Preuves de théorèmes sur les propriétés du cercle circonscrit d'un triangle

Bissectrice perpendiculaire à un segment de droite

Définition 1. Médiatrice perpendiculaire à un segment appelée ligne droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu (Fig. 1).

Théorème 1. Chaque point de la médiatrice d'un segment est situé à la même distance des extrémités ce segment.

Preuve . Considérons un point arbitraire D situé sur la médiatrice du segment AB (Fig. 2), et prouvons que les triangles ADC et BDC sont égaux.

En effet, ces triangles sont des triangles rectangles dans lesquels les branches AC et BC sont égales, et la branche DC est commune. L'égalité des triangles ADC et BDC implique l'égalité des segments AD et DB. Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2 (Converse du théorème 1). Si un point est à la même distance des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.

Preuve . Démontrons le théorème 2 par contradiction. Pour cela, supposons qu'un point E soit à la même distance des extrémités du segment, mais ne se trouve pas sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment. Amenons cette hypothèse à une contradiction. Considérons d'abord le cas où les points E et A se situent sur des côtés opposés de la médiatrice (Fig. 3). Dans ce cas, le segment EA coupe la médiatrice en un certain point, que nous désignerons par la lettre D.

Montrons que le segment AE est plus long que le segment EB. Vraiment,

Ainsi, dans le cas où les points E et A se situent sur des côtés opposés de la médiatrice, nous avons une contradiction.

Considérons maintenant le cas où les points E et A se trouvent du même côté de la médiatrice (Fig. 4). Montrons que le segment EB est plus long que le segment AE. Vraiment,

La contradiction qui en résulte complète la preuve du théorème 2

Cercle circonscrit à un triangle

Définition 2. Un cercle circonscrit à un triangle, est appelé un cercle passant par les trois sommets du triangle (Fig. 5). Dans ce cas, le triangle s'appelle triangle inscrit dans un cercle ou triangle inscrit.

Propriétés du cercle circonscrit d'un triangle. Théorème des sinus

Chiffre	Dessin	Propriété
Médiatrices perpendiculaires sur les côtés du triangle		se croisent en un point .
Centre cercle circonscrit à un triangle aigu		Centre décrit à propos à angle aigu à l'intérieur Triangle.
Centre cercle circonscrit à un triangle rectangle		Le centre a décrit environ rectangulaire milieu de l'hypoténuse .
Centre cercle circonscrit à un triangle obtus		Centre décrit à propos à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors Triangle.
		,
Carré Triangle		S= 2R. 2 péché UN péché B péché C ,
Circonstance		Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

Médiatrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle

Toutes les médiatrices , dessiné sur les côtés d'un triangle arbitraire, se croisent en un point .

Cercle circonscrit à un triangle

N'importe quel triangle peut être entouré d'un cercle . Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection de toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés du triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle aigu

Centre décrit à propos à angle aigu Le cercle triangulaire se trouve à l'intérieur Triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le centre a décrit environ rectangulaire le cercle triangulaire est milieu de l'hypoténuse .

Centre du cercle circonscrit d'un triangle obtus

Centre décrit à propos à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors Triangle.

Pour tout triangle, les égalités suivantes sont vraies (théorème des sinus) : , où a, b, c sont les côtés du triangle, A, B, C sont les angles du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Aire d'un triangle

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : S= 2R. 2 péché UN péché B péché C , où A, B, C sont les angles du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Circonstance

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : où a, b, c sont les côtés du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Preuves de théorèmes sur les propriétés du cercle circonscrit d'un triangle

Théorème 3. Toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés d’un triangle arbitraire se coupent en un point.

Preuve . Considérons deux bissectrices perpendiculaires tracées aux côtés AC et AB du triangle ABC, et désignons leur point d'intersection par la lettre O (Fig. 6).

Puisque le point O se trouve sur la médiatrice du segment AC, alors en vertu du théorème 1, l'égalité est vraie.

THÉORÈME SUR LE CERCLE DÉCRIT AUTOUR D'UN POLYGONE : Autour de tout polygone régulier il est possible de décrire un cercle, et un seul. THÉORÈME SUR UN CERCLE INSCRIT DANS UN POLYGONE RÉGULIER : Un cercle peut être inscrit dans n'importe quel polygone régulier, et dans un seul.

SPa4a4 rRN Calcul de l'aire d'un polygone régulier, de son côté et du rayon du cercle inscrit et du rayon du cercle inscrit

Aires des polygones réguliers Aires des polygones réguliers NOMS ET ZONE DES POLYGONES Nombre de côtés Nom du polygone Aire d'un polygone régulier 3Triangle0.433a 2 4Quadrilatère1.000a 2 5Pentagone1.720a 2 6Hexagone2.598a 2 7Heptagone3.634a 2 8Octogone4.828a 2 9Octogone6,182a 2 10Décagone7,694a 2 nn- carré

0 angles inscrits. Hippocrate de Chios La preuve présentée dans les manuels modernes qu'un angle inscrit est mesuré par la moitié de l'arc sur lequel il repose est donnée dans les Éléments d'Euclide. Cette proposition est cependant également évoquée par Hippocrate de Chios (Ve siècle avant JC) dans son ouvrage sur les « trous ». Les œuvres d'Hippocrate l'indiquent déjà dans la seconde moitié du Ve siècle. avant JC e. un grand nombre de théorèmes énoncés dans les Éléments d’Euclide étaient connus et la géométrie atteignit un haut niveau de développement. Les Babyloniens savaient qu'un angle inscrit basé sur un diamètre était un angle droit il y a 4000 ans. Sa première preuve est attribuée par Pamphylie, écrivain romain du temps de Néron, à Thalès de Milet.

0 polygones réguliers Des quadrangles, des hexagones et des octogones réguliers se retrouvent dans les monuments antiques égyptiens et babyloniens sous forme d'images sur les murs et de décorations taillées dans la pierre. Les scientifiques de la Grèce antique ont commencé à montrer un grand intérêt pour les figures régulières depuis l’époque de Pythagore. Diviser un cercle en plusieurs parties égales pour construire des polygones réguliers était important pour les Pythagoriciens, qui affirmaient que les nombres étaient à la base de tous les phénomènes du monde. La doctrine des polygones réguliers, commencée à l'école de Pythagore, se poursuit et se développe au VIIe siècle. avant JC e., a été systématisé par Euclide et exposé dans le livre IV des Éléments. En plus de construire un triangle régulier, un quadrilatère, un pentagone et un hexagone, Euclide résout également le problème de la construction d'un triangle régulier à quinze côtés en utilisant uniquement un compas et une règle. Cette figure a attiré l'attention des anciens, car on a remarqué que l'arc de l'angle d'inclinaison de l'écliptique par rapport à l'équateur représente le cercle entier, c'est-à-dire qu'il est sous-tendu par le côté d'un triangle régulier à quinze côtés.

A B C O1 O2 O1 est le centre du cercle circonscrit, O2 est le centre du cercle inscrit Nécessité : Suffisance : D AB + CD = BC + AD et donc AB = CD = BAD = ADC, mais BAD + ABC = 180 Donc ADC + ABC = 180 , et un cercle peut s'inscrire autour du trapèze ABCD. De plus, AB + CD = BC + AD et, donc, un cercle peut s'inscrire dans ABCD. Il faut et il suffit que le trapèze soit équilatéral et le côté latéral égal à la moitié de la somme des bases.

Dans cette leçon nous rappellerons les bases sur lesquelles repose la théorie des cercles inscrits et circonscrits, nous rappellerons les caractéristiques des quadrilatères circonscrits et inscrits. De plus, nous dériverons des formules pour trouver les rayons du cercle circonscrit et inscrit dans divers cas.

Sujet : Cercle

Leçon : Cercles inscrits et circonscrits

Tout d’abord, nous parlons de cercles inscrits et circonscrits par rapport à un triangle. Nous sommes préparés pour ce sujet car nous avons étudié les propriétés des médiatrices et des médiatrices d’un triangle.

Un cercle peut être inscrit dans n'importe quel triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1

Preuve:

Nous savons que toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point - que ce soit au point O. Dessinons les bissectrices AO, BO, CO. Leur point d'intersection O est équidistant des côtés du triangle. Il est équidistant des côtés de l'angle - AC et AB, puisqu'il appartient à la bissectrice de cet angle. De même, il est à égale distance des côtés des angles et donc des trois côtés du triangle.

Déposons les perpendiculaires du point O aux côtés du triangle - OM au côté AC, OL au BC, OK au AB. Ces perpendiculaires seront les distances du point O aux côtés du triangle, et elles sont égales :

.

Notons la distance du point O aux côtés du triangle par r et considérons un cercle avec un centre au point O et un rayon r.

Le cercle touche la droite AB, car a un point commun K avec lui, et le rayon OK tracé jusqu'à ce point est perpendiculaire à la droite AB. De même, le cercle touche les droites AC et BC. Ainsi, le cercle touche tous les côtés du triangle, ce qui signifie qu’il est inscrit dans le triangle.

Ainsi, les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit.

Considérons un autre théorème, il concerne le point d'intersection des médiatrices d'un triangle. On sait qu'ils se coupent en un point, et ce point coïncide avec le centre du cercle circonscrit au triangle.

Un cercle peut être tracé autour de n’importe quel triangle.

Un triangle est donc donné. Traçons la bissectrice p 1 du côté du triangle BC, p 2 du côté AB, p 3 du côté AC (voir Fig. 2).

D'après le théorème sur les propriétés des médiatrices, un point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment. Par conséquent, parce que le point Q appartient à la médiatrice du segment AC. De même. Ainsi, le point Q est à égale distance des sommets du triangle. Donc QA, QB, QC sont des rayons

Riz. 2

cercle circonscrit à un triangle. Notons le rayon R. Le point O de l'intersection des perpendiculaires bisectorales est le centre du cercle circonscrit.

Considérons un cercle inscrit dans un certain quadrilatère et les propriétés de ce quadrilatère (voir Fig. 3).

Rappelons les propriétés d'un point situé sur la bissectrice d'un angle.

Un angle est donné, sa bissectrice est AL, le point M se situe sur la bissectrice.

Si le point M se trouve sur la bissectrice d'un angle, alors il est à égale distance des côtés de l'angle, c'est-à-dire que les distances du point M à AC et à BC des côtés de l'angle sont égales.

Riz. 3

La distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire. Du point M on trace les perpendiculaires MK au côté AB et MR au côté AC.

Considérons les triangles et . Ce sont des triangles rectangles et ils sont égaux parce que... ont une hypoténuse commune AM, et les angles sont égaux, puisque AL est la bissectrice de l'angle. Ainsi, les triangles rectangles sont égaux en hypoténuse et en angle aigu, il s'ensuit que , c'est ce qu'il fallait prouver. Ainsi, un point de la bissectrice d’un angle est équidistant des côtés de cet angle.

En plus, les jambes. Ainsi, les segments tangents dessinés à un cercle à partir d'un point sont égaux.

Revenons donc au quadrilatère. La première étape consiste à y tracer des bissectrices.

Toutes les bissectrices d'un quadrilatère se coupent en un point - le point O, le centre du cercle inscrit.

À partir du point O, nous abaissons les perpendiculaires aux côtés du quadrilatère jusqu'aux points K, L, M, N et déterminons les points de tangence (voir Fig. 3).

Les tangentes tracées à un cercle à partir d'un point sont égales les unes aux autres, donc une paire de tangentes égales émergent de chaque sommet : , , , .

Riz. 3

Si un cercle peut s’inscrire dans un quadrilatère, alors les sommes de ses côtés opposés sont égales. C'est facile à prouver :

Développons les parenthèses :

Ainsi, nous avons prouvé un théorème simple mais important.

Si un cercle peut s’inscrire dans un quadrilatère, alors les sommes de ses côtés opposés sont égales.

Le théorème inverse est vrai.

Si dans un quadrilatère les sommes des côtés opposés sont égales, alors un cercle peut y être inscrit.

Considérons un cercle circonscrit à un quadrilatère.

Étant donné un cercle de centre O et un quadrilatère arbitraire ABCD. Considérons les propriétés de ce quadrilatère. Les quatre médiatrices d'un quadrilatère donné se coupent en un point : ce point est le centre du cercle circonscrit.

Prouver que les quatre médiatrices se coupent en un point serait fastidieux. Il y a un autre signe. Considérons l'angle ےА, c'est l'angle inscrit d'un cercle, il repose sur l'arc et se mesure par la moitié du degré de cet arc (voir Fig. 4). Notons l'angle ےА par , puis l'arc . De même, on désigne l'angle opposé ےС par , il est inscrit dans le cercle et repose sur l'arc . D'où l'arc.

Riz. 4

Les arcs forment un cercle complet. D'ici:

,

En divisant l'expression résultante par deux, on obtient :

Nous avons donc prouvé le théorème direct.

Théorème

Si un cercle est circonscrit à un quadrilatère, la somme de ses angles opposés est .

C'est un signe nécessaire et suffisant, c'est-à-dire que le théorème inverse est vrai.

Si la somme des angles opposés d’un quadrilatère est , un cercle peut être tracé autour de ce quadrilatère.

Sur la base de ces théorèmes, on constate qu'il est impossible de décrire un cercle autour d'un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux et que leur somme n'est pas égale (voir Fig. 5).

Riz. 5

Un cercle pourrait être décrit autour d'un parallélogramme si ses angles opposés étaient égaux à 90°, c'est-à-dire s'il s'agissait d'un rectangle, un cercle pourrait donc être décrit autour d'un rectangle (voir Fig. 6).

Riz. 6

Il est également impossible de décrire un cercle autour d'un losange, mais il peut être inscrit, puisque tous les côtés d'un losange sont égaux, et donc les sommes des côtés opposés d'un losange sont égales.

De plus, dans un losange, chaque diagonale est une bissectrice ; le point d'intersection des bissectrices est équidistant de tous les côtés du losange (voir Fig. 7).

Riz. 7

Ainsi, nous avons prouvé qu'un cercle peut être inscrit dans n'importe quel triangle, et que le centre de ce cercle coïncide avec le point d'intersection des bissectrices du triangle. Nous avons également prouvé qu'un cercle peut être décrit autour de n'importe quel triangle et que son centre coïncidera avec le point d'intersection des médiatrices perpendiculaires. De plus, nous avons vu que certains quadrilatères peuvent être inscrits avec un cercle, et pour ce faire il faut que les sommes des côtés opposés du quadrilatère soient égales. Nous avons également montré qu'autour de certains quadrilatères il est possible de décrire un cercle, et qu'une condition nécessaire et suffisante pour cela est l'égalité de la somme des angles opposés.

Bibliographie

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2. Mschool.kubsu.ru ().
3. Ege-study.ru ().

Devoirs

Définition 2

Un polygone qui satisfait à la condition de la définition 1 est dit circonscrit à un cercle.

Figure 1. Cercle inscrit

Théorème 1 (à propos d'un cercle inscrit dans un triangle)

Théorème 1

Vous pouvez inscrire un cercle dans n’importe quel triangle, et dans un seul.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$. Traçons-y des bissectrices qui se coupent au point $O$ et traçons des perpendiculaires aux côtés du triangle (Fig. 2)

Figure 2. Illustration du théorème 1

Existence : Traçons un cercle de centre au point $O$ et de rayon $OK.\ $Puisque le point $O$ se trouve sur trois bissectrices, il est équidistant des côtés du triangle $ABC$. Autrement dit, $OM=OK=OL$. Par conséquent, le cercle construit passe également par les points $M\ et\ L$. Puisque $OM,OK\ et\ OL$ sont perpendiculaires aux côtés du triangle, alors par le théorème de la tangente au cercle, le cercle construit touche les trois côtés du triangle. Par conséquent, en raison du caractère arbitraire d'un triangle, un cercle peut être inscrit dans n'importe quel triangle.

Unicité : Supposons qu'un autre cercle dont le centre est le point $O"$ puisse être inscrit dans le triangle $ABC$. Son centre est équidistant des côtés du triangle et, par conséquent, coïncide avec le point $O$ et a un rayon égal à longueur $OK$ Mais alors ce cercle coïncidera avec le premier.

Le théorème a été prouvé.

Corollaire 1 : Le centre d'un cercle inscrit dans un triangle se trouve au point d'intersection de ses bissectrices.

Voici quelques faits supplémentaires liés au concept de cercle inscrit :

Tous les quadrilatères ne peuvent pas correspondre à un cercle.

Dans tout quadrilatère circonscrit, les sommes des côtés opposés sont égales.

Si les sommes des côtés opposés d’un quadrilatère convexe sont égales, alors un cercle peut y être inscrit.

Définition 3

Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le cercle est dit circonscrit au polygone (Fig. 3).

Définition 4

Un polygone qui satisfait à la définition 2 est dit inscrit dans un cercle.

Figure 3. Cercle circonscrit

Théorème 2 (sur le cercle circonscrit à un triangle)

Théorème 2

Autour de n'importe quel triangle, vous pouvez décrire un cercle, et un seul.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$. Traçons-y des bissectrices perpendiculaires, se coupant au point $O$, et connectons-les aux sommets du triangle (Fig. 4)

Figure 4. Illustration du théorème 2

Existence : Construisons un cercle de centre au point $O$ et de rayon $OC$. Le point $O$ est à égale distance des sommets du triangle, c'est-à-dire $OA=OB=OC$. Par conséquent, le cercle construit passe par tous les sommets d’un triangle donné, ce qui signifie qu’il est circonscrit à ce triangle.

Unicité : Supposons qu'un autre cercle puisse être décrit autour du triangle $ABC$ avec son centre au point $O"$. Son centre est à égale distance des sommets du triangle et, par conséquent, coïncide avec le point $O$ et a un rayon égal à la longueur $OC $ Mais alors ce cercle coïncidera avec le premier.

Le théorème a été prouvé.

Corollaire 1 : Le centre du cercle circonscrit au triangle coïncide avec le point d'intersection de ses perpendiculaires bisectorales.

Voici quelques faits supplémentaires liés au concept de cercle circonscrit :

Il n'est pas toujours possible de décrire un cercle autour d'un quadrilatère.

Dans tout quadrilatère cyclique, la somme des angles opposés est $(180)^0$.

Si la somme des angles opposés d'un quadrilatère est $(180)^0$, alors un cercle peut être tracé autour de lui.

Un exemple de problème sur les notions de cercles inscrits et circonscrits

Exemple 1

Dans un triangle isocèle, la base mesure 8 cm et le côté mesure 5 cm. Trouvez le rayon du cercle inscrit.

Solution.

Considérons le triangle $ABC$. Par le corollaire 1, nous savons que le centre du cercle inscrit se situe à l’intersection des bissectrices. Traçons les bissectrices $AK$ et $BM$, qui se coupent au point $O$. Traçons une perpendiculaire $OH$ du point $O$ au côté $BC$. Faisons un dessin :

Graphique 5.

Puisque le triangle est isocèle, alors $BM$ est à la fois la médiane et la hauteur. Par le théorème de Pythagore $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ carré (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- le rayon requis du cercle inscrit. Puisque $MC$ et $CH$ sont des segments de tangentes sécantes, alors d'après le théorème sur les tangentes sécantes, nous avons $CH=MC=4\ cm$. Par conséquent, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. A partir du triangle $OHB$, d'après le théorème de Pythagore, on obtient :

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Répondre:$\frac(4)(3)$.

Et cela concerne toutes ses faces.

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  Propriétés du cercle inscrit :

  r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))));) 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))

  Où une , b , c (\ displaystyle a, b, c)- les côtés du triangle, h une , h b , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- les hauteurs tracées sur les côtés correspondants ;

  r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((p-a)(p-b) (p-c))(p))))

  Où S (style d'affichage S) est l'aire du triangle, et p (style d'affichage p)- son demi-périmètre.

  • Si UN B (\ displaystyle AB)- la base d'un triangle isocèle, le cercle tangent aux côtés de l'angle ∠ A C B (\ displaystyle \ angle ACB) aux points UNE (\style d'affichage A) Et B (style d'affichage B), passe par le centre du cercle inscrit du triangle △ A B C (\displaystyle \triangle ABC).
  • Théorème d'Euler : R 2 − 2 R r = | Ô je | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), Où R (style d'affichage R)- rayon du cercle circonscrit au triangle, r (style d'affichage r)- rayon du cercle qui y est inscrit, O (style d'affichage O)- centre du cercle circonscrit, Je (\ displaystyle I)- centre du cercle inscrit.
  • Si une ligne passant par le point I parallèle au côté AB coupe les côtés BC et CA aux points A 1 et B 1, alors A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
  • Si les points de tangence sont inscrits dans un triangle T (style d'affichage T) Reliez les cercles avec des segments, vous obtenez un triangle T 1 avec les propriétés suivantes :
    • Les bissectrices de T sont les médiatrices de T 1
    • Soit T 2 l'orthotriangle T 1 . Alors ses côtés sont parallèles aux côtés du triangle original T.
    • Soit T 3 le milieu du triangle T 1 . Alors les bissectrices de T sont les hauteurs de T 3 .
    • Soit T 4 un orthotriangle de T 3 , alors les bissectrices de T sont les bissectrices de T 4 .
  • Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle de pattes a, b et d'hypoténuse c est égal à a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
  • La distance entre le sommet C du triangle et le point où le cercle inscrit touche le côté est égale à d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=pc).
  • La distance du sommet C au centre du cercle inscrit est l c = r sin ⁡ (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma)(2)))))), où r est le rayon du cercle inscrit et γ est l'angle du sommet C.
  • La distance du sommet C au centre du cercle inscrit peut également être trouvée à l'aide des formules l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2)))) Et l c = a b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
  • Le théorème du trident ou théorème du trèfle: Si D- point d'intersection de la bissectrice de l'angle UN avec le cercle circonscrit d'un triangle abc, je Et J.- respectivement, les centres du cercle inscrit et de l'excercle tangents au côté AVANT JC., Alors | DI | = | DB | = | DC | = | DJ | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
  • Lemme de Verriera : laissez le cercle V (style d'affichage V) concerne les parties UN B (\ displaystyle AB), UNE C (\ displaystyle AC) et des arcs B C (\ displaystyle BC) cercle circonscrit à un triangle. Alors les points de tangence du cercle V (style d'affichage V) avec des côtés et le centre du cercle inscrit d'un triangle ABC (\ displaystyle ABC) se trouvent sur la même ligne droite.
  • Théorème de Feuerbach. Le cercle de neuf points touche les trois excercles, et cercle inscrit. Point de contact cercle d'Euler Et cercle inscrit connue sous le nom de pointe Feuerbach.

  Relation entre un cercle inscrit et un cercle circonscrit

  R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ − 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)