Intégrales de fonctions trigonométriques. Exemples de solutions. Méthodes d'intégration de fonctions trigonométriques Intégrale de tg au carré

Des formules trigonométriques de base et des substitutions de base sont présentées. Des méthodes d'intégration de fonctions trigonométriques sont décrites - intégration de fonctions rationnelles, produit de fonctions puissance de sin x et cos x, produit d'un polynôme, d'une exponentielle et d'un sinus ou d'un cosinus, intégration de fonctions trigonométriques inverses. Les méthodes non standards sont concernées.

Contenu

Méthodes standard d'intégration de fonctions trigonométriques

Approche générale

Premièrement, si nécessaire, l'intégrande doit être transformée pour que les fonctions trigonométriques dépendent d'un seul argument, qui est le même que la variable d'intégration.

Par exemple, si l'intégrande dépend de péché(x+a) Et cos(x+b), alors vous devez effectuer la conversion :
cos (x+b) = cos (x+a - (ab)) = cos (x+a) cos (b-a) + péché ( x+a ) péché (b-a).
Effectuez ensuite le remplacement z = x+a. En conséquence, les fonctions trigonométriques dépendront uniquement de la variable d'intégration z.

Lorsque les fonctions trigonométriques dépendent d'un argument qui coïncide avec la variable d'intégration (disons que c'est z), c'est-à-dire que l'intégrande se compose uniquement de fonctions comme péché z, parce que z, tg z, ctg z, alors vous devez faire une substitution
.
Cette substitution conduit à l'intégration de logiques rationnelles ou fonctions irrationnelles(s'il y a des racines) et permet de calculer l'intégrale si elle est intégrée dans des fonctions élémentaires.

Cependant, vous pouvez souvent trouver d'autres méthodes qui vous permettent d'évaluer l'intégrale de manière plus courte, en fonction des spécificités de l'intégrande. Vous trouverez ci-dessous un résumé des principales méthodes de ce type.

Méthodes d'intégration des fonctions rationnelles de sin x et cos x

Fonctions rationnelles de péché x Et parce que x sont des fonctions formées de péché x, parce que x et toutes constantes utilisant les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'élévation à une puissance entière. Ils sont désignés comme suit : R (péché x, cos x). Cela peut également inclure les tangentes et les cotangentes, car elles sont formées en divisant le sinus par le cosinus et vice versa.
Les intégrales de fonctions rationnelles ont la forme :
.

Les méthodes d'intégration de fonctions trigonométriques rationnelles sont les suivantes.
1) La substitution conduit toujours à l'intégrale d'une fraction rationnelle. Cependant, dans certains cas, il existe des substitutions (celles-ci sont présentées ci-dessous) qui conduisent à des calculs plus courts.
2) Si R (péché x, cos x) cosx → - cosx péché x.
3) Si R (péché x, cos x) multiplié par -1 lors du remplacement péché x → - péché x, alors la substitution t = parce que x.
4) Si R (péché x, cos x) ne change pas comme avec le remplacement simultané cosx → - cosx, Et péché x → - péché x, alors la substitution t = tgx ou t = ctg x.

Exemples:
, , .

Produit des fonctions puissance de cos x et sin x

Intégrales de la forme

sont des intégrales de fonctions trigonométriques rationnelles. Les méthodes décrites dans la section précédente peuvent donc leur être appliquées. Les méthodes basées sur les spécificités de ces intégrales sont discutées ci-dessous.

Si m et n sont des nombres rationnels, alors l'une des substitutions t = péché x ou t = parce que x l'intégrale se réduit à l'intégrale du binôme différentiel.

Si m et n sont des nombres entiers, alors l'intégration est effectuée à l'aide de formules de réduction :

;
;
;
.

Exemple:
.

Intégrales du produit d'un polynôme et du sinus ou du cosinus

Intégrales de la forme :
, ,
où P(x) est un polynôme en x, sont intégrés par parties. Cela donne les formules suivantes :

;
.

Exemples:
, .

Intégrales du produit d'un polynôme, exponentielle et sinus ou cosinus

Intégrales de la forme :
, ,
où P(x) est un polynôme en x, intégré selon la formule d'Euler
e iax = hache cos + hache isin(où je 2 = - 1 ).
Pour ce faire, en utilisant la méthode décrite dans le paragraphe précédent, calculez l'intégrale
.
En séparant les parties réelles et imaginaires du résultat, les intégrales originales sont obtenues.

Exemple:
.

Méthodes non standard d'intégration de fonctions trigonométriques

Vous trouverez ci-dessous un certain nombre de méthodes non standard qui vous permettent d'effectuer ou de simplifier l'intégration de fonctions trigonométriques.

Dépendance à (a sin x + b cos x)

Si l'intégrande dépend uniquement d'un péché x + b cos x, alors il est utile d'appliquer la formule :
,
Où .

Par exemple

Résoudre des fractions de sinus et de cosinus en fractions plus simples

Considérons l'intégrale
.
La méthode d'intégration la plus simple consiste à décomposer la fraction en fractions plus simples en utilisant la transformation :
péché(a - b) = péché(x + a - (x + b)) = péché(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) péché(x+b)

Intégrer des fractions du premier degré

À calcul intégral
,
il convient d'isoler la partie entière de la fraction et la dérivée du dénominateur
un 1 péché x + b 1 cos x = UN (un péché x + b cos x) + B (un péché x + b cos x)′ .
Les constantes A et B sont trouvées en comparant les côtés gauche et droit.

Les références:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.

Voir également:

Intégrales de fonctions trigonométriques.
Exemples de solutions

Dans cette leçon, nous examinerons les intégrales des fonctions trigonométriques, c'est-à-dire que le remplissage des intégrales sera constitué de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes dans diverses combinaisons. Tous les exemples seront analysés en détail, accessibles et compréhensibles même pour une théière.

Pour étude réussie intégrales des fonctions trigonométriques Vous devez avoir une bonne compréhension des intégrales les plus simples et maîtriser certaines techniques d'intégration. Vous pouvez vous familiariser avec ces matériaux lors de conférences Intégrale indéfinie. Exemples de solutions Et .

Et maintenant nous avons besoin de : Tableau des intégrales, Tableau des dérivés Et Répertoire des formules trigonométriques. Tous manuels méthodologiques peut être trouvé sur la page Formules et tableaux mathématiques. Je recommande de tout imprimer. Je me concentre particulièrement sur les formules trigonométriques, ils devraient être devant tes yeux– sans cela, l’efficacité du travail diminuera sensiblement.

Mais d’abord, à propos de ce que sont les intégrales dans cet article Non. Il n'y a pas d'intégrales de la forme , - cosinus, sinus, multiplié par un polynôme (moins souvent quelque chose avec une tangente ou une cotangente). De telles intégrales sont intégrées par parties, et pour apprendre la méthode, visitez la leçon Intégration par parties. Exemples de solutions Ici aussi, il n'y a pas d'intégrales avec des « arcs » - arctangente, arc sinus, etc., elles sont aussi le plus souvent intégrées par parties.

Lors de la recherche d'intégrales de fonctions trigonométriques, un certain nombre de méthodes sont utilisées :

(4) Nous utilisons la formule tabulaire , la seule différence est qu’au lieu de « X », nous avons une expression complexe.

Exemple 2

Exemple 3

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Un classique du genre pour ceux qui se noient sous la concurrence. Comme vous l'avez probablement remarqué, dans le tableau des intégrales, il n'y a pas d'intégrale de tangente et de cotangente, mais de telles intégrales peuvent néanmoins être trouvées.

(1) On utilise la formule trigonométrique

(2) On place la fonction sous le signe différentiel.

(3) On utilise l'intégrale de table .

Exemple 4

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple pour décision indépendante, la solution complète et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Nos diplômes augmenteront progressivement =).
D'abord la solution :

(1) On utilise la formule

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale , d'où il résulte que .

(3) Divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(4) Nous utilisons la propriété de linéarité de l'intégrale indéfinie.

(5) Nous intégrons à l'aide du tableau.

Exemple 6

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple de solution indépendante, la solution complète et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Il existe également des intégrales de tangentes et de cotangentes, qui sont dans des puissances supérieures. L'intégrale de la tangente au cube est discutée dans la leçon Comment calculer l'aire d'une figure plate ? Les intégrales de tangente (cotangente) aux puissances quatrième et cinquième peuvent être obtenues sur la page Intégrales complexes.

Réduire le degré de l'intégrande

Cette technique fonctionne lorsque les fonctions intégrandes sont remplies de sinus et de cosinus dans même degrés. Pour réduire le degré, utilisez des formules trigonométriques , et , et la dernière formule est souvent utilisée dans le sens inverse : .

Exemple 7

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Solution:

En principe, il n'y a rien de nouveau ici, si ce n'est que nous avons appliqué la formule (diminution du degré de l'intégrande). Veuillez noter que j'ai raccourci la solution. Au fur et à mesure que vous gagnez en expérience, l'intégrale de peut être trouvée oralement, ce qui fait gagner du temps et est tout à fait acceptable pour terminer les devoirs. Dans ce cas, il est conseillé de ne pas décrire la règle , on prend d'abord verbalement l'intégrale de 1, puis de .

Exemple 8

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple de solution indépendante, la solution complète et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Voici l’augmentation de diplôme promise :

Exemple 9

Trouvez l'intégrale indéfinie.

D'abord la solution, puis les commentaires :

(1) Préparez l'intégrande pour appliquer la formule .

(2) Nous appliquons effectivement la formule.

(3) Nous mettons le dénominateur au carré et retirons la constante du signe intégral. Cela aurait pu être fait un peu différemment, mais, à mon avis, c'était plus pratique.

(4) On utilise la formule

(5) Au troisième terme, nous réduisons à nouveau le degré, mais en utilisant la formule .

(6) Nous présentons termes similaires(ici j'ai divisé et j'ai fait l'ajout).

(7) En fait, on prend l'intégrale, la règle de linéarité et la méthode de subsumation d'une fonction sous le signe différentiel est effectuée oralement.

(8) Peigner la réponse.

! Dans une intégrale indéfinie, la réponse peut souvent s'écrire de plusieurs manières

Dans l'exemple que nous venons de considérer, la réponse finale aurait pu être écrite différemment - en ouvrant les parenthèses et même en le faisant avant d'intégrer l'expression, c'est-à-dire que la fin suivante de l'exemple est tout à fait acceptable :

Il est fort possible que cette option soit encore plus pratique, je viens de l'expliquer comme j'ai l'habitude de la résoudre moi-même). Voici un autre exemple typique de solution indépendante :

Exemple 10

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Cet exemple peut être résolu de deux manières et vous pouvez réussir deux réponses complètement différentes(plus précisément, ils seront complètement différents, mais d'un point de vue mathématique ils seront équivalents). Très probablement, vous ne verrez pas la méthode la plus rationnelle et souffrirez de l'ouverture des parenthèses et de l'utilisation d'autres formules trigonométriques. La solution la plus efficace est donnée à la fin de la leçon.

Pour résumer le paragraphe, nous concluons : toute intégrale de la forme , où et - même nombres, est résolu par la méthode de réduction du degré de l’intégrande.
Dans la pratique, je suis tombé sur des intégrales de 8 et 10 degrés, et j'ai dû résoudre leur terrible désordre en abaissant le degré plusieurs fois, ce qui a donné lieu à de très longues réponses.

Méthode de remplacement variable

Comme mentionné dans l'article Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie, la principale condition préalable à l'utilisation de la méthode de remplacement est le fait que dans l'intégrande il y ait une certaine fonction et sa dérivée :
(les fonctions ne sont pas forcément dans le produit)

Exemple 11

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Nous regardons le tableau des dérivées et remarquons les formules, , c'est-à-dire que dans notre intégrande il y a une fonction et sa dérivée. Cependant, on voit que lors de la différenciation, cosinus et sinus se transforment mutuellement, et la question se pose : comment effectuer un changement de variable et qu'entend-on par sinus ou cosinus ?! La question peut être résolue par des recherches scientifiques : si nous effectuons le remplacement de manière incorrecte, il n'en sortira rien de bon.

Une ligne directrice générale : dans des cas similaires, il faut désigner la fonction qui est au dénominateur.

Nous interrompons la solution et effectuons un remplacement

Tout va bien au dénominateur, tout ne dépend que de , reste maintenant à savoir ce que cela va devenir.
Pour ce faire, on retrouve le différentiel :

Ou, en bref :
A partir de l'égalité résultante, en utilisant la règle de proportion, nous exprimons l'expression dont nous avons besoin :

Donc:

Maintenant, notre intégrande entière dépend uniquement de et nous pouvons continuer à résoudre

Prêt. Je vous rappelle que le but du remplacement est de simplifier l'intégrande, dans ce cas, tout se résumait à intégrer la fonction puissance selon le tableau.

Ce n'est pas un hasard si j'ai décrit cet exemple avec autant de détails ; cela a été fait dans le but de répéter et de renforcer le matériel de cours. Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Et maintenant deux exemples pour votre propre solution :

Exemple 12

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Exemple 13

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Solutions complètes et réponses à la fin de la leçon.

Exemple 14

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Là encore, dans l'intégrande, il y a sinus et cosinus (une fonction avec une dérivée), mais dans un produit, et un dilemme se pose : qu'entend-on par sinus ou cosinus ?

Vous pouvez essayer d'effectuer un remplacement par la méthode scientifique, et si rien ne fonctionne, alors le désigner comme une autre fonction, mais il y a :

Ligne directrice générale : il faut désigner la fonction qui, au sens figuré, est dans une « position inconfortable ».

Nous voyons cela dans dans cet exemple le cosinus étudiant « souffre » du degré, mais le sinus repose librement, tout seul.

Faisons donc un remplacement :

Si quelqu'un a encore des difficultés avec l'algorithme permettant de remplacer une variable et de trouver la différentielle, alors vous devriez revenir à la leçon Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Exemple 15

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Analysons l'intégrande, que faut-il désigner par ?
Rappelons nos lignes directrices :
1) La fonction est très probablement au dénominateur ;
2) La fonction est dans une « position inconfortable ».

Soit dit en passant, ces directives ne s'appliquent pas uniquement aux fonctions trigonométriques.

Le sinus répond aux deux critères (surtout au second), donc un remplacement s'impose. En principe, le remplacement peut déjà être effectué, mais il serait d'abord bien de savoir quoi faire ? Tout d’abord, nous « pinçons » un cosinus :

Nous nous réservons pour notre « futur » différentiel

Et nous l'exprimons par sinus en utilisant l'identité trigonométrique de base :

Voici maintenant le remplacement :

Règle générale: Si dans l'intégrande une des fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) est en impair degré, alors vous devez « arracher » une fonction du degré impair et désigner une autre fonction derrière elle. Nous ne parlons que d'intégrales où il y a des cosinus et des sinus.

Dans l’exemple considéré, nous avions un cosinus à une puissance impaire, nous avons donc extrait un cosinus de la puissance et l’avons désigné comme sinus.

Exemple 16

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Les diplômes décollent =).
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Substitution trigonométrique universelle

La substitution trigonométrique universelle est un cas courant de méthode de remplacement de variable. Vous pouvez essayer de l’utiliser lorsque vous « ne savez pas quoi faire ». Mais en fait, il existe quelques lignes directrices pour son application. Les intégrales typiques où la substitution trigonométrique universelle doit être appliquée sont les intégrales suivantes : , , , etc.

Exemple 17

Trouvez l'intégrale indéfinie.

La substitution trigonométrique universelle dans ce cas est mise en œuvre de la manière suivante. Remplaçons : . Je n'utilise pas la lettre , mais la lettre , ce n'est pas une sorte de règle, c'est juste que, encore une fois, j'ai l'habitude de résoudre les choses de cette façon.

Ici il est plus commode de trouver la différentielle ; pour cela, à partir de l'égalité, j'exprime :
J'attache une arctangente aux deux parties :

Arctangente et tangente s'annulent :

Ainsi:

En pratique, vous n’êtes pas obligé de le décrire avec autant de détails, mais utilisez simplement le résultat final :

! L’expression n’est valable que si sous les sinus et cosinus on a simplement des « X », pour l’intégrale (dont nous parlerons plus tard) tout sera un peu différent !

Lors du remplacement, les sinus et les cosinus se transforment en fractions suivantes :
, , ces égalités sont basées sur des formules trigonométriques bien connues : ,

Ainsi, le design final pourrait ressembler à ceci :

Effectuons une substitution trigonométrique universelle :

Tableau des primitives ("intégrales"). Tableau des intégrales. Tabulaire intégrales indéfinies. (Les intégrales les plus simples et les intégrales avec un paramètre). Formules d'intégration par parties. Formule de Newton-Leibniz.

Tableau des primitives ("intégrales"). Intégrales indéfinies tabulaires. (Les intégrales les plus simples et les intégrales avec un paramètre).
Intégrale d'une fonction puissance.	Intégrale d'une fonction puissance.
Une intégrale qui se réduit à l'intégrale d'une fonction puissance si x est piloté sous le signe différentiel.

	Intégrale d'une exponentielle, où a est un nombre constant.
Intégrale d'une fonction exponentielle complexe.	Intégrale d'une fonction exponentielle.

Une intégrale égale au logarithme népérien.	Intégrale : "Logarithme long".
	Intégrale : "Logarithme long".
Intégrale : "Logarithme élevé".	Une intégrale, où x au numérateur est placé sous le signe différentiel (la constante sous le signe peut être soit ajoutée, soit soustraite), est finalement similaire à une intégrale égale au logarithme népérien.
Intégrale : "Logarithme élevé".

Cosinus intégral.	Intégrale sinusoïdale.
Intégrale égale à la tangente.	Intégrale égale à la cotangente.

Intégrale égale à l'arc sinus et à l'arc cosinus
Une intégrale égale à la fois à l’arc sinus et à l’arc cosinus.	Une intégrale égale à la fois à l'arctangente et à l'arccotangente.

Intégrale égale à cosécante.	Intégrale égale à sécante.
Intégrale égale à arcsécante.	Intégrale égale à arccosécante.
Intégrale égale à arcsécante.	Intégrale égale à arcsécante.

Intégrale égale au sinus hyperbolique.	Intégrale égale au cosinus hyperbolique.

Intégrale égale au sinus hyperbolique, où sinhx est le sinus hyperbolique dans la version anglaise.	Intégrale égale au cosinus hyperbolique, où sinhx est le sinus hyperbolique dans la version anglaise.
Intégrale égale à la tangente hyperbolique.	Intégrale égale à la cotangente hyperbolique.
Intégrale égale à la sécante hyperbolique.	Intégrale égale à la cosécante hyperbolique.

Formules d'intégration par parties. Règles d'intégration.

Formules d'intégration par parties. Formule de Newton-Leibniz.Règles d'intégration.
Intégrer un produit (fonction) par une constante :
Intégration de la somme des fonctions :
intégrales indéfinies :
Formule d'intégration par parties intégrales définies :
Formule de Newton-Leibniz intégrales définies :	Où F(a),F(b) sont les valeurs des primitives aux points b et a, respectivement.

Tableau des dérivés. Dérivés tabulaires. Dérivé du produit. Dérivée du quotient. Dérivée d'une fonction complexe.

Si x est une variable indépendante, alors :

Tableau des dérivés. Dérivés tabulaires."dérivé de table" - oui, malheureusement, c'est exactement ainsi qu'ils sont recherchés sur Internet
	Dérivée d'une fonction puissance

	Dérivée de l'exposant
Dérivée d'une fonction exponentielle complexe	Dérivée de la fonction exponentielle

Dérivée d'une fonction logarithmique	Dérivée du logarithme népérien
	Dérivée du logarithme népérien d'une fonction

Dérivée du sinus	Dérivée du cosinus
Dérivé de cosécante	Dérivé d'une sécante
Dérivée de l'arc sinus	Dérivée de l'arc cosinus
Dérivée de l'arc sinus	Dérivée de l'arc cosinus
Dérivée tangente	Dérivée de cotangente
Dérivée de l'arctangente	Dérivée d'arc cotangente
Dérivée de l'arctangente	Dérivée d'arc cotangente
Dérivé d'arcsécant	Dérivé de arccosécant
Dérivé d'arcsécant	Dérivé de arccosécant

Dérivée du sinus hyperbolique Dérivée du sinus hyperbolique dans la version anglaise	Dérivé du cosinus hyperbolique Dérivée du cosinus hyperbolique en version anglaise
Dérivée de la tangente hyperbolique	Dérivée de la cotangente hyperbolique
Dérivée de la sécante hyperbolique	Dérivé de la cosécante hyperbolique

Règles de différenciation. Dérivé du produit. Dérivée du quotient. Dérivée d'une fonction complexe.
Dérivée d'un produit (fonction) par une constante :
Dérivée de somme (fonctions) :
Dérivé du produit (fonctions) :
Dérivée du quotient (des fonctions) :
Dérivée d'une fonction complexe :

Propriétés des logarithmes. Formules de base pour les logarithmes. Logarithmes décimaux (lg) et naturels (ln).

Identité logarithmique de base
Montrons comment toute fonction de la forme a b peut être rendue exponentielle. Puisqu'une fonction de la forme e x est appelée exponentielle, alors
Toute fonction de la forme a b peut être représentée comme une puissance de dix

Logarithme népérien ln (logarithme en base e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; journal(1)=0

Série Taylor. Expansion en série de Taylor d'une fonction.

Il s'avère que la majorité pratiquement rencontré les fonctions mathématiques peuvent être représentées avec n'importe quelle précision au voisinage d'un certain point sous la forme de séries de puissances contenant les puissances d'une variable par ordre croissant. Par exemple, au voisinage du point x=1 :

Lorsque vous utilisez une série appelée Les rangées de Taylor, les fonctions mixtes contenant, par exemple, des fonctions algébriques, trigonométriques et exponentielles peuvent être exprimées sous forme de fonctions purement algébriques. En utilisant des séries, vous pouvez souvent effectuer rapidement une différenciation et une intégration.

La série de Taylor au voisinage du point a a la forme :

1) , où f(x) est une fonction qui a des dérivées de tous ordres à x = a. R n - le terme restant de la série de Taylor est déterminé par l'expression

Le k-ème coefficient (à x k) de la série est déterminé par la formule

3) Un cas particulier de la série Taylor est la série Maclaurin (=McLaren) (l'expansion se produit autour du point a=0)

à a=0

les membres de la série sont déterminés par la formule

Conditions d'utilisation des séries Taylor.

1. Pour que la fonction f(x) soit développée en une série de Taylor sur l'intervalle (-R;R), il est nécessaire et suffisant que le terme restant dans la formule de Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pour cela la fonction tend vers zéro lorsque k →∞ sur l'intervalle spécifié (-R;R).

2. Il faut qu'il y ait des dérivées pour une fonction donnée au point au voisinage duquel on va construire la série de Taylor.

Propriétés de la série de Taylor.

Si f est une fonction analytique, alors sa série de Taylor en tout point a dans le domaine de définition de f converge vers f dans un certain voisinage de a.

Il existe des fonctions infiniment différentiables dont la série de Taylor converge, mais en même temps diffère de la fonction dans n'importe quel voisinage de a. Par exemple:

Les séries de Taylor sont utilisées en approximation (approximation - méthode scientifique, qui consiste à remplacer certains objets par d'autres, dans un sens ou dans un autre proche de ceux d'origine, mais plus simples) par des polynômes. En particulier, la linéarisation ((de Linearis - linéaire), une des méthodes de représentation approximative des systèmes non linéaires fermés, dans laquelle l'étude d'un système non linéaire est remplacée par l'analyse d'un système linéaire, en quelque sorte équivalent à l'original .) Les équations se produisent en se développant dans une série de Taylor et en supprimant tous les termes supérieurs au premier ordre.

Ainsi, presque toutes les fonctions peuvent être représentées sous forme de polynôme avec une précision donnée.

Exemples de quelques développements courants de fonctions puissance dans les séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor au voisinage du point 0) et de Taylor au voisinage du point 1. Les premiers termes de développements des fonctions principales dans les séries de Taylor et McLaren.

Exemples de quelques extensions courantes de fonctions puissance dans les séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor au voisinage du point 0)

Exemples de quelques développements courants de la série de Taylor à proximité du point 1

Il y aura également des problèmes que vous devrez résoudre vous-même, dont vous pourrez voir les réponses.

L'intégrande peut être convertie du produit de fonctions trigonométriques à la somme

Considérons des intégrales dans lesquelles l'intégrande est le produit des sinus et des cosinus du premier degré de x multipliés par différents facteurs, c'est-à-dire des intégrales de la forme

Profiter des connaissances connues formules trigonométriques

(2)
(3)
(4)
on peut transformer chacun des produits en intégrales de la forme (31) en une somme algébrique et intégrer selon les formules

(5)

(6)

Exemple 1. Trouver

Solution. D'après la formule (2) à

Exemple 2. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. D'après la formule (3) à

Exemple 3. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. D'après la formule (4) à on obtient la transformation suivante de l'intégrande :

En appliquant la formule (6), on obtient

Intégrale du produit des puissances du sinus et du cosinus du même argument

Considérons maintenant les intégrales de fonctions qui sont le produit des puissances du sinus et du cosinus du même argument, c'est-à-dire

(7)

Dans des cas particuliers, l'un des indicateurs ( m ou n) peut être nul.

Lors de l'intégration de telles fonctions, il est utilisé qu'une puissance paire du cosinus peut être exprimée par le sinus, et la différentielle du sinus est égale à cos x dx(ou même la puissance du sinus peut être exprimée en termes de cosinus, et la différentielle du cosinus est égale à - sin x dx ) .

Deux cas sont à distinguer : 1) au moins un des indicateurs m Et n impair; 2) les deux indicateurs sont pairs.

Supposons que le premier cas se produise, à savoir l'indicateur n = 2k+ 1 - impair. Alors, étant donné que

L'intégrande est présenté de telle manière qu'une partie est fonction uniquement du sinus et l'autre est la différentielle du sinus. Utilise maintenant le remplacement de variable t= péché X la solution se réduit à intégrer le polynôme par rapport à t. Si seulement le diplôme m est étrange, alors ils font de même, isolant le facteur péché X, exprimant le reste de l'intégrande en termes de cos X et croire t=cos X. Cette technique peut également être utilisée lorsque intégrer les puissances quotientes du sinus et du cosinus , Quand au moins un des indicateurs est étrange . Le tout est que le quotient des puissances du sinus et du cosinus est un cas particulier de leur produit : Lorsqu'une fonction trigonométrique est au dénominateur d'un intégral, son degré est négatif. Mais il existe aussi des cas de fonctions trigonométriques partielles, lorsque leurs puissances ne sont que paires. À leur sujet - dans le paragraphe suivant.

Si les deux indicateurs m Et n– même alors, en utilisant des formules trigonométriques

diminuez les exposants du sinus et du cosinus, après quoi vous obtenez une intégrale du même type que ci-dessus. L’intégration doit donc se poursuivre selon le même schéma. Si l'un des exposants pairs est négatif, c'est-à-dire que le quotient des puissances paires du sinus et du cosinus est pris en compte, alors ce schéma pas bien . Ensuite, un changement de variable est utilisé en fonction de la manière dont l'intégrande peut être transformée. Un tel cas sera examiné dans le paragraphe suivant.

Exemple 4. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. L'exposant cosinus est impair. Imaginons donc

t= péché X(Alors dt=cos X dx ). Ensuite, nous obtenons

En revenant à l'ancienne variable, on trouve enfin

Exemple 5. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. L'exposant cosinus, comme dans l'exemple précédent, est impair, mais plus grand. Imaginons

et faire un changement de variable t= péché X(Alors dt=cos X dx ). Ensuite, nous obtenons

Ouvrons les parenthèses

et nous obtenons

En revenant à l'ancienne variable, on obtient la solution

Exemple 6. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. Les exposants du sinus et du cosinus sont pairs. Par conséquent, nous transformons la fonction intégrande comme suit :

Ensuite, nous obtenons

Dans la deuxième intégrale, nous effectuons un changement de variable, en définissant t= péché2 X. Alors (1/2)dt= cos2 X dx . Ainsi,

Finalement on obtient

Utilisation de la méthode de remplacement de variable

Méthode de remplacement variable lors de l'intégration de fonctions trigonométriques, il peut être utilisé dans les cas où l'intégrande contient uniquement un sinus ou uniquement un cosinus, le produit du sinus et du cosinus, dans lequel le sinus ou le cosinus est au premier degré, tangent ou cotangent, ainsi que le quotient de même les puissances du sinus et du cosinus d'un seul et même argument. Dans ce cas, il est possible d'effectuer des permutations non seulement sin X = t et le péché X = t, mais aussi tg X = t et ctg X = t .

Exemple 8. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. Changeons la variable : , puis . L'intégrande résultante peut être facilement intégrée à l'aide du tableau des intégrales :

Exemple 9. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. Transformons la tangente en rapport du sinus et du cosinus :

Changeons la variable : , puis . L’intégrande résultante est intégrale de table avec un signe moins :

En revenant à la variable d'origine, on obtient finalement :

Exemple 10. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique

Solution. Changeons la variable : , puis .

Transformons l'intégrande pour appliquer l'identité trigonométrique :

On change la variable en n'oubliant pas de mettre un signe moins devant l'intégrale (voir ci-dessus, ce qui est égal à dt). Ensuite, nous factorisons l'intégrande et intégrons selon le tableau :

En revenant à la variable d'origine, on obtient finalement :

Trouvez vous-même l'intégrale d'une fonction trigonométrique, puis regardez la solution

Substitution trigonométrique universelle

Substitution trigonométrique universelle peut être utilisé dans les cas où l'intégrande ne relève pas des cas évoqués dans les paragraphes précédents. Fondamentalement, lorsque le sinus ou le cosinus (ou les deux) sont au dénominateur d’une fraction. Il a été prouvé que le sinus et le cosinus peuvent être remplacés par une autre expression contenant la tangente de la moitié de l'angle d'origine comme suit :

Mais notez que la substitution trigonométrique universelle implique souvent des transformations algébriques assez complexes, il est donc préférable de l'utiliser lorsqu'aucune autre méthode ne fonctionne. Regardons des exemples où, avec la substitution trigonométrique universelle, la substitution sous le signe différentiel et la méthode des coefficients indéfinis sont utilisées.

Exemple 12. Trouver intégrale d'une fonction trigonométrique