Travail de force élémentaire. Lignes directrices pour effectuer des travaux pratiques sur le thème « travail et puissance lors du mouvement de rotation d'un corps » Théorème sur la modification de l'énergie cinétique d'un point

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Deux cas de transformation du mouvement mécanique d'un point matériel ou d'un système de points :

  1. le mouvement mécanique est transféré d'un système mécanique à un autre sous forme de mouvement mécanique ;
  2. le mouvement mécanique se transforme en une autre forme de mouvement de la matière (sous forme d'énergie potentielle, de chaleur, d'électricité, etc.).

Lorsque l'on considère la transformation du mouvement mécanique sans sa transition vers une autre forme de mouvement, la mesure du mouvement mécanique est le vecteur de l'impulsion d'un point matériel ou d'un système mécanique. La mesure de la force dans ce cas est le vecteur de l'impulsion de force.

Lorsque le mouvement mécanique se transforme en une autre forme de mouvement de la matière, l'énergie cinétique d'un point matériel ou d'un système mécanique agit comme une mesure du mouvement mécanique. La mesure de l'action de la force lors de la transformation d'un mouvement mécanique en une autre forme de mouvement est le travail de la force.

Énergie cinétique

L'énergie cinétique est la capacité du corps à surmonter un obstacle lors d'un mouvement.

Énergie cinétique d'un point matériel

L'énergie cinétique d'un point matériel est une quantité scalaire égale à la moitié du produit de la masse du point par le carré de sa vitesse.

Énergie cinétique:

  • caractérise à la fois les mouvements de translation et de rotation ;
  • ne dépend pas du sens de déplacement des points du système et ne caractérise pas les changements dans ces directions ;
  • caractérise l'action des forces internes et externes.

Énergie cinétique d'un système mécanique

L'énergie cinétique du système est égale à la somme des énergies cinétiques des corps du système. L'énergie cinétique dépend du type de mouvement des corps du système.

Détermination de l'énergie cinétique d'un corps solide pour différents types de mouvement.

Énergie cinétique du mouvement de translation
Lors d'un mouvement de translation, l'énergie cinétique du corps est égale à T=m V2/2.

La mesure de l’inertie d’un corps lors d’un mouvement de translation est la masse.

Énergie cinétique du mouvement de rotation d'un corps

Lors du mouvement de rotation d'un corps, l'énergie cinétique est égale à la moitié du produit du moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation et du carré de sa vitesse angulaire.

Une mesure de l'inertie d'un corps lors d'un mouvement de rotation est le moment d'inertie.

L'énergie cinétique d'un corps ne dépend pas du sens de rotation du corps.

Énergie cinétique du mouvement plan-parallèle d'un corps

Avec un mouvement plan parallèle d'un corps, l'énergie cinétique est égale à

Travail de force

Le travail de force caractérise l'action d'une force sur un corps lors d'un certain mouvement et détermine la modification du module de vitesse d'un point en mouvement.

Travail de force élémentaire

Le travail élémentaire d'une force est défini comme une quantité scalaire égale au produit de la projection de la force sur la tangente à la trajectoire, dirigée dans la direction de mouvement du point, et du déplacement infinitésimal du point, dirigé le long de cette tangente.

Travail effectué en force au déplacement final

Le travail effectué par une force sur un déplacement final est égal à la somme de son travail sur les sections élémentaires.

Le travail d'une force sur un déplacement final M 1 M 0 est égal à l'intégrale du travail élémentaire le long de ce déplacement.

Le travail d'une force de déplacement M 1 M 2 est représenté par l'aire de la figure, limitée par l'axe des abscisses, la courbe et les ordonnées correspondant aux points M 1 et M 0.

L'unité de mesure du travail de force et de l'énergie cinétique dans le système SI est 1 (J).

Théorèmes sur le travail de la force

Théorème 1. Le travail effectué par la force résultante sur un certain déplacement est égal à la somme algébrique du travail effectué par les forces composantes sur le même déplacement.

Théorème 2. Le travail effectué par une force constante sur le déplacement résultant est égal à la somme algébrique du travail effectué par cette force sur les déplacements des composants.

Pouvoir

La puissance est une quantité qui détermine le travail effectué par une force par unité de temps.

L'unité de mesure de la puissance est 1 W = 1 J/s.

Cas de détermination du travail des forces

Travail des forces internes

La somme du travail effectué par les forces internes d'un corps rigide lors de tout mouvement est nulle.

Travail de gravité

Travail de force élastique

Travail de force de frottement

Travail des forces appliquées à un corps en rotation

Le travail élémentaire des forces appliquées à un corps rigide tournant autour d'un axe fixe est égal au produit du moment principal des forces extérieures par rapport à l'axe de rotation et de l'incrément de l'angle de rotation.

Résistance au roulement

Dans la zone de contact du cylindre fixe et du plan, une déformation locale de compression de contact se produit, la contrainte est répartie selon une loi elliptique, et la ligne d'action de la résultante N de ces contraintes coïncide avec la ligne d'action de la charge force sur le vérin Q. Lorsque le vérin roule, la répartition de la charge devient asymétrique avec un maximum décalé vers le mouvement. La résultante N est déplacée de la quantité k - le bras de la force de frottement de roulement, également appelé coefficient de frottement de roulement et a la dimension de la longueur (cm)

Théorème sur le changement d'énergie cinétique d'un point matériel

La variation de l'énergie cinétique d'un point matériel à un certain déplacement est égale à la somme algébrique de toutes les forces agissant sur le point au même déplacement.

Théorème sur le changement d'énergie cinétique d'un système mécanique

La variation de l'énergie cinétique d'un système mécanique à un certain déplacement est égale à la somme algébrique des forces internes et externes agissant sur les points matériels du système au même déplacement.

Théorème sur le changement d'énergie cinétique d'un corps solide

La variation de l'énergie cinétique d'un corps rigide (système inchangé) à un certain déplacement est égale à la somme des forces externes agissant sur les points du système au même déplacement.

Efficacité

Forces agissant dans les mécanismes

Les forces et paires de forces (moments) appliquées à un mécanisme ou à une machine peuvent être divisées en groupes :

1. Forces et moments moteurs qui effectuent un travail positif (appliqués aux maillons moteurs, par exemple, la pression du gaz sur le piston dans un moteur à combustion interne).

2. Forces et moments de résistance qui effectuent un travail négatif :

  • résistance utile (elles effectuent le travail demandé à la machine et s'appliquent aux maillons entraînés, par exemple la résistance de la charge soulevée par la machine),
  • forces de résistance (par exemple forces de frottement, résistance de l’air, etc.).

3. Forces de gravité et forces élastiques des ressorts (travail positif et négatif, tandis que le travail pour un cycle complet est nul).

4. Forces et moments appliqués au corps ou au support depuis l'extérieur (réaction de la fondation, etc.), qui ne font pas de travail.

5. Forces d'interaction entre liens agissant par paires cinématiques.

6. Les forces d'inertie des maillons, provoquées par la masse et le mouvement des maillons avec accélération, peuvent effectuer un travail positif et négatif et ne pas effectuer de travail.

Travail des forces dans les mécanismes

Lorsque la machine fonctionne en régime permanent, son énergie cinétique ne change pas et la somme du travail des forces motrices et des forces résistantes qui lui sont appliquées est nulle.

Le travail dépensé pour mettre la machine en mouvement est dépensé pour vaincre les résistances utiles et nuisibles.

Efficacité du mécanisme

Le rendement mécanique en mouvement stationnaire est égal au rapport entre le travail utile de la machine et le travail consacré à la mise en mouvement de la machine :

Les éléments de la machine peuvent être connectés en série, en parallèle et mixtes.

Efficacité en connexion série

Lorsque les mécanismes sont connectés en série, le rendement global est inférieur au rendement le plus faible d’un mécanisme individuel.

Efficacité en connexion parallèle

Lorsque les mécanismes sont connectés en parallèle, le rendement global est supérieur au rendement le plus faible et inférieur au rendement le plus élevé d'un mécanisme individuel.

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Exemple de calcul d'un engrenage droit
Un exemple de calcul d'un engrenage droit. Le choix du matériau, le calcul des contraintes admissibles, le calcul de la résistance au contact et à la flexion ont été réalisés.


Un exemple de résolution d'un problème de flexion de poutre
Dans l'exemple, des diagrammes des efforts transversaux et des moments fléchissants ont été construits, une section dangereuse a été trouvée et une poutre en I a été sélectionnée. Le problème analysait la construction de diagrammes utilisant des dépendances différentielles et effectuait une analyse comparative de différentes sections transversales de la poutre.


Un exemple de résolution d'un problème de torsion d'arbre
La tâche consiste à tester la résistance d'un arbre en acier à un diamètre, un matériau et une contrainte admissible donnés. Au cours de la solution, des diagrammes de couples, de contraintes de cisaillement et d'angles de torsion sont construits. Le poids propre de l'arbre n'est pas pris en compte


Un exemple de résolution d'un problème de traction-compression d'une tige
La tâche consiste à tester la résistance d'une barre d'acier à des contraintes admissibles spécifiées. Au cours de la solution, des diagrammes de forces longitudinales, de contraintes normales et de déplacements sont construits. Le poids propre de la canne n'est pas pris en compte


Application du théorème sur la conservation de l'énergie cinétique
Un exemple de résolution d'un problème utilisant le théorème sur la conservation de l'énergie cinétique d'un système mécanique

Dans la section « Cinématique », il a été établi que la vitesse de tout point d'un corps rigide est géométriquement la somme de la vitesse du point pris comme pôle et de la vitesse obtenue par le point lors du mouvement sphérique du corps autour du pôle. En dynamique, le pôle est toujours considéré comme le centre de masse du corps. La vitesse de n'importe quel point du corps est déterminée par la formule

– vitesse du centre de masse du corps ;

– vecteur de vitesse angulaire instantanée du corps ;

– rayon vecteur par rapport au centre de masse du corps.

Pour la puissance de la force appliquée à un corps absolument rigide, on obtient :

Le mouvement plan-parallèle d’un corps rigide est particulièrement intéressant. Dans ce cas particulier important, la puissance de la force peut être calculée à l’aide de la formule :

où est l’angle entre les vecteurs force et vitesse du centre de masse du corps.

Fin du travail -

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Notes de cours de cours abrégés de mécanique théorique sur la mécanique théorique

Établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral d'enseignement professionnel supérieur.. Université d'État de génie civil de Moscou..

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Lois fondamentales de la mécanique
La mécanique théorique fait partie des sciences dites axiomatiques. Elle repose sur un système de points de départ - des axiomes, acceptés sans preuve, mais vérifiés non seulement par des

Axiome 3
Deux points matériels interagissent avec des forces de même ampleur et dirigées le long d'une ligne droite dans des directions opposées (Fig.!.2). Axiome 4 (Principe

Vitesse de pointe
La vitesse de déplacement d’un point est caractérisée par sa vitesse, à la définition de laquelle nous passons maintenant. Laisse à un moment donné

Accélération ponctuelle
La vitesse de changement du vecteur vitesse est caractérisée par l'accélération du point. Laissez au moment du temps le point

Axiome 3
Un système de deux forces appliquées à un corps absolument rigide est équilibré (équivalent à zéro) si et seulement si ces forces sont de même ampleur et agissent en ligne droite dans des directions opposées.

Moment de force autour d'un point
Soit la force appliquée en un point

Moment de force autour de l'axe
Le moment de force par rapport à un axe est la projection sur l'axe du moment de force calculé par rapport à n'importe quel point de cet axe :

Couple de forces
Une paire de forces est un système de deux forces de même ampleur et agissant le long de lignes parallèles dans des directions opposées. Avion, dans

Équations différentielles du mouvement d'un système mécanique
Considérons un système mécanique constitué de points matériels. Pour chaque point du système dans le référentiel inertiel environ

Propriétés de base des efforts internes
Considérons deux points quelconques du système mécanique et

Théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système mécanique
Additionnons toutes les égalités (3.1) terme par terme : Compte tenu de la première relation de base

Théorème sur le changement du moment cinétique
Multiplions vectoriellement chacune des équations (3.1) de gauche par le rayon vecteur du point correspondant et ajoutons

Conditions d'équilibre
Arrêtons-nous sur les questions d'équilibre des corps matériels, qui constituent une partie essentielle de la section « Statique » du cours de mécanique théorique. En équilibre en mécanique traditionnellement

Équilibre d'un système de forces dont les lignes d'action se situent dans le même plan
Dans de nombreux cas pratiquement intéressants, un corps est en équilibre sous l'action d'un système de forces dont les lignes d'action sont situées dans le même plan. Prenons ce plan comme plan de coordonnées

Calcul des fermes
Une place particulière parmi les problèmes statiques est occupée par le calcul des fermes. Une ferme est une structure rigide constituée de tiges droites (Fig. 3.3). Si toutes les tiges de la ferme et tout ce qui y est attaché

Équilibre d'un corps en présence de frottement
Comme on le sait, lorsqu'un corps glisse le long d'une surface d'appui, une résistance apparaît qui ralentit le glissement. Ce phénomène est pris en compte en introduisant la prise en compte de la force de frottement.

Centre des forces parallèles
Ce concept est introduit pour un système de forces parallèles qui ont une résultante, et les points d'application des forces du système sont les points

Centre de gravité du corps
Considérons un corps matériel situé près de la surface de la Terre (dans le champ de gravité). Supposons d'abord que le corps soit constitué d'un nombre fini de points matériels, c'est-à-dire de particules,

Centre de masse d'un système mécanique. Théorème sur le mouvement du centre de masse
Les propriétés inertielles d'un corps matériel sont déterminées non seulement par sa masse, mais aussi par la nature de la répartition de cette masse dans le corps. La position du centre joue un rôle important dans la description d'une telle distribution

CONFÉRENCE 5
5.1. Mouvement d'un corps absolument rigide L'une des tâches les plus importantes de la mécanique est la description du mouvement d'un corps absolument rigide. En général, différents points

Mouvement de translation d'un corps rigide
La translation est le mouvement d'un corps rigide dans lequel toute ligne droite tracée dans le corps reste parallèle à sa position d'origine pendant tout le mouvement.

Cinématique du mouvement de rotation d'un corps rigide
Lors d’un mouvement de rotation dans un corps, il existe une seule ligne droite dont tous les points

Vitesse du corps
On obtient finalement : (5.4) La formule (5.4) est appelée formule d’Euler. Sur la figure 5.

Équation différentielle du mouvement de rotation d'un corps rigide
La rotation d'un corps rigide, comme tout autre mouvement, se produit sous l'influence de forces extérieures. Pour décrire le mouvement de rotation, nous utilisons le théorème sur la variation du moment cinétique par rapport à

Cinématique du mouvement plan-parallèle d'un corps rigide
Le mouvement d'un corps est appelé plan parallèle si la distance entre n'importe quel point du corps et un plan fixe (principal) reste inchangée tout au long du mouvement.

Équations différentielles du mouvement plan-parallèle d'un corps rigide
Lors de l'étude de la cinématique du mouvement plan-parallèle d'un corps rigide, n'importe quel point du corps peut être considéré comme un pôle. Lors de la résolution de problèmes de dynamique, le centre de masse du corps est toujours pris comme pôle et le centre de masse est pris comme pôle.

Système Koenig. Premier théorème de König
(Étudiez par vous-même) Laissez le système de référence être stationnaire (inertiel). Système

Travail et puissance de la force. Énergie potentielle
La moitié du produit de la masse d’un point par le carré de sa vitesse est appelée énergie cinétique du point matériel. L'énergie cinétique d'un système mécanique est appelée

Théorème sur le changement d'énergie cinétique d'un système mécanique
Le théorème sur les changements d'énergie cinétique est l'un des théorèmes généraux de la dynamique, avec les théorèmes précédemment prouvés sur les changements de moment cinétique et les changements de moment cinétique.

Travail des efforts internes d'un système mécanique géométriquement immuable
Notez que, contrairement au théorème sur le changement de quantité de mouvement et au théorème sur le changement de moment cinétique, le théorème sur le changement d'énergie cinétique dans le cas général inclut les forces internes.

Calcul de l'énergie cinétique d'un corps complètement rigide
Obtenons des formules pour calculer l'énergie cinétique d'un corps absolument rigide lors de certains de ses mouvements. 1. Pendant un mouvement de translation, à tout moment, la vitesse de tous les points du corps est la même.

Travail de gravité
Lors du calcul du travail de la gravité, nous supposerons que nous considérons une région limitée de l'espace proche de la surface de la Terre, dont les dimensions sont petites par rapport aux dimensions de la Terre.

Travail de force élastique
Le concept de force élastique est généralement associé à la réponse d'un ressort élastique linéaire. Dirigons l'axe le long

Travail de couple
Supposons qu'une force soit appliquée en un point d'un corps ayant un axe de rotation. Le corps tourne avec une vitesse angulaire

Vitesses possibles et mouvements possibles
Nous introduisons d'abord les notions de vitesse possible et de déplacement possible pour un point matériel sur lequel une contrainte non stationnaire de confinement holonomique est imposée. Compagnon de vitesse possible

Connexions idéales
Les contraintes imposées à un système mécanique sont dites idéales si la somme du travail de toutes les réactions des contraintes sur tout mouvement possible du système est égale à zéro :

Le principe des mouvements possibles
Le principe des déplacements possibles établit les conditions d'équilibre des systèmes mécaniques. L'équilibre d'un système mécanique est traditionnellement compris comme l'état de son repos par rapport à la centrale inertielle choisie.

Équation générale de la dynamique
Considérons un système mécanique constitué de points matériels sur lesquels se superposent des conditions idéales

Travaux pratiques sur le thème : « Travail et puissance lors d'un mouvement de rotation »

Objectif du travail : sécuriséétudier du matériel sur le sujet, apprendre à résoudre des problèmes.

Progrès:

    Matériel d'étude sur le sujet.

    Écrivez une courte théorie.

    Résoudre des problèmes.

    Postulez pour du travail.

    Répondre à des questions de sécurité.

    Écrivez une conclusion.

Brève théorie :

Travail effectué par une force constante appliquée à un corps en rotation

Imaginons un disque tournant autour d'un axe fixe sous l'influence d'une force constanteF (Fig.6) , dont le point d'application se déplace avec le disque. Décomposons le pouvoirF en trois composantes perpendiculaires entre elles :F 1 – force circonférentielle,F 2 – force axiale,F 3 – force radiale.

Lors de la rotation du disque selon un angle infinitésimaldφ forcerF effectuera un travail élémentaire qui, sur la base du théorème du travail résultant, sera égal à la somme du travail des composants.

Il est évident que le travail des composantsF 2 EtF 3 sera égal à zéro, puisque les vecteurs de ces forces sont perpendiculaires au déplacement infinitésimalds points d'applicationM , donc le travail élémentaire de forceF égal au travail de son composantF 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

En tournant le disque à son angle finalφ travail de forceF égal à

W = ∫F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

où est l'angleφ exprimé en radians.

Depuis les instants des composantsF 2 EtF 3 par rapport à l'axez sont égaux à zéro, alors basés sur moment de pouvoirF par rapport à l'axez égal à:

M z (F) = F 1 R. .

Le moment de force appliqué au disque par rapport à l'axe de rotation est appelé couple, et, selon la normeOIN , désigné par la lettreT :

T = M z (F) , ainsi,W = Tφ .

Le travail effectué par une force constante appliquée à un corps en rotation est égal au produit du couple et du déplacement angulaire .

Exemple de solution de problème

Tâche: un travailleur fait tourner la poignée du treuil avec forceF = 200 N , perpendiculaire au rayon de rotation.
Trouver le travail passé pendant le tempst = 25 secondes , si la longueur du mancher = 0,4 m , et sa vitesse angulaireω = π/3 rad/s .

Solution.
Tout d'abord, déterminons le déplacement angulaireφ poignées de treuil pour25 secondes :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rads.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2 100 J ≈ 2,1 kJ .

La puissance de la force appliquée à un corps en rotation uniforme est égale au produit du couple et de la vitesse angulaire .

Si le travail est effectué par une force appliquée à un corps en rotation uniforme, alors la puissance dans ce cas peut être déterminée par la formule :

P = W/t = Tφ/t ouP = Tω .

Option 1

    Deux boules de plomb de masses 0,5 et 1 kg sont suspendues à deux cordes d'égale longueur égale à 0,8 m. Les balles sont en contact les unes avec les autres. La balle de plus petite masse a été déplacée sur le côté de sorte que la corde soit déviée selon un angle α = 60°, puis relâchée. À quelle hauteur les deux balles s'élèveront-elles après la collision ? L'impact est considéré comme central et inélastique. Déterminez l'énergie dépensée pour la déformation des balles lors de l'impact.

    Un volant d'inertie d'une masse de 4 kg tourne librement autour d'un axe horizontal passant par son centre avec une fréquence de 720 tr/min. La masse du volant peut être considérée comme répartie le long de sa jante avec un rayon de 40 cm. Au bout de 30 s, sous l'influence du couple de freinage, le volant s'est arrêté. Trouvez le couple de freinage et le nombre de tours que fait le volant jusqu'à son arrêt complet.

    Un corps de masse m = 1,0 kg tombe d'une hauteur h = 20 m. En négligeant la résistance de l'air, trouvez la puissance moyenne développée par la gravité le long du trajet h et la puissance instantanée à une hauteur h/2.

Option n°2

    Le volant tourne selon la loi exprimée par l'équation, où A = 2 rad, B = 32 rad/s, C = -4 rad/s2. Trouver la puissance moyenneN, développé par les forces agissant sur le volant lors de sa rotation, jusqu'à son arrêt, si le moment d'inertie I = 100 kg m 2 .

    Un corps de masse m tourne sur une surface horizontale dans un cercle de rayon r=100 mm. Trouvez le travail effectué par la force de frottement lorsque le corps tourne d'un angle α=30. Le coefficient de frottement entre le corps et la surface est k=0,2.

    La première balle de masse m1 = 2 kg se déplace à une vitesse de v1 = 3 m/s. La deuxième balle de masse m2 = 8 kg se déplace à une vitesse de v2 = 1 m/s. Trouver de la vitessev 1 première balle et vitessev 2 la deuxième balle immédiatement après l'impact, si : a) les balles se rapprochent l'une de l'autre ; b) la première balle rattrape la seconde. L'impact est considéré comme central et absolument élastique.

Calculer la somme des travaux élémentaires de deux efforts internes F 1 J et F 2 J,

on a

F1 J dS1 cos(P1 J ,υ 1 ) + F2 J dS2 cos(P2 J ,υ 2 ) = F1 ′ M1 M1 ′ − F1 M 2 M 2 ′

parce que Chaque force interne correspond à une autre, égale en grandeur et de direction opposée, alors la somme des travaux élémentaires de toutes les forces internes est également nulle.

δ A J = ∑ δ A i J = 0

Le mouvement final est un ensemble de changements élémentaires

tion, donc AJ = 0, soit la somme du travail effectué par les forces internes d'un corps rigide lors de tout mouvement est nulle.

2.5.2. Travail des forces externes appliqué à un corps en mouvement de translation

Des forces externes et internes sont appliquées à chaque point du corps (Fig. 18). Puisque le travail des forces internes à tout déplacement est nul, il est nécessaire de calculer uniquement le travail des forces externes F 1 E, F 2 E ... F n E. Avec progressif

mouvement, les trajectoires de tous les points sont identiques, et les vecteurs de déplacements élémentaires sont géométriquement égaux, c'est-à-dire

dri = dr = rdc .

Travail de force élémentaire F i E

δ UNE jeE = F je E dr c .

Travail élémentaire de toutes les forces extérieures

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ F i E drc = drc ∑ Fi E = R E dr c ,

où R E est le vecteur principal des forces externes.

Travail sur le mouvement final

AE = ∫ R E drc .

Le travail des forces lors du mouvement de translation d'un corps rigide est égal au travail du vecteur principal des forces extérieures sur le mouvement élémentaire du centre de masse.

2.5.3. Travail des forces externes appliquées à un corps en rotation

Supposons que des forces externes F 1 E, F 2 E ... F i E ... F n E soient appliquées à un corps rigide tournant autour d'un axe fixe Z (Fig. 19).

Calculons le travail d'une force F i E appliquée à un point M i décrivant un cercle de rayon R i. Décomposons la force F i E en trois composantes dirigées selon les axes naturels de la trajectoire du point M i .

E F 1

Fib

F dans

Mi dSi

F iτ

Z M1 (x1 ,y1, z1 )

M2 (x2 ,y2 ,z2 )

Avec une rotation élémentaire du corps d'un angle d ϕ, le point M i décrit l'arc dS i = R i d ϕ. Lors de ce déplacement, le travail se fait uniquement par la composante tangentielle de la force, et le travail des composantes de force F dans E et F ib E perpendiculaires au vecteur vitesse est égal à zéro.

δ A i E = F i τ E dS i = F i τ E R i d ϕ = M i E τ d ϕ = M iz E d ϕ , car les moments des composantes normales et binormales de la force F i E par rapport à l'axe Z sont égaux à zéro

travail mental de toutes les forces appliquées à un corps solide

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ M iz E dϕ = dϕ ∑ Miz E = M z E dϕ .

Ainsi, le travail élémentaire des forces extérieures appliquées à un corps rigide en rotation est égal à

δ AE = M z E dϕ .

Lors de la rotation finale du corps, le travail effectué par la force extérieure est égal à

AE = ∫ M z E dϕ .

Si le moment principal des forces externes M z E = const, alors le travail des forces externes sur un déplacement final est égal à A = M z E (ϕ 2 − ϕ 1).

Le travail lors du mouvement de rotation d'un corps rigide est égal au travail du moment principal des forces extérieures par rapport à l'axe de rotation sur un déplacement angulaire élémentaire.

2.6. Travail de gravité

Supposons qu'un point de masse m se déplace sous l'influence de la gravité de la position M 1 (x 1, y 1, z 1) à la position M 2 (x 2, y 2, z 2) (Fig. 20).

Le travail élémentaire de force est calculé comme le produit scalaire du vecteur force F (X,Y,Z) par le vecteur déplacement élémentaire dr (dx,dy,dz)

δ A = F dr = Xdx + Ydy + Zdz ,

où X,Y,Z sont des projections de force F,

dx,dy,dz - projections du vecteur de déplacement dr sur les axes x, y, z. Lors d'un déplacement sous l'influence de la gravité

A= ± mgh.

Si le point baisse (quel que soit le type de trajectoire), c'est à dire z 2< z 1 , работа силы тяжести положительна, если точка поднимается, работа силы тя-

l'étain est négatif. Si le point se déplace horizontalement (z 2 = z 1), le travail effectué par gravité est nul.

3. THÉORÈME SUR LE CHANGEMENT D'ÉNERGIE CINÉTIQUE

Considérons un point matériel M de masse m, se déplaçant sous l'action

forcer

F 2 … F n (Fig. 21) avec une vitesse υ

dont le module est égal à

υ = dS, où S est la coordonnée de l'arc.

La projection de l'accélération sur la tangente est égale à a τ =

Considérant que la vitesse υ

Une fonction complexe du temps, c'est-à-dire υ = f(S(t)),

une τ = d υ

Dυ

= υ ré υ .

L'équation de base de la dynamique en projection sur la tangente a la forme

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F je τ .

Multiplions les deux côtés de l'équation par dS et intégrons les deux côtés de l'égalité dans les limites correspondant aux positions initiale et finale

points M1

et M2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , d'où

mυ 2

= ∑ UNE je .

mυ 2

La moitié du produit de la masse d'un point matériel par le carré de la vitesse

s'appelle l'énergie cinétique d'un point.

mυ 2 2

− énergie cinétique du point après déplacement,

− énergie cinétique d'un point avant de se déplacer,

mυ 2

V je 2

m A = 2 m kg, m B = m kg, m C = m kg,

40 cm =0,4 m, r B = 20 cm =0,2 m,

R C = 10 cm = 0,1 m,

je BZ =

30 cm =0,3 m, α = 30 o, β = 60 o,

Trouver : V A , a A , T .

1. Représentons toutes les forces externes sur le schéma du système mécanique (Fig. 26) :

P A , N A , F tr. , P B , N B , PC , N C .

2. Exprimons toutes les vitesses linéaires et angulaires nécessaires à travers la vitesse souhaitée V A (Fig. 26)

ω B = r A = R B ; B.B.

V B = R B V A ; rB

PVA

C R V C

ω C = V B = R B V A ; 2 R C r B 2 R C

Postes T1.

T 0 = 0 - le système était au repos ;

T 1 = TA + TB + TC ;

Le corps A avance ;

TA = 0,5 mA VA 2 = mV 2 A

Le corps B effectue un mouvement de rotation autour de l’axe OZ passant perpendiculairement au plan de dessin passant par le point O.

T B = 0,5 I ZBω B2 ;

où I ZB = m Bi BZ2 = mi BZ2

inertie du corps B relative

m i2 V 2

1,125 mV2

2r 2

Le corps C effectue un mouvement plan-parallèle :

mV2

Jw2

C C +

où JZC =

Le moment d'inertie du corps C par rapport à l'axe passant par

par le centre de masse du corps C perpendiculaire au plan du dessin ;

w C =

Vitesse angulaire du corps C, t. R – MCS du corps C.

2rR

1 mR2V2

R2V2

3mR2

0,75 mV2

4 r 2

16r 2

4 r 2 R2

T 1 = mV UNE 2 + 1,125 mV UNE 2 + 0,75 mV UNE 2 = 2,875 mV UNE 2 .

4. Déterminons la somme du travail effectué par toutes les forces externes à un déplacement s donné.

AE = A(

)+ UNE (

)+ UNE (

)+ UNE (

)+ UNE (

)+ UNE (

)+ UNE (

∑je

P A ) = m A qS sinβ = 2 m q 0,68S = 1,72 mqS ;

) = −F S = −μN

S = − µm

q cos β S = − μ 2mq cos600 S =

= − 0,1 2 0,5 mqS = − 0,1 mqS

A ) = 0; UN (

C) = 0; force

perpendiculaire à la direction

mouvement;

B) = 0 ;

parce que le point O est immobile.

P B ) = 0;

– mouvement du centre de masse du corps C.

P C ) =− m C qS C sinα ;où

Puisque les mouvements des points changent proportionnellement à leurs vitesses,

SC = RBS

2rB

) =− mq

S =− mq

S =− 0,5 mqS

2rB

∑ A i E = 1,72 mqS − 0,1 mqS − 0,5 mqS = 1,12 mqS .

Puisque la valeur de la somme du travail de toutes les forces externes est positive, la direction réelle de la vitesse V A coïncide avec celle indiquée sur la Fig. 26.

5. Trouvez la valeur de la vitesse V A à partir de la formule T 1 − T 0 = ∑ A i E

2,875 mV A 2 = 1,12 mqS

VA =

1,12qS

2,76 m/s.

f (x, y, z, t) = 0.

6. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE ANALYTIQUE

6.1. Connexions et leurs équations

Nous commencerons notre étude des éléments de la mécanique analytique par une considération plus détaillée des connexions.

Un point matériel non libre est un point dont la liberté de mouvement est limitée. Les corps qui limitent le mouvement d'un point sont appelés contraintes. Supposons que la connexion représente la surface d'un corps le long de laquelle un point se déplace. Alors les coordonnées du point doivent satisfaire l'équation de cette surface, appelée équation de connexion:

f (x je, y je, z je) = 0.

Les systèmes font la distinction entre gratuit et non libre.

Un système de points matériels est dit libre si tous les points qu'il contient peuvent occuper des positions arbitraires et avoir des vitesses arbitraires. Sinon, le système est dit non libre.

6.2. Classification des connexions

Les connexions sont classées selon les critères suivants :

1) stationnaire et non stationnaire;

2) holonomique et non holonomique ;

3) avec et sans rétention.

Stationnaires sont les connexions dont les équations ne correspondent pas.

garder le temps t explicite. L'équation du réseau fixe est la suivante : f (x je, y je, z je) = 0.

Les relations décrites par des équations contenant explicitement le temps t sont appelées non stationnaire. Analytiquement, ils sont exprimés par l'équation

Les connexions holonomiques sont des connexions qui n'imposent pas de restrictions sur les vitesses des points du système. Les connexions ci-dessus sont également holonomiques.

Les connexions qui imposent des restrictions non seulement sur les coordonnées, mais aussi sur les vitesses des points du système sont appelées non holonomiques. Leur expression analytique dans le cas général a la forme suivante

f (t , X je , oui je , z je , X & je , y & je , z & je ) = 0

Les systèmes mécaniques soumis à des contraintes holonomiques sont appelés systèmes holonomiques. Si parmi les connexions il y en a des non holonomiques, alors les systèmes sont appelés non holonomiques.

Un exemple classique du mouvement d'un système non holonomique est le roulement d'une boule solide sur une surface rugueuse (par exemple, une boule de billard).

Les connexions de retenue sont des connexions qui ne permettent pas de mouvements, de sorte que les points du système pourraient être libérés de la connexion.

Un exemple d’obligation de détention est le premier exemple. Un autre exemple serait deux plans parallèles entre lesquels se déplace une balle.

Pour une obligation de détention, l'équation est donnée par une égalité de la forme f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) = 0.

Les liens de maintien sont parfois appelés liens bidirectionnels. Connexions qui permettent des mouvements, à la suite de quels points du système

peuvent se libérer de la connexion sans la détruire, sont appelés effréné. Parfois, ces connexions sont appelées unidirectionnelles. L'équation de connexion non contenante a la forme d'inégalité

f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) ≤ 0.

Des exemples de liens non contenants sont les deuxième et troisième exemples. Un autre exemple d'une telle connexion est un plan unique le long duquel une balle se déplace.

6.3. Mouvements possibles du système. Nombre de degrés de liberté. Connexions idéales

Imaginons un corps non libre, par exemple un cube, posé sur un plan. Donnons mentalement à ce cube un déplacement infinitésimal. Imaginons, par exemple, que nous l'ayons légèrement surélevé au-dessus du plan ; avec un tel mouvement, la connexion entre le cube et l'avion sera rompue. Mais nous pouvons donner au cube un déplacement infinitésimal imaginaire qui ne rompt pas la connexion ; un tel mouvement est tout mouvement le long d'un plan.

Ainsi, les mouvements possibles d'un système mécanique non libre sont des mouvements infinitésimaux imaginaires autorisés à un instant donné par les contraintes imposées au système.

Dans notre exemple, pour un cube, un mouvement possible est tout mouvement infinitésimal imaginaire de celui-ci le long du plan.

Les déplacements possibles des points d'un système mécanique sont considérés comme des quantités du premier ordre de petitesse, en négligeant les quantités d'ordres de petitesse supérieurs. Les mouvements curvilignes des points sont donc

sont remplacés par des segments droits tracés le long des tangentes aux trajectoires des points et notés δ r.

Ainsi, par exemple, un mouvement possible du levier AB est sa rotation d'un angle infinitésimal δϕ autour de l'axe O (Fig. 27).

Avec cette rotation, les points A et B doivent se déplacer le long des arcs de cercle AA1 et BB1. Mais jusqu’aux valeurs de petitesse du premier ordre, ces

les déplacements peuvent être remplacés par des déplacements possibles δ r A = AA ′ et δ r B = BB ′ sous forme de segments de droite tracés le long de tangentes à

trajectoires des points, et en grandeur respectivement égales à :

δ rA = OA δϕ et δ rB = OB δϕ .

Les déplacements réels d'un système mécanique non libre dr, qui se déplace sous l'influence des forces qui lui sont appliquées, font partie de ses déplacements possibles et constituent leur cas particulier. Toutefois, cela n’est vrai que pour les connexions fixes. Dans le cas de connexions non stationnaires, les mouvements réels du système ne font pas partie de ses mouvements possibles.

En général, il peut y avoir de nombreux mouvements différents possibles pour les points du système. Cependant, pour chaque système, selon la nature des liaisons qui lui sont imposées, il est possible d'indiquer un certain nombre de mouvements tellement indépendants les uns des autres que tout autre mouvement possible peut être représenté comme leur somme géométrique. Par exemple, une balle posée sur un avion peut être déplacée le long de cet avion dans plusieurs directions. Cependant, tout mouvement possible δ r peut être obtenu comme la somme de deux mouvements

δ x et δ r 2 selon des axes mutuellement perpendiculaires situés dans ce plan :

δ r = δ r1 + δ r2 .

Le nombre de mouvements indépendants possibles du système mécanique détermine nombre de degrés de liberté ce système.

Ainsi, la balle sur le plan considéré ci-dessus, si elle est considérée comme un point matériel, possède deux degrés de liberté. Le cube considéré ci-dessus possède 3 degrés de liberté sur un plan : deux mouvements de translation le long des axes de coordonnées et un mouvement de rotation autour de l'axe vertical. Le levier monté sur l'axe a un degré de liberté. Un solide libre a

Il existe six degrés de liberté : les mouvements indépendants sont trois mouvements de translation le long des axes de coordonnées et trois mouvements de rotation autour de ces axes.

En conclusion, nous introduisons la notion de travail possible des forces appliquées au système.

δ r je

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