Les propriétés les plus simples des intégrales. Propriétés de base de l'intégrale indéfinie Exemples de résolution d'intégrales

Résoudre des intégrales est une tâche facile, mais seulement pour quelques privilégiés. Cet article s’adresse à ceux qui veulent apprendre à comprendre les intégrales, mais qui n’y connaissent rien ou presque. Intégral... Pourquoi est-ce nécessaire ? Comment le calculer ? Que sont les intégrales définies et indéfinies ?

Si la seule utilisation que vous connaissez d'une intégrale est d'utiliser un crochet en forme d'icône intégrale pour obtenir quelque chose d'utile dans des endroits difficiles d'accès, alors bienvenue ! Découvrez comment résoudre les intégrales les plus simples et autres et pourquoi vous ne pouvez pas vous en passer en mathématiques.

Nous étudions le concept « intégral »

L'intégration était connue dès le début L'Egypte ancienne. Bien sûr, pas sous sa forme moderne, mais quand même. Depuis, les mathématiciens ont écrit de nombreux ouvrages sur ce sujet. Se sont particulièrement distingués Newton Et Leibniz , mais l'essence des choses n'a pas changé.

Comment comprendre les intégrales à partir de zéro ? Certainement pas! Pour comprendre ce sujet, vous aurez toujours besoin d’une connaissance de base des bases de l’analyse mathématique. Nous avons déjà des informations sur , nécessaires à la compréhension des intégrales, sur notre blog.

Intégrale indéfinie

Ayons une fonction f(x) .

Fonction intégrale indéfinie f(x) cette fonction s'appelle F(x) , dont la dérivée est égale à la fonction f(x) .

En d’autres termes, une intégrale est une dérivée inverse ou une primitive. À propos, découvrez comment procéder dans notre article.

Une primitive existe pour toutes les fonctions continues. De plus, un signe constant est souvent ajouté à la primitive, car les dérivées de fonctions qui diffèrent par une constante coïncident. Le processus de recherche de l’intégrale est appelé intégration.

Exemple simple :

Afin de ne pas calculer constamment des primitives fonctions élémentaires, il est pratique de les résumer dans un tableau et d'utiliser des valeurs toutes faites.

Tableau complet des intégrales pour les étudiants

Intégrale définie

Lorsqu'on traite du concept d'intégrale, nous avons affaire à des quantités infinitésimales. L'intégrale permettra de calculer l'aire de la figure, la masse du corps inhomogène, la distance parcourue à mouvement irrégulier chemin et bien plus encore. Il faut rappeler qu’une intégrale est la somme d’un nombre infiniment grand de termes infinitésimaux.

À titre d'exemple, imaginez un graphique d'une fonction.

Comment trouver l'aire d'une figure délimitée par le graphique d'une fonction ? Utiliser une intégrale ! Divisons le trapèze curviligne, limité par les axes de coordonnées et le graphique de la fonction, en segments infinitésimaux. De cette façon, la figure sera divisée en fines colonnes. La somme des aires des colonnes sera l'aire du trapèze. Mais rappelez-vous qu'un tel calcul donnera un résultat approximatif. Cependant, plus les segments sont petits et étroits, plus le calcul sera précis. Si nous les réduisons à un point tel que la longueur tend vers zéro, alors la somme des aires des segments tendra vers l'aire de la figure. Il s’agit d’une intégrale définie, qui s’écrit ainsi :

Les points a et b sont appelés limites d'intégration.

« Intégral »

D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10 % sur

Règles de calcul des intégrales pour les nuls

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Comment résoudre une intégrale indéfinie ? Ici, nous examinerons les propriétés intégrale indéfinie, ce qui sera utile lors de la résolution d'exemples.

La dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrande :

La constante peut être retirée sous le signe intégral :

L'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales. Cela est également vrai pour la différence :

Propriétés d'une intégrale définie

Linéarité :

Le signe de l'intégrale change si les limites d'intégration sont inversées :

À n'importe lequel points un, b Et Avec:

Nous avons déjà découvert qu'une intégrale définie est la limite d'une somme. Mais comment obtenir une valeur spécifique lors de la résolution d’un exemple ? Pour cela il existe la formule de Newton-Leibniz :

Exemples de résolution d'intégrales

Ci-dessous, nous examinerons l'intégrale indéfinie et des exemples de solutions. Nous vous suggérons de découvrir vous-même les subtilités de la solution et si quelque chose n'est pas clair, posez des questions dans les commentaires.

Pour renforcer le matériel, regardez une vidéo sur la façon dont les intégrales sont résolues dans la pratique. Ne désespérez pas si l'intégrale n'est pas donnée immédiatement. Contactez un service professionnel pour étudiants, et toute intégrale triple ou courbe sur surface fermée sera à votre portée.

Nous étudions le concept « intégral »

L'intégration était connue dès l'Égypte ancienne. Bien sûr, pas sous sa forme moderne, mais quand même. Depuis, les mathématiciens ont écrit de nombreux ouvrages sur ce sujet. Se sont particulièrement distingués Newton Et Leibniz , mais l'essence des choses n'a pas changé.

Comment comprendre les intégrales à partir de zéro ? Certainement pas! Pour comprendre ce sujet, vous aurez toujours besoin d’une connaissance de base des bases de l’analyse mathématique. Nous avons déjà des informations sur les limites et les dérivées, nécessaires à la compréhension des intégrales, sur notre blog.

Intégrale indéfinie

Ayons une fonction f(x) .

Fonction intégrale indéfinie f(x) cette fonction s'appelle F(x) , dont la dérivée est égale à la fonction f(x) .

En d’autres termes, une intégrale est une dérivée inverse ou une primitive. Au fait, lisez notre article sur la façon de calculer les dérivés.

Exemple simple :

Afin de ne pas calculer constamment les primitives des fonctions élémentaires, il est pratique de les mettre dans un tableau et d'utiliser des valeurs toutes faites.

Tableau complet des intégrales pour les étudiants

Intégrale définie

Lorsqu'on traite du concept d'intégrale, nous avons affaire à des quantités infinitésimales. L'intégrale aidera à calculer l'aire d'une figure, la masse d'un corps non uniforme, la distance parcourue lors d'un mouvement inégal et bien plus encore. Il faut rappeler qu’une intégrale est la somme d’un nombre infiniment grand de termes infinitésimaux.

À titre d'exemple, imaginez un graphique d'une fonction.

Les points a et b sont appelés limites d'intégration.

« Intégral »

D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10 % sur tout type de travail

Règles de calcul des intégrales pour les nuls

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Comment résoudre une intégrale indéfinie ? Ici, nous examinerons les propriétés de l'intégrale indéfinie, qui seront utiles lors de la résolution d'exemples.

La dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrande :

La constante peut être retirée sous le signe intégral :

L'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales. Cela est également vrai pour la différence :

Propriétés d'une intégrale définie

Linéarité :

Le signe de l'intégrale change si les limites d'intégration sont inversées :

À n'importe lequel points un, b Et Avec:

Exemples de résolution d'intégrales

Laissez la fonction oui = F(X) est défini sur l'intervalle [ un, b ], un < b. Effectuons les opérations suivantes :

1) divisons [ un, b] points un = X 0 < X 1 < ... < X je- 1 < X je < ... < X n = b sur n segments partiels [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X je- 1 , X je ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) dans chacun des segments partiels [ X je- 1 , X je ], je = 1, 2, ... n, choisissez un point arbitraire et calculez la valeur de la fonction à ce point : F(z je ) ;

3) trouver les œuvres F(z je ) · Δ X je , où est la longueur du segment partiel [ X je- 1 , X je ], je = 1, 2, ... n;

4) maquillons-nous somme intégrale les fonctions oui = F(X) sur le segment [ un, b ]:

D'un point de vue géométrique, cette somme σ est la somme des aires des rectangles dont les bases sont des segments partiels [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X je- 1 , X je ], ..., [X n- 1 , X n ], et les hauteurs sont égales F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) en conséquence (Fig. 1). Notons par λ longueur du segment partiel le plus long :

5) trouver la limite de la somme intégrale lorsque λ → 0.

Définition. S'il existe une limite finie de la somme intégrale (1) et que cela ne dépend pas de la méthode de partitionnement du segment [ un, b] aux segments partiels, ni à la sélection de points z je en eux, alors cette limite est appelée Intégrale définie de la fonction oui = F(X) sur le segment [ un, b] et est noté

Ainsi,

Dans ce cas la fonction F(X) est appelé intégrable sur [ un, b]. Nombres un Et b sont appelés respectivement inférieur et limites supérieures l'intégration, F(X) – fonction d'intégrande, F(X ) dx– expression intégrande, X– variable d'intégration; segment de ligne [ un, b] est appelé intervalle d’intégration.

Théorème 1. Si la fonction oui = F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b], alors il est intégrable sur cet intervalle.

L'intégrale définie avec les mêmes limites d'intégration est égale à zéro :

Si un > b, alors, par définition, nous supposons

2. Signification géométrique de l'intégrale définie

Laissez le segment [ un, b] une fonction continue non négative est spécifiée oui = F(X ) . Trapèze curviligne est une figure délimitée ci-dessus par le graphique d'une fonction oui = F(X), d'en bas - le long de l'axe du Buffle, à gauche et à droite - des lignes droites x = un Et x = b(Fig.2).

Intégrale définie d'une fonction non négative oui = F(X) d'un point de vue géométrique égal à la superficie trapèze curviligne délimité au dessus par le graphe de la fonction oui = F(X) , gauche et droite – segments de ligne x = un Et x = b, d'en bas - un segment de l'axe Ox.

3. Propriétés de base de l'intégrale définie

1. La valeur de l'intégrale définie ne dépend pas de la désignation de la variable d'intégration :

2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale définie :

3. L'intégrale définie de la somme algébrique de deux fonctions est égale à la somme algébrique des intégrales définies de ces fonctions :

4.Si fonction oui = F(X) est intégrable sur [ un, b] Et un < b < c, Que

5. (théorème de la valeur moyenne). Si la fonction oui = F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b], alors sur ce segment il y a un point tel que

4. Formule de Newton-Leibniz

Théorème 2. Si la fonction oui = F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b] Et F(X) est l'une de ses primitives sur ce segment, alors la formule suivante est valide :

qui est appelée Formule de Newton-Leibniz. Différence F(b) - F(un) s'écrit généralement comme suit :

où le symbole est appelé double joker.

Ainsi, la formule (2) peut s’écrire :

Exemple 1. Calculer l'intégrale

Solution. Pour l'intégrand F(X ) = X 2 une primitive arbitraire a la forme

Puisque n'importe quelle primitive peut être utilisée dans la formule de Newton-Leibniz, pour calculer l'intégrale, nous prenons la primitive qui a la forme la plus simple :

5. Changement de variable dans une intégrale définie

Théorème 3. Laissez la fonction oui = F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b]. Si:

1) fonction X = φ ( t) et sa dérivée φ "( t) sont continus pendant ;

2) un ensemble de valeurs de fonction X = φ ( t) car est le segment [ un, b ];

3) ( un) = un, φ ( b) = b, alors la formule est valide

qui est appelée formule pour changer une variable dans une intégrale définie .

Contrairement à l'intégrale indéfinie, dans ce cas pas nécessaire pour revenir à la variable d'intégration d'origine - il suffit de trouver de nouvelles limites d'intégration α et β (pour cela, vous devez résoudre la variable téquations φ ( t) = un et φ ( t) = b).

Au lieu de substitution X = φ ( t) vous pouvez utiliser la substitution t = g(X) . Dans ce cas, trouver de nouvelles limites d'intégration sur une variable t simplifie : α = g(un) , β = g(b) .

Exemple 2. Calculer l'intégrale

Solution. Introduisons une nouvelle variable en utilisant la formule. En mettant au carré les deux côtés de l’égalité, on obtient 1 + X = t 2 , où X = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Nous trouvons de nouvelles limites à l’intégration. Pour ce faire, substituons les anciennes limites dans la formule X = 3 et X = 8. On obtient : , d'où t= 2 et α = 2 ; , où t= 3 et β = 3. Donc,

Exemple 3. Calculer

Solution. Laisser toi= journal X, Alors , v = X. D'après la formule (4)

En calcul différentiel, le problème est résolu : sous cette fonction ƒ(x) trouver sa dérivée(ou différentiel). Le calcul intégral résout le problème inverse : trouver la fonction F(x), connaissant sa dérivée F"(x)=ƒ(x) (ou différentielle). La fonction recherchée F(x) est appelée la primitive de la fonction ƒ(x ).

La fonction F(x) est appelée primitive fonction ƒ(x) sur l'intervalle (a; b), si pour tout x є (a; b) l'égalité

F " (x)=ƒ(x) (ou dF(x)=ƒ(x)dx).

Par exemple, la primitive de la fonction y = x 2, x є R, est la fonction, puisque

Évidemment, toutes les fonctions seront également des primitives

où C est une constante, puisque

Théorème 29. 1. Si la fonction F(x) est une primitive de la fonction ƒ(x) sur (a;b), alors l'ensemble de toutes les primitives de ƒ(x) est donné par la formule F(x)+ C, où C est un nombre constant.

▲ La fonction F(x)+C est une primitive de ƒ(x).

En effet, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Soit Ф(x) un autre, différent de F(x), primitive de la fonction ƒ(x), c'est-à-dire Ф "(x)=ƒ(х). Alors pour tout x є (а;b) on a

Et cela signifie (voir Corollaire 25.1) que

où C est un nombre constant. Par conséquent, Ф(x)=F(x)+С.▼

L’ensemble de toutes les fonctions primitives F(x)+С pour ƒ(x) est appelé intégrale indéfinie de la fonction ƒ(x) et est désigné par le symbole ∫ ƒ(x) dx.

Ainsi, par définition

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Ici ƒ(x) est appelé fonction intégrande, ƒ(x)dx — expression intégrande, X - variable d'intégration, ∫ -signe de l'intégrale indéfinie.

L'opération consistant à trouver l'intégrale indéfinie d'une fonction est appelée intégration de cette fonction.

Géométriquement, l'intégrale indéfinie est une famille de courbes « parallèles » y=F(x)+C (chaque valeur numérique de C correspond à une courbe spécifique de la famille) (voir Fig. 166). Le graphique de chaque primitive (courbe) est appelé courbe intégrale.

Chaque fonction a-t-elle une intégrale indéfinie ?

Il existe un théorème affirmant que « toute fonction continue sur (a;b) a une primitive sur cet intervalle » et, par conséquent, une intégrale indéfinie.

Notons un certain nombre de propriétés de l'intégrale indéfinie qui découlent de sa définition.

1. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, et la dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

En effet, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Grâce à cette propriété, la justesse de l'intégration est vérifiée par différenciation. Par exemple, l'égalité

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

vrai, puisque (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

∫dF(x)= F(x)+C.

Vraiment,

3. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

α ≠ 0 est une constante.

Vraiment,

(mettre C 1 / a = C.)

4. L'intégrale indéfinie de la somme algébrique d'un nombre fini de fonctions continues est égale à la somme algébrique des intégrales des sommes des fonctions :

Soit F"(x)=ƒ(x) et G"(x)=g(x). Alors

où C 1 ± C 2 = C.

5. (Invariance de la formule d'intégration).

Si , où u=φ(x) - fonction arbitraire, ayant une dérivée continue.

▲ Soit x une variable indépendante, ƒ(x) une fonction continue et F(x) sa primitive. Alors

Posons maintenant u=φ(x), où φ(x) est une fonction continûment différentiable. Considérons la fonction complexe F(u)=F(φ(x)). Du fait de l'invariance de la forme de la première différentielle de la fonction (voir p. 160), on a

D'ici▼

Ainsi, la formule de l'intégrale indéfinie reste valable indépendamment du fait que la variable d'intégration soit la variable indépendante ou toute fonction de celle-ci ayant une dérivée continue.

Donc, d'après la formule en remplaçant x par u (u=φ(x)) on obtient

En particulier,

Exemple 29.1. Trouver l'intégrale

où C=C1+C2 +C3 +C4.

Exemple 29.2. Trouvez la solution intégrale :

29.3. Tableau des intégrales indéfinies de base

Profitant du fait que l'intégration est l'action inverse de la différenciation, on peut obtenir un tableau des intégrales de base en inversant les formules correspondantes du calcul différentiel (table des différentielles) et en utilisant les propriétés de l'intégrale indéfinie.

Par exemple, parce que

d(sin u)=cos u . du

La dérivation d'un certain nombre de formules dans le tableau sera donnée lors de l'examen des méthodes d'intégration de base.

Les intégrales du tableau ci-dessous sont appelées tabulaires. Il faut les connaître par cœur. En calcul intégral, il n'existe pas de règles simples et universelles pour trouver les primitives des fonctions élémentaires, comme en calcul différentiel. Les méthodes permettant de trouver des primitives (c'est-à-dire d'intégrer une fonction) se réduisent à indiquer des techniques qui amènent une intégrale donnée (recherchée) à une intégrale tabulaire. Il est donc nécessaire de connaître les intégrales des tables et de pouvoir les reconnaître.

Notez que dans le tableau des intégrales de base, la variable d'intégration peut désigner à la fois une variable indépendante et une fonction de la variable indépendante (selon la propriété d'invariance de la formule d'intégration).

La validité des formules ci-dessous peut être vérifiée en prenant la différentielle du côté droit, qui sera égale à l'intégrande du côté gauche de la formule.

Montrons, par exemple, la validité de la formule 2. La fonction 1/u est définie et continue pour toutes les valeurs de et autres que zéro.

Si u > 0, alors ln|u|=lnu, alors C'est pourquoi

Si tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMoyens

La formule 2 est donc correcte. De même, vérifions la formule 15 :

Tableau des principales intégrales

Amis! Nous vous invitons à en discuter. Si vous avez votre propre opinion, écrivez-nous dans les commentaires.

Cet article parle en détail des principales propriétés de l'intégrale définie. Ils sont prouvés en utilisant le concept de l'intégrale de Riemann et Darboux. Le calcul d'une intégrale définie s'effectue grâce à 5 propriétés. Les autres sont utilisés pour évaluer diverses expressions.

Avant de passer aux principales propriétés de l'intégrale définie, il faut s'assurer que a n'excède pas b.

Propriétés de base de l'intégrale définie

Définition 1

La fonction y = f (x) définie en x = a est similaire à la juste égalité ∫ a a f (x) d x = 0.

Preuve 1

De là, nous voyons que la valeur de l'intégrale avec des limites coïncidentes est égale à zéro. C'est une conséquence de l'intégrale de Riemann, car toute somme intégrale σ pour toute partition sur l'intervalle [ a ; a ] et tout choix de points ζ i est égal à zéro, car x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ce qui signifie que nous constatons que la limite des fonctions intégrales est nulle.

Définition 2

Pour une fonction intégrable sur l'intervalle [a; b ] , la condition ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x est satisfaite.

Preuve 2

En d’autres termes, si vous échangez les limites supérieure et inférieure d’intégration, la valeur de l’intégrale passera à la valeur opposée. Cette propriété est tirée de l'intégrale de Riemann. Cependant, la numérotation de la partition du segment part du point x = b.

Définition 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x s'applique aux fonctions intégrables de type y = f (x) et y = g (x) définies sur l'intervalle [ a ; b ] .

Preuve 3

Notez la somme intégrale de la fonction y = f (x) ± g (x) pour la partition en segments avec un choix donné de points ζ i : σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

où σ f et σ g sont les sommes intégrales des fonctions y = f (x) et y = g (x) pour partitionner le segment. Après être passé à la limite à λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 on obtient que lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

D'après la définition de Riemann, cette expression est équivalente.

Définition 4

Étendre le facteur constant au-delà du signe de l'intégrale définie. Fonction intégrée de l'intervalle [a; b ] avec une valeur arbitraire k a une juste inégalité de la forme ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Preuve 4

La preuve de la propriété intégrale définie est similaire à la précédente :

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Définition 5

Si une fonction de la forme y = f (x) est intégrable sur un intervalle x avec a ∈ x, b ∈ x, on obtient que ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d X.

Preuve 5

La propriété est considérée comme valide pour c ∈ a ; b, pour c ≤ a et c ≥ b. La preuve est similaire aux propriétés précédentes.

Définition 6

Lorsqu'une fonction peut être intégrable à partir du segment [a; b ], alors cela est réalisable pour tout segment interne c ; ré ∈ une ; b.

Preuve 6

La preuve est basée sur la propriété de Darboux : si des points sont ajoutés à une partition existante d'un segment, alors la somme de Darboux inférieure ne diminuera pas, et la somme supérieure n'augmentera pas.

Définition 7

Lorsqu'une fonction est intégrable sur [a; b ] de f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pour toute valeur x ∈ a ; b , alors nous obtenons que ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

La propriété peut être prouvée en utilisant la définition de l'intégrale de Riemann : toute somme intégrale pour tout choix de points de partition du segment et de points ζ i avec la condition que f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 est non négatif .

Preuve 7

Si les fonctions y = f (x) et y = g (x) sont intégrables sur l'intervalle [ a ; b ], alors les inégalités suivantes sont considérées comme valides :

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Grâce à cette déclaration, nous savons que l'intégration est permise. Ce corollaire sera utilisé dans la preuve d’autres propriétés.

Définition 8

Pour une fonction intégrable y = f (x) de l'intervalle [ a ; b ] nous avons une juste inégalité de la forme ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Preuve 8

Nous avons ça - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . À partir de la propriété précédente, nous avons constaté que l'inégalité peut être intégrée terme par terme et qu'elle correspond à une inégalité de la forme - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Cette double inégalité peut s'écrire sous une autre forme : ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Définition 9

Lorsque les fonctions y = f (x) et y = g (x) sont intégrées à partir de l'intervalle [ a ; b ] pour g (x) ≥ 0 pour tout x ∈ a ; b , nous obtenons une inégalité de la forme m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , où m = m i n x ∈ a ; b f (x) et M = m a x x ∈ a ; bf (x) .

Preuve 9

La preuve s'effectue de la même manière. M et m sont considérés comme les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction y = f (x) définie à partir du segment [a ; b ] , alors m ≤ f (x) ≤ M . Il faut multiplier la double inégalité par la fonction y = g (x), ce qui donnera la valeur de la double inégalité de la forme m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Il faut l'intégrer sur l'intervalle [a; b ] , alors nous obtenons que la déclaration soit prouvée.

Conséquence: Pour g (x) = 1, l'inégalité prend la forme m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Première formule moyenne

Définition 10

Pour y = f (x) intégrable sur l'intervalle [ a ; b ] avec m = m je n x ∈ une ; b f (x) et M = m a x x ∈ a ; b f (x) il existe un nombre μ ∈ m ; M , qui correspond à ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Conséquence: Lorsque la fonction y = f (x) est continue à partir de l'intervalle [ a ; b ], alors il existe un nombre c ∈ a ; b, qui satisfait l'égalité ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

La première formule moyenne sous forme généralisée

Définition 11

Lorsque les fonctions y = f (x) et y = g (x) sont intégrables à partir de l'intervalle [ a ; b ] avec m = m je n x ∈ une ; b f (x) et M = m a x x ∈ a ; b f (x) , et g (x) > 0 pour toute valeur x ∈ a ; b. De là, nous avons qu’il existe un nombre μ ∈ m ; M , qui satisfait l'égalité ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Formule de deuxième moyenne

Définition 12

Lorsque la fonction y = f (x) est intégrable à partir de l'intervalle [ a ; b ], et y = g (x) est monotone, alors il existe un nombre qui c ∈ a ; b , où nous obtenons une juste égalité de la forme ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

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