes, dans un sifflement bleu, s'est approché des Arméniens, immédiatement, en disant quelque chose, a saisi les jambes du vieil homme, et le vieil homme a immédiatement commencé à enlever ses bottes à la hâte. L'autre, en capuche, s'arrêta face à la belle Arménienne et, silencieusement, immobile, les mains dans les poches, la regarda.
« Prends, prends l'enfant », dit Pierre en remettant la jeune fille et en s'adressant à la femme avec impériosité et précipitation. - Donnez-le-leur, donnez-le-leur ! - il a crié presque à la femme, en mettant la fille qui criait par terre, et il s'est de nouveau tourné vers la famille française et arménienne. Le vieil homme était déjà assis pieds nus. Le petit Français ôta sa dernière botte et plaqua les bottes les unes contre les autres. Le vieillard, en sanglotant, dit quelque chose, mais Pierre ne l'entendit qu'entrevoir ; toute son attention était tournée vers le Français à capuche, qui à ce moment-là, se balançant lentement, se dirigea vers la jeune femme et, sortant ses mains de ses poches, lui attrapa le cou.
La belle Arménienne restait assise dans la même position immobile, avec ses longs cils baissés, et comme si elle ne voyait ni ne sentait ce que le soldat lui faisait.
Tandis que Pierre courait les quelques pas qui le séparaient des Français, un long maraudeur en capuche arrachait déjà du cou de la femme arménienne le collier qu'elle portait, et la jeune femme, lui serrant le cou avec ses mains, criait d'une voix aiguë : .
– Laissez cette femme ! [Laissez cette femme !] - Coassa Pierre d'une voix frénétique, saisissant le long soldat voûté par les épaules et le jetant. Le soldat est tombé, s'est relevé et s'est enfui. Mais son camarade, jetant ses bottes, sortit un couperet et s'avança d'un air menaçant vers Pierre.
- Voyons, pas de betises ! [Tant pis! Ne sois pas stupide !] – a-t-il crié.
Pierre était dans cet accès de rage où il ne se souvenait de rien et où ses forces décupleaient. Il se précipita sur le Français aux pieds nus et, avant de pouvoir sortir son couperet, il l'avait déjà renversé et le martelait à coups de poing. Un cri d'approbation de la foule environnante se fit entendre, et au même moment une patrouille à cheval de lanciers français apparut au coin de la rue. Les lanciers trottent vers Pierre et le Français et les encerclent. Pierre ne se souvenait de rien de ce qui s'était passé ensuite. Il se souvint qu'il avait battu quelqu'un, qu'il avait été battu, et qu'à la fin il avait l'impression qu'il avait les mains liées, qu'une foule de soldats français se tenait autour de lui et fouillait sa robe.