Définition 1

La primitive $F(x)$ de la fonction $y=f(x)$ sur le segment $$ est une fonction dérivable en chaque point de ce segment et l'égalité suivante est vraie pour sa dérivée :

Définition 2

L'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée $y=f(x)$, définie sur un certain segment, est appelée l'intégrale indéfinie d'une fonction donnée $y=f(x)$. L'intégrale indéfinie est désignée par le symbole $\int f(x)dx $.

A partir du tableau des dérivées et de la définition 2, nous obtenons le tableau des intégrales de base.

Exemple 1

Vérifiez la validité de la formule 7 à partir du tableau des intégrales :

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Dérivons le membre de droite : $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Exemple 2

Vérifiez la validité de la formule 8 à partir du tableau des intégrales :

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Dérivons le membre de droite : $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

La dérivée s’est avérée égale à l’intégrande. La formule est donc correcte.

Exemple 3

Vérifiez la validité de la formule 11" du tableau des intégrales :

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Différencions le membre de droite : $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

La dérivée s’est avérée égale à l’intégrande. La formule est donc correcte.

Exemple 4

Vérifiez la validité de la formule 12 à partir du tableau des intégrales :

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Dérivons le membre de droite : $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $La dérivée s'est avérée être égale à l'intégrande. La formule est donc correcte.

Exemple 5

Vérifiez la validité de la formule 13" du tableau des intégrales :

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Dérivons le membre de droite : $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

La dérivée s’est avérée égale à l’intégrande. La formule est donc correcte.

Exemple 6

Vérifiez la validité de la formule 14 à partir du tableau des intégrales :

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Différencions le côté droit : $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

La dérivée s’est avérée égale à l’intégrande. La formule est donc correcte.

Exemple 7

Trouver l'intégrale :

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Utilisons le théorème de la somme intégrale :

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Utilisons le théorème sur le placement d'un facteur constant en dehors du signe intégral :

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

D'après le tableau des intégrales :

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Lors du calcul de la première intégrale, nous utilisons la règle 3 :

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Ainsi,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Sur cette page vous trouverez :

1. En fait, le tableau des primitives - il peut être téléchargé au format PDF et imprimé ;

2. Vidéo sur la façon d'utiliser ce tableau ;

3. Un tas d'exemples de calcul de la primitive à partir de divers manuels et tests.

Dans la vidéo elle-même, nous analyserons de nombreux problèmes où il faut calculer des primitives de fonctions, souvent assez complexes, mais surtout, ce ne sont pas des fonctions puissances. Toutes les fonctions résumées dans le tableau proposé ci-dessus doivent être connues par cœur, comme les dérivées. Sans eux, une étude plus approfondie des intégrales et leur application pour résoudre des problèmes pratiques est impossible.

Aujourd'hui, nous continuons à étudier les primitives et passons à un sujet légèrement plus complexe. Si la dernière fois nous avons examiné uniquement les primitives de fonctions puissance et de constructions légèrement plus complexes, nous examinerons aujourd'hui la trigonométrie et bien plus encore.

Comme je l’ai dit dans la leçon précédente, les primitives, contrairement aux dérivées, ne sont jamais résolues « immédiatement » à l’aide de règles standard. De plus, la mauvaise nouvelle est que, contrairement à la dérivée, la primitive peut ne pas être prise en compte du tout. Si nous écrivons une fonction complètement aléatoire et essayons de trouver sa dérivée, alors avec une très forte probabilité nous réussirons, mais la primitive ne sera presque jamais calculée dans ce cas. Mais il y a une bonne nouvelle : il existe une classe assez large de fonctions appelées fonctions élémentaires, dont les primitives sont très faciles à calculer. Et toutes les autres structures plus complexes qui sont données dans toutes sortes de tests, tests et examens indépendants, sont en fait constituées de ces fonctions élémentaires par addition, soustraction et autres actions simples. Les prototypes de telles fonctions sont calculés depuis longtemps et compilés dans des tableaux spéciaux. Ce sont ces fonctions et tables avec lesquelles nous allons travailler aujourd'hui.

Mais commençons, comme toujours, par une répétition : rappelons ce qu’est une primitive, pourquoi il y en a une infinité, et comment déterminer leur apparence générale. Pour ce faire, j'ai identifié deux problèmes simples.

Résoudre des exemples faciles

Exemple 1

Notons tout de suite que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ et en général la présence de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nous laisse immédiatement entendre que la primitive requise de la fonction est liée à la trigonométrie. Et, en effet, si nous regardons le tableau, nous constaterons que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ n'est rien de plus que $\text(arctg)x$. Alors écrivons-le :

Pour trouver, vous devez écrire ce qui suit :

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemple n°2

Nous parlons également ici de fonctions trigonométriques. Si nous regardons le tableau, voici en effet ce qui se passe :

Il faut trouver parmi l'ensemble des primitives celle qui passe par le point indiqué :

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Écrivons-le enfin :

C'est si simple. Le seul problème est que pour calculer les primitives de fonctions simples, vous devez apprendre un tableau de primitives. Cependant, après avoir étudié pour vous la table des dérivées, je pense que cela ne posera pas de problème.

Résoudre des problèmes contenant une fonction exponentielle

Pour commencer, écrivons les formules suivantes :

\[((e)^(x))\à ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Voyons comment tout cela fonctionne en pratique.

Exemple 1

Si nous regardons le contenu des parenthèses, nous remarquerons que dans le tableau des primitives, il n'existe pas d'expression pour que $((e)^(x))$ soit dans un carré, ce carré doit donc être développé. Pour ce faire, nous utilisons les formules de multiplication abrégées :

Trouvons la primitive pour chacun des termes :

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Rassemblons maintenant tous les termes en une seule expression et obtenons la primitive générale :

Exemple n°2

Cette fois, le degré est plus grand, donc la formule de multiplication abrégée sera assez complexe. Ouvrons donc les parenthèses :

Essayons maintenant de prendre la primitive de notre formule à partir de cette construction :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué ou de surnaturel dans les primitives de la fonction exponentielle. Tous sont calculés à l'aide de tableaux, mais les étudiants attentifs remarqueront probablement que la primitive $((e)^(2x))$ est beaucoup plus proche de simplement $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Alors, peut-être existe-t-il une règle plus spéciale qui permet, connaissant la primitive $((e)^(x))$, de trouver $((e)^(2x))$ ? Oui, une telle règle existe. Et, de plus, cela fait partie intégrante du travail avec la table des primitives. Nous allons maintenant l'analyser en utilisant les mêmes expressions avec lesquelles nous venons de travailler comme exemple.

Règles pour travailler avec la table des primitives

Écrivons à nouveau notre fonction :

Dans le cas précédent, nous avons utilisé la formule suivante pour résoudre :

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Mais maintenant, faisons un peu différemment : rappelons sur quelle base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Comme je l'ai déjà dit, parce que la dérivée $((e)^(x))$ n'est rien de plus que $((e)^(x))$, donc sa primitive sera égale au même $((e) ^ (x))$. Mais le problème est que nous avons $((e)^(2x))$ et $((e)^(-2x))$. Essayons maintenant de trouver la dérivée de $((e)^(2x))$ :

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Réécrivons à nouveau notre construction :

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Cela signifie que lorsque nous trouvons la primitive $((e)^(2x))$, nous obtenons ce qui suit :

\[((e)^(2x))\à \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Comme vous pouvez le voir, nous avons obtenu le même résultat qu'avant, mais nous n'avons pas utilisé la formule pour trouver $((a)^(x))$. Or, cela peut paraître stupide : pourquoi compliquer les calculs quand il existe une formule standard ? Cependant, dans des expressions légèrement plus complexes, vous constaterez que cette technique est très efficace, c'est-à-dire utiliser des dérivés pour trouver des primitives.

En guise d'échauffement, trouvons la primitive de $((e)^(2x))$ de la même manière :

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Lors du calcul, notre construction s'écrira comme suit :

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Nous avons obtenu exactement le même résultat, mais avons emprunté un chemin différent. C'est cette voie, qui nous paraît aujourd'hui un peu plus compliquée, qui s'avérera à l'avenir plus efficace pour calculer des primitives plus complexes et utiliser des tableaux.

Note! C’est un point très important : les primitives, comme les dérivés, peuvent être comptées de différentes manières. Cependant, si tous les calculs et calculs sont égaux, la réponse sera la même. On vient de le voir avec l'exemple de $((e)^(-2x))$ - d'une part, on a calculé cette primitive « de bout en bout », en utilisant la définition et en la calculant par transformations, d'autre part, nous nous sommes souvenus que $ ((e)^(-2x))$ peut être représenté par $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ et alors seulement nous avons utilisé la primitive de la fonction $( (a)^(x))$. Cependant, après toutes les transformations, le résultat était le même que prévu.

Et maintenant que nous comprenons tout cela, il est temps de passer à quelque chose de plus significatif. Nous allons maintenant analyser deux constructions simples, mais la technique qui sera utilisée pour les résoudre est un outil plus puissant et plus utile que le simple « courir » entre les primitives voisines de la table.

Résolution de problèmes : trouver la primitive d'une fonction

Exemple 1

Décomposons le montant qui figure aux numérateurs en trois fractions distinctes :

Il s'agit d'une transition assez naturelle et compréhensible - la plupart des étudiants n'y rencontrent aucun problème. Réécrivons notre expression comme suit :

Retenons maintenant cette formule :

Dans notre cas, nous obtiendrons ce qui suit :

Pour se débarrasser de toutes ces fractions à trois étages, je suggère de procéder comme suit :

Exemple n°2

Contrairement à la fraction précédente, le dénominateur n’est pas un produit mais une somme. Dans ce cas, nous ne pouvons plus diviser notre fraction en la somme de plusieurs fractions simples, mais nous devons en quelque sorte essayer de nous assurer que le numérateur contient à peu près la même expression que le dénominateur. Dans ce cas, c'est assez simple à faire :

Cette notation, qui en langage mathématique s'appelle « ajouter un zéro », permettra à nouveau de diviser la fraction en deux morceaux :

Trouvons maintenant ce que nous recherchions :

C'est tous les calculs. Malgré la complexité apparente plus grande que dans le problème précédent, la quantité de calculs s'est avérée encore plus petite.

Nuances de la solution

Et c'est là que réside la principale difficulté du travail avec les primitives tabulaires, cela est particulièrement visible dans la deuxième tâche. Le fait est que pour sélectionner certains éléments facilement calculables à travers le tableau, nous devons savoir exactement ce que nous recherchons, et c'est dans la recherche de ces éléments que consiste tout le calcul des primitives.

En d'autres termes, il ne suffit pas de mémoriser le tableau des primitives - vous devez être capable de voir quelque chose qui n'existe pas encore, mais ce que voulait dire l'auteur et le compilateur de ce problème. C'est pourquoi de nombreux mathématiciens, enseignants et professeurs argumentent constamment : « Qu'est-ce que les primitives ou l'intégration ? Est-ce juste un outil ou est-ce un véritable art ? En fait, à mon avis, l'intégration n'est pas du tout un art - elle n'a rien de sublime, c'est juste de la pratique et encore de la pratique. Et pour nous entraîner, résolvons trois exemples plus sérieux.

Nous formons à l'intégration en pratique

Tâche n°1

Écrivons les formules suivantes :

\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Écrivons ce qui suit :

Problème n°2

Réécrivons-le comme suit :

La primitive totale sera égale à :

Problème n°3

La difficulté de cette tâche est que, contrairement aux fonctions précédentes ci-dessus, il n'y a aucune variable $x$, c'est-à-dire nous ne savons pas quoi ajouter ou soustraire pour obtenir au moins quelque chose de similaire à ce qui est ci-dessous. Cependant, en fait, cette expression est considérée comme encore plus simple que n'importe laquelle des expressions précédentes, car cette fonction peut être réécrite comme suit :

Vous pouvez maintenant vous demander : pourquoi ces fonctions sont-elles égales ? Allons vérifier:

Réécrivons-le à nouveau :

Transformons un peu notre expression :

Et quand j'explique tout cela à mes étudiants, presque toujours le même problème se pose : avec la première fonction tout est plus ou moins clair, avec la seconde on peut aussi le comprendre avec de la chance ou de la pratique, mais quel genre de conscience alternative avez-vous faut-il avoir pour résoudre le troisième exemple ? En fait, n'ayez pas peur. La technique que nous avons utilisée lors du calcul de la dernière primitive est appelée "décomposition d'une fonction en sa forme la plus simple", et c'est une technique très sérieuse, et une leçon vidéo séparée lui sera consacrée.

En attendant, je propose de revenir sur ce que nous venons d'étudier, à savoir les fonctions exponentielles et de compliquer quelque peu les problèmes avec leur contenu.

Problèmes plus complexes pour résoudre des fonctions exponentielles primitives

Tâche n°1

Notons ce qui suit :

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pour trouver la primitive de cette expression, utilisez simplement la formule standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Dans notre cas, la primitive sera comme ceci :

Bien sûr, comparé au modèle que nous venons de résoudre, celui-ci semble plus simple.

Problème n°2

Encore une fois, il est facile de voir que cette fonction peut facilement être divisée en deux termes distincts – deux fractions distinctes. Réécrivons :

Reste à trouver la primitive de chacun de ces termes à l'aide de la formule décrite ci-dessus :

Malgré l'apparente plus grande complexité des fonctions exponentielles par rapport aux fonctions de puissance, le volume global des calculs et des calculs s'est avéré beaucoup plus simple.

Bien entendu, pour les étudiants avertis, ce dont nous venons de discuter (surtout dans le contexte de ce dont nous avons discuté précédemment) peut sembler des expressions élémentaires. Cependant, en choisissant ces deux problèmes pour la leçon vidéo d'aujourd'hui, je ne me suis pas fixé pour objectif de vous présenter une autre technique complexe et sophistiquée - tout ce que je voulais vous montrer, c'est qu'il ne faut pas avoir peur d'utiliser des techniques d'algèbre standard pour transformer des fonctions originales. .

Utiliser une technique "secrète"

En conclusion, j'aimerais aborder une autre technique intéressante, qui, d'une part, va au-delà de ce dont nous avons principalement discuté aujourd'hui, mais, d'autre part, elle n'est, premièrement, pas du tout compliquée, c'est-à-dire Même les étudiants débutants peuvent le maîtriser et, deuxièmement, on le retrouve assez souvent dans toutes sortes de tests et de travaux indépendants, c'est-à-dire sa connaissance sera très utile en complément de la connaissance du tableau des primitives.

Tâche n°1

Évidemment, nous avons quelque chose de très similaire à une fonction puissance. Que devons-nous faire dans ce cas ? Pensons-y : $x-5$ n'est pas si différent de $x$ - ils ont simplement ajouté $-5$. Écrivons-le ainsi :

\[((x)^(4))\à \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Essayons de trouver la dérivée de $((\left(x-5 \right))^(5))$ :

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Cela implique:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ à droite))^(\prime ))\]

Il n’y a pas une telle valeur dans le tableau, nous avons donc maintenant dérivé cette formule nous-mêmes en utilisant la formule primitive standard pour une fonction puissance. Écrivons la réponse comme ceci :

Problème n°2

De nombreux étudiants qui examinent la première solution peuvent penser que tout est très simple : il suffit de remplacer $x$ dans la fonction puissance par une expression linéaire et tout se mettra en place. Malheureusement, tout n'est pas si simple, et maintenant nous allons le voir.

Par analogie avec la première expression, on écrit ce qui suit :

\[((x)^(9))\à \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

En revenant à notre dérivée, nous pouvons écrire :

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Cela suit immédiatement :

Nuances de la solution

Attention : si rien n'a essentiellement changé la dernière fois, alors dans le second cas, au lieu de -10$, c'est -30$ qui sont apparus. Quelle est la différence entre -10$ et -30$ ? Évidemment, par un facteur de -3$. Question : d'où vient-il ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir qu'il a été obtenu à la suite du calcul de la dérivée d'une fonction complexe - le coefficient qui était de $x$ apparaît dans la primitive ci-dessous. Il s’agit d’une règle très importante, dont je n’avais initialement pas prévu de discuter du tout dans la leçon vidéo d’aujourd’hui, mais sans elle, la présentation des primitives tabulaires serait incomplète.

Alors recommençons. Soit notre fonction de pouvoir principale :

\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Maintenant, au lieu de $x$, remplaçons l'expression $kx+b$. Que se passera-t-il alors ? Nous devons trouver les éléments suivants :

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Sur quelle base prétendons-nous cela ? Très simple. Trouvons la dérivée de la construction écrite ci-dessus :

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

C'est la même expression qui existait à l'origine. Ainsi, cette formule est également correcte, et elle peut être utilisée pour compléter le tableau des primitives, ou il vaut mieux simplement mémoriser l'intégralité du tableau.

Conclusions du « secret : technique :

• Les deux fonctions que nous venons d'examiner peuvent, en fait, être réduites aux primitives indiquées dans le tableau en élargissant les degrés, mais si nous pouvons plus ou moins faire face au quatrième degré, alors je ne considérerais même pas le neuvième degré a osé révéler.
• Si nous devions élargir les degrés, nous nous retrouverions avec un tel volume de calculs qu’une tâche simple nous prendrait un temps inapproprié.
• C'est pourquoi de tels problèmes, qui contiennent des expressions linéaires, n'ont pas besoin d'être résolus « à corps perdu ». Dès que vous rencontrez une primitive qui ne diffère de celle du tableau que par la présence de l'expression $kx+b$ à l'intérieur, souvenez-vous immédiatement de la formule écrite ci-dessus, remplacez-la dans la primitive de votre tableau, et tout se passera bien plus rapide et plus facile.

Naturellement, en raison de la complexité et du sérieux de cette technique, nous y reviendrons plusieurs fois dans les prochaines leçons vidéo, mais c'est tout pour aujourd'hui. J'espère que cette leçon aidera vraiment les étudiants qui souhaitent comprendre les primitives et l'intégration.

Résoudre des intégrales est une tâche facile, mais seulement pour quelques privilégiés. Cet article s’adresse à ceux qui veulent apprendre à comprendre les intégrales, mais qui n’y connaissent rien ou presque. Intégral... Pourquoi est-ce nécessaire ? Comment le calculer ? Que sont les intégrales définies et indéfinies ?

Si la seule utilisation que vous connaissez d'une intégrale est d'utiliser un crochet en forme d'icône intégrale pour obtenir quelque chose d'utile dans des endroits difficiles d'accès, alors bienvenue ! Découvrez comment résoudre les intégrales les plus simples et autres et pourquoi vous ne pouvez pas vous en passer en mathématiques.

Nous étudions le concept « intégral »

L'intégration était connue dès l'Égypte ancienne. Bien sûr, pas sous sa forme moderne, mais quand même. Depuis, les mathématiciens ont écrit de nombreux ouvrages sur ce sujet. Se sont particulièrement distingués Newton Et Leibniz , mais l'essence des choses n'a pas changé.

Comment comprendre les intégrales à partir de zéro ? Certainement pas! Pour comprendre ce sujet, vous aurez toujours besoin d’une connaissance de base des bases de l’analyse mathématique. Nous avons déjà des informations sur , nécessaires à la compréhension des intégrales, sur notre blog.

Intégrale indéfinie

Ayons une fonction f(x) .

Fonction intégrale indéfinie f(x) cette fonction s'appelle F(x) , dont la dérivée est égale à la fonction f(x) .

En d’autres termes, une intégrale est une dérivée inverse ou une primitive. À propos, découvrez comment procéder dans notre article.

Une primitive existe pour toutes les fonctions continues. De plus, un signe constant est souvent ajouté à la primitive, car les dérivées de fonctions qui diffèrent par une constante coïncident. Le processus de recherche de l’intégrale est appelé intégration.

Exemple simple :

Afin de ne pas calculer constamment les primitives des fonctions élémentaires, il est pratique de les mettre dans un tableau et d'utiliser des valeurs toutes faites.

Tableau complet des intégrales pour les étudiants

Intégrale définie

Lorsqu'on traite du concept d'intégrale, nous avons affaire à des quantités infinitésimales. L'intégrale aidera à calculer l'aire d'une figure, la masse d'un corps non uniforme, la distance parcourue lors d'un mouvement inégal et bien plus encore. Il faut rappeler qu’une intégrale est la somme d’un nombre infiniment grand de termes infinitésimaux.

À titre d'exemple, imaginez un graphique d'une fonction.

Comment trouver l'aire d'une figure délimitée par le graphique d'une fonction ? Utiliser une intégrale ! Divisons le trapèze curviligne, limité par les axes de coordonnées et le graphique de la fonction, en segments infinitésimaux. De cette façon, la figure sera divisée en fines colonnes. La somme des aires des colonnes sera l'aire du trapèze. Mais rappelez-vous qu'un tel calcul donnera un résultat approximatif. Cependant, plus les segments sont petits et étroits, plus le calcul sera précis. Si nous les réduisons à un point tel que la longueur tend vers zéro, alors la somme des aires des segments tendra vers l'aire de la figure. Il s’agit d’une intégrale définie, qui s’écrit ainsi :

Les points a et b sont appelés limites d'intégration.

« Intégral »

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Règles de calcul des intégrales pour les nuls

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Comment résoudre une intégrale indéfinie ? Ici, nous examinerons les propriétés de l'intégrale indéfinie, qui seront utiles lors de la résolution d'exemples.

• La dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrande :

• La constante peut être retirée sous le signe intégral :

• L'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales. Cela est également vrai pour la différence :

Propriétés d'une intégrale définie

• Linéarité :

• Le signe de l'intégrale change si les limites d'intégration sont inversées :

• À n'importe lequel points un, b Et Avec:

Nous avons déjà découvert qu'une intégrale définie est la limite d'une somme. Mais comment obtenir une valeur spécifique lors de la résolution d’un exemple ? Pour cela il existe la formule de Newton-Leibniz :

Exemples de résolution d'intégrales

Ci-dessous, nous examinerons l'intégrale indéfinie et des exemples de solutions. Nous vous suggérons de découvrir vous-même les subtilités de la solution et si quelque chose n'est pas clair, posez des questions dans les commentaires.

Pour renforcer le matériel, regardez une vidéo sur la façon dont les intégrales sont résolues dans la pratique. Ne désespérez pas si l'intégrale n'est pas donnée immédiatement. Contactez un service professionnel pour étudiants, et toute intégrale triple ou courbe sur surface fermée sera à votre portée.

Tableau des primitives ("intégrales"). Tableau des intégrales. Intégrales indéfinies tabulaires. (Les intégrales les plus simples et les intégrales avec un paramètre). Formules d'intégration par parties. Formule de Newton-Leibniz.

Tableau des primitives ("intégrales"). Intégrales indéfinies tabulaires. (Les intégrales les plus simples et les intégrales avec un paramètre).
Intégrale d'une fonction puissance.	Intégrale d'une fonction puissance.
Une intégrale qui se réduit à l'intégrale d'une fonction puissance si x est piloté sous le signe différentiel.
	Intégrale d'une exponentielle, où a est un nombre constant.
Intégrale d'une fonction exponentielle complexe.	Intégrale d'une fonction exponentielle.
Une intégrale égale au logarithme népérien.	Intégrale : "Logarithme long".
	Intégrale : "Logarithme long".
Intégrale : "Logarithme élevé".	Une intégrale, où x au numérateur est placé sous le signe différentiel (la constante sous le signe peut être soit ajoutée, soit soustraite), est finalement similaire à une intégrale égale au logarithme népérien.
Intégrale : "Logarithme élevé".
Cosinus intégral.	Intégrale sinusoïdale.
Intégrale égale à la tangente.	Intégrale égale à la cotangente.
Intégrale égale à l'arc sinus et à l'arc cosinus
Une intégrale égale à la fois à l’arc sinus et à l’arc cosinus.	Une intégrale égale à la fois à l'arctangente et à l'arccotangente.
Intégrale égale à cosécante.	Intégrale égale à sécante.
Intégrale égale à arcsécante.	Intégrale égale à arccosécante.
Intégrale égale à arcsécante.	Intégrale égale à arcsécante.
Intégrale égale au sinus hyperbolique.	Intégrale égale au cosinus hyperbolique.
Intégrale égale au sinus hyperbolique, où sinhx est le sinus hyperbolique dans la version anglaise.	Intégrale égale au cosinus hyperbolique, où sinhx est le sinus hyperbolique dans la version anglaise.
Intégrale égale à la tangente hyperbolique.	Intégrale égale à la cotangente hyperbolique.
Intégrale égale à la sécante hyperbolique.	Intégrale égale à la cosécante hyperbolique.

Formules d'intégration par parties. Règles d'intégration.

Formules d'intégration par parties. Formule de Newton-Leibniz.Règles d'intégration.
Intégrer un produit (fonction) par une constante :
Intégration de la somme des fonctions :
intégrales indéfinies :
Formule d'intégration par parties intégrales définies :
Formule de Newton-Leibniz intégrales définies :	Où F(a),F(b) sont les valeurs des primitives aux points b et a, respectivement.

Tableau des dérivés. Dérivés tabulaires. Dérivé du produit. Dérivée du quotient. Dérivée d'une fonction complexe.

Si x est une variable indépendante, alors :

Tableau des dérivés. Dérivés tabulaires."dérivé de table" - ​​oui, malheureusement, c'est exactement ainsi qu'ils sont recherchés sur Internet
	Dérivée d'une fonction puissance
	Dérivée de l'exposant
Dérivée d'une fonction exponentielle complexe	Dérivée de la fonction exponentielle
Dérivée d'une fonction logarithmique	Dérivée du logarithme népérien
	Dérivée du logarithme népérien d'une fonction
Dérivée du sinus	Dérivée du cosinus
Dérivé de cosécante	Dérivé d'une sécante
Dérivée de l'arc sinus	Dérivée de l'arc cosinus
Dérivée de l'arc sinus	Dérivée de l'arc cosinus
Dérivée tangente	Dérivée de cotangente
Dérivée de l'arctangente	Dérivée d'arc cotangente
Dérivée de l'arctangente	Dérivée d'arc cotangente
Dérivé d'arcsécant	Dérivé de arccosécant
Dérivé d'arcsécant	Dérivé de arccosécant
Dérivée du sinus hyperbolique Dérivée du sinus hyperbolique dans la version anglaise	Dérivé du cosinus hyperbolique Dérivée du cosinus hyperbolique en version anglaise
Dérivée de la tangente hyperbolique	Dérivée de la cotangente hyperbolique
Dérivée de la sécante hyperbolique	Dérivé de la cosécante hyperbolique

Règles de différenciation. Dérivé du produit. Dérivée du quotient. Dérivée d'une fonction complexe.
Dérivée d'un produit (fonction) par une constante :
Dérivée de somme (fonctions) :
Dérivé du produit (fonctions) :
Dérivée du quotient (des fonctions) :
Dérivée d'une fonction complexe :

Propriétés des logarithmes. Formules de base pour les logarithmes. Logarithmes décimaux (lg) et naturels (ln).

Identité logarithmique de base
Montrons comment toute fonction de la forme a b peut être rendue exponentielle. Puisqu'une fonction de la forme e x est appelée exponentielle, alors
Toute fonction de la forme a b peut être représentée comme une puissance de dix

Logarithme népérien ln (logarithme en base e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; journal(1)=0

Série Taylor. Expansion en série de Taylor d'une fonction.

Il s'avère que la majorité pratiquement rencontré les fonctions mathématiques peuvent être représentées avec n'importe quelle précision au voisinage d'un certain point sous la forme de séries de puissances contenant les puissances d'une variable par ordre croissant. Par exemple, au voisinage du point x=1 :

Lorsque vous utilisez une série appelée Les rangées de Taylor, les fonctions mixtes contenant, par exemple, des fonctions algébriques, trigonométriques et exponentielles peuvent être exprimées sous forme de fonctions purement algébriques. En utilisant des séries, vous pouvez souvent effectuer rapidement une différenciation et une intégration.

La série de Taylor au voisinage du point a a la forme :

1) , où f(x) est une fonction qui a des dérivées de tous ordres à x = a. R n - le terme restant de la série de Taylor est déterminé par l'expression

2)

Le k-ème coefficient (à x k) de la série est déterminé par la formule

3) Un cas particulier de la série Taylor est la série Maclaurin (=McLaren) (l'expansion se produit autour du point a=0)

à a=0

les membres de la série sont déterminés par la formule

Conditions d'utilisation des séries Taylor.

1. Pour que la fonction f(x) soit développée en une série de Taylor sur l'intervalle (-R;R), il est nécessaire et suffisant que le terme restant dans la formule de Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pour cela la fonction tend vers zéro lorsque k →∞ sur l'intervalle spécifié (-R;R).

2. Il faut qu'il y ait des dérivées pour une fonction donnée au point au voisinage duquel on va construire la série de Taylor.

Propriétés de la série de Taylor.

Si f est une fonction analytique, alors sa série de Taylor en tout point a dans le domaine de définition de f converge vers f dans un certain voisinage de a.

Il existe des fonctions infiniment différentiables dont la série de Taylor converge, mais diffère en même temps de la fonction dans n'importe quel voisinage de a. Par exemple:

Les séries de Taylor sont utilisées en approximation (l'approximation est une méthode scientifique qui consiste à remplacer certains objets par d'autres, dans un sens ou dans un autre proches de ceux d'origine, mais plus simples) d'une fonction par des polynômes. En particulier, la linéarisation ((de Linearis - linéaire), une des méthodes de représentation approximative de systèmes non linéaires fermés, dans laquelle l'étude d'un système non linéaire est remplacée par l'analyse d'un système linéaire, en quelque sorte équivalent à l'original .) Les équations se produisent en se développant dans une série de Taylor et en supprimant tous les termes supérieurs au premier ordre.

Ainsi, presque toutes les fonctions peuvent être représentées sous forme de polynôme avec une précision donnée.

Exemples de quelques développements courants de fonctions puissance dans les séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor au voisinage du point 0) et de Taylor au voisinage du point 1. Les premiers termes de développements des fonctions principales dans les séries de Taylor et McLaren.

Exemples de quelques extensions courantes de fonctions puissance dans les séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor au voisinage du point 0)

Exemples de quelques développements courants de la série de Taylor à proximité du point 1

>>Méthodes d'intégration

Méthodes d'intégration de base

Définition de l'intégrale, intégrale définie et indéfinie, tableau des intégrales, formule de Newton-Leibniz, intégration par parties, exemples de calcul d'intégrales.

Intégrale indéfinie

Une fonction F(x) différentiable dans un intervalle X donné est appelée primitive de la fonction f(x), ou l'intégrale de f(x), si pour tout x ∈X l'égalité suivante est vraie :

F " (x) = f(x). (8.1)

Trouver toutes les primitives pour une fonction donnée s'appelle son l'intégration. Fonction intégrale indéfinie f(x) sur un intervalle donné X est l'ensemble de toutes les fonctions primitives pour la fonction f(x) ; désignation -

Si F(x) est une primitive de la fonction f(x), alors ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

où C est une constante arbitraire.

Tableau des intégrales

Directement à partir de la définition, nous obtenons les principales propriétés de l'intégrale indéfinie et une liste d'intégrales tabulaires :

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Liste des intégrales tabulaires

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - péché x + C

7. = arctan x + C

8. = arc sinus x + C

10. = - ctg x + C

Remplacement variable

Pour intégrer de nombreuses fonctions, utilisez la méthode de remplacement de variable ou remplacements, vous permettant de réduire les intégrales sous forme tabulaire.

Si la fonction f(z) est continue sur [α,β], la fonction z =g(x) a une dérivée continue et α ≤ g(x) ≤ β, alors

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

De plus, après intégration du côté droit, la substitution z=g(x) doit être effectuée.

Pour le prouver, il suffit d’écrire l’intégrale originale sous la forme :

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Par exemple:

1)

2) .

Méthode d'intégration par parties

Soient u = f(x) et v = g(x) des fonctions qui ont une valeur continue. Puis, selon l'ouvrage,

d(uv))= udv + vdu ou udv = d(uv) - vdu.

Pour l’expression d(uv), la primitive sera évidemment uv, donc la formule est valable :

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Cette formule exprime la règle intégration par parties. Elle conduit l'intégration de l'expression udv=uv"dx à l'intégration de l'expression vdu=vu"dx.

Supposons, par exemple, que vous souhaitiez trouver ∫xcosx dx. Mettons u = x, dv = cosxdx, donc du=dx, v=sinx. Alors

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

La règle de l'intégration par parties a une portée plus limitée que la substitution de variables. Mais il existe des classes entières d'intégrales, par exemple,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax et autres, qui sont calculés précisément en utilisant l'intégration par parties.

Intégrale définie

Le concept d'intégrale définie est introduit comme suit. Soit une fonction f(x) définie sur un intervalle. Divisons le segment [a,b] en n parties par points a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x je = x je - x je-1. Une somme de la forme f(ξ i)Δ x i est appelée somme intégrale, et sa limite à λ = maxΔx i → 0, si elle existe et est finie, est appelée Intégrale définie fonctions f(x) de un avant b et est désigné :

F(ξi)Δxi (8.5).

La fonction f(x) dans ce cas est appelée intégrable sur l'intervalle, les nombres a et b sont appelés limites inférieure et supérieure de l'intégrale.

Les propriétés suivantes sont vraies pour une intégrale définie :

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

La dernière propriété s'appelle théorème de la valeur moyenne.

Soit f(x) continue sur . Alors sur ce segment il existe une intégrale indéfinie

∫f(x)dx = F(x) + C

et a lieu Formule de Newton-Leibniz, reliant l'intégrale définie à l'intégrale indéfinie :

F(b) - F(une). (8.6)

Interprétation géométrique : l'intégrale définie est l'aire d'un trapèze curviligne délimité d'en haut par la courbe y=f(x), les droites x = a et x = b et un segment de l'axe Bœuf.

Intégrales incorrectes

Les intégrales avec des limites infinies et les intégrales de fonctions discontinues (illimitées) sont appelées pas le vôtre. Intégrales impropres du premier type - Ce sont des intégrales sur un intervalle infini, défini comme suit :

(8.7)

Si cette limite existe et est finie, alors on l'appelle intégrale impropre convergente de f(x) sur l'intervalle [a,+ ∞), et la fonction f(x) est appelée intégrable sur un intervalle infini[une,+ ∞). Sinon, on dit que l’intégrale est n'existe pas ou diverge.

Les intégrales impropres sur les intervalles (-∞,b] et (-∞, + ∞) sont définies de la même manière :

Définissons le concept d'intégrale d'une fonction illimitée. Si f(x) est continue pour toutes les valeurs X segment , à l'exception du point c, auquel f(x) a une discontinuité infinie, alors intégrale impropre du deuxième type de f(x) allant de a à b le montant s'appelle :

si ces limites existent et sont finies. Désignation:

Exemples de calculs intégraux

Exemple 3.30. Calculez ∫dx/(x+2).

Solution. Notons t = x+2, alors dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemple 3.31. Trouvez ∫ tgxdx.

Solution.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Soit t=cosx, alors ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemple3.32 . Trouver ∫dx/sinx

Solution.

Exemple3.33. Trouver .

Solution. =

.

Exemple3.34 . Trouvez ∫arctgxdx.

Solution. Intégrons par parties. Notons u=arctgx, dv=dx. Alors du = dx/(x 2 +1), v=x, d'où ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; parce que
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemple3.35 . Calculez ∫lnxdx.

Solution. En appliquant la formule d’intégration par parties, on obtient :
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Alors ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemple3.36 . Calculez ∫e x sinxdx.

Solution. Notons u = e x, dv = sinxdx, alors du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. On intègre également l'intégrale ∫e x cosxdx par parties : u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Nous avons:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Nous avons obtenu la relation ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, d'où 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemple 3.37. Calculez J = ∫cos(lnx)dx/x.

Solution. Puisque dx/x = dlnx, alors J= ∫cos(lnx)d(lnx). En remplaçant lnx par t, nous arrivons à l'intégrale de table J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemple 3.38 . Calculer J = .

Solution. Considérant que = d(lnx), nous substituons lnx = t. Alors J = .