Qu’est-ce que l’arithmétique ? Quand l’humanité a-t-elle commencé à utiliser et à travailler avec les chiffres ? Où vont les racines de concepts quotidiens tels que les nombres, l’addition et la multiplication, dont l’homme a fait une partie indissociable de sa vie et de sa vision du monde ? Les esprits grecs antiques admiraient des sciences telles que la géométrie comme les plus belles symphonies de la logique humaine.

Peut-être que l'arithmétique n'est pas aussi profonde que les autres sciences, mais que leur arriverait-il si une personne oubliait la table de multiplication élémentaire ? Familier pour nous pensée logique, utilisant des nombres, des fractions et d'autres outils, n'était pas facile pour les gens et était inaccessible à nos ancêtres pendant longtemps. En fait, jusqu’au développement de l’arithmétique, aucun domaine de la connaissance humaine n’était véritablement scientifique.

L'arithmétique est l'ABC des mathématiques

L'arithmétique est la science des nombres, avec laquelle toute personne commence à se familiariser avec le monde fascinant des mathématiques. Comme l'a dit M.V. Lomonossov, l'arithmétique est la porte de l'apprentissage, nous ouvrant la voie à la connaissance du monde. Mais il a raison : la connaissance du monde peut-elle être séparée de la connaissance des chiffres et des lettres, des mathématiques et de la parole ? Peut-être autrefois, mais pas à l'époque monde moderne, où le développement rapide de la science et de la technologie dicte ses propres lois.

Le mot « arithmétique » (du grec « arithmos ») est d'origine grecque et signifie « nombre ». Elle étudie le nombre et tout ce qui peut y être lié. C'est le monde des nombres : diverses opérations sur les nombres, règles numériques, résolution de problèmes impliquant multiplication, soustraction, etc.

Objet de base de l'arithmétique

La base de l'arithmétique est un nombre entier dont les propriétés et les modèles sont pris en compte dans l'arithmétique supérieure ou. En fait, la force de l'ensemble du bâtiment - les mathématiques - dépend de la justesse de l'approche adoptée pour considérer un si petit bloc comme un nombre naturel. .

Par conséquent, la question de savoir ce qu’est l’arithmétique peut recevoir une réponse simple : c’est la science des nombres. Oui, à peu près aux sept, neuf habituels et à toute cette communauté diversifiée. Et tout comme on ne peut pas écrire de la bonne poésie, ni même la plus médiocre, sans l’alphabet élémentaire, de même sans l’arithmétique, on ne peut pas résoudre même un problème élémentaire. C’est pourquoi toutes les sciences n’ont progressé qu’après le développement de l’arithmétique et des mathématiques, qui n’étaient auparavant qu’un ensemble d’hypothèses.

L'arithmétique est une science fantôme

Qu'est-ce que l'arithmétique : science naturelle ou fantôme ? En fait, comme le raisonnaient les philosophes grecs anciens, ni les nombres ni les chiffres n’existent en réalité. Ce n’est qu’un fantôme créé par la pensée humaine lorsqu’on considère l’environnement et ses processus. En fait, nous ne voyons nulle part quelque chose de semblable qui puisse être appelé un nombre ; un nombre est plutôt une façon pour l’esprit humain d’étudier le monde. Ou peut-être s’agit-il d’une étude de nous-mêmes de l’intérieur ? Les philosophes discutent à ce sujet depuis plusieurs siècles d'affilée, nous ne nous engageons donc pas à donner une réponse exhaustive. D’une manière ou d’une autre, l’arithmétique a réussi à s’imposer si fermement que dans le monde moderne, personne ne peut être considéré comme socialement adapté sans en connaître les principes fondamentaux.

Comment est apparu l’entier naturel ?

Bien entendu, l'objet principal sur lequel opère l'arithmétique est un nombre naturel, tel que 1, 2, 3, 4, ..., 152... etc. L'arithmétique des nombres naturels est le résultat du comptage d'objets ordinaires, comme des vaches dans un pré. Pourtant, la définition de « beaucoup » ou « un peu » a cessé de convenir aux gens et des techniques de comptage plus avancées ont dû être inventées.

Mais la véritable avancée s’est produite lorsque la pensée humaine a atteint le point où le même chiffre « deux » peut être utilisé pour désigner 2 kilogrammes, 2 briques et 2 parties. Le fait est que vous devez faire abstraction des formes, des propriétés et de la signification des objets, vous pouvez alors effectuer certaines actions avec ces objets sous la forme de nombres naturels. Ainsi est née l'arithmétique des nombres, qui s'est développée et élargie, occupant des positions toujours plus grandes dans la vie de la société.

Concepts numériques avancés tels que zéro et un nombre négatif, les fractions, la notation des nombres par chiffres et d'autres méthodes, ont les plus riches et histoire la plus intéressante développement.

Arithmétique et pratique égyptiens

Les deux plus anciens compagnons de l'homme pour explorer le monde environnant et résoudre les problèmes quotidiens sont l'arithmétique et la géométrie.

On pense que l’histoire de l’arithmétique trouve son origine dans l’Orient ancien : en Inde, en Égypte, à Babylone et en Chine. Ainsi, le papyrus Rhinda est d'origine égyptienne (ainsi nommé car il appartenait au propriétaire du même nom), remontant au XXe siècle. BC, en plus d'autres données précieuses, contient la décomposition d'une fraction en une somme de fractions avec différents dénominateurs et un numérateur égal à un.

Par exemple : 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Mais quel est le sens d’une décomposition aussi complexe ? Le fait est que l’approche égyptienne ne tolérait pas la pensée abstraite sur les nombres ; au contraire, les calculs n’étaient effectués qu’à des fins pratiques. Autrement dit, un Égyptien se livrera à des calculs uniquement pour construire un tombeau, par exemple. Il était nécessaire de calculer la longueur du bord de la structure, ce qui obligeait une personne à s'asseoir devant le papyrus. Comme vous pouvez le constater, les progrès égyptiens en matière de calcul ont été causés davantage par des constructions massives que par l'amour de la science.

Pour cette raison, les calculs trouvés sur les papyrus ne peuvent pas être qualifiés de réflexions sur le thème des fractions. Très probablement, il s'agissait d'une préparation pratique qui a aidé à l'avenir à résoudre des problèmes avec des fractions. Les anciens Égyptiens, qui ne connaissaient pas les tables de multiplication, effectuaient des calculs assez longs, divisés en de nombreux sous-problèmes. C'est peut-être l'une de ces sous-tâches. Il est facile de voir que les calculs avec de tels blancs demandent beaucoup de travail et ont peu de perspectives. C'est peut-être pour cette raison que nous ne voyons pas beaucoup de contribution L'Egypte ancienne dans le développement des mathématiques.

Grèce antique et arithmétique philosophique

Une grande partie des connaissances de l'Orient antique a été maîtrisée avec succès par les Grecs de l'Antiquité, célèbres amateurs de pensées abstraites, abstraites et philosophiques. Ils n’étaient pas moins intéressés par la pratique, mais il était difficile de trouver de meilleurs théoriciens et penseurs. Cela a profité à la science, puisqu’il est impossible de se plonger dans l’arithmétique sans la rompre avec la réalité. Bien sûr, vous pouvez multiplier 10 vaches et 100 litres de lait, mais vous n’irez pas très loin.

Les Grecs réfléchis ont laissé une marque significative dans l’histoire, et leurs œuvres nous sont parvenues :

• Euclide et les éléments.
• Pythagoras.
• Archimède.
• Ératosthène.
• Zénon.
• Anaxagore.

Et bien sûr, les Grecs, qui ont tout transformé en philosophie, et surtout les successeurs de l’œuvre de Pythagore, étaient tellement captivés par les nombres qu’ils les considéraient comme le sacrement de l’harmonie du monde. Les nombres ont été tellement étudiés et recherchés que certains d’entre eux et leurs paires se sont vu attribuer des propriétés particulières. Par exemple:

• Les nombres parfaits sont ceux qui sont égaux à la somme de tous leurs diviseurs sauf le nombre lui-même (6=1+2+3).
• Les nombres amis sont les nombres dont l'un est égal à la somme de tous les diviseurs du second, et vice versa (les Pythagoriciens ne connaissaient qu'une seule de ces paires : 220 et 284).

Les Grecs, qui croyaient que la science devait être aimée et non pas dans un but lucratif, ont réussi grand succès en explorant, en jouant et en ajoutant des chiffres. Il convient de noter que toutes leurs recherches n’ont pas trouvé une large application ; certaines d’entre elles sont restées uniquement « pour la beauté ».

Penseurs orientaux du Moyen Âge

De la même manière, au Moyen Âge, l’arithmétique doit son développement aux contemporains orientaux. Les Indiens nous ont donné des chiffres que nous utilisons activement, un concept tel que « zéro » et une option de position familière à la perception moderne. Nous avons hérité d'Al-Kashi, qui travaillait à Samarkand au XVe siècle, sans lequel il est difficile d'imaginer l'arithmétique moderne.

À bien des égards, la connaissance par l'Europe des réalisations de l'Est est devenue possible grâce au travail du scientifique italien Leonardo Fibonacci, qui a écrit l'ouvrage « Le Livre du Boulier », présentant les innovations orientales. Il est devenu la pierre angulaire du développement de l'algèbre et de l'arithmétique, de la recherche et activité scientifique en Europe.

Arithmétique russe

Et enfin, l'arithmétique, qui a trouvé sa place et s'est enracinée en Europe, a commencé à se répandre sur les terres russes. La première arithmétique russe a été publiée en 1703. Il s'agissait d'un livre sur l'arithmétique de Léonty Magnitski. Pendant longtemps il restait le seul manuel de mathématiques. Il contient les premiers points d'algèbre et de géométrie. Les nombres utilisés dans les exemples du premier manuel d’arithmétique en Russie sont arabes. Bien que des chiffres arabes aient été trouvés plus tôt, dans des gravures remontant au XVIIe siècle.

Le livre lui-même est décoré d'images d'Archimède et de Pythagore, et sur la première page se trouve une image d'arithmétique sous la forme d'une femme. Elle est assise sur un trône, sous elle est écrit en hébreu un mot désignant le nom de Dieu, et sur les marches qui mènent au trône sont inscrits les mots « division », « multiplication », « addition », etc. imaginez quel sens ils véhiculaient de telles vérités qui sont désormais considérées comme banales.

Le manuel de 600 pages couvre à la fois les bases telles que les tables d'addition et de multiplication et les applications à la science de la navigation.

Il n’est pas surprenant que l’auteur ait choisi pour son livre des images de penseurs grecs, car lui-même a été captivé par la beauté de l’arithmétique, en disant : « L’arithmétique est un numérateur, c’est un art honnête et sans envie… » Cette approche de l'arithmétique est tout à fait justifiée, car c'est sa mise en œuvre généralisée qui peut être considérée comme le début du développement rapide de la pensée scientifique et de l'enseignement général en Russie.

Nombres non premiers

Un nombre premier est un nombre naturel qui n'a que 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même. Tous les autres nombres, à l’exception de 1, sont appelés nombres composés. Exemples de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11 et tous les autres qui n'ont pas d'autre diviseur que le nombre 1 et lui-même.

Quant au chiffre 1, il occupe une place particulière : on s'accorde pour qu'il ne soit ni simple ni composite. Un nombre apparemment simple en cache une multitude mystères non résolusà l'intérieur de vous-même.

Le théorème d'Euclide dit qu'il existe un nombre infini de nombres premiers, et Eratosthène a mis au point un « tamis » arithmétique spécial qui élimine les nombres difficiles, ne laissant que les nombres premiers.

Son essence est de souligner le premier nombre non barré, puis de rayer ceux qui en sont des multiples. Nous répétons cette procédure plusieurs fois et obtenons un tableau de nombres premiers.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Parmi les observations sur les nombres premiers, il faut mentionner spécialement le théorème fondamental de l’arithmétique.

Le théorème fondamental de l'arithmétique stipule que tout entier supérieur à 1 est soit premier, soit peut être factorisé en un produit de nombres premiers jusqu'à l'ordre des facteurs, d'une manière unique.

Le théorème principal de l’arithmétique est assez lourd à prouver et sa compréhension ne ressemble plus aux bases les plus simples.

À première vue, les nombres premiers sont un concept élémentaire, mais ils ne le sont pas. La physique considérait également autrefois l’atome comme élémentaire jusqu’à ce qu’elle trouve un univers entier à l’intérieur. nombres premiers dédié à une merveilleuse histoire du mathématicien Don Tsagir, « Les cinquante premiers millions de nombres premiers ».

Des « trois pommes » aux lois déductives

Ce que l’on peut véritablement appeler le fondement renforcé de toute science, ce sont les lois de l’arithmétique. Même dans l'enfance, tout le monde est confronté à l'arithmétique, étudiant le nombre de jambes et de bras des poupées, le nombre de cubes, de pommes, etc. C'est ainsi qu'on étudie l'arithmétique, qui se développe ensuite en règles plus complexes.

Toute notre vie nous familiarise avec les règles de l'arithmétique, devenues homme ordinaire le plus utile de tout ce que la science offre. L'étude des nombres est une « arithmétique pour bébés », qui initie une personne au monde des nombres sous forme de chiffres dès la petite enfance.

L'arithmétique supérieure est une science déductive qui étudie les lois de l'arithmétique. Nous connaissons la plupart d’entre eux, même si nous ne connaissons peut-être pas leur formulation exacte.

Loi d'addition et de multiplication

Deux nombres naturels a et b peuvent être exprimés comme la somme a+b, qui sera également un nombre naturel. Les lois suivantes s'appliquent à l'addition :

• Commutatif, qui dit que réorganiser les termes ne change pas la somme, ou a+b= b+a.
• Associatif, qui dit que la somme ne dépend pas de la façon dont les termes sont regroupés par endroits, soit a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Les règles de l'arithmétique, comme l'addition, sont parmi les plus élémentaires, mais elles sont utilisées par toutes les sciences, sans parler de la vie quotidienne.

Deux nombres naturels a et b peuvent être exprimés par le produit a*b ou a*b, qui est également un nombre naturel. Les mêmes lois commutatives et associatives s'appliquent au produit quant à l'addition :

• une*b= b*une;
• une*(b*c)= (une* b)* c.

Fait intéressant, il existe une loi qui combine addition et multiplication, également appelée loi distributive ou distributive :

une(b+c)= ab+ac

Cette loi nous apprend en fait à travailler avec les parenthèses en les ouvrant, ce qui nous permet de travailler avec des formules plus complexes. Ce sont exactement les lois qui nous guideront dans le monde bizarre et difficile de l’algèbre.

Loi de l'ordre arithmétique

La loi de l’ordre est utilisée quotidiennement par la logique humaine, vérifiant les montres et comptant les factures. Et néanmoins, il doit également être formalisé sous la forme de formulations spécifiques.

Si nous avons deux nombres naturels a et b, alors les options suivantes sont possibles :

• a est égal à b, ou a=b ;
• a est inférieur à b, ou a< b;
• a est supérieur à b, ou a > b.

Parmi les trois options, une seule peut être équitable. La loi fondamentale qui régit l’ordre dit : si un< b и b < c, то a< c.

Il existe également des lois relatives à l'ordre des opérations de multiplication et d'addition : si un< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Les lois de l'arithmétique nous apprennent à travailler avec les nombres, les signes et les parenthèses, transformant le tout en une harmonieuse symphonie de nombres.

Systèmes de numérotation positionnelle et non positionnelle

On peut dire que les nombres sont un langage mathématique dont beaucoup dépend de la commodité. Il existe de nombreux systèmes numériques qui, comme les alphabets différentes langues, diffèrent les uns des autres.

Considérons les systèmes numériques du point de vue de l'influence de la position sur la valeur quantitative du chiffre à cette position. Ainsi, par exemple, le système romain est non positionnel, où chaque nombre est codé avec un certain ensemble de caractères spéciaux : I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ils sont respectivement égaux aux nombres 1 / 5/10/50/100/500/1000. Dans un tel système, un nombre ne change pas de définition quantitative selon la position dans laquelle il se trouve : premier, deuxième, etc. Pour obtenir d'autres nombres, il faut additionner ceux de base. Par exemple:

• DCC=700.
• CCM=800.

Le système numérique qui nous est plus familier utilisant les chiffres arabes est positionnel. Dans un tel système, le chiffre d'un nombre détermine le nombre de chiffres, par exemple les nombres à trois chiffres : 333, 567, etc. Le poids de n'importe quel chiffre dépend de la position dans laquelle se trouve tel ou tel chiffre, par exemple, le chiffre 8 en deuxième position a la valeur 80. Ceci est typique pour système décimal, il existe d'autres systèmes positionnels, comme le binaire.

Arithmétique binaire

L'arithmétique binaire fonctionne avec l'alphabet binaire, qui se compose uniquement de 0 et de 1. Et l'utilisation de cet alphabet est appelée le système numérique binaire.

La différence entre l'arithmétique binaire et l'arithmétique décimale est que la signification de la position à gauche n'est pas 10, mais 2 fois plus grande. Les nombres binaires ont la forme 111, 1001, etc. Comment comprendre de tels nombres ? Alors, regardons le nombre 1100 :

1. Le premier chiffre à gauche est 1*8=8, en rappelant que le quatrième chiffre, ce qui signifie qu'il doit être multiplié par 2, nous obtenons la position 8.
2. Le deuxième chiffre est 1*4=4 (position 4).
3. Le troisième chiffre est 0*2=0 (position 2).
4. Le quatrième chiffre est 0*1=0 (position 1).
5. Notre nombre est donc 1100=8+4+0+0=12.

Autrement dit, lorsqu'on passe à un nouveau chiffre à gauche, sa signification dans le système binaire est multipliée par 2 et dans le système décimal par 10. Un tel système présente un inconvénient : il s'agit d'une augmentation trop importante des chiffres qui sont nécessaire d'écrire des nombres. Exemples de représentation Nombres décimaux sous forme binaire peut être vu dans le tableau suivant.

Les nombres décimaux sous forme binaire sont indiqués ci-dessous.

Des systèmes de nombres octaux et hexadécimaux sont également utilisés.

Cette mystérieuse arithmétique

Qu'est-ce que l'arithmétique, « deux fois deux » ou les secrets inconnus des nombres ? Comme on le voit, l'arithmétique peut paraître simple à première vue, mais sa facilité non évidente est trompeuse. Les enfants peuvent l’étudier avec Tante Owl du dessin animé « Baby Arithmetic », ou se plonger dans des recherches scientifiques approfondies d’ordre presque philosophique. Dans l’histoire, elle est passée du comptage des objets à l’adoration de la beauté des nombres. Une chose est sûre : avec l’établissement des postulats fondamentaux de l’arithmétique, toute la science peut reposer sur sa solide épaule.

Tout sur tout. Tome 5 Likoum Arkady

Qui a inventé l’arithmétique ?

Qui a inventé l’arithmétique ?

L'arithmétique est la science des nombres. Il traite de la signification des nombres, de leurs symboles et de la manière de les utiliser. Personne n’a « inventé » l’arithmétique. Cela est né des besoins humains. Au début, les gens fonctionnaient uniquement avec la notion de quantité, mais ne savaient pas encore compter. Par exemple, primitif on pourrait dire qu'il avait récolté suffisamment de baies. Le chasseur pouvait dire au premier coup d'œil qu'il avait perdu l'une des lances.

Mais le temps a passé et l'homme a commencé à avoir besoin de déterminer la quantité, c'est-à-dire en nombre. Les bergers devaient compter le nombre d'animaux. Les agriculteurs ont dû décompter le calendrier des travaux saisonniers. Par conséquent, il y a longtemps, personne ne sait quand les nombres et leurs noms ont été inventés. Nous appelons ces nombres entiers ou nombres naturels. Plus tard, l’homme a eu besoin de nombres inférieurs à un et de nombres compris entre des nombres entiers. C’est ainsi que les fractions sont nées.

Bien plus tard, d’autres numéros ont été utilisés. Certains d’entre eux étaient négatifs, par exemple moins deux ou moins sept. La numérotation est devenue la base de l'arithmétique, puis l'homme a appris à effectuer les quatre opérations arithmétiques de base : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.