Les événements (phénomènes) que nous observons peuvent être divisés selon les trois types suivants : fiables, impossibles et aléatoires.

Fiable appeler un événement qui se produira certainement si un certain ensemble de conditions S est rempli. Par exemple, si un récipient contient de l'eau à une pression atmosphérique normale et à une température de 20°, alors l'événement « l'eau dans le récipient est à ». état liquide"Il y a quelque chose de fiable. Dans cet exemple, la pression atmosphérique et la température de l'eau données constituent l'ensemble des conditions S.

Impossible ils appellent un événement qui ne se produira certainement pas si l'ensemble des conditions S est rempli. Par exemple, l'événement « l'eau dans le récipient est à l'état solide » ne se produira certainement pas si l'ensemble des conditions de l'exemple précédent est rempli.

Aléatoire appeler un événement qui, lorsqu'un ensemble de conditions S est rempli, peut se produire ou ne pas se produire. Par exemple, si une pièce de monnaie est lancée, elle peut tomber et laisser apparaître soit des armoiries, soit une inscription dessus. Par conséquent, l'événement « lors du lancement d'une pièce de monnaie, les « armoiries » sont tombées est aléatoire. Chaque événement aléatoire, notamment l'apparition d'un « blason », est la conséquence de l'action de nombreuses causes aléatoires (dans notre exemple : la force avec laquelle la pièce a été lancée, la forme de la pièce, et bien d'autres) . Il est impossible de prendre en compte l'influence de toutes ces raisons sur le résultat, car leur nombre est très important et les lois de leur action sont inconnues. Par conséquent, la théorie des probabilités ne se donne pas pour tâche de prédire si un événement particulier se produira ou non - elle ne peut tout simplement pas le faire.

La situation est différente si l’on considère des événements aléatoires qui peuvent être observés de manière répétée lorsque les mêmes conditions S sont remplies, c’est-à-dire si l’on parle d’événements aléatoires massifs et homogènes. Il s'avère qu'un nombre suffisamment important d'événements aléatoires homogènes, quelle que soit leur nature spécifique, sont soumis à certains modèles, à savoir les modèles probabilistes. La théorie des probabilités vise à établir ces modèles.

Ainsi, le sujet de la théorie des probabilités est l’étude des modèles probabilistes d’événements aléatoires de masse homogène.

Les méthodes de théorie des probabilités sont largement utilisées dans diverses branches des sciences naturelles et de la technologie. La théorie des probabilités sert également à étayer les statistiques mathématiques et appliquées.

Types d'événements aléatoires. Les événements sont appelés incompatible, si la survenance de l’un d’eux exclut la survenance d’autres événements dans le même procès.

Exemple. Une pièce est lancée. L'apparition des « armoiries » exclut l'apparition de l'inscription. Les événements « apparition d'un blason » et « apparition d'une inscription » sont incompatibles.

Plusieurs événements se forment groupe complet, si au moins l'un d'entre eux apparaît à la suite du test. En particulier, si les événements qui forment un groupe complet sont deux à deux incohérents, alors un et un seul de ces événements apparaîtra à la suite de l'essai. Ce cas particulier nous intéresse le plus, car il sera utilisé plus loin.

Exemple 2. Deux billets de loterie en espèces et en vêtements ont été achetés. Un et un seul des événements suivants se produira certainement : « les gains sont tombés sur le premier billet et ne sont pas tombés sur le deuxième », « les gains ne sont pas tombés sur le premier billet et sont tombés sur le deuxième », « les gains sont tombés sur les deux billets", "il n'y a eu aucun gain sur les deux billets" est tombé." Ces événements forment un groupe complet d’événements incompatibles par paires.

Exemple 3. Le tireur a tiré sur la cible. L'un des deux événements suivants se produira certainement : toucher, manquer. Ces deux événements incompatibles forment un groupe complet.

Les événements sont appelés tout aussi possible, s’il y a des raisons de croire qu’aucun des deux n’est plus possible que l’autre.

Exemple 4. L'apparition d'un « blason » et l'apparition d'une inscription lors du lancer d'une pièce sont également des événements possibles. En effet, on suppose que la pièce est constituée d'un matériau homogène, a une forme cylindrique régulière, et la présence de frappe n'affecte pas la perte d'une face ou de l'autre de la pièce.

Désigné personnellement en majuscule Alphabet latin : A, B, C,.. A 1, A 2..

Les opposés sont deux types de mutins uniquement possibles qui forment un groupe complet. Si l'un des deux est de sexe opposé. les événements sont désignés par A, alors une autre désignation est A`.

Exemple 5. Toucher et rater lors du tir sur une cible - champ opposé. personnel

Le but de la leçon :

1. Introduisez le concept d’événements fiables, impossibles et aléatoires.
2. Développer des connaissances et des compétences pour déterminer le type d’événements.
3. Développer : la compétence informatique ; attention; capacité à analyser, raisonner, tirer des conclusions ; compétences de travail en groupe.

Pendant les cours

1) Moment organisationnel.

Exercice interactif : les enfants doivent résoudre des exemples et déchiffrer des mots ; en fonction des résultats, ils sont répartis en groupes (fiables, impossibles et aléatoires) et déterminent le sujet de la leçon.

1 carte.

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 cartes

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 cartes

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) Actualisation des connaissances acquises.

Jeu « Clap » : nombre pair - clap, nombre impair - levez-vous.

Tâche : à partir de la série donnée de nombres 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... déterminer pair et impair.

3) Étudier un nouveau sujet.

Il y a des cubes sur vos tables. Regardons-les de plus près. Que vois-tu?

Où sont utilisés les dés ? Comment?

Travaillez en groupe.

Mener une expérience.

Quelles prédictions peut-on faire en lançant un dé ?

Première prédiction : l'un des chiffres 1,2,3,4,5 ou 6 apparaîtra.

Un événement qui est sûr de se produire dans une expérience donnée est appelé fiable.

Deuxième prédiction : le chiffre 7 apparaîtra.

Pensez-vous que l’événement prévu se produira ou non ?

C'est impossible!

Un événement qui ne peut pas se produire dans une expérience donnée est appelé impossible.

Troisième prédiction : le chiffre 1 apparaîtra.

Cet événement aura-t-il lieu ?

Un événement qui peut ou non se produire dans une expérience donnée est appelé aléatoire.

4) Consolidation du matériel étudié.

I. Déterminer le type d'événement

-Demain, il neigera rouge.

Il neigera beaucoup demain.

Demain, même si nous sommes en juillet, il neigera.

Demain, même si nous sommes en juillet, il n'y aura pas de neige.

Demain il neigera et il y aura une tempête de neige.

II. Ajouter à cette offre mot de telle manière que l'événement devient impossible.

Kolya a reçu un A en histoire.

Sasha n'a accompli aucune tâche lors du test.

Oksana Mikhailovna (professeur d'histoire) expliquera un nouveau sujet.

III. Donnez des exemples d’événements impossibles, aléatoires et fiables.

IV. Travail à partir du manuel (en groupe).

Décrire les événements sur lesquels nous parlons de dans les tâches ci-dessous comme étant fiables, impossibles ou aléatoires.

N° 959. Petya prévu entier naturel. L'événement est le suivant :

a) un nombre pair est prévu ;

b) un nombre impair est prévu ;

c) on conçoit un nombre qui n'est ni pair ni impair ;

d) on conçoit un nombre pair ou impair.

N° 960. Vous avez ouvert ce manuel sur n'importe quelle page et choisi le premier nom qui est apparu. L'événement est le suivant :

a) il y a une voyelle dans l'orthographe du mot sélectionné ;

b) l'orthographe du mot sélectionné contient la lettre « o » ;

c) il n'y a pas de voyelles dans l'orthographe du mot sélectionné ;

d) il y a un signe mou dans l'orthographe du mot sélectionné.

Résolvez le n° 961, le n° 964.

Discussion des tâches résolues.

5) Réflexion.

1. Quels événements avez-vous appris pendant la leçon ?

2. Indiquez lequel des événements suivants est certain, lequel est impossible et lequel est aléatoire :

UN) vacances d'été ne sera pas;

b) le sandwich tombera côté beurre vers le bas ;

V) année académique finira jamais.

6) Devoirs :

Proposez deux événements fiables, aléatoires et impossibles.

Faites un dessin pour l’un d’eux.

1.1. Quelques informations issues de la combinatoire

1.1.1. Emplacements

Considérons les concepts les plus simples associés à la sélection et à la disposition d'un certain ensemble d'objets.
Compter le nombre de façons dont ces actions peuvent être effectuées est souvent effectué lors de la résolution de problèmes probabilistes.
Définition. Hébergement à partir de néléments par k (k ≤n) est tout sous-ensemble ordonné de kéléments d'un ensemble composé de n divers éléments.
Exemple. Les séquences de nombres suivantes sont des placements de 2 éléments parmi 3 éléments de l'ensemble (1;2;3) : 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Notez que les emplacements diffèrent par l'ordre des éléments qui y sont inclus et leur composition. Les emplacements 12 et 21 contiennent les mêmes numéros, mais leur ordre est différent. Ces placements sont donc considérés comme différents.
Nombre d'emplacements différents de néléments par k est désigné et calculé par la formule :
,
Où n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(lit " n- factorielle").
Le nombre de nombres à deux chiffres pouvant être constitués à partir des chiffres 1, 2, 3, à condition qu'aucun chiffre ne soit répété égal à : .

1.1.2. Réarrangements

Définition. Permutations de n les éléments sont appelés de tels placements de néléments qui diffèrent uniquement par l'emplacement des éléments.
Nombre de permutations de néléments Pn calculé par la formule : Pn=n!
Exemple. De combien de manières 5 personnes peuvent-elles s'aligner ? Le nombre de voies est égal au nombre de permutations de 5 éléments, soit
P. 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Définition. Si parmi néléments k identiques, puis réarrangement de ceux-ci néléments s’appelle une permutation avec répétitions.
Exemple. Soit 2 des 6 livres identiques. Tout agencement de tous les livres sur une étagère est un réarrangement avec répétition.
Nombre de permutations différentes avec répétitions (de néléments, y compris k identique) est calculé selon la formule : .
Dans notre exemple, le nombre de façons dont les livres peuvent être disposés sur une étagère est : .

1.1.3. Combinaisons

Définition. Combinaisons de néléments par k ces placements sont appelés néléments par k, qui diffèrent les uns des autres par au moins un élément.
Nombre de combinaisons différentes de néléments par k est désigné et calculé par la formule : .
Par définition, 0!=1.
Les propriétés suivantes s'appliquent aux combinaisons :
1.
2.
3.
4.
Exemple. Il y a 5 fleurs de couleurs différentes. 3 fleurs sont sélectionnées pour le bouquet. Le nombre de bouquets différents de 3 fleurs sur 5 est égal à : .

1.2. Événements aléatoires

1.2.1. Événements

Connaissance de la réalité dans sciences naturelles se produit à la suite de tests (expérience, observation, expérience).
Test ou l'expérience est la mise en œuvre d'un ensemble spécifique de conditions qui peuvent être reproduites un nombre arbitrairement élevé de fois.
Aléatoire est un événement qui peut ou non se produire à la suite d'un test (expérience).
Ainsi, l'événement est considéré comme le résultat du test.
Exemple. Lancer une pièce de monnaie est un défi. L'apparition d'un aigle lors d'un lancer est un événement.
Les événements que nous observons diffèrent par le degré de possibilité de leur apparition et par la nature de leur interrelation.
L'événement s'appelle fiable , s'il est certain que cela se produira à la suite de ce test.
Exemple. Recevoir un résultat positif ou évaluation négative Il y a un certain événement dans un examen si l'examen se déroule selon les règles habituelles.
L'événement s'appelle impossible , si cela ne peut pas se produire à la suite de ce test.
Exemple. Retirer une boule blanche d’une urne qui ne contient que des boules colorées (non blanches) est un événement impossible. A noter que dans d'autres conditions expérimentales l'apparition d'une boule blanche n'est pas exclue ; ainsi, cet événement n'est impossible que dans les conditions de notre expérience.
Dans ce qui suit, les événements aléatoires seront désignés par de grosses lettres latines. lettres A, B, C... Nous désignons un événement fiable par la lettre Ω, un événement impossible par Ø.
Deux événements ou plus sont appelés tout aussi possible dans un test donné s'il y a des raisons de croire qu'aucun de ces événements n'est plus ou moins possible que les autres.
Exemple. Avec un seul lancer de dé, l'apparition de 1, 2, 3, 4, 5 et 6 points sont tous des événements également possibles. On suppose bien sûr que dé constitué d'un matériau homogène et possède Forme correcte.
Les deux événements sont appelés incompatible dans un test donné, si l’occurrence de l’un d’entre eux exclut l’occurrence de l’autre, et articulation sinon.
Exemple. La boîte contient des pièces standards et non standards. Prenons un détail pour porter chance. L’apparence d’une pièce standard élimine l’apparence d’une pièce non standard. Ces événements sont incompatibles.
Plusieurs événements se forment groupe complet d'événements dans un test donné, si au moins l'un d'eux est sûr de se produire à la suite de ce test.
Exemple. Les événements de l'exemple forment un groupe complet d'événements également possibles et incompatibles par paires.
Deux événements incompatibles qui forment un groupe complet d'événements dans un essai donné sont appelés événements opposés.
Si l'un d'eux est désigné par UN, alors l'autre est généralement désigné par (lire « non UN»).
Exemple. Un coup sûr et un échec avec un seul tir sur une cible sont des événements opposés.

1.2.2. Définition classique de la probabilité

Probabilité de l'événement – une mesure numérique de la possibilité de son apparition.
Événement UN appelé favorable événement DANS si à chaque fois qu'un événement se produit UN, l'événement arrive DANS.
Événements UN 1 , UN 2 , ..., UNn formulaire diagramme de cas , si ils:
1) également possible ;
2) incompatibles par paires ;
3) former un groupe complet.
Dans le schéma des cas (et seulement dans ce schéma) la définition classique de la probabilité a lieu P.(UN) événements UN. Ici, un cas est appelé chacun des événements appartenant au groupe completévénements également possibles et incompatibles par paires.
Si n est le nombre de tous les cas dans le schéma, et m– nombre de cas favorables à l’événement UN, Que probabilité d'un événement UN est déterminé par l'égalité :

Les propriétés suivantes découlent de la définition de la probabilité :
1. La probabilité d’un événement fiable est égale à un.
En effet, si un événement est certain, alors chaque cas dans l’ensemble des cas favorise l’événement. Dans ce cas m = n et donc

2. Probabilité événement impossibleégal à zéro.
En effet, si un événement est impossible, alors aucun cas dans l’ensemble des cas ne favorise l’événement. C'est pourquoi m=0 et donc

Il existe une probabilité d'un événement aléatoire nombre positif, compris entre zéro et un.
Vraiment, Événement aléatoire seuls certains d'entre eux sont favorables nombre total cas dans le diagramme de cas. Donc 0<m<n, ce qui signifie 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < PENNSYLVANIE) < 1.
Ainsi, la probabilité de tout événement satisfait aux inégalités
0 ≤ P(UN) ≤ 1.
Actuellement, les propriétés de probabilité sont définies sous la forme d'axiomes formulés par A.N. Kolmogorov.
L’un des principaux avantages de la définition classique de la probabilité est la possibilité de calculer directement la probabilité d’un événement, c’est-à-dire : sans recourir à des expériences, qui sont remplacées par un raisonnement logique.

Problèmes de calcul direct des probabilités

Problème 1.1. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair de points (événement A) en lançant un dé ?
Solution. Considérez les événements UNje- abandonné je lunettes, je= 1, 2, …,6. Il est évident que ces événements forment un ensemble de cas. Puis le nombre de tous les cas n= 6. Les cas privilégient un nombre pair de points UN 2 , UN 4 , UN 6, c'est-à-dire m= 3. Alors .
Problème 1.2. Il y a 5 boules blanches et 10 boules noires dans une urne. Les boules sont soigneusement mélangées puis 1 boule est retirée au hasard. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
Solution. Il y a au total 15 cas qui forment un modèle de cas. De plus, l'événement attendu UN– l’apparition d’une boule blanche est favorisée par 5 d’entre eux, donc .
Problème 1.3. Un enfant joue avec six lettres de l'alphabet : A, A, E, K, R, T. Trouvez la probabilité qu'il puisse former aléatoirement le mot CARRIAGE (événement A).
Solution. La solution est compliquée par le fait que parmi les lettres, il y en a des identiques - deux lettres « A ». Par conséquent, le nombre de tous les cas possibles dans un test donné est égal au nombre de permutations avec des répétitions de 6 lettres :
.
Ces cas sont également possibles, incohérents deux à deux et forment un groupe complet d'événements, c'est-à-dire former un diagramme de cas. Une seule chance favorise l'événement UN. C'est pourquoi
.
Problème 1.4. Tanya et Vanya ont convenu de célébrer le Nouvel An en compagnie de 10 personnes. Ils voulaient tous les deux vraiment s'asseoir l'un à côté de l'autre. Quelle est la probabilité que leur souhait soit exaucé s’il est d’usage de répartir par tirage au sort les places entre leurs amis ?
Solution. Notons par UNévénement « réalisation des souhaits de Tanya et Vanya ». 10 personnes peuvent s'asseoir à une table de 10 ! différentes façons. Combien d'entre eux n= 10 ! les voies tout aussi possibles sont-elles favorables pour Tanya et Vanya ? Tanya et Vanya, assises l'une à côté de l'autre, peuvent prendre 20 positions différentes. En même temps, huit de leurs amis peuvent s'asseoir à une table de 8 ! de différentes manières, donc m= 20∙8!. Ainsi,
.
Problème 1.5. Un groupe de 5 femmes et 20 hommes sélectionne trois délégués. En supposant que chaque personne présente puisse être choisie avec une probabilité égale, déterminez la probabilité que deux femmes et un homme soient choisis.
Solution. Le nombre total de résultats de test également possibles est égal au nombre de façons dont trois délégués peuvent être sélectionnés parmi 25 personnes, c'est-à-dire . Comptons maintenant le nombre de cas favorables, soit le nombre de cas dans lesquels l'événement qui nous intéresse se produit. Un délégué masculin peut être sélectionné de vingt manières. Dans le même temps, les deux délégués restants doivent être des femmes, et vous pouvez choisir deux femmes sur cinq. Ainsi, . C'est pourquoi
.
Problème 1.6. Quatre boules sont dispersées aléatoirement sur quatre trous, chaque boule tombe dans l'un ou l'autre trou avec la même probabilité et indépendamment des autres (il n'y a aucun obstacle pour que plusieurs boules tombent dans le même trou). Trouvez la probabilité qu’il y ait trois boules dans l’un des trous, une dans l’autre, et aucune boule dans les deux autres trous.
Solution. Nombre total de cas n=4 4 . Le nombre de façons dont on peut choisir un trou où il y aura trois balles, . Le nombre de façons dont vous pouvez choisir un trou où il y aura une balle, . Le nombre de façons dont trois des quatre balles peuvent être sélectionnées pour être placées dans le premier trou est de . Nombre total de cas favorables. Probabilité de l'événement :
Problème 1.7. Il y a 10 boules identiques dans la boîte, marquées des chiffres 1, 2, ..., 10. Six boules sont tirées pour porter chance. Trouvez la probabilité que parmi les boules extraites il y ait : a) la boule n°1 ; b) les balles n°1 et n°2.
Solution. a) Le nombre total de résultats élémentaires possibles du test est égal au nombre de façons dont six balles peuvent être extraites de dix, c'est-à-dire :
Trouvons le nombre d'issues qui favorisent l'événement qui nous intéresse : parmi les six boules sélectionnées, il y a la boule n°1 et, par conséquent, les cinq boules restantes ont des numéros différents. Le nombre de ces résultats est évidemment égal au nombre de façons dont cinq boules peuvent être sélectionnées parmi les neuf restantes, c'est-à-dire
La probabilité recherchée est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement considéré sur le nombre total d'issues élémentaires possibles :
b) Le nombre d'issues favorables à l'événement qui nous intéresse (parmi les boules sélectionnées il y a les boules n°1 et n°2, donc quatre boules ont des numéros différents) est égal au nombre de façons dont quatre boules peuvent être extrait des huit restants, c'est-à-dire Probabilité requise

1.2.3. Probabilité statistique

La définition statistique de la probabilité est utilisée lorsque les résultats d'une expérience ne sont pas également possibles.
Fréquence relative des événements UN est déterminé par l'égalité :
,
Où m– nombre d'essais dans lesquels l'épreuve UN c'est arrivé n– nombre total de tests effectués.
J. Bernoulli a prouvé qu'avec une augmentation illimitée du nombre d'expériences, la fréquence relative d'apparition d'un événement différera presque aussi peu qu'on le souhaite d'un nombre constant. Il s’est avéré que ce nombre constant représente la probabilité que l’événement se produise. Par conséquent, il est naturel d'appeler la fréquence relative d'apparition d'un événement avec un nombre d'essais suffisamment grand une probabilité statistique, contrairement à la probabilité introduite précédemment.
Exemple 1.8. Comment déterminer approximativement le nombre de poissons dans le lac ?
Laisse entrer le lac X poisson Nous jetons un filet et, disons, y trouvons n poisson Nous marquons chacun d'eux et les relâchons. Quelques jours plus tard, par le même temps et au même endroit, nous avons jeté le même filet. Supposons que l'on y trouve m poissons, parmi lesquels kétiqueté. Laissez l'événement UN- "le poisson capturé est marqué." Puis par définition de fréquence relative.
Mais si dans le lac X poisson et nous l'avons relâché dedans nétiqueté, alors .
Parce que  R. * (UN) » R.(UN), Que .

1.2.4. Opérations sur événements. Théorème d'addition de probabilité

Montant, ou l'union de plusieurs événements, est un événement constitué par la survenance d'au moins un de ces événements (dans le même procès).
Somme UN 1 + UN 2 + … + UNn noté comme suit :
ou .
Exemple. Deux dés sont lancés. Laissez l'événement UN consiste à lancer 4 points sur 1 dé, et l'événement DANS– lorsque 5 points sont obtenus sur un autre dé. Événements UN Et DANS articulation. Donc l'événement UN +DANS consiste à dérouler 4 points sur le premier dé, ou 5 points sur le deuxième dé, ou 4 points sur le premier dé et 5 points sur le deuxième en même temps.
Exemple.Événement UN– gains pour 1 prêt, événement DANS– les gains sur le 2ème emprunt. Puis l'événement A+B– obtenir au moins un prêt (éventuellement deux à la fois).
Le travail soit l'intersection de plusieurs événements est un événement constitué par la survenance conjointe de tous ces événements (dans un même essai).
Travail DANSévénements UN 1 , UN 2 , …, UNn noté comme suit :
.
Exemple.Événements UN Et DANS consistent à réussir respectivement le premier et le deuxième tour lors de l'admission à l'institut. Puis l'événement UN×B consiste à réussir les deux tours.
Les concepts de somme et de produit d'événements ont une interprétation géométrique claire. Laissez l'événement UN il y a un point entrant dans la zone UN, et l'événement DANS– point entrant dans la zone DANS. Puis l'événement A+B il y a un point entrant dans l'union de ces zones (Fig. 2.1), et l'événement UNDANS il y a un point qui atteint l'intersection de ces zones (Fig. 2.2).

Riz. 2.1 Fig. 2.2
Théorème. Si les événements Un je(je = 1, 2, …, n) sont incohérents par paires, alors la probabilité de la somme des événements est égale à la somme des probabilités de ces événements :
.
Laisser UN Et Ā – des événements opposés, c'est-à-dire A + À= Ω, où Ω est un événement fiable. Du théorème d'addition il résulte que
Р(Ω) = R.(UN) + R.(Ā ) = 1, donc
R.(Ā ) = 1 – R.(UN).
Si les événements UN 1 et UN 2 sont compatibles, alors la probabilité de la somme de deux événements simultanés est égale à :
R.(UN 1 + UN 2) = R.(UN 1) + R.(UN 2) –P( UN 1× UN 2).
Les théorèmes d'addition de probabilités nous permettent de passer du calcul direct des probabilités à la détermination des probabilités d'occurrence d'événements complexes.
Problème 1.8. Le tireur tire un coup sur la cible. Probabilité de marquer 10 points (événement UN), 9 points (événement DANS) et 8 points (événement AVEC) sont respectivement égaux à 0,11 ; 0,23 ; 0,17. Trouvez la probabilité qu'avec un seul tir, le tireur marque moins de 8 points (événement D).
Solution. Passons à l'événement inverse : d'un seul coup, le tireur marquera au moins 8 points. Un événement se produit s'il se produit UN ou DANS, ou AVEC, c'est à dire. . Depuis les événements UN B, AVEC sont incohérents par paires, alors, d'après le théorème d'addition,
, où .
Problème 1.9. Parmi l'équipe de la brigade, composée de 6 hommes et 4 femmes, deux personnes sont sélectionnées pour la conférence syndicale. Quelle est la probabilité que parmi les personnes sélectionnées au moins une femme (événement UN).
Solution. Si un événement survient UN, alors l'un des événements incompatibles suivants se produira certainement : DANS– « un homme et une femme sont choisis » ; AVEC- "deux femmes ont été choisies." On peut donc écrire : A=B+C. Trouvons la probabilité des événements DANS Et AVEC. Deux personnes sur dix peuvent être choisies de différentes manières. Deux femmes sur quatre peuvent être sélectionnées de différentes manières. Un homme et une femme peuvent être sélectionnés de manière 6 × 4. Alors . Depuis les événements DANS Et AVEC sont donc incohérents, d'après le théorème d'addition,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problème 1.10. Il y a 15 manuels disposés au hasard sur une étagère de bibliothèque, dont cinq reliés. Le bibliothécaire prend trois manuels au hasard. Trouver la probabilité qu'au moins un des manuels pris soit relié (événement UN).
Solution. Première façon. La condition - au moins un des trois manuels reliés pris - sera remplie si l'un des trois événements incompatibles suivants se produit : DANS– un manuel relié, AVEC– deux manuels scolaires reliés, D– trois manuels reliés.
Événement qui nous intéresse UN peut être représenté comme une somme d’événements : A=B+C+D. D'après le théorème d'addition,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Trouvons la probabilité des événements AVANT JC Et D(voir schémas combinatoires) :

En représentant ces probabilités en égalité (2.1), on obtient finalement
PENNSYLVANIE)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Deuxième façon. Événement UN(au moins un des trois manuels pris est relié) et Ā (aucun des manuels pris n'est relié) - ci-contre donc P(A) + P(À) = 1 (la somme des probabilités de deux événements opposés est égale à 1). D'ici PENNSYLVANIE) = 1 – PENNSYLVANIE). Probabilité d'occurrence de l'événement Ā (aucun des manuels pris n'est relié)
Probabilité requise
PENNSYLVANIE) = 1 – P(À) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Probabilite conditionnelle. Théorème de multiplication de probabilité

Probabilite conditionnelle P(B/UN) est la probabilité de l'événement B, calculée en supposant que l'événement A s'est déjà produit.
Théorème. La probabilité de survenance conjointe de deux événements est égale au produit des probabilités de l'un d'eux et de la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée dans l'hypothèse où le premier événement s'est déjà produit :
PENNSYLVANIE∙B) = P(UNE)∙P( DANS/UN). (2.2)
Deux événements sont dits indépendants si la survenance de l’un d’eux ne modifie pas la probabilité de survenance de l’autre, c’est-à-dire
P(A) = P(A/B) ou  P(B) = P(B/UN). (2.3)
Si les événements UN Et DANS sont indépendants, alors des formules (2.2) et (2.3) il résulte
PENNSYLVANIE∙B) = P(UNE)∙P(B). (2.4)
L’affirmation inverse est également vraie, c’est-à-dire si l’égalité (2.4) est vraie pour deux événements, alors ces événements sont indépendants. En effet, des formules (2.4) et (2.2) il résulte
PENNSYLVANIE∙B) = P(UNE)∙P(B) = PENNSYLVANIE) × P(B/UN), où  PENNSYLVANIE) = P(B/UN).
La formule (2.2) peut être généralisée au cas d'un nombre fini d'événements UN 1 , UN 2 ,…,Un:
PENNSYLVANIE 1 ∙UN 2 ∙…∙Un)=PENNSYLVANIE 1)∙PENNSYLVANIE 2 /UN 1)∙PENNSYLVANIE 3 /UN 1 UN 2)∙…∙Poêle/UN 1 UN 2 …Un -1).
Problème 1.11. A partir d'une urne contenant 5 boules blanches et 10 boules noires, on tire deux boules d'affilée. Trouvez la probabilité que les deux boules soient blanches (événement UN).
Solution. Considérons les événements : DANS– la première boule tirée est blanche ; AVEC– la deuxième boule tirée est blanche. Alors A = BC.
L'expérience peut être réalisée de deux manières :
1) avec retour : la boule retirée, après fixation de la couleur, est remise dans l'urne. Dans ce cas, les événements DANS Et AVEC indépendant:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9 ;
2) sans retour : la balle retirée est mise de côté. Dans ce cas, les événements DANS Et AVEC dépendant:
P(A) = P(B)∙R(S/DANS).
Pour un événement DANS les conditions sont les mêmes, et pour AVEC la situation a changé. Arrivé DANS, il reste donc 14 boules dans l'urne, dont 4 blanches.
Donc, .
Problème 1.12. Parmi les 50 ampoules, 3 sont hors standards. Trouvez la probabilité que deux ampoules prises en même temps ne soient pas standard.
Solution. Considérons les événements : UN– la première ampoule est hors standard, DANS– la deuxième ampoule est hors standard, AVEC– les deux ampoules ne sont pas standards. Il est clair que C = UNE∙DANS. Événement UN 3 cas sur 50 possibles sont favorables, soit PENNSYLVANIE) = 3/50. Si l'événement UN est déjà arrivé, alors l'événement DANS deux cas sur 49 possibles sont favorables, soit P(B/UN) = 2/49. Ainsi,
.
Problème 1.13. Deux athlètes tirent sur la même cible indépendamment l'un de l'autre. La probabilité que le premier athlète atteigne la cible est de 0,7 et celle du second de 0,8. Quelle est la probabilité que la cible soit touchée ?
Solution. La cible sera touchée si soit le premier tireur, soit le second, ou les deux, la touchent, c'est-à-dire un événement va arriver A+B, où a lieu l'événement UN se compose du premier athlète atteignant la cible et de l'événement DANS- deuxième. Alors
PENNSYLVANIE+DANS)=PENNSYLVANIE)+P(B)–PENNSYLVANIE∙DANS)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problème 1.14. La salle de lecture dispose de six manuels de théorie des probabilités, dont trois sont reliés. Le bibliothécaire a pris deux manuels au hasard. Trouvez la probabilité que deux manuels soient reliés.
Solution. Introduisons les désignations des événements : UN– le premier manuel pris est relié, DANS– le deuxième manuel est relié. La probabilité que le premier manuel soit relié est
PENNSYLVANIE) = 3/6 = 1/2.
La probabilité que le deuxième manuel soit relié, à condition que le premier manuel pris soit relié, c'est-à-dire probabilité conditionnelle d'un événement DANS, est comme ça: P(B/UN) = 2/5.
La probabilité souhaitée pour que les deux manuels soient liés, selon le théorème de multiplication des probabilités d'événements, est égale à
P(AB) = PENNSYLVANIE) ∙ P(B/UN)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problème 1.15. Il y a 7 hommes et 3 femmes qui travaillent dans l'atelier. Trois personnes ont été sélectionnées au hasard à partir de leur matricule. Trouvez la probabilité que toutes les personnes sélectionnées soient des hommes.
Solution. Introduisons les désignations d'événements : UN– l'homme est sélectionné en premier, DANS– le deuxième sélectionné est un homme, AVEC - Le troisième sélectionné était un homme. La probabilité qu'un homme soit sélectionné en premier est PENNSYLVANIE) = 7/10.
La probabilité qu'un homme soit sélectionné en deuxième, à condition qu'un homme ait déjà été sélectionné en premier, c'est-à-dire probabilité conditionnelle d'un événement DANS suivant : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
La probabilité qu'un homme soit sélectionné en troisième position, étant donné que deux hommes ont déjà été sélectionnés, c'est-à-dire probabilité conditionnelle d'un événement AVEC est-ce: P(C/UN B) = 5/8.
La probabilité souhaitée que les trois personnes sélectionnées soient des hommes est  P(ABC) = P(UNE) P(B/UN) P(C/UN B) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Formule de probabilité totale et formule de Bayes

Laisser B 1 , B 2 ,…, Bn– des événements incompatibles par paires (hypothèses) et UN– un événement qui ne peut se produire qu’avec l’un d’eux.
Faites-nous savoir également Р(B je) Et PENNSYLVANIE/B je) (je = 1, 2, …, n).
Dans ces conditions les formules sont valables :
(2.5)
(2.6)
La formule (2.5) s'appelle formule de probabilité totale . Il calcule la probabilité d'un événement UN(probabilité totale).
La formule (2.6) s'appelle Formule de Bayes . Il permet de recalculer les probabilités des hypothèses si l'événement UN arrivé.
Lors de la compilation d’exemples, il convient de supposer que les hypothèses forment un groupe complet.
Problème 1.16. Le panier contient des pommes provenant de quatre arbres de la même variété. Du premier - 15% de toutes les pommes, du deuxième - 35%, du troisième - 20%, du quatrième - 30%. Les pommes mûres représentent respectivement 99 %, 97 %, 98 % et 95 %.
a) Quelle est la probabilité qu'une pomme prise au hasard soit mûre (événement UN).
b) Sachant qu'une pomme prise au hasard s'avère mûre, calcule la probabilité qu'elle provienne du premier arbre.
Solution. a) Nous avons 4 hypothèses :
B 1 – une pomme prise au hasard est prélevée sur le 1er arbre ;
B 2 – une pomme prise au hasard est prélevée sur le 2ème arbre ;
B 3 – une pomme prise au hasard est prélevée sur le 3ème arbre ;
B 4 – une pomme prise au hasard est prélevée sur le 4ème arbre.
Leurs probabilités selon la condition : P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilités conditionnelles d'un événement UN:
PENNSYLVANIE/B 1) = 0,99; PENNSYLVANIE/B 2) = 0,97; PENNSYLVANIE/B 3) = 0,98; PENNSYLVANIE/B 4) = 0,95.
La probabilité qu'une pomme prise au hasard soit mûre se calcule à l'aide de la formule de probabilité totale :
PENNSYLVANIE)=P(B 1)∙PENNSYLVANIE/B 1)+P(B 2)∙PENNSYLVANIE/B 2)+P(B 3)∙PENNSYLVANIE/B 3)+P(B 4)∙PENNSYLVANIE/B 4)=0,969.
b) La formule de Bayes pour notre cas ressemble à :
.
Problème 1.17. Une boule blanche est jetée dans une urne contenant deux boules, après quoi une boule est tirée au hasard. Trouvez la probabilité que la boule extraite soit blanche si toutes les hypothèses possibles sur la composition initiale des boules (basées sur la couleur) sont également possibles.
Solution. Notons par UNévénement – ​​une boule blanche est tirée. Les hypothèses (hypothèses) suivantes sur la composition initiale des boules sont possibles : B1– il n'y a pas de boules blanches, À 2 HEURES– une boule blanche, À 3- deux boules blanches.
Puisqu'il y a trois hypothèses au total et que la somme des probabilités des hypothèses est de 1 (puisqu'elles forment un groupe complet d'événements), alors la probabilité de chacune des hypothèses est de 1/3, c'est-à-dire
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
La probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée, étant donné qu'il n'y avait pas de boule blanche dans l'urne initialement, PENNSYLVANIE/B 1)=1/3. La probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée, étant donné qu'il y avait initialement une boule blanche dans l'urne, PENNSYLVANIE/B 2)=2/3. Probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée étant donné qu'il y avait initialement deux boules blanches dans l'urne PENNSYLVANIE/B 3)=3/ 3=1.
Nous trouvons la probabilité requise qu'une boule blanche soit tirée à l'aide de la formule de probabilité totale :
R.(UN)=P(B 1)∙PENNSYLVANIE/B 1)+P(B 2)∙PENNSYLVANIE/B 2)+P(B 3)∙PENNSYLVANIE/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problème 1.18. Deux machines produisent des pièces identiques qui partent sur un convoyeur commun. La productivité de la première machine est le double de celle de la seconde. La première machine produit en moyenne 60 % de pièces d'excellente qualité, et la seconde - 84 %. La pièce prise au hasard sur la chaîne de montage s'est avérée d'excellente qualité. Trouvez la probabilité que cette pièce ait été produite par la première machine.
Solution. Notons par UNévénement - un détail d'excellente qualité. Deux hypothèses peuvent être faites : B1– la pièce a été réalisée par la première machine, et (puisque la première machine produit deux fois plus de pièces que la seconde) PENNSYLVANIE/B 1) = 2/3; B 2 – la pièce a été réalisée par la deuxième machine, et P(B 2) = 1/3.
La probabilité conditionnelle que la pièce soit d'excellente qualité si elle est réalisée par la première machine, PENNSYLVANIE/B 1)=0,6.
La probabilité conditionnelle que la pièce soit d'excellente qualité si elle est produite par la deuxième machine est PENNSYLVANIE/B 1)=0,84.
La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit d'excellente qualité, selon la formule de probabilité totale, est égale à
PENNSYLVANIE)=P(B 1) ∙PENNSYLVANIE/B 1)+P(B 2) ∙PENNSYLVANIE/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
La probabilité requise que la pièce excellente sélectionnée ait été produite par la première machine, selon la formule de Bayes, est égale à

Problème 1.19. Il existe trois lots de pièces, contenant chacun 20 pièces. Le nombre de pièces standards dans les premier, deuxième et troisième lots est respectivement de 20, 15, 10. Une pièce qui s'est avérée standard a été retirée au hasard du lot sélectionné. Les pièces sont remises dans le lot et une pièce est retirée aléatoirement du même lot, qui s'avère également standard. Trouvez la probabilité que les pièces aient été retirées du troisième lot.
Solution. Notons par UNévénement - dans chacun des deux essais (avec retour), une pièce étalon a été récupérée. Trois hypothèses (hypothèses) peuvent être formulées : B 1 – les pièces sont retirées du premier lot, DANS 2 – les pièces sont retirées du deuxième lot, DANS 3 – les pièces sont retirées du troisième lot.
Les pièces ont été extraites au hasard d’un lot donné, donc les probabilités des hypothèses sont les mêmes :  P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Trouvons la probabilité conditionnelle PENNSYLVANIE/B 1), c'est-à-dire la probabilité que deux pièces standards soient séquentiellement retirées du premier lot. Cet événement est fiable, car dans le premier lot, toutes les pièces sont standard, donc  PENNSYLVANIE/B 1) = 1.
Trouvons la probabilité conditionnelle PENNSYLVANIE/B 2), c'est-à-dire la probabilité que deux pièces standards soient séquentiellement retirées (et renvoyées) du deuxième lot : PENNSYLVANIE/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Trouvons la probabilité conditionnelle PENNSYLVANIE/B 3), c'est-à-dire la probabilité que deux pièces standards soient séquentiellement retirées (et renvoyées) du troisième lot :  PENNSYLVANIE/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
La probabilité souhaitée que les deux pièces étalons extraites soient issues du troisième lot, selon la formule de Bayes, est égale à

1.2.7. Tests répétés

Si plusieurs tests sont effectués, et la probabilité de l'événement UN dans chaque test ne dépend pas des résultats d'autres tests, alors ces tests sont appelés indépendant par rapport à l’événement A. Dans différents essais indépendants, l'événement UN peut avoir soit des probabilités différentes, soit la même probabilité. Nous ne considérerons en outre que les tests indépendants dans lesquels l'événement UN a la même probabilité.
Qu'il soit produit P.épreuves indépendantes, dans chacune desquelles l'événement UN peut ou non apparaître. Admettons que la probabilité d'un événement UN dans chaque essai est le même, à savoir égal R. Par conséquent, la probabilité qu’un événement ne se produise pas UN dans chaque essai est également constant et égal à 1– R. Ce schéma probabiliste est appelé Schéma de Bernoulli. Fixons-nous pour tâche de calculer la probabilité que lorsque P.Événement test de Bernoulli UN deviendra réalité k une fois ( k– nombre de succès) et, par conséquent, ne se réalisera pas P- une fois. Il est important de souligner qu'il n'est pas nécessaire que l'événement UN répété exactement k fois dans un certain ordre. Nous notons la probabilité souhaitée R p (k). Par exemple, le symbole R. 5(3) signifie la probabilité que dans cinq essais, l'événement apparaîtra exactement 3 fois et ne se produira donc pas 2 fois.
Le problème posé peut être résolu en utilisant ce qu'on appelle formules de Bernoulli, ce qui ressemble à :
.
Problème 1.20. La probabilité que la consommation d'électricité au cours d'une journée ne dépasse pas la norme établie est égale à R.=0,75. Trouvez la probabilité qu'au cours des 6 prochains jours, la consommation d'électricité pendant 4 jours ne dépasse pas la norme.
Solution. La probabilité d'une consommation d'énergie normale au cours de chacun des 6 jours est constante et égale à R.=0,75. Par conséquent, la probabilité d’une consommation excessive d’énergie chaque jour est également constante et égale à q= 1–R.=1–0,75=0,25.
La probabilité requise selon la formule de Bernoulli est égale à
.
Problème 1.21. Deux joueurs égaux jouent aux échecs. Qu'est-ce qui est le plus probable : gagner deux matchs sur quatre ou trois matchs sur six (les nuls ne sont pas pris en compte) ?
Solution. Des joueurs d'échecs égaux jouent, donc la probabilité de gagner R.= 1/2, donc la probabilité de perdre q est également égal à 1/2. Parce que dans tous les jeux, la probabilité de gagner est constante et peu importe dans quel ordre les jeux sont gagnés, alors la formule de Bernoulli est applicable.
Trouvons la probabilité que deux matchs sur quatre soient gagnés :

Déterminons la probabilité que trois matchs sur six soient gagnés :

Parce que P. 4 (2) > P. 6 (3), il est alors plus probable de gagner deux matchs sur quatre que trois sur six.
Cependant, on peut voir qu’en utilisant la formule de Bernoulli pour les grandes valeurs n assez difficile, car la formule nécessite des opérations sur des nombres énormes et donc les erreurs s'accumulent pendant le processus de calcul ; En conséquence, le résultat final peut différer considérablement du vrai.
Pour résoudre ce problème, il existe plusieurs théorèmes limites qui sont utilisés dans le cas d'un grand nombre de tests.
1. Théorème de Poisson
Lors de la réalisation d'un grand nombre de tests utilisant le schéma de Bernoulli (avec n=> ∞) et avec un petit nombre d'issues favorables k(on suppose que la probabilité de succès p petit), la formule de Bernoulli se rapproche de la formule de Poisson
.
Exemple 1.22. La probabilité de défauts lorsqu'une entreprise fabrique une unité de produit est égale à p=0,001. Quelle est la probabilité que lors de la production de 5 000 unités de produit, moins de 4 d'entre elles soient défectueuses (événement UN Solution. Parce que n est grand, on utilise le théorème local de Laplace :

Calculons X:
Fonction – même, donc φ(–1,67) = φ(1,67).
En utilisant le tableau de l’annexe A.1, nous trouvons φ(1,67) = 0,0989.
Probabilité requise P. 2400 (1400) = 0,0989.
3. Théorème intégral de Laplace
Si la probabilité R. survenance d'un événement UN dans chaque essai selon le schéma de Bernoulli est constant et différent de zéro et un, alors avec un grand nombre d'essais n, probabilité R p (k 1 , k 2) survenance de l'événement UN dans ces tests de k 1 à k 2 fois à peu près égal
Rp(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Où
– Fonction de Laplace,

L'intégrale définie dans la fonction de Laplace ne peut pas être calculée sur la classe des fonctions analytiques, le tableau est donc utilisé pour la calculer. Article 2, donné en annexe.
Exemple 1.24. La probabilité qu'un événement se produise dans chacun des cent essais indépendants est constante et égale à p= 0,8. Trouvez la probabilité que l'événement se produise : a) au moins 75 fois et pas plus de 90 fois ; b) au moins 75 fois ; c) pas plus de 74 fois.
Solution. Utilisons le théorème intégral de Laplace :
Rp(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), où Ф( X) – Fonction de Laplace,

a) Selon la condition, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Calculons X"" Et X" :


Considérant que la fonction de Laplace est étrange, c'est-à-dire F(- X) = – Ф( X), on a
P. 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
D'après le tableau P.2. nous trouverons des applications:
F(2,5) = 0,4938 ;  F(1,25) = 0,3944.
Probabilité requise
P. 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) L'exigence qu'un événement se produise au moins 75 fois signifie que le nombre d'occurrences de l'événement peut être de 75, ou 76, ..., ou 100. Ainsi, dans le cas considéré, il convient d'accepter k 1 = 75, k 2 = 100. Alors

.
D'après le tableau P.2. application, nous trouvons Ф(1,25) = 0,3944 ; Ф(5) = 0,5.
Probabilité requise
P. 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Événement – » UN est apparu au moins 75 fois" et " UN apparu pas plus de 74 fois" sont opposés, donc la somme des probabilités de ces événements est égale à 1. Par conséquent, la probabilité souhaitée
P. 100 (0;74) = 1 – P. 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Sujet de cours : « Événements aléatoires, fiables et impossibles »

Place du cours dans le programme : "Combinatoire. Événements aléatoires" leçon 5/8

Type de cours : Leçon dans la formation de nouvelles connaissances

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

o introduire une définition d'un événement aléatoire, fiable et impossible ;

o apprendre au cours d'une situation réelle à définir les termes de la théorie des probabilités : événements fiables, impossibles, également probables ;

Éducatif:

o favoriser le développement de la pensée logique,

o intérêt cognitif des étudiants,

o capacité à comparer et à analyser,

Éducatif:

o susciter l'intérêt pour l'étude des mathématiques,

o développement de la vision du monde des étudiants.

o maîtrise des compétences intellectuelles et des opérations mentales ;

Méthodes d'enseignement: dictée explicative et illustrative, reproductive, mathématique.

UMK : Mathématiques : manuel pour la 6e année. édité par, etc., maison d'édition "Enlightenment", 2008, Mathématiques, 5-6 : livre. pour l'enseignant / [, [ ,]. - M. : Éducation, 2006.

Matériel didactique : affiches au tableau.

Littérature:

1. Mathématiques : manuel. pour la 6ème année. enseignement général institutions/, etc.]; édité par , ; Ross. acad. Sciences, Ross. acad. éducation, maison d'édition "Lumières". - 10e éd. - M. : Éducation, 2008.-302 p. : ill. - (Manuel scolaire académique).

2. Mathématiques, 5-b : livre. pour l'enseignant / [, ]. - M. : Éducation, 2006. - 191 p. : je vais.

4. Résoudre des problèmes de statistique, de combinatoire et de théorie des probabilités. 7-9 années. / auto-comp. . Éd. 2e, rév. - Volgograd : Enseignant, 2006. -428 p.

5. Cours de mathématiques utilisant les technologies de l'information. 5 à 10 années. Méthodique - manuel avec application électronique / etc. 2e éd., stéréotype. - M. : Maison d'édition "Globus", 2010. - 266 p. (École moderne).

6. Enseigner les mathématiques dans une école moderne. Des lignes directrices. Vladivostok : Maison d'édition PIPPCRO, 2003.

PLAN DE COURS

I. Moment organisationnel.

II. Travail oral.

III. Apprendre du nouveau matériel.

IV. Formation de compétences et d'aptitudes.

V. Résumé de la leçon.

V. Devoirs.

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel

2. Actualisation des connaissances

15*(-100)

Travail oral :

3. Explication du nouveau matériel

Enseignant : Notre vie est en grande partie constituée d'accidents. Il existe une science telle que la « théorie des probabilités ». Grâce à son langage, vous pouvez décrire de nombreux phénomènes et situations.

Des commandants aussi anciens qu'Alexandre le Grand ou Dmitri Donskoï, se préparant au combat, comptaient non seulement sur la valeur et l'art des guerriers, mais aussi sur le hasard.

Beaucoup de gens aiment les mathématiques pour les vérités éternelles : deux fois deux font toujours quatre, la somme des nombres pairs est paire, l'aire d'un rectangle est égale au produit de ses côtés adjacents, etc. Dans tout problème que vous résolvez, tout le monde obtient la même réponse - vous n'avez simplement pas besoin de faire d'erreurs dans la décision.

La vraie vie n’est pas si simple et directe. L’issue de nombreux événements ne peut être prédite à l’avance. Il est par exemple impossible de dire avec certitude de quel côté tombera une pièce de monnaie lancée, quand tombera la première neige l'année prochaine ou combien de personnes dans la ville voudront téléphoner dans l'heure qui suit. De tels événements imprévisibles sont appelés aléatoire .

Cependant, le hasard a aussi ses propres lois, qui commencent à se manifester lorsque des phénomènes aléatoires se répètent plusieurs fois. Si vous lancez une pièce 1000 fois, elle tombera sur face environ la moitié du temps, mais on ne peut pas en dire autant de deux ou même de dix lancers. « Environ » ne signifie pas la moitié. Cela peut généralement être le cas ou non. La loi ne dit rien avec certitude, mais elle donne un certain degré de confiance qu'un événement aléatoire se produira.

De tels modèles sont étudiés par une branche spéciale des mathématiques - Théorie des probabilités . Avec son aide, vous pouvez prédire avec plus de confiance (mais toujours pas avec certitude) à la fois la date de la première chute de neige et le nombre d'appels téléphoniques.

La théorie des probabilités est inextricablement liée à notre vie quotidienne. Cela nous donne une merveilleuse opportunité d’établir expérimentalement de nombreuses lois probabilistes, en répétant plusieurs fois des expériences aléatoires. Le matériel nécessaire à ces expériences sera le plus souvent une pièce de monnaie ordinaire, un dé, un jeu de dominos, du backgammon, de la roulette ou même un jeu de cartes. Chacun de ces éléments est lié aux jeux d’une manière ou d’une autre. Le fait est que le cas apparaît ici sous sa forme la plus fréquente. Et les premières tâches probabilistes concernaient l’évaluation des chances de victoire des joueurs.

La théorie moderne des probabilités s’est éloignée du jeu, mais ses accessoires restent la source de hasard la plus simple et la plus fiable. Après avoir pratiqué avec une roulette et un dé, vous apprendrez à calculer la probabilité d'événements aléatoires dans des situations réelles, ce qui vous permettra d'évaluer vos chances de succès, de tester des hypothèses et de prendre des décisions optimales non seulement dans les jeux et les loteries.

Lorsque vous résolvez des problèmes probabilistes, soyez très prudent, essayez de justifier chaque pas que vous faites, car aucun autre domaine des mathématiques ne contient autant de paradoxes. Comme la théorie des probabilités. Et la principale explication en est peut-être son lien avec le monde réel dans lequel nous vivons.

De nombreux jeux utilisent un dé avec un nombre différent de points de 1 à 6 marqués de chaque côté. Le joueur lance le dé, regarde combien de points apparaissent (sur la face située en haut) et effectue le nombre de mouvements correspondant. : 1,2,3 ,4,5 ou 6. Lancer un dé peut être considéré comme une expérience, une expérience, un test, et le résultat obtenu peut être considéré comme un événement. Les gens sont généralement très intéressés à deviner l'occurrence de tel ou tel événement et à prédire son issue. Quelles prédictions peuvent-ils faire en lançant les dés ?

Première prédiction : l'un des nombres 1,2,3,4,5 ou 6 apparaîtra. Pensez-vous que l'événement prédit se produira ou non ? Bien sûr, cela viendra certainement.

Un événement qui est sûr de se produire dans une expérience donnée est appelé fiableévénement.

Deuxième prédiction : le chiffre 7 apparaîtra. Pensez-vous que l’événement prédit se produira ou non ? Bien sûr, cela n’arrivera pas, c’est tout simplement impossible.

Un événement qui ne peut pas se produire dans une expérience donnée est appelé impossibleévénement.

Troisième prédiction : le chiffre 1 apparaîtra. Pensez-vous que l’événement prédit se produira ou non ? Nous ne sommes pas en mesure de répondre à cette question avec une totale certitude, puisque l’événement prédit peut se produire ou non.

Les événements qui peuvent ou non se produire dans les mêmes conditions sont appelés aléatoire.

Exemple. La boîte contient 5 bonbons dans un emballage bleu et un dans un emballage blanc. Sans regarder dans la boîte, ils sortent un bonbon au hasard. Est-il possible de prédire à l’avance de quelle couleur il sera ?

Exercice : Décrivez les événements abordés dans les tâches ci-dessous. Comme certain, impossible ou aléatoire.

1. Lancez une pièce de monnaie. Des armoiries sont apparues. (aléatoire)

2. Le chasseur a tiré sur le loup et l'a touché. (aléatoire)

3. L'écolier se promène tous les soirs. En se promenant lundi, il a rencontré trois connaissances. (aléatoire)

4. Réalisons mentalement l’expérience suivante : retourner un verre d’eau. Si cette expérience n'est pas réalisée dans l'espace, mais à la maison ou dans une salle de classe, alors de l'eau se répandra. (fiable)

5. Trois coups de feu ont été tirés sur la cible. Il y a eu cinq coups sûrs." (impossible)

6. Jetez la pierre. La pierre reste suspendue dans les airs. (impossible)

Exemple Petya a pensé à un nombre naturel. L'événement est le suivant :

a) un nombre pair est prévu ; (aléatoire)

b) un nombre impair est prévu ; (aléatoire)

c) on conçoit un nombre qui n'est ni pair ni impair ; (impossible)

d) on conçoit un nombre pair ou impair. (fiable)

Les événements qui ont des chances égales dans des conditions données sont appelés tout aussi probable.

Les événements aléatoires ayant des chances égales sont appelés tout aussi possible ou tout aussi probable .

Placez une affiche au tableau.

Lors de l'examen oral, l'étudiant prend l'un des tickets disposés devant lui. Les chances de passer l'une des cartes d'examen sont égales. Il est également probable que vous obteniez n'importe quel nombre de points de 1 à 6 en lançant un dé, ainsi que « pile » ou « face » en lançant une pièce de monnaie.

Mais tous les événements ne sont pas tout aussi possible. L'alarme peut ne pas sonner, l'ampoule peut griller, le bus peut tomber en panne, mais dans des conditions normales, de tels événements peu probable. Plus probablement, le réveil sonnera, la lumière s’allumera et le bus commencera à bouger.

Quelques événements chances se produisent plus souvent, ce qui signifie qu'ils sont plus probables - plus proches de certains. Et d’autres ont moins de chances, sont moins probables – plus proches de l’impossible.

Les événements impossibles n’ont aucune chance de se produire, mais les événements fiables ont toutes les chances de se produire ; sous certaines conditions, ils se produiront certainement.

Exemple Petya et Kolya comparent leurs anniversaires. L'événement est le suivant :

a) leurs anniversaires ne coïncident pas ; (aléatoire)

b) leurs anniversaires sont les mêmes ; (aléatoire)

d) leurs deux anniversaires tombent un jour férié - le Nouvel An (1er janvier) et le Jour de l'indépendance de la Russie (12 juin). (aléatoire)

3.Formation de compétences et d'aptitudes

Problème du manuel n° 000. Lesquels des événements aléatoires suivants sont fiables et possibles :

a) la tortue apprendra à parler ;

b) l'eau de la bouilloire posée sur la cuisinière va bouillir ;

d) vous gagnerez en participant à la loterie ;

e) vous ne gagnerez pas en participant à une loterie gagnant-gagnant ;

f) vous perdrez une partie d'échecs ;

g) vous rencontrerez un extraterrestre demain ;

h) le temps va empirer la semaine prochaine ; i) vous avez appuyé sur la cloche, mais elle n'a pas sonné ; j) aujourd'hui c'est jeudi ;

k) après jeudi, ce sera vendredi ; l) y aura-t-il jeudi après vendredi ?

Les boîtes contiennent 2 boules rouges, 1 jaune et 4 boules vertes. Trois boules sont tirées au hasard dans la boîte. Parmi les événements suivants, lesquels sont impossibles, aléatoires, certains :

R : trois boules vertes seront tirées ;

B : trois boules rouges seront tirées ;

C : des boules de deux couleurs seront tirées ;

D : des boules de la même couleur seront tirées ;

E : parmi les boules tirées, il y en a une bleue ;

F : parmi celles tirées il y a des boules de trois couleurs ;

G : Y a-t-il deux boules jaunes parmi celles tirées ?

Vérifie toi-même. (dictée mathématique)

1) Indiquez lesquels des événements suivants sont impossibles, lesquels sont fiables, lesquels sont aléatoires :

· Le match de football "Spartak" - "Dynamo" se terminera par un match nul (aléatoire)

· Vous gagnerez en participant à une loterie gagnant-gagnant ( fiable)

La neige tombera à minuit et le soleil brillera 24 heures plus tard (impossible)

· Demain, il y aura un test de mathématiques. (aléatoire)

· Vous serez élu président des États-Unis. (impossible)

· Vous serez élu président de la Russie. (aléatoire)

2) Vous avez acheté un téléviseur dans un magasin pour lequel le fabricant offre une garantie de deux ans. Parmi les événements suivants, lesquels sont impossibles, lesquels sont aléatoires, lesquels sont fiables :

· Le téléviseur ne tombera pas en panne pendant un an. (aléatoire)

· La télé ne tombera pas en panne avant deux ans . (aléatoire)

· Vous n'aurez pas à payer pour les réparations du téléviseur pendant deux ans. (fiable)

· La télévision tombera en panne la troisième année. (aléatoire)

3) Un bus transportant 15 passagers doit effectuer 10 arrêts. Parmi les événements suivants, lesquels sont impossibles, lesquels sont aléatoires, lesquels sont fiables :

· Tous les passagers descendront du bus à différents arrêts. (impossible)

· Tous les passagers descendront au même arrêt. (aléatoire)

· À chaque arrêt, au moins quelqu'un descendra. (aléatoire)

· Il y aura un arrêt où personne ne descendra. (aléatoire)

· Un nombre pair de passagers descendront à tous les arrêts. (impossible)

· Un nombre impair de passagers descendront à tous les arrêts. (impossible)

Résumé de la leçon

Questions pour les étudiants :

Quels événements sont appelés aléatoires ?

Quels événements sont dits équiprobables ?

Quels événements sont dits fiables ? impossible?

Quels événements sont considérés comme les plus probables ? moins probable ?

Devoirs : article 9.3

N° 000. Donnez trois exemples d’événements fiables et impossibles, ainsi que d’événements dont on ne peut pas dire qu’ils se produisent avec certitude.

902. Une boîte contient 10 stylos rouges, 1 vert et 2 bleus. Deux stylos sont sortis au hasard de la boîte. Parmi les événements suivants, lesquels sont impossibles et certains :

R : Deux poignées rouges seront retirées ; B : deux poignées vertes seront retirées ; C : deux poignées bleues seront retirées ; D : Deux poignées de couleurs différentes seront retirées ;

E : est-ce que deux crayons seront retirés ? 03. Egor et Danila étaient d'accord : si l'aiguille du plateau tournant (Fig. 205) s'arrête sur un champ blanc, alors Egor peindra la clôture, et si sur un champ bleu, Danila la peindra. Quel garçon est le plus susceptible de peindre la clôture ?

veuillez traduire le texte en anglais.

Mais pas dans un traducteur en ligne.

Le Golden Gate est un symbole de Kiev, l'un des plus anciens exemples d'architecture ayant survécu jusqu'à nos jours. La Porte Dorée de Kiev a été construite sous le célèbre prince de Kiev Yaroslav le Sage en 1164. Initialement, elles s'appelaient Sud et faisaient partie du système de fortifications défensives de la ville, pratiquement semblables aux autres portes de garde de la ville. C’est la porte sud que le premier métropolite russe Hilarion a qualifiée de « grande » dans son « Sermon sur la loi et la grâce ». Après la construction de la majestueuse église Sainte-Sophie, la « Grande » Porte est devenue la principale entrée terrestre de Kiev du côté sud-ouest. Conscient de leur importance, Iaroslav le Sage ordonna la construction d'une petite église de l'Annonciation au-dessus des portes afin de rendre hommage à la religion chrétienne dominante dans la ville et en Russie. À partir de ce moment-là, toutes les sources chroniques russes ont commencé à appeler la Porte Sud de Kiev la Porte Dorée. La largeur de la porte était de 7,5 m, la hauteur du passage était de 12 m et la longueur était d'environ 25 m.

Aide-moi à traduire le texte !

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frère tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard à l'école, tu fais du sport.