Trouver:
a) paramètre A ;
b) fonction de distribution F(x) ;
c) la probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'intervalle ;
d) espérance mathématique MX et variance DX.
Tracez un graphique des fonctions f(x) et F(x).
Tâche 2. Trouvez la variance de la variable aléatoire X donnée par la fonction intégrale.
Tâche 3. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire X étant donné la fonction de distribution.
Tâche 4. La densité de probabilité d'une variable aléatoire est donnée comme suit : f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Trouvez le coefficient A, la fonction de distribution F(x), l'espérance mathématique et la variance, ainsi que la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur dans l'intervalle. Dessinez les graphiques f(x) et F(x).
Tâche. La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est donnée comme suit :
Déterminez les paramètres a et b, trouvez une expression pour la densité de probabilité f(x), l'espérance mathématique et la variance, ainsi que la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur dans l'intervalle. Dessinez des graphiques de f(x) et F(x).
Trouvons la fonction de densité de distribution comme dérivée de la fonction de distribution.
F′=f(x)=a
Sachant que l'on retrouvera le paramètre a : 
ou 3a=1, d'où a = 1/3
On retrouve le paramètre b à partir des propriétés suivantes :
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 d'où b = -1/3
La fonction de distribution a donc la forme : F(x) = (x-1)/3
Dispersion.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Trouvons la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur dans l'intervalle
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Exemple n°1. La densité de distribution de probabilité f(x) d'une variable aléatoire continue X est donnée. Requis:
- Déterminer le coefficient A.
- trouver la fonction de distribution F(x) .
- Construisez schématiquement des graphiques de F(x) et f(x).
- trouver l’espérance mathématique et la variance de X.
- trouvez la probabilité que X prenne une valeur de l’intervalle (2;3).
Solution:
La variable aléatoire X est spécifiée par la densité de distribution f(x) :
Trouvons le paramètre A à partir de la condition :
ou
14/3*A-1 = 0
Où,
A = 3/14
La fonction de distribution peut être trouvée à l'aide de la formule.
Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue, sa définition, ses propriétés et son graphique.
On dit qu'une variable aléatoire X a une distribution (distribuée) de densité 
sur une certaine section de l'axe des x. Densité de probabilité 
, comme la fonction de distribution F(x), est une des formes de la loi de distribution, mais contrairement à la fonction de distribution, elle n'existe que pour continu
Variables aléatoires
. La densité de probabilité est parfois appelée fonction différentielle
ou loi de distribution différentielle
. Diagramme de densité de probabilité 
appelé courbe de distribution
.
Propriétés de la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue.
☺
comme dérivée d'une fonction monotone non décroissante F(x). ☻
☺ 
D'après la propriété 4 de la fonction de distribution. Puisque F(x) est une primitive de la densité de probabilité 
(parce que 
, alors d'après la formule de Newton-Leibniz, l'incrément de la primitive sur le segment [a,b] est une intégrale définie 
.
☻
La probabilité géométriquement obtenue est égale à l'aire de la figure délimitée en haut par la courbe de distribution et basée sur le segment [a,b] (Fig. 3.8).
La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue peut être exprimée en termes de densité de probabilité selon la formule:
.
Géométriquement, la fonction de distribution est égale à l'aire de la figure délimitée au-dessus de la courbe de distribution et située à gauche du point x (Fig. 3.9).
Géométriquement, les propriétés 1 et 4 de la densité de probabilité signifient que son graphique - la courbe de distribution - ne se situe pas en dessous de l'axe des abscisses et que l'aire totale de la figure délimitée par la courbe de distribution et l'axe des abscisses est égale à un.
Une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale, son espérance mathématique et sa variance. Loi de distribution de Poisson.
Définition. La variable aléatoire discrète X a loi de distribution binomiale avec paramètres npq, s'il prend les valeurs 0, 1, 2,..., m,... ,n avec probabilités
où 0<р Comme nous le voyons, les probabilités P(X=m) sont trouvées à l'aide de la formule de Bernoulli, donc la loi de distribution binomiale est la loi de distribution du nombre X=m occurrences de l'événement A dans n essais indépendants, dans chacun desquels il peut se produire avec la même probabilité p . La série de distribution de la loi binomiale a la forme : Il est évident que la définition de la loi binomiale est correcte, car propriété principale d'une série de distribution Valeur attendue
variable aléatoire X, distribuée selon la loi binomiale, Définition.
La variable aléatoire discrète X a Loi de distribution de Poisson
avec paramètre λ > 0, s'il prend les valeurs 0, 1, 2,..., m, ... (un ensemble de valeurs infini mais dénombrable) avec probabilités La série de distribution de la loi de Poisson a la forme : Il est évident que la définition de la loi de Poisson est correcte, puisque la propriété principale de la série de distribution En figue. La figure 4.1 montre un polygone (polygone) de la distribution d'une variable aléatoire distribuée selon la loi de Poisson Р(Х=m)=Р m (λ) avec des paramètres λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5. Théorème.
Attente et écart
d'une variable aléatoire distribuée selon la loi de Poisson coïncident et sont égaux au paramètre λ de cette loi, c'est-à-dire Ci-dessus, une variable aléatoire continue a été spécifiée à l'aide de la fonction de distribution. Cette méthode d'affectation n'est pas la seule. Une variable aléatoire continue peut également être spécifiée à l'aide d'une fonction appelée densité de distribution
ou densité de probabilité
(souvent appelé fonction différentielle
). La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X appeler la fonction f(x)- dérivée première de la fonction de distribution F(x):
f (x) = F" (x). De cette définition, il résulte que la fonction de distribution est primitive
pour la densité de distribution. Connaissant la densité de distribution, vous pouvez calculer la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur appartenant à un intervalle donné. Théorème. La probabilité qu'une variable aléatoire continue X prendra une valeur appartenant à l'intervalle ( un B), est égal à une certaine intégrale de la densité de distribution, prise dans la plage allant de UN avant b: Connaître la densité de distribution f(x), on peut trouver la fonction de distribution F(x) selon la formule Propriétés de densité de distribution : Propriété 1. La densité de distribution est une fonction non négative : Géométriquement, cette propriété signifie que les points appartenant au graphe de densité de distribution sont situés soit au dessus de l'axe Oh, ou sur cet axe. Le graphique de densité de distribution s'appelle courbe de distribution
. Propriété 2. Intégrale impropre de la densité de distribution allant de Géométriquement, cela signifie que toute l'aire du trapèze curviligne délimitée par l'axe Ox et la courbe de répartition est égale à un. En particulier, si toutes les valeurs d'une variable aléatoire appartiennent à l'intervalle ( un B), Que Attente d'une variable aléatoire discrète La loi de distribution caractérise pleinement la variable aléatoire. Cependant, celle-ci est souvent inconnue à l’avance et il faut recourir à des informations indirectes. Dans de nombreux cas, ces caractéristiques indirectes sont tout à fait suffisantes pour résoudre des problèmes pratiques et il n'est pas nécessaire de déterminer la loi de distribution. De telles caractéristiques sont appelées caractéristiques numériques
ticks d'une variable aléatoire. Et le premier d’entre eux est l’espérance mathématique. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète X est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles ( X 1 , X 2 , …, xn) sur leur probabilité ( p 1 , p 2 , …, pn):
Il convient de noter que M(X) Il y a non aléatoire
(constante. On peut prouver que M(X) est à peu près égal (et plus précis, plus le nombre de tests est grand n) la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire. L’espérance mathématique a la forme suivante propriétés:
· Valeur attendue constante
égal au plus constant : · Multiplicateur constant
peut être considéré comme un signe d’attente mathématique : · Valeur attendue travaux
deux variables aléatoires indépendantes X Et Oui(c'est-à-dire que la loi de distribution de l'un d'eux ne dépend pas des valeurs possibles de l'autre) est égale au produit de leurs espérances mathématiques : · Valeur attendue les montants
deux variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des termes : Ici sous montant
X+Y les variables aléatoires sont comprises comme une nouvelle variable aléatoire dont les valeurs sont égales aux sommes de chaque valeur X avec toutes les valeurs possibles Oui; probabilités de valeurs possibles X+Y pour les variables aléatoires indépendantes X Et Oui sont égaux aux produits des probabilités des termes, et pour les dépendants - aux produits des probabilités d'un terme par la probabilité conditionnelle de l'autre. Donc si X Et Oui– leurs lois de distribution sont également indépendantes · Si produit n tests indépendants, en dont chacun est la probabilité d'un événement UN est constant et égal p, alors l'espérance mathématique nombre d'apparitions
événements UN dans la serie: Notez que les propriétés trois et quatre sont facilement généralisables pour n’importe quel nombre de variables aléatoires. Variance d'une variable aléatoire discrète La valeur attendue est une caractéristique pratique, mais elle n'est souvent pas suffisante pour juger des valeurs possibles d'une variable aléatoire ou de la manière dont elles dispersé
autour de la valeur moyenne. Par conséquent, d’autres caractéristiques numériques sont introduites. Laisser X– variable aléatoire avec espérance mathématique M(X). Déviation
X 0 est la différence entre une variable aléatoire et son espérance mathématique : Espérance mathématique d'écart M(X 0) = 0. Exemple. Soit la loi de distribution de la quantité X: L'écart est une caractéristique intermédiaire, sur la base de laquelle nous introduisons une caractéristique plus pratique. Variance
(dispersion
) La variable aléatoire discrète est l'espérance mathématique de l'écart carré de la variable aléatoire : Par exemple, trouvons la dispersion de la quantité X avec la loi de répartition suivante : Ici . Variation requise : Le degré de variance est déterminé non seulement par les valeurs de la variable aléatoire, mais également par leurs probabilités. Par conséquent, si deux variables aléatoires ont des attentes mathématiques identiques ou similaires (cela se produit assez souvent), alors les variances sont généralement différentes. Cela nous permet de caractériser davantage la variable aléatoire étudiée. Listons les propriétés de dispersion : · Écart constante
les quantités sont égales à zéro : · Multiplicateur constant
peut être retiré du signe de dispersion en le mettant au carré : · Écart les montants
Et différences
deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme des variances de ces variables : · Écart nombre d'apparitions
événements UN V n tests indépendants, dans chacun desquels la probabilité P. survenance d'un événement constante
, est déterminé par la formule : Où Une caractéristique auxiliaire pratique utilisée dans les calculs encore plus souvent que D(X), est écart-type
(ou standard
) Variable aléatoire: Le fait est que D(X) a la dimension du carré de la dimension de la variable aléatoire, et la dimension de la norme X) est la même que celle de la variable aléatoire X. Ceci est très pratique pour estimer la propagation d’une variable aléatoire. Exemple. Soit une variable aléatoire donnée par la distribution : On calcule : m, et norme : m. Par conséquent, à propos de la variable aléatoire X on peut dire soit - son espérance mathématique est de 6,4 m avec une dispersion de 13,04 m 2, soit - son espérance mathématique est de 6,4 m avec une dispersion de 13,04 m 2 Noter que pour le montant
n variables aléatoires indépendantes : Points théoriques initiaux et centraux Pour les calculs les plus pratiques des caractéristiques numériques présentées ci-dessus MX),DX)et X) assez. Cependant, pour étudier le comportement des variables aléatoires, vous pouvez également utiliser des caractéristiques numériques supplémentaires qui vous permettent de suivre les nuances du comportement d'une variable aléatoire et de généraliser la théorie ci-dessus. Le moment initial du kème ordre d'une variable aléatoire X s'appelle l'espérance mathématique de la quantité X k :
Soit $X$ une variable aléatoire continue avec fonction de distribution de probabilité $F(x)$. Rappelons la définition de la fonction de distribution : Définition 1 Une fonction de distribution est une fonction $F(x)$ satisfaisant la condition $F\left(x\right)=P(X Puisque la variable aléatoire est continue, alors, comme nous le savons déjà, la fonction de distribution de probabilité $F(x)$ sera une fonction continue. Soit $F\left(x\right)$ également différentiable sur tout le domaine de définition. Considérons l'intervalle $(x,x+\triangle x)$ (où $\triangle x$ est l'incrément de valeur $x$). Sur lui Maintenant, en dirigeant les valeurs d'incrément de $\triangle x$ vers zéro, nous obtenons : Image 1. On obtient ainsi : La densité de distribution, comme la fonction de distribution, est l'une des formes de la loi de distribution d'une variable aléatoire. Cependant, la loi de distribution ne peut être écrite à travers la densité de distribution que pour des variables aléatoires continues. Définition 3 La courbe de distribution est un graphique de la fonction $\varphi \left(x\right)$ de la densité de distribution d'une variable aléatoire (Fig. 1). Figure 2. Diagramme de distribution de densité. Signification géométrique 1 : La probabilité qu'une variable aléatoire continue tombe dans l'intervalle $(\alpha ,\beta)$ est égale à l'aire du trapèze curviligne délimitée par le graphique de la fonction de distribution $\varphi \left(x\right)$ et les droites $x=\alpha ,$ $x=\beta $ et $y=0$ (Fig. 2). Figure 3. Représentation géométrique de la probabilité qu'une variable aléatoire continue tombe dans l'intervalle $(\alpha ,\beta)$. Signification géométrique 2 : L'aire d'un trapèze curviligne infini délimité par le graphique de la fonction de distribution $\varphi \left(x\right)$, la ligne $y=0$ et la variable de ligne $x$ n'est rien de plus que la fonction de distribution $F(x)$ (Fig. 3 ). Figure 4. Représentation géométrique de la fonction de probabilité $F(x)$ à travers la densité de distribution $\varphi \left(x\right)$. Exemple 1 Soit la fonction de distribution $F(x)$ d'une variable aléatoire $X$ avoir la forme suivante. Propriétés de la densité de distribution Tout d’abord, rappelons ce qu’est la densité de distribution : Considérez les propriétés de la densité de distribution : Propriété 1 : La fonction de densité de distribution $\varphi (x)$ est non négative : Preuve. Nous savons que la fonction de distribution $F(x)$ est une fonction non décroissante. De la définition, il s'ensuit que $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, et la dérivée d'une fonction non décroissante est une fonction non négative. Géométriquement, cette propriété signifie que le graphique de la fonction $\varphi \left(x\right)$ de la densité de distribution est soit au-dessus, soit sur l'axe $Ox$ lui-même (Fig. 1) Figure 1. Illustration de l'inégalité $\varphi (x)\ge 0$. Propriété 2 : L'intégrale impropre de la fonction de densité de distribution dans la plage allant de $-\infty $ à $+\infty $ est égale à 1 : Preuve. Rappelons la formule pour trouver la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle $(\alpha ,\beta)$ : Figure 2. Trouvons la probabilité que la variable aléatoire tombe dans l'intervalle $(-\infty ,+\infty $) : Figure 3. Évidemment, la variable aléatoire tombera toujours dans l'intervalle $(-\infty ,+\infty $), par conséquent, la probabilité d'un tel succès est égale à un. On a: Géométriquement, la deuxième propriété signifie que l'aire d'un trapèze curviligne délimité par le graphique de la fonction de densité de distribution $\varphi (x)$ et l'axe des x est numériquement égale à un. On peut aussi formuler la propriété inverse : Propriété 3 : Toute fonction non négative $f(x)\ge 0$ satisfaisant l'égalité $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ est une fonction de densité de distribution une variable aléatoire continue. Donnons à la variable $x$ un incrément de $\triangle x$. Signification probabiliste de la densité de distribution : La probabilité qu'une variable aléatoire continue $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $(x,x+\triangle x)$ est approximativement égale au produit de la densité de distribution de probabilité au point $x$ par l'incrément $\triangle x$ : Figure 4. Illustration géométrique de la signification probabiliste de la densité de distribution d'une variable aléatoire continue. Exemple 1 La fonction de densité de probabilité a la forme : Graphique 5. Graphique 6. En utilisant la propriété 2, on obtient : \[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\] Autrement dit, la fonction de densité de distribution a la forme : Graphique 7. Figure 8. Exemple 2 La fonction de densité de distribution a la forme $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$ (Rappelez-vous que $chx$ est un cosinus hyperbolique). Trouvez la valeur du coefficient $\alpha $. Solution. Utilisons la deuxième propriété : \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limites^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\] Puisque $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, alors \[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \] Ainsi: \[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]
fait parce que 
n'est rien de plus que la somme de tous les termes du développement du binôme de Newton :
et sa variation 
,
satisfait, car la somme de la série.
Et 
.
.
avant 
égal à un :
.
.
.
.
.
.
.
.
,
– probabilité de non-survenance d'un événement.
. X
2m 3m 10m
P.
0,1
0,4
0,5
m) La seconde formulation est évidemment plus claire.
Signification probabiliste de la densité de distribution
Exemples de résolution de problèmes utilisant les propriétés de la densité de distribution
