Il est connu que équation différentielle ordinaire du premier ordre a la forme : .La solution de cette équation est une fonction différentiable qui, lorsqu'elle est substituée dans l'équation, la transforme en une identité. Le graphique permettant de résoudre une équation différentielle (Figure 1) s'appelle courbe intégrale.
La dérivée en chaque point peut être interprétée géométriquement comme la tangente de la tangente au graphique de la solution passant par ce point, c'est-à-dire :.
L'équation originale définit toute une famille de solutions. Pour sélectionner une solution, définissez condition initiale: , où est une valeur donnée de l’argument, a– la valeur initiale de la fonction.
Problème de Cauchy consiste à trouver une fonction qui satisfait l’équation d’origine et la condition initiale. Habituellement, la solution du problème de Cauchy est déterminée sur le segment situé à droite de la valeur initiale, c'est-à-dire pour.
Même pour des équations différentielles simples du premier ordre, il n’est pas toujours possible d’obtenir une solution analytique. Les méthodes de résolution numériques revêtent donc une grande importance. Les méthodes numériques permettent de déterminer des valeurs approximatives de la solution souhaitée sur une grille sélectionnée de valeurs d'arguments. Les points sont appelés nœuds de grille, et la valeur est le pas de la grille. Souvent considéré uniforme engrener, pour lequel le pas est constant. Dans ce cas, la solution est obtenue sous la forme d'un tableau dans lequel chaque nœud de la grille correspond à des valeurs approximatives de la fonction aux nœuds de la grille.
Les méthodes numériques ne permettent pas de trouver une solution sous forme générale, mais elles sont applicables à une large classe d'équations différentielles.
Convergence des méthodes numériques pour résoudre le problème de Cauchy. Soit la solution au problème de Cauchy. Appelons erreur la méthode numérique est une fonction spécifiée aux nœuds de la grille. Prenons la valeur comme l'erreur absolue.
La méthode numérique pour résoudre le problème de Cauchy s'appelle convergent, si pour lui à. On dit qu’une méthode a l’ordre d’exactitude si l’erreur a l’estimation suivante : – constante, .
Méthode Euler
La méthode la plus simple pour résoudre le problème de Cauchy est la méthode d'Euler. Nous résoudrons le problème de Cauchy
sur le segment. Sélectionnons les étapes et construisons une grille avec un système de nœuds. Dans la méthode d'Euler, les valeurs approximatives de la fonction sont calculées aux nœuds de la grille :. En remplaçant la dérivée par des différences finies sur les segments,, on obtient l'égalité approchée :,, qui peut se réécrire ainsi :,.
Ces formules et la condition initiale sont formules de calcul de la méthode Euler.
L'interprétation géométrique d'une étape de la méthode d'Euler est que la solution sur le segment est remplacée par une tangente tracée en un point de la courbe intégrale passant par ce point. Une fois les étapes terminées, la courbe intégrale inconnue est remplacée par une ligne pointillée (Ligne brisée d'Euler).
Estimation de l'erreur. Pour estimer l'erreur de la méthode d'Euler, nous utilisons le théorème suivant.
Théorème. Laissez la fonction satisfaire les conditions :
.
Alors l’estimation d’erreur suivante est valable pour la méthode d’Euler : 
, où est la longueur du segment. Nous voyons que la méthode d'Euler a une précision du premier ordre.
L'estimation de l'erreur de la méthode d'Euler est souvent difficile, car elle nécessite de calculer les dérivées de la fonction. Donne une estimation approximative de l'erreur Règle de Runge (règle de double comptage), qui est utilisé pour diverses méthodes en une étape ayant le -ème ordre de précision. La règle de Runge est la suivante. Soit les approximations obtenues avec un pas, et soit les approximations obtenues avec un pas. Alors l'égalité approchée est valable :
.
Ainsi, pour estimer l'erreur d'une méthode en une étape avec un pas, vous devez trouver la même solution avec des pas et calculer la valeur à droite dans la dernière formule, c'est-à-dire Puisque la méthode d'Euler a le premier ordre de précision , c'est-à-dire que l'égalité approximative a vue :.
En utilisant la règle de Runge, il est possible de construire une procédure de calcul approximatif de la solution du problème de Cauchy avec une précision donnée . Pour ce faire, vous devez démarrer les calculs à partir d'une certaine valeur de pas et réduire successivement cette valeur de moitié, en calculant à chaque fois une valeur approximative, . Les calculs s'arrêtent lorsque la condition est remplie : . Pour la méthode d'Euler cette condition prendra la forme :. Une solution approximative serait les valeurs .
Exemple 1. Trouvons une solution sur un segment du problème de Cauchy suivant :,. Faisons un pas. Alors.
La formule de calcul de la méthode Euler est la suivante :
,
.
Présentons la solution sous la forme du tableau 1 :
Tableau 1
L'équation originale est l'équation de Bernoulli. Sa solution peut être trouvée sous forme explicite : .
Pour comparer les solutions exactes et approximatives, nous présentons la solution exacte sous la forme du tableau 2 :
Tableau 2
Le tableau montre que l'erreur est
Département de chimie physique SFU (RSU)
METHODES NUMÉRIQUES ET PROGRAMMATION
Matériel pour le cours magistral
Conférencier – Art. Tour. Chtcherbakov I.N.
SOLUTION D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES
Formulation du problème
Lors de la résolution de problèmes scientifiques et techniques, il est souvent nécessaire de décrire mathématiquement un système dynamique. Il est préférable de le faire sous la forme d'équations différentielles ( DU) ou des systèmes d'équations différentielles. Le plus souvent, ce problème se pose lors de la résolution de problèmes liés à la modélisation de la cinétique des réactions chimiques et de divers phénomènes de transfert (chaleur, masse, quantité de mouvement) - transfert de chaleur, mélange, séchage, adsorption, lors de la description du mouvement des macro et microparticules.
Équation différentielle ordinaire(ODE) du nième ordre est l'équation suivante, qui contient une ou plusieurs dérivées de la fonction souhaitée y(x) :
Ici o(n) désigne la dérivée d'ordre n d'une fonction y(x), x est la variable indépendante.
Dans certains cas, une équation différentielle peut être transformée sous une forme dans laquelle la dérivée la plus élevée est exprimée explicitement. Cette forme de notation s'appelle une équation, résolu par rapport à la dérivée la plus élevée(dans ce cas, la dérivée la plus élevée est absente du côté droit de l'équation) :
C'est cette forme d'enregistrement qui est acceptée comme standard lors de l'examen des méthodes numériques de résolution des ODE.
Équation différentielle linéaire est une équation linéaire par rapport à la fonction y(x) et à toutes ses dérivées.
Par exemple, vous trouverez ci-dessous des ODE linéaires du premier et du deuxième ordre
Résoudre une équation différentielle ordinaire est une fonction y(x) qui, pour tout x, satisfait cette équation dans un certain intervalle fini ou infini. Le processus de résolution d’une équation différentielle s’appelle en intégrant l'équation différentielle.
Solution générale de l'ODE Le nième ordre contient n constantes arbitraires C 1 , C 2 , …, C n
Cela découle évidemment du fait que l'intégrale indéfinie est égale à la primitive de l'intégrande plus la constante d'intégration
Puisque n intégrations sont nécessaires pour résoudre des équations différentielles d’ordre n, n constantes d’intégration apparaissent dans la solution générale.
Solution privée L'ODE est obtenue à partir de l'ODE générale si l'on donne certaines valeurs aux constantes d'intégration en définissant quelques conditions supplémentaires dont le nombre permet de calculer toutes les constantes incertaines d'intégration.
Solution exacte (analytique) (générale ou particulière) d'une équation différentielle implique l'obtention de la solution souhaitée (fonction y(x)) sous la forme d'une expression à partir de fonctions élémentaires. Cela n'est pas toujours possible, même pour les équations du premier ordre.
Solution numérique DE (quotient) consiste à calculer la fonction y(x) et ses dérivées en certains points donnés d'un certain segment. Autrement dit, la solution d'une équation différentielle d'ordre n de la forme est obtenue sous la forme du tableau de nombres suivant (la colonne de valeurs de la dérivée la plus élevée est calculée en substituant les valeurs dans le équation):
Par exemple, pour une équation différentielle du premier ordre, le tableau de solutions comportera deux colonnes : x et y.
L'ensemble des valeurs d'abscisse dans lesquelles la valeur d'une fonction est déterminée est appelé engrener, sur lequel la fonction y(x) est définie. Les coordonnées elles-mêmes sont appelées nœuds de grille. Le plus souvent, pour plus de commodité, ils sont utilisés grilles uniformes, dans lequel la différence entre les nœuds voisins est constante et est appelée espacement de la grille ou étape d'intégrationéquation différentielle
Ou , je= 1, …, N
Pour déterminer solution privée il est nécessaire de fixer des conditions supplémentaires qui permettront de calculer les constantes d'intégration. De plus, il devrait y avoir exactement n de telles conditions. Pour les équations du premier ordre - un, pour le second - 2, etc. Selon la manière dont ils sont spécifiés lors de la résolution d'équations différentielles, il existe trois types de problèmes :
· Problème de Cauchy (problème initial) : Il faut trouver quelque chose comme ça solution privéeéquation différentielle qui satisfait certains conditions initiales spécifiées à un moment donné:
c'est-à-dire qu'une certaine valeur de la variable indépendante (x 0) est donnée, ainsi que la valeur de la fonction et de toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre (n-1) à ce stade. Ce point (x 0) est appelé primaire. Par exemple, si un DE du 1er ordre est en cours de résolution, alors les conditions initiales sont exprimées sous la forme d'une paire de nombres (x 0 , y 0)
Ce genre de problème se produit lors de la résolution ODE, qui décrivent, par exemple, la cinétique des réactions chimiques. Dans ce cas, les concentrations de substances au moment initial sont connues ( t = 0), et il est nécessaire de retrouver les concentrations de substances après un certain temps ( t) . A titre d'exemple, on peut également citer le problème du transfert de chaleur ou de transfert de masse (diffusion), l'équation du mouvement d'un point matériel sous l'action de forces, etc.
· Problème de valeur limite . Dans ce cas, les valeurs de la fonction et (ou) ses dérivées sont connues en plus d'un point, par exemple aux instants initial et final, et il faut trouver une solution particulière à l'équation différentielle entre ces points. Les conditions supplémentaires elles-mêmes dans ce cas sont appelées régional (frontière) conditions. Naturellement, le problème des valeurs limites peut être résolu pour les ODE d’au moins 2ème ordre. Vous trouverez ci-dessous un exemple d'ODE du second ordre avec des conditions aux limites (les valeurs de fonction en deux points différents sont données) :
· Problème de Sturm-Liouville (problème des valeurs propres). Les problèmes de ce type sont similaires aux problèmes de valeurs limites. Lors de leur résolution, il est nécessaire de trouver à quelles valeurs de n'importe quel paramètre la solution DU satisfait aux conditions aux limites (valeurs propres) et aux fonctions qui sont une solution au DE pour chaque valeur de paramètre (fonctions propres). Par exemple, de nombreux problèmes en mécanique quantique sont des problèmes de valeurs propres.
Méthodes numériques pour résoudre le problème de Cauchy de l'ODE du premier ordre
Considérons quelques méthodes numériques pour résoudre Problèmes de Cauchy(problème initial) équations différentielles ordinaires du premier ordre. Écrivons cette équation sous forme générale, résolue par rapport à la dérivée (le membre droit de l'équation ne dépend pas de la dérivée première) :
(6.2)
Il est nécessaire de trouver les valeurs de la fonction y en des points donnés de la grille si les valeurs initiales sont connues, où se trouve la valeur de la fonction y(x) au point initial x 0.
Transformons l'équation en multipliant par d x
Et nous intégrons les côtés gauche et droit entre les i-ième et i+ 1er nœuds de la grille.
(6.3)
Nous avons obtenu une expression pour construire une solution au nœud d'intégration i+1 à travers les valeurs de x et y au i-ème nœud de grille. La difficulté réside cependant dans le fait que l’intégrale du côté droit est une intégrale d’une fonction implicitement donnée, ce qui est généralement impossible à trouver sous forme analytique. Les méthodes numériques pour résoudre les ODE de diverses manières se rapprochent (se rapprochent) de la valeur de cette intégrale pour construire des formules pour l'intégration numérique des ODE.
Parmi les nombreuses méthodes développées pour résoudre les EDO du premier ordre, nous considérons les méthodes , et . Ils sont assez simples et donnent une première idée des approches pour résoudre ce problème dans le cadre d'une solution numérique.
Méthode Euler
Historiquement, la méthode d'Euler est la première et la plus simple manière de résoudre numériquement le problème de Cauchy pour les EDO du premier ordre. Elle est basée sur l'approximation de la dérivée par le rapport des incréments finis de la dépendante ( oui) et indépendant ( X) variables entre les nœuds du maillage uniforme :
où y i+1 est la valeur souhaitée de la fonction au point x i+1.
Si l'on transforme maintenant cette équation et prend en compte l'uniformité de la grille d'intégration, on obtient une formule itérative par laquelle on peut calculer oui je+1, si y i est connu au point x i :
En comparant la formule d'Euler avec l'expression générale obtenue précédemment, il est clair que pour calculer approximativement l'intégrale dans, la méthode d'Euler utilise la formule d'intégration la plus simple - la formule des rectangles le long du bord gauche du segment.
L'interprétation graphique de la méthode d'Euler est également aisée (voir figure ci-dessous). En effet, d'après la forme de l'équation à résoudre (), il s'ensuit que la valeur est la valeur de la dérivée de la fonction y(x) au point x=x i - , et est donc égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction y(x) au point x =x i .
À partir du triangle rectangle de la figure, vous pouvez trouver
C'est de là que vient la formule d'Euler. Ainsi, l'essence de la méthode d'Euler est de remplacer la fonction y(x) sur le segment d'intégration par une droite tangente au graphique au point x=x i. Si la fonction souhaitée diffère grandement de la fonction linéaire sur le segment d'intégration, alors l'erreur de calcul sera importante. L'erreur de la méthode d'Euler est directement proportionnelle au pas d'intégration :
Erreur~h
Le processus de calcul est structuré comme suit. Pour des conditions initiales données x0 Et oui 0 peut être calculé
Ainsi, un tableau de valeurs de fonction y(x) est construit avec un certain pas ( h) Par X sur le segment. Erreur dans la définition de la valeur y(x je) dans ce cas, plus la longueur de pas choisie est petite, plus elle sera petite h(qui est déterminé par l'exactitude de la formule d'intégration).
Pour h grand, la méthode d’Euler est très imprécise. Cela donne une approximation de plus en plus précise à mesure que le pas d’intégration diminue. Si le segment est trop grand, alors chaque section est divisée en N segments d'intégration et la formule d'Euler est appliquée à chacun d'eux avec un pas, c'est-à-dire que le pas d'intégration h est pris inférieur au pas de la grille sur laquelle la solution est déterminé.
Exemple:
À l'aide de la méthode d'Euler, construisez une solution approximative pour le problème de Cauchy suivant :
Sur une grille avec un pas de 0,1 dans l'intervalle (6,5)
Solution:
Cette équation a déjà été écrite sous forme standard, résolue par rapport à la dérivée de la fonction recherchée.
Par conséquent, pour l’équation à résoudre, nous avons
Prenons le pas d'intégration égal au pas de grille h = 0,1. Dans ce cas, une seule valeur sera calculée pour chaque nœud de la grille (N=1). Pour les quatre premiers nœuds de la grille, les calculs seront les suivants :
Les résultats complets (précis à la cinquième décimale) sont donnés dans la troisième colonne - h =0,1 (N =1). A titre de comparaison, la deuxième colonne du tableau montre les valeurs calculées à partir de la solution analytique de cette équation 
.
La deuxième partie du tableau montre l'erreur relative des solutions obtenues. On peut voir qu'à h =0,1 l'erreur est très grande, atteignant 100 % pour le premier nœud x =0,1.
Tableau 1 Solution de l'équation par la méthode d'Euler (pour les colonnes, le pas d'intégration et le nombre de segments d'intégration N entre nœuds de la grille sont indiqués)
| X | Précis solution | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | ||
| 0 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 |
| 0,1 | 0,004837 | 0,000000 | 0,002500 | 0,003688 | 0,004554 | 0,004767 | 0,004802 | 0,004829 |
| 0,2 | 0,018731 | 0,010000 | 0,014506 | 0,016652 | 0,018217 | 0,018603 | 0,018667 | 0,018715 |
| 0,3 | 0,040818 | 0,029000 | 0,035092 | 0,037998 | 0,040121 | 0,040644 | 0,040731 | 0,040797 |
| 0,4 | 0,070320 | 0,056100 | 0,063420 | 0,066920 | 0,069479 | 0,070110 | 0,070215 | 0,070294 |
| 0,5 | 0,106531 | 0,090490 | 0,098737 | 0,102688 | 0,105580 | 0,106294 | 0,106412 | 0,106501 |
| 0,6 | 0,148812 | 0,131441 | 0,140360 | 0,144642 | 0,147779 | 0,148554 | 0,148683 | 0,148779 |
| 0,7 | 0,196585 | 0,178297 | 0,187675 | 0,192186 | 0,195496 | 0,196314 | 0,196449 | 0,196551 |
| 0,8 | 0,249329 | 0,230467 | 0,240127 | 0,244783 | 0,248202 | 0,249048 | 0,249188 | 0,249294 |
| 0,9 | 0,306570 | 0,287420 | 0,297214 | 0,301945 | 0,305423 | 0,306284 | 0,306427 | 0,306534 |
| 1 | 0,367879 | 0,348678 | 0,358486 | 0,363232 | 0,366727 | 0,367592 | 0,367736 | 0,367844 |
Erreurs relatives des valeurs de fonction calculées pour différents h |
||||||||
| X | h | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
| N | 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | |
| 0,1 | 100,00% | 48,32% | 23,76% | 5,87% | 1,46% | 0,73% | 0,18% | |
| 0,2 | 46,61% | 22,55% | 11,10% | 2,74% | 0,68% | 0,34% | 0,09% | |
| 0,3 | 28,95% | 14,03% | 6,91% | 1,71% | 0,43% | 0,21% | 0,05% | |
| 0,4 | 20,22% | 9,81% | 4,83% | 1,20% | 0,30% | 0,15% | 0,04% | |
| 0,5 | 15,06% | 7,32% | 3,61% | 0,89% | 0,22% | 0,11% | 0,03% | |
| 0,6 | 11,67% | 5,68% | 2,80% | 0,69% | 0,17% | 0,09% | 0,02% | |
| 0,7 | 9,30% | 4,53% | 2,24% | 0,55% | 0,14% | 0,07% | 0,02% | |
| 0,8 | 7,57% | 3,69% | 1,82% | 0,45% | 0,11% | 0,06% | 0,01% | |
| 0,9 | 6,25% | 3,05% | 1,51% | 0,37% | 0,09% | 0,05% | 0,01% | |
| 1 | 5,22% | 2,55% | 1,26% | 0,31% | 0,08% | 0,04% | 0,01% | |
Réduisons de moitié le pas d'intégration, h = 0,05, dans ce cas, pour chaque nœud de la grille, le calcul s'effectuera en deux étapes (N = 2). Ainsi, pour le premier nœud x =0,1 on obtient :
(6.6)
Cette formule s'avère implicite par rapport à y i+1 (cette valeur se trouve à la fois à gauche et à droite de l'expression), c'est-à-dire qu'il s'agit d'une équation par rapport à y i+1, qui peut être résolue, par exemple, numériquement, en utilisant une méthode itérative (sous cette forme, elle peut être considérée comme une formule itérative de la méthode d'itération simple). Cependant, vous pouvez procéder différemment et environ calculer la valeur d'une fonction à un nœud je+1 en utilisant la formule habituelle :
,
qui peut ensuite être utilisé dans le calcul selon (6.6).
Cela donne la méthode Guna ou la méthode d'Euler avec recalcul. Pour chaque nœud d'intégration, la chaîne de calculs suivante est effectuée
(6.7)
Grâce à une formule d'intégration plus précise, l'erreur de la méthode de Hün est proportionnelle au carré du pas d'intégration.
Erreur~ h 2
L'approche utilisée dans la méthode de Gün est utilisée pour construire ce qu'on appelle les méthodes prévision et correction, dont nous parlerons plus tard.
Exemple:
Effectuons les calculs de l'équation () en utilisant la méthode de Hün.
Avec le pas d'intégration h =0,1 au premier nœud de la grille x 1 on obtient :
Ce qui est bien plus précis que les valeurs obtenues par la méthode Euler avec le même pas d'intégration. Le tableau 2 ci-dessous présente les résultats comparatifs des calculs pour h = 0,1 des méthodes d'Euler et Gün.
Tableau 2 Solution de l'équation par les méthodes d'Euler et Gün
| X | Précis | La méthode de Gün | Méthode Euler | ||
|---|---|---|---|---|---|
| oui | rel. erreur | oui | rel. erreur | ||
| 0 | 0,000000 | 0,00000 | 0,00000 | ||
| 0,1 | 0,004837 | 0,00500 | 3,36% | 0,00000 | 100,00% |
| 0,2 | 0,018731 | 0,01903 | 1,57% | 0,01000 | 46,61% |
| 0,3 | 0,040818 | 0,04122 | 0,98% | 0,02900 | 28,95% |
| 0,4 | 0,070320 | 0,07080 | 0,69% | 0,05610 | 20,22% |
| 0,5 | 0,106531 | 0,10708 | 0,51% | 0,09049 | 15,06% |
| 0,6 | 0,148812 | 0,14940 | 0,40% | 0,13144 | 11,67% |
| 0,7 | 0,196585 | 0,19721 | 0,32% | 0,17830 | 9,30% |
| 0,8 | 0,249329 | 0,24998 | 0,26% | 0,23047 | 7,57% |
| 0,9 | 0,306570 | 0,30723 | 0,21% | 0,28742 | 6,25% |
| 1 | 0,367879 | 0,36854 | 0,18% | 0,34868 | 5,22% |
Notons une augmentation significative de la précision des calculs de la méthode Hün par rapport à la méthode Euler. Ainsi, pour le nœud x =0,1, l'écart relatif de la valeur de la fonction déterminée par la méthode de Huyn s'avère être 30 (!) fois moindre. La même précision des calculs utilisant la formule d'Euler est obtenue lorsque le nombre de segments d'intégration N est d'environ 30. Par conséquent, en utilisant la méthode de Hün avec la même précision de calcul, cela prendra environ 15 fois moins de temps de calcul qu'en utilisant la méthode d'Euler. .
Vérification de la stabilité de la solution
Une solution à une ODE à un moment donné x i est dite stable si la valeur de la fonction trouvée à ce stade et je change peu à mesure que le pas d’intégration diminue. Pour vérifier la stabilité, il est donc nécessaire d'effectuer deux calculs de la valeur ( et je) – avec pas d'intégration h et avec une taille de pas réduite (par exemple deux)
Comme critère de stabilité, vous pouvez utiliser la petitesse du changement relatif dans la solution obtenue lorsque le pas d'intégration est réduit (ε est une petite valeur prédéterminée)
Ce contrôle peut être effectué pour toutes les solutions sur toute la plage de valeurs X. Si la condition n’est pas remplie, alors l’étape est à nouveau divisée en deux et une nouvelle solution est trouvée, etc. jusqu'à obtention d'une solution stable.
Méthodes Runge-Kutta
Une amélioration supplémentaire de la précision de la résolution d'une ODE du premier ordre est possible en augmentant la précision du calcul approximatif de l'intégrale dans l'expression.
Nous avons déjà vu l'avantage de passer de l'intégration à l'aide de la formule du rectangle () à l'utilisation de la formule du trapèze () pour approximer cette intégrale.
En utilisant la formule éprouvée de Simpson, vous pouvez obtenir une formule encore plus précise pour résoudre le problème de Cauchy pour l'ODE de premier ordre - la méthode Runge-Kutta largement utilisée dans la pratique informatique.
L'avantage des méthodes multi-étapes d'Adams pour résoudre les ODE est qu'à chaque nœud, une seule valeur du côté droit de l'ODE est calculée - la fonction F(x,y). Les inconvénients incluent l'impossibilité de démarrer une méthode en plusieurs étapes à partir d'un seul point de départ, car les calculs utilisant la formule en k étapes nécessitent la connaissance de la valeur de la fonction à k nœuds. Par conséquent, il est nécessaire d'obtenir une solution (k-1) aux premiers nœuds x 1, x 2, ..., x k-1 en utilisant une méthode en une étape, par exemple la méthode
La méthode d'Euler. Méthode Euler améliorée.
Méthode classique Runge-Kutta
Les mathématiques computationnelles et les équations différentielles n’ont pas été épargnées ! Aujourd'hui, en classe, nous apprendrons les bases calculs approximatifs dans cette section d'analyse mathématique, après quoi des livres épais, très épais sur le sujet s'ouvriront chaleureusement devant vous. Parce que les mathématiques computationnelles n'ont pas encore contourné le côté diffusion =)
Les méthodes répertoriées dans le titre sont destinées à fermer trouver des solutions équations différentielles, les systèmes de contrôle à distance, et un bref énoncé du problème le plus courant est le suivant :
Considérons équation différentielle du premier ordre, pour lequel vous devez trouver solution privée, correspondant à la condition initiale. Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que nous devons trouver fonction (son existence est supposée), ce qui satisfait cette diff. équation, et dont le graphique passe par le point.
Mais voici le problème : il est impossible de séparer les variables dans l’équation. En aucun cas connu de la science. Et si c'est possible, alors il s'avère incassable intégral. Cependant, une solution particulière existe ! Et ici viennent à la rescousse les méthodes de calculs approximatifs, qui permettent avec une grande (et souvent avec le plus haut)« simuler » avec précision une fonction sur un certain intervalle.
L'idée des méthodes d'Euler et Runge-Kutta est de remplacer une partie du graphe ligne brisée, et nous allons maintenant découvrir comment cette idée est mise en œuvre dans la pratique. Et nous allons non seulement le découvrir, mais aussi le mettre en œuvre directement =) Commençons par la méthode historiquement première et la plus simple. ...Voulez-vous traiter une équation différentielle complexe ? C'est ce que je ne veux pas non plus :)
Exercice
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle correspondant à la condition initiale en utilisant la méthode d'Euler sur un segment avec un pas. Construisez un tableau et un graphique d’une solution approximative.
Voyons cela. Premièrement, nous avons l'habituel équation linéaire, qui peut être résolu à l'aide de méthodes standard, et il est donc très difficile de résister à la tentation de trouver immédiatement la solution exacte :
– n’importe qui peut vérifier et s’assurer que cette fonction satisfait à la condition initiale et est la racine de l’équation.
Qu'est-ce qui devrait être fait? Il faut trouver et construire ligne brisée, qui se rapproche du graphique de la fonction 
sur l'intervalle. Puisque la longueur de cet intervalle est égale à un et que le pas est , alors notre ligne brisée sera composé de 10 segments :
et, point final 
est déjà connue - elle correspond à la condition initiale. De plus, les coordonnées « X » des autres points sont évidentes :
Il ne reste plus qu'à trouver 
. Aucun différenciation Et l'intégration– seulement addition et multiplication ! Chaque valeur de « jeu » suivante est obtenue à partir de la précédente en utilisant un simple récurrent formule: 
Imaginons l'équation différentielle sous la forme :
Ainsi: 
« On se détend » de la condition initiale : 
On y va: 
Il est pratique de saisir les résultats du calcul dans un tableau : 
Et automatisez les calculs eux-mêmes dans Excel - car en mathématiques, non seulement une victoire, mais aussi une fin rapide est importante :)
Sur la base des résultats des 2e et 3e colonnes, nous représenterons dans le dessin 11 points et 10 segments reliant les points adjacents. À titre de comparaison, je vais tracer la solution partielle exacte 
:
Un inconvénient important de la méthode simple d'Euler est que l'erreur est trop grande, et il est facile de remarquer que l'erreur a tendance à s'accumuler - plus on s'éloigne du point, plus principalement l'écart entre l'approximation et la vérité s'agrandit. Ceci peut s'expliquer par le principe même sur lequel Euler a basé sa méthode : les segments sont parallèles pertinent tangente
au graphique de la fonction aux points. Ce fait, d'ailleurs, est également clairement visible sur le dessin.
Comment améliorer l’approximation ? La première pensée est d’affiner la partition. Divisons le segment, par exemple, en 20 parties. L'étape sera alors : 
, et il est tout à fait clair qu'une ligne brisée de 20 liens se rapprochera beaucoup plus précisément d'une solution particulière. En utilisant le même Excel, il ne sera pas difficile de traiter 100-1000 et même un million (!) de segments intermédiaires, mais demandons-nous : est-il possible d'améliorer QUALITATIVEMENT la méthode ?
Mais avant de dévoiler cette problématique, je ne peux m’empêcher de m’attarder sur un nom qui a été évoqué à plusieurs reprises aujourd’hui. En lisant biographie de Léonhard Euler, c’est tout simplement incroyable tout ce qu’une personne peut faire dans sa vie ! De manière comparable, je ne me souvenais que de K.F. Gauss. ...Nous essaierons donc de ne pas perdre la motivation pour l'apprentissage et les nouvelles découvertes :))
Méthode Euler améliorée
Considérons le même exemple : une équation différentielle, une solution particulière satisfaisant la condition, un intervalle et sa division en 10 parties
( – longueur de chaque partie).
Le but de l'amélioration est de rapprocher les « carrés rouges » de la polyligne des « points verts » correspondants de la solution exacte. 
.
Et l'idée de la modification est la suivante : les segments doivent être parallèles tangente, qui sont dessinés sur le graphique de la fonction pas sur les bords gauches, et « au milieu » des intervalles de partition. Ce qui, bien entendu, améliorera la qualité de l’approximation.
L'algorithme de solution fonctionne dans la même veine, mais la formule, comme vous pouvez le deviner, devient plus compliquée :
, Où 
On recommence à danser à partir de la solution particulière et on retrouve immédiatement le 1er argument de la fonction « externe » : 
Maintenant, nous trouvons notre "monstre", qui s'est avéré pas si effrayant - veuillez noter qu'il s'agit de la MÊME fonction 
, calculé à un autre point :
On multiplie le résultat par l'étape de partitionnement :
Ainsi:
L’algorithme entre dans son deuxième tour, je ne serai donc pas paresseux et je le décrirai en détail :
On considère le couple et on trouve le 1er argument de la fonction « externe » : 
On calcule et on trouve son 2ème argument :
Calculons la valeur :
et son produit par étape :
Il est raisonnable d'effectuer des calculs dans Excel (en reproduisant les formules selon le même schéma - voir la vidéo ci-dessus), et résumez les résultats dans un tableau : 
Il est conseillé d'arrondir les nombres à 4-5-6 décimales. Souvent, dans les conditions d'une tâche particulière, il y a instruction directe, avec quelle précision l'arrondi doit-il être effectué. J'ai réduit les valeurs fortement « à queue » à 6 chiffres.
Basé sur les résultats des 2e et 3e colonnes (gauche) construisons ligne brisée, et à titre de comparaison, je montrerai à nouveau un graphique de la solution exacte 
:
Le résultat s'est nettement amélioré ! – les carrés rouges sont pratiquement « cachés » derrière les points verts de la solution exacte.
Cependant, il n’y a pas de limites à la perfection. Une tête c'est bien, mais deux c'est mieux. Et encore l'allemand :
Méthode classique Runge-Kutta du 4ème ordre
Son objectif est de rapprocher encore plus les « carrés rouges » des « points verts ». Vous demandez, où est-ce encore plus proche ? Dans de nombreuses études, notamment physiques, le 10, voire le 50, est FONDAMENTALEMENT important. précis décimale. Non, une telle précision peut être obtenue en utilisant la simple méthode d'Euler, mais en COMBIEN de parties devrez-vous diviser l'intervalle ?! ... Même si avec la puissance de calcul moderne, cela ne pose pas de problème - des milliers de chauffeurs du vaisseau spatial chinois le garantissent !
Et, comme le titre le suggère à juste titre, lorsque vous utilisez la méthode Runge-Kutta à chaque étape il va falloir calculer la valeur de la fonction 
4 fois (contrairement au double calcul du paragraphe précédent). Mais cette tâche est tout à fait réalisable si vous engagez des Chinois. Chaque valeur de « jeu » suivante est obtenue à partir de la précédente - nous captons les formules :
, Où 
, Où: 
Prêt? Eh bien, commençons :)) 
Ainsi:
La première ligne est programmée, et je copie les formules comme ceci : 
Je ne pensais pas m'en remettre aussi vite à la méthode Runge-Kutta =)
Le dessin ne sert à rien car il n'est plus représentatif. Faisons une meilleure comparaison analytique précision trois méthodes, car lorsque la solution exacte est connue 
, alors c'est un péché de ne pas comparer. Les valeurs de fonction aux points nodaux sont facilement calculées dans Excel - nous saisissons la formule une fois et la reproduisons avec le reste.
Dans le tableau ci-dessous je résumerai les valeurs (pour chacune des trois méthodes) et les valeurs correspondantes erreurs absolues calculs approximatifs : 
Comme vous pouvez le constater, la méthode Runge-Kutta donne déjà 4 à 5 décimales correctes, contre 2 décimales correctes de la méthode Euler améliorée ! Et ce n'est pas un hasard :
– L’erreur de la méthode d’Euler « ordinaire » ne dépasse pas étape cloisons. Et en fait – regardez la colonne d’erreurs la plus à gauche – il n’y a qu’un seul zéro après la virgule, ce qui nous indique que la précision est de 0,1.
– La méthode Euler améliorée garantit la précision : 
(regardez 2 zéros après la virgule dans la colonne d'erreur du milieu).
– Et enfin, la méthode classique Runge-Kutta garantit la précision 
.
Les estimations d’erreur présentées sont strictement justifiées en théorie.
Comment pouvez-vous améliorer PLUS la précision de l’approximation ? La réponse est carrément philosophique : qualité et/ou quantité =) Il existe notamment d'autres modifications plus précises de la méthode Runge-Kutta. La méthode quantitative, comme déjà indiqué, consiste à réduire le pas, c'est-à-dire en divisant un segment en un plus grand nombre de segments intermédiaires. Et avec une augmentation de ce nombre, une ligne brisée 
ressemblera de plus en plus au graphique de la solution exacte 
Et dans la limite- coïncidera avec cela.
En mathématiques, cette propriété est appelée redressabilité de la courbe. D'ailleurs (petit hors sujet), tout ne peut pas être « redressé » - je recommande de lire les plus intéressants, dans lesquels réduire le « domaine d'étude » n'implique pas de simplifier l'objet d'étude.
Il se trouve que je n'ai analysé qu'une seule équation différentielle et donc quelques commentaires supplémentaires. Que devez-vous garder à l’esprit dans la pratique ? Dans l'énoncé du problème, on peut vous proposer un segment différent et une partition différente, et parfois la formulation suivante est trouvée : "trouver en utilisant la méthode... ...sur l'intervalle, en le divisant en 5 parties". Dans ce cas, vous devez trouver l'étape de partition 
, puis suivez le schéma de solution habituel. À propos, la condition initiale doit être de la forme suivante : , c'est-à-dire que « x zéro » coïncide généralement avec l'extrémité gauche du segment. Au sens figuré, la ligne brisée « sort » toujours du point.
L'avantage incontestable des méthodes considérées est le fait qu'elles sont applicables à des équations avec un membre droit très complexe. Et l’inconvénient absolu est que tous les diffuseurs ne peuvent pas être présentés sous cette forme.
Mais presque tout dans cette vie peut être réparé ! - après tout, nous n'avons examiné qu'une petite fraction du sujet, et ma phrase sur les livres épais, très épais n'était pas du tout une blague. Il existe une grande variété de méthodes approximatives pour trouver des solutions aux équations différentielles et à leurs systèmes, qui utilisent, entre autres, des approches fondamentalement différentes. Ainsi, par exemple, une solution particulière peut être approximatif par série de puissances. Cependant, ceci est un article pour une autre section.
J'espère que j'ai réussi à diversifier les mathématiques informatiques ennuyeuses, et vous avez trouvé cela intéressant !
Merci pour votre attention!
Système différentieléquations est appelé un système de la forme
où x est l'argument indépendant,
y i - fonction dépendante, ,
oui je | x=x0 =y i0 - conditions initiales.
Les fonctions oui(x), lors de la substitution, le système d'équations se transforme en une identité appelée résoudre un système d'équations différentielles.
Méthodes numériques pour résoudre des systèmes d'équations différentielles.
Équation différentielle du second ordre appelé une équation de la forme
La fonction y(x), lors de la substitution de laquelle l'équation devient une identité, est appelée résoudre une équation différentielle.
Une solution particulière à l'équation (2) est recherchée numériquement, qui satisfait aux conditions initiales données, c'est-à-dire que le problème de Cauchy est résolu.
Pour une solution numérique, une équation différentielle du second ordre est transformée en un système de deux équations différentielles du premier ordre et réduite à vue de la machine (3). Pour ce faire, une nouvelle fonction inconnue est introduite, sur le côté gauche de chaque équation du système il ne reste que les dérivées premières des fonctions inconnues, et il ne devrait y avoir aucune dérivée sur les côtés droits
 .
| (3) |
La fonction f 2 (x, y 1 , y) est formellement introduite dans le système (3) afin que les méthodes qui seront présentées ci-dessous puissent être utilisées pour résoudre un système arbitraire d'équations différentielles du premier ordre. Considérons plusieurs méthodes numériques pour résoudre le système (3). Les dépendances calculées pour l'étape d'intégration i+1 sont les suivantes. Pour résoudre un système de n équations, les formules de calcul sont données ci-dessus. Pour résoudre un système de deux équations, il convient d'écrire les formules de calcul sans doubles indices sous la forme suivante :
- Méthode Euler.
y 1,i+1 =y 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i),
y je+1 =y je +hf 2 (x je, y 1,i, y je),
- Méthode Runge-Kutta du quatrième ordre.
y 1,i+1 =y 1,i +(m 1 +2m 2 +2m 3 +m 4)/6,
y je+1 =y je +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,
m 1 =hf 1 (x je , y 1,i , y i),
k 1 =hf 2 (x je , y 1,i , y i),
m 2 =hf 1 (x je +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),
k 2 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),
m 3 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),
k 3 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),
m 4 = hf 1 (x je + h, y 1, je + m 3, y je + k 3),
k 4 = hf 2 (x je + h, y 1, je + m 3, y je + k 3),
où h est l’étape d’intégration. Les conditions initiales lors de l'intégration numérique sont prises en compte au pas zéro : i=0, x=x 0, y 1 =y 10, y=y 0.
Mission de test pour les travaux de test.
Oscillations à un degré de liberté
Cible. Etude des méthodes numériques de résolution d'équations différentielles du second ordre et de systèmes d'équations différentielles du premier ordre.
Exercice. Trouver numériquement et analytiquement :
- loi du mouvement d'un point matériel sur un ressort x(t),
- la loi de variation du courant I(t) dans le circuit oscillatoire (circuit RLC) pour les modes spécifiés dans les tableaux 1 et 2. Construire des graphiques des fonctions requises.
Options pour les tâches.
Tableau des modes
Options de tâche et numéros de mode :
- mouvement des points
- RLC-circuit
Considérons plus en détail la procédure de composition des équations différentielles et de leur mise sous forme machine pour décrire le mouvement d'un corps sur un ressort et un circuit RLC.
- Titre, but du travail et tâche.
- Description mathématique, algorithme (structogramme) et texte du programme.
- Six graphiques de dépendance (trois exacts et trois approximatifs) x(t) ou I(t), conclusions sur le travail.
Faites-nous savoir la séquence dynamique d'entrée X(signal d'entrée) et modèle (méthode de conversion du signal d'entrée en signal de sortie). Nous considérons le problème de la détermination du signal de sortie oui(t) (voir Fig. 10.1).
Un modèle d'un système dynamique peut être représenté par une équation différentielle. Équation de base de la dynamique :
oui" = F(X(t), oui(t), t) .
Les conditions initiales au temps zéro sont connues t 0 : oui(t 0) , X(t 0) . Pour déterminer le signal de sortie, notez que par définition de dérivée :
Nous connaissons la position du système au point « 1 » ; nous devons déterminer la position du système au point « 2 ». Les points sont séparés les uns des autres d'une distance Δ t(Fig. 10.2). Autrement dit, le comportement du système est calculé étape par étape. Du point « 1 » on saute (discrètement) au point « 2 », la distance entre les points le long de l'axe t appelé pas de calcul Δ t .
La méthode d'Euler en une étape
La dernière formule est appelée formule d'Euler.
Évidemment, pour connaître l'état du système dans le futur oui(t + Δ t) , il est nécessaire de connaître l'état actuel du système oui(t) ajouter le changement Δ oui, écoulé pendant le temps Δ t .
Considérons à nouveau cette relation importante, en la dérivant de considérations géométriques (Fig. 10.3).
Soit A le point auquel l’état du système est connu. C’est l’état « réel » du système.
Au point A, nous traçons une tangente à la trajectoire du système. La tangente est la dérivée d'une fonction F(X(t), oui(t), t) par variable t. La dérivée en un point est toujours facile à calculer ; il suffit de substituer les variables connues (au moment « Présentes » elles sont connues) dans la formule oui" = F(X(t), oui(t), t) .
A noter que, par définition, la dérivée est liée à l'angle d'inclinaison de la tangente : oui" = tg( α ) , ce qui signifie l'angle α facile à calculer ( α = arctan( oui" ) ) et tracez une tangente.
Tracez une tangente jusqu'à ce qu'elle croise la ligne t + Δ t. Moment t + Δ t correspond à l’état « futur » du système. Tracez une ligne parallèle à l'axe t du point A à l'intersection avec la ligne t + Δ t. Les droites forment un triangle rectangle ABC dont un côté est égal à Δ t(célèbre). L'angle est également connu α . Alors la deuxième branche du triangle rectangle ABC est égale à : un = Δ t tg( α ) . Il est maintenant facile de calculer l’ordonnée du point B. Il se compose de deux segments oui(t) Et un. L'ordonnée symbolise la position du système en un point oui(t + Δ t) . C'est oui(t + Δ t) = oui(t) + un ou plus loin oui(t + Δ t) = oui(t) + Δ t tg( α ) ou, en substituant davantage, nous avons : oui(t + Δ t) = oui(t) + Δ t · oui" et enfin oui(t + Δ t) = oui(t) + Δ t · F(X(t), oui(t), t) . Encore une fois, nous avons obtenu la formule d'Euler (à partir de considérations géométriques).
Cette formule ne peut donner des résultats précis que pour de très petits Δ t(dit à Δ t>0). À Δ t≠0 la formule donne l'écart entre la vraie valeur oui et calculé, égal ε , il doit donc contenir un signe d'égalité approximatif, ou il doit être écrit comme ceci :
oui(t + Δ t) = oui(t) + Δ t · F(X(t), oui(t), t) + ε .
En effet. Jetez un autre coup d’oeil à la Fig. 10.3. Déplaçons mentalement la ligne t + Δ t vers la gauche (en fait, on rapprochera la valeur de Δ tà zéro). Comme il est facile de le constater, la distance BB * = ε , c'est une erreur ! va être réduit. Dans la limite (à Δ t>0) valeur d'erreur ε sera égal à zéro.
Donc, remplacer la courbe réelle par une droite (tangente) sur le segment Δ t, nous introduisons une erreur dans la solution, qui n'aboutit pas au point « 2 » (voir Fig. 10.2), mais à proximité, au point « 3 ». Evidemment, cette méthode numérique comporte une erreur de calcul à chaque étape ε .
On peut voir sur la figure que plus la valeur de Δ est petite t, plus l'erreur de calcul sera petite ε . Autrement dit, calculer le comportement du système sur une longue période de temps (par exemple, à partir de t 0 à t k) pour réduire l'erreur à chaque étape, étapes Δ t gardez-le aussi petit que possible. Pour arriver au point t k segment de ligne (t k t 0) divisé en segments de longueur Δ t; comme ça tout s'arrangera N = (t k t 0)/Δ t pas. À la suite du calcul, vous devrez appliquer la formule d’Euler pour chaque étape, c’est-à-dire N une fois. Mais gardez à l'esprit que les erreurs ε je Sur tout je-ème étape (dans le cas le plus simple), ils s'additionnent et l'erreur totale s'accumule rapidement (voir Fig. 10.4). Et c'est un inconvénient important de cette méthode. Bien qu'en utilisant cette méthode, il soit possible d'obtenir (sous forme numérique) une solution à n'importe quelle équation différentielle (y compris celles insolubles analytiquement). En réduisant le pas, on obtient des solutions plus précises, mais il ne faut pas oublier que l'augmentation du nombre de pas entraîne des coûts de calcul et une diminution des performances. De plus, avec un grand nombre d'itérations, une autre erreur importante est introduite dans le calcul en raison de la précision limitée des ordinateurs et des erreurs d'arrondi.
Tache 1. Étant donné une équation différentielle oui" = 2toui . La position initiale du système est définie : oui(0) = 1 . Besoin de trouver oui(t), c'est-à-dire le comportement du système sur l'intervalle de temps t de 0 à 1.
Méthode analytique pour résoudre le problème 1
oui" = 2toui .
En utilisant la méthode de séparation des variables on trouve :
oui" /oui = 2t
Nous intégrerons de 0 à t je, alors selon les règles d'intégration on a :
La solution analytique résultante se caractérise par le fait qu'elle est absolument précise, mais si l'équation s'avère compliquée, la solution ne sera pas trouvée du tout. La solution analytique n’est pas universelle.
Méthode numérique pour résoudre le problème 1
La méthode numérique de résolution suppose que le calcul sera effectué selon la formule d'Euler en plusieurs étapes successives. A chaque étape, la solution a sa propre erreur (voir Fig. 10.2), puisqu'à chaque étape la courbe est remplacée par un segment de droite.
Dans une implémentation algorithmique, le calcul est implémenté dans un cycle dans lequel le t(comptoir t) Et oui :
Le schéma fonctionnel pour mettre en œuvre la méthode sur un ordinateur est présenté sur la figure. 10.5.
Dans l'implémentation Stratum, l'enregistrement ressemblera à ceci (présence du symbole « ~ » lorsque t ):
Cherchons la valeur oui exemple précédemment considéré sous forme numérique sur l'intervalle de T= 0 à T= 1 . Prenons le nombre de pas n= 10, alors le pas d'incrément Δ t sera: Δ t= (1 0)/ n= (1 0)/10 = 0,1.
| Tableau 10.1. Calcul numérique de l'équation par la méthode d'Euler et comparaison du résultat avec la solution exacte à chaque étape |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| je | t je | oui je = oui je 1 + oui" je 1 · Δ t | oui" je = 2t je · oui je | Δ oui je = oui" je · Δ t | oui je + 1 = oui je + Δ oui je | oui exact = exp( t je 2) |
| 0 | 0.0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0.1 | 1 | 0.2 | 0.02 | 1.02 | 1.0101 |
| 2 | 0.2 | 1.02 | 0.408 | 0.0408 | 1.0608 | 1.0408 |
| 3 | 0.3 | 1.061 | 0.636 | 0.0636 | 1.1246 | 1.0942 |
| 4 | 0.4 | 1.124 | 0.900 | 0.0900 | 1.2140 | 1.1735 |
| 5 | 0.5 | 1.214 | 1.214 | 0.1214 | 1.3354 | 1.2840 |
| 6 | 0.6 | 1.336 | 1.603 | 0.1603 | 1.4963 | 1.4333 |
| 7 | 0.7 | 1.496 | 2.095 | 0.2095 | 1.7055 | 1.6323 |
| 8 | 0.8 | 1.706 | 2.729 | 0.2729 | 1.9789 | 1.8965 |
| 9 | 0.9 | 1.979 | 3.561 | 0.3561 | 2.3351 | 2.2479 |
| 10 | 1.0 | 2.335 | 4.669 | 0.4669 | 2.8019 | 2.7183 |
Veuillez noter que la valeur calculée numériquement ( oui je+ 1 ) est différent de l'exact ( oui exact ), et erreur (différence de colonnes oui je+ 1 et oui exact ) augmente au cours du processus de calcul de la même manière que le montre la Fig. 10.4.
Calculons maintenant l'erreur relative σ pour la valeur calculée oui(1) obtenu numériquement, en comparaison avec l'exact théorique oui théorie selon la formule suivante :
σ = (1 oui cal. / oui théorique) · 100%
et comparer σ à différentes valeurs de Δ t .
Si nous changeons la valeur du pas Δ t, par exemple, réduisez le pas, l'erreur de calcul relative diminuera également. Voici ce que vous obtenez en calculant la valeur oui(1) avec différentes valeurs de pas (voir tableau 10.2).
| Tableau 10.2. Dépendance aux erreurs calcul basé sur la taille du pas Δ t |
|||||||||||||||
| Δ t | oui cal. (1) | oui théorie (1) | σ |
| 1/10 | 2.3346 | 2.7183 | 14% |
| 1/20 | 2.5107 | 2.7183 | 8% |
| 1/100 | 2.6738 | 2.7183 | 2% |
Comme on le voit, avec un pas d'incrément décroissant Δ t l'erreur relative diminue, ce qui signifie que la précision du calcul augmente.
Veuillez noter qu'une modification du pas de 10 fois (de 1/10 à 1/100) entraîne une modification de la valeur d'erreur d'environ 10 fois (de 14 % à 2 %). Lorsque vous modifiez le pas de 100 fois, l'erreur diminuera également d'environ 100 fois. En d’autres termes, la taille du pas et l’erreur de la méthode d’Euler sont liées linéairement. Si vous souhaitez réduire l'erreur de 10 fois, réduisez le pas de 10 fois et augmentez le nombre de calculs en conséquence de 10 fois. Ce fait en mathématiques est généralement désigné par le symbole ε = Ô(Δ t) , et la méthode d'Euler est appelée méthode de précision du premier ordre.
Étant donné que dans la méthode Euler, l'erreur est assez importante et s'accumule d'étape en étape, et que la précision est proportionnelle au nombre de calculs, la méthode Euler est généralement utilisée pour des calculs approximatifs, afin d'évaluer le comportement du système en principe. Pour des calculs quantitatifs précis, des méthodes plus précises sont utilisées.
Remarques
- Chaque méthode numérique est précise car le résultat diffère du résultat théorique. La précision de la méthode dépend de la taille du pas. Différentes méthodes ont une précision différente. L'ordre de dépendance de la précision en fonction de la taille du pas est noté Ô(h) . La méthode d'Euler a une précision du premier ordre et la dépendance de l'erreur sur la taille du pas est linéaire.
- Si, en diminuant le pas, la limite oui n cherche du sens oui théorie , alors la méthode est dite converger. Les chercheurs s’intéressent à la vitesse de convergence de la méthode.
- La méthode doit être durable. La stabilité est associée à une certaine taille de pas critique. Lorsqu'une instabilité se produit, il y a une distorsion complète de l'image qualitative du calcul, un « relâchement » du résultat.
- Lors du choix d'une méthode, il est recommandé d'atteindre d'abord la stabilité et, dans la zone de stabilité, la convergence du résultat. La stabilité garantit une image de qualité. La convergence fournit un résultat quantitatif (voir aussi Fig. 10.10).
Exposé en paragraphes. Expliquons 1-4 avec un exemple.
Exemple. Laisser
Qualitativement, ces équations décrivent le processus d'échange thermique entre deux corps, dont les températures à un moment donné sont notées UN Et B. Du tout UN Et B variables variables dans le temps t. Trouver le comportement du système signifie que vous devez déterminer comment les températures vont changer. UN(t) Et B(t) .
Il est intuitivement clair qu'à la différence de température initiale UN= 8 et B= 5 les températures corporelles devraient progressivement se stabiliser avec le temps, car un corps plus chaud donnera de l'énergie à un corps plus froid et sa température diminuera, et un corps plus froid recevra de l'énergie d'un corps plus chaud et sa température augmentera. Le processus d’échange thermique prendra fin (c’est-à-dire que les changements cesseront) lorsque les températures des deux corps deviendront identiques.
Faisons quelques calculs de comportement UN(t) Et B(t) avec différentes tailles de pas Δ t .
Nous prendrons différentes tailles de pas Δ t et trouvez les valeurs correspondantes UN Et B dans le temps selon les formules d'Euler suivantes :
UN nouveau = UN précédent + ( B précédent ¶ UN préc.) Δ t
,
B nouveau = B précédent + ( UN précédent ¶ B préc.) Δ t
.
Calcul à Δ t= 2 (tableau 10.3).
Le phénomène de « relâchement » est observé (voir Fig. 10.6). Solution non durable. D’un point de vue physique, il est évident que deux corps ne peuvent pas se comporter de cette manière lors d’un échange thermique.
 |
faux. La solution est instable
Calcul à Δ t= 1 (tableau 10.4).
| Tableau 10.4. Changement de température corps au numérique calcul par pas de 1 |
|||||||||||||||
| № étape |
t | UN | B |
| 0 | 0 | 8 | 5 |
| 1 | 1 | 5 | 8 |
| 2 | 2 | 8 | 5 |
Le comportement de la solution du système sur la limite de stabilité est observé (voir Fig. 10.7).
 |
faux. La solution est à la limite de la durabilité
Calcul à Δ t= 0,5 (tableau 10.5).
| Tableau 10.5. Changement de température corps au numérique calcul par incréments de 0,5 |
|||||||||||||||
| № étape |
t | UN | B |
| 0 | 0 | 8 | 5 |
| 1 | 0.5 | 6.5 | 6.5 |
| 2 | 1.0 | 6.5 | 6.5 |
La solution est stable et correspond à l'image qualitative correcte (voir Fig. 10.8). Les températures corporelles se rapprochent progressivement et deviennent les mêmes au fil du temps. Mais la solution comporte encore une grosse erreur.
La solution (comportement du système) comporte une erreur importante
Calcul à Δ t= 0,1 (tableau 10.6).
| Tableau 10.6. Changement de température corps au numérique calcul par incréments de 0,1 |
|||||||||||||||||||||||||||
| № étape |
t | UN | B |
| 0 | 0 | 8 | 5 |
| 1 | 0.1 | 7.7 | 5.3 |
| 2 | 0.2 | 7.46 | 5.54 |
| 3 | 0.3 | 7.27 | 5.73 |
| 4 | 0.4 | 7.12 | 5.88 |
| 5 | 0.5 | 7.00 | 6.00 |
La solution est stable. La solution est plus précise (voir Fig. 10.9).
La solution quantitative est plus précise
Le rôle de la modification de la taille du pas est illustré dans la Fig. 10.10.
