Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Variables aléatoires. Variable aléatoire continue, fonction de distribution et densité de probabilité La densité de distribution de la variable aléatoire x est donnée

Variable aléatoire On appelle grandeur qui, à la suite d'essais effectués dans les mêmes conditions, prend des valeurs, généralement différentes, en fonction de facteurs aléatoires non pris en compte. Exemples de variables aléatoires : le nombre de points obtenus sur un dé, le nombre de produits défectueux dans un lot, l'écart du point d'impact d'un projectile par rapport à la cible, le temps de fonctionnement d'un appareil, etc. Il existe des variables discrètes et continues. Variables aléatoires. Discret On appelle une variable aléatoire dont les valeurs possibles forment un ensemble dénombrable, fini ou infini (c'est-à-dire un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés).

Continu Une variable aléatoire est appelée, dont les valeurs possibles remplissent continuellement un intervalle fini ou infini de la droite numérique. Le nombre de valeurs d'une variable aléatoire continue est toujours infini.

Nous désignerons les variables aléatoires par des lettres majuscules à partir de la fin de l'alphabet latin : X, Oui, ...; valeurs de variables aléatoires – en lettres minuscules : X, y,.... Ainsi, X Désigne l'ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire, et X - Une partie de sa signification spécifique.

Loi de répartition Une variable aléatoire discrète est une correspondance spécifiée sous quelque forme que ce soit entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités.

Laissez les valeurs possibles de la variable aléatoire X Sont . À la suite du test, la variable aléatoire prendra l'une de ces valeurs, c'est-à-dire Un événement parmi un groupe complet d’événements incompatibles par paires se produira.

Que les probabilités de ces événements soient également connues :

Loi de distribution d'une variable aléatoire X Peut s'écrire sous la forme d'un tableau appelé Distribution proche Variable aléatoire discrète:

Pour la série de distribution, l’égalité est vraie (condition de normalisation).

Exemple 3.1. Trouver la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X – le nombre de fois où face apparaît lors de deux tirages à pile ou face.

La fonction de distribution est une forme universelle pour spécifier la loi de distribution des variables aléatoires discrètes et continues.

Fonction de distribution d'une variable aléatoireX La fonction s'appelle F(X), Défini sur toute la droite numérique comme suit :

F(X)=P(X< х ),

C'est F(X) il y a une probabilité que la variable aléatoire X Prendra une valeur inférieure à X.

La fonction de distribution peut être représentée graphiquement. Pour une variable aléatoire discrète, le graphique a une forme échelonnée. Construisons, par exemple, un graphique de la fonction de distribution d'une variable aléatoire donnée par la série suivante (Fig. 3.1) :

Riz. 3.1. Graphique de la fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète

Les sauts de fonction se produisent en des points correspondant aux valeurs possibles de la variable aléatoire et sont égaux aux probabilités de ces valeurs. Aux points d'arrêt, la fonction F(X) reste continu.

Le graphique de la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est une courbe continue.

Riz. 3.2. Graphique de la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue

La fonction de distribution a les propriétés évidentes suivantes :

1) , 2) , 3) ,

4) à .

Nous appellerons l’événement une variable aléatoire X Prend de la valeur X, Appartenant à un intervalle semi-fermé UN£ X< B, Lorsqu'une variable aléatoire tombe sur l'intervalle [ UN, B).

Théorème 3.1. La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle [ UN, B) est égal à l'incrément de la fonction de répartition sur cet intervalle :

Si vous réduisez l'intervalle [ UN, B), En supposant que , alors dans la formule limite (3.1), au lieu de la probabilité d'atteindre l'intervalle, donne la probabilité d'atteindre le point, c'est-à-dire la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur UN:

Si la fonction de distribution a une discontinuité au point UN, Alors la limite (3.2) est égale à la valeur de la fonction saut F(X) au point X=UN, C'est-à-dire la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur UN (Fig. 3.3, UN). Si la variable aléatoire est continue, c'est-à-dire que la fonction est continue F(X), alors la limite (3.2) est égale à zéro (Fig. 3.3, B)

Ainsi, la probabilité d’une valeur particulière d’une variable aléatoire continue est nulle. Cependant, cela ne signifie pas que l'événement est impossible X=UN, Il dit seulement que la fréquence relative de cet événement tendra vers zéro avec une augmentation illimitée du nombre de tests.

UN)
B)

Riz. 3.3. Saut de fonction de distribution

Pour les variables aléatoires continues, outre la fonction de distribution, une autre forme de spécification de la loi de distribution est utilisée : la densité de distribution.

Si est la probabilité de tomber dans l'intervalle , alors le rapport caractérise la densité avec laquelle la probabilité est distribuée au voisinage du point X. La limite de ce rapport à, c'est-à-dire e. dérivé, est appelé Densité de distribution(densité de distribution de probabilité, densité de probabilité) d'une variable aléatoire X. Acceptons de désigner la densité de distribution

Ainsi, la densité de distribution caractérise la probabilité qu'une variable aléatoire tombe à proximité d'un point X.

Le graphique de densité de distribution s'appelle Courses torduesLimites(Fig. 3.4).

Riz. 3.4. Type de densité de distribution

Basé sur la définition et les propriétés de la fonction de distribution F(X), il est facile d'établir les propriétés suivantes de la densité de distribution F(X):

1) F(X)³0

Pour une variable aléatoire continue, puisque la probabilité d’atteindre un point est nulle, les égalités suivantes sont vraies :

Exemple 3.2. Valeur aléatoire X Donné par la densité de distribution

Requis:

A) trouver la valeur du coefficient UN;

B) trouver la fonction de distribution ;

C) trouver la probabilité qu'une variable aléatoire tombe sur l'intervalle (0, ).

La fonction de distribution ou densité de distribution décrit complètement une variable aléatoire. Souvent, cependant, pour prendre des décisions pratiques, il n'est pas nécessaire d'avoir une connaissance complète de la loi de distribution, il suffit de connaître seulement quelques-unes de ses caractéristiques. À cette fin, la théorie des probabilités utilise les caractéristiques numériques d’une variable aléatoire qui expriment diverses propriétés de la loi de distribution. Les principales caractéristiques numériques sont MathématiqueAttente, variance et écart type.

Valeur attendue Caractérise la position d'une variable aléatoire sur l'axe des nombres. Il s'agit d'une valeur moyenne d'une variable aléatoire autour de laquelle sont regroupées toutes ses valeurs possibles.

Attente d'une variable aléatoire X Indiqué par des symboles M(X) ou T. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits appariés de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs :

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue est déterminée à l'aide d'une intégrale impropre :

Sur la base des définitions, il est facile de vérifier la validité des propriétés suivantes de l'espérance mathématique :

1. (attente mathématique d'une valeur non aléatoire AVECÉgal à la valeur la plus non aléatoire).

2. Si ³0, alors ³0.

4. Si et Indépendant, Que .

Exemple 3.3. Trouvez l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète donnée par la série de distribution :

Solution.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Exemple 3.4. Trouvez l'espérance mathématique d'une variable aléatoire donnée par la densité de distribution :

Solution.

Variance et écart type Ce sont des caractéristiques de la dispersion d'une variable aléatoire ; elles caractérisent l'étalement de ses valeurs possibles par rapport à l'espérance mathématique.

Variance D(X) Variable aléatoire X L'espérance mathématique de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique est appelée. Pour une variable aléatoire discrète, la variance est exprimée par la somme :

(3.3)

Et pour continu – par l’intégrale

(3.4)

La variance a la dimension du carré de la variable aléatoire. Caractéristiques de dispersion Même tailleSti avec une variable aléatoire, sert d’écart type.

Propriétés de dispersion :

1) – constante. En particulier,

En particulier,

Notez que calculer la variance à l'aide de la formule (3.5) s'avère souvent plus pratique que d'utiliser la formule (3.3) ou (3.4).

La quantité s'appelle Covariance Variables aléatoires.

Si , alors la valeur

Appelé Coefficient de corrélation Variables aléatoires.

On peut montrer que si , alors les quantités dépendent linéairement : où

Notez que s’ils sont indépendants, alors

Exemple 3.5. Trouvez la variance de la variable aléatoire donnée par la série de distribution de l'exemple 1.

Solution. Pour calculer la variance, vous devez connaître l’espérance mathématique. Pour une variable aléatoire donnée, on a trouvé ci-dessus : M=1,3. Nous calculons la variance à l'aide de la formule (3.5) :

Exemple 3.6. La variable aléatoire est spécifiée par la densité de distribution

Trouvez la variance et l'écart type.

Solution. Nous trouvons d’abord l’espérance mathématique :

(comme intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique).

Maintenant, nous calculons la variance et l'écart type :

1. Distribution binomiale. La variable aléatoire égale au nombre de « SUCCÈS » dans le schéma de Bernoulli a une distribution binomiale : , .

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale est égale à

La variance de cette distribution est .

2. Distribution de Poisson ,

Espérance et variance d'une variable aléatoire avec distribution de Poisson, .

La distribution de Poisson est souvent utilisée lorsqu'il s'agit du nombre d'événements survenant dans une période de temps ou d'espace, par exemple : le nombre de voitures arrivant à un lave-auto en une heure, le nombre d'arrêts de machine par semaine, le nombre des accidents de la route, etc.

La variable aléatoire a Distribution géométrique avec paramètre s'il prend des valeurs avec probabilités . Une variable aléatoire avec une telle distribution a du sens Numéros du premier test réussi dans le schéma de Bernoulli avec une probabilité de succès. Le tableau de répartition ressemble à :

3. Distribution normale. La loi normale de distribution de probabilité occupe une place particulière parmi les autres lois de distribution. En théorie des probabilités, il est prouvé que la densité de probabilité de la somme des éléments indépendants ou Légèrement dépendant, des termes uniformément petits (c'est-à-dire jouant à peu près le même rôle), avec une augmentation illimitée de leur nombre, se rapprochent autant que possible de la loi de distribution normale, quelles que soient les lois de distribution de ces termes (théorème central limite de A. M. Lyapunov).

Concepts d'espérance mathématique M(X) et écart D(X), introduit précédemment pour une variable aléatoire discrète, peut être étendu aux variables aléatoires continues.

· Espérance mathématique M(X) la variable aléatoire continue X est déterminée par l'égalité :

à condition que cette intégrale converge.

· Écart D(X) variable aléatoire continue X est déterminé par l'égalité :

· Écart-typeσ( X) une variable aléatoire continue est déterminée par l'égalité :

Toutes les propriétés d'espérance mathématique et de dispersion, évoquées précédemment pour les variables aléatoires discrètes, sont également valables pour les variables continues.

Problème 5.3. Valeur aléatoire X donné par une fonction différentielle F(X):

Trouver M(X), D(X), σ( X), et P.(1 < X< 5).

Solution:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P. 1 =

Tâches

5.1. X

F(X), et

R.(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Variable aléatoire continue X donné par la fonction de distribution :

Trouver la fonction de distribution différentielle F(X), et

R.(2π /9< X< π /2).

5.3. Variable aléatoire continue X

Trouver : a) le numéro Avec; b) M(X), D(X).

5.4. Variable aléatoire continue X donnée par la densité de distribution :

Trouver : a) le numéro Avec; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Trouver un) F(X) et construire son graphe ; b) M(X), D(X), σ( X); c) la probabilité que dans quatre essais indépendants la valeur X prendra exactement 2 fois la valeur appartenant à l'intervalle (1;4).

5.6. La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue est donnée X:

Trouver un) F(X) et construire son graphe ; b) M(X), D(X), σ( X); c) la probabilité que dans trois essais indépendants la valeur X prendra exactement 2 fois la valeur appartenant au segment.

5.7. Fonction F(X) est donné sous la forme :

Avec X; b) fonction de distribution F(X).

5.8. Fonction F(X) est donné sous la forme :

Trouver : a) la valeur de la constante Avec, auquel la fonction sera la densité de probabilité d'une variable aléatoire X; b) fonction de distribution F(X).

5.9. Valeur aléatoire X, concentré sur l'intervalle (3;7), est spécifié par la fonction de distribution F(X)= X prendra la valeur : a) inférieure à 5, b) pas inférieure à 7.

5.10. Valeur aléatoire X, centré sur l'intervalle (-1;4), est spécifié par la fonction de répartition F(X)= . Trouvez la probabilité que la variable aléatoire X prendra la valeur : a) inférieure à 2, b) inférieure à 4.

5.11.

Trouver : a) le numéro Avec; b) M(X); c) probabilité R.(X > M(X)).

5.12. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de distribution différentielle :

Trouver un) M(X); b) probabilité R.(X ≤ M(X)).

5.13. La distribution Rem est donnée par la densité de probabilité :

Prouve-le F(X) est bien une fonction de densité de probabilité.

5.14. La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue est donnée X:

Trouver le numéro Avec.

5.15. Valeur aléatoire X distribué selon la loi de Simpson (triangle isocèle) sur le segment [-2;2] (Fig. 5.4). Trouver une expression analytique pour la densité de probabilité F(X) sur toute la droite numérique.

Riz. 5.4 Fig. 5.5

5.16. Valeur aléatoire X distribué selon la loi du « triangle rectangle » dans l'intervalle (0;4) (Fig. 5.5). Trouver une expression analytique pour la densité de probabilité F(X) sur toute la droite numérique.

Réponses

P. (-1/2<X<1/2)=2/3.

P.(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. UN) Avec=1/6,b) M(X)=3 ,c) D(X)=26/81.

5.4. UN) Avec=3/2,b) M(X)=3/5,c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. une) c = ; b)

5.8. UN) Avec=1/2; b)

5.9. a)1/4 ; b) 0.

5.10. a)3/5 ; b)1.

5.11. UN) Avec= 2 ; b) M(X)= 2 ; en 1- dans 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. UN) M(X)= π/2 ; b) 1/2

Attente mathématique La variable aléatoire discrète s'appelle :

Dans le cas d'un ensemble infini de valeurs, il existe une série à droite de (4.4), et nous ne considérerons que les valeurs de X pour lesquelles cette série est absolument convergente.

M(X) représente la valeur attendue moyenne d'une variable aléatoire. Il possède les propriétés suivantes :

1) M(C)=C, où C=const

2) M (CX)=CM (X) (4,5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), pour tout X et Y.

4) M (XY)=M (X)M(Y), si X et Y sont indépendants.

Pour estimer le degré de dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de sa valeur moyenne M(X)= UN les concepts sont introduits écartsD(X) et écart carré moyen (standard). Variance s'appelle l'espérance mathématique de la différence au carré (X-), ceux. :

D(X)=M(X- ) 2 = p je ,

Où =M(X); est défini comme la racine carrée de la variance, c'est-à-dire .

Pour calculer la variance, utilisez la formule :

(4.6)

Propriétés de dispersion et écart type :

1) D(C)=0, où C=const

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

si X et Y sont indépendants.

La dimension des quantités coïncide avec la dimension de la variable aléatoire X elle-même, et la dimension de D(X) est égale au carré de la dimension de la variable aléatoire X.

4.3. Opérations mathématiques sur des variables aléatoires.

Laissez la variable aléatoire X prendre des valeurs avec probabilités et la variable aléatoire Y prendre des valeurs avec probabilités. Le produit KX de la variable aléatoire X et la valeur constante K est une nouvelle variable aléatoire qui, avec les mêmes probabilités que la variable aléatoire variable X, prend des valeurs égales aux produits par K valeurs de la variable aléatoire X. Par conséquent, sa loi de distribution a la forme du tableau 4.2 :

Tableau 4.2

			...
			...

Carré variable aléatoire X, c'est-à-dire , est une nouvelle variable aléatoire qui, avec les mêmes probabilités que la variable aléatoire X, prend des valeurs égales aux carrés de ses valeurs.

Somme les variables aléatoires X et Y sont une nouvelle variable aléatoire qui prend toutes les valeurs de la forme avec des probabilités exprimant la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur et Y est la valeur, c'est-à-dire

(4.8)

Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors :

La différence et le produit des variables aléatoires X et Y sont déterminés de la même manière.

Différence variables aléatoires X et Y - il s'agit d'une nouvelle variable aléatoire qui prend toutes les valeurs de la forme , et travail- toutes les valeurs de la forme à probabilités déterminées par la formule (4.8), et si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors par la formule (4.9).

4.4. Distributions de Bernoulli et de Poisson.

Considérons une séquence de n essais répétés identiques satisfaisant les conditions suivantes :

1. Chaque test comporte deux résultats, appelés succès et échec.

Ces deux résultats sont des événements mutuellement incompatibles et opposés.

2. La probabilité de succès, notée p, reste constante d'un essai à l'autre. La probabilité d'échec est notée q.

3. Tous les n tests sont indépendants. Cela signifie que la probabilité qu’un événement se produise dans l’un des n essais répétés ne dépend pas des résultats des autres essais.

La probabilité que dans n essais répétés indépendants, dans chacun desquels la probabilité qu'un événement se produise est égale à , l'événement se produise exactement m fois (dans n'importe quelle séquence) est égale à

(4.10)

L'expression (4.10) est appelée formule de Bernoulli.

Probabilités que l'événement se produise :

a) moins de m fois,

b) plus de m fois,

c) au moins m fois,

d) pas plus de m fois - se trouvent en conséquence selon les formules :

Le binôme est la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X - le nombre d'occurrences d'un événement dans n essais indépendants, dans chacun desquels la probabilité que l'événement se produise est égale à p ; les probabilités de valeurs possibles X = 0,1,2,..., m,...,n sont calculées à l'aide de la formule de Bernoulli (tableau 4.3).

Tableau 4.3

Nombre de réussites X=m				...	m	...	n
Probabilité P				...		...

Puisque le côté droit de la formule (4.10) représente le terme général du développement binomial, cette loi de distribution est appelée binôme. Pour une variable aléatoire X distribuée selon la loi binomiale, nous avons.

VARIABLES ALÉATOIRES

Exemple 2.1. Valeur aléatoire X donné par la fonction de distribution

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test X prendra les valeurs contenues dans l'intervalle (2,5 ; 3,6).

Solution: X dans l'intervalle (2.5 ; 3.6) peut être déterminé de deux manières :

Exemple 2.2.À quelles valeurs de paramètre UN Et DANS fonction F(X) = A + Être - x peut être une fonction de distribution pour les valeurs non négatives d'une variable aléatoire X.

Solution: Puisque toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire X appartiennent à l'intervalle , alors pour que la fonction soit une fonction de distribution pour X, la propriété doit être satisfaite :

Répondre: .

Exemple 2.3. La variable aléatoire X est spécifiée par la fonction de distribution

Trouvez la probabilité que, à la suite de quatre tests indépendants, la valeur X exactement 3 fois prendra une valeur appartenant à l'intervalle (0,25 ; 0,75).

Solution: Probabilité d'atteindre une valeur X dans l'intervalle (0,25;0,75) on trouve à l'aide de la formule :

Exemple 2.4. La probabilité que le ballon touche le panier d'un seul coup est de 0,3. Établissez une loi de répartition du nombre de coups sûrs avec trois lancers.

Solution: Valeur aléatoire X– le nombre de frappes dans le panier avec trois tirs – peut prendre les valeurs suivantes : 0, 1, 2, 3. Probabilités que X

Exemple 2.5. Deux tireurs tirent chacun un coup sur une cible. La probabilité que le premier tireur le touche est de 0,5, le second de 0,4. Etablir une loi de répartition du nombre de touches sur une cible.

Solution: Trouvons la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X– nombre de coups sur la cible. Que l'événement soit le premier tireur atteignant la cible, et que le deuxième tireur atteigne la cible et soit respectivement ses ratés.

Composons la loi de distribution de probabilité de SV X:

Exemple 2.6. Trois éléments sont testés, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La durée (en heures) de fonctionnement sans panne des éléments a une fonction de densité de répartition : pour le premier : F 1 (t) =1-e- 0,1 t, pour le deuxième : F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, pour le troisième : F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Trouvez la probabilité que dans l'intervalle de temps de 0 à 5 heures : un seul élément tombe en panne ; seuls deux éléments échoueront ; les trois éléments échoueront.

Solution: Utilisons la définition de la fonction génératrice de probabilité :

La probabilité que dans des essais indépendants, dans le premier desquels la probabilité qu'un événement se produise UNégal à , dans le deuxième événement, etc. UN apparaît exactement une fois, égal au coefficient dans le développement de la fonction génératrice en puissances de . Trouvons les probabilités de défaillance et de non-défaillance, respectivement, du premier, du deuxième et du troisième élément dans l'intervalle de temps de 0 à 5 heures :

Créons une fonction génératrice :

Le coefficient at est égal à la probabilité que l'événement UN apparaîtra exactement trois fois, c'est-à-dire la probabilité de défaillance des trois éléments ; le coefficient at est égal à la probabilité qu'exactement deux éléments tombent en panne ; le coefficient at est égal à la probabilité qu'un seul élément tombe en panne.

Exemple 2.7. Compte tenu de la densité de probabilité F(X)Variable aléatoire X:

Trouvez la fonction de distribution F(x).

Solution: Nous utilisons la formule :

Ainsi, la fonction de distribution ressemble à :

Exemple 2.8. L'appareil se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment. La probabilité de défaillance de chaque élément dans une expérience est de 0,1. Élaborez une loi de distribution du nombre d'éléments défaillants dans une expérience.

Solution: Valeur aléatoire X– le nombre d'éléments qui ont échoué dans une expérience – peut prendre les valeurs suivantes : 0, 1, 2, 3. Probabilités que X prend ces valeurs, on trouve en utilisant la formule de Bernoulli :

Ainsi, nous obtenons la loi suivante de distribution de probabilité d'une variable aléatoire X:

Exemple 2.9. Dans un lot de 6 pièces il y a 4 pièces standards. 3 parties ont été sélectionnées au hasard. Etablir une loi de répartition du nombre de pièces standards parmi celles sélectionnées.

Solution: Valeur aléatoire X– le nombre de pièces standards parmi celles sélectionnées – peut prendre les valeurs suivantes : 1, 2, 3 et a une distribution hypergéométrique. Probabilités que X

Où -- nombre de pièces dans le lot ;

-- nombre de pièces standards dans un lot ;

– nombre de pièces sélectionnées ;

-- nombre de pièces standards parmi celles sélectionnées.

Exemple 2.10. La variable aléatoire a une densité de distribution

et ne sont pas connus, mais , a et . Trouve et.

Solution: Dans ce cas, la variable aléatoire X a une distribution triangulaire (distribution de Simpson) sur l'intervalle [ un B]. Caractéristiques numériques X:

Ainsi, . En résolvant ce système, nous obtenons deux paires de valeurs : . Puisque selon les conditions du problème, on a finalement : .

Répondre: .

Exemple 2.11. En moyenne, dans moins de 10 % des contrats, la compagnie d'assurance verse des sommes d'assurance en lien avec la survenance d'un événement assuré. Calculez l'espérance mathématique et la dispersion du nombre de ces contrats parmi quatre contrats sélectionnés au hasard.

Solution: L'espérance mathématique et la variance peuvent être trouvées à l'aide des formules :

Valeurs possibles de SV (nombre de contrats (sur quatre) avec survenance d'un événement assuré) : 0, 1, 2, 3, 4.

Nous utilisons la formule de Bernoulli pour calculer les probabilités de différents nombres de contrats (sur quatre) pour lesquels les montants d'assurance ont été payés :

La série de distribution IC (le nombre de contrats avec survenance d'un événement assuré) a la forme :


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Répondre: , .

Exemple 2.12. Sur les cinq roses, deux sont blanches. Etablir une loi de répartition d'une variable aléatoire exprimant le nombre de roses blanches parmi deux prises simultanément.

Solution: Dans une sélection de deux roses, il peut y avoir soit aucune rose blanche, soit une ou deux roses blanches. Par conséquent, la variable aléatoire X peut prendre les valeurs : 0, 1, 2. Probabilités que X prend ces valeurs, on le trouve grâce à la formule :

Où -- nombre de roses ;

-- nombre de roses blanches ;

– nombre de roses prises en même temps ;

-- le nombre de roses blanches parmi celles prises.

Alors la loi de distribution de la variable aléatoire sera la suivante :

Exemple 2.13. Parmi les 15 unités assemblées, 6 nécessitent une lubrification supplémentaire. Établissez une loi de répartition du nombre d'unités nécessitant une lubrification supplémentaire parmi cinq sélectionnées au hasard parmi le nombre total.

Solution: Valeur aléatoire X– le nombre d'unités nécessitant une lubrification supplémentaire parmi les cinq sélectionnées – peut prendre les valeurs suivantes : 0, 1, 2, 3, 4, 5 et a une distribution hypergéométrique. Probabilités que X prend ces valeurs, on le trouve grâce à la formule :

Où -- nombre d'unités assemblées ;

-- le nombre d'unités nécessitant une lubrification supplémentaire ;

– nombre d'unités sélectionnées ;

-- le nombre d'unités qui nécessitent une lubrification supplémentaire parmi celles sélectionnées.

Alors la loi de distribution de la variable aléatoire sera la suivante :

Exemple 2.14. Sur les 10 montres reçues en réparation, 7 nécessitent un nettoyage général du mécanisme. Les montres ne sont pas triées par type de réparation. Le maître, voulant trouver des montres à nettoyer, les examine une par une et, ayant trouvé de telles montres, arrête de les regarder davantage. Trouvez l’espérance mathématique et la variance du nombre d’heures regardées.

Solution: Valeur aléatoire X– le nombre d'unités nécessitant une lubrification supplémentaire parmi les cinq sélectionnées – peut prendre les valeurs suivantes : 1, 2, 3, 4. Probabilités que X prend ces valeurs, on le trouve grâce à la formule :

Alors la loi de distribution de la variable aléatoire sera la suivante :

Calculons maintenant les caractéristiques numériques de la quantité :

Répondre: , .

Exemple 2.15. L'abonné a oublié le dernier chiffre du numéro de téléphone dont il a besoin, mais se souvient qu'il est étrange. Trouvez l'espérance mathématique et la variance du nombre de fois qu'il compose un numéro de téléphone avant d'atteindre le numéro souhaité, s'il compose le dernier chiffre au hasard et ne compose pas ensuite le chiffre composé.

Solution: La variable aléatoire peut prendre les valeurs suivantes : . Étant donné que l'abonné ne compose pas le chiffre composé à l'avenir, les probabilités de ces valeurs sont égales.

Compilons une série de distribution d'une variable aléatoire :


	0,2

Calculons l'espérance mathématique et la variance du nombre de tentatives de numérotation :

Répondre: , .

Exemple 2.16. La probabilité de défaillance lors des tests de fiabilité pour chaque appareil de la série est égale à p. Déterminer l'espérance mathématique du nombre d'appareils en panne s'ils étaient testés N dispositifs.

Solution: La variable aléatoire discrète X est le nombre d'appareils en panne dans N tests indépendants, dans chacun desquels la probabilité d'échec est égale p, distribué selon la loi binomiale. L'espérance mathématique d'une distribution binomiale est égale au nombre d'essais multiplié par la probabilité qu'un événement se produise dans un essai :

Exemple 2.17. Variable aléatoire discrète X prend 3 valeurs possibles : avec probabilité ; avec probabilité et avec probabilité. Trouver et , sachant que M( X) = 8.

Solution: Nous utilisons les définitions de l'espérance mathématique et de la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète :

Nous trouvons: .

Exemple 2.18. Le service de contrôle technique vérifie la conformité des produits. La probabilité que le produit soit standard est de 0,9. Chaque lot contient 5 produits. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X– le nombre de lots contenant chacun exactement 4 produits standards, si 50 lots sont soumis au contrôle.

Solution: Dans ce cas, toutes les expériences menées sont indépendantes et les probabilités que chaque lot contienne exactement 4 produits standards sont les mêmes, par conséquent, l'espérance mathématique peut être déterminée par la formule :

où est le nombre de partis ;

La probabilité qu'un lot contienne exactement 4 produits standards.

On trouve la probabilité en utilisant la formule de Bernoulli :

Répondre: .

Exemple 2.19. Trouver la variance d'une variable aléatoire X– nombre d’occurrences de l’événement UN dans deux essais indépendants, si les probabilités d'occurrence d'un événement dans ces essais sont les mêmes et que l'on sait que M(X) = 0,9.

Solution: Le problème peut être résolu de deux manières.

1) Valeurs possibles de SV X: 0, 1, 2. À l'aide de la formule de Bernoulli, nous déterminons les probabilités de ces événements :

, , .

Puis la loi de distribution X a la forme :

A partir de la définition de l'espérance mathématique, on détermine la probabilité :

Trouvons la dispersion de SV X:

2) Vous pouvez utiliser la formule :

Répondre: .

Exemple 2.20. Attente et écart type d'une variable aléatoire normalement distribuée X respectivement égaux à 20 et 5. Trouver la probabilité qu'à la suite du test X prendra la valeur contenue dans l'intervalle (15; 25).

Solution: Probabilité de toucher une variable aléatoire normale X sur la section de à s'exprime par la fonction de Laplace :

Exemple 2.21. Fonction donnée :

A quelle valeur de paramètre C cette fonction est la densité de distribution d'une variable aléatoire continue X? Trouver l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire X.

Solution: Pour qu’une fonction soit la densité de distribution d’une variable aléatoire, elle doit être non négative et doit satisfaire la propriété :

Ainsi:

Calculons l'espérance mathématique à l'aide de la formule :

Calculons la variance à l'aide de la formule :

T est égal p. Il est nécessaire de trouver l'espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire.

Solution: La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X - le nombre d'occurrences d'un événement dans des essais indépendants, dans chacun desquels la probabilité que l'événement se produise est égale à , est appelée binôme. L'espérance mathématique de la distribution binomiale est égale au produit du nombre d'essais et de la probabilité d'apparition de l'événement A dans un essai :

Exemple 2.25. Trois coups indépendants sont tirés sur la cible. La probabilité de réussir chaque coup est de 0,25. Déterminez l’écart type du nombre de coups sûrs avec trois tirs.

Solution: Puisque trois essais indépendants sont effectués et que la probabilité d'occurrence de l'événement A (un coup sûr) dans chaque essai est la même, nous supposerons que la variable aléatoire discrète X - le nombre de coups sûrs sur la cible - est distribuée selon le loi binomiale.

La variance de la distribution binomiale est égale au produit du nombre d'essais et de la probabilité d'occurrence et de non-occurrence d'un événement dans un essai :

Exemple 2.26. Le nombre moyen de clients visitant une compagnie d’assurance en 10 minutes est de trois. Trouvez la probabilité qu'au moins un client arrive dans les 5 prochaines minutes.

Nombre moyen de clients arrivant en 5 minutes : . .

Exemple 2.29. Le temps d'attente d'une application dans la file d'attente du processeur obéit à une loi de répartition exponentielle d'une valeur moyenne de 20 secondes. Trouvez la probabilité que la prochaine requête (aléatoire) attende sur le processeur pendant plus de 35 secondes.

Solution: Dans cet exemple, l'espérance mathématique , et le taux d'échec est égal à .

Alors la probabilité souhaitée :

Exemple 2.30. Un groupe de 15 étudiants se réunit dans une salle de 20 rangées de 10 sièges chacune. Chaque élève prend place dans la salle au hasard. Quelle est la probabilité que pas plus de trois personnes occupent la septième place de la rangée ?

Solution:

Exemple 2.31.

Alors, selon la définition classique de la probabilité :

Où -- nombre de pièces dans le lot ;

-- nombre de pièces non standards dans le lot ;

– nombre de pièces sélectionnées ;

-- nombre de pièces non standards parmi celles sélectionnées.

Alors la loi de distribution de la variable aléatoire sera la suivante.

Densité de distribution probabilités X appeler la fonction f(x)– la dérivée première de la fonction de distribution F(x):

Le concept de densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire X non applicable pour les quantités discrètes.

Densité de distribution de probabilité f(x)– appelée fonction de distribution différentielle :

Propriété 1. La densité de distribution est une quantité non négative :

Propriété 2. L'intégrale impropre de la densité de distribution dans la plage de à est égale à l'unité :

Exemple 1.25.Étant donné la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X:

f(x).

Solution: La densité de distribution est égale à la dérivée première de la fonction de distribution :

1. Étant donné la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X:

Trouvez la densité de distribution.

2. La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est donnée X:

Trouver la densité de distribution f(x).

1.3. Caractéristiques numériques du hasard continu

quantités

Valeur attendue variable aléatoire continue X, dont les valeurs possibles appartiennent à tout l'axe Oh, est déterminé par l'égalité :

On suppose que l’intégrale converge absolument.

un B), Que:

f(x)– densité de distribution d'une variable aléatoire.

Dispersion variable aléatoire continue X, dont les valeurs possibles appartiennent à tout l'axe, est déterminée par l'égalité :

Un cas particulier. Si les valeurs d'une variable aléatoire appartiennent à l'intervalle ( un B), Que:

La probabilité que X prendra des valeurs appartenant à l'intervalle ( un B), est déterminé par l'égalité :

Exemple 1.26. Variable aléatoire continue X

Trouvez l'espérance mathématique, la variance et la probabilité de toucher une variable aléatoire X dans l'intervalle (0;0,7).

Solution: La variable aléatoire est distribuée sur l'intervalle (0,1). Déterminons la densité de distribution d'une variable aléatoire continue X:

a) Espérance mathématique :

b) Écart

Tâches pour le travail indépendant :

1. Variable aléatoire X donné par la fonction de distribution :

M(x);

b) écart D(x);

X dans l'intervalle (2,3).

2. Variable aléatoire X

Trouver : a) l'espérance mathématique M(x);

b) écart D(x);

c) déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire atteigne X dans l'intervalle (1;1.5).

3. Variable aléatoire X est donné par la fonction de distribution cumulative :

Trouver : a) l'espérance mathématique M(x);

b) écart D(x);

c) déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire atteigne X dans l'intervalle

1.4. Lois de distribution d'une variable aléatoire continue

1.4.1. Distribution uniforme

Variable aléatoire continue X a une distribution uniforme sur le segment [ un B], si sur ce segment la densité de distribution de probabilité de la variable aléatoire est constante, et en dehors de celui-ci elle est égale à zéro, c'est-à-dire :

Riz. 4.

; ; .

Exemple 1.27. Un bus sur un certain itinéraire se déplace uniformément à des intervalles de 5 minutes. Trouver la probabilité qu'une variable aléatoire uniformément distribuée X– le temps d'attente pour le bus sera inférieur à 3 minutes.

Solution: Valeur aléatoire X– uniformément réparti sur l'intervalle .

Densité de probabilité: .

Pour que le temps d'attente ne dépasse pas 3 minutes, le passager doit se présenter à l'arrêt dans les 2 à 5 minutes après le départ du bus précédent, soit valeur aléatoire X doit tomber dans l’intervalle (2;5). Que. probabilité requise :

Tâches pour le travail indépendant :

1. a) trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X réparti uniformément dans l'intervalle (2;8);

b) trouver la variance et l'écart type de la variable aléatoire X, répartis uniformément dans l'intervalle (2;8).

2. L'aiguille des minutes d'une horloge électrique se déplace brusquement à la fin de chaque minute. Trouvez la probabilité qu'à un moment donné l'horloge affiche une heure qui ne diffère pas de plus de 20 secondes de l'heure réelle.

1.4.2. Distribution exponentielle

Variable aléatoire continue X est distribué selon la loi exponentielle si sa densité de probabilité a la forme :

où est le paramètre de la distribution exponentielle.

Ainsi

Riz. 5.

Caractéristiques numériques :

Exemple 1.28. Valeur aléatoire X– la durée de fonctionnement d'une ampoule - a une distribution exponentielle. Déterminez la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit d'au moins 600 heures si la durée de fonctionnement moyenne est de 400 heures.

Solution: Selon les conditions du problème, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire Xéquivaut à 400 heures, donc :

;

La probabilité requise, où

Enfin:

Tâches pour le travail indépendant :

1. Écrivez la fonction de densité et de distribution de la loi exponentielle si le paramètre .

2. Variable aléatoire X

Trouver l'espérance mathématique et la variance d'une quantité X.

3. Variable aléatoire X est donné par la fonction de distribution de probabilité :

Trouvez l'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire.

1.4.3. Distribution normale

Normale est appelée la distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X, dont la densité a la forme :

Où UN– espérance mathématique, – écart type X.

La probabilité que X prendra une valeur appartenant à l'intervalle :

, Où

– Fonction de Laplace.

Une distribution pour laquelle ; , c'est à dire. avec densité de probabilité appelé standard.

Riz. 6.

Probabilité que la valeur absolue soit rejetée inférieure à un nombre positif :

En particulier, lorsque une = 0 l'égalité est vraie :

Exemple 1.29. Valeur aléatoire X normalement distribué. Écart-type. Trouvez la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à 0,3.

Solution: .

Tâches pour le travail indépendant :

1. Écrivez la densité de probabilité de la distribution normale de la variable aléatoire X, sachant que M(x)= 3, ré(x)= 16.

2. Attente et écart type d'une variable aléatoire normalement distribuée X respectivement égaux à 20 et 5. Trouver la probabilité qu'à la suite du test X prendra la valeur contenue dans l'intervalle (15;20).

3. Les erreurs de mesure aléatoires sont soumises à la loi normale avec l'écart type mm et l'espérance mathématique une = 0. Trouvez la probabilité que sur 3 mesures indépendantes l'erreur d'au moins une ne dépasse pas 4 mm en valeur absolue.

4. Une certaine substance est pesée sans erreurs systématiques. Les erreurs de pesée aléatoires sont soumises à la loi normale avec un écart type R. Trouvez la probabilité que la pesée soit effectuée avec une erreur ne dépassant pas 10 g en valeur absolue.