Cours et présentation sur le thème : "Une fonction primitive. Graphique d'une fonction"

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Fonction primitive. Introduction

Les gars, vous savez comment trouver des dérivées de fonctions en utilisant diverses formules et règles. Aujourd'hui, nous allons étudier l'opération inverse de calcul de la dérivée. La notion de dérivée est souvent utilisée dans la vraie vie. Permettez-moi de vous rappeler : la dérivée est le taux de variation d'une fonction à un point précis. Les processus impliquant le mouvement et la vitesse sont bien décrits en ces termes.

Regardons ce problème : " La vitesse d'un objet se déplaçant en ligne droite est décrite par la formule $V=gt$. Elle est nécessaire pour restaurer la loi du mouvement. "
Solution.
On connaît bien la formule : $S"=v(t)$, où S est la loi du mouvement.
Notre tâche revient à trouver une fonction $S=S(t)$ dont la dérivée est égale à $gt$. En regardant attentivement, vous pouvez deviner que $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Vérifions l'exactitude de la solution à ce problème : $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Connaissant la dérivée de la fonction, nous avons trouvé la fonction elle-même, c'est-à-dire que nous avons effectué l'opération inverse.
Mais cela vaut la peine de prêter attention à ce point. La solution à notre problème nécessite des éclaircissements ; si nous ajoutons un nombre (constant) à la fonction trouvée, alors la valeur de la dérivée ne changera pas : $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Les gars, faites attention : notre problème a une infinité de solutions !
Si le problème ne spécifie pas de condition initiale ou autre, n'oubliez pas d'ajouter une constante à la solution. Par exemple, notre tâche peut préciser la position de notre corps au tout début du mouvement. Il n'est alors pas difficile de calculer la constante : en substituant zéro dans l'équation résultante, nous obtenons la valeur de la constante.

Comment s’appelle cette opération ?
L’opération inverse de différenciation est appelée intégration.
Trouver une fonction à partir d'une dérivée donnée – intégration.
La fonction elle-même sera appelée primitive, c'est-à-dire l'image à partir de laquelle la dérivée de la fonction a été obtenue.
Il est d'usage d'écrire la primitive avec une lettre majuscule $y=F"(x)=f(x)$.

Définition. La fonction $y=F(x)$ est appelée la primitive de la fonction $у=f(x)$ sur l'intervalle X si pour tout $хϵХ$ l'égalité $F'(x)=f(x)$ est vraie .

Créons un tableau de primitives pour diverses fonctions. Il doit être imprimé à titre de rappel et mémorisé.

Dans notre tableau, aucune condition initiale n'a été spécifiée. Cela signifie qu'une constante doit être ajoutée à chaque expression du côté droit du tableau. Nous clarifierons cette règle plus tard.

Règles pour trouver des primitives

Écrivons quelques règles qui nous aideront à trouver des primitives. Elles sont toutes semblables aux règles de différenciation.

Règle 1. La primitive d’une somme est égale à la somme des primitives. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Exemple.
Trouvez la primitive de la fonction $y=4x^3+cos(x)$.
Solution.
La primitive de la somme est égale à la somme des primitives, il faut alors trouver la primitive pour chacune des fonctions présentées.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Alors la primitive de la fonction d'origine sera : $y=x^4+sin(x)$ ou toute fonction de la forme $y=x^4+sin(x)+C$.

Règle 2. Si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors $k*F(x)$ est une primitive de la fonction $k*f(x)$.(On peut facilement prendre le coefficient en fonction).

Exemple.
Trouver des primitives de fonctions :
une) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Solution.
a) La primitive de $sin(x)$ est moins $cos(x)$. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=-8cos(x)$.

B) La primitive de $cos(x)$ est $sin(x)$. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) La primitive de $x^2$ est $\frac(x^3)(3)$. La primitive de x est $\frac(x^2)(2)$. La primitive de 1 est x. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Règle 3. Si $у=F(x)$ est une primitive de la fonction $y=f(x)$, alors la primitive de la fonction $y=f(kx+m)$ est la fonction $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Exemple.
Trouvez les primitives des fonctions suivantes :
une) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Solution.
a) La primitive de $cos(x)$ est $sin(x)$. Alors la primitive de la fonction $y=cos(7x)$ sera la fonction $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) La primitive de $sin(x)$ est moins $cos(x)$. Alors la primitive de la fonction $y=sin(\frac(x)(2))$ sera la fonction $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) La primitive de $x^3$ est $\frac(x^4)(4)$, puis la primitive de la fonction d'origine $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Simplifiez légèrement l'expression à la puissance $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
La primitive d'une fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. La primitive de la fonction d'origine sera $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Théorème. Si $y=F(x)$ est une primitive de la fonction $y=f(x)$ sur l'intervalle X, alors la fonction $y=f(x)$ a une infinité de primitives, et toutes ont la forme $y=F( x)+С$.

Si dans tous les exemples considérés ci-dessus il était nécessaire de trouver l'ensemble de toutes les primitives, alors la constante C devrait être ajoutée partout.
Pour la fonction $y=cos(7x)$ toutes les primitives ont la forme : $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Pour la fonction $y=(-2x+3)^3$ toutes les primitives ont la forme : $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Exemple.
Étant donné la loi du changement de vitesse d'un corps au fil du temps $v=-3sin(4t)$, trouvez la loi du mouvement $S=S(t)$ si à l'instant initial le corps avait une coordonnée égale à 1,75.
Solution.
Puisque $v=S’(t)$, nous devons trouver la primitive pour une vitesse donnée.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Dans ce problème, une condition supplémentaire est donnée : le moment initial. Cela signifie que $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Alors la loi du mouvement est décrite par la formule : $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problèmes à résoudre de manière autonome

1. Trouver les primitives des fonctions :
une) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Trouvez les primitives des fonctions suivantes :
une) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. D'après la loi donnée du changement de vitesse d'un corps au fil du temps $v=4cos(6t)$, trouvez la loi du mouvement $S=S(t)$ si au moment initial le corps avait un coordonnée égale à 2.

Pour chaque action mathématique, il existe une action inverse. Pour l'action de différenciation (trouver des dérivées de fonctions), il existe également une action inverse - l'intégration. Grâce à l'intégration, une fonction est trouvée (reconstruite) à partir de sa dérivée ou différentielle donnée. La fonction trouvée s'appelle primitive.

Définition. Fonction différenciable F(x) est appelée la primitive de la fonction f(x) sur un intervalle donné, si pour tout Xà partir de cet intervalle, l'égalité suivante est vérifiée : F′(x)=f (x).

Exemples. Trouvez les primitives des fonctions : 1) f (x)=2x ; 2) f(x)=3cos3x.

1) Puisque (x²)′=2x, alors, par définition, la fonction F (x)=x² sera une primitive de la fonction f (x)=2x.

2) (sin3x)′ = 3cos3x. Si on note f (x)=3cos3x et F (x)=sin3x, alors, par définition d'une primitive, on a : F′(x)=f (x), et donc F (x)=sin3x est une primitive pour f ( x)=3cos3x.

Notez que (sin3x +5 )′= 3cos3x, et (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... sous forme générale on peut écrire : (sin3x +C)′= 3cos3x, Où AVEC- une valeur constante. Ces exemples indiquent l'ambiguïté de l'action d'intégration, contrairement à l'action de différenciation, lorsqu'une fonction différentiable a une seule dérivée.

Définition. Si la fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction a la forme :

F(x)+C, où C est un nombre réel.

L'ensemble de toutes les primitives F (x) + C de la fonction f (x) sur l'intervalle considéré est appelé l'intégrale indéfinie et est désigné par le symbole ∫ (signe intégral). Écrire: ∫f (x)dx=F (x)+C.

Expression ∫f(x)dx lire : « ef intégral de x à de x ».

f(x)dx- expression intégrande,

f(x)— fonction intégrande,

X est la variable d'intégration.

F(x)- primitive d'une fonction f(x),

AVEC- une valeur constante.

Maintenant, les exemples considérés peuvent s'écrire comme suit :

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Que signifie le signe d ?

d- signe différentiel - a un double objectif : d'une part, ce signe sépare l'intégrande de la variable d'intégration ; deuxièmement, tout ce qui vient après ce signe est différencié par défaut et multiplié par l'intégrande.

Exemples. Trouvez les intégrales : 3) ∫ 2pxdx ; 4) ∫ 2pxdp.

3) Après l'icône différentielle d frais XX, UN R.

∫ 2хрdx=рх²+С. Comparez avec l'exemple 1).

Faisons une vérification. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Après l'icône différentielle d frais R.. Cela signifie que la variable d'intégration R., et le multiplicateur X doit être considérée comme une valeur constante.

∫ 2хрдр=р²х+С. Comparez avec des exemples 1) Et 3).

Faisons une vérification. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Nous avons vu que la dérivée a de nombreuses utilisations : la dérivée est la vitesse du mouvement (ou, plus généralement, la vitesse de tout processus) ; la dérivée est la pente de la tangente au graphique de la fonction ; en utilisant la dérivée, vous pouvez examiner une fonction pour la monotonie et les extrema ; la dérivée aide à résoudre les problèmes d'optimisation.

Mais dans la vraie vie, nous devons aussi résoudre des problèmes inverses : par exemple, à côté du problème de trouver la vitesse selon une loi du mouvement connue, nous rencontrons également le problème de restaurer la loi du mouvement selon une vitesse connue. Considérons l'un de ces problèmes.

Exemple 1. Un point matériel se déplace en ligne droite, sa vitesse au temps t est donnée par la formule u = tg. Trouvez la loi du mouvement.

Solution. Soit s = s(t) la loi du mouvement souhaitée. On sait que s"(t) = u"(t). Cela signifie que pour résoudre le problème, vous devez choisir fonction s = s(t), dont la dérivée est égale à tg. Ce n'est pas difficile à deviner

Notons tout de suite que l'exemple est résolu correctement, mais incomplètement. Nous avons constaté qu'en fait le problème a une infinité de solutions : toute fonction de la forme une constante arbitraire peut servir de loi du mouvement, puisque

Pour rendre la tâche plus spécifique, nous devions corriger la situation initiale : indiquer la coordonnée d'un point en mouvement à un instant donné, par exemple à t=0. Si, disons, s(0) = s 0, alors à partir de l'égalité nous obtenons s(0) = 0 + C, c'est-à-dire S 0 = C. Maintenant, la loi du mouvement est définie de manière unique :
En mathématiques, les opérations mutuellement inverses reçoivent des noms différents et des notations spéciales sont inventées : par exemple, la mise au carré (x 2) et la racine carrée du sinus (sinх) et arc sinus(arcsinx), etc. Le processus de recherche de la dérivée d'une fonction donnée est appelé différenciation, et l'opération inverse, c'est-à-dire le processus de recherche d'une fonction à partir d'une dérivée donnée - intégration.
Le terme « dérivé » lui-même peut être justifié « dans la vie de tous les jours » : la fonction y - f(x) « donne naissance » à une nouvelle fonction y"= f"(x). La fonction y = f(x) fait office de un « parent », mais les mathématiciens, naturellement, ne l'appellent pas un « parent » ou un « producteur » ; ils disent que ceci, par rapport à la fonction y"=f"(x), est l'image primaire, ou, en bref, la primitive.

Définition 1. La fonction y = F(x) est appelée primitive pour la fonction y = f(x) sur un intervalle donné X si pour tout x de X l'égalité F"(x)=f(x) est vraie.

En pratique, l'intervalle X n'est généralement pas spécifié, mais est implicite (en tant que domaine naturel de définition de la fonction).

Voici quelques exemples:

1) La fonction y = x 2 est primitive pour la fonction y = 2x, puisque pour tout x l'égalité (x 2)" = 2x est vraie.
2) la fonction y - x 3 est primitive pour la fonction y-3x 2, puisque pour tout x l'égalité (x 3)" = 3x 2 est vraie.
3) La fonction y-sinх est primitive pour la fonction y = cosx, puisque pour tout x l'égalité (sinx)" = cosx est vraie.
4) La fonction est primitive pour une fonction sur l'intervalle puisque pour tout x > 0 l'égalité est vraie
En général, connaissant les formules pour trouver des dérivées, il n'est pas difficile de dresser un tableau de formules pour trouver des primitives.

Nous espérons que vous comprenez comment ce tableau est compilé : la dérivée de la fonction, qui est écrite dans la deuxième colonne, est égale à la fonction qui est écrite dans la ligne correspondante de la première colonne (vérifiez-la, ne soyez pas paresseux, c'est très utile). Par exemple, pour la fonction y = x 5, la primitive, comme vous l'établirez, est la fonction (voir la quatrième ligne du tableau).

Remarques: 1. Ci-dessous, nous prouverons le théorème selon lequel si y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x), alors la fonction y = f(x) a une infinité de primitives et elles ont toutes la forme y = F(x ) + C. Par conséquent, il serait plus correct d'ajouter le terme C partout dans la deuxième colonne du tableau, où C est un nombre réel arbitraire.
2. Par souci de concision, parfois au lieu de l'expression « la fonction y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x) », ils disent que F(x) est une primitive de f(x) .»

2. Règles de recherche des primitives

Lors de la recherche de primitives, ainsi que lors de la recherche de dérivées, non seulement des formules sont utilisées (elles sont répertoriées dans le tableau de la page 196), mais également certaines règles. Ils sont directement liés aux règles correspondantes de calcul des dérivés.

On sait que la dérivée d'une somme est égale à la somme de ses dérivées. Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.

Règle 1. La primitive d’une somme est égale à la somme des primitives.

Nous attirons votre attention sur la quelque « légèreté » de cette formulation. En fait, il faut formuler le théorème : si les fonctions y = f(x) et y = g(x) ont des primitives sur l'intervalle X, respectivement y-F(x) et y-G(x), alors la somme des fonctions y = f(x)+g(x) a une primitive sur l'intervalle X, et cette primitive est la fonction y = F(x)+G(x). Mais généralement, lors de la formulation de règles (pas de théorèmes), seuls des mots-clés sont laissés - c'est plus pratique pour appliquer les règles dans la pratique

Exemple 2. Trouvez la primitive de la fonction y = 2x + cos x.

Solution. La primitive de 2x est x" ; la primitive de cox est sin x. Cela signifie que la primitive de la fonction y = 2x + cos x sera la fonction y = x 2 + sin x (et en général toute fonction de la forme Y = x 1 + sinx + C) .
Nous savons que le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée. Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.

Règle 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la primitive.

Exemple 3.

Solution. a) La primitive de sin x est -soz x ; Cela signifie que pour la fonction y = 5 sin x la fonction primitive sera la fonction y = -5 cos x.

b) La primitive de cos x est sin x ; Cela signifie que la primitive d'une fonction est la fonction
c) La primitive de x 3 est la primitive de x, la primitive de la fonction y = 1 est la fonction y = x. En utilisant les première et deuxième règles pour trouver des primitives, nous constatons que la primitive de la fonction y = 12x 3 + 8x-1 est la fonction
Commentaire. Comme on le sait, la dérivée d'un produit n'est pas égale au produit des dérivées (la règle de différenciation d'un produit est plus complexe) et la dérivée d'un quotient n'est pas égale au quotient des dérivées. Par conséquent, il n’existe pas de règles pour trouver la primitive du produit ou la primitive du quotient de deux fonctions. Sois prudent!
Obtenons une autre règle pour trouver des primitives. On sait que la dérivée de la fonction y = f(kx+m) est calculée par la formule

Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.
Règle 3. Si y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x), alors la primitive de la fonction y=f(kx+m) est la fonction

En effet,

Cela signifie qu'il s'agit d'une primitive pour la fonction y = f(kx+m).
La signification de la troisième règle est la suivante. Si vous savez que la primitive de la fonction y = f(x) est la fonction y = F(x), et que vous devez trouver la primitive de la fonction y = f(kx+m), alors procédez comme ceci : prenez la même fonction F, mais à la place de l'argument x, substituez l'expression kx+m ; de plus, n'oubliez pas d'écrire « facteur de correction » avant le signe de fonction
Exemple 4. Trouver des primitives pour des fonctions données :

Solution, a) La primitive de sin x est -soz x ; Cela signifie que pour la fonction y = sin2x la primitive sera la fonction
b) La primitive de cos x est sin x ; Cela signifie que la primitive d'une fonction est la fonction

c) La primitive pour x 7 signifie que pour la fonction y = (4-5x) 7 la primitive sera la fonction

3. Intégrale indéfinie

Nous avons déjà noté ci-dessus que le problème de trouver une primitive pour une fonction donnée y = f(x) a plus d'une solution. Discutons de cette question plus en détail.

Preuve. 1. Soit y = F(x) la primitive de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X. Cela signifie que pour tout x de X l'égalité x"(x) = f(x) est vraie. Laissez-nous trouver la dérivée de n'importe quelle fonction de la forme y = F(x)+C :
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Donc, (F(x)+C) = f(x). Cela signifie que y = F(x) + C est une primitive de la fonction y = f(x).
Ainsi, nous avons prouvé que si la fonction y = f(x) a une primitive y=F(x), alors la fonction (f = f(x) a une infinité de primitives, par exemple, toute fonction de la forme y = F(x) +C est une primitive.
2. Montrons maintenant que le type de fonctions indiqué épuise l'ensemble des primitives.

Soient y=F 1 (x) et y=F(x) deux primitives de la fonction Y = f(x) sur l'intervalle X. Cela signifie que pour tout x de l'intervalle X, les relations suivantes sont vraies : F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Considérons la fonction y = F 1 (x) -.F(x) et trouvons sa dérivée : (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) -f(x) = 0.
On sait que si la dérivée d'une fonction sur un intervalle X est identiquement égale à zéro, alors la fonction est constante sur l'intervalle X (voir Théorème 3 du § 35). Cela signifie que F 1 (x) - F (x) = C, c'est-à-dire Fx) = F(x)+C.

Le théorème a été prouvé.

Exemple 5. La loi de changement de vitesse avec le temps est donnée : v = -5sin2t. Trouvez la loi du mouvement s = s(t), si l'on sait qu'au temps t=0 la coordonnée du point était égale au nombre 1,5 (c'est-à-dire s(t) = 1,5).

Solution. Puisque la vitesse est une dérivée de la coordonnée en fonction du temps, nous devons d’abord trouver la primitive de la vitesse, c’est-à-dire primitive pour la fonction v = -5sin2t. L'une de ces primitives est la fonction , et l'ensemble de toutes les primitives a la forme :

Pour trouver la valeur spécifique de la constante C, on utilise les conditions initiales selon lesquelles s(0) = 1,5. En substituant les valeurs t=0, S = 1,5 dans la formule (1), on obtient :

En substituant la valeur trouvée de C dans la formule (1), on obtient la loi du mouvement qui nous intéresse :

Définition 2. Si une fonction y = f(x) a une primitive y = F(x) sur un intervalle X, alors l'ensemble de toutes les primitives, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions de la forme y = F(x) + C est appelé l'intégrale indéfinie de la fonction y = f(x) et est noté :

(lire : « ef intégral indéfini de x de x »).
Dans le paragraphe suivant, nous découvrirons quelle est la signification cachée de cette désignation.
A partir du tableau des primitives disponible dans cette section, nous dresserons un tableau des principales intégrales indéfinies :

Sur la base des trois règles ci-dessus pour trouver des primitives, nous pouvons formuler les règles d'intégration correspondantes.

Règle 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions :

Règle 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

Règle 3. Si

Exemple 6. Trouver des intégrales indéfinies :

Solution, a) En utilisant les première et deuxième règles d'intégration, on obtient :

Utilisons maintenant les 3ème et 4ème formules d'intégration :

En conséquence nous obtenons :

b) En utilisant la troisième règle d'intégration et la formule 8, on obtient :

c) Pour trouver directement une intégrale donnée, nous n'avons ni la formule correspondante ni la règle correspondante. Dans de tels cas, des transformations identiques préalablement effectuées de l'expression contenue sous le signe intégral sont parfois utiles.

Utilisons la formule trigonométrique pour réduire le degré :

On trouve alors séquentiellement :

A.G. Mordkovich Algèbre 10e année

Planification calendaire-thématique en mathématiques, vidéo en mathématiques en ligne, Mathématiques à l'école

Il existe trois règles de base pour trouver des fonctions primitives. Elles sont très similaires aux règles de différenciation correspondantes.

Règle 1

Si F est une primitive pour une fonction f et G est une primitive pour une fonction g, alors F + G sera une primitive pour f + g.

Par définition d’une primitive, F’ = f. G' = g. Et puisque ces conditions sont remplies, alors selon la règle de calcul de la dérivée de la somme des fonctions nous aurons :

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Règle 2

Si F est une primitive d'une fonction f et k est une constante. Alors k*F est la primitive de la fonction k*f. Cette règle découle de la règle de calcul de la dérivée d'une fonction complexe.

On a : (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Règle 3

Si F(x) est une primitive de la fonction f(x), et k et b sont des constantes, et k n'est pas égal à zéro, alors (1/k)*F*(k*x+b) sera une primitive pour la fonction f (k*x+b).

Cette règle découle de la règle de calcul de la dérivée d'une fonction complexe :

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Examinons quelques exemples de la manière dont ces règles s'appliquent :

Exemple 1. Trouvez la forme générale des primitives pour la fonction f(x) = x^3 +1/x^2. Pour la fonction x^3 l'une des primitives sera la fonction (x^4)/4, et pour la fonction 1/x^2 l'une des primitives sera la fonction -1/x. En utilisant la première règle, nous avons :

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Exemple 2. Trouvons la forme générale des primitives pour la fonction f(x) = 5*cos(x). Pour la fonction cos(x), une des primitives sera la fonction sin(x). Si nous utilisons maintenant la deuxième règle, nous aurons :

F(x) = 5*péché(x).

Exemple 3. Trouvez l'une des primitives de la fonction y = sin(3*x-2). Pour la fonction sin(x) l’une des primitives sera la fonction -cos(x). Si nous utilisons maintenant la troisième règle, nous obtenons une expression pour la primitive :

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Exemple 4. Trouver la primitive de la fonction f(x) = 1/(7-3*x)^5

La primitive de la fonction 1/x^5 sera la fonction (-1/(4*x^4)). Maintenant, en utilisant la troisième règle, nous obtenons.

Résumé de la leçon sur l'algèbre et les principes d'analyse pour les élèves de 11e année des établissements d'enseignement secondaire

Sur le thème : « Règles pour trouver des primitives »

Le but de la leçon :

Éducatif: introduire des règles pour trouver des primitives en utilisant leurs valeurs de tableau et les utiliser lors de la résolution de problèmes.

Tâches:

introduire la définition de l'opération d'intégration ;

présenter aux élèves la table des primitives ;

familiariser les étudiants avec les règles d'intégration;

apprendre aux élèves à utiliser le tableau des primitives et les règles d'intégration lors de la résolution de problèmes.

Du développement: contribuer au développement de la capacité des élèves à analyser, comparer des données et tirer des conclusions.

Éducatif: promouvoir la formation de compétences dans le travail collectif et indépendant, développer la capacité d'exécuter des notes mathématiques avec précision et compétence.

Méthodes d'enseignement: inductif-reproductif, déductif-reproducteur

tif.

Type de cours : maîtriser de nouvelles connaissances.

Configuration requise pour ZUN :

Les étudiants doivent savoir :

- définition de l'opération d'intégration ;

Tableau des primitives ;

les étudiants devraient être capables de :

Appliquer le tableau des primitives lors de la résolution de problèmes ;

Résoudre des problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver des primitives.

Équipement: ordinateur, écran, projecteur multimédia, présentation.

Littérature:

1. A.G. Mordkovich et al. « L'algèbre et les débuts de l'analyse. Cahier de problèmes pour les classes 10-11" M. : Mnemosyne, 2001.

2. Sh.A. Alimov « L'algèbre et les débuts de l'analyse. 10e-11e année. Manuel" M. : Éducation, 2004. - 384 p.

3. Méthodes et technologies d'enseignement des mathématiques. M. : Outarde, 2005. – 416 p.

Structure de la leçon :

je. Moment d'organisation (2 min.)

II. Actualisation des connaissances (7 min.)

III. Apprendre du nouveau matériel (15 min.)

VI. Renforcement du matériel appris (17 min.)

V. Résumé et D/Z (4 min.)

Pendant les cours

je . Organisation du temps

Accueillir les étudiants, vérifier les absences et l'état de préparation de la salle pour le cours.

II . Actualisation des connaissances

Écrire au tableau (dans des cahiers)

Date de.

Travail en classe

Règles pour trouver des primitives.

Professeur: Le sujet de la leçon d'aujourd'hui : « Règles pour trouver des primitives » (diapositive 1). Mais avant de passer à l’étude d’un nouveau sujet, rappelons-nous le matériel que nous avons abordé.

Deux élèves sont convoqués au tableau, chacun se voit confier une tâche individuelle (si l'élève a réalisé la tâche sans erreur, il reçoit une note de « 5 »).

Cartes de tâches

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

F ( X )=3 X 2 +4 X –1 à ce point X =3.

№ 2

2) Trouver la valeur de la dérivée de la fonctionF ( X )=5 X 2 +5 X – 5 au point X =1.

Solution

Carte n°1

1) Trouver les intervalles de fonction croissante et décroissantey = 6x – 2x 3 .

; Qu’il en soit donc ainsi avec certitude ; X 1 Et X 2 points fixes;

2. Les points stationnaires divisent la ligne de coordonnées en trois intervalles. Dans les intervalles où la dérivée d'une fonction est positive, la fonction elle-même augmente, et là où elle est négative, elle diminue.

- + -

à -1 1

Ainsi à diminue à X (- ;-1) (1; ) et augmente avecX (-1;1).

2) F ( X )=3 X 2 +4 X –1 ; ; .

Carte n°2

1) Trouver les points extremum de la fonction .

1. Trouvons des points stationnaires, pour cela nous trouverons la dérivée de cette fonction, puis nous l'assimilerons à zéro et résoudrons l'équation résultante, dont les racines seront les points stationnaires.

; Soit donc , et .

2. Les points stationnaires divisent la ligne de coordonnées en quatre intervalles. Les points par lesquels la dérivée de la fonction change de signe sont des points extrêmes.

+ - - +

à -3 0 3

Moyens - les points extrêmes, et est le point maximum, et - point minimum.

2) F ( X )=5 X 2 +5 X – 5; ; .

Pendant que les élèves appelés au tableau résolvent des exemples, le reste de la classe se voit poser des questions théoriques. Pendant le processus de questionnement, l'enseignant vérifie si les élèves ont terminé la tâche ou non.

Professeur: Alors répondons à quelques questions. Rappelons quelle fonction est appelée primitive ? (diapositive 2)

Étudiant: Fonction F ( X ) appelé la primitive de la fonctionF ( X ) à un certain intervalle, si c'est pour toutX de cet écart .

(diapositive 2).

Professeur: Droite. Comment s’appelle le processus permettant de trouver la dérivée d’une fonction ? (diapositive 3)

Étudiant: Différenciation.

Une fois que l'élève a répondu, la bonne réponse est dupliquée sur la diapositive (diapositive 3).

Professeur: Comment montrer qu'une fonctionF ( X ) est une primitive de la fonctionF ( X ) ? (diapositive 4).

Étudiant: Trouver la dérivée d'une fonctionF ( X ) .

Une fois que l'élève a répondu, la bonne réponse est dupliquée sur la diapositive (diapositive 4).

Professeur: Bien. Alors dis-moi si la fonction estF ( X )=3 X 2 +11 X primitive de la fonctionF ( X )=6x+10? (diapositive 5)

Étudiant: Non parce que dérivée d'une fonctionF ( X )=3 X 2 +11 X égal à 6x+11, mais non 6x+10 .

Une fois que l'élève a répondu, la bonne réponse est dupliquée sur la diapositive (diapositive 5).

Professeur: Combien de primitives peut-on trouver pour une certaine fonction ?F ( X ) ? Justifiez votre réponse. (diapositive 6)

Étudiant: Une infinité, parce que Nous ajoutons toujours une constante à la fonction résultante, qui peut être n’importe quel nombre réel.

Une fois que l'élève a répondu, la bonne réponse est dupliquée sur la diapositive (diapositive 6).

Professeur: Droite. Vérifions maintenant ensemble les solutions des élèves travaillant au tableau.

Les élèves vérifient la solution avec l'enseignant.

III . Apprendre du nouveau matériel

Professeur: L'opération inverse consistant à trouver la primitive d'une fonction donnée est appelée intégration (du mot latinintégrer - restaurer). Un tableau de dérivées pour certaines fonctions peut être compilé à l'aide d'un tableau de dérivées. Par exemple, sachant que, on a , d'où il résulte que toutes les fonctions primitives s'écrivent sous la forme, Où C – constante arbitraire.

Écrire au tableau (dans des cahiers)

on a,

d'où il s'ensuit que toutes les fonctions primitives s'écrivent sous la forme, Où C – constante arbitraire.

Professeur: Ouvrez vos manuels à la page 290. Voici un tableau de primitives. Il est également présenté sur la diapositive. (diapositive 7)

Professeur: Les règles d'intégration peuvent être obtenues à l'aide des règles de différenciation. Considérons les règles d'intégration suivantes : soitF ( X ) Et g ( X ) – primitives de fonctions respectivementF ( X ) Et g ( X ) à un certain intervalle. Alors:

1) Fonction ;

2) Fonction est la primitive de la fonction. (diapositive 8)

Écrire au tableau (dans des cahiers)

1) Fonction est la primitive de la fonction ;

2) Fonction est la primitive de la fonction .

VI . Renforcer la matière apprise

Professeur: Passons à la partie pratique de la leçon. Trouver l'une des primitives de la fonction Nous décidons au conseil d'administration.

Étudiant: Pour trouver la primitive de cette fonction, vous devez utiliser la règle d'intégration : fonction est la primitive de la fonction .

Professeur: C'est vrai, que devez-vous savoir d'autre pour trouver la primitive d'une fonction donnée ?

Étudiant: Nous utiliserons également la table des primitives pour les fonctions, à p =2 et for est la fonction ;

2) Fonction est la primitive de la fonction .

Professeur: Tout est correct.

Devoirs

§55, n° 988 (2, 4, 6), n° 989 (2, 4, 6, 8), n° 990 (2, 4, 6), n° 991 (2, 4, 6, 8) . (diapositive 9)

Faire des marques.

Professeur: La leçon est terminée. Vous pouvez être libre.