Les inégalités et les systèmes d’inégalités sont l’un des sujets abordés en algèbre au lycée. En termes de niveau de difficulté, ce n'est pas le plus difficile, puisqu'il a des règles simples (nous y reviendrons un peu plus tard). En règle générale, les écoliers apprennent assez facilement à résoudre les systèmes d’inégalités. Cela est également dû au fait que les enseignants « forment » simplement leurs élèves sur ce sujet. Et ils ne peuvent s'empêcher de le faire, car cela est étudié à l'avenir en utilisant d'autres quantités mathématiques, et est également testé à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié. Dans les manuels scolaires, le thème des inégalités et des systèmes d'inégalités est abordé de manière très détaillée, donc si vous comptez l'étudier, il est préférable d'y recourir. Cet article ne résume que des éléments plus vastes et il peut y avoir quelques omissions.

Le concept de système d'inégalités

Si l’on se tourne vers le langage scientifique, on peut définir la notion de « système d’inégalités ». Il s'agit d'un modèle mathématique qui représente plusieurs inégalités. Ce modèle nécessite bien sûr une solution, et ce sera la réponse générale pour toutes les inégalités du système proposé dans la tâche (généralement ceci y est écrit, par exemple : « Résoudre le système d'inégalités 4 x + 1 > 2 et 30 - x > 6... "). Cependant, avant de passer aux types et méthodes de solutions, vous devez comprendre autre chose.

Systèmes d'inégalités et systèmes d'équations

Lors de l’apprentissage d’un nouveau sujet, des malentendus surviennent souvent. D'une part, tout est clair et vous souhaitez commencer à résoudre les tâches le plus rapidement possible, mais d'autre part, certains moments restent dans « l'ombre » et ne sont pas entièrement compris. En outre, certains éléments de connaissances déjà acquises peuvent être étroitement liés à de nouvelles. En raison de ce « chevauchement », des erreurs se produisent souvent.

Par conséquent, avant de commencer à analyser notre sujet, nous devons nous rappeler les différences entre les équations et les inégalités et leurs systèmes. Pour ce faire, nous devons expliquer une fois de plus ce que représentent ces concepts mathématiques. Une équation est toujours une égalité, et elle est toujours égale à quelque chose (en mathématiques, ce mot est désigné par le signe "="). L'inégalité est un modèle dans lequel une valeur est soit supérieure, soit inférieure à une autre, ou contient une déclaration indiquant qu'elles ne sont pas identiques. Ainsi, dans le premier cas, il convient de parler d'égalité, et dans le second, aussi évident que cela puisse paraître au vu du nom lui-même, de l'inégalité des données initiales. Les systèmes d'équations et d'inégalités ne diffèrent pratiquement pas les uns des autres et les méthodes pour les résoudre sont les mêmes. La seule différence est que dans le premier cas, les égalités sont utilisées et dans le second, les inégalités.

Types d'inégalités

Il existe deux types d'inégalités : numériques et à variable inconnue. Le premier type représente des quantités fournies (nombres) qui sont inégales les unes aux autres, par exemple 8 > 10. Les seconds sont des inégalités qui contiennent une variable inconnue (désignée par une lettre de l'alphabet latin, le plus souvent X). Cette variable doit être trouvée. Selon leur nombre, le modèle mathématique distingue les inégalités à une (elles constituent un système d'inégalités à une variable) ou à plusieurs variables (elles constituent un système d'inégalités à plusieurs variables).

Les deux derniers types, selon le degré de leur construction et le niveau de complexité de la solution, sont divisés en simples et complexes. Les inégalités simples sont également appelées inégalités linéaires. Ils sont à leur tour divisés en stricts et non stricts. Les plus stricts « disent » spécifiquement qu'une quantité doit nécessairement être inférieure ou supérieure, il s'agit donc d'une pure inégalité. Plusieurs exemples peuvent être donnés : 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Les non stricts incluent également l'égalité. Autrement dit, une valeur peut être supérieure ou égale à une autre valeur (le signe « ≥ ») ou inférieure ou égale à une autre valeur (le signe « ≤ »). Même dans les inégalités linéaires, la variable n’est pas à la racine, au carré ou divisible par quoi que ce soit, c’est pourquoi on les appelle « simples ». Les variables complexes impliquent des variables inconnues qui nécessitent plus de mathématiques pour être trouvées. Ils sont souvent situés dans un carré, un cube ou sous une racine, ils peuvent être modulaires, logarithmiques, fractionnaires, etc. Mais puisque notre tâche est la nécessité de comprendre la solution des systèmes d'inégalités, nous parlerons d'un système d'inégalités linéaires . Cependant, avant cela, il convient de dire quelques mots sur leurs propriétés.

Propriétés des inégalités

Les propriétés des inégalités sont les suivantes :

1. Le signe d'inégalité est inversé si une opération est utilisée pour changer l'ordre des côtés (par exemple, si t 1 ≤ t 2, alors t 2 ≥ t 1).
2. Les deux côtés de l'inégalité permettent d'ajouter le même nombre à lui-même (par exemple, si t 1 ≤ t 2, alors t 1 + nombre ≤ t 2 + nombre).
3. Deux ou plusieurs inégalités avec un signe dans le même sens permettent d'ajouter leurs côtés gauche et droit (par exemple, si t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, alors t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Les deux parties de l'inégalité peuvent être multipliées ou divisées par le même nombre positif (par exemple, si t 1 ≤ t 2 et un nombre ≤ 0, alors le nombre · t 1 ≥ nombre · t 2).
5. Deux ou plusieurs inégalités qui ont des termes positifs et un signe dans le même sens se laissent multiplier les unes par les autres (par exemple, si t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 alors t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Les deux parties de l'inégalité se laissent multiplier ou diviser par le même nombre négatif, mais dans ce cas le signe de l'inégalité change (par exemple, si t 1 ≤ t 2 et un nombre ≤ 0, alors le nombre · t 1 ≥ nombre · t 2).
7. Toutes les inégalités ont la propriété de transitivité (par exemple, si t 1 ≤ t 2 et t 2 ≤ t 3, alors t 1 ≤ t 3).

Maintenant, après avoir étudié les principes de base de la théorie relative aux inégalités, nous pouvons procéder directement à l'examen des règles de résolution de leurs systèmes.

Résoudre les systèmes d'inégalités. Informations générales. Solutions

Comme mentionné ci-dessus, la solution réside dans les valeurs de la variable qui conviennent à toutes les inégalités du système donné. La résolution de systèmes d'inégalités est la mise en œuvre d'opérations mathématiques qui conduisent finalement à une solution du système entier ou prouvent qu'il n'a pas de solution. Dans ce cas, la variable est dite appartenir à un ensemble numérique vide (écrit comme suit : lettre désignant une variable∈ (signe « appartient ») ø (signe « ensemble vide »), par exemple x ∈ ø (lire : « La variable « x » appartient à l'ensemble vide »). Il existe plusieurs manières de résoudre des systèmes d'inégalités : graphique, algébrique, méthode de substitution. Il convient de noter qu’ils font référence à des modèles mathématiques comportant plusieurs variables inconnues. Dans le cas où il n’y en a qu’un, la méthode des intervalles convient.

Méthode graphique

Permet de résoudre un système d'inégalités à plusieurs inconnues (à partir de deux et plus). Grâce à cette méthode, un système d'inégalités linéaires peut être résolu assez facilement et rapidement, c'est donc la méthode la plus courante. Cela s'explique par le fait que tracer un graphique réduit la quantité d'écriture d'opérations mathématiques. Il devient particulièrement agréable de faire une petite pause avec le stylo, de prendre un crayon avec une règle et de commencer d'autres actions avec leur aide lorsque beaucoup de travail a été fait et que vous souhaitez un peu de variété. Cependant, certaines personnes n’aiment pas cette méthode car elles doivent s’éloigner de la tâche et basculer leur activité mentale vers le dessin. Cependant, c'est une méthode très efficace.

Pour résoudre un système d'inégalités à l'aide d'une méthode graphique, il est nécessaire de transférer tous les termes de chaque inégalité vers leur côté gauche. Les signes seront inversés, zéro devra être écrit à droite, puis chaque inégalité devra être écrite séparément. En conséquence, les fonctions seront obtenues à partir des inégalités. Après cela, vous pouvez sortir un crayon et une règle : vous devez maintenant tracer un graphique de chaque fonction obtenue. L'ensemble des nombres qui se trouveront dans l'intervalle de leur intersection sera une solution au système d'inégalités.

Voie algébrique

Permet de résoudre un système d'inégalités à deux variables inconnues. De plus, les inégalités doivent avoir le même signe d’inégalité (c’est-à-dire qu’elles doivent contenir soit uniquement le signe « supérieur à », soit uniquement le signe « inférieur à », etc.). Malgré ses limites, cette méthode est également plus complexe. Son application s'effectue en deux étapes.

La première implique des actions pour se débarrasser de l’une des variables inconnues. Vous devez d'abord le sélectionner, puis vérifier la présence de chiffres devant cette variable. S'ils ne sont pas là (alors la variable ressemblera à une seule lettre), alors on ne change rien, s'il y en a (le type de la variable sera, par exemple, 5y ou 12y), alors il faut faire assurez-vous que dans chaque inégalité, le nombre devant la variable sélectionnée est le même. Pour ce faire, il faut multiplier chaque terme des inégalités par un facteur commun, par exemple, si 3y est écrit dans la première inégalité, et 5y dans la seconde, alors il faut multiplier tous les termes de la première inégalité par 5 , et le second par 3. Le résultat est respectivement 15y et 15y.

Deuxième étape de solution. Il faut transférer le côté gauche de chaque inégalité vers leur côté droit, en changeant le signe de chaque terme en sens opposé, et écrire zéro à droite. Vient ensuite la partie amusante : se débarrasser de la variable sélectionnée (autrement appelée « réduction ») tout en ajoutant les inégalités. Il en résulte une inégalité avec une variable qui doit être résolue. Après cela, vous devriez faire la même chose, mais avec une autre variable inconnue. Les résultats obtenus seront la solution du système.

Méthode de substitution

Permet de résoudre un système d'inégalités s'il est possible d'introduire une nouvelle variable. Habituellement, cette méthode est utilisée lorsque la variable inconnue dans un terme de l'inégalité est élevée à la puissance quatrième et que dans l'autre terme elle est au carré. Ainsi, cette méthode vise à réduire le degré d’inégalités dans le système. L'inégalité d'échantillon x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 est résolue de cette manière. Une nouvelle variable est introduite, par exemple t. Ils écrivent : « Soit t = x 2 », puis le modèle est réécrit sous une nouvelle forme. Dans notre cas, nous obtenons t 2 - t - 1 ≤0. Cette inégalité doit être résolue en utilisant la méthode des intervalles (nous y reviendrons un peu plus tard), puis en revenant à la variable X, puis en faisant de même avec l'autre inégalité. Les réponses reçues constitueront la solution du système.

Méthode d'intervalle

C’est la manière la plus simple de résoudre les systèmes d’inégalités, et en même temps elle est universelle et répandue. Il est utilisé dans les écoles secondaires et même dans les écoles supérieures. Son essence réside dans le fait que l'élève recherche des intervalles d'inégalité sur une droite numérique tracée dans un cahier (ce n'est pas un graphique, mais juste une droite ordinaire avec des nombres). Là où les intervalles d’inégalités se croisent, la solution du système est trouvée. Pour utiliser la méthode des intervalles, vous devez suivre ces étapes :

1. Tous les termes de chaque inégalité sont transférés vers la gauche avec le signe changeant à l'opposé (zéro est écrit à droite).
2. Les inégalités sont écrites séparément et la solution de chacune d'elles est déterminée.
3. Les intersections des inégalités sur la droite numérique sont trouvées. Tous les numéros situés à ces intersections seront une solution.

Quelle méthode dois-je utiliser ?

Évidemment celui qui semble le plus simple et le plus pratique, mais il existe des cas où les tâches nécessitent une certaine méthode. Le plus souvent, ils disent que vous devez résoudre soit en utilisant un graphique, soit par la méthode des intervalles. La méthode algébrique et la substitution sont utilisées extrêmement rarement ou pas du tout, car elles sont assez complexes et déroutantes, et de plus, elles sont davantage utilisées pour résoudre des systèmes d'équations que des inégalités, vous devriez donc recourir à dessiner des graphiques et des intervalles. Ils apportent une clarté qui ne peut que contribuer à l’exécution efficace et rapide des opérations mathématiques.

Si quelque chose ne marche pas

Lors de l'étude d'un sujet particulier en algèbre, des problèmes de compréhension peuvent naturellement survenir. Et c’est normal, car notre cerveau est conçu de telle manière qu’il n’est pas capable de comprendre des éléments complexes d’un seul coup. Vous devez souvent relire un paragraphe, demander l'aide d'un enseignant ou vous entraîner à résoudre des tâches standard. Dans notre cas, ils ressemblent par exemple à ceci : « Résolvez le système d'inégalités 3 x + 1 ≥ 0 et 2 x - 1 > 3. » Ainsi, le désir personnel, l'aide de personnes extérieures et la pratique aident à comprendre tout sujet complexe.

Solveur ?

Un livre de solutions est également très approprié, mais pas pour copier des devoirs, mais pour s'auto-aider. Vous pouvez y trouver des systèmes d'inégalités avec une solution, les examiner (comme modèles), essayer de comprendre exactement comment l'auteur de la solution a fait face à la tâche, puis essayer de faire de même par vous-même.

conclusions

L'algèbre est l'une des matières les plus difficiles à l'école. Eh bien, que peux-tu faire ? Les mathématiques ont toujours été ainsi : pour certains c'est facile, mais pour d'autres c'est difficile. Mais dans tous les cas, il ne faut pas oublier que le programme de formation générale est structuré de telle manière que tout étudiant peut y faire face. De plus, il ne faut pas oublier le grand nombre d’assistants. Certains d'entre eux ont été mentionnés ci-dessus.

Regardons des exemples sur la façon de résoudre un système d'inégalités linéaires.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}

Pour résoudre un système, vous avez besoin de chacune de ses inégalités constitutives. Seule la décision a été prise de ne pas écrire séparément, mais ensemble, en les combinant avec une accolade.

Dans chacune des inégalités du système, on déplace les inconnues d'un côté, les connues de l'autre de signe opposé :

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Après simplification, les deux côtés de l’inégalité doivent être divisés par le nombre devant X. On divise la première inégalité par un nombre positif, donc le signe de l'inégalité ne change pas. On divise la deuxième inégalité par un nombre négatif, il faut donc inverser le signe de l'inégalité :

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Nous marquons la solution des inégalités sur les droites numériques :

En réponse, nous notons l'intersection des solutions, c'est-à-dire la partie où les deux lignes sont ombrées.

Réponse : x∈[-2;1).

Dans la première inégalité, débarrassons-nous de la fraction. Pour ce faire, on multiplie les deux côtés terme par terme par le plus petit dénominateur commun 2. Lorsqu'il est multiplié par un nombre positif, le signe de l'inégalité ne change pas.

Dans la deuxième inégalité, nous ouvrons les parenthèses. Le produit de la somme et de la différence de deux expressions est égal à la différence des carrés de ces expressions. Sur le côté droit se trouve le carré de la différence entre les deux expressions.

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On déplace les inconnues d'un côté, les connues de l'autre avec le signe opposé et on simplifie :

Nous divisons les deux côtés de l’inégalité par le nombre devant X. Dans la première inégalité, on divise par un nombre négatif, donc le signe de l’inégalité est inversé. Dans la seconde, on divise par un nombre positif, le signe de l'inégalité ne change pas :

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Les deux inégalités ont un signe « inférieur à » (peu importe qu’un signe soit strictement « inférieur à », l’autre soit vague, « inférieur ou égal »). Nous ne pouvons pas marquer les deux solutions, mais utiliser la règle « ». Le plus petit est 1, donc le système se réduit à l'inégalité

Nous marquons sa solution sur la droite numérique :

Réponse : x∈(-∞;1].

Ouvrir les parenthèses. Dans la première inégalité - . Elle est égale à la somme des cubes de ces expressions.

Dans le second, le produit de la somme et de la différence de deux expressions, qui est égal à la différence des carrés. Comme ici il y a un signe moins devant les parenthèses, il est préférable de les ouvrir en deux étapes : utilisez d'abord la formule, puis ouvrez ensuite les parenthèses, en changeant le signe de chaque terme par le signe opposé.

On déplace les inconnues dans un sens, les connues dans l'autre avec le signe opposé :

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Les deux sont supérieurs aux signes. En utilisant la règle du « plus que plus », nous réduisons le système d’inégalités à une seule inégalité. Le plus grand des deux nombres est 5, donc

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Nous marquons la solution de l'inégalité sur la droite numérique et notons la réponse :

Réponse : x∈(5;∞).

Étant donné que dans les systèmes algébriques, les inégalités linéaires se produisent non seulement sous forme de tâches indépendantes, mais également au cours de la résolution de divers types d'équations, d'inégalités, etc., il est important de maîtriser ce sujet en temps opportun.

La prochaine fois, nous examinerons des exemples de résolution de systèmes d'inéquations linéaires dans des cas particuliers où l'une des inégalités n'a pas de solution ou si sa solution est un nombre quelconque.

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Définition 1 . Ensemble de points dans l'espace R. n , dont les coordonnées satisfont à l'équation UN 1 X 1 + un 2 X 2 +…+ un n X n = b, appelé ( n - 1 )-hyperplan dimensionnel dans n-espace dimensionnel.

Théorème 1. Un hyperplan divise tout l'espace en deux demi-espaces. Un demi-espace est un ensemble convexe.

L'intersection d'un nombre fini de demi-espaces est un ensemble convexe.

Théorème 2 . Résoudre une inégalité linéaire avec n inconnu

UN 1 X 1 + un 2 X 2 +…+ un n X n b

est l'un des demi-espaces dans lesquels l'espace entier est divisé par un hyperplan

UN 1 X 1 + UN 2 X 2 +…+un n X m= b.

Considérons un système de m inégalités linéaires avec n inconnu.

La solution à chaque inégalité du système est un certain demi-espace. La solution du système sera l'intersection de tous les demi-espaces. Cet ensemble sera fermé et convexe.

Résolution de systèmes d'inégalités linéaires

avec deux variables

Laissez un système de m inégalités linéaires à deux variables.

La solution de chaque inégalité sera l’un des demi-plans dans lesquels le plan entier est divisé par la droite correspondante. La solution du système sera l’intersection de ces demi-plans. Ce problème peut être résolu graphiquement sur un plan X 1 0 X 2 .

37. Représentation d'un polyèdre convexe

Définition 1. Fermé convexe ensemble limité dans R. n ayant un nombre fini points d'angle, est appelé convexe n-polyèdre dimensionnel.

Définition 2 . Fermé convexe illimité mis en place R. n ayant un nombre fini de points d’angle est appelé une région polyédrique convexe.

Définition 3 . Un tas de UNR. n est dit borné s’il existe n-boule dimensionnelle contenant cet ensemble.

Définition 4. Une combinaison linéaire convexe de points est l'expression où t i , .

Théorème (un théorème sur la représentation d'un polyèdre convexe). Tout point d'un polyèdre convexe peut être représenté comme une combinaison linéaire convexe de ses points d'angle.

38. Région des solutions admissibles d'un système d'équations et d'inégalités.

Laissez un système de méquations linéaires et inégalités avec n inconnu.

Définition 1 . Point R. n est appelé une solution possible du système si ses coordonnées satisfont aux équations et inégalités du système. L’ensemble de toutes les solutions possibles est appelé zone de solutions possibles (PSA) du système.

Définition 2. Une solution possible dont les coordonnées sont non négatives est appelée solution réalisable du système. L’ensemble de toutes les solutions réalisables est appelé le domaine de solutions réalisables (ADA) du système.

Théorème 1 . Un ODR est un sous-ensemble fermé, convexe, délimité (ou non limité) dans R. n.

Théorème 2. Une solution admissible du système est une solution de référence si et seulement si ce point est un point angulaire de l'ODS.

Théorème 3 (le théorème sur la représentation de l'ODR). Si l’ODS est un ensemble borné, alors toute solution réalisable peut être représentée comme une combinaison linéaire convexe des points d’angle de l’ODS (sous la forme d’une combinaison linéaire convexe des solutions de support du système).

Théorème 4 (le théorème sur l'existence d'une solution support du système). Si le système a au moins une solution admissible (ADS), alors parmi les solutions admissibles il y a au moins une solution de référence.

Il n’y a que des « X » et seulement l’axe des abscisses, mais maintenant des « Y » sont ajoutés et le champ d’activité s’étend à tout le plan de coordonnées. Plus loin dans le texte, l'expression « inégalité linéaire » est comprise dans un sens bidimensionnel, qui deviendra clair en quelques secondes.

En plus de la géométrie analytique, le matériel est pertinent pour un certain nombre de problèmes d'analyse mathématique et de modélisation économique et mathématique, je recommande donc d'étudier cette conférence avec le plus grand sérieux.

Inégalités linéaires

Il existe deux types d'inégalités linéaires :

1) Strict inégalités : .

2) Relâché inégalités : .

Quelle est la signification géométrique de ces inégalités ? Si une équation linéaire définit une droite, alors une inégalité linéaire définit demi-plan.

Pour comprendre les informations suivantes, vous devez connaître les types de lignes sur un plan et être capable de construire des lignes droites. Si vous rencontrez des difficultés dans cette partie, lisez l'aide Graphiques et propriétés des fonctions– paragraphe sur la fonction linéaire.

Commençons par les inégalités linéaires les plus simples. Le rêve de tout étudiant pauvre est un plan de coordonnées sur lequel il n'y a rien :

Comme vous le savez, l'axe des x est donné par l'équation - le « y » est toujours (pour toute valeur de « x ») égal à zéro

Considérons les inégalités. Comment le comprendre de manière informelle ? « Y » est toujours (pour toute valeur de « x ») positif. Évidemment, cette inégalité définit le demi-plan supérieur - après tout, tous les points avec des « jeux » positifs s'y trouvent.

Dans le cas où l'inégalité n'est pas stricte, au demi-plan supérieur en plus l'axe lui-même est ajouté.

De même : l'inégalité est satisfaite par tous les points du demi-plan inférieur ; une inégalité non stricte correspond au demi-plan inférieur + axe.

La même histoire prosaïque s’applique à l’axe des y :

– l'inégalité précise le demi-plan droit ;
– l'inégalité précise le demi-plan droit, y compris l'axe des ordonnées ;
– l'inégalité précise le demi-plan gauche ;
– l'inégalité précise le demi-plan gauche, y compris l'axe des ordonnées.

Dans un deuxième temps, nous considérons les inégalités dans lesquelles l’une des variables manque.

"Y" manquant :

Ou il n'y a pas de « x » :

Ces inégalités peuvent être traitées de deux manières : veuillez considérer les deux approches. Chemin faisant, rappelons et consolidons les actions scolaires sur les inégalités, déjà abordées en classe. Domaine de fonction.

Exemple 1

Résoudre des inégalités linéaires :

Que signifie résoudre une inégalité linéaire ?

Résoudre une inégalité linéaire signifie trouver un demi-plan, dont les points satisfont à cette inégalité (plus la droite elle-même, si l'inégalité n'est pas stricte). Solution, généralement, graphique.

Il est plus pratique d'exécuter immédiatement le dessin puis de tout commenter :

a) Résoudre l'inégalité

Première méthode

La méthode rappelle beaucoup l’histoire avec axes de coordonnées, dont nous avons parlé ci-dessus. L'idée est de transformer l'inégalité - de laisser une variable du côté gauche sans aucune constante, en l'occurrence la variable « x ».

Règle: Dans une inégalité, les termes sont transférés de partie en partie avec un changement de signe, tandis que le signe de l'inégalité LUI-MÊME ne change pas(par exemple, s'il y avait un signe « inférieur à », alors il restera « inférieur à »).

On déplace le « cinq » vers la droite avec un changement de signe :

Règle POSITIF ne change pas.

Tracez maintenant une ligne droite (ligne pointillée bleue). La ligne droite est tracée en pointillé car l'inégalité strict, et les points appartenant à cette ligne ne seront certainement pas inclus dans la solution.

Quelle est la signification de l’inégalité ? « X » est toujours (pour toute valeur de « Y ») inférieur à . Évidemment, cette affirmation est satisfaite par tous les points du demi-plan gauche. Ce demi-plan, en principe, peut être ombré, mais je me limiterai à de petites flèches bleues pour ne pas transformer le dessin en palette artistique.

Deuxième méthode

C'est une méthode universelle. A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT !

Nous traçons d’abord une ligne droite. Pour plus de clarté, il est d'ailleurs conseillé de présenter l'équation sous la forme .

Sélectionnez maintenant n'importe quel point du plan, n'appartenant pas à direct. Dans la plupart des cas, le point idéal est bien sûr. Remplaçons les coordonnées de ce point dans l'inégalité :

Reçu fausse inégalité(en termes simples, cela ne peut pas être le cas), cela signifie que le point ne satisfait pas l'inégalité.

La règle clé de notre tâche:
ne satisfait pas l'inégalité, alors TOUS points d'un demi-plan donné ne satisfais pas cette inégalité.
– Si n’importe quel point du demi-plan (n’appartenant pas à une droite) satisfait l'inégalité, alors TOUS points d'un demi-plan donné satisfaire cette inégalité.

Vous pouvez tester : tout point à droite de la droite ne satisfera pas l’inégalité.

Quelle est la conclusion de l’expérience avec la pointe ? Il n'y a nulle part où aller, l'inégalité est satisfaite par tous les points de l'autre demi-plan gauche (vous pouvez également vérifier).

b) Résoudre l'inégalité

Première méthode

Transformons l'inégalité :

Règle: Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par NÉGATIF nombre, avec le signe d'inégalité EN CHANGEANTà l'inverse (par exemple, s'il y avait un signe « supérieur ou égal », il deviendra « inférieur ou égal »).

Nous multiplions les deux côtés de l’inégalité par :

Traçons une ligne droite (rouge) et traçons une ligne continue, puisque nous avons l'inégalité non strict, et la ligne droite appartient évidemment à la solution.

Après avoir analysé l'inégalité résultante, nous arrivons à la conclusion que sa solution est le demi-plan inférieur (+ la droite elle-même).

Nous ombrons ou marquons le demi-plan approprié avec des flèches.

Deuxième méthode

Traçons une ligne droite. Choisissons par exemple un point arbitraire sur le plan (n'appartenant pas à une droite) et substituons ses coordonnées dans notre inégalité :

Reçu véritable inégalité, ce qui signifie que le point satisfait l'inégalité, et en général, TOUS les points du demi-plan inférieur satisfont à cette inégalité.

Ici, avec la pointe expérimentale, on « touche » le demi-plan souhaité.

La solution au problème est indiquée par une ligne rouge et des flèches rouges.

Personnellement, je préfère la première solution, puisque la seconde est plus formelle.

Exemple 2

Résoudre des inégalités linéaires :

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Essayez de résoudre le problème de deux manières (c'est d'ailleurs un bon moyen de vérifier la solution). La réponse à la fin du cours ne contiendra que le dessin final.

Je pense qu'après toutes les actions faites dans les exemples, vous devrez les marier ; il ne sera pas difficile de résoudre l'inégalité la plus simple comme, etc.

Passons maintenant au troisième cas, général, où les deux variables sont présentes dans l'inégalité :

Alternativement, le terme libre « ce » peut être nul.

Exemple 3

Trouver les demi-plans correspondant aux inégalités suivantes :

Solution: La méthode de solution universelle avec substitution de points est utilisée ici.

a) Construisons une équation pour la ligne droite, et la ligne doit être tracée sous forme de ligne pointillée, car l'inégalité est stricte et la ligne droite elle-même ne sera pas incluse dans la solution.

Nous sélectionnons par exemple un point expérimental du plan qui n'appartient pas à une droite donnée et substituons ses coordonnées dans notre inégalité :

Reçu fausse inégalité, ce qui signifie que le point et TOUS les points d'un demi-plan donné ne satisfont pas à l'inégalité. La solution à l'inégalité sera un autre demi-plan, on admire l'éclair bleu :

b) Résolvons l'inégalité. Tout d’abord, construisons une ligne droite. Ce n’est pas difficile à faire : nous avons la proportionnalité directe canonique. On trace la ligne en continu, puisque l’inégalité n’est pas stricte.

Choisissons un point arbitraire du plan qui n'appartient pas à la droite. J'aimerais réutiliser l'origine, mais, hélas, elle ne convient pas pour le moment. Par conséquent, vous devrez travailler avec un autre ami. Il est plus rentable de prendre un point avec de petites valeurs de coordonnées, par exemple . Remplaçons ses coordonnées dans notre inégalité :

Reçu véritable inégalité, ce qui signifie que le point et tous les points d'un demi-plan donné satisfont à l'inégalité . Le demi-plan souhaité est marqué par des flèches rouges. De plus, la solution inclut la ligne droite elle-même.

Exemple 4

Trouver les demi-plans correspondant aux inégalités :

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète, un échantillon approximatif de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon.

Regardons le problème inverse :

Exemple 5

a) Étant donné une ligne droite. Définir le demi-plan dans lequel se trouve le point, tandis que la droite elle-même doit être incluse dans la solution.

b) Étant donné une ligne droite. Définir demi-plan dans lequel se trouve le point. La ligne droite elle-même n’est pas incluse dans la solution.

Solution: Il n'y a pas besoin de dessin ici et la solution sera analytique. Rien de difficile :

a) Composons un polynôme auxiliaire et calculons sa valeur au point :
. Ainsi, l’inégalité souhaitée aura un signe « inférieur à ». Par condition, la droite est incluse dans la solution, donc l'inégalité ne sera pas stricte :

b) Composons un polynôme et calculons sa valeur au point :
. Ainsi, l’inégalité souhaitée aura un signe « supérieur à ». Par condition, la droite n'est pas incluse dans la solution, donc l'inégalité sera stricte : .

Répondre:

Exemple créatif pour l'auto-apprentissage :

Exemple 6

Étant donné des points et une ligne droite. Parmi les points répertoriés, trouvez ceux qui, avec l'origine des coordonnées, se trouvent du même côté de la ligne donnée.

Un petit indice : il faut d'abord créer une inégalité qui détermine le demi-plan dans lequel se situe l'origine des coordonnées. Solution analytique et réponse à la fin de la leçon.

Systèmes d'inégalités linéaires

Un système d'inégalités linéaires est, comme vous l'avez compris, un système composé de plusieurs inégalités. Mdr, eh bien, j'ai donné la définition =) Un hérisson est un hérisson, un couteau est un couteau. Mais c’est vrai, cela s’est avéré simple et accessible ! Non, sérieusement, je ne veux pas donner d’exemples généraux, alors passons directement aux questions urgentes :

Que signifie résoudre un système d’inéquations linéaires ?

Résoudre un système d'inégalités linéaires- cela signifie trouver l'ensemble des points sur l'avion, qui satisfont pour chaque inégalité du système.

Comme exemples les plus simples, considérons les systèmes d'inégalités qui déterminent les quarts de coordonnées d'un système de coordonnées rectangulaires (« l'image des élèves pauvres » est au tout début de la leçon) :

Le système d'inégalités définit le premier quartier de coordonnées (en haut à droite). Coordonnées de n'importe quel point du premier quartier, par exemple : etc. satisfaire pour chaque inégalité de ce système.

De même:
– le système d'inégalités précise le deuxième quart de coordonnées (en haut à gauche) ;
– le système d'inégalités définit le troisième quart de coordonnées (en bas à gauche) ;
– le système d'inégalités définit le quatrième quart de coordonnées (en bas à droite).

Un système d'inégalités linéaires peut n'avoir aucune solution, c'est-à-dire être non conjoint. Encore une fois l'exemple le plus simple : . Il est bien évident que « x » ne peut pas être simultanément supérieur à trois et inférieur à deux.

La solution du système d'inégalités peut être une ligne droite, par exemple : . Un cygne, une écrevisse, sans brochet, tirant la charrette dans deux directions différentes. Oui, les choses sont toujours là : la solution à ce système est la ligne droite.

Mais le cas le plus courant est celui où la solution au système est une zone plane. Zone de solutions Peut être pas limité(par exemple, coordonner les quartiers) ou limité. La région de solution limitée est appelée système de solution de polygones.

Exemple 7

Résoudre un système d'inégalités linéaires

En pratique, dans la plupart des cas, nous avons affaire à des inégalités faibles, ce seront donc eux qui mèneront la danse en rond pour le reste de la leçon.

Solution: Le fait qu’il y ait trop d’inégalités ne devrait pas faire peur. Combien d’inégalités peut-il y avoir dans le système ? Oui, autant que tu veux. L'essentiel est d'adhérer à un algorithme rationnel pour construire une zone de solution :

1) Nous traitons d’abord des inégalités les plus simples. Les inégalités définissent le premier quart de coordonnées, y compris la limite des axes de coordonnées. C’est déjà beaucoup plus simple, puisque la zone de recherche s’est considérablement réduite. Sur le dessin, on marque immédiatement les demi-plans correspondants avec des flèches (flèches rouges et bleues)

2) La deuxième inégalité la plus simple est qu’il n’y a pas de « Y » ici. Premièrement, nous construisons la droite elle-même et, deuxièmement, après avoir transformé l'inégalité sous la forme , il devient immédiatement clair que tous les « X » sont inférieurs à 6. Nous marquons le demi-plan correspondant avec des flèches vertes. Eh bien, la zone de recherche est devenue encore plus petite - un tel rectangle n'est pas limité par le haut.

3) A la dernière étape on résout les inégalités « à pleines munitions » : . Nous avons discuté de l’algorithme de solution en détail dans le paragraphe précédent. En bref : on construit d'abord une droite, puis, à l'aide d'un point expérimental, on trouve le demi-plan dont on a besoin.

Levez-vous, les enfants, formez un cercle :


La zone de solution du système est un polygone; sur le dessin, elle est délimitée par une ligne cramoisie et ombrée. J'en ai un peu exagéré =) Dans le cahier, il suffit soit d'ombrer la zone de solution, soit de la délimiter plus audacieusement avec un simple crayon.

N'importe quel point d'un polygone donné satisfait CHAQUE inégalité du système (vous pouvez le vérifier pour le plaisir).

Répondre: La solution du système est un polygone.

Lorsque vous demandez une copie vierge, ce serait une bonne idée de décrire en détail les points que vous avez utilisés pour construire des lignes droites (voir leçon Graphiques et propriétés des fonctions), et comment les demi-plans ont été déterminés (voir le premier paragraphe de cette leçon). Cependant, dans la pratique, dans la plupart des cas, seul le dessin correct vous sera crédité. Les calculs eux-mêmes peuvent être effectués sur un brouillon ou même oralement.

En plus du polygone de solution du système, il existe en pratique, quoique moins fréquemment, une région ouverte. Essayez de comprendre vous-même l’exemple suivant. Bien que, par souci de précision, il n'y ait pas de torture ici - l'algorithme de construction est le même, c'est juste que la zone ne sera pas limitée.

Exemple 8

Résoudre le système

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. Vous aurez probablement des lettres différentes pour les sommets de la région résultante. Ce n'est pas important, l'essentiel est de trouver correctement les sommets et de construire correctement la zone.

Il n’est pas rare que des problèmes nécessitent non seulement de construire le domaine de solution d’un système, mais également de trouver les coordonnées des sommets du domaine. Dans les deux exemples précédents, les coordonnées de ces points étaient évidentes, mais en pratique tout est loin d'être de la glace :

Exemple 9

Résolvez le système et trouvez les coordonnées des sommets de la région résultante

Solution: Représentons dans le dessin la zone de solution de ce système. L'inégalité définit le demi-plan gauche avec l'axe des ordonnées, et il n'y a plus de cadeau ici. Après des calculs sur la copie/brouillon final ou une réflexion approfondie, nous obtenons le domaine de solutions suivant :

Matériaux additionnels
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Système d'inégalités

Les gars, vous avez étudié les inégalités linéaires et quadratiques et appris à résoudre des problèmes sur ces sujets. Passons maintenant à un nouveau concept en mathématiques : le système d'inégalités. Un système d'inégalités est similaire à un système d'équations. Vous souvenez-vous des systèmes d’équations ? Vous avez étudié des systèmes d'équations en septième année, essayez de vous rappeler comment vous les avez résolus.

Introduisons la définition d'un système d'inégalités.
Plusieurs inégalités avec une variable x forment un système d'inégalités si vous avez besoin de trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles chacune des inégalités forme une expression numérique correcte.

Toute valeur de x pour laquelle chaque inégalité prend l'expression numérique correcte est une solution à l'inégalité. Peut également être appelé une solution privée.
Qu'est-ce qu'une solution privée ? Par exemple, dans la réponse, nous avons reçu l'expression x>7. Alors x=8, ou x=123, ou tout autre nombre supérieur à sept est une solution particulière, et l'expression x>7 est une solution générale. La solution générale est formée de nombreuses solutions privées.

Comment avons-nous combiné le système d’équations ? C'est vrai, une accolade, et donc ils font la même chose avec les inégalités. Regardons un exemple de système d'inégalités : $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Si le système d'inégalités est constitué d'expressions identiques, par exemple $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Alors, qu’est-ce que cela signifie : trouver une solution à un système d’inégalités ?
Une solution à une inégalité est un ensemble de solutions partielles à une inégalité qui satisfont à la fois les deux inégalités du système.

Nous écrivons la forme générale du système d'inégalités sous la forme $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Notons $Х_1$ comme la solution générale de l'inégalité f(x)>0.
$X_2$ est la solution générale de l'inégalité g(x)>0.
$X_1$ et $X_2$ sont un ensemble de solutions particulières.
La solution au système d'inégalités sera des nombres appartenant à la fois à $X_1$ et à $X_2$.
Rappelons les opérations sur les décors. Comment trouver les éléments d’un ensemble qui appartiennent aux deux ensembles à la fois ? C'est vrai, il existe une opération d'intersection pour cela. Ainsi, la solution de notre inégalité sera l'ensemble $A= X_1∩ X_2$.

Exemples de solutions aux systèmes d’inégalités

Regardons des exemples de résolution de systèmes d'inégalités.

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Solution.
a) Résolvez chaque inéquation séparément.
$3x-1>2 ; \; 3x>3 ; \; x>1$.
$5x-10
Marquons nos intervalles sur une ligne de coordonnées.

La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. L'inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert.
Réponse : (1 ; 3).

B) Nous résoudrons également chaque inéquation séparément.
2x-4≤6 $ ; 2x≤ 10 ; x ≤ 5 $.
$-x-4 -5$.


La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. La deuxième inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert à gauche.
Réponse : (-5 ; 5].

Résumons ce que nous avons appris.
Disons qu'il faut résoudre le système d'inégalités : $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Alors, l'intervalle ($x_1 ; x_2$) est la solution de la première inégalité.
L'intervalle ($y_1; y_2$) est la solution de la deuxième inégalité.
La solution d’un système d’inégalités est l’intersection des solutions de chaque inégalité.

Les systèmes d'inégalités peuvent comprendre non seulement des inégalités de premier ordre, mais également tout autre type d'inégalités.

Règles importantes pour résoudre les systèmes d'inégalités.
Si l’une des inégalités du système n’a pas de solution, alors le système tout entier n’a pas de solution.
Si l'une des inégalités est satisfaite pour n'importe quelle valeur de la variable, alors la solution du système sera la solution de l'autre inégalité.

Exemples.
Résoudre le système d'inégalités :$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solution.
Résolvons chaque inégalité séparément.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Résolvons la deuxième inégalité.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

La solution de l'inégalité est l'intervalle.
Traçons les deux intervalles sur la même ligne et trouvons l'intersection.
L'intersection des intervalles est le segment (4 ; 6).
Réponse : (4;6].

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Solution.
a) La première inégalité a une solution x>1.
Trouvons le discriminant de la deuxième inégalité.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Rappelons la règle : lorsqu'une des inégalités n'a pas de solution, alors tout le système n'a pas de solution.
Réponse : Il n’y a pas de solutions.

B) La première inégalité a une solution x>1.
La deuxième inégalité est supérieure à zéro pour tout x. Alors la solution du système coïncide avec la solution de la première inégalité.
Réponse : x>1.

Problèmes sur les systèmes d'inégalités pour une solution indépendante

Résoudre des systèmes d'inégalités :
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cases)x^2+36