Un système d'équations linéaires est une union de n équations linéaires, chacune contenant k variables. C'est écrit ainsi :

Beaucoup, rencontrant pour la première fois l'algèbre supérieure, croient à tort que le nombre d'équations doit nécessairement coïncider avec le nombre de variables. En algèbre scolaire, cela se produit généralement, mais en algèbre supérieure, ce n'est généralement pas vrai.

La solution d'un système d'équations est une séquence de nombres (k 1, k 2, ..., k n), qui est la solution de chaque équation du système, c'est-à-dire lors de la substitution dans cette équation au lieu des variables x 1, x 2, ..., x n donne l'égalité numérique correcte.

Ainsi, résoudre un système d’équations signifie trouver l’ensemble de toutes ses solutions ou prouver que cet ensemble est vide. Le nombre d'équations et le nombre d'inconnues pouvant ne pas coïncider, trois cas sont possibles :

1. Le système est incohérent, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les solutions est vide. Un cas assez rare et facilement détectable quelle que soit la méthode utilisée pour résoudre le système.
2. Le système est cohérent et déterminé, c'est-à-dire a exactement une solution. La version classique, bien connue depuis l'école.
3. Le système est cohérent et indéfini, c'est-à-dire a une infinité de solutions. C'est l'option la plus difficile. Il ne suffit pas d'indiquer que « le système possède un ensemble infini de solutions », il faut décrire comment cet ensemble est structuré.

Une variable x i est dite autorisée si elle est incluse dans une seule équation du système, et avec un coefficient de 1. En d'autres termes, dans d'autres équations, le coefficient de la variable x i doit être égal à zéro.

Si nous sélectionnons une variable autorisée dans chaque équation, nous obtenons un ensemble de variables autorisées pour l'ensemble du système d'équations. Le système lui-même, écrit sous cette forme, sera également appelé résolu. D'une manière générale, un même système original peut être réduit à différents systèmes autorisés, mais pour l'instant cela ne nous préoccupe pas. Voici des exemples de systèmes autorisés :

Les deux systèmes sont résolus par rapport aux variables x 1 , x 3 et x 4 . Cependant, avec le même succès, on peut affirmer que le deuxième système est résolu par rapport à x 1, x 3 et x 5. Il suffit de réécrire la toute dernière équation sous la forme x 5 = x 4.

Considérons maintenant un cas plus général. Disons k variables au total, dont r sont autorisées. Deux cas sont alors possibles :

1. Le nombre de variables autorisées r est égal au nombre total de variables k : r = k. Nous obtenons un système de k équations dans lesquelles r = k variables autorisées. Un tel système est conjoint et définitif, car x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k ;
2. Le nombre de variables autorisées r est inférieur au nombre total de variables k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Ainsi, dans les systèmes ci-dessus, les variables x 2, x 5, x 6 (pour le premier système) et x 2, x 5 (pour le second) sont libres. Le cas où il existe des variables libres est mieux formulé sous forme de théorème :

Attention : c’est un point très important ! Selon la façon dont vous écrivez le système résultant, la même variable peut être autorisée ou libre. La plupart des professeurs de mathématiques supérieures recommandent d'écrire les variables par ordre lexicographique, c'est-à-dire indice ascendant. Cependant, vous n’êtes pas obligé de suivre ces conseils.

Théorème. Si dans un système de n équations les variables x 1, x 2, ..., x r sont autorisées, et x r + 1, x r + 2, ..., x k sont libres, alors :

1. Si nous définissons les valeurs des variables libres (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), puis trouvons les valeurs x 1, x 2, ..., x r, nous obtenons une des décisions.
2. Si dans deux solutions les valeurs des variables libres coïncident, alors les valeurs des variables autorisées coïncident également, c'est-à-dire les solutions sont égales.

Quelle est la signification de ce théorème ? Pour obtenir toutes les solutions d’un système d’équations résolu, il suffit d’isoler les variables libres. Ensuite, en attribuant différentes valeurs aux variables libres, nous obtiendrons des solutions toutes faites. C'est tout - de cette façon, vous pouvez obtenir toutes les solutions du système. Il n'y a pas d'autres solutions.

Conclusion : le système d'équations résolu est toujours cohérent. Si le nombre d'équations dans un système résolu est égal au nombre de variables, le système sera défini ; s'il est inférieur, il sera indéfini.

Et tout irait bien, mais la question se pose : comment en obtenir une résolue à partir du système d'équations d'origine ? Pour cela il y a

Un système de m équations linéaires à n inconnues appelé système de la forme

Où un ij Et b je (je=1,…,m; b=1,…,n) sont des nombres connus, et x 1 ,…,xn- inconnu. Dans la désignation des coefficients un ij premier indice je désigne le numéro de l'équation, et le deuxième j– le nombre d'inconnu auquel se situe ce coefficient.

Nous écrirons les coefficients des inconnues sous forme de matrice , que nous appellerons matrice du système.

Les nombres à droite des équations sont b 1 ,…,bm sont appelés membres libres.

Totalité n Nombres c 1 ,…,cn appelé décision d'un système donné, si chaque équation du système devient une égalité après y avoir substitué des nombres c 1 ,…,cn au lieu des inconnues correspondantes x 1 ,…,xn.

Notre tâche sera de trouver des solutions au système. Dans ce cas, trois situations peuvent se présenter :

Un système d'équations linéaires qui a au moins une solution s'appelle articulation. Sinon, c'est à dire si le système n'a pas de solutions, alors on l'appelle non conjoint.

Examinons les moyens de trouver des solutions au système.

MÉTHODE MATRICIELLE POUR RÉSOUDRE DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

Les matrices permettent d'écrire brièvement un système d'équations linéaires. Soit un système de 3 équations à trois inconnues :

Considérez la matrice du système et colonnes de matrices de termes inconnus et libres

Trouvons le travail

ceux. grâce au produit, on obtient les membres de gauche des équations de ce système. Ensuite, en utilisant la définition de l’égalité matricielle, ce système peut s’écrire sous la forme

ou plus court UN∙X=B.

Voici les matrices UN Et B sont connus, et la matrice X inconnu. Il faut le trouver, parce que... ses éléments sont la solution à ce système. Cette équation s'appelle équation matricielle.

Soit le déterminant matriciel différent de zéro | UN| ≠ 0. Ensuite, l'équation matricielle est résolue comme suit. Multipliez les deux côtés de l'équation de gauche par la matrice A-1, inverse de la matrice UN: . Parce que le A -1 A = E Et E∙X = X, alors on obtient une solution de l'équation matricielle sous la forme X = A-1B .

Notez que puisque la matrice inverse ne peut être trouvée que pour les matrices carrées, la méthode matricielle ne peut résoudre que les systèmes dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre d'inconnues. Cependant, l'enregistrement matriciel du système est également possible dans le cas où le nombre d'équations n'est pas égal au nombre d'inconnues, alors la matrice UN ne sera pas carré et il est donc impossible de trouver une solution au système sous la forme X = A-1B.

Exemples. Résoudre des systèmes d'équations.

RÈGLE DE CRAMER

Considérons un système de 3 équations linéaires à trois inconnues :

Déterminant du troisième ordre correspondant à la matrice du système, c'est-à-dire composé de coefficients pour inconnues,

appelé déterminant du système.

Composons trois autres déterminants comme suit : remplacez séquentiellement 1, 2 et 3 colonnes du déterminant D par une colonne de termes libres

On peut alors prouver le résultat suivant.

Théorème (règle de Cramer). Si le déterminant du système Δ ≠ 0, alors le système considéré a une et une seule solution, et

Preuve. Considérons donc un système de 3 équations à trois inconnues. Multiplions la 1ère équation du système par le complément algébrique Un 11élément un 11, 2ème équation – activé Un 21 et 3ème – sur Un 31:

Ajoutons ces équations :

Examinons chacune des parenthèses et le côté droit de cette équation. Par le théorème du développement du déterminant en éléments de la 1ère colonne

De même, on peut montrer que et .

Enfin, il est facile de remarquer que

Ainsi, on obtient l'égalité : .

Ainsi, .

Les égalités et sont dérivées de la même manière, d'où découle l'énoncé du théorème.

Ainsi, on remarque que si le déterminant du système Δ ≠ 0, alors le système a une solution unique et vice versa. Si le déterminant du système est égal à zéro, alors le système a un nombre infini de solutions ou n'a pas de solutions, c'est-à-dire incompatible.

Exemples. Résoudre un système d'équations

MÉTHODE GAUSS

Les méthodes discutées précédemment peuvent être utilisées pour résoudre uniquement les systèmes dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre d'inconnues et le déterminant du système doit être différent de zéro. La méthode de Gauss est plus universelle et convient aux systèmes comportant un nombre illimité d'équations. Elle consiste en l'élimination cohérente des inconnues des équations du système.

Considérons à nouveau un système de trois équations à trois inconnues :

.

Nous laisserons la première équation inchangée, et à partir de la 2ème et de la 3ème nous exclurons les termes contenant x1. Pour ce faire, divisez la deuxième équation par UN 21 et multiplier par – UN 11, puis ajoutez-le à la 1ère équation. De même, nous divisons la troisième équation par UN 31 et multiplier par – UN 11, puis ajoutez-le avec le premier. En conséquence, le système original prendra la forme :

Maintenant, de la dernière équation, nous éliminons le terme contenant x2. Pour ce faire, divisez la troisième équation par, multipliez par et additionnez avec la seconde. Nous aurons alors un système d’équations :

A partir de là, à partir de la dernière équation, il est facile de trouver x3, puis à partir de la 2ème équation x2 et enfin, du 1er - x1.

Lors de l'utilisation de la méthode gaussienne, les équations peuvent être interverties si nécessaire.

Souvent, au lieu d’écrire un nouveau système d’équations, ils se limitent à écrire la matrice étendue du système :

puis amenez-le à une forme triangulaire ou diagonale à l'aide de transformations élémentaires.

À transformations élémentaires les matrices incluent les transformations suivantes :

1. réorganiser les lignes ou les colonnes ;
2. multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;
3. ajouter d'autres lignes à une seule ligne.

Exemples: Résolvez des systèmes d'équations en utilisant la méthode de Gauss.

Le système possède donc une infinité de solutions.

La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important d'un cours d'algèbre linéaire. Un grand nombre de problèmes dans toutes les branches des mathématiques se résument à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide vous puissiez

• choisissez la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• résolvez votre système d'équations linéaires en considérant des solutions détaillées à des exemples et des problèmes typiques.

Brève description du matériel de l'article.

Tout d’abord, nous donnons toutes les définitions et concepts nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, nous nous concentrerons sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination séquentielle de variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous passerons à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale, dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est singulière. Formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (s'ils sont compatibles) en utilisant la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions aux exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous examinerons les systèmes d'équations qui peuvent être réduits à des systèmes linéaires, ainsi que divers problèmes dans la solution desquels se posent les SLAE.

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Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Variables inconnues, - coefficients (certains nombres réels ou complexes), - termes libres (également nombres réels ou complexes).

Cette forme d'enregistrement SLAE est appelée coordonner.

DANS forme matricielle l'écriture de ce système d'équations a la forme,
Où - la matrice principale du système, - une matrice colonnes de variables inconnues, - une matrice colonnes de termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour des valeurs données de variables inconnues devient également une identité.

Si un système d’équations a au moins une solution, alors on l’appelle articulation.

Si un système d’équations n’a pas de solutions, alors on l’appelle non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors – incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système s'appelle homogène, sinon - hétérogène.

Résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations d'un système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces SLAE seront appelés élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique et dans le cas d'un système homogène, toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier ces SLAE au lycée. Lors de leur résolution, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons substituée dans les équations restantes, puis pris l'équation suivante, exprimé la variable inconnue suivante et l'avons substituée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou bien ils ont utilisé la méthode d’addition, c’est-à-dire qu’ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, puisqu'il s'agit essentiellement de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Supposons que nous devions résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices obtenues à partir de A par remplacement 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées en utilisant les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que l'on trouve la solution d'un système d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme . Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système possède une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (on obtient le déterminant en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de termes libres, le déterminant en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de termes libres, et en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de termes libres) :

Trouver des variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut la qualifier d'inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).

Soit un système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque , la matrice A est inversible, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver une matrice-colonne de variables inconnues. C'est ainsi que nous avons obtenu une solution d'un système d'équations algébriques linéaires en utilisant la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors le SLAE peut être résolu en utilisant la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à partir d'une matrice à partir d'additions algébriques d'éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice-colonne de membres libres (si nécessaire, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème lors de la recherche de solutions à des systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss.

Supposons que nous devions trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode Gauss consiste en une exclusion séquentielle de variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que seule la variable inconnue x n reste dans la dernière équation. Ce processus de transformation des équations du système pour éliminer séquentiellement les variables inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé le mouvement vers l'avant de la méthode gaussienne, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation, x n-1 est calculé, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde, multipliée par , à la quatrième équation on ajoute la seconde, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la seconde, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux côtés des deuxième et troisième équations, nous ajoutons les parties correspondantes de la première équation, multipliées respectivement par et par :

Maintenant, nous éliminons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

Ceci termine le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss ; nous commençons le mouvement vers l'arrière.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et complétons ainsi l'inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

En général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues n :

De tels SLAE peuvent n’avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et singulière.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d’équations linéaires, il est nécessaire d’établir sa compatibilité. La réponse à la question de savoir quand SLAE est compatible et quand elle est incohérente est donnée par Théorème de Kronecker-Capelli:
Pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire , Rang(A)=Rang(T).

Considérons, à titre d'exemple, l'application du théorème de Kronecker-Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Solution.

. Utilisons la méthode des mineurs limitrophes. Mineur du second ordre différent de zéro. Regardons les mineurs de troisième ordre qui le bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est égal à deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur est du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A), donc, en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Le système n'a pas de solutions.

Nous avons donc appris à établir l'incohérence d'un système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de base mineure d’une matrice et d’un théorème sur le rang d’une matrice.

Le mineur d’ordre le plus élevé de la matrice A, différent de zéro, est appelé basique.

De la définition d'une base mineure il résulte que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle il peut y avoir plusieurs bases mineures ; il y a toujours une base mineure.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième ligne de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième lignes.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu’ils sont égaux à zéro.

Théorème du rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments de ligne (et de colonne) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en termes d'éléments de ligne (et de colonne) correspondants formant la base mineure.

Que nous dit le théorème du rang matriciel ?

Si, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quelle base mineure de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui font ne constitue pas la base mineure sélectionnée. Le SLAE ainsi obtenu sera équivalent à l'original, puisque les équations rejetées sont toujours redondantes (selon le théorème du rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera définitif et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Solution.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur est du second ordre différent de zéro. Rang matriciel étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2.

Comme base mineure nous prenons . Il est formé des coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, on l'exclut donc du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :


C'est ainsi que nous avons obtenu un système élémentaire d'équations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :


Répondre:

x1 = 1, x2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant est inférieur au nombre de variables inconnues n, alors sur les côtés gauches des équations, nous laissons les termes qui forment la base mineure et nous transférons les termes restants vers les côtés droits du équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (r d'entre elles) restant sur les côtés gauches des équations sont appelées principal.

Les variables inconnues (il y a n - r pièces) qui se trouvent sur les côtés droits sont appelées gratuit.

Nous pensons maintenant que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées à travers des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE résultant en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouvons le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons un 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du second ordre limitrophe de ce mineur :


C’est ainsi que nous avons trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du troisième ordre :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons comme base le mineur non nul trouvé du troisième ordre.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui constituent la base mineure :


Nous laissons les termes impliqués dans la base mineure du côté gauche des équations du système, et transférons le reste avec des signes opposés vers les côtés droits :


Donnons aux variables inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous acceptons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme


Résolvons le système élémentaire d’équations algébriques linéaires résultant en utilisant la méthode de Cramer :


Ainsi, .

Dans votre réponse, n'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires générales, nous déterminons d’abord sa compatibilité à l’aide du théorème de Kronecker – Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on sélectionne une base mineure et écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la base mineure sélectionnée.

Si l'ordre de la base mineure est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode que nous connaissons.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants vers la droite et donnons des valeurs arbitraires à les variables inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, nous trouvons les principales inconnues en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires de toute nature sans tester au préalable leur cohérence. Le processus d'élimination séquentielle des variables inconnues permet de conclure à la fois sur la compatibilité et l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

D'un point de vue informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Voir sa description détaillée et ses exemples analysés dans l'article Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires générales.

Écrire une solution générale à des systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous parlerons de systèmes simultanés homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord des systèmes homogènes.

Système fondamental de solutions un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si nous désignons les solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène comme X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices en colonnes de dimension n par 1) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec des coefficients constants arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule spécifie toutes les solutions possibles du SLAE original, c'est-à-dire en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), en utilisant la formule que nous allons obtenir une des solutions du SLAE homogène original.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous sélectionnons la base mineure du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres vers les membres droits des équations du système de signes opposés. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0,...,0 et calculons les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de n'importe quelle manière, par exemple en utilisant la méthode Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (2) . Et ainsi de suite. Si nous attribuons les valeurs 0,0,…,0,1 aux variables inconnues libres et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (n-r) . De cette manière, un système fondamental de solutions à un SLAE homogène sera construit et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme , où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière du SLAE inhomogène original, que nous obtenons en donnant aux inconnues libres les valeurs ​​0,0,...,0 et calcul des valeurs des principales inconnues.

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvons le mineur limite non nul du deuxième ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, a été retrouvé. Parcourons les mineurs du troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice principale et étendue est égal à deux. Prenons . Pour plus de clarté, notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la base mineure, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues du côté droit des équations, et on transfère les termes à inconnues libres du côté droit :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE consiste en deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa base mineure est égal à deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.

Nous continuons à traiter de systèmes d'équations linéaires. Jusqu’à présent, nous avons considéré des systèmes dotés d’une solution unique. De tels systèmes peuvent être résolus de n'importe quelle manière : par méthode de substitution("école"), selon les formules de Cramer, méthode matricielle, Méthode gaussienne. Cependant, dans la pratique, deux autres cas sont répandus :

1) le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;

2) le système a une infinité de solutions.

Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode gaussienne. En fait, la méthode « scolaire » conduira également à la réponse, mais en mathématiques supérieures, il est d'usage d'utiliser la méthode gaussienne d'élimination séquentielle des inconnues. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode gaussienne, veuillez d'abord étudier la leçon Méthode gaussienne

Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera dans la fin de la solution. Tout d'abord, regardons quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérentes).

Exemple 1

Qu’est-ce qui attire immédiatement l’attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Il existe un théorème qui dit : "Si le nombre d'équations dans le système est inférieur au nombre de variables, alors le système soit incohérent, soit comporte une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le découvrir.

Le début de la solution est tout à fait ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la mettons sous une forme pas à pas :

(1). Sur l'étape en haut à gauche, nous devons obtenir (+1) ou (–1). Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne donnera rien. L'unité devra s'organiser, et cela peut se faire de plusieurs manières. Nous l'avons fait. À la première ligne, nous ajoutons la troisième ligne, multipliée par (–1).

(2). Nous obtenons maintenant deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par 3. À la troisième ligne, nous ajoutons la première, multipliée par 5.

(3). Une fois la transformation terminée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Peut. Nous divisons la deuxième ligne par 2, obtenant en même temps celle souhaitée (–1) à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par (–3).

(4). Ajoutez une deuxième ligne à la troisième ligne. Tout le monde a probablement remarqué la mauvaise ligne résultant de transformations élémentaires :

. Il est clair qu’il ne peut en être ainsi.

En effet, réécrivons la matrice résultante

revenons au système d’équations linéaires :

Si, à la suite de transformations élémentaires, on obtient une chaîne de la forme , Oùλ est un nombre différent de zéro, alors le système est incohérent (n'a pas de solutions).

Comment écrire la fin d’une tâche ? Vous devez écrire la phrase :

« À la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme a été obtenue, où λ ≠ 0 " Réponse : « Le système n’a pas de solutions (incohérent). »

Veuillez noter que dans ce cas, il n’y a pas d’inversion de l’algorithme gaussien, il n’y a pas de solutions et il n’y a tout simplement rien à trouver.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Nous vous rappelons encore une fois que votre solution peut différer de notre solution ; la méthode gaussienne ne spécifie pas d'algorithme univoque ; l'ordre des actions et les actions elles-mêmes doivent être devinées dans chaque cas indépendamment.

Autre particularité technique de la solution : les transformations élémentaires peuvent être stoppées Immediatement, dès qu'une ligne comme , où λ ≠ 0 . Considérons un exemple conditionnel : supposons qu'après la première transformation la matrice soit obtenue

.

Cette matrice n'a pas encore été réduite à une forme échelonnée, mais il n'est pas nécessaire de procéder à d'autres transformations élémentaires, puisqu'une ligne de forme est apparue, où λ ≠ 0 . Il faut immédiatement répondre que le système est incompatible.

Lorsqu'un système d'équations linéaires n'a pas de solution, c'est presque un cadeau pour l'étudiant, car une solution courte est obtenue, parfois littéralement en 2-3 étapes. Mais tout dans ce monde est équilibré, et un problème dans lequel le système a une infinité de solutions n’est que plus long.

Exemple 3 :

Résoudre un système d'équations linéaires

Il y a 4 équations et 4 inconnues, donc le système peut soit avoir une seule solution, soit n'avoir aucune solution, soit avoir une infinité de solutions. Quoi qu’il en soit, la méthode gaussienne nous amènera de toute façon à la réponse. C'est sa polyvalence.

Le début est à nouveau standard. Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

C'est tout, et tu avais peur.

(1). Veuillez noter que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2, donc 2 convient parfaitement sur l'étape en haut à gauche. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par (–4). À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par (–2). À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par (–1).

Attention! Beaucoup pourraient être tentés par la quatrième ligne soustraire Première ligne. Cela peut être fait, mais ce n'est pas nécessaire : l'expérience montre que la probabilité d'erreur dans les calculs augmente plusieurs fois. On ajoute simplement : à la quatrième ligne on ajoute la première ligne, multipliée par (–1) – exactement!

(2). Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles peuvent être supprimées. Là encore, nous devons montrer attention accrue, mais les lignes sont-elles vraiment proportionnelles ? Par mesure de sécurité, ce serait une bonne idée de multiplier la deuxième ligne par (–1) et de diviser la quatrième ligne par 2, ce qui donnerait trois lignes identiques. Et seulement après cela, supprimez-en deux. Grâce à des transformations élémentaires, la matrice étendue du système est réduite à une forme pas à pas :

Lors de la rédaction d'une tâche dans un cahier, il est conseillé de prendre les mêmes notes au crayon pour plus de clarté.

Réécrivons le système d'équations correspondant :

Il n’y a ici aucune odeur de solution unique « ordinaire » au système. Mauvaise ligne où λ ≠ 0, aussi non. Cela signifie qu'il s'agit du troisième cas restant : le système a une infinité de solutions.

Un ensemble infini de solutions à un système est brièvement écrit sous la forme de ce qu'on appelle solution générale du système.

On trouve la solution générale du système en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne. Pour les systèmes d'équations avec un ensemble infini de solutions, de nouveaux concepts apparaissent : "variables de base" Et "variables libres". Définissons d'abord quelles variables nous avons basique, et quelles variables - gratuit. Il n'est pas nécessaire d'expliquer en détail les termes de l'algèbre linéaire ; il suffit de rappeler qu'il existe de tels variables de base Et variables libres.

Les variables de base « reposent » toujours strictement sur les étapes de la matrice. Dans cet exemple, les variables de base sont X 1 et X 3 .

Les variables libres sont tout restant variables qui n’ont pas reçu de pas. Dans notre cas, il y en a deux : X 2 et X 4 – variables libres.

Maintenant tu as besoin Tousvariables de base exprimer Seulement parvariables libres. L’inverse de l’algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut. A partir de la deuxième équation du système, nous exprimons la variable de base X 3:

Examinons maintenant la première équation : . Nous y substituons d’abord l’expression trouvée :

Il reste à exprimer la variable de base X 1 via des variables libres X 2 et X 4:

En fin de compte, nous avons obtenu ce dont nous avions besoin - Tous variables de base ( X 1 et X 3) exprimé Seulement par variables libres ( X 2 et X 4):

En fait, la solution générale est prête :

.

Comment écrire correctement la solution générale ? Tout d'abord, les variables libres sont écrites dans la solution générale « par elles-mêmes » et strictement à leur place. Dans ce cas, les variables libres X 2 et X 4 doit être écrit en deuxième et quatrième positions :

.

Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :

De la solution générale du système on peut trouver une infinité de solutions privées. C'est très simple. Variables libres X 2 et X 4 sont appelés ainsi parce qu'ils peuvent être donnés toutes les valeurs finales. Les valeurs les plus populaires sont les valeurs nulles, car il s'agit de la solution partielle la plus simple à obtenir.

Remplacement ( X 2 = 0; X 4 = 0) dans la solution générale, on obtient une des solutions particulières :

, ou est une solution particulière correspondant à des variables libres avec des valeurs ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Une autre paire douce est celle, remplaçons ( X 2 = 1 et X 4 = 1) dans la solution générale :

, c'est-à-dire (-1 ; 1 ; 1 ; 1) – une autre solution particulière.

Il est facile de voir que le système d’équations a une infinité de solutions puisqu'on peut donner des variables libres n'importe lequel significations.

Chaque la solution particulière doit satisfaire pour chaqueéquation du système. C'est la base d'une vérification « rapide » de l'exactitude de la solution. Prenez, par exemple, la solution particulière (-1 ; 1 ; 1 ; 1) et remplacez-la dans le côté gauche de chaque équation du système d'origine :

Tout doit être réuni. Et quelle que soit la solution particulière que vous recevez, tout devrait également être en accord.

À proprement parler, vérifier une solution particulière est parfois trompeur, c'est-à-dire une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, mais la solution générale elle-même est en réalité trouvée de manière incorrecte. Par conséquent, tout d’abord, la vérification de la solution générale est plus approfondie et plus fiable.

Comment vérifier la solution générale résultante ?

Ce n'est pas difficile, mais cela nécessite de longues transformations. Nous devons prendre des expressions basique variables, dans ce cas et , et remplacez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.

À gauche de la première équation du système :

Le côté droit de la première équation initiale du système est obtenu.

À gauche de la deuxième équation du système :

Le côté droit de la deuxième équation initiale du système est obtenu.

Et puis - aux côtés gauches des troisième et quatrième équations du système. Cette vérification prend plus de temps, mais garantit l'exactitude à 100 % de la solution globale. De plus, certaines tâches nécessitent de vérifier la solution générale.

Exemple 4 :

Résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne. Trouvez la solution générale et deux solutions particulières. Vérifiez la solution générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, d'ailleurs, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit aura un nombre infini de solutions.

Exemple 5 :

Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouvez deux solutions particulières et vérifiez la solution générale

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1). Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.

(2). À la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (–5). À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (–7).

(3). Les troisième et quatrième lignes sont les mêmes, on en supprime une. C'est d'une telle beauté :

Les variables de base se trouvent donc sur les marches - les variables de base.

Il n'y a qu'une seule variable libre qui n'a pas reçu d'étape ici : .

(4). Mouvement inversé. Exprimons les variables de base via une variable libre :

De la troisième équation :

Considérons la deuxième équation et substituons-y l'expression trouvée :

, , ,

Considérons la première équation et substituons les expressions trouvées par :

Ainsi, la solution générale avec une variable libre X 4:

Encore une fois, comment ça s’est passé ? Variable libre X Le 4 occupe seul la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base , , sont également en place.

Vérifions immédiatement la solution générale.

Nous substituons les variables de base , , dans le côté gauche de chaque équation du système :

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, ainsi la solution générale correcte est trouvée.

Maintenant, à partir de la solution générale trouvée on obtient deux solutions particulières. Toutes les variables sont exprimées ici par un seul variable libre x 4 . Pas besoin de vous creuser la tête.

Laisser X 4 = 0 alors – la première solution particulière.

Laisser X 4 = 1 alors – une autre solution privée.

Répondre: Décision commune : . Solutions privées :

Et .

Exemple 6 :

Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.

Nous avons déjà vérifié la solution générale ; la réponse est fiable. Votre solution peut différer de la nôtre. L'essentiel est que les décisions générales coïncident. Probablement, beaucoup de gens ont remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, lors du déroulement inverse de la méthode gaussienne, nous devions bricoler des fractions ordinaires. En pratique, c'est effectivement le cas ; les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Soyez prêt mentalement et, surtout, techniquement.

Attardons-nous sur les fonctionnalités de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus. La solution générale du système peut parfois inclure une ou plusieurs constantes.

Par exemple, une solution générale : . Ici l'une des variables de base est égale à un nombre constant : . Il n’y a rien d’exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.

Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels le nombre d'équations est supérieur au nombre de variables. Cependant, la méthode gaussienne fonctionne dans les conditions les plus difficiles. Vous devez calmement réduire la matrice étendue du système à une forme pas à pas en utilisant un algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir une infinité de solutions et, curieusement, peut avoir une seule solution.

Répétons notre conseil : pour vous sentir à l'aise lors de la résolution d'un système à l'aide de la méthode gaussienne, vous devez maîtriser la résolution d'au moins une douzaine de systèmes.

Solutions et réponses :

Exemple 2 :

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas.

Transformations élémentaires effectuées :

(1) Les première et troisième lignes ont été inversées.

(2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par (–6). La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par (–7).

(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par (–1).

À la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue, Où λ ≠ 0 .Cela signifie que le système est incohérent.Répondre: il n'y a pas de solutions.

Exemple 4 :

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

Conversions effectuées :

(1). La première ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne, multipliée par 3, a été ajoutée à la troisième ligne.

Il n'y a pas d'unité pour la deuxième étape , et la transformation (2) vise à l'obtenir.

(2). La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3.

(3). Les deuxième et troisième lignes ont été interverties (nous avons déplacé le –1 résultant vers la deuxième étape)

(4). La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par 3.

(5). Les deux premières lignes ont vu leur signe modifié (multiplié par –1), la troisième ligne a été divisée par 14.

Inverse:

(1). Ici sont les variables de base (qui se trouvent sur les marches), et – variables libres (qui n’ont pas obtenu de pas).

(2). Exprimons les variables de base en termes de variables libres :

De la troisième équation : .

(3). Considérons la deuxième équation :, solutions privées :

Répondre: Décision commune :

Nombres complexes

Dans cette section, nous présenterons le concept nombre complexe, considérer algébrique, trigonométrique Et forme exponentielle nombre complexe. Nous apprendrons également à effectuer des opérations avec des nombres complexes : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation et extraction de racine.

Pour maîtriser les nombres complexes, aucune connaissance particulière d'un cours supérieur de mathématiques n'est requise et le matériel est accessible même aux écoliers. Il suffit de pouvoir effectuer des opérations algébriques avec des nombres « ordinaires », et de se souvenir de la trigonométrie.

Tout d'abord, rappelons-nous les nombres « ordinaires ». En mathématiques, on les appelle ensemble de nombres réels et sont désignés par la lettre R, ou R (épais). Tous les nombres réels se trouvent sur la droite numérique familière :

La société des nombres réels est très diversifiée : il y a ici des nombres entiers, des fractions et des nombres irrationnels. Dans ce cas, chaque point de l'axe des nombres correspond nécessairement à un nombre réel.

Nous continuons à traiter de systèmes d'équations linéaires. Jusqu'à présent, j'ai examiné des systèmes proposant une solution unique. De tels systèmes peuvent être résolus de n'importe quelle manière : par méthode de substitution("école"), selon les formules de Cramer, méthode matricielle, Méthode gaussienne. Cependant, dans la pratique, deux autres cas sont répandus :

– Le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;
– Le système a une infinité de solutions.

Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode gaussienne. En fait, la méthode « scolaire » conduira également à la réponse, mais en mathématiques supérieures, il est d'usage d'utiliser la méthode gaussienne d'élimination séquentielle des inconnues. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode gaussienne, veuillez d'abord étudier la leçon Méthode gaussienne pour les nuls.

Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera dans la fin de la solution. Tout d'abord, regardons quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérentes).

Exemple 1

Résoudre un système d'équations linéaires

Qu’est-ce qui attire immédiatement l’attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Si le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables, alors nous pouvons immédiatement dire que le système est soit incohérent, soit qu'il a une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le découvrir.

Le début de la solution est tout à fait ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la mettons sous une forme pas à pas :

(1) Sur l’étape en haut à gauche, nous devons obtenir +1 ou –1. Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne donnera rien. L'unité devra s'organiser, et cela peut se faire de plusieurs manières. J'ai fait ceci : à la première ligne, nous ajoutons la troisième ligne, multipliée par –1.

(2) Nous obtenons maintenant deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 5.

(3) Une fois la transformation terminée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Peut. Nous divisons la deuxième ligne par 2, obtenant en même temps le –1 requis à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par –3.

(4) Ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne.

Tout le monde a probablement remarqué la mauvaise ligne résultant de transformations élémentaires : . Il est clair qu’il ne peut en être ainsi. En effet, réécrivons la matrice résultante dans un système d'équations linéaires :