Dans cet article, nous donnerons une définition de la division d'un nombre négatif par un nombre négatif, formulerons et justifierons la règle, donnerons des exemples de division de nombres négatifs et analyserons le processus de résolution.
Diviser des nombres négatifs. Règle
Rappelons quelle est l'essence de l'opération de division. Cette action consiste à trouver un multiplicateur inconnu en œuvre célèbre et un autre facteur connu. Un nombre c est appelé quotient des nombres a et b si le produit c · b = a est vrai. Dans ce cas, a ÷ b = c.
Règle pour diviser les nombres négatifs
Le quotient de la division d'un nombre négatif par un autre nombre négatif est égal au quotient de la division des modules de ces nombres.
Soit a et b des nombres négatifs. Alors
une ÷ b = une ÷ b.
Cette règle réduit la division de deux nombres négatifs à la division de nombres positifs. Cela est vrai non seulement pour les entiers, mais aussi pour les nombres rationnels et nombres réels. Le résultat de la division d’un nombre négatif par un nombre négatif est toujours nombre positif.
Donnons une autre formulation de cette règle, adaptée aux nombres rationnels et réels. Il est donné en utilisant des nombres réciproques et dit : pour diviser un nombre négatif a par le nombre indéfini, multipliez par le nombre b - 1, l'inverse de b.
une ÷ b = une · b - 1 .
La même règle, qui réduit la division à la multiplication, peut également être utilisée pour diviser des nombres de signes différents.
L'égalité a ÷ b = a · b - 1 peut être prouvée en utilisant la propriété de multiplication des nombres réels et la définition des nombres réciproques. Écrivons les égalités :
une · b - 1 · b = une · b - 1 · b = une · 1 = une .
Grâce à la définition de l'opération de division, cette égalité prouve qu'il existe un quotient de division d'un nombre par le nombre b.
Passons à l'examen d'exemples.
Commençons par des cas simples et passons aux plus complexes.
Exemple 1 : Comment diviser des nombres négatifs
Divisez - 18 par - 3.
Les modules du diviseur et du dividende sont respectivement 3 et 18. Écrivons :
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6.
Exemple 2 : Comment diviser des nombres négatifs
Divisez - 5 par - 2.
De même, on écrit selon la règle :
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2.
Le même résultat sera obtenu si l'on utilise la deuxième formulation de la règle avec le nombre inverse.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Lors de la division de nombres rationnels fractionnaires, il est plus pratique de les représenter sous forme de fractions ordinaires. Cependant, des fractions décimales finies peuvent également être divisées.
Exemple 3. Comment diviser des nombres négatifs
Divisons - 0,004 par - 0,25.
Tout d'abord, nous notons les modules de ces nombres : 0,004 et 0,25.
Vous pouvez désormais choisir l'une des deux manières suivantes :
- Séparez les fractions décimales à l’aide d’une colonne.
- Allez aux fractions et faites la division.
Examinons les deux méthodes.
1. Division performante décimales colonne, déplacez la virgule de deux chiffres vers la droite.
Réponse : - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016
2. Nous allons maintenant donner une solution avec la conversion des fractions décimales en fractions ordinaires.
0,004 = 4 1000 ; 0,25 = 25 100 0,004 ÷ 0,25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0,016
Les résultats obtenus sont cohérents.
En conclusion, notons que si le dividende et le diviseur sont des nombres irrationnels et sont donnés en termes de racines, puissances, logarithmes, etc., le résultat de la division s'écrit sous forme d'expression numérique dont la valeur approximative est calculée si nécessaire.
Exemple 4 : Comment diviser des nombres négatifs
Calculons le quotient de division des nombres - 0, 5 et - 5.
0, 5 ÷ - 5 = - 0, 5 ÷ - 5 = 0, 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10.
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Maintenant, parlons de Multiplication et division.
Disons que nous devons multiplier +3 par -4. Comment faire?
Considérons un tel cas. Trois personnes sont endettées et chacune a une dette de 4 $. Quelle est la dette totale ? Pour le trouver, vous devez additionner les trois dettes : 4 dollars + 4 dollars + 4 dollars = 12 dollars. Nous avons décidé que l'addition de trois nombres 4 est notée 3x4. Puisque dans ce cas nous parlons de dette, il y a un signe « - » avant le 4. Nous savons que la dette totale est de 12 $, donc notre problème devient maintenant 3x(-4)=-12.
Nous obtiendrons le même résultat si, selon le problème, chacune des quatre personnes a une dette de 3 $. En d'autres termes, (+4)x(-3)=-12. Et comme l’ordre des facteurs n’a pas d’importance, on obtient (-4)x(+3)=-12 et (+4)x(-3)=-12.
Résumons les résultats. Lorsque vous multipliez un nombre positif et un nombre négatif, le résultat sera toujours un nombre négatif. La valeur numérique de la réponse sera la même que dans le cas de nombres positifs. Produit (+4)x(+3)=+12. La présence du signe « - » n'affecte que le signe, mais n'affecte pas la valeur numérique.
Comment multiplier deux nombres négatifs ?
Malheureusement, il est très difficile de trouver un exemple concret et approprié sur ce sujet. Il est facile d’imaginer une dette de 3 ou 4 dollars, mais il est absolument impossible d’imaginer -4 ou -3 personnes s’endetter.
Peut-être que nous emprunterons une voie différente. En multiplication, lorsque le signe d'un des facteurs change, le signe du produit change. Si nous changeons les signes des deux facteurs, nous devons changer deux fois marque de travail, d'abord du positif au négatif, puis vice versa, du négatif au positif, c'est-à-dire que le produit aura un signe initial.
Il est donc assez logique, quoique un peu étrange, que (-3) x (-4) = +12.
Position du signe une fois multiplié, cela change comme ceci :
- nombre positif x nombre positif = nombre positif ;
- nombre négatif x nombre positif = nombre négatif ;
- nombre positif x nombre négatif = nombre négatif ;
- nombre négatif x nombre négatif = nombre positif.
Autrement dit, en multipliant deux nombres de mêmes signes, on obtient un nombre positif. En multipliant deux nombres de signes différents, on obtient un nombre négatif.
La même règle est vraie pour l'action opposée à la multiplication - pour.
Vous pouvez facilement le vérifier en exécutant opérations de multiplication inverse. Dans chacun des exemples ci-dessus, si vous multipliez le quotient par le diviseur, vous obtiendrez le dividende et vous assurerez qu'il a le même signe, par exemple (-3)x(-4)=(+12).
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Dans cet article, nous formulerons la règle de multiplication des nombres négatifs et en donnerons une explication. Le processus de multiplication de nombres négatifs sera discuté en détail. Les exemples montrent tous les cas possibles.
Multiplier des nombres négatifs
Définition 1Règle pour multiplier les nombres négatifs est que pour multiplier deux nombres négatifs, il faut multiplier leurs modules. Cette règle s'écrit comme suit : pour tout nombre négatif – a, - b, cette égalité est considérée comme vraie.
(- une) · (- b) = une · b.
Ci-dessus se trouve la règle pour multiplier deux nombres négatifs. Sur cette base, nous prouvons l'expression : (- a) · (- b) = a · b. L'article multipliant les nombres par des signes différents dit que les égalités a · (- b) = - a · b sont valides, tout comme (- a) · b = - a · b. Cela découle de la propriété des nombres opposés, grâce à laquelle les égalités s'écriront comme suit :
(- une) · (- b) = (- une · (- b)) = - (- (une · b)) = une · b.
Ici, vous pouvez clairement voir la preuve de la règle de multiplication des nombres négatifs. D’après les exemples, il est clair que le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif. En multipliant des modules de nombres, le résultat est toujours un nombre positif.
Cette règle s'applique à la multiplication de nombres réels, de nombres rationnels et d'entiers.
Examinons maintenant en détail des exemples de multiplication de deux nombres négatifs. Lors du calcul, vous devez utiliser la règle écrite ci-dessus.
Exemple 1
Multipliez les nombres - 3 et - 5.
Solution.
La valeur absolue des deux nombres multipliés est égale aux nombres positifs 3 et 5. Leur produit donne 15. Il s’ensuit que le produit des nombres donnés est 15
Écrivons brièvement la multiplication des nombres négatifs elle-même :
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Réponse : (- 3) · (- 5) = 15.
Lors de la multiplication de nombres rationnels négatifs, en utilisant la règle discutée, vous pouvez vous mobiliser pour multiplier des fractions, multiplier des nombres fractionnaires, multiplier des décimales.
Exemple 2
Calculez le produit (- 0 , 125) · (- 6) .
Solution.
En utilisant la règle de multiplication des nombres négatifs, on obtient que (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Pour obtenir le résultat, vous devez multiplier la fraction décimale par le nombre naturel de colonnes. Cela ressemble à ceci :
Nous avons constaté que l'expression prendra la forme (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.
Réponse : (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
Dans le cas où les facteurs sont des nombres irrationnels, alors leur produit peut être écrit sous forme d'expression numérique. La valeur est calculée uniquement lorsque cela est nécessaire.
Exemple 3
Il faut multiplier le négatif - 2 par le log non négatif 5 1 3.
Solution
Trouver les modules des nombres donnés :
2 = 2 et log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .
Suite aux règles de multiplication des nombres négatifs, nous obtenons le résultat - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Cette expression est la réponse.
Répondre: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .
Pour continuer à étudier le sujet, vous devez répéter la section sur la multiplication des nombres réels.
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Cet article fournit un aperçu détaillé diviser des nombres avec des signes différents. Tout d'abord, la règle pour diviser les nombres avec des signes différents est donnée. Vous trouverez ci-dessous des exemples de division de nombres positifs par des nombres négatifs et négatifs par des nombres positifs.
Navigation dans les pages.
Règle pour diviser les nombres avec des signes différents
Dans la division d'articles d'entiers, une règle pour diviser des entiers de signes différents a été obtenue. Il peut être étendu à la fois aux nombres rationnels et aux nombres réels en répétant tout le raisonnement de l’article ci-dessus.
Donc, règle pour diviser les nombres avec des signes différents a la formulation suivante : pour diviser un nombre positif par un nombre négatif ou un nombre négatif par un positif, il faut diviser le dividende par le module du diviseur, et mettre un signe moins devant le nombre obtenu.
Écrivons cette règle de division en utilisant des lettres. Si les nombres a et b ont des signes différents, alors la formule est valable une:b=−|une|:|b| .
D'après la règle énoncée, il ressort clairement que le résultat de la division de nombres avec des signes différents est un nombre négatif. En effet, puisque le module du dividende et le module du diviseur sont des nombres positifs, leur quotient est un nombre positif, et le signe moins rend ce nombre négatif.
A noter que la règle considérée réduit la division des nombres de signes différents à la division des nombres positifs.
Vous pouvez donner une autre formulation de la règle de division des nombres de signes différents : pour diviser le nombre a par le nombre b, il faut multiplier le nombre a par le nombre b −1, l'inverse du nombre b. C'est, une:b=une b −1 .
Cette règle peut être utilisée lorsqu'il est possible d'aller au-delà de l'ensemble des entiers (puisque tous les entiers n'ont pas d'inverse). En d’autres termes, cela s’applique aussi bien à l’ensemble des nombres rationnels qu’à l’ensemble des nombres réels.
Force est de constater que cette règle de division des nombres de signes différents permet de passer de la division à la multiplication.
La même règle est utilisée pour diviser des nombres négatifs.
Il reste à considérer comment cette règle de division des nombres avec des signes différents est appliquée lors de la résolution d'exemples.
Exemples de division de nombres avec des signes différents
Considérons des solutions à plusieurs caractéristiques exemples de division de nombres avec des signes différents comprendre le principe d’application des règles du paragraphe précédent.
Exemple.
Divisez le nombre négatif −35 par le nombre positif 7.
Solution.
La règle de division des nombres avec des signes différents prescrit de trouver d'abord les modules du dividende et du diviseur. Le module de −35 est 35 et le module de 7 est 7. Nous devons maintenant diviser le module du dividende par le module du diviseur, c'est-à-dire que nous devons diviser 35 par 7. En nous rappelant comment s'effectue la division des nombres naturels, nous obtenons 35:7=5. La dernière étape restante dans la règle de division des nombres avec des signes différents est de mettre un moins devant le nombre obtenu, nous avons −5.
Voici la solution complète : .
Il était possible de partir d'une formulation différente de la règle de division des nombres par des signes différents. Dans ce cas, on trouve d'abord l'inverse du diviseur 7. Ce nombre est la fraction commune 1/7. Ainsi, . Il reste à multiplier des nombres de signes différents : . Évidemment, nous sommes arrivés au même résultat.
Répondre:
(−35):7=−5 .
Exemple.
Calculez le quotient 8:(−60) .
Solution.
D'après la règle de division des nombres de signes différents, on a 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. L'expression résultante correspond à une fraction ordinaire négative (voir le signe de division sous forme de barre de fraction), vous pouvez réduire la fraction par 4, on obtient 
.
Écrivons brièvement toute la solution : .
Répondre:
.
Lors de la division de nombres rationnels fractionnaires avec des signes différents, leur dividende et leur diviseur sont généralement représentés sous forme de fractions ordinaires. Cela est dû au fait qu'il n'est pas toujours pratique d'effectuer une division avec des nombres dans une autre notation (par exemple en décimal).
Exemple.
Solution.
Le module du dividende est égal à , et le module du diviseur est égal à 0,(23) . Pour diviser le module du dividende par le module du diviseur, passons aux fractions ordinaires.
Convertissons un nombre fractionnaire en fraction ordinaire : 
, et
L'objectif de cet article est division de nombres négatifs. Tout d'abord, la règle pour diviser un nombre négatif par un nombre négatif est donnée, sa justification est donnée, puis des exemples de division de nombres négatifs avec Description détaillée les décisions.
Navigation dans les pages.
Règle pour diviser les nombres négatifs
Avant de donner la règle de division des nombres négatifs, rappelons le sens de l’opération de division. La division consiste essentiellement à trouver un facteur inconnu à partir d’un produit connu et d’un autre facteur connu. Autrement dit, le nombre c est le quotient de a divisé par b lorsque c·b=a, et vice versa, si c·b=a, alors a:b=c.
Règle pour diviser les nombres négatifs ce qui suit : le quotient de la division d'un nombre négatif par un autre est égal au quotient de la division du numérateur par le module du dénominateur.
Écrivons la règle prononcée en utilisant des lettres. Si a et b sont des nombres négatifs, alors l'égalité est vraie une:b=|une|:|b| .
L’égalité a:b=a b −1 est facile à prouver, à partir de propriétés de multiplication de nombres réels et les définitions des nombres réciproques. En effet, sur cette base on peut écrire une chaîne d’égalités de la forme (une b −1) b=une (b −1 b)=une 1=une, ce qui, de par le sens de division mentionné au début de l'article, prouve que a·b −1 est le quotient de a divisé par b.
Et cette règle permet de passer de la division de nombres négatifs à la multiplication.
Il reste à considérer l'application des règles considérées pour diviser les nombres négatifs lors de la résolution d'exemples.
Exemples de division de nombres négatifs
Faisons le tri exemples de division de nombres négatifs. Commençons par des cas simples dans lesquels nous travaillerons sur l'application de la règle de division.
Exemple.
Divisez moins −18 par moins −3, puis calculez le quotient (−5):(−2) .
Solution.
Selon la règle de division des nombres négatifs, le quotient de division de −18 par −3 est égal au quotient de division des valeurs absolues de ces nombres. Puisque |−18|=18 et |−3|=3, alors (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , il ne reste plus qu'à diviser les nombres naturels, on a 18:3=6.
Nous résolvons la deuxième partie du problème de la même manière. Puisque |−5|=5 et |−2|=2 , alors (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Ce quotient correspond à la fraction commune 5/2, qui peut s'écrire sous forme de nombre fractionnaire.
Les mêmes résultats sont obtenus si l’on utilise une règle différente pour diviser les nombres négatifs. En effet, le nombre −3 est le nombre inverse , alors 
, maintenant nous multiplions les nombres négatifs : 
. De même, .
Répondre:
(−18):(−3)=6 et 
.
Lors de la division de nombres rationnels fractionnaires, il est plus pratique de travailler avec des fractions ordinaires. Mais, si cela vous convient, vous pouvez également diviser des fractions décimales finies.
Exemple.
Divisez le nombre −0,004 par −0,25.
Solution.
Les modules du dividende et du diviseur sont respectivement égaux à 0,004 et 0,25, alors selon la règle de division des nombres négatifs nous avons (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .
- ou effectuer une division en colonnes de fractions décimales,
- ou passez des décimales aux fractions ordinaires, puis divisez les fractions ordinaires correspondantes.
Examinons les deux approches.
Pour diviser 0,004 par 0,25 avec une colonne, déplacez d'abord la virgule décimale de 2 chiffres vers la droite, et nous arriverons à diviser 0,4 par 25. Maintenant on fait la division par colonne : 
Ainsi, 0,004 : 0,25 = 0,016.
Montrons maintenant à quoi ressemblerait la solution si nous décidions de convertir des fractions décimales en fractions ordinaires. Parce que 
et puis 
, et exécutez
