Depuis votre arrivée ici, vous avez probablement déjà vu cette formule dans le manuel

et fais une grimace comme celle-ci :

Ami, ne t'inquiète pas ! En fait, tout est tout simplement scandaleux. Vous comprendrez certainement tout. Une seule demande - lisez l'article lentement, essayez de comprendre chaque étape. J'ai écrit aussi simplement et clairement que possible, mais encore faut-il comprendre l'idée. Et assurez-vous de résoudre les tâches de l'article.

Qu'est-ce qu'une fonction complexe ?

Imaginez que vous déménagez dans un autre appartement et que vous emballez donc vos affaires dans de grandes cartons. Supposons que vous ayez besoin de collecter quelques petits objets, par exemple du matériel d'écriture scolaire. Si vous les jetez simplement dans une énorme boîte, ils se perdront entre autres. Pour éviter cela, vous les mettez d'abord, par exemple, dans un sac, que vous mettez ensuite dans une grande boîte, après quoi vous la scellez. Ce processus « complexe » est présenté dans le schéma ci-dessous :

Il semblerait, qu'est-ce que les mathématiques ont à voir là-dedans ? Oui, malgré le fait qu’une fonction complexe se forme EXACTEMENT DE LA MÊME manière ! Seulement, nous « emballons » non pas des cahiers et des stylos, mais des \(x\), alors que les « paquets » et les « boîtes » sont différents.

Par exemple, prenons x et « emballons-le » dans une fonction :

En conséquence, nous obtenons, bien sûr, \(\cos⁡x\). C'est notre « sac de choses ». Maintenant, mettons-le dans une « boîte » - emballons-le, par exemple, dans une fonction cubique.

Que va-t-il se passer à la fin ? Oui, c’est vrai, il y aura un « sac de choses dans une boîte », c’est-à-dire un « cosinus de X au cube ».

La conception qui en résulte est une fonction complexe. Il diffère du simple en ce sens PLUSIEURS « influences » (packages) sont appliquées à un X à la suite et cela se passe comme si « fonction à partir de la fonction » - « emballage dans l'emballage ».

DANS cours scolaire Il existe très peu de types de ces « packages », seulement quatre :

"Emballons" maintenant X d'abord dans une fonction exponentielle de base 7, puis dans une fonction trigonométrique. On a:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Maintenant, « regroupons » x deux fois dans des fonctions trigonométriques, d'abord dans, puis dans :

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Simple, non ?

Maintenant, écrivez vous-même les fonctions, où x :
- il est d'abord « emballé » dans un cosinus, puis dans une fonction exponentielle de base \(3\) ;
- d'abord à la puissance cinquième, puis à la tangente ;
- d'abord au logarithme en base \(4\) , puis à la puissance \(-2\).

Trouvez les réponses à cette tâche à la fin de l'article.

Pouvons-nous « emballer » X non pas deux, mais trois fois ? Aucun problème! Et quatre, cinq et vingt-cinq fois. Voici, par exemple, une fonction dans laquelle x est « compressé » \(4\) fois :

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mais de telles formules pratique scolaire ne se rencontreront pas (les étudiants ont plus de chance - les choses peuvent être plus difficiles pour eux☺).

"Déballer" une fonction complexe

Regardez à nouveau la fonction précédente. Pouvez-vous comprendre la séquence « emballage » ? Dans quoi X a été inséré en premier, dans quoi ensuite, et ainsi de suite jusqu'à la toute fin. Autrement dit, quelle fonction est imbriquée dans laquelle ? Prenez une feuille de papier et écrivez ce que vous pensez. Vous pouvez le faire avec une chaîne avec des flèches comme nous l'avons écrit ci-dessus ou de toute autre manière.

Maintenant, la bonne réponse est : d’abord, x a été « compressé » dans la \(4\)ième puissance, puis le résultat a été compressé dans un sinus, celui-ci, à son tour, a été placé dans le logarithme à la base \(2\) , et à la fin toute cette construction a été mise dans une puissance cinq.

Autrement dit, vous devez dérouler la séquence DANS L'ORDRE INVERSE. Et voici un indice pour y parvenir plus facilement : regardez immédiatement le X – vous devriez danser dessus. Regardons quelques exemples.

Par exemple, voici la fonction suivante : \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Nous regardons X - que lui arrive-t-il en premier ? Pris de lui. Et puis? La tangente du résultat est prise. La séquence sera la même :

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Autre exemple : \(y=\cos⁡((x^3))\). Analysons - nous avons d'abord divisé X au cube, puis avons pris le cosinus du résultat. Cela signifie que la séquence sera : \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Attention, la fonction semble être similaire à la toute première (où elle a des images). Mais c'est une fonction complètement différente : ici dans le cube se trouve x (c'est-à-dire \(\cos⁡((x·x·x)))\), et là dans le cube se trouve le cosinus \(x\) ( c'est-à-dire \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Cette différence provient de différentes séquences de « packing ».

Le dernier exemple (contenant des informations importantes) : \(y=\sin⁡((2x+5))\). Il est clair qu'ici ils ont d'abord fait des opérations arithmétiques avec x, puis ont pris le sinus du résultat : \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Et c'est un point important : malgré le fait que les opérations arithmétiques ne sont pas des fonctions en elles-mêmes, elles agissent ici aussi comme un moyen de « packaging ». Approfondissons un peu cette subtilité.

Comme je l'ai dit plus haut, dans les fonctions simples, x est « compressé » une fois, et dans les fonctions complexes, deux ou plus. De plus, toute combinaison de fonctions simples (c'est-à-dire leur somme, leur différence, leur multiplication ou leur division) est également une fonction simple. Par exemple, \(x^7\) est une fonction simple, tout comme \(ctg x\). Cela signifie que toutes leurs combinaisons sont des fonctions simples :

\(x^7+ ctg x\) - simple,
\(x^7· lit bébé x\) – simple,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simple, etc.

Cependant, si une fonction supplémentaire est appliquée à une telle combinaison, elle deviendra une fonction complexe, puisqu'il y aura deux « packages ». Voir schéma :

OK, vas-y maintenant. Écrivez la séquence de fonctions de « wrapping » :
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Les réponses se trouvent à nouveau à la fin de l'article.

Fonctions internes et externes

Pourquoi devons-nous comprendre l’imbrication des fonctions ? Qu'est-ce que cela nous donne ? Le fait est que sans une telle analyse, nous ne pourrons pas trouver de manière fiable les dérivées des fonctions évoquées ci-dessus.

Et pour avancer, nous aurons besoin de deux autres concepts : les fonctions internes et externes. C'est une chose très simple, d'ailleurs, en fait, nous les avons déjà analysés plus haut : si l'on se souvient de notre analogie du tout début, alors la fonction interne est un « package », et la fonction externe est une « boîte ». Ceux. ce dans quoi X est « enveloppé » en premier est une fonction interne, et ce dans quoi la fonction interne est « enveloppée » est déjà externe. Eh bien, c'est clair pourquoi - elle est dehors, cela veut dire externe.

Dans cet exemple : \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la fonction \(\log_2⁡x\) est interne, et
- externe.

Et en ceci : \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) est interne, et
- externe.

Terminez la dernière pratique d'analyse de fonctions complexes, et passons enfin à ce pour quoi nous avons tous commencé - nous trouverons les dérivées de fonctions complexes :

Remplissez les espaces vides du tableau :

Dérivée d'une fonction complexe

Bravo à nous, nous sommes enfin arrivés au « patron » de ce sujet - en fait, un dérivé fonction complexe, et plus précisément, à cette formule très terrible du début de l'article.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Cette formule se lit ainsi :

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction externe par rapport à une fonction interne constante et de la dérivée de la fonction interne.

Et regardez immédiatement le diagramme d'analyse « mot par mot » pour comprendre ce que c'est :

J'espère que les termes « dérivé » et « produit » ne posent aucune difficulté. "Fonction complexe" - nous l'avons déjà réglé. Le problème réside dans la « dérivée d’une fonction externe par rapport à une fonction interne constante ». Ce que c'est?

Réponse : Il s'agit de la dérivée habituelle d'une fonction externe, dans laquelle seule la fonction externe change et la fonction interne reste la même. Ce n'est toujours pas clair ? D'accord, utilisons un exemple.

Ayons une fonction \(y=\sin⁡(x^3)\). Il est clair que la fonction interne est ici \(x^3\), et la fonction externe
. Trouvons maintenant la dérivée de l'extérieur par rapport à l'intérieur constant.

Résoudre des problèmes physiques ou des exemples mathématiques est totalement impossible sans la connaissance de la dérivée et des méthodes de calcul. La dérivée est l’un des concepts les plus importants de l’analyse mathématique. Ce sujet fondamental nous avons décidé de consacrer l'article d'aujourd'hui. Qu'est-ce qu'une dérivée, quelle est sa signification physique et géométrique, comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être regroupées en une seule : comment comprendre la dérivée ?

Signification géométrique et physique de la dérivée

Qu'il y ait une fonction f(x) , spécifié dans un certain intervalle (un B) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changer l'argument - la différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s’écrit deltax et est appelé incrément d’argument. Un changement ou un incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs d'une fonction en deux points. Définition du dérivé :

La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro.

Sinon, cela peut s'écrire ainsi :

Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Et voici ce que c'est :

la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphique de la fonction en un point donné.

Signification physique de la dérivée : la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.

En effet, depuis l'école tout le monde sait que la vitesse est un chemin particulier x=f(t) et le temps t . vitesse moyenne pendant une certaine période :

Pour connaître la vitesse de déplacement à un instant donné t0 vous devez calculer la limite :

Première règle : définir une constante

La constante peut être soustraite du signe dérivé. De plus, cela doit être fait. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez-le comme règle : Si vous pouvez simplifier une expression, assurez-vous de la simplifier .

Exemple. Calculons la dérivée :

Deuxième règle : dérivée de la somme des fonctions

La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en va de même pour la dérivée de la différence de fonctions.

Nous ne donnerons pas de démonstration de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.

Trouvez la dérivée de la fonction :

Troisième règle : dérivée du produit de fonctions

La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :

Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :

Solution:

Il est important de parler ici du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.

Dans l'exemple ci-dessus, nous rencontrons l'expression :

Dans ce cas, l’argument intermédiaire est 8x à la puissance cinq. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous calculons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.

Règle quatre : dérivée du quotient de deux fonctions

Formule pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions :

Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez prévenu : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lors du calcul des dérivées.

Pour toute question sur ce sujet ou sur d’autres sujets, vous pouvez contacter le service étudiants. En peu de temps, nous vous aiderons à résoudre les tests les plus difficiles et à comprendre les tâches, même si vous n'avez jamais effectué de calculs de dérivées auparavant.

Dans les manuels « anciens », on l’appelle aussi la règle de la « chaîne ». Donc si y = f (u), et u = φ (x), c'est

y = f (φ (x))

complexe - fonction composée (composition de fonctions) alors

Où , après calcul est considéré à u = φ (x).

A noter qu'ici nous avons pris des compositions « différentes » à partir des mêmes fonctions, et le résultat de la différenciation s'est naturellement avéré dépendre de l'ordre de « mélange ».

La règle de la chaîne s’étend naturellement aux compositions de trois fonctions ou plus. Dans ce cas, il y aura trois « maillons » ou plus dans la « chaîne » qui constitue le dérivé. Voici une analogie avec la multiplication : « nous avons » une table de dérivées ; "là" - table de multiplication ; « avec nous » est la règle de la chaîne et « là » est la règle de multiplication de la « colonne ». Lors du calcul de telles dérivées « complexes », aucun argument auxiliaire (u¸v, etc.), bien sûr, n'est introduit, mais, ayant noté par eux-mêmes le nombre et la séquence de fonctions impliquées dans la composition, les liens correspondants sont « enfilés » dans l'ordre indiqué.

. Ici, avec le « x » pour obtenir la valeur du « y », cinq opérations sont effectuées, c'est-à-dire qu'il y a une composition de cinq fonctions : « externe » (la dernière d'entre elles) - exponentielle - e  ; puis dans l'ordre inverse, la puissance. (♦) 2 ; péché trigonométrique(); calme. () 3 et enfin logarithmique ln.(). C'est pourquoi

Avec les exemples suivants, nous allons « faire d'une pierre deux coups » : nous nous entraînerons à différencier des fonctions complexes et à ajouter au tableau des dérivées fonctions élémentaires. Donc:

4. Pour une fonction puissance - y = x α - en la réécrivant en utilisant la célèbre « identité logarithmique de base » - b=e ln b - sous la forme x α = x α ln x on obtient

5. Pour une fonction exponentielle arbitraire, en utilisant la même technique que nous aurons

6. Pour une fonction logarithmique arbitraire, en utilisant la formule bien connue de transition vers une nouvelle base, on obtient systématiquement

.

7. Pour différencier la tangente (cotangente), on utilise la règle de différenciation des quotients :

Pour obtenir les dérivées des fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons la relation qui est satisfaite par les dérivées de deux fonctions mutuellement inverses, c'est-à-dire les fonctions φ (x) et f (x) liées par les relations :

C'est le rapport

C'est à partir de cette formule pour les fonctions mutuellement inverses

Et
,

Enfin, résumons ces dérivées et quelques autres qui sont également facilement obtenues dans le tableau suivant.

Sur lequel nous avons examiné les dérivées les plus simples, et nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et certaines techniques techniques pour trouver des dérivées. Ainsi, si vous n'êtes pas très doué avec les dérivées de fonctions ou si certains points de cet article ne sont pas tout à fait clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, soyez d'humeur sérieuse - le matériel n'est pas simple, mais je vais quand même essayer de le présenter simplement et clairement.

En pratique, il faut très souvent avoir affaire à la dérivée d'une fonction complexe, je dirais même presque toujours, lorsqu'on vous confie des tâches pour trouver des dérivées.

On regarde le tableau de la règle (n°5) de différenciation d'une fonction complexe :

Voyons cela. Tout d’abord, faisons attention à l’entrée. Ici, nous avons deux fonctions - et , et la fonction, au sens figuré, est imbriquée dans la fonction . Une fonction de ce type (lorsqu’une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée fonction complexe.

j'appellerai la fonction fonction externe, et la fonction – fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas apparaître dans la conception finale des missions. J'utilise des expressions informelles « fonction externe », fonction « interne » uniquement pour vous faciliter la compréhension du matériel.

Pour clarifier la situation, considérons :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre « X », mais une expression entière, donc trouver la dérivée directement à partir du tableau ne fonctionnera pas. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer ici les quatre premières règles, il semble y avoir une différence, mais le fait est que le sinus ne peut pas être « déchiré en morceaux » :

DANS dans cet exemple Il ressort déjà intuitivement de mes explications qu'une fonction est une fonction complexe et qu'un polynôme est une fonction interne (intégration) et une fonction externe.

Premier pas ce que vous devez faire pour trouver la dérivée d'une fonction complexe est de comprendre quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Quand exemples simples Il semble clair qu’un polynôme est intégré sous le sinus. Et si tout n’était pas évident ? Comment déterminer avec précision quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je propose d'utiliser la technique suivante, qui peut être réalisée mentalement ou par brouillon.

Imaginons que nous devions calculer la valeur de l'expression sur une calculatrice (au lieu d'une, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que va-t-on calculer en premier ? Tout d'abord il faudra le faire Prochaine action: , donc le polynôme sera une fonction interne :

Deuxièmement il faudra trouver, donc sinus – sera une fonction externe :

Après nous ÉPUISÉ avec les fonctions internes et externes, il est temps d’appliquer la règle de différenciation des fonctions complexes .

Commençons par décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception d'une solution à toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

D'abord on trouve la dérivée de la fonction externe (sinus), regarde le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et remarque que . Toutes les formules du tableau sont également applicables si « x » est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Veuillez noter que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, c'est bien évident que

Le résultat de l'application de la formule dans sa forme finale, cela ressemble à ceci :

Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :

En cas de malentendu, notez la solution sur papier et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Voyons où nous avons une fonction externe et où nous avons une fonction interne. Pour ce faire, on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de calculer la valeur de l'expression en . Que devez-vous faire en premier ? Tout d'abord, il faut calculer à quoi est égale la base : le polynôme est donc la fonction interne :

Et ce n'est qu'alors que l'exponentiation est effectuée. Par conséquent, la fonction puissance est une fonction externe :

D'après la formule , vous devez d’abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. On recherche la formule recherchée dans le tableau : . Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valable non seulement pour « X », mais aussi pour une expression complexe. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant:

J'insiste encore sur le fait que lorsque l'on prend la dérivée de la fonction externe, notre fonction interne ne change pas :

Il ne reste plus qu'à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à peaufiner un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante(réponse à la fin de la leçon).

Pour consolider votre compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayer de le comprendre par vous-même, raisonner où se trouve la fonction externe et où se trouve la fonction interne, pourquoi les tâches sont résolues de cette façon ?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée de la fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons ici une racine, et pour différencier la racine, il faut la représenter comme une puissance. Ainsi, nous mettons d’abord la fonction sous la forme appropriée à la différenciation :

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme des trois termes est une fonction interne, et que l'élévation à une puissance est une fonction externe. Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes :

Nous représentons à nouveau le degré comme un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne nous appliquons une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également donner l'expression entre parenthèses à dénominateur commun et écrivez tout comme une seule fraction. C'est beau, bien sûr, mais quand on a des dérivées longues encombrantes, il vaut mieux ne pas faire ça (il est facile de se tromper, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Il est intéressant de noter que parfois au lieu de la règle de différenciation d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle de différenciation d'un quotient , mais une telle solution ressemblera à une perversion inhabituelle. Voici un exemple typique:

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient , mais il est bien plus rentable de trouver la dérivée par la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous retirons le moins du signe dérivé et élevons le cosinus au numérateur :

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Utilisons notre règle :

Nous trouvons la dérivée de la fonction interne et réinitialisons le cosinus :

Prêt. Dans l’exemple considéré, il est important de ne pas se tromper dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre en utilisant la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Jusqu’à présent, nous avons examiné des cas où nous n’avions qu’une seule imbrication dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées gigognes, les unes dans les autres, 3 voire 4 à 5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Comprenons les pièces jointes de cette fonction. Essayons de calculer l'expression en utilisant la valeur expérimentale. Comment pourrions-nous compter sur une calculatrice ?

Vous devez d’abord trouver , ce qui signifie que l’arc sinus est l’intégration la plus profonde :

Cet arc sinus de un doit alors être au carré :

Et enfin, on élève sept à la puissance :

Autrement dit, dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux incorporations, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Commençons par décider

Selon la règle Vous devez d’abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée de la fonction exponentielle : la seule différence est qu'au lieu de « x », nous avons une expression complexe, ce qui n'annule pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant.

Les fonctions type complexe ne correspondent pas toujours à la définition d’une fonction complexe. S'il existe une fonction de la forme y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, alors elle ne peut pas être considérée comme complexe, contrairement à y = sin 2 x.

Cet article montrera le concept de fonction complexe et son identification. Travaillons avec des formules pour trouver la dérivée avec des exemples de solutions en conclusion. L'utilisation de la table de dérivées et des règles de différenciation réduit considérablement le temps nécessaire pour trouver la dérivée.

Définitions basiques

Définition 1

Une fonction complexe est une fonction dont l’argument est aussi une fonction.

Il est noté ainsi : f (g (x)). Nous avons que la fonction g (x) est considérée comme un argument f (g (x)).

Définition 2

S'il existe une fonction f et qu'elle est une fonction cotangente, alors g(x) = ln x est la fonction un algorithme naturel. Nous constatons que la fonction complexe f (g (x)) s’écrira arctg(lnx). Soit une fonction f, qui est une fonction élevée à la puissance 4, où g (x) = x 2 + 2 x - 3 est considérée comme une fonction rationnelle entière, on obtient que f (g (x)) = (x 2 + 2x-3) 4 .

Évidemment, g(x) peut être complexe. D'après l'exemple y = sin 2 x + 1 x 3 - 5, il est clair que la valeur de g a la racine cubique de la fraction. Cette expression peut être notée y = f (f 1 (f 2 (x))). D'où on a que f est une fonction sinusoïdale, et f 1 est une fonction située sous racine carrée, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - fonction rationnelle fractionnaire.

Définition 3

Le degré d'imbrication est déterminé par tout entier naturel et s'écrit y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Définition 4

Le concept de composition de fonctions fait référence au nombre de fonctions imbriquées selon les conditions du problème. Pour résoudre, utilisez la formule pour trouver la dérivée d'une fonction complexe de la forme

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemples

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction complexe de la forme y = (2 x + 1) 2.

Solution

La condition montre que f est une fonction quadratique et que g(x) = 2 x + 1 est considéré comme une fonction linéaire.

Appliquons la formule dérivée pour une fonction complexe et écrivons :

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Il faut trouver la dérivée avec une forme originale simplifiée de la fonction. On a:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De là, nous avons ça

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Les résultats étaient les mêmes.

Lors de la résolution de problèmes de ce type, il est important de comprendre où se situera la fonction de forme f et g (x).

Exemple 2

Vous devriez trouver les dérivées de fonctions complexes de la forme y = sin 2 x et y = sin x 2.

Solution

La première notation de fonction dit que f est la fonction de quadrature et g(x) est la fonction sinusoïdale. Ensuite, nous obtenons cela

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

La deuxième entrée montre que f est une fonction sinusoïdale et que g(x) = x 2 est noté fonction de puissance. Il s’ensuit que nous écrivons le produit d’une fonction complexe sous la forme

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La formule de la dérivée y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) s'écrira y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x))) )) )) · . . . fn "(x)

Exemple 3

Trouvez la dérivée de la fonction y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solution

Cet exemple montre la difficulté d’écrire et de déterminer l’emplacement des fonctions. Alors y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) désigne où f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) est la fonction sinusoïdale, la fonction d'augmentation à 3 degrés, fonction avec logarithme et base e, fonction arctangente et linéaire.

De la formule pour définir une fonction complexe, nous avons cela

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Nous obtenons ce dont nous avons besoin pour trouver

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) comme dérivée du sinus selon le tableau des dérivées, puis f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) comme dérivée d'une fonction puissance, alors f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) comme dérivée logarithmique, alors f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) comme dérivée de l'arctangente, alors f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Lors de la recherche de la dérivée f 4 (x) = 2 x, supprimez 2 du signe de la dérivée en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction puissance avec un exposant égal à 1, alors f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Nous combinons les résultats intermédiaires et obtenons cela

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

L’analyse de telles fonctions n’est pas sans rappeler celle des poupées gigognes. Les règles de différenciation ne peuvent pas toujours être appliquées explicitement à l'aide d'une table dérivée. Vous devez souvent utiliser une formule pour trouver des dérivées de fonctions complexes.

Il existe certaines différences entre l'apparence complexe et les fonctions complexes. Avec une capacité claire à distinguer cela, trouver des dérivés sera particulièrement facile.

Exemple 4

Doit être pris en compte lors du casting exemple similaire. S'il existe une fonction de la forme y = t g 2 x + 3 t g x + 1, alors elle peut être considérée comme une fonction complexe de la forme g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Évidemment, il faut utiliser la formule d'une dérivée complexe :

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Une fonction de la forme y = t g x 2 + 3 t g x + 1 n'est pas considérée comme complexe, car elle a la somme de t g x 2, 3 t g x et 1. Cependant, t g x 2 est considéré comme une fonction complexe, on obtient alors une fonction puissance de la forme g (x) = x 2 et f, qui est une fonction tangente. Pour ce faire, différenciez par montant. Nous obtenons cela

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 parce que 2 x

Passons à la recherche de la dérivée d'une fonction complexe (t g x 2) » :

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

On obtient que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Les fonctions d'un type complexe peuvent être incluses dans des fonctions complexes, et les fonctions complexes elles-mêmes peuvent être des composants de fonctions d'un type complexe.

Exemple 5

Par exemple, considérons une fonction complexe de la forme y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Cette fonction peut être représentée par y = f (g (x)), où la valeur de f est fonction du logarithme en base 3, et g (x) est considéré comme la somme de deux fonctions de la forme h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 et k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Évidemment, y = f (h (x) + k (x)).

Considérons la fonction h(x). C'est le rapport l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 à m (x) = e x 2 + 3 3

On a que l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) est la somme de deux fonctions n (x) = x 2 + 7 et p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , où p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) est une fonction complexe avec un coefficient numérique 3, et p 1 est une fonction cubique, p 2 par une fonction cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 par une fonction linéaire.

Nous avons constaté que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) est la somme de deux fonctions q (x) = e x 2 et r (x) = 3 3, où q (x) = q 1 (q 2 (x)) est une fonction complexe, q 1 est une fonction avec une exponentielle, q 2 (x) = x 2 est une fonction puissance.

Cela montre que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Lorsqu'on passe à une expression de la forme k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), il est clair que la fonction se présente sous la forme d'un complexe s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) avec un entier rationnel t (x) = x 2 + 1, où s 1 est une fonction quadratique, et s 2 (x) = ln x est logarithmique avec base e.

Il s'ensuit que l'expression prendra la forme k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Ensuite, nous obtenons cela

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sur la base des structures de la fonction, il est devenu clair comment et quelles formules doivent être utilisées pour simplifier l'expression lors de sa différenciation. Pour se familiariser avec de tels problèmes et le concept de leur solution, il faut se tourner vers la différenciation d'une fonction, c'est-à-dire trouver sa dérivée.

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