Dérivée de fonctions complexes avec pi. La règle pour différencier une fonction complexe. Dérivés complexes. Dérivée logarithmique. Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance (x à la puissance de a). Les dérivées des racines de x sont considérées. Formule pour la dérivée d'une fonction puissance d'ordre supérieur. Exemples de calcul de dérivés.

Contenu

Voir également: Fonction puissance et racines, formules et graphique
Graphiques de fonction de puissance

Formules de base

La dérivée de x à la puissance a est égale à a fois x à la puissance moins un :
(1) .

La dérivée de la nième racine de x à la mième puissance est :
(2) .

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance

Cas x > 0

Considérons une fonction puissance de la variable x d'exposant a :
(3) .
Ici, a est un nombre réel arbitraire. Considérons d'abord le cas.

Pour trouver la dérivée de la fonction (3), nous utilisons les propriétés d'une fonction puissance et la transformons sous la forme suivante :
.

Maintenant, nous trouvons la dérivée en utilisant :
;
.
Ici .

La formule (1) a fait ses preuves.

Dérivation de la formule de la dérivée d'une racine de degré n de x au degré de m

Considérons maintenant une fonction qui est la racine de la forme suivante :
(4) .

Pour trouver la dérivée, nous transformons la racine en fonction puissance :
.
En comparant avec la formule (3), nous voyons que
.
Alors
.

En utilisant la formule (1), nous trouvons la dérivée :
(1) ;
;
(2) .

En pratique, il n'est pas nécessaire de mémoriser la formule (2). Il est beaucoup plus pratique de transformer d'abord les racines en fonctions puissances, puis de trouver leurs dérivées à l'aide de la formule (1) (voir exemples en fin de page).

Cas x = 0

Si , alors la fonction puissance est définie pour la valeur de la variable x = 0 . Trouvons la dérivée de la fonction (3) en x = 0 . Pour ce faire, nous utilisons la définition d'une dérivée :
.

Remplaçons x = 0 :
.
Dans ce cas, par dérivée, nous entendons la limite droite pour laquelle .

Nous avons donc trouvé :
.
Il ressort clairement de cela que pour , .
À , .
À , .
Ce résultat est également obtenu à partir de la formule (1) :
(1) .
Par conséquent, la formule (1) est également valable pour x = 0 .

Cas x< 0

Considérons à nouveau la fonction (3) :
(3) .
Pour certaines valeurs de la constante a, elle est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Autrement dit, soit a un nombre rationnel. On peut alors la représenter comme une fraction irréductible :
,
où m et n sont des nombres entiers qui n'ont pas de diviseur commun.

Si n est impair, alors la fonction puissance est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Par exemple, lorsque n = 3 et m = 1 on a la racine cubique de x :
.
Il est également défini pour les valeurs négatives de la variable x.

Trouvons la dérivée de la fonction puissance (3) pour et pour les valeurs rationnelles de la constante a pour laquelle elle est définie. Pour ce faire, représentons x sous la forme suivante :
.
Alors ,
.
On trouve la dérivée en plaçant la constante en dehors du signe de la dérivée et en appliquant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

.
Ici . Mais
.
Depuis lors
.
Alors
.
Autrement dit, la formule (1) est également valable pour :
(1) .

Dérivés d'ordre supérieur

Trouvons maintenant les dérivées d'ordre supérieur de la fonction puissance
(3) .
Nous avons déjà trouvé la dérivée du premier ordre :
.

En prenant la constante a en dehors du signe de la dérivée, on trouve la dérivée du second ordre :
.
De même, on retrouve des dérivées du troisième et du quatrième ordre :
;

.

De là il ressort clairement que dérivée d'ordre n arbitraire a la forme suivante :
.

remarquerez que si a est un nombre naturel, alors la nième dérivée est constante :
.
Alors toutes les dérivées suivantes sont égales à zéro :
,
à .

Exemples de calcul de dérivés

Exemple

Trouvez la dérivée de la fonction :
.

Convertissons les racines en puissances :
;
.
La fonction originale prend alors la forme :
.

Trouver des dérivées de puissances :
;
.
La dérivée de la constante est nulle :
.

Dérivés complexes. Dérivée logarithmique.
Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle

Nous continuons à améliorer notre technique de différenciation. Dans cette leçon, nous consoliderons le matériel que nous avons couvert, examinerons des dérivées plus complexes et nous familiariserons également avec de nouvelles techniques et astuces pour trouver une dérivée, en particulier avec la dérivée logarithmique.

Les lecteurs qui ont un faible niveau de préparation devraient se référer à l'article Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions, ce qui vous permettra d'augmenter vos compétences presque à partir de zéro. Ensuite, vous devez étudier attentivement la page Dérivée d'une fonction complexe, comprendre et résoudre Tous les exemples que j'ai donnés. Cette leçon est logiquement la troisième consécutive, et après l'avoir maîtrisée, vous différencierez en toute confiance des fonctions assez complexes. Il n’est pas souhaitable d’adopter la position « Où d’autre ? Ça suffit ! », puisque tous les exemples et solutions sont tirés de tests réels et sont souvent rencontrés dans la pratique.

Commençons par la répétition. À la leçon Dérivée d'une fonction complexe Nous avons examiné un certain nombre d'exemples avec des commentaires détaillés. Au cours de l'étude du calcul différentiel et d'autres branches de l'analyse mathématique, vous devrez très souvent différencier, et il n'est pas toujours pratique (et pas toujours nécessaire) de décrire des exemples de manière très détaillée. Par conséquent, nous nous entraînerons à trouver des dérivées oralement. Les « candidats » les plus appropriés pour cela sont les dérivés des fonctions complexes les plus simples, par exemple :

Selon la règle de différenciation des fonctions complexes :

Lors de l'étude future d'autres sujets de matan, un enregistrement aussi détaillé n'est le plus souvent pas nécessaire, on suppose que l'étudiant sait comment trouver de telles dérivées sur pilote automatique. Imaginons qu'à 3 heures du matin, le téléphone sonne et qu'une voix agréable demande : « Quelle est la dérivée de la tangente de deux X ? Cela devrait être suivi d’une réponse presque instantanée et polie : .

Le premier exemple sera immédiatement destiné à une solution indépendante.

Exemple 1

Trouver oralement, en une seule action, les dérivées suivantes : . Pour terminer la tâche, il vous suffit d'utiliser table des dérivées des fonctions élémentaires(si vous ne vous en souvenez pas encore). Si vous rencontrez des difficultés, je vous recommande de relire la leçon Dérivée d'une fonction complexe.

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Réponses à la fin de la leçon

Dérivés complexes

Après une préparation préliminaire de l'artillerie, les exemples avec des imbrications de fonctions 3-4-5 seront moins effrayants. Les deux exemples suivants peuvent sembler compliqués à certains, mais si vous les comprenez (quelqu'un en souffrira), alors presque tout le reste du calcul différentiel ressemblera à une blague d'enfant.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme déjà noté, pour trouver la dérivée d'une fonction complexe, il faut tout d'abord Droite COMPRENEZ vos investissements. En cas de doute, je vous rappelle une technique utile : on prend par exemple la valeur expérimentale de « x » et on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de substituer cette valeur dans « expression terrible ».

1) Nous devons d’abord calculer l’expression, ce qui signifie que la somme est l’intégration la plus profonde.

2) Ensuite, vous devez calculer le logarithme :

4) Puis cubez le cosinus :

5) A la cinquième étape la différence :

6) Et enfin, la fonction la plus externe est la racine carrée :

Formule pour différencier une fonction complexe sont appliqués dans l’ordre inverse, de la fonction la plus externe à la fonction la plus interne. Nous décidons:

Il semble qu'il n'y ait aucune erreur...

(1) Prenez la dérivée de la racine carrée.

(2) On prend la dérivée de la différence en utilisant la règle

(3) La dérivée d'un triplet est nulle. Au deuxième terme on prend la dérivée du degré (cube).

(4) Prenez la dérivée du cosinus.

(5) Prenez la dérivée du logarithme.

(6) Et enfin, nous prenons la dérivée du plongement le plus profond.

Cela peut paraître trop difficile, mais ce n’est pas l’exemple le plus brutal. Prenez, par exemple, la collection de Kuznetsov et vous apprécierez toute la beauté et la simplicité du dérivé analysé. J'ai remarqué qu'ils aiment donner une chose similaire lors d'un examen pour vérifier si un étudiant comprend comment trouver la dérivée d'une fonction complexe ou ne comprend pas.

L’exemple suivant est à résoudre par vous-même.

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Astuce : nous appliquons d’abord les règles de linéarité et la règle de différenciation des produits.

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il est temps de passer à quelque chose de plus petit et de plus joli.
Il n’est pas rare qu’un exemple montre le produit non pas de deux, mais de trois fonctions. Comment trouver la dérivée du produit de trois facteurs ?

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Tout d’abord, regardons : est-il possible de transformer le produit de trois fonctions en produit de deux fonctions ? Par exemple, si nous avions deux polynômes dans le produit, nous pourrions alors ouvrir les parenthèses. Mais dans l’exemple considéré, toutes les fonctions sont différentes : degré, exposant et logarithme.

Dans de tels cas, il est nécessaire séquentiellement appliquer la règle de différenciation des produits deux fois

L'astuce est que par « y » nous désignons le produit de deux fonctions : , et par « ve » nous désignons le logarithme : . Pourquoi cela peut-il être fait ? Est ce que c'est vraiment – ce n’est pas le produit de deux facteurs et la règle ne fonctionne pas ?! Il n'y a rien de compliqué :

Reste maintenant à appliquer la règle une seconde fois mettre entre parenthèses :

Vous pouvez également vous tromper et mettre quelque chose entre parenthèses, mais dans ce cas, il est préférable de laisser la réponse exactement sous cette forme - ce sera plus facile à vérifier.

L'exemple considéré peut être résolu de la deuxième manière :

Les deux solutions sont absolument équivalentes.

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante ; dans l’exemple, elle est résolue en utilisant la première méthode.

Regardons des exemples similaires avec des fractions.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Vous pouvez y accéder de plusieurs manières :

Ou comme ceci :

Mais la solution s'écrira de manière plus compacte si l'on utilise d'abord la règle de différenciation du quotient , en prenant pour tout le numérateur :

En principe, l’exemple est résolu, et s’il reste tel quel, ce ne sera pas une erreur. Mais si vous avez le temps, il est toujours conseillé de vérifier sur un brouillon pour voir si la réponse peut être simplifiée ? Réduisons l'expression du numérateur à un dénominateur commun et débarrassons-nous de la fraction à trois étages:

L'inconvénient des simplifications supplémentaires est qu'il y a un risque de se tromper non pas lors de la recherche de la dérivée, mais lors de transformations scolaires banales. D'un autre côté, les enseignants rejettent souvent le devoir et demandent de « y penser » par la dérivée.

Un exemple plus simple à résoudre par vous-même :

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous continuons à maîtriser les méthodes de recherche de la dérivée, et nous allons maintenant considérer un cas typique où le logarithme « terrible » est proposé pour la différenciation

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez aller très loin en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Mais la toute première étape vous plonge immédiatement dans le découragement - vous devez prendre la dérivée désagréable d'une puissance fractionnaire, puis aussi d'une fraction.

C'est pourquoi avant comment prendre la dérivée d'un logarithme « sophistiqué », elle est d'abord simplifiée à l'aide de propriétés scolaires bien connues :

! Si vous avez un cahier de pratique sous la main, copiez-y directement ces formules. Si vous n'avez pas de cahier, copiez-les sur une feuille de papier, car les exemples restants de la leçon tourneront autour de ces formules.

La solution elle-même peut s’écrire quelque chose comme ceci :

Transformons la fonction :

Trouver la dérivée :

La pré-conversion de la fonction elle-même a grandement simplifié la solution. Ainsi, lorsqu'un logarithme similaire est proposé pour la différenciation, il convient toujours de le « décomposer ».

Et maintenant quelques exemples simples à résoudre par vous-même :

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Toutes les transformations et réponses sont à la fin de la leçon.

Dérivée logarithmique

Si la dérivée des logarithmes est une si douce musique, alors la question se pose : est-il possible dans certains cas d'organiser artificiellement le logarithme ? Peut! Et même nécessaire.

Exemple 11

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons récemment examiné des exemples similaires. Ce qu'il faut faire? Vous pouvez appliquer séquentiellement la règle de différenciation du quotient, puis la règle de différenciation du produit. L’inconvénient de cette méthode est que vous vous retrouvez avec une énorme fraction de trois étages, avec laquelle vous ne voulez pas du tout vous occuper.

Mais en théorie et en pratique, il existe une chose aussi merveilleuse que la dérivée logarithmique. Les logarithmes peuvent être organisés artificiellement en les « accrochant » des deux côtés :

Note : parce que une fonction peut prendre des valeurs négatives, alors, de manière générale, il faut utiliser des modules : , qui disparaîtra du fait de la différenciation. Cependant, la conception actuelle est également acceptable, car elle est prise en compte par défaut. complexe significations. Mais en toute rigueur, dans les deux cas, il convient de faire une réserve selon laquelle.

Il faut maintenant « désintégrer » le plus possible le logarithme du côté droit (des formules sous vos yeux ?). Je vais décrire ce processus en détail :

Commençons par la différenciation.
Nous concluons les deux parties sous le prime :

La dérivée du membre de droite est assez simple ; je ne la commenterai pas, car si vous lisez ce texte, vous devriez pouvoir la manier en toute confiance.

Et le côté gauche ?

Sur le côté gauche, nous avons fonction complexe. Je prévois la question : « Pourquoi y a-t-il une lettre « Y » sous le logarithme ?

Le fait est que ce « jeu à une lettre » - EST-IL MÊME UNE FONCTION(si ce n'est pas très clair, référez-vous à l'article Dérivée d'une fonction spécifiée implicitement). Par conséquent, le logarithme est une fonction externe et le « y » est une fonction interne. Et nous utilisons la règle pour différencier une fonction complexe :

Sur le côté gauche, comme par magie, nous avons une dérivée. Ensuite, selon la règle de proportion, on transfère le « y » du dénominateur du côté gauche vers le haut du côté droit :

Et maintenant, rappelons-nous de quel type de fonction de « joueur » nous avons parlé lors de la différenciation ? Regardons la condition :

Réponse finale:

Exemple 12

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Un plan de sondage d’un exemple de ce type se trouve à la fin de la leçon.

En utilisant la dérivée logarithmique, il a été possible de résoudre n'importe lequel des exemples n° 4 à 7, une autre chose est que les fonctions y sont plus simples et, peut-être, l'utilisation de la dérivée logarithmique n'est pas très justifiée.

Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle

Nous n'avons pas encore considéré cette fonction. Une fonction exponentielle en puissance est une fonction pour laquelle le degré et la base dépendent du «x». Un exemple classique qui vous sera donné dans n'importe quel manuel ou conférence :

Comment trouver la dérivée d’une fonction puissance-exponentielle ?

Il est nécessaire d'utiliser la technique qui vient d'être évoquée - la dérivée logarithmique. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés :

En règle générale, sur le côté droit, le degré est soustrait sous le logarithme :

Du coup, on a sur le côté droit le produit de deux fonctions, qui seront différenciées selon la formule standard .

On trouve la dérivée ; pour ce faire, on met les deux parties sous des traits :

Les autres actions sont simples :

Enfin:

Si une conversion n'est pas tout à fait claire, veuillez relire attentivement les explications de l'exemple n° 11.

Dans les tâches pratiques, la fonction puissance-exponentielle sera toujours plus compliquée que l'exemple de cours considéré.

Exemple 13

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous utilisons la dérivée logarithmique.

Sur le côté droit, nous avons une constante et le produit de deux facteurs - « x » et « logarithme du logarithme x » (un autre logarithme est imbriqué sous le logarithme). Lors de la différenciation, on s'en souvient, il est préférable de déplacer immédiatement la constante hors du signe dérivé afin qu'elle ne gêne pas ; et, bien sûr, nous appliquons la règle familière :

Sur lequel nous avons examiné les dérivées les plus simples, et nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et certaines techniques techniques pour trouver des dérivées. Ainsi, si vous n'êtes pas très doué avec les dérivées de fonctions ou si certains points de cet article ne sont pas tout à fait clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, soyez d'humeur sérieuse - le matériel n'est pas simple, mais je vais quand même essayer de le présenter simplement et clairement.

En pratique, il faut très souvent avoir affaire à la dérivée d'une fonction complexe, je dirais même presque toujours, lorsqu'on vous confie des tâches pour trouver des dérivées.

On regarde le tableau de la règle (n°5) de différenciation d'une fonction complexe :

Voyons cela. Tout d’abord, faisons attention à l’entrée. Ici, nous avons deux fonctions - et , et la fonction, au sens figuré, est imbriquée dans la fonction . Une fonction de ce type (lorsqu’une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée fonction complexe.

j'appellerai la fonction fonction externe, et la fonction – fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas apparaître dans la conception finale des missions. J'utilise des expressions informelles « fonction externe », fonction « interne » uniquement pour vous faciliter la compréhension du matériel.

Pour clarifier la situation, considérons :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre « X », mais une expression entière, donc trouver la dérivée directement à partir du tableau ne fonctionnera pas. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer ici les quatre premières règles, il semble y avoir une différence, mais le fait est que le sinus ne peut pas être « déchiré en morceaux » :

Dans cet exemple, il ressort déjà intuitivement de mes explications qu'une fonction est une fonction complexe et qu'un polynôme est une fonction interne (intégration) et une fonction externe.

Premier pas ce que vous devez faire pour trouver la dérivée d'une fonction complexe est de comprendre quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Dans le cas d’exemples simples, il semble clair qu’un polynôme est intégré sous le sinus. Et si tout n’était pas évident ? Comment déterminer avec précision quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je propose d'utiliser la technique suivante, qui peut être réalisée mentalement ou par brouillon.

Imaginons que nous devions calculer la valeur de l'expression sur une calculatrice (au lieu d'une, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que va-t-on calculer en premier ? Tout d'abord vous devrez effectuer l'action suivante : , le polynôme sera donc une fonction interne :

Deuxièmement il faudra trouver, donc sinus – sera une fonction externe :

Après nous ÉPUISÉ avec les fonctions internes et externes, il est temps d’appliquer la règle de différenciation des fonctions complexes .

Commençons par décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception d'une solution à toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

D'abord on trouve la dérivée de la fonction externe (sinus), regarde le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et remarque que . Toutes les formules du tableau sont également applicables si « x » est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Veuillez noter que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, c'est bien évident que

Le résultat de l'application de la formule dans sa forme finale, cela ressemble à ceci :

Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :

En cas de malentendu, notez la solution sur papier et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Voyons où nous avons une fonction externe et où nous avons une fonction interne. Pour ce faire, on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de calculer la valeur de l'expression en . Que devez-vous faire en premier ? Tout d'abord, il faut calculer à quoi est égale la base : le polynôme est donc la fonction interne :

Et seulement alors l'exponentiation est effectuée, donc la fonction puissance est une fonction externe :

D'après la formule , vous devez d’abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. On recherche la formule recherchée dans le tableau : . Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valable non seulement pour « X », mais aussi pour une expression complexe. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant:

J'insiste encore sur le fait que lorsque l'on prend la dérivée de la fonction externe, notre fonction interne ne change pas :

Il ne reste plus qu'à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à peaufiner un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Pour consolider votre compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayer de le comprendre par vous-même, raisonner où se trouve la fonction externe et où se trouve la fonction interne, pourquoi les tâches sont résolues de cette façon ?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée de la fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons ici une racine, et pour différencier la racine, il faut la représenter comme une puissance. Ainsi, nous mettons d’abord la fonction sous la forme appropriée à la différenciation :

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme des trois termes est une fonction interne, et que l'élévation à une puissance est une fonction externe. Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes :

Nous représentons à nouveau le degré comme un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne nous appliquons une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également réduire l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et tout écrire sous forme d'une seule fraction. C'est beau, bien sûr, mais quand on a des dérivées longues encombrantes, il vaut mieux ne pas faire ça (il est facile de se tromper, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Il est intéressant de noter que parfois au lieu de la règle de différenciation d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle de différenciation d'un quotient , mais une telle solution ressemblera à une perversion inhabituelle. Voici un exemple typique:

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient , mais il est bien plus rentable de trouver la dérivée par la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous retirons le moins du signe dérivé et élevons le cosinus au numérateur :

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Utilisons notre règle :

Nous trouvons la dérivée de la fonction interne et réinitialisons le cosinus :

Prêt. Dans l’exemple considéré, il est important de ne pas se tromper dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre en utilisant la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Jusqu’à présent, nous avons examiné des cas où nous n’avions qu’une seule imbrication dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées gigognes, les unes dans les autres, 3 voire 4 à 5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Comprenons les pièces jointes de cette fonction. Essayons de calculer l'expression en utilisant la valeur expérimentale. Comment pourrions-nous compter sur une calculatrice ?

Vous devez d’abord trouver , ce qui signifie que l’arc sinus est l’intégration la plus profonde :

Cet arc sinus de un doit alors être au carré :

Et enfin, on élève sept à la puissance :

Autrement dit, dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux incorporations, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Commençons par décider

Selon la règle Vous devez d’abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée de la fonction exponentielle : la seule différence est qu'au lieu de « x », nous avons une expression complexe, ce qui n'annule pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant.

Et le théorème sur la dérivée d'une fonction complexe dont la formulation est la suivante :

Soit 1) la fonction $u=\varphi (x)$ ait à un moment donné $x_0$ la dérivée $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) la fonction $y=f(u)$ avoir au correspondant au point $u_0=\varphi (x_0)$ la dérivée $y_(u)"=f"(u)$. Alors la fonction complexe $y=f\left(\varphi (x) \right)$ au point mentionné aura également une dérivée égale au produit des dérivées des fonctions $f(u)$ et $\varphi ( x)$ :

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ou, en notation plus courte : $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Dans les exemples de cette section, toutes les fonctions ont la forme $y=f(x)$ (c'est-à-dire que nous considérons uniquement les fonctions d'une variable $x$). En conséquence, dans tous les exemples, la dérivée $y"$ est prise par rapport à la variable $x$. Pour souligner que la dérivée est prise par rapport à la variable $x$, $y"_x$ est souvent écrit à la place de $y "$.

Les exemples n° 1, n° 2 et n° 3 décrivent le processus détaillé pour trouver la dérivée de fonctions complexes. L'exemple n°4 est destiné à une compréhension plus complète de la table des dérivées et il est logique de s'y familiariser.

Il est conseillé, après avoir étudié le matériel des exemples n° 1 à 3, de passer à la résolution indépendante des exemples n° 5, n° 6 et n° 7. Les exemples #5, #6 et #7 contiennent une courte solution afin que le lecteur puisse vérifier l'exactitude de son résultat.

Exemple n°1

Trouvez la dérivée de la fonction $y=e^(\cos x)$.

Nous devons trouver la dérivée d'une fonction complexe $y"$. Puisque $y=e^(\cos x)$, alors $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Pour trouver la dérivée $ \left(e^(\cos x)\right)"$ nous utilisons la formule n°6 du tableau des dérivées. Pour utiliser la formule n°6, il faut tenir compte du fait que dans notre cas $u=\cos x$. L'autre solution consiste à substituer simplement l'expression $\cos x$ au lieu de $u$ dans la formule n°6 :

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nous devons maintenant trouver la valeur de l'expression $(\cos x)"$. Nous revenons à la table des dérivées en choisissant la formule n° 10. En substituant $u=x$ dans la formule n° 10, nous avons : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Continuons maintenant l'égalité (1.1), en la complétant avec le résultat trouvé :

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Puisque $x"=1$, on continue l'égalité (1.2) :

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Ainsi, à partir de l'égalité (1.3) nous avons : $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturellement, les explications et les égalités intermédiaires sont généralement ignorées, en notant la découverte de la dérivée sur une seule ligne, comme dans l'égalité ( 1.3) Ainsi, la dérivée d'une fonction complexe a été trouvée, il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Répondre: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Exemple n°2

Trouvez la dérivée de la fonction $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Nous devons calculer la dérivée $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pour commencer, notons que la constante (c'est-à-dire le nombre 9) peut être soustraite du signe dérivé :

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Passons maintenant à l'expression $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pour faciliter la sélection de la formule souhaitée dans le tableau des dérivées, je vais présenter l'expression en question sous cette forme : $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Maintenant, il est clair qu'il faut utiliser la formule n°2, c'est-à-dire $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Remplaçons $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ et $\alpha=12$ dans cette formule :

En complétant l'égalité (2.1) avec le résultat obtenu, on a :

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Dans cette situation, une erreur est souvent commise lorsque le solveur choisit à la première étape la formule $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ au lieu de la formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Le fait est que la dérivée de la fonction externe doit venir en premier. Pour comprendre quelle fonction sera externe à l'expression $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imaginez que vous calculez la valeur de l'expression $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ à une certaine valeur $x$. Vous allez d’abord calculer la valeur de $5^x$, puis multiplier le résultat par 4, pour obtenir $4\cdot 5^x$. Nous prenons maintenant l'arctangente de ce résultat, obtenant $\arctg(4\cdot 5^x)$. Ensuite, nous élevons le nombre obtenu à la puissance douzième, obtenant $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. La dernière action, c'est-à-dire élever à la puissance 12 sera une fonction externe. Et c'est à partir de là qu'il faut commencer à trouver la dérivée, ce qui a été fait en égalité (2.2).

Nous devons maintenant trouver $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Nous utilisons la formule n° 19 du tableau des dérivées, en y remplaçant $u=4\cdot \ln x$ :

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Simplifions un peu l'expression résultante, en prenant en compte $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

L'égalité (2.2) deviendra désormais :

Il reste à trouver $(4\cdot \ln x)"$. Sortons la constante (c'est-à-dire 4) du signe dérivé : $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Pour trouver $(\ln x)"$, nous utilisons la formule n° 8 en y remplaçant $u=x$ : $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Puisque $x"=1$, alors $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ En substituant le résultat obtenu dans la formule (2.3), on obtient :

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Permettez-moi de vous rappeler que la dérivée d'une fonction complexe se trouve le plus souvent sur une seule ligne, comme écrit dans la dernière égalité. Par conséquent, lors de la préparation de calculs standard ou de travaux de contrôle, il n'est pas du tout nécessaire de décrire la solution avec autant de détails.

Répondre: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Exemple n°3

Recherchez $y"$ de la fonction $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Tout d'abord, transformons légèrement la fonction $y$, en exprimant le radical (racine) sous forme de puissance : $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Commençons maintenant par trouver la dérivée. Puisque $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, alors :

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Utilisons la formule n° 2 du tableau des dérivées, en y remplaçant $u=\sin(5\cdot 9^x)$ et $\alpha=\frac(3)(7)$ :

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Continuons l'égalité (3.1) en utilisant le résultat obtenu :

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nous devons maintenant trouver $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Pour cela, nous utilisons la formule n° 9 du tableau des dérivées, en y remplaçant $u=5\cdot 9^x$ :

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Après avoir complété l'égalité (3.2) par le résultat obtenu, nous avons :

Il reste à trouver $(5\cdot 9^x)"$. Tout d'abord, prenons la constante (le nombre $5$) en dehors du signe dérivé, c'est-à-dire $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Pour trouver la dérivée $(9^x)"$, appliquez la formule n°5 du tableau des dérivées en y remplaçant $a=9$ et $u=x$ : $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Puisque $x"=1$, alors $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nous pouvons maintenant continuer l'égalité (3.3) :

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Nous pouvons à nouveau revenir des puissances aux radicaux (c'est-à-dire aux racines), en écrivant $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ sous la forme $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Alors la dérivée s’écrira sous cette forme :

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Répondre: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Exemple n°4

Montrer que les formules n° 3 et n° 4 du tableau des dérivées sont un cas particulier de la formule n° 2 de ce tableau.

La formule n°2 du tableau des dérivées contient la dérivée de la fonction $u^\alpha$. En substituant $\alpha=-1$ dans la formule n°2, on obtient :

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Puisque $u^(-1)=\frac(1)(u)$ et $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, alors l'égalité (4.1) peut être réécrite comme suit : $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Il s’agit de la formule n°3 du tableau des dérivés.

Revenons à la formule n°2 du tableau des dérivées. Remplaçons-y $\alpha=\frac(1)(2)$ :

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Puisque $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ et $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, alors l'égalité (4.2) peut être réécrite comme suit :

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

L'égalité résultante $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ est la formule n°4 du tableau des dérivées. Comme vous pouvez le constater, les formules n° 3 et n° 4 du tableau des dérivées sont obtenues à partir de la formule n° 2 en substituant la valeur $\alpha$ correspondante.

Dans les manuels « anciens », on l’appelle aussi la règle de la « chaîne ». Donc si y = f (u), et u = φ (x), c'est

y = f (φ (x))

complexe - fonction composée (composition de fonctions) alors

Où , après calcul est considéré à u = φ (x).

A noter qu'ici nous avons pris des compositions « différentes » à partir des mêmes fonctions, et le résultat de la différenciation s'est naturellement avéré dépendre de l'ordre de « mélange ».

La règle de la chaîne s’étend naturellement aux compositions de trois fonctions ou plus. Dans ce cas, il y aura trois « maillons » ou plus dans la « chaîne » qui constitue le dérivé. Voici une analogie avec la multiplication : « nous avons » une table de dérivées ; "là" - table de multiplication ; « avec nous » est la règle de la chaîne et « là » est la règle de multiplication de la « colonne ». Lors du calcul de telles dérivées « complexes », aucun argument auxiliaire (u¸v, etc.), bien sûr, n'est introduit, mais, ayant noté par eux-mêmes le nombre et la séquence de fonctions impliquées dans la composition, les liens correspondants sont « enfilés » dans l'ordre indiqué.

. Ici, avec le « x » pour obtenir la valeur du « y », cinq opérations sont effectuées, c'est-à-dire qu'il y a une composition de cinq fonctions : « externe » (la dernière d'entre elles) - exponentielle - e  ; puis dans l'ordre inverse, la puissance. (♦) 2 ; péché trigonométrique(); calme. () 3 et enfin logarithmique ln.(). C'est pourquoi

Avec les exemples suivants, nous allons « faire d'une pierre deux coups » : nous nous entraînerons à différencier des fonctions complexes et à compléter le tableau des dérivées des fonctions élémentaires. Donc:

4. Pour une fonction puissance - y = x α - en la réécrivant en utilisant la célèbre « identité logarithmique de base » - b=e ln b - sous la forme x α = x α ln x on obtient

5. Pour une fonction exponentielle arbitraire, en utilisant la même technique que nous aurons

6. Pour une fonction logarithmique arbitraire, en utilisant la formule bien connue de transition vers une nouvelle base, on obtient systématiquement

7. Pour différencier la tangente (cotangente), on utilise la règle de différenciation des quotients :

Pour obtenir les dérivées des fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons la relation qui est satisfaite par les dérivées de deux fonctions mutuellement inverses, c'est-à-dire les fonctions φ (x) et f (x) liées par les relations :

C'est le rapport