Très facile à retenir.

Bon, n'allons pas loin, regardons ça tout de suite fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est le nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.

A quoi est-ce égal ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples:

1. Trouvez la dérivée de la fonction.
2. Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: Les logarithmes exponentiel et naturel sont des fonctions particulièrement simples du point de vue dérivé. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est soustraite du signe dérivé.

Si - un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.

Exemples.

Trouvez les dérivées des fonctions :

1. à un moment donné ;
2. à un moment donné ;
3. à un moment donné ;
4. à ce point.

Solutions:

1. (la dérivée est la même en tous points, puisque c'est une fonction linéaire, vous vous souvenez ?) ;

Dérivé du produit

Tout est pareil ici : entrons nouvelle fonctionnalité et trouvez son incrément :

Dérivé:

Exemples:

1. Trouver les dérivées des fonctions et ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction en un point.

Solutions:

Dérivée d'une fonction exponentielle

Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :

Pour cela nous utiliserons règle simple: . Alors:

Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Arrivé?

Ici, vérifiez par vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :

Réponses:

Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit sous une forme plus simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.

Notez que voici le quotient de deux fonctions, nous appliquons donc la règle de différenciation correspondante :

Dans cet exemple, le produit de deux fonctions :

Dérivée d'une fonction logarithmique

C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :

Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, nous écrirons à la place :

Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :

Dérivées exponentielles et fonctions logarithmiques n'apparaissent presque jamais à l'examen d'État unifié, mais cela ne ferait pas de mal de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Ce qui s'est passé " fonction complexe" ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».

Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.

Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour notre exemple, .

On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Caractéristique importante fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Deuxième exemple : (même chose). .

L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction

1. Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
   Et la fonction originelle est leur composition : .
2. Interne: ; externe: .
   Examen: .
3. Interne: ; externe: .
   Examen: .
4. Interne: ; externe: .
   Examen: .
5. Interne: ; externe: .
   Examen: .

Nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Cela semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

Solutions:

1) Interne : ;

Externe: ;

2) Interne : ;

(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort de sous le cosinus, vous vous souvenez ?)

3) Interne : ;

Externe: ;

Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et on en extrait également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.

Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.

Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :

Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :

Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons la marche à suivre.

1. Expression radicale. .

2. Racine. .

3. Sinus. .

4. Carré. .

5. Rassembler le tout :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est soustraite du signe dérivé :

Dérivée de la somme :

Dérivé du produit :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

1. Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
2. Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
3. Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Contenu

Éléments de contenu

Dérivée, tangente, primitive, graphiques de fonctions et dérivées.

Dérivé Soit la fonction \(f(x)\) définie dans un certain voisinage du point \(x_0\).

Dérivée de la fonction \(f\) au point \(x_0\) appelée limite

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

si cette limite existe.

La dérivée d'une fonction en un point caractérise le taux de variation de cette fonction en un point donné.

Tableau des dérivés

Fonction	Dérivé
\(const\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\péché x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\péché x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Règles de différenciation\(f\) et \(g\) sont des fonctions dépendant de la variable \(x\) ; \(c\) est un nombre.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - dérivée d'une fonction complexe

Signification géométrique de la dérivée Équation d'une droite- non parallèle à l'axe \(Oy\) peut s'écrire sous la forme \(y=kx+b\). Le coefficient \(k\) dans cette équation est appelé pente d'une droite. C'est égal à la tangente angle d'inclinaison cette ligne droite.

Angle droit- l'angle entre la direction positive de l'axe \(Ox\) et cette droite, mesuré dans le sens des angles positifs (c'est-à-dire dans le sens de la plus petite rotation de l'axe \(Ox\) vers le \ (Oy\) axe).

La dérivée de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) est égale à la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point : \(f"(x_0)=\tg\ alpha.\)

Si \(f"(x_0)=0\), alors la tangente au graphe de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) est parallèle à l'axe \(Ox\).

Équation tangente

Équation de la tangente au graphe de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) :

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonie de la fonction Si la dérivée d'une fonction est positive en tous points de l'intervalle, alors la fonction augmente sur cet intervalle.

Si la dérivée d'une fonction est négative en tous points de l'intervalle, alors la fonction décroît sur cet intervalle.

Points minimum, maximum et d'inflexion positif sur négatifà ce stade, alors \(x_0\) est le point maximum de la fonction \(f\).

Si la fonction \(f\) est continue au point \(x_0\), et que la valeur de la dérivée de cette fonction \(f"\) change avec négatif sur positifà ce stade, alors \(x_0\) est le point minimum de la fonction \(f\).

Les points auxquels la dérivée \(f"\) est égale à zéro ou n'existe pas sont appelés points critiques fonctions \(f\).

Points internes du domaine de définition de la fonction \(f(x)\), dans lequel \(f"(x)=0\) peut être des points minimum, maximum ou d'inflexion.

Signification physique du dérivé Si un point matériel se déplace rectiligne et que sa coordonnée change en fonction du temps selon la loi \(x=x(t)\), alors la vitesse de ce point est égale à la dérivée de la coordonnée par rapport au temps :

L'accélération d'un point matériel est égale à la dérivée de la vitesse de ce point par rapport au temps :

\(a(t)=v"(t).\)

La droite y=3x+2 est tangente au graphique de la fonction y=-12x^2+bx-10. Trouvez b, étant donné que l'abscisse du point tangent est inférieure à zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point du graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10 par lequel passe la tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=-24x_0+b=3. Par contre, le point de tangence appartient simultanément au graphe du fonction et la tangente, soit -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. On obtient un système d'équations \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1. D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

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Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) (qui est une ligne brisée composée de trois segments droits). À l’aide de la figure, calculez F(9)-F(5), où F(x) est l’une des primitives de la fonction f(x).

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Solution

D'après la formule de Newton-Leibniz, la différence F(9)-F(5), où F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), est égale à l'aire du trapèze curviligne limité par le graphique de la fonction y=f(x), droites y=0 , x=9 et x=5. À partir du graphique, nous déterminons que le trapèze courbe indiqué est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

Sa superficie est égale \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau de profil" Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

La figure montre un graphique de y=f"(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-4 ; 10). Trouvez les intervalles de la fonction décroissante f(x). Dans votre réponse, indiquer la longueur du plus grand d'entre eux.

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Solution

Comme on le sait, la fonction f(x) décroît sur les intervalles en chaque point dont la dérivée f"(x) est inférieure à zéro. Considérant qu'il est nécessaire de trouver la longueur du plus grand d'entre eux, trois de ces intervalles sont se distingue naturellement du chiffre : (-4 ; -2) ; (0 ; 3) ; (5 ; 9).

La longueur du plus grand d'entre eux - (5 ; 9) est de 4.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

La figure montre un graphique de y=f"(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-8 ; 7). Trouvez le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant à l'intervalle [-6; -2].

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Solution

Le graphique montre que la dérivée f"(x) de la fonction f(x) change de signe de plus à moins (à ces points il y aura un maximum) en exactement un point (entre -5 et -4) de l'intervalle [ -6; -2 ] Par conséquent, sur l'intervalle [-6; -2] il y a exactement un point maximum.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-2 ; 8). Déterminer le nombre de points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égale à 0.

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Solution

L'égalité de la dérivée en un point à zéro signifie que la tangente au graphique de la fonction tracée en ce point est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, nous trouvons des points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à l'axe Ox. Sur ce graphique, ces points sont des points extremum (points maximum ou minimum). Comme vous pouvez le constater, il y a 5 points extrêmes.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

La droite y=-3x+4 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y=-x^2+5x-7. Trouvez l'abscisse du point tangent.

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Solution

Le coefficient angulaire de la droite du graphique de la fonction y=-x^2+5x-7 en un point arbitraire x_0 est égal à y"(x_0). Mais y"=-2x+5, ce qui signifie y" (x_0)=-2x_0+5. Angulaire le coefficient de la droite y=-3x+4 spécifié dans la condition est égal à -3. Les droites parallèles ont les mêmes coefficients de pente. On trouve donc une valeur x_0 telle que =- 2x_0 +5=-3.

On obtient : x_0 = 4.

Répondre

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et les points -6, -1, 1, 4 sont marqués en abscisse. En lequel de ces points la dérivée est-elle la plus petite ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

Type de cours : répétition et généralisation.

Format du cours : cours-consultation.

Objectifs de la leçon:

• éducatif: répéter et généraliser les connaissances théoriques sur les thèmes : « Signification géométrique de la dérivée » et « Application de la dérivée à l'étude des fonctions » ; considérer tous les types de problèmes B8 rencontrés à l'examen d'État unifié de mathématiques ; donner aux étudiants la possibilité de tester leurs connaissances décision indépendante Tâches; apprendre à remplir le formulaire de réponse à l'examen ;
• développement: favoriser le développement de la communication comme méthode savoir scientifique, la mémoire sémantique et attention volontaire; formation d'un tel compétences clées, tels que la comparaison, la juxtaposition, la classification d'objets, la détermination de moyens adéquats pour résoudre une tâche éducative sur la base d'algorithmes donnés, la capacité d'agir de manière indépendante dans des situations d'incertitude, de contrôler et d'évaluer ses activités, de trouver et d'éliminer les causes des difficultés ;
• éducatif: développer chez les étudiants compétences en communication(culture de la communication, capacité à travailler en groupe) ; favoriser le développement du besoin d’auto-éducation.

Technologies : éducation au développement, TIC.

Méthodes d'enseignement: verbal, visuel, pratique, problématique.

Formes de travail : individuel, frontal, groupe.

Accompagnement pédagogique et méthodologique :

1. Algèbre et débuts de l'analyse mathématique. 11e année : manuel. Pour l'enseignement général Institutions : base et profil. niveaux / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); édité par A. B. Zhizhchenko. – 4e éd. – M. : Éducation, 2011.

2. Examen d'État unifié : 3000 problèmes avec réponses en mathématiques. Toutes les tâches du groupe B/A.L. Semenov, I.V. Iachchenko et autres ; édité par A.L. Semionova, I.V. Iachchenko. – M. : Maison d’édition « Exam », 2011.

3. Ouvrez la banque de tâches.

Équipement et matériel pour le cours : projecteur, écran, PC pour chaque étudiant avec une présentation installée dessus, impression d'un mémo pour tous les étudiants (Annexe 1) et feuille de match ( Annexe 2) .

Préparation préliminaire du cours : en devoirs, les étudiants sont invités à répéter du matériel théorique du manuel sur les thèmes : « Signification géométrique de la dérivée », « Application de la dérivée à l'étude des fonctions » ; La classe est divisée en groupes (4 personnes chacun), dans chacun desquels se trouvent des étudiants de différents niveaux.

Explication de la leçon : Cette leçon est enseignée en 11e au stade du redoublement et de la préparation à l'examen d'État unifié. La leçon vise à répéter et à généraliser le matériel théorique, à l'appliquer à la résolution de problèmes d'examen. Durée du cours - 1,5 heures .

Cette leçon n'est pas jointe au manuel, elle peut donc être enseignée tout en travaillant sur n'importe quel matériel pédagogique. Cette leçon peut également être divisée en deux leçons distinctes et enseignée comme leçon finale sur les sujets abordés.

Pendant les cours

I. Moment organisationnel.

II. Leçon sur l'établissement d'objectifs.

III. Répétition sur le thème « Signification géométrique des dérivées ».

Travail oral frontal à l'aide d'un projecteur (diapositives n°3-7)

Travail en groupe : résoudre des problèmes avec des indices, des réponses, avec consultation de l'enseignant (diapositives n° 8-17)

IV. Travail indépendant 1.

Les étudiants travaillent individuellement sur PC (diapositives n°18 à 26) et inscrivent leurs réponses dans la fiche d'évaluation. Si nécessaire, vous pouvez consulter un professeur, mais dans ce cas l'élève perdra 0,5 point. Si l'étudiant termine le travail plus tôt, il peut choisir de résoudre des tâches supplémentaires de la collection, pp. 242, 306-324 (les tâches supplémentaires sont évaluées séparément).

V. Vérification mutuelle.

Les élèves échangent des fiches d’évaluation, vérifient le travail d’un ami et attribuent des points (diapositive n°27)

VI. Correction des connaissances.

VII. Répétition sur le thème « Application de la dérivée à l'étude des fonctions »

Travail oral frontal à l'aide d'un projecteur (diapositives n°28-30)

Travail en groupe : résoudre des problèmes avec des indices, des réponses, avec consultation de l'enseignant (diapositives n° 31-33)

VIII. Travail indépendant 2.

Les étudiants travaillent individuellement sur un PC (diapositives n°34 à 46) et saisissent leurs réponses sur le formulaire de réponse. Si nécessaire, vous pouvez consulter un professeur, mais dans ce cas l'élève perdra 0,5 point. Si l'étudiant termine le travail plus tôt, il peut choisir de résoudre des tâches supplémentaires de la collection, pp. 243-305 (les tâches supplémentaires sont évaluées séparément).

IX. Examen par les pairs.

Les élèves échangent des fiches d’évaluation, vérifient le travail de leur ami et attribuent des points (diapositive n°47).

X. Correction des connaissances.

Les élèves travaillent à nouveau en groupe, discutent de la solution et corrigent les erreurs.

XI. Résumer.

Chaque élève calcule ses points et inscrit une note sur la feuille de notation.

Les élèves soumettent à l'enseignant une fiche d'évaluation et des solutions à des problèmes supplémentaires.

Chaque élève reçoit un mémo (diapositive n°53-54).

XII. Réflexion.

Les étudiants sont invités à évaluer leurs connaissances en choisissant l'une des phrases :

• J'ai réussi!!!
• Nous devons résoudre quelques exemples supplémentaires.
• Eh bien, qui a inventé ce calcul !

XIII. Devoirs.

Pour devoirs Les étudiants sont invités à choisir de résoudre des tâches de la collection, pp. 242-334, ainsi que d'une banque ouverte de tâches.