La fraction s'appelle correct, si le degré le plus élevé du numérateur est inférieur au degré le plus élevé du dénominateur. L'intégrale d'une fraction rationnelle propre a la forme :

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

La formule d'intégration des fractions rationnelles dépend des racines du polynôme au dénominateur. Si le polynôme $ ax^2+bx+c $ a :

1. Uniquement des racines complexes, il faut alors en extraire un carré complet : $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Divers vraies racines$ x_1 $ et $ x_2 $, alors vous devez développer l'intégrale et trouver les coefficients indéfinis $ A $ et $ B $ : $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \ frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Une racine multiple $ x_1 $, puis nous développons l'intégrale et trouvons les coefficients indéfinis $ A $ et $ B $ pour la formule suivante : $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Si la fraction est faux, c'est-à-dire que le degré le plus élevé du numérateur est supérieur ou égal au degré le plus élevé du dénominateur, il faut d'abord le réduire à correct forme en divisant le polynôme du numérateur par le polynôme du dénominateur. Dans ce cas, la formule d'intégration d'une fraction rationnelle a la forme :

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Exemples de solutions

Exemple 1

Trouver l'intégrale de la fraction rationnelle : $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Solution

La fraction est propre et le polynôme n’a que des racines complexes. On sélectionne donc un carré complet : $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ On plie un carré complet et on le place sous le signe différentiel $ x-5 $ : $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ En utilisant le tableau des intégrales on obtient : $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +$CAN$ Si vous ne parvenez pas à résoudre votre problème, envoyez-le-nous. Nous fournirons solution détaillée. Vous pourrez visualiser la progression du calcul et obtenir des informations. Cela vous aidera à obtenir votre note de votre professeur en temps opportun !

Répondre

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +$CAN$

Exemple 2

Effectuer l'intégration de fractions rationnelles : $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Solution

Décidons équation quadratique: $$x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Nous notons les racines : $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Compte tenu des racines obtenues, on transforme l'intégrale : $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ On effectue le développement d'une fraction rationnelle : $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Nous égalisons les numérateurs et trouvons les coefficients $ A $ et $ B $ : $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Hache + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Nous substituons les coefficients trouvés dans l'intégrale et la résolvons : $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +$CAN$

Répondre

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +$CAN$

Comme je l'ai déjà noté, dans le calcul intégral, il n'existe pas de formule pratique pour intégrer une fraction. Et donc, il y a une triste tendance : plus la fraction est sophistiquée, plus il est difficile de trouver son intégrale. À cet égard, vous devez recourir à diverses astuces, dont je vais maintenant vous parler. Les lecteurs avertis peuvent immédiatement profiter de table des matières:

• Méthode de subsumation du signe différentiel pour les fractions simples

Méthode de conversion du numérateur artificiel

Exemple 1

À propos, l'intégrale considérée peut également être résolue par la méthode du changement de variable, notant , mais l'écriture de la solution sera beaucoup plus longue.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Il est à noter que la méthode de remplacement de variable ne fonctionnera plus ici.

Attention, important ! Les exemples n°1, 2 sont typiques et surviennent fréquemment. En particulier, de telles intégrales apparaissent souvent lors de la solution d'autres intégrales, en particulier lors de l'intégration de fonctions irrationnelles (racines).

La technique considérée fonctionne également dans le cas si le plus haut degré du numérateur est supérieur au plus haut degré du dénominateur.

Exemple 3

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Nous commençons à sélectionner le numérateur.

L'algorithme de sélection du numérateur ressemble à ceci :

1) Au numérateur, je dois organiser , mais là . Ce qu'il faut faire? Je le mets entre parenthèses et multiplie par : .

2) Maintenant, j'essaie d'ouvrir ces supports, que se passe-t-il ? . Hmm... c'est mieux, mais il n'y a pas deux au numérateur au départ. Ce qu'il faut faire? Il faut multiplier par :

3) J'ouvre à nouveau les parenthèses : . Et voici le premier succès ! Cela s'est avéré parfait ! Mais le problème est qu’un terme supplémentaire est apparu. Ce qu'il faut faire? Pour éviter que l'expression ne change, je dois ajouter la même chose à ma construction :
. La vie est devenue plus facile. Est-il possible de s'organiser à nouveau au numérateur ?

4) C'est possible. Essayons: . Ouvrez les parenthèses du deuxième terme :
. Désolé, mais à l'étape précédente, je n'avais pas . Ce qu'il faut faire? Il faut multiplier le deuxième terme par :

5) Encore une fois, pour vérifier, j'ouvre les parenthèses au deuxième terme :
. Maintenant c'est normal : dérivé de la construction finale du point 3 ! Mais encore une fois il y a un petit « mais », un terme supplémentaire est apparu, ce qui fait que je dois ajouter à mon expression :

Si tout est fait correctement, alors lorsque nous ouvrons toutes les parenthèses, nous devrions obtenir le numérateur d'origine de l'intégrande. Nous vérifions:
Capot.

Ainsi:

Prêt. Au cours du dernier trimestre, j'ai utilisé la méthode consistant à subsumer une fonction sous un différentiel.

Si nous trouvons la dérivée de la réponse et réduisons l’expression à dénominateur commun, alors nous obtenons exactement la fonction intégrande d'origine. La méthode de décomposition envisagée en une somme n'est rien de plus que l'action inverse consistant à ramener une expression à un dénominateur commun.

Algorithme de sélection du numérateur dans exemples similaires Il est préférable de le faire sous forme de brouillon. Avec quelques compétences, cela fonctionnera mentalement. Je me souviens d'un cas record où j'effectuais une sélection pour la puissance 11, et l'expansion du numérateur occupait près de deux lignes de Verd.

Exemple 4

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Méthode de subsumation du signe différentiel pour les fractions simples

Passons à l'examen du type de fractions suivant.
, , , (les coefficients et ne sont pas égaux à zéro).

En fait, quelques cas avec arc sinus et arc tangente ont déjà été mentionnés dans la leçon Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie. De tels exemples sont résolus en subsumant la fonction sous le signe différentiel et en intégrant davantage à l'aide d'un tableau. Voici des exemples plus typiques avec des logarithmes longs et élevés :

Exemple 5

Exemple 6

Ici, il est conseillé de prendre un tableau des intégrales et de voir quelles formules et Comment la transformation s’opère. Note, comment et pourquoi Les carrés de ces exemples sont mis en évidence. En particulier, dans l'exemple 6, nous devons d'abord représenter le dénominateur sous la forme , puis placez-le sous le signe différentiel. Et tout cela doit être fait pour utiliser la formule tabulaire standard .

Pourquoi chercher, essayez de résoudre vous-même les exemples n°7, 8, d'autant plus qu'ils sont assez courts :

Exemple 7

Exemple 8

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Si vous parvenez également à vérifier ces exemples, alors grand respect : vos capacités de différenciation sont excellentes.

Méthode de sélection par carré complet

Intégrales de la forme (les coefficients et ne sont pas égaux à zéro) sont résolus méthode d'extraction de carrés complets, qui est déjà apparu dans la leçon Transformations géométriques des graphiques.

En fait, de telles intégrales se réduisent à l’une des quatre intégrales tabulaires que nous venons d’examiner. Et cela est réalisé à l'aide de formules de multiplication abrégées familières :

Les formules sont appliquées précisément dans cette direction, c'est-à-dire que l'idée de la méthode est d'organiser artificiellement les expressions soit au dénominateur, puis de les convertir en conséquence dans l'un ou l'autre.

Exemple 9

Trouver l'intégrale indéfinie

Ce exemple le plus simple, dans lequel avec le terme – coefficient unitaire(et pas un nombre ou un moins).

Regardons le dénominateur, ici toute l'affaire relève clairement du hasard. Commençons par convertir le dénominateur :

Évidemment, il faut en ajouter 4. Et, pour que l'expression ne change pas, soustraire les mêmes quatre :

Vous pouvez maintenant appliquer la formule :

Une fois la conversion terminée TOUJOURS Il est conseillé d'effectuer le mouvement inverse : tout va bien, il n'y a pas d'erreurs.

La conception finale de l'exemple en question devrait ressembler à ceci :

Prêt. Subsumer une fonction complexe « libre » sous le signe différentiel : , en principe, pourrait être négligé

Exemple 10

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, la réponse se trouve à la fin de la leçon

Exemple 11

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Que faire quand il y a un moins devant ? Dans ce cas, nous devons retirer le moins des parenthèses et organiser les termes dans l'ordre souhaité : . Constante(« deux » dans ce cas) ne touchez pas !

Maintenant, nous en ajoutons un entre parenthèses. En analysant l'expression, nous arrivons à la conclusion qu'il faut en ajouter une en dehors des parenthèses :

Ici, nous obtenons la formule, appliquez :

TOUJOURS Nous vérifions le brouillon :
, c'est ce qui devait être vérifié.

L'exemple propre ressemble à ceci :

Rendre la tâche plus difficile

Exemple 12

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Ici, le terme n'est plus un coefficient unitaire, mais un « cinq ».

(1) S'il y a une constante à, alors nous la retirons immédiatement des parenthèses.

(2) En général, il est toujours préférable de déplacer cette constante en dehors de l'intégrale afin qu'elle ne gêne pas.

(3) Évidemment, tout se résumera à la formule. Il faut comprendre le terme, à savoir obtenir le « deux »

(4) Ouais, . Cela signifie que nous ajoutons à l’expression et soustrayons la même fraction.

(5) Sélectionnez maintenant un carré complet. Dans le cas général, il faut aussi calculer , mais ici nous avons la formule d'un logarithme long , et cela ne sert à rien d'effectuer l'action ; pourquoi deviendra clair ci-dessous.

(6) En fait, on peut appliquer la formule , seulement au lieu de « X » nous avons , ce qui n'annule pas la validité de l'intégrale du tableau. À proprement parler, une étape a été manquée : avant l'intégration, la fonction aurait dû être englobée sous le signe différentiel : , mais, comme je l’ai souligné à plusieurs reprises, cela est souvent négligé.

(7) Dans la réponse sous la racine, il est conseillé d'élargir toutes les parenthèses :

Difficile? Ce n’est pas la partie la plus difficile du calcul intégral. Cependant, les exemples considérés ne sont pas tellement complexes car ils nécessitent de bonnes techniques informatiques.

Exemple 13

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Il existe des intégrales avec des racines au dénominateur, qui, par substitution, se réduisent à des intégrales du type considéré ; vous pouvez les lire dans l'article Intégrales complexes, mais il est conçu pour des étudiants très préparés.

Subsumer le numérateur sous le signe différentiel

C'est la dernière partie de la leçon, cependant, les intégrales de ce type sont assez courantes ! Si vous êtes fatigué, peut-être vaut-il mieux lire demain ? ;)

Les intégrales que nous considérerons sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou (coefficients , et ne sont pas égaux à zéro).

Autrement dit, nous avons maintenant une fonction linéaire au numérateur. Comment résoudre de telles intégrales ?

Problème de recherche intégrale indéfinie la fonction fractionnellement rationnelle se réduit à l’intégration de fractions simples. Par conséquent, nous vous recommandons de vous familiariser d'abord avec la section de la théorie de la décomposition des fractions en la plus simple.

Exemple.

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Solution.

Puisque le degré du numérateur de l'intégrande est égal au degré du dénominateur, on sélectionne d'abord la partie entière en divisant le polynôme par le polynôme avec une colonne :

C'est pourquoi, .

La décomposition de la fraction rationnelle propre résultante en fractions plus simples a la forme . Ainsi,

L’intégrale résultante est l’intégrale de la fraction la plus simple du troisième type. En regardant un peu plus loin, on constate que vous pouvez le prendre en le subsumant sous le signe différentiel.

Parce que , Que . C'est pourquoi

Ainsi,

Passons maintenant à la description des méthodes d'intégration de fractions simples de chacun des quatre types.

Intégration de fractions simples du premier type

La méthode d'intégration directe est idéale pour résoudre ce problème :

Exemple.

Trouver l'ensemble des primitives d'une fonction

Solution.

Trouvons l'intégrale indéfinie en utilisant les propriétés de la primitive, le tableau des primitives et la règle d'intégration.

Haut de page

Intégration de fractions simples du deuxième type

La méthode d'intégration directe convient également pour résoudre ce problème :

Exemple.

Solution.

Haut de page

Intégration de fractions simples du troisième type

Nous présentons d’abord l’intégrale indéfinie en somme :

On prend la première intégrale en la subsumant sous le signe différentiel :

C'est pourquoi,

Transformons le dénominateur de l'intégrale résultante :

Ainsi,

La formule d'intégration des fractions simples du troisième type prend la forme :

Exemple.

Trouver l'intégrale indéfinie .

Solution.

Nous utilisons la formule résultante :

Si nous n’avions pas cette formule, que ferions-nous :

Haut de page

Intégration de fractions simples du quatrième type

La première étape consiste à le mettre sous le signe différentiel :

La deuxième étape consiste à trouver une intégrale de la forme . Les intégrales de ce type sont trouvées à l'aide de formules de récurrence. (Voir la section sur l'intégration à l'aide de formules de récurrence.) La formule récurrente suivante convient à notre cas :

Exemple.

Trouver l'intégrale indéfinie

Solution.

Pour ce type d'intégrande nous utilisons la méthode de substitution. Introduisons une nouvelle variable (voir section intégration fonctions irrationnelles):

Après substitution on a :

Nous sommes arrivés à trouver l’intégrale d’une fraction du quatrième type. Dans notre cas nous avons des coefficients M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Et n=3. Nous appliquons la formule récurrente :

Après remplacement inversé, nous obtenons le résultat :

L'intégration fonctions trigonométriques

1. Intégrales du formulaire sont calculés en transformant le produit de fonctions trigonométriques en une somme à l'aide des formules : Par exemple, 2.Intégrales de la forme , Où m ou n– un nombre positif impair, calculé en le subsumant sous le signe différentiel. Par exemple, 3. Intégrales du formulaire , Où m Et n-même nombres positifs, sont calculés à l'aide de formules de réduction de puissance : Par exemple, 4. Intégrales où sont calculés en changeant la variable : ou Par exemple, 5. Les intégrales de la forme sont alors réduites aux intégrales de fractions rationnelles en utilisant une substitution trigonométrique universelle (puisque =[après avoir divisé le numérateur et le dénominateur par ]= ; Par exemple, Il convient de noter que le recours à la substitution universelle conduit souvent à des calculs fastidieux.

§5. Intégration des irrationalités les plus simples

Considérons les méthodes d'intégration des types d'irrationalité les plus simples. 1. Les fonctions de ce type sont intégrées de la même manière que les fractions rationnelles les plus simples du 3ème type : au dénominateur, un carré complet est isolé du trinôme carré et une nouvelle variable est introduite. Exemple. 2. (sous le signe intégral – fonction rationnelle des arguments). Les intégrales de ce type sont calculées par substitution. En particulier, dans les intégrales de la forme, nous notons . Si l'intégrande contient des racines de degrés différents : , puis indique où n– le plus petit commun multiple de nombres m,k. Exemple 1. Exemple 2. -fraction rationnelle impropre, sélectionnez la partie entière : – – – 3. Intégrales du formulaire sont calculés à l'aide de substitutions trigonométriques :

44

45 Intégrale définie

Intégrale définie- une fonctionnelle normalisée monotone additive définie sur un ensemble de couples dont la première composante est une fonction ou fonctionnelle intégrable, et la seconde est un domaine dans l'ensemble de spécification de cette fonction (fonctionnelle).

Définition

Qu'il soit défini le . Divisons-le en parties avec plusieurs points arbitraires. Ensuite, ils disent que le segment a été partitionné. Ensuite, choisissez un point arbitraire , ,

Une intégrale définie d'une fonction sur un intervalle est la limite des sommes intégrales lorsque le rang de la partition tend vers zéro, si elle existe indépendamment de la partition et du choix des points, c'est-à-dire

Si la limite spécifiée existe, alors la fonction est dite intégrable de Riemann.

Désignations

· - limite inférieure.

· - limite supérieure.

· - fonction intégrande.

· - longueur du segment partiel.

· - somme intégrale de la fonction sur la partition correspondante.

· - longueur maximale d'un segment partiel.

Propriétés

Si une fonction est intégrable par Riemann sur , alors elle y est bornée.

Signification géométrique

Intégrale définie comme l'aire d'une figure

Intégrale définie numériquement égal à la superficie une figure délimitée par l'axe des x, les lignes droites et le graphique de la fonction.

Théorème de Newton-Leibniz

[modifier]

(redirigé depuis "Formule Newton-Leibniz")

Formule de Newton-Leibniz ou théorème principal de l'analyse donne la relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive.

Preuve

Soit une fonction intégrable sur un intervalle. Commençons par noter que

c'est-à-dire que peu importe quelle lettre (ou) se trouve sous le signe dans l'intégrale définie sur le segment.

Fixons une valeur arbitraire et déterminons nouvelle fonctionnalité . Il est défini pour toutes les valeurs de , car on sait que s'il existe une intégrale de on , alors il y a aussi une intégrale de on , où . Rappelons que l'on considère par définition

(1)

remarquerez que

Montrons qu'elle est continue sur l'intervalle . En fait, disons ; Alors

et si, alors

Ainsi, il est continu, qu’il ait ou non des discontinuités ; il est important qu'il soit intégrable sur .

La figure montre un graphique. L'aire du chiffre variable est . Son incrément est égal à l'aire de la figure , qui, en raison de ses limites, tend évidemment vers zéro, qu'il s'agisse d'un point de continuité ou de discontinuité, par exemple un point.

Supposons maintenant que la fonction soit non seulement intégrable sur , mais continue au point . Montrons qu'alors la dérivée en ce point est égale à

(2)

En fait, pour le point indiqué

(1) , (3)

On met , et comme il est constant par rapport à ,TO . De plus, en raison de la continuité en un point, pour n'importe qui peut spécifier tel que pour .

ce qui prouve que le côté gauche de cette inégalité est o(1) pour .

Le passage à la limite en (3) à montre l'existence de la dérivée de au point et la validité de l'égalité (2). Lorsque nous parlons ici des dérivées droite et gauche, respectivement.

Si une fonction est continue sur , alors, d'après ce qui a été prouvé ci-dessus, la fonction correspondante

(4)

a une dérivée égale à . La fonction est donc une primitive de .

Cette conclusion est parfois appelée théorème intégral de la limite supérieure variable ou théorème de Barrow.

Nous avons prouvé qu'une fonction arbitraire continue sur un intervalle a une primitive sur cet intervalle définie par l'égalité (4). Cela prouve l’existence d’une primitive pour toute fonction continue sur un intervalle.

Supposons maintenant qu'il y ait une primitive arbitraire d'une fonction sur . Nous savons que, où est une constante. En supposant cette égalité et en tenant compte de cela, nous obtenons .

Ainsi, . Mais

Intégrale incorrecte

[modifier]

Matériel de Wikipédia - l'encyclopédie gratuite

Intégrale définie appelé pas le vôtre, si au moins une des conditions suivantes est remplie :

· La limite a ou b (ou les deux limites) sont infinies ;

· La fonction f(x) a un ou plusieurs points d'arrêt à l'intérieur du segment.

[modifier]Intégrales impropres du premier type

. Alors:

1. Si et l'intégrale s'appelle . Dans ce cas est dite convergente.

, ou simplement divergent.

Soit défini et continu sur le plateau de et . Alors:

1. Si , alors la notation est utilisée et l'intégrale s'appelle intégrale de Riemann impropre du premier type. Dans ce cas est dite convergente.

2. S'il n'y a pas de fini ( ou ), alors l’intégrale diverge vers , ou simplement divergent.

Si une fonction est définie et continue sur toute la droite numérique, alors il peut y avoir une intégrale impropre de cette fonction avec deux limites d'intégration infinies, définies par la formule :

, où c est un nombre arbitraire.

[modifier] Signification géométrique d'une intégrale impropre de première espèce

L'intégrale impropre exprime l'aire d'un trapèze courbe infiniment long.

[modifier] Exemples

[modifier]Intégrales incorrectes du deuxième type

Soit défini sur , subit une discontinuité infinie au point x=a et . Alors:

1. Si , alors la notation est utilisée et l'intégrale s'appelle

appelé divergent à , ou simplement divergent.

Soit défini sur , subit une discontinuité infinie en x=b et . Alors:

1. Si , alors la notation est utilisée et l'intégrale s'appelle intégrale de Riemann impropre du deuxième type. Dans ce cas, l’intégrale est dite convergente.

2. Si ou , alors la désignation reste la même, et appelé divergent à , ou simplement divergent.

Si la fonction subit une discontinuité en un point intérieur du segment, alors l'intégrale impropre de seconde espèce est déterminée par la formule :

[modifier] Signification géométrique des intégrales impropres du deuxième type

L'intégrale impropre exprime l'aire d'un trapèze incurvé infiniment haut

[modifier] Exemple

[modifier]Cas isolé

Laissez la fonction être définie sur toute la droite numérique et avoir une discontinuité aux points.

On peut alors trouver l’intégrale impropre

[modifier] Critère de Cauchy

1. Qu'il soit défini sur un ensemble de et .

Alors converge

2. Soit défini sur et .

Alors converge

[modifier]Convergence absolue

Intégral appelé absolument convergent, Si converge.
Si l’intégrale converge de manière absolue, alors elle converge.

[modifier]Convergence conditionnelle

L'intégrale s'appelle conditionnellement convergent, s'il converge, mais diverge.

48 12. Intégrales incorrectes.

Lorsqu'on considère des intégrales définies, nous supposons que la région d'intégration est limitée (plus précisément, il s'agit d'un segment [ un ,b ]); Pour l’existence d’une intégrale définie, l’intégrande doit être borné sur [ un ,b ]. Nous appellerons intégrales définies, pour lequel ces deux conditions sont satisfaites (limite du domaine d'intégration et de la fonction intégrande) propre; intégrales pour lesquelles ces exigences ne sont pas respectées (c'est-à-dire que l'intégrande ou le domaine d'intégration est illimité, ou les deux) pas le vôtre. Dans cette section, nous étudierons les intégrales impropres.

• 12.1. Intégrales impropres sur un intervalle illimité (intégrales impropres de première espèce).
• 12.1.1. Définition d'une intégrale impropre sur un intervalle infini. Exemples.
• 12.1.2. Formule de Newton-Leibniz pour une intégrale impropre.
• 12.1.3. Critères de comparaison pour les fonctions non négatives.
• 12.1.3.1. Signe de comparaison.
• 12.1.3.2. Un signe de comparaison dans sa forme extrême.
• 12.1.4. Convergence absolue d'intégrales impropres sur un intervalle infini.
• 12.1.5. Tests de convergence d'Abel et Dirichlet.
• 12.2. Intégrales incorrectes de fonctions illimitées(intégrales impropres du deuxième type).
• 12.2.1. Définition d'une intégrale impropre d'une fonction illimitée.
• 12.2.1.1. La singularité est à l'extrémité gauche de l'intervalle d'intégration.
• 12.2.1.2. Application de la formule de Newton-Leibniz.
• 12.2.1.3. Singularité à l’extrémité droite de l’intervalle d’intégration.
• 12.2.1.4. Singularité au point intérieur de l'intervalle d'intégration.
• 12.2.1.5. Plusieurs fonctionnalités sur l'intervalle d'intégration.
• 12.2.2. Critères de comparaison pour les fonctions non négatives.
• 12.2.2.1. Signe de comparaison.
• 12.2.2.2. Un signe de comparaison dans sa forme extrême.
• 12.2.3. Convergence absolue et conditionnelle d'intégrales impropres de fonctions discontinues.
• 12.2.4. Tests de convergence d'Abel et Dirichlet.

12.1. Intégrales incorrectes sur un intervalle illimité

(intégrales impropres du premier type).

12.1.1. Définition d'une intégrale impropre sur un intervalle infini. Laissez la fonction F (X ) est défini sur le demi-axe et est intégrable sur tout intervalle [ de, impliquant dans chacun de ces cas l’existence et la finitude des limites correspondantes. Maintenant, les solutions aux exemples semblent plus simples : .

12.1.3. Critères de comparaison pour les fonctions non négatives. Dans cette section, nous supposerons que tous les intégrandes sont non négatifs sur tout le domaine de définition. Jusqu'à présent, nous avons déterminé la convergence de l'intégrale en la calculant : s'il existe une limite finie de la primitive avec la tendance correspondante ( ou ), alors l'intégrale converge, sinon elle diverge. Au moment de décider problèmes pratiques, cependant, il est important d'abord d'établir le fait même de la convergence, et ensuite seulement de calculer l'intégrale (d'ailleurs, la primitive n'est souvent pas exprimée par fonctions élémentaires). Formulons et prouvons un certain nombre de théorèmes qui permettent d'établir la convergence et la divergence d'intégrales impropres de fonctions non négatives sans les calculer.
12.1.3.1. Signe de comparaison. Laissez les fonctions F (X ) Et g (X ) intégrale

Intégration d'une fonction fractionnaire-rationnelle.
Méthode du coefficient incertain

Nous continuons à travailler sur l'intégration des fractions. Nous avons déjà examiné les intégrales de certains types de fractions dans la leçon, et cette leçon, en un sens, peut être considérée comme une continuation. Pour bien comprendre le matériel, des compétences de base en intégration sont requises, donc si vous venez de commencer à étudier les intégrales, c'est-à-dire que vous êtes débutant, vous devez alors commencer par l'article Intégrale indéfinie. Exemples de solutions.

Curieusement, nous ne nous intéresserons plus tant à la recherche d'intégrales, mais... à la résolution de systèmes équations linéaires. À cet égard instamment Je recommande d'assister au cours, c'est-à-dire que vous devez bien connaître les méthodes de substitution (méthode « école » et méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations système).

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle fractionnaire ? En mots simples, une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes ou des produits de polynômes. De plus, les fractions sont plus sophistiquées que celles évoquées dans l'article Intégrer certaines fractions.

Intégrer une fonction fractionnaire-rationnelle appropriée

Immédiatement un exemple et un algorithme typique pour résoudre l'intégrale d'une fonction fractionnaire-rationnelle.

Exemple 1

Étape 1. La première chose que nous faisons TOUJOURS lors de la résolution d’une intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire est de clarifier la question suivante : la fraction est-elle correcte ? Cette étape s'effectue verbalement, et maintenant je vais vous expliquer comment :

Nous regardons d'abord le numérateur et découvrons diplôme supérieur polynôme:

La puissance principale du numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et découvrons diplôme supérieur dénominateur. La solution la plus évidente consiste à ouvrir les supports et à amener termes similaires, mais vous pouvez le faire plus facilement, en chaque trouver le diplôme le plus élevé entre parenthèses

et multipliez mentalement : - ainsi, le degré le plus élevé du dénominateur est égal à trois. Il est bien évident que si nous ouvrons effectivement les parenthèses, nous n’obtiendrons pas un degré supérieur à trois.

Conclusion: Degré majeur du numérateur STRICTEMENT est inférieur à la puissance la plus élevée du dénominateur, ce qui signifie que la fraction est propre.

Si dans dans cet exemple le numérateur contenait le polynôme 3, 4, 5, etc. degrés, alors la fraction serait faux.

Nous ne considérerons maintenant que les fonctions rationnelles fractionnaires correctes. Le cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur sera abordé à la fin de la leçon.

Étape 2. Factorisons le dénominateur. Regardons notre dénominateur :

D’une manière générale, cela est déjà le produit de facteurs, mais nous nous demandons néanmoins : est-il possible d’étendre autre chose ? L'objet de la torture sera sans aucun doute le trinôme carré. Résoudre l'équation quadratique :

Le discriminant est supérieur à zéro, ce qui signifie que le trinôme est réellement factorisable :

Règle générale: TOUT ce qui peut être pris en compte dans le dénominateur - nous le prenons en compte

Commençons par formuler une solution :

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions simples (élémentaires). Maintenant, ce sera plus clair.

Regardons notre fonction intégrande :

Et, vous savez, d’une manière ou d’une autre, une pensée intuitive surgit selon laquelle ce serait bien de transformer notre grande fraction en plusieurs petites. Par exemple, comme ceci :

La question se pose : est-il même possible de faire cela ? Poussons un soupir de soulagement, déclare le théorème correspondant de l’analyse mathématique – C’EST POSSIBLE. Une telle décomposition existe et est unique.

Il n'y a qu'un seul piège, les chances sont Au revoir Nous ne le savons pas, d’où le nom – la méthode des coefficients indéfinis.

Comme vous l’avez deviné, les mouvements ultérieurs du corps sont comme ça, ne ricanez pas ! visera simplement à les RECONNAÎTRE - à découvrir à quoi ils sont égaux.

Attention, je ne vous expliquerai en détail qu'une seule fois !

Alors, commençons à danser à partir de :

Sur le côté gauche, nous réduisons l'expression à un dénominateur commun :

Nous pouvons maintenant nous débarrasser en toute sécurité des dénominateurs (puisqu'ils sont les mêmes) :

Sur le côté gauche on ouvre les parenthèses, mais ne touche pas pour l'instant aux coefficients inconnus :

En même temps, nous répétons la règle scolaire pour multiplier les polynômes. Quand j'étais enseignant, j'ai appris à prononcer cette règle avec un visage impassible : Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme.

Du point de vue d'une explication claire, il vaut mieux mettre les coefficients entre parenthèses (même si personnellement je ne le fais jamais pour gagner du temps) :

Nous composons un système d'équations linéaires.
Nous recherchons d’abord des diplômes supérieurs :

Et on écrit les coefficients correspondants dans la première équation du système :

Rappelez-vous bien le point suivant. Que se passerait-il s’il n’y avait aucun s sur le côté droit ? Disons, est-ce que cela s'afficherait sans aucun carré ? Dans ce cas, dans l'équation du système il faudrait mettre un zéro à droite : . Pourquoi zéro ? Mais parce qu'à droite on peut toujours attribuer zéro à ce même carré : Si à droite il n'y a pas de variables et/ou de terme libre, alors on met des zéros aux côtés droits des équations correspondantes du système.

On écrit les coefficients correspondants dans la deuxième équation du système :

Et enfin, l'eau minérale, nous sélectionnons les membres gratuits.

Eh... je plaisantais un peu. Blague à part, les mathématiques sont une science sérieuse. Dans notre groupe d'institut, personne n'a ri lorsque le professeur adjoint a dit qu'elle disperserait les termes le long de la droite numérique et choisirait les plus grands. Soyons sérieux. Bien que... celui qui vivra pour voir la fin de cette leçon sourira toujours tranquillement.

Le système est prêt :

On résout le système :

(1) À partir de la première équation, nous l'exprimons et la substituons dans les 2e et 3e équations du système. En fait, il était possible d'exprimer (ou une autre lettre) à partir d'une autre équation, mais dans ce cas il est avantageux de l'exprimer à partir de la 1ère équation, puisqu'il y a les plus petites chances.

(2) Nous présentons des termes similaires dans les 2e et 3e équations.

(3) On additionne les 2ème et 3ème équations terme par terme, obtenant l'égalité , d'où il résulte que

(4) Nous substituons dans la deuxième (ou troisième) équation, d'où nous trouvons que

(5) Remplacez et dans la première équation, obtenant .

Si vous rencontrez des difficultés avec les méthodes de résolution du système, pratiquez-les en classe. Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Après avoir résolu le système, il est toujours utile de vérifier - remplacer les valeurs trouvées chaqueéquation du système, du coup tout devrait « converger ».

Presque là. Les coefficients ont été trouvés, et :

Le travail terminé devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté de la tâche était de composer (correctement !) et de résoudre (correctement !) un système d'équations linéaires. Et au stade final, tout n'est pas si difficile : on utilise les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie et on intègre. Veuillez noter que sous chacune des trois intégrales nous avons « gratuit » fonction complexe, j'ai parlé des caractéristiques de son intégration en classe Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Vérifier : Différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.
Lors de la vérification, nous avons dû réduire l'expression à un dénominateur commun, et ce n'est pas un hasard. La méthode des coefficients indéfinis et la réduction d'une expression à un dénominateur commun sont des actions mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Revenons à la fraction du premier exemple : . Il est facile de remarquer qu’au dénominateur tous les facteurs sont DIFFÉRENTS. La question se pose, que faire si, par exemple, la fraction suivante est donnée : ? Ici, nous avons les degrés au dénominateur, ou, mathématiquement, multiples. De plus, il existe un trinôme quadratique qui ne peut être factorisé (il est facile de vérifier que le discriminant de l'équation est négatif, donc le trinôme ne peut pas être factorisé). Ce qu'il faut faire? Le développement en une somme de fractions élémentaires ressemblera à quelque chose comme avec des coefficients inconnus en haut ou autre chose ?

Exemple 3

Introduire une fonction

Étape 1. Vérifier si nous avons une fraction appropriée
Numérateur majeur : 2
Degré le plus élevé du dénominateur : 8
, ce qui signifie que la fraction est correcte.

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Evidemment non, tout est déjà prévu. Le trinôme carré ne peut pas être transformé en produit pour les raisons indiquées ci-dessus. Capot. Moins de travail.

Étape 3. Imaginons une fonction fractionnaire-rationnelle comme une somme de fractions élémentaires.
Dans ce cas, le développement a la forme suivante :

Regardons notre dénominateur :
Lors de la décomposition d'une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme de fractions élémentaires, trois points fondamentaux peuvent être distingués :

1) Si le dénominateur contient un facteur « solitaire » à la puissance première (dans notre cas), alors on met un coefficient indéfini en haut (dans notre cas). Les exemples n° 1 et 2 ne concernaient que de tels facteurs « solitaires ».

2) Si le dénominateur a plusieurs multiplicateur, alors vous devez le décomposer comme ceci :
- c'est-à-dire parcourir séquentiellement tous les degrés de « X » du premier au nième degré. Dans notre exemple, il y a deux facteurs multiples : et , regardez à nouveau l'expansion que j'ai donnée et assurez-vous qu'ils sont développés exactement selon cette règle.

3) Si le dénominateur contient un polynôme indécomposable du deuxième degré (dans notre cas), alors lors de la décomposition au numérateur, vous devez écrire une fonction linéaire à coefficients indéterminés (dans notre cas à coefficients indéterminés et ).

En fait, il existe un autre 4ème cas, mais je garderai le silence à ce sujet, car en pratique c'est extrêmement rare.

Exemple 4

Introduire une fonction comme somme de fractions élémentaires à coefficients inconnus.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Suivez strictement l'algorithme !

Si vous comprenez les principes selon lesquels vous devez développer une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme, vous pouvez parcourir presque toutes les intégrales du type considéré.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Étape 1. La fraction est évidemment correcte :

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Peut. Voici la somme des cubes . Factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de multiplication abrégée

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :

Attention, le polynôme n'est pas factorisable (vérifiez que le discriminant est négatif), donc en haut on met une fonction linéaire à coefficients inconnus, et pas seulement une lettre.

Nous ramenons la fraction à un dénominateur commun :

Composons et résolvons le système :

(1) Nous exprimons à partir de la première équation et la substituons dans la deuxième équation du système (c'est la manière la plus rationnelle).

(2) Nous présentons des termes similaires dans la deuxième équation.

(3) On additionne terme par terme les deuxième et troisième équations du système.

Tous les calculs ultérieurs sont, en principe, oraux, puisque le système est simple.

(1) Nous notons la somme des fractions conformément aux coefficients trouvés.

(2) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Que s'est-il passé dans la deuxième intégrale ? Vous pouvez vous familiariser avec cette méthode dans le dernier paragraphe de la leçon. Intégrer certaines fractions.

(3) Encore une fois, nous utilisons les propriétés de linéarité. Dans la troisième intégrale, nous commençons à isoler le carré complet (avant-dernier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions).

(4) On prend la deuxième intégrale, dans la troisième on sélectionne le carré complet.

(5) Prenez la troisième intégrale. Prêt.

Comme nous le verrons ci-dessous, toutes les fonctions élémentaires n’ont pas d’intégrale exprimée en fonctions élémentaires. Il est donc très important d’identifier des classes de fonctions dont les intégrales sont exprimées en termes de fonctions élémentaires. La plus simple de ces classes est la classe des fonctions rationnelles.

Toute fonction rationnelle peut être représentée comme une fraction rationnelle, c'est-à-dire comme un rapport de deux polynômes :

Sans limiter la généralité du raisonnement, nous supposerons que les polynômes n’ont pas de racines communes.

Si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, alors la fraction est dite propre, sinon la fraction est dite impropre.

Si la fraction est impropre, alors en divisant le numérateur par le dénominateur (selon la règle de division des polynômes), vous pouvez représenter cette fraction comme la somme d'un polynôme et d'une fraction propre :

voici un polynôme et a est une fraction propre.

Exemple t. Soit une fraction rationnelle impropre

En divisant le numérateur par le dénominateur (en utilisant la règle de division des polynômes), on obtient

Puisque l’intégration de polynômes n’est pas difficile, la principale difficulté de l’intégration de fractions rationnelles est d’intégrer des fractions rationnelles appropriées.

Définition. Fractions rationnelles propres de la forme

sont appelées fractions simples de types I, II, III et IV.

L'intégration des fractions les plus simples des types I, II et III n'est pas très difficile, nous réaliserons donc leur intégration sans aucune explication supplémentaire :

Des calculs plus complexes nécessitent l'intégration de fractions simples de type IV. Donnons-nous une intégrale de ce type :

Faisons les transformations :

La première intégrale est prise par substitution

La deuxième intégrale - on la note en l'écrivant sous la forme

Par hypothèse, les racines du dénominateur sont complexes, et donc, nous procédons ensuite comme suit :

Transformons l'intégrale :

En intégrant par parties, on a

En substituant cette expression par l'égalité (1), on obtient

Le membre de droite contient une intégrale du même type que mais l'exposant du dénominateur de l'intégrande est inférieur d'un ; ainsi, nous l'avons exprimé à travers . En continuant sur le même chemin, nous atteignons l'intégrale bien connue.