Considérons le sujet de la transformation des expressions avec des pouvoirs, mais attardons-nous d'abord sur un certain nombre de transformations qui peuvent être effectuées avec n'importe quelle expression, y compris celles de puissance. Nous apprendrons à ouvrir des parenthèses, à ajouter des termes similaires, à travailler avec des bases et des exposants et à utiliser les propriétés des puissances.

Que sont les expressions de pouvoir ?

Dans les cours scolaires, peu de gens utilisent l'expression « expressions puissantes », mais ce terme se retrouve constamment dans les recueils de préparation à l'examen d'État unifié. Dans la plupart des cas, une expression désigne des expressions qui contiennent des degrés dans leurs entrées. C’est ce que nous refléterons dans notre définition.

Définition 1

Expression du pouvoir est une expression qui contient des degrés.

Donnons quelques exemples d'expressions de puissance, en commençant par une puissance à exposant naturel et en terminant par une puissance à exposant réel.

Les expressions de puissance les plus simples peuvent être considérées comme des puissances d'un nombre avec un exposant naturel : 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + une 2, X 3 − 1 , (une 2) 3 . Et aussi les puissances avec exposant nul : 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Et les puissances avec des puissances entières négatives : (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Il est un peu plus difficile de travailler avec un diplôme qui a des exposants rationnels et irrationnels : 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 une - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

L'indicateur peut être la variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ou le logarithme x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Nous avons abordé la question de savoir ce que sont les expressions de pouvoir. Commençons maintenant à les convertir.

Principaux types de transformations des expressions de pouvoir

Tout d’abord, nous examinerons les transformations identitaires de base des expressions qui peuvent être effectuées avec des expressions de pouvoir.

Exemple 1

Calculer la valeur d'une expression de puissance 2 3 (4 2 − 12).

Solution

Nous réaliserons toutes les transformations dans le respect de l'ordre des actions. Dans ce cas, nous commencerons par effectuer les actions entre parenthèses : nous remplacerons le degré par une valeur numérique et calculerons la différence de deux nombres. Nous avons 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Il ne nous reste plus qu'à remplacer le diplôme 2 3 sa signification 8 et calculer le produit 8 4 = 32. Voici notre réponse.

Répondre: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Exemple 2

Simplifier l'expression avec des puissances 3 une 4 b − 7 − 1 + 2 une 4 b − 7.

Solution

L'expression qui nous est donnée dans l'énoncé du problème contient des termes similaires que nous pouvons donner : 3 une 4 b − 7 − 1 + 2 une 4 b − 7 = 5 une 4 b − 7 − 1.

Répondre: 3 · une 4 · b − 7 − 1 + 2 · une 4 · b − 7 = 5 · une 4 · b − 7 − 1 .

Exemple 3

Exprimez l'expression avec les puissances 9 - b 3 · π - 1 2 sous forme de produit.

Solution

Imaginons le chiffre 9 comme une puissance 3 2 et appliquez la formule de multiplication abrégée :

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Répondre: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Passons maintenant à l’analyse des transformations identitaires applicables spécifiquement aux expressions de pouvoir.

Travailler avec la base et l'exposant

Le degré dans la base ou l'exposant peut contenir des nombres, des variables et certaines expressions. Par exemple, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Et . Travailler avec de tels enregistrements est difficile. Il est beaucoup plus simple de remplacer l’expression en base du degré ou l’expression en exposant par une expression identiquement égale.

Les transformations de degré et d'exposant s'effectuent selon les règles que nous connaissons séparément les unes des autres. Le plus important est que la transformation aboutisse à une expression identique à l’originale.

Le but des transformations est de simplifier l'expression originale ou d'obtenir une solution au problème. Par exemple, dans l’exemple que nous avons donné ci-dessus, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 vous pouvez suivre les étapes pour accéder au diplôme 4 , 1 1 , 3 . En ouvrant les parenthèses, on peut présenter des termes similaires à la base de la puissance (une · (une + 1) − une 2) 2 · (x + 1) et obtenir une expression de puissance d'une forme plus simple une 2 (x + 1).

Utilisation des propriétés du diplôme

Les propriétés des puissances, écrites sous forme d'égalités, sont l'un des principaux outils de transformation des expressions avec puissances. Nous en présentons ici les principaux, en tenant compte du fait que un Et b sont des nombres positifs, et r Et s- nombres réels arbitraires :

Définition 2

• une r · une s = une r + s ;
• une r : une s = une r − s ;
• (une · b) r = une r · b r ;
• (une : b) r = une r : br ;
• (une r) s = une r · s .

Dans les cas où nous avons affaire à des exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent être beaucoup moins strictes. Ainsi, par exemple, si l’on considère l’égalité une m · une n = une m + n, Où m Et n sont des nombres naturels, alors ce sera vrai pour toutes les valeurs de a, à la fois positives et négatives, ainsi que pour une = 0.

Les propriétés des puissances peuvent être utilisées sans restrictions dans les cas où les bases des puissances sont positives ou contiennent des variables dont la plage de valeurs admissibles est telle que les bases ne prennent que des valeurs positives. En effet, dans le programme scolaire de mathématiques, la tâche de l'élève est de sélectionner une propriété appropriée et de l'appliquer correctement.

Lorsque vous vous préparez à entrer dans les universités, vous pouvez rencontrer des problèmes dans lesquels une application inexacte des propriétés entraînera un rétrécissement du DL et d'autres difficultés à résoudre. Dans cette section, nous examinerons seulement deux de ces cas. Plus d'informations sur le sujet peuvent être trouvées dans la rubrique « Conversion d'expressions à l'aide de propriétés de puissances ».

Exemple 4

Imaginez l'expression une 2 , 5 (une 2) − 3 : une − 5 , 5 sous la forme d'un pouvoir avec une base un.

Solution

Tout d'abord, nous utilisons la propriété d'exponentiation et transformons le deuxième facteur en l'utilisant (une 2) − 3. Ensuite on utilise les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base :

une 2 , 5 · une − 6 : une − 5 , 5 = une 2 , 5 − 6 : une − 5 , 5 = une − 3 , 5 : une − 5 , 5 = une − 3 , 5 − (− 5 , 5) = un 2 .

Répondre: une 2, 5 · (une 2) − 3 : une − 5, 5 = une 2.

La transformation des expressions de pouvoir selon la propriété des pouvoirs peut se faire aussi bien de gauche à droite que dans le sens inverse.

Exemple 5

Trouvez la valeur de l'expression de puissance 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Solution

Si on applique l'égalité (a · b) r = a r · b r, de droite à gauche, on obtient un produit de la forme 3 · 7 1 3 · 21 2 3 puis 21 1 3 · 21 2 3 . Additionnons les exposants en multipliant des puissances avec les mêmes bases : 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Il existe une autre façon de réaliser la transformation :

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Répondre: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemple 6

Étant donné une expression de pouvoir une 1, 5 − une 0, 5 − 6, entrez une nouvelle variable t = une 0,5.

Solution

Imaginons le diplôme un 1, 5 Comment une 0,5 3. Utiliser la propriété des degrés en degrés (une r) s = une r · s de droite à gauche et on obtient (a 0, 5) 3 : a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Vous pouvez facilement introduire une nouvelle variable dans l'expression résultante t = une 0,5: on a t 3 − t − 6.

Répondre: t 3 - t - 6 .

Conversion de fractions contenant des puissances

Nous avons généralement affaire à deux versions d'expressions de puissance avec des fractions : l'expression représente une fraction avec une puissance ou contient une telle fraction. Toutes les transformations de base des fractions sont applicables à de telles expressions sans restrictions. Ils peuvent être réduits, ramenés à un nouveau dénominateur ou travaillés séparément avec le numérateur et le dénominateur. Illustrons cela avec des exemples.

Exemple 7

Simplifiez l'expression de puissance 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Solution

Nous avons affaire à une fraction, nous allons donc effectuer des transformations à la fois au numérateur et au dénominateur :

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Placez un signe moins devant la fraction pour changer le signe du dénominateur : 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Répondre: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Les fractions contenant des puissances sont réduites à un nouveau dénominateur de la même manière que les fractions rationnelles. Pour ce faire, vous devez trouver un facteur supplémentaire et multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celui-ci. Il est nécessaire de sélectionner un facteur supplémentaire de manière à ce qu'il ne vienne pas à zéro pour les valeurs des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple 8

Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur : a) a + 1 a 0, 7 au dénominateur un, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 au dénominateur x + 8 · y 1 2 .

Solution

a) Sélectionnons un facteur qui nous permettra de réduire à un nouveau dénominateur. une 0, 7 une 0, 3 = une 0, 7 + 0, 3 = une, par conséquent, comme facteur supplémentaire, nous prendrons un 0 , 3. La plage des valeurs admissibles de la variable a comprend l'ensemble de tous les nombres réels positifs. Diplôme dans ce domaine un 0 , 3 ne va pas à zéro.

Multiplions le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un 0 , 3:

une + 1 une 0, 7 = une + 1 une 0, 3 une 0, 7 une 0, 3 = une + 1 une 0, 3 une

b) Faisons attention au dénominateur :

x 2 3 - 2 x 1 3 oui 1 6 + 4 oui 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 oui 1 6 + 2 oui 1 6 2

Multiplions cette expression par x 1 3 + 2 · y 1 6, nous obtenons la somme des cubes x 1 3 et 2 · y 1 6, c'est-à-dire x + 8 · oui 1 2 . C'est notre nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction originale.

C'est ainsi que nous avons trouvé le facteur supplémentaire x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sur la plage de valeurs admissibles des variables X Et oui l'expression x 1 3 + 2 y 1 6 ne disparaît pas, on peut donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celui-ci :
1 x 2 3 - 2 x 1 3 oui 1 6 + 4 oui 1 3 = = x 1 3 + 2 oui 1 6 x 1 3 + 2 oui 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 oui 1 6 + 4 oui 1 3 = = x 1 3 + 2 oui 1 6 x 1 3 3 + 2 oui 1 6 3 = x 1 3 + 2 oui 1 6 x + 8 oui 1 2

Répondre: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · oui 1 2 .

Exemple 9

Réduisez la fraction : a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Solution

a) Nous utilisons le plus grand dénominateur commun (PGCD), grâce auquel nous pouvons réduire le numérateur et le dénominateur. Pour les nombres 30 et 45, c'est 15. Nous pouvons également procéder à une réduction de x0,5+1 et sur x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

On a:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Ici la présence de facteurs identiques n'est pas évidente. Vous devrez effectuer quelques transformations afin d'obtenir les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Pour ce faire, nous développons le dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés :

une 1 4 - b 1 4 une 1 2 - b 1 2 = une 1 4 - b 1 4 une 1 4 2 - b 1 2 2 = = une 1 4 - b 1 4 une 1 4 + b 1 4 une 1 4 - b 1 4 = 1 une 1 4 + b 1 4

Répondre: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) une 1 4 - b 1 4 une 1 2 - b 1 2 = 1 une 1 4 + b 1 4 .

Les opérations de base avec des fractions incluent la conversion de fractions en un nouveau dénominateur et la réduction de fractions. Les deux actions sont réalisées dans le respect d'un certain nombre de règles. Lors de l'addition et de la soustraction de fractions, les fractions sont d'abord réduites à un dénominateur commun, après quoi des opérations (addition ou soustraction) sont effectuées avec les numérateurs. Le dénominateur reste le même. Le résultat de nos actions est une nouvelle fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs.

Exemple 10

Faites les étapes x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Solution

Commençons par soustraire les fractions entre parenthèses. Ramenons-les à un dénominateur commun :

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Soustrayons les numérateurs :

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Maintenant, nous multiplions les fractions :

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Réduisons d'une puissance x1 2, nous obtenons 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

De plus, vous pouvez simplifier l'expression de la puissance au dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés : carrés : 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Répondre: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemple 11

Simplifiez l'expression de la loi de puissance x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Solution

On peut réduire la fraction de (x 2 , 7 + 1) 2. On obtient la fraction x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Continuons à transformer les puissances de x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Vous pouvez maintenant utiliser la propriété de diviser des puissances avec les mêmes bases : x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

On passe du dernier produit à la fraction x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Répondre: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Dans la plupart des cas, il est plus pratique de transférer les facteurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur et inversement, en changeant le signe de l'exposant. Cette action vous permet de simplifier la décision ultérieure. Donnons un exemple : l'expression de puissance (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 peut être remplacée par x 3 · (x + 1) 0, 2.

Conversion d'expressions avec des racines et des puissances

Dans les problèmes, il existe des expressions de puissance qui contiennent non seulement des puissances avec des exposants fractionnaires, mais aussi des racines. Il est conseillé de réduire ces expressions uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Il est préférable d’obtenir des diplômes car il est plus facile de travailler avec eux. Cette transition est particulièrement préférable lorsque l'ODZ des variables de l'expression originale permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin d'accéder au module ou de diviser l'ODZ en plusieurs intervalles.

Exemple 12

Exprimez l'expression x 1 9 · x · x 3 6 sous forme de puissance.

Solution

Plage de valeurs de variables autorisées X est défini par deux inégalités x ≥ 0 et x x 3 ≥ 0, qui définissent l'ensemble [ 0 , + ∞) .

Sur ce set on a le droit de passer des racines aux puissances :

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

En utilisant les propriétés des puissances, nous simplifions l’expression de puissance résultante.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Répondre: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Conversion de puissances avec des variables dans l'exposant

Ces transformations sont assez faciles à réaliser si l’on utilise correctement les propriétés du diplôme. Par exemple, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

On peut remplacer par le produit de puissances dont les exposants sont la somme d'une variable et d'un nombre. Sur le côté gauche, cela peut être fait avec le premier et le dernier termes du côté gauche de l'expression :

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Maintenant divisons les deux côtés de l'égalité par 7 2 fois. Cette expression pour la variable x ne prend que des valeurs positives :

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Réduisons les fractions avec des puissances, nous obtenons : 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Enfin, le rapport des puissances avec les mêmes exposants est remplacé par des puissances de rapports, ce qui donne l'équation 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, ce qui équivaut à 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Introduisons une nouvelle variable t = 5 7 x, qui réduit la solution de l'équation exponentielle originale à la solution de l'équation quadratique 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Conversion d'expressions avec des puissances et des logarithmes

Les expressions contenant des puissances et des logarithmes se retrouvent également dans les problèmes. Un exemple de telles expressions est : 1 4 1 - 5 · log 2 3 ou log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. La transformation de telles expressions est effectuée en utilisant les approches et les propriétés des logarithmes évoquées ci-dessus, que nous avons discutées en détail dans le thème « Transformation des expressions logarithmiques ».

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Sujet: " Conversion d'expressions contenant des puissances avec un exposant fractionnaire"

"Laissez quelqu'un essayer d'éliminer les diplômes des mathématiques, et il verra que sans eux, vous n'irez pas loin." (M.V. Lomonossov)

Objectifs de la leçon:

éducatif: résumer et systématiser les connaissances des étudiants sur le thème « Diplôme avec un indicateur rationnel », surveiller le niveau de maîtrise de la matière, éliminer les lacunes dans les connaissances et les compétences des étudiants ;

développement: développer les capacités de maîtrise de soi des élèves, créer une atmosphère d’intérêt pour chaque élève dans son travail, développer l’activité cognitive des élèves ;

éducatif: cultiver l'intérêt pour le sujet, pour l'histoire des mathématiques.

Type de cours : cours de généralisation et de systématisation des connaissances

Matériel : fiches d'évaluation, fiches avec tâches, décodeurs, mots croisés pour chaque élève.

Préparation préliminaire : la classe est divisée en groupes, dans chaque groupe l'animateur est un consultant.

PENDANT LES COURS

I. Moment organisationnel.

Professeur: Nous avons terminé l'étude du sujet « Une puissance avec un exposant rationnel et ses propriétés ». Votre tâche dans cette leçon est de montrer comment vous maîtrisez la matière que vous avez étudiée et comment vous pouvez appliquer les connaissances acquises pour résoudre des problèmes spécifiques. Chacun de vous a une feuille de pointage sur son bureau. Vous y entrerez votre évaluation pour chaque étape de la leçon. A la fin de la leçon, vous donnerez une note moyenne pour la leçon.

Document d'évaluation

	Mots croisés	Réchauffer	Travailler dans des cahiers	Équations	Vérifiez-vous (s\r)

II. Vérification des devoirs.

Vérification par les pairs, un crayon à la main, les réponses sont lues par les élèves.

III. Actualisation des connaissances des étudiants.

Professeur: Le célèbre écrivain français Anatole France a dit un jour : « Apprendre doit être amusant... Pour absorber la connaissance, il faut l'absorber avec appétit. »

Répétons les informations théoriques nécessaires tout en résolvant les mots croisés.

Horizontalement :

1. L'action par laquelle la valeur du degré est calculée (construction).

2. Produit constitué de facteurs identiques (degré).

3. L'action des exposants lors de l'élévation d'une puissance à une puissance (travail).

4. L'action des degrés à laquelle les exposants des degrés sont soustraits (division).

Verticalement:

5. Nombre de facteurs tous identiques (indice).

6. Diplôme avec indice zéro (unité).

7. Multiplicateur répétitif (base).

8. Valeur de 10 5 : (2 3 5 5) (quatre).

9. Un exposant qui n'est généralement pas écrit (unité).

IV. Échauffement mathématique.

Professeur. Répétons la définition d'un degré avec un exposant rationnel et ses propriétés, et effectuons les tâches suivantes.

1. Présenter l'expression x 22 comme un produit de deux puissances de base x, si l'un des facteurs est égal à : x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Simplifiez :

b) y 5\8 y 1\4 : y 1\8 = y

c) de 1,4 à -0,3 à 2,9

3. Calculez et composez le mot à l'aide d'un décodeur.

Après avoir terminé cette tâche, vous découvrirez le nom du mathématicien allemand qui a introduit le terme « exposant ».

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Mot: 1234567 (Stifel)

V. Travail écrit dans des cahiers (les réponses sont ouvertes au tableau) .

Tâches:

1. Simplifiez l'expression :

(x-2) : (x 1\2 -2 1\2) (y-3) : (y 1\2 – 3 1\2) (x-1) : (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Trouvez la valeur de l'expression :

(x 3\8 x 1\4 :) 4 à x=81

VI. Travaillez en groupe.

Exercice. Résolvez des équations et formez des mots à l'aide d'un décodeur.

Carte n°1

Mot: 1234567 (Diophante)

Carte n°2

Carte n°3

Mot: 123451 (Newton)

Décodeur

Professeur. Tous ces scientifiques ont contribué au développement de la notion de « diplôme ».

VII. Informations historiques sur l'évolution de la notion de diplôme (message étudiant).

Le concept d'un diplôme avec un indicateur naturel s'est formé parmi les peuples anciens. Les nombres de carrés et de cubes ont été utilisés pour calculer les surfaces et les volumes. Les pouvoirs de certains nombres ont été utilisés pour résoudre certains problèmes par les scientifiques de l’Égypte ancienne et de Babylone.

Au IIIe siècle, le livre du scientifique grec Diophantus « Arithmétique » a été publié, qui a jeté les bases de l'introduction des symboles alphabétiques. Diophante introduit des symboles pour les six premiers pouvoirs de l'inconnu et leurs réciproques. Dans ce livre, un carré est désigné par un signe avec un indice r ; cube – signe k d'indice r, etc.

De la pratique consistant à résoudre des problèmes algébriques plus complexes et à opérer avec des degrés, le besoin est apparu de généraliser le concept de degré et de l'élargir en introduisant des nombres zéro, négatifs et fractionnaires comme exposant. Les mathématiciens ont eu l'idée de généraliser progressivement la notion de degré à un degré avec un exposant non naturel.

Les exposants fractionnaires et les règles les plus simples pour exploiter les puissances avec des exposants fractionnaires se trouvent dans le mathématicien français Nicolas Oresme (1323-1382) dans son ouvrage « Algorithme des proportions ».

L'égalité, a 0 = 1 (pour et non égal à 0) a été utilisée dans ses travaux au début du XVe siècle par le scientifique de Samarcande Giyasaddin Kashi Dzhemshid. Indépendamment, l'indicateur zéro a été introduit par Nikolai Schuke au XVe siècle. On sait que Nicolas Shuquet (1445-1500) considérait les degrés à exposants négatifs et nuls.

Plus tard, les exposants fractionnaires et négatifs se trouvent dans « Complete Arithmetic » (1544) du mathématicien allemand M. Stiefel et dans Simon Stevin. Simon Stevin a suggéré qu'un 1/n est censé être une racine.

Le mathématicien allemand M. Stiefel (1487-1567) a donné la définition de a 0 = 1 at et a introduit le nom d'exposant (il s'agit d'une traduction littérale de l'exposant allemand). Le mot allemand potenzieren signifie élever à une puissance.

A la fin du XVIe siècle, François Viète introduit des lettres pour désigner non seulement les variables, mais aussi leurs coefficients. Il a utilisé les abréviations : N, Q, C - pour les premier, deuxième et troisième degrés. Mais les notations modernes (comme le 4, le 5) ont été introduites au XVIIe siècle par René Descartes.

Les définitions et notations modernes des puissances à exposants nuls, négatifs et fractionnaires proviennent des travaux des mathématiciens anglais John Wallis (1616-1703) et Isaac Newton (1643-1727).

L'opportunité d'introduire des exposants zéro, négatifs et fractionnaires ainsi que des symboles modernes a été écrite pour la première fois en détail en 1665 par le mathématicien anglais John Wallis. Son travail a été complété par Isaac Newton, qui a commencé à appliquer systématiquement de nouveaux symboles, après quoi ils sont entrés dans un usage général.

L'introduction d'un degré avec un exposant rationnel est l'un des nombreux exemples de généralisation des concepts d'action mathématique. Un degré à exposant nul, négatif et fractionnaire est défini de telle manière que les mêmes règles d'action lui sont appliquées que pour un degré à exposant naturel, c'est-à-dire de sorte que les propriétés fondamentales du concept original de diplôme soient préservées.

La nouvelle définition d'un degré avec un exposant rationnel ne contredit pas l'ancienne définition d'un degré avec un exposant naturel, c'est-à-dire que le sens de la nouvelle définition d'un degré avec un exposant rationnel reste le même pour le cas particulier d'un degré avec un exposant naturel. Ce principe, observé lors de la généralisation de concepts mathématiques, est appelé principe de permanence (préservation de la constance). Elle a été exprimée sous une forme imparfaite en 1830 par le mathématicien anglais J. Peacock, et elle a été pleinement et clairement établie par le mathématicien allemand G. Hankel en 1867.

VIII. Vérifie toi-même.

Travail autonome à l'aide de cartes (les réponses sont révélées au tableau) .

Option 1

1. Calculez : (1 point)

(une + 3a 1\2) : (une 1\2 +3)

Option 2

1. Calculez : (1 point)

2. Simplifiez l'expression : 1 point chacun

une) x 1,6 x 0,4 b)(x 3\8) -5\6

3. Résolvez l'équation : (2 points)

4. Simplifiez l'expression : (2 points)

5. Trouvez la valeur de l'expression : (3 points)

IX. Résumer la leçon.

De quelles formules et règles avez-vous retenu en classe ?

Analysez votre travail en classe.

Le travail des étudiants en classe est évalué.

X. Devoirs. K : R IV (répétition) art. 156-157 n°4 (a-c), n°7 (a-c),

Supplémentaire : n°16

Application

Document d'évaluation

Nom/prénom/étudiant_____________________________________________________________

	Mots croisés	Réchauffer	Travailler dans des cahiers	Équations	Vérifiez-vous (s\r)

Carte n°1

1) X1\3 =4 ; 2) y -1 =3\5 ; 3) une 1\2 = 2\3 ; 4) x -0,5 x 1,5 = 1 ; 5) oui 1\3 =2 ; 6) un 2\7 un 12\7 = 25 ; 7) une 1\2 : une = 1\3

Décodeur

Carte n°2

1) X1\3 =4 ; 2) oui -1 = 3 ; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) oui 1\3 =2 ; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) une 1\2 : une = 1\3

Décodeur

Carte n°3

1) un 2\7 un 12\7 = 25 ; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8 ; 4) une 1\2 : une = 1\3 ; 5) et 1\2 = 2\3

Décodeur

Carte n°1

1) X1\3 =4 ; 2) y -1 =3\5 ; 3) une 1\2 = 2\3 ; 4) x -0,5 x 1,5 = 1 ; 5) oui 1\3 =2 ; 6) un 2\7 un 12\7 = 25 ; 7) une 1\2 : une = 1\3

Décodeur

Carte n°2

1) X1\3 =4 ; 2) oui -1 = 3 ; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) oui 1\3 =2 ; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) une 1\2 : une = 1\3

Décodeur

Carte n°3

1) un 2\7 un 12\7 = 25 ; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8 ; 4) une 1\2 : une = 1\3 ; 5) et 1\2 = 2\3

Décodeur

Carte n°1

1) X1\3 =4 ; 2) y -1 =3\5 ; 3) une 1\2 = 2\3 ; 4) x -0,5 x 1,5 = 1 ; 5) oui 1\3 =2 ; 6) un 2\7 un 12\7 = 25 ; 7) une 1\2 : une = 1\3

Décodeur

Carte n°2

1) X1\3 =4 ; 2) oui -1 = 3 ; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) oui 1\3 =2 ; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) une 1\2 : une = 1\3

Décodeur

Carte n°3

1) un 2\7 un 12\7 = 25 ; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8 ; 4) une 1\2 : une = 1\3 ; 5) et 1\2 = 2\3

Décodeur

Option 1 1. Calculez : (1 point) 2. Simplifiez l'expression : 1 point chacun une) x 1\2 x 3\4 b)(x -5\6) -2\3 c) x -1\3 : x 3\4 d) (0,04x 7\8) -1\2 3. Résolvez l'équation : (2 points) 4. Simplifiez l'expression : (2 points) (une + 3a 1\2) : (une 1\2 +3) 5. Trouvez la valeur de l'expression : (3 points) (U 1\2 -2) -1 - (U 1\2 +2) -1 à y = 18

Option 2 1. Calculez : (1 point) 2. Simplifiez l'expression : 1 point chacun une) x 1,6 x 0,4 b)(x 3\8) -5\6 c) x 3\7 : x -2\3 d) (0,008x -6\7) -1\3 3. Résolvez l'équation : (2 points) 4. Simplifiez l'expression : (2 points) (à 1,5 s - soleil 1,5) : (à 0,5 - s 0,5) 5. Trouvez la valeur de l'expression : (3 points) (x 3\2 + x 1\2) : (x 3\2 - x 1\2) à x = 0,75

Sections: Mathématiques

Classe: 9

OBJECTIF : Consolider et améliorer les compétences d'application des propriétés d'un diplôme à exposant rationnel ; développer des compétences pour effectuer des transformations simples d'expressions contenant des puissances avec un exposant fractionnaire.

TYPE DE LEÇON : cours de consolidation et d'application des connaissances sur ce sujet.

MANUEL : Algèbre 9 éd. S.A. Téliakovsky.

PENDANT LES COURS

Discours d'ouverture du professeur

"Les gens qui ne connaissent pas l'algèbre ne peuvent pas imaginer les choses étonnantes qui peuvent être réalisées... avec l'aide de cette science." G.V. Leibniz

L'algèbre nous ouvre les portes du complexe de laboratoires "Un diplôme avec un exposant rationnel."

1. Enquête frontale

1) Donner la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire.

2) Pour quel exposant fractionnaire un degré de base égale à zéro est-il défini ?

3) Le degré sera-t-il déterminé avec un exposant fractionnaire pour une base négative ?

Devoir : Imaginez le nombre 64 comme une puissance de base - 2 ; 2 ; 8.

Le cube de quel nombre vaut 64 ?

Existe-t-il une autre façon de représenter le nombre 64 comme une puissance avec un exposant rationnel ?

2. Travaillez en groupe

1 groupe. Montrer que les expressions (-2) 3/4 ; 0 -2 n'a pas de sens.

2ème groupe. Imaginez une puissance avec un exposant fractionnaire sous la forme d'une racine : 2 2/3 ; 3 -1|3 ; -en 1,5 ; 5a 1/2 ; (x-y) 2/3 .

3ème groupe. Présenté sous forme d'une puissance avec un exposant fractionnaire : v3 ; 8 va 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3 ; vvv.

3. Passons au laboratoire « Action sur les puissances »

Les invités fréquents du laboratoire sont des astronomes. Ils apportent leurs « nombres astronomiques », les soumettent à un traitement algébrique et obtiennent des résultats utiles

Par exemple, la distance entre la Terre et la nébuleuse d'Andromède est exprimée par le nombre

95000000000000000000 = 95 10 18 km ;

c'est appelé quintillion.

La masse du soleil en grammes est exprimée par le nombre 1983 10 30 g - nonnalion.

De plus, le laboratoire est confronté à d'autres tâches sérieuses. Par exemple, le problème du calcul d’expressions telles que :

UN) ; b) ; V) .

Le personnel du laboratoire effectue ces calculs de la manière la plus pratique.

Vous pouvez vous connecter au travail. Pour ce faire, répétons les propriétés des puissances à exposant rationnel :

Calculez ou simplifiez maintenant l'expression en utilisant les propriétés des puissances avec des exposants rationnels :

1er groupe :

Groupe 2 :

Groupe 3 :

Vérifier : une personne du groupe au tableau.

4. Tâche de comparaison

Comment comparer les expressions 2 100 et 10 30 en utilisant les propriétés des puissances ?

Répondre:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Et maintenant je vous invite au laboratoire « Recherche de diplômes ».

Quelles transformations peut-on opérer sur les puissances ?

1) Imaginez le nombre 3 comme une puissance d’exposant 2 ; 3 ; -1.

2) Comment factoriser les expressions a-c ? dans+dans 1/2 ; a-2a 1/2 ; 2 est 2 ?

3) Réduire la fraction suivie d'une vérification mutuelle :

4) Expliquez les transformations effectuées et trouvez le sens de l'expression :

6. Travailler avec le manuel. N° 611(g, d, f).

Groupe 1 : (d).

Groupe 2 : (e).

Groupe 3 : (f).

N° 629 (a, b).

Examen par les pairs.

7. Nous réalisons un atelier (travail indépendant).

Expressions données :

Lors de la réduction, quelles fractions sont des formules de multiplication abrégées et en mettant le facteur commun entre parenthèses ?

Groupe 1 : n°1, 2, 3.

Groupe 2 : n°4, 5, 6.

Groupe 3 : n°7, 8, 9.

Lorsque vous terminez la tâche, vous pouvez utiliser des recommandations.

1. Si l'exemple de notation contient à la fois des puissances avec un exposant rationnel et des racines du nième degré, alors écrivez les racines du nième degré sous la forme de puissances avec un exposant rationnel.
2. Essayez de simplifier l'expression sur laquelle les actions sont effectuées : ouvrir des parenthèses, en utilisant la formule de multiplication abrégée, passer d'une puissance avec un exposant négatif à une expression contenant des puissances avec un exposant positif.
3. Déterminez l’ordre dans lequel les actions doivent être effectuées.
4. Effectuez les étapes dans l'ordre dans lequel elles sont effectuées.

L'enseignant évalue après avoir récupéré les cahiers.

8. Devoirs : n° 624, 623.

Établissement d'enseignement municipal d'État

école secondaire de base n°25

Leçon d'algèbre

Sujet:

« Conversion d'expressions contenant des puissances avec des exposants fractionnaires"

Développé par:

,

professeur de mathématiques

plus haut àcatégorie de qualification

Nodal

2013

Sujet de la leçon: Conversion d'expressions contenant des exposants avec des exposants fractionnaires

Le but de la leçon:

1. Développement ultérieur des compétences, des connaissances et des compétences dans la conversion d'expressions contenant des degrés avec des exposants fractionnaires

2. Développement de la capacité à trouver des erreurs, développement de la pensée, de la créativité, de la parole, des compétences informatiques

3. Favoriser l'indépendance, l'intérêt pour le sujet, l'attention, la précision.

Coût total de possession : tableau magnétique, fiches d'examens, tableaux, fiches individuelles, les écoliers disposent sur la table de feuilles vierges signées pour le travail individuel, d'une grille de mots croisés, de tables d'échauffement mathématique, d'un projecteur multimédia.

Type de cours: sécuriser ZUN.

Plan de cours au fil du temps

1. Aspects organisationnels (2 min)

2. Vérification des devoirs (5 min)

3. Mots croisés (3 min)

4. Échauffement mathématique (5 min)

5. Résoudre des exercices de renforcement frontal (7 min)

6. Travail individuel (10 min)

7. Solution d'exercices de répétition (5 min)

8. Résumé de la leçon (2 min)

9. Devoir (1 min)

Pendant les cours

1) Vérification des devoirs sous forme d'évaluation par les pairs . Les bons élèves vérifient les cahiers des enfants faibles. Et les gars faibles vérifient avec les plus forts à l'aide d'un exemple de carte de contrôle. Les devoirs sont donnés en deux versions.

je option la tâche n'est pas difficile

II option la tâche est difficile

À la suite du contrôle, les gars soulignent les erreurs avec un simple crayon et donnent une note. Je vérifie enfin le travail après que les enfants ont rendu leurs cahiers après les cours. Je demande aux gars les résultats de leur test et mets les notes pour ce type de travail dans mon tableau récapitulatif.

2) Pour tester le matériel théorique, des mots croisés sont proposés.

Verticalement:

1. Propriété de multiplication utilisée lors de la multiplication d'un monôme par un polynôme ?

2. L'effet des exposants lors de l'élévation d'une puissance à une puissance ?

3. Un diplôme à indice zéro ?

4. Un produit composé de facteurs identiques ?

Horizontalement :

5. Racine n – oh degré d'un nombre non négatif ?

6. L'action des exposants lors de la multiplication des puissances ?

7. L'effet des exposants dans la division des puissances ?

8. Le nombre de facteurs tous identiques ?

3) Échauffement mathématique

a) effectuez le calcul et utilisez le chiffre pour lire le mot caché dans le problème.

Il y a une table au tableau devant vous. Le tableau de la colonne 1 contient des exemples qui doivent être calculés.

Clé de la table

491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3

7/12

Et écris la réponse dans la colonne II, et dans la colonne III mettez la lettre correspondant à cette réponse.

Enseignant : Donc, le mot crypté est « diplôme ». Dans la tâche suivante, nous travaillons avec les 2ème et 3ème degrés

b) Jeu « Assurez-vous de ne pas vous tromper »

Au lieu de points, mettez un chiffre

une) x=(x...)2; b) une3/2 = (une1/2)… ; c) une=(une1/3)…; d) 5... = (51/4)2 ; e) 34/3=(34/9)… ; e) 74/5 = (7...)2 ; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Trouvons l'erreur :

А1/4 – 2à1/2 + 1 = (à1/

Alors, les gars, que fallait-il utiliser pour accomplir cette tâche :

Propriété des degrés : lorsqu'on élève un degré à une puissance, les exposants sont multipliés ;

4) Commençons maintenant par le travail écrit frontal. , en utilisant les résultats de travaux antérieurs. Ouvrez les cahiers et notez la date et le sujet de la leçon.

№ 000

une) une – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

N° 000 (a, c, d, e)

UN ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – une = 22 – (une1/2)2 = (2 – une1/2)*(2+une1/2)

N° 000 (a, d, f)

une) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Grade

5) Travaillez sur des cartes individuelles en utilisant quatre options sur des feuilles séparées

Les tâches plus ou moins difficiles sont réalisées sans aucune demande de l'enseignant.

Je vérifie immédiatement le travail et mets les notes sur mon tableau et sur les feuilles des gars.

N° 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3 + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Travailler sur des cartes individuelles avec différents degrés de complexité. Dans certains exercices, il y a des recommandations de l'enseignant, car le matériel est compliqué et il est difficile pour les enfants faibles de faire face au travail.

Quatre options sont également disponibles. L'évaluation a lieu immédiatement. J'ai mis toutes les notes dans une feuille de calcul.

Problème n° de la collection

Le professeur pose des questions :

1. Que faut-il trouver dans le problème ?

2. Que devez-vous savoir à ce sujet ?

3. Comment exprimer le temps de 1 piéton et de 2 piétons ?

4. Comparez les temps des piétons 1 et 2 selon les conditions du problème et créez une équation.

La solution du problème :

Soit x (km/h) la vitesse d'un piéton

X +1 (km/h) – vitesse de 2 piétons

4/х (h) – temps piéton

4/(x +1) (h) – temps du deuxième piéton

Selon les conditions du problème 4/x >4/ (x +1) pendant 12 minutes

12 min = 12 /60 h = 1/5 h

Faisons une équation

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ : 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – vitesse de 1 piéton

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – ne correspond pas au sens du problème, puisque x>0

Réponse : 5 km/h – vitesse de 2 piétons

9) Résumé de la leçon: Donc, les gars, aujourd'hui, dans la leçon, nous avons consolidé les connaissances, les compétences et les compétences nécessaires pour transformer des expressions contenant des degrés, appliqué des formules de multiplication abrégées, retiré le facteur commun des parenthèses et répété le matériel couvert. J'en souligne les avantages et les inconvénients.

Résumer la leçon dans un tableau.

		Mots croisés	Tapis. réchauffer	Devant. Emploi	Indiana travail K-1	Indiana travail K-2

10) J'annonce les notes. Devoir

Cartes individuelles K – 1 et K – 2

Je change B – 1 et B – 2 ; B – 3 et B – 4, puisqu’ils sont équivalents

Applications à la leçon.

1) Cartes pour les devoirs

1. simplifier

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. présenter comme une somme

une) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. retirer le multiplicateur global

c) 151/3 +201/3

1. simplifier

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. présenter comme une somme

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Retirez le facteur commun des parenthèses

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) carte de contrôle pour B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Cartes pour le premier travail individuel

a) une – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) une – et, une ≥ 0

1. Factoriser comme une différence de carrés

a) a1/2 – b1/2

2. Factoriser comme une différence ou une somme de cubes

a) c1/3 + d1/3

1. Factoriser comme une différence de carrés

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Factoriser comme une différence ou une somme de cubes

4) fiches pour le deuxième travail individuel

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Instruction : x1/2, supprimer les numérateurs des parenthèses

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

Remarque : a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Réduire la fraction

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Instruction : retirer 21/4 des supports

b) (a – c)/(5â1/2 – 5â1/2)

Remarque : a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Option 3

1. Réduisez la fraction

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Instruction : placer x1/4 hors des supports

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Option 4

Réduire la fraction

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Expressions, conversion d'expressions

Expressions de pouvoir (expressions avec pouvoirs) et leur transformation

Dans cet article, nous parlerons de la conversion d'expressions avec des puissances. Tout d’abord, nous nous concentrerons sur les transformations effectuées avec des expressions de toute sorte, y compris des expressions de pouvoir, telles que l’ouverture de parenthèses et l’apport de termes similaires. Et puis nous analyserons les transformations inhérentes spécifiquement aux expressions avec degrés : travail avec la base et l'exposant, utilisation des propriétés des degrés, etc.

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Que sont les expressions de pouvoir ?

Le terme « expressions de pouvoir » n'apparaît pratiquement pas dans les manuels scolaires de mathématiques, mais il apparaît assez souvent dans les recueils de problèmes, notamment ceux destinés à la préparation à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié, par exemple. Après avoir analysé les tâches dans lesquelles il est nécessaire d'effectuer des actions avec des expressions de pouvoir, il devient clair que les expressions de pouvoir sont comprises comme des expressions contenant des pouvoirs dans leurs entrées. Par conséquent, vous pouvez accepter la définition suivante pour vous-même :

Définition.

Expressions de pouvoir sont des expressions contenant des degrés.

Donne moi exemples d'expressions de pouvoir. De plus, nous les présenterons selon la manière dont se produit l'évolution des vues d'un degré à exposant naturel à un degré à exposant réel.

Comme on le sait, on se familiarise d'abord avec la puissance d'un nombre avec un exposant naturel ; à ce stade, les premières expressions de puissance les plus simples du type 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 apparaissent −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Un peu plus tard, la puissance d'un nombre à exposant entier est étudiée, ce qui conduit à l'apparition d'expressions de puissance à puissances entières négatives, comme les suivantes : 3 −2, , une −2 +2 b −3 +c 2 .

Au lycée, ils retournent aux diplômes. Là, un degré avec un exposant rationnel est introduit, ce qui entraîne l'apparition des expressions de puissance correspondantes : , , et ainsi de suite. Enfin, les degrés avec des exposants irrationnels et les expressions les contenant sont considérés : , .

Le sujet ne se limite pas aux expressions de puissance répertoriées : en outre, la variable pénètre dans l'exposant et, par exemple, les expressions suivantes apparaissent : 2 x 2 +1 ou . Et après avoir pris connaissance de , des expressions avec des puissances et des logarithmes commencent à apparaître, par exemple x 2·lgx −5·x lgx.

Nous avons donc abordé la question de savoir ce que représentent les expressions de pouvoir. Nous apprendrons ensuite à les transformer.

Principaux types de transformations des expressions de pouvoir

Avec les expressions de pouvoir, vous pouvez effectuer n’importe quelle transformation d’identité de base des expressions. Par exemple, vous pouvez ouvrir des parenthèses, remplacer des expressions numériques par leurs valeurs, ajouter des termes similaires, etc. Naturellement, dans ce cas, il est nécessaire de suivre la procédure acceptée pour effectuer les actions. Donnons des exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression de puissance 2 3 ·(4 2 −12) .

Solution.

Selon l'ordre d'exécution des actions, effectuez d'abord les actions entre parenthèses. Là, d'une part, on remplace la puissance 4 2 par sa valeur 16 (si nécessaire, voir), et d'autre part, on calcule la différence 16−12=4. Nous avons 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dans l'expression résultante, nous remplaçons la puissance 2 3 par sa valeur 8, après quoi nous calculons le produit 8·4=32. C'est la valeur souhaitée.

Donc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Répondre:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemple.

Simplifier les expressions avec des puissances 3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7.

Solution.

Évidemment, cette expression contient des termes similaires 3·a 4 ·b −7 et 2·a 4 ·b −7 , et nous pouvons les présenter : .

Répondre:

3 une 4 b −7 −1+2 une 4 b −7 =5 une 4 b −7 −1.

Exemple.

Exprimez une expression avec des pouvoirs en tant que produit.

Solution.

Vous pouvez faire face à la tâche en représentant le nombre 9 comme une puissance de 3 2, puis en utilisant la formule de multiplication abrégée - différence des carrés :

Répondre:

Il existe également un certain nombre de transformations identiques inhérentes spécifiquement aux expressions de pouvoir. Nous les analyserons plus en détail.

Travailler avec la base et l'exposant

Il existe des degrés dont la base et/ou l’exposant ne sont pas seulement des nombres ou des variables, mais des expressions. A titre d'exemple, nous donnons les entrées (2+0.3·7) 5−3.7 et (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Lorsque vous travaillez avec de telles expressions, vous pouvez remplacer à la fois l'expression dans la base du degré et l'expression dans l'exposant par une expression identiquement égale dans l'ODZ de ses variables. Autrement dit, selon les règles que nous connaissons, on peut transformer séparément la base du degré et séparément l'exposant. Il est clair qu'à la suite de cette transformation, on obtiendra une expression identiquement égale à l'originale.

De telles transformations nous permettent de simplifier les expressions avec des pouvoirs ou d'atteindre d'autres objectifs dont nous avons besoin. Par exemple, dans l'expression de puissance mentionnée ci-dessus (2+0,3 7) 5−3,7, vous pouvez effectuer des opérations avec les nombres en base et en exposant, ce qui vous permettra de passer à la puissance 4,1 1,3. Et après avoir ouvert les parenthèses et ramené les termes similaires à la base du degré (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nous obtenons une expression puissance d'une forme plus simple a 2·(x+ 1) .

Utilisation des propriétés du diplôme

L'un des principaux outils pour transformer les expressions dotées de pouvoirs est l'égalité qui reflète . Rappelons les principaux. Pour tout nombre positif a et b et nombre réel arbitraire r et s, les propriétés de puissances suivantes sont vraies :

• a r ·a s =a r+s ;
• une r:une s =une r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (a r) s =a r·s .

Notez que pour les exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent ne pas être aussi strictes. Par exemple, pour les nombres naturels m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie non seulement pour a positif, mais aussi pour a négatif et pour a=0.

À l'école, l'accent principal lors de la transformation des expressions de pouvoir est la capacité de choisir la propriété appropriée et de l'appliquer correctement. Dans ce cas, les bases des diplômes sont généralement positives, ce qui permet d'utiliser les propriétés des diplômes sans restrictions. Il en va de même pour la transformation d'expressions contenant des variables dans les bases de puissances - la plage des valeurs admissibles des variables est généralement telle que les bases ne prennent que des valeurs positives, ce qui vous permet d'utiliser librement les propriétés des puissances. . En général, vous devez constamment vous demander s'il est possible d'utiliser une propriété des diplômes dans ce cas, car une utilisation inexacte des propriétés peut conduire à un rétrécissement de la valeur éducative et à d'autres problèmes. Ces points sont discutés en détail et avec des exemples dans l'article transformation d'expressions en utilisant les propriétés des puissances. Nous nous limiterons ici à considérer quelques exemples simples.

Exemple.

Exprimer l'expression a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 comme puissance de base a.

Solution.

Tout d'abord, nous transformons le deuxième facteur (a 2) −3 en utilisant la propriété d'élever une puissance en puissance : (une 2) −3 =une 2·(−3) =une −6. L'expression de puissance originale prendra la forme a 2,5 ·a −6:a −5,5. Reste évidemment à utiliser les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base, on a
une 2,5 ·une −6:une −5,5 =
une 2,5−6 :une −5,5 =une −3,5 :une −5,5 =
une −3,5−(−5,5) =une 2 .

Répondre:

une 2,5 ·(une 2) −3:une −5,5 =une 2.

Les propriétés des pouvoirs lors de la transformation des expressions de pouvoir sont utilisées à la fois de gauche à droite et de droite à gauche.

Exemple.

Trouvez la valeur de l’expression de puissance.

Solution.

L'égalité (a·b) r =a r ·b r, appliquée de droite à gauche, permet de passer de l'expression originale à un produit de la forme et au-delà. Et en multipliant des puissances avec les mêmes bases, les exposants s'additionnent : .

Il était possible de transformer l'expression originale d'une autre manière :

Répondre:

.

Exemple.

Étant donné l'expression de puissance a 1,5 −a 0,5 −6, introduisez une nouvelle variable t=a 0,5.

Solution.

Le degré a 1,5 peut être représenté par a 0,5 3 puis, en fonction de la propriété du degré au degré (a r) s = a r s, appliqué de droite à gauche, le transformer sous la forme (a 0,5) 3. Ainsi, une 1,5 −une 0,5 −6=(une 0,5) 3 −une 0,5 −6. Il est maintenant facile d’introduire une nouvelle variable t=a 0,5, nous obtenons t 3 −t−6.

Répondre:

t 3 −t−6 .

Conversion de fractions contenant des puissances

Les expressions de puissance peuvent contenir ou représenter des fractions avec des puissances. Toutes les transformations de base des fractions inhérentes aux fractions de toute nature sont pleinement applicables à ces fractions. C'est-à-dire que les fractions qui contiennent des puissances peuvent être réduites, réduites à un nouveau dénominateur, travaillées séparément avec leur numérateur et séparément avec le dénominateur, etc. Pour illustrer ces mots, considérons des solutions à plusieurs exemples.

Exemple.

Simplifier l'expression du pouvoir .

Solution.

Cette expression de pouvoir est une fraction. Travaillons avec son numérateur et son dénominateur. Au numérateur, nous ouvrons les parenthèses et simplifions l'expression résultante en utilisant les propriétés des puissances, et au dénominateur nous présentons des termes similaires :

Et changeons également le signe du dénominateur en plaçant un moins devant la fraction : .

Répondre:

.

La réduction des fractions contenant des puissances à un nouveau dénominateur s'effectue de la même manière que la réduction des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur. Dans ce cas, un facteur supplémentaire est également trouvé et le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par celui-ci. Lors de l'exécution de cette action, il convient de rappeler que la réduction à un nouveau dénominateur peut conduire à un rétrécissement de la VA. Pour éviter que cela ne se produise, il est nécessaire que le facteur supplémentaire ne vienne pas à zéro pour les valeurs des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur : a) au dénominateur a, b) au dénominateur.

Solution.

a) Dans ce cas, il est assez facile de déterminer quel multiplicateur supplémentaire permet d'obtenir le résultat souhaité. Il s'agit d'un multiplicateur de a 0,3, puisque a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Notez que dans la plage des valeurs admissibles de la variable a (c'est l'ensemble de tous les nombres réels positifs), la puissance de a 0,3 ne disparaît pas, nous avons donc le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur d'un donné fraction par ce facteur supplémentaire :

b) En regardant de plus près le dénominateur, vous constaterez que

et multiplier cette expression par donnera la somme des cubes et , c'est-à-dire . Et c’est le nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction originale.

C'est ainsi que nous avons trouvé un facteur supplémentaire. Dans la plage des valeurs admissibles des variables x et y, l'expression ne disparaît pas, nous pouvons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celle-ci :

Répondre:

UN) , b) .

Il n'y a rien de nouveau non plus dans la réduction des fractions contenant des puissances : le numérateur et le dénominateur sont représentés comme un certain nombre de facteurs, et les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur sont réduits.

Exemple.

Réduire la fraction : a) , b) .

Solution.

a) Premièrement, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits des nombres 30 et 45, ce qui est égal à 15. Il est aussi évidemment possible d'effectuer une réduction de x 0,5 +1 et de . Voici ce que nous avons :

b) Dans ce cas, les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur ne sont pas immédiatement visibles. Pour les obtenir, vous devrez effectuer des transformations préalables. Dans ce cas, elles consistent à factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de la différence des carrés :

Répondre:

UN)

b) .

La conversion de fractions en un nouveau dénominateur et la réduction de fractions sont principalement utilisées pour faire des choses avec des fractions. Les actions sont effectuées selon des règles connues. Lors de l'addition (soustraction) de fractions, elles sont réduites à un dénominateur commun, après quoi les numérateurs sont ajoutés (soustraits), mais le dénominateur reste le même. Le résultat est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs. La division par une fraction est une multiplication par son inverse.

Exemple.

Suis les étapes .

Solution.

Tout d’abord, nous soustrayons les fractions entre parenthèses. Pour ce faire, nous les ramenons à un dénominateur commun, qui est , après quoi on soustrait les numérateurs :

Maintenant, nous multiplions les fractions :

Évidemment, il est possible de réduire d’une puissance de x 1/2, après quoi on a .

Vous pouvez également simplifier l'expression de la puissance au dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés : .

Répondre:

Exemple.

Simplifiez l'expression de puissance .

Solution.

Évidemment, cette fraction peut être réduite de (x 2,7 +1) 2, cela donne la fraction . Il est clair qu’il faut faire autre chose avec les pouvoirs de X. Pour ce faire, on transforme la fraction résultante en produit. Cela nous donne la possibilité de profiter de la propriété de diviser les pouvoirs avec les mêmes bases : . Et à la fin du processus on passe du dernier produit à la fraction.

Répondre:

.

Et ajoutons aussi qu'il est possible, et dans de nombreux cas souhaitable, de transférer des facteurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur ou du dénominateur au numérateur, en changeant le signe de l'exposant. De telles transformations simplifient souvent les actions ultérieures. Par exemple, une expression de puissance peut être remplacée par .

Conversion d'expressions avec des racines et des puissances

Souvent, dans les expressions dans lesquelles certaines transformations sont nécessaires, des racines avec des exposants fractionnaires sont également présentes avec les puissances. Pour transformer une telle expression à la forme souhaitée, il suffit dans la plupart des cas d'aller uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Mais comme il est plus pratique de travailler avec des puissances, elles passent généralement des racines aux puissances. Il est cependant conseillé d'effectuer une telle transition lorsque l'ODZ des variables de l'expression originale permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin de se référer au module ou de découper l'ODZ en plusieurs intervalles (nous en avons parlé en détail dans l'article transition des racines aux puissances et vice-versa Après avoir pris connaissance du degré avec un exposant rationnel, on introduit le degré avec un exposant irrationnel, ce qui nous permet de parler d'un degré avec un exposant réel arbitraire. À ce stade, l'école commence à étude fonction exponentielle, qui est analytiquement donné par une puissance dont la base est un nombre et l'exposant est une variable. Nous sommes donc confrontés à des expressions de puissance contenant des nombres dans la base de la puissance et dans l'exposant - des expressions avec des variables, et naturellement il est nécessaire d'effectuer des transformations de telles expressions.

Il faut dire que la transformation des expressions du type indiqué doit généralement être effectuée lors de la résolution équations exponentielles Et inégalités exponentielles, et ces conversions sont assez simples. Dans l’écrasante majorité des cas, ils reposent sur les propriétés du diplôme et visent, pour la plupart, à introduire une nouvelle variable dans le futur. L'équation nous permettra de les démontrer 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Premièrement, les puissances, dont les exposants sont la somme d'une certaine variable (ou expression avec variables) et d'un nombre, sont remplacées par des produits. Ceci s'applique au premier et au dernier terme de l'expression du côté gauche :
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ensuite, les deux côtés de l'égalité sont divisés par l'expression 7 2 x, qui sur l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine ne prend que des valeurs positives (il s'agit d'une technique standard pour résoudre des équations de ce type, nous ne sommes pas en parlant maintenant, alors concentrez-vous sur les transformations ultérieures des expressions avec des pouvoirs ) :

Maintenant nous pouvons annuler des fractions avec des puissances, ce qui donne .

Enfin, le rapport des puissances avec les mêmes exposants est remplacé par des puissances de relations, ce qui donne l'équation , ce qui est équivalent . Les transformations effectuées permettent d'introduire une nouvelle variable, qui réduit la solution de l'équation exponentielle originale à la solution d'une équation quadratique

I. V. Boykov, L. D. Romanova Ensemble de tâches pour la préparation à l'examen d'État unifié. Partie 1. Penza 2003.