Équation différentielle homogène du premier ordre est une équation de la forme
, où f est une fonction.

Comment déterminer une équation différentielle homogène

Afin de déterminer si une équation différentielle du premier ordre est homogène, vous devez introduire une constante t et remplacer y par ty et x par tx : y → ty, x → tx. Si t s'annule, alors ceci équation différentielle homogène. La dérivée y' ne change pas avec cette transformation.
.

Exemple

Déterminer si une équation donnée est homogène

Solution

On fait le remplacement y → ty, x → tx.


Diviser par t 2 .

.
L'équation ne contient pas t. Il s’agit donc d’une équation homogène.

Méthode de résolution d'une équation différentielle homogène

Une équation différentielle homogène du premier ordre se réduit à une équation à variables séparables en utilisant la substitution y = ux. Montrons-le. Considérons l'équation :
(je)
Faisons une substitution :
y = ux,
où u est une fonction de x. Différencier par rapport à x :
y′ =
Remplacer dans l'équation d'origine (je).
,
,
(ii) .
Séparons les variables. Multiplier par dx et diviser par x ( f(u) - u ).

À f (u) - u ≠ 0 et x ≠ 0 on a:

Intégrons :

Ainsi, nous avons obtenu l'intégrale générale de l'équation (je) en quadrature :

Remplaçons la constante d'intégration C par en C, Alors

Oublions le signe du module, puisque le signe recherché est déterminé par le choix du signe de la constante C. Alors l’intégrale générale prendra la forme :

Nous devrions ensuite considérer le cas f (u) - u = 0.
Si cette équation a des racines, alors elles sont une solution de l'équation (ii). Depuis l'équation. (ii) ne coïncide pas avec l'équation d'origine, vous devez alors vous assurer que des solutions supplémentaires satisfont à l'équation d'origine (je).

Chaque fois que nous, au cours d'un processus de transformation, divisons une équation par une fonction, que nous désignons par g (x, y), alors d'autres transformations sont valables pour g (x, y) ≠ 0. Le cas g doit donc être considéré séparément (x, y) = 0.

Un exemple de résolution d'une équation différentielle homogène du premier ordre

Résous l'équation

Solution

Vérifions si cette équation est homogène. On fait le remplacement y → ty, x → tx. Dans ce cas, y′ → y′.
,
,
.
Nous le raccourcissons de t.

La constante t a diminué. L’équation est donc homogène.

On fait la substitution y = ux, où u est fonction de x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Remplacez dans l’équation d’origine.
,
,
,
.
Quand x ≥ 0 , |x| = x. Quand x ≤ 0 , |x| = -x. On écrit |x| = x impliquant que le signe du haut fait référence aux valeurs x ≥ 0 , et celui du bas - aux valeurs x ≤ 0 .
,
Multipliez par dx et divisez par .

Lorsque tu 2 - 1 ≠ 0 nous avons:

Intégrons :

Intégrales tabulaires,
.

Appliquons la formule :
(une + b)(une - b) = une 2 - b 2.
Mettons a = u, .
.
Prenons les deux côtés modulo et logarithmiques,
.
D'ici
.

Ainsi nous avons :
,
.
On omet le signe du module, puisque le signe recherché est assuré en choisissant le signe de la constante C.

Multipliez par x et remplacez ux = y.
,
.
Mettez-le au carré.
,
,
.

Considérons maintenant le cas, toi 2 - 1 = 0 .
Les racines de cette équation
.
Il est facile de vérifier que les fonctions y = x satisfont l'équation d'origine.

Répondre

,
,
.

Les références:
N. M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.

Actuellement, selon le niveau de base d'étude des mathématiques, seules 4 heures sont prévues pour l'étude des mathématiques au lycée (2 heures d'algèbre, 2 heures de géométrie). Dans les petites écoles rurales, ils tentent d'augmenter le nombre d'heures grâce à la composante scolaire. Mais si la classe est humanitaire, une composante scolaire est ajoutée pour l'étude des matières humaines. Dans un petit village, un écolier n'a souvent pas le choix : il étudie dans cette classe ; qui est disponible à l'école. Il n’a pas l’intention de devenir avocat, historien ou journaliste (de tels cas existent), mais veut devenir ingénieur ou économiste, il doit donc réussir l’examen d’État unifié de mathématiques avec des notes élevées. Dans de telles circonstances, le professeur de mathématiques doit trouver sa propre issue à la situation actuelle ; de plus, selon le manuel de Kolmogorov, l’étude du thème « équations homogènes » n’est pas prévue. Ces dernières années, il m'a fallu deux doubles cours pour introduire ce sujet et le renforcer. Malheureusement, notre inspection de surveillance pédagogique a interdit les doubles cours à l'école, de sorte que le nombre d'exercices a dû être réduit à 45 minutes et, par conséquent, le niveau de difficulté des exercices a été réduit à moyen. J'attire votre attention sur un plan de cours sur ce sujet en 10e année avec un niveau de base d'étude des mathématiques dans une petite école rurale.

Type de cours: traditionnel.

Cible: apprendre à résoudre des équations homogènes typiques.

Tâches:

Cognitif:

Du développement:

Éducatif:

• Favoriser le travail acharné grâce à l'accomplissement patient des tâches, un sentiment de camaraderie grâce au travail en binôme et en groupe.

Pendant les cours

JE. Organisationnel scène(3 minutes)

II. Tester les connaissances nécessaires à la maîtrise d'une nouvelle matière (10 min.)

Identifiez les principales difficultés grâce à une analyse plus approfondie des tâches accomplies. Les gars choisissent 3 options. Tâches différenciées selon le degré de difficulté et le niveau de préparation des enfants, suivies d'une explication au tableau.

Niveau 1. Résolvez les équations :

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Réponses : 7;3

Niveau 2. Résolvez des équations trigonométriques simples et des équations biquadratiques :

réponses:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Réponses : -2 ; 2 ; -3 ; 3

Niveau 3. Résoudre des équations en changeant les variables :

b) x 6 -9x 3 +8=0 Réponses :

III. Communiquer le sujet, fixer des buts et des objectifs.

Sujet: Équations homogènes

Cible: apprendre à résoudre des équations homogènes typiques

Tâches:

Cognitif:

• se familiariser avec les équations homogènes, apprendre à résoudre les types les plus courants de telles équations.

Du développement:

• Développement de la pensée analytique.
• Développement des compétences mathématiques : apprendre à identifier les principales caractéristiques par lesquelles les équations homogènes diffèrent des autres équations, être capable d'établir la similitude des équations homogènes dans leurs diverses manifestations.

IV. Apprentissage de nouvelles connaissances (15 min.)

1. Moment de conférence.

Définition 1(Notez-le dans un cahier). Une équation de la forme P(x;y)=0 est dite homogène si P(x;y) est un polynôme homogène.

Un polynôme à deux variables x et y est dit homogène si le degré de chacun de ses termes est égal au même nombre k.

Définition 2(Juste une introduction). Équations de la forme

est appelée une équation homogène de degré n par rapport à u(x) et v(x). En divisant les deux côtés de l'équation par (v(x))n, nous pouvons utiliser une substitution pour obtenir l'équation

Ce qui nous permet de simplifier l’équation originale. Le cas v(x)=0 doit être considéré séparément, puisqu’il est impossible de diviser par 0.

2. Exemples d'équations homogènes :

Expliquez : pourquoi elles sont homogènes, donnez vos exemples de telles équations.

3. Tâche pour déterminer des équations homogènes :

Parmi les équations proposées, identifiez les équations homogènes et expliquez votre choix :

Après avoir expliqué votre choix, utilisez l'un des exemples pour montrer comment résoudre une équation homogène :

4. Décidez vous-même :

Répondre:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Divisez les deux côtés de l'équation par cos x, nous obtenons 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Montrez la solution à un exemple de la brochure«P.V. Chulkov. Equations et inégalités dans un cours de mathématiques scolaire. Université pédagogique de Moscou « Premier septembre » 2006 p.22. » Comme l'un des exemples possibles de l'examen d'État unifié de niveau C.

V. Résoudre la consolidation à l'aide du manuel de Bashmakov

page 183 n° 59 (1.5) ou selon le manuel édité par Kolmogorov : page 81 n° 169 (a, c)

réponses:

VI. Test, travail indépendant (7 min.)

1 possibilité	Option 2
Résoudre des équations :
a) péché 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	b)

Réponses aux tâches :

Option 1 a) Réponse : arctan2+πn,n € Z ; b) Réponse : ±π/2+ 3πn,n € Z ; V)

Option 2 a) Réponse : arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Réponse : -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Devoirs

N° 169 selon Kolmogorov, n° 59 selon Bashmakov.

De plus, résolvez le système d’équations :

Réponse : arctan(-1±√3) +πn,

Les références:

1. P.V. Chulkov. Equations et inégalités dans un cours de mathématiques scolaire. – M. : Université Pédagogique « Premier Septembre », 2006. p. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonométrie. – M. : « AST-PRESS », 1998, p. 389
3. Algèbre pour la 8e année, édité par N.Ya. Vilenkina. – M. : « Lumières », 1997.
4. Algèbre pour la 9e année, édité par N.Ya. Vilenkina. Moscou « Lumières », 2001.
5. MI. Bachmakov. Algèbre et débuts de l'analyse. Pour les classes 10-11 - M. : « Lumières » 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyne. Algèbre et débuts de l'analyse. Pour les classes 10-11. – M. : « Lumières », 1990.
7. A.G. Mordkovitch. Algèbre et débuts de l'analyse. Partie 1 Manuel pour les classes 10-11. – M. : « Mnémosyne », 2004.

Pour résoudre une équation différentielle homogène du 1er ordre, utilisez la substitution u=y/x, c'est-à-dire que u est une nouvelle fonction inconnue dépendant de x. Donc y = ux. On trouve la dérivée y’ en utilisant la règle de différenciation des produits : y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (puisque x’=1). Pour une autre forme de notation : dy = udx + xdu Après substitution, on simplifie l'équation et on arrive à une équation à variables séparables.

Exemples de résolution d'équations différentielles homogènes du 1er ordre.

1) Résoudre l'équation

On vérifie que cette équation est homogène (voir Comment déterminer une équation homogène). Une fois convaincu, on fait le remplacement u=y/x, à partir duquel y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Remplacer : u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Puisque le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes, ln(ux)=lnu+lnx. D'ici

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Après avoir ramené des termes similaires : u’x+u=u(1+lnu). Maintenant, ouvrez les parenthèses

u'x+u=u+u·lnu. Les deux côtés contiennent u, donc u’x=u·lnu. Puisque u est fonction de x, u’=du/dx. Remplaçons

Nous avons obtenu une équation à variables séparables. On sépare les variables en multipliant les deux parties par dx et en divisant par x·u·lnu, à condition que le produit x·u·lnu≠0

Intégrons :

Sur le côté gauche se trouve une intégrale de table. A droite - on fait le remplacement t=lnu, d'où dt=(lnu)'du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Mais nous avons déjà discuté du fait que dans de telles équations, il est plus pratique de prendre ln│C│ au lieu de C. Alors

ln│t│ = ln│x│ + ln│C│. D'après la propriété des logarithmes : ln│t│=ln│Сx│. Donc t=Cx. (par condition, x>0). Il est temps de faire la substitution inverse : lnu=Cx. Et encore un remplacement inversé :

Par la propriété des logarithmes :

C'est l'intégrale générale de l'équation.

On rappelle la condition du produit x·u·lnu≠0 (et donc x≠0,u≠0, lnu≠0, d'où u≠1). Mais x≠0 de la condition, u≠1 demeure, donc x≠y. Évidemment, y=x (x>0) sont inclus dans la solution générale.

2) Trouver l'intégrale partielle de l'équation y'=x/y+y/x, satisfaisant les conditions initiales y(1)=2.

Tout d’abord, nous vérifions que cette équation est homogène (bien que la présence des termes y/x et x/y l’indique déjà indirectement). Ensuite on fait le remplacement u=y/x, à partir duquel y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Nous substituons les expressions résultantes dans l'équation :

u'x+u=1/u+u. Simplifions :

u'x=1/u. Puisque u est fonction de x, u’=du/dx :

Nous avons obtenu une équation à variables séparables. Pour séparer les variables, on multiplie les deux côtés par dx et u et on divise par x (x≠0 par condition, donc u≠0 aussi, ce qui signifie qu'il n'y a pas de perte de solutions).

Intégrons :

et comme les deux côtés contiennent des intégrales tabulaires, on obtient immédiatement

Nous effectuons le remplacement inverse :

C'est l'intégrale générale de l'équation. Nous utilisons la condition initiale y(1)=2, c'est-à-dire que nous substituons y=2, x=1 dans la solution résultante :

3) Trouver l'intégrale générale de l'équation homogène :

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Remplacement u=y/x, d'où y=ux, dy=xdu+udx. Remplaçons :

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Nous retirons x² des parenthèses et divisons les deux parties par celui-ci (à condition que x≠0) :

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Ouvrez les parenthèses et simplifiez :

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. On regroupe les termes avec du et dx :

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Sortons les facteurs communs entre parenthèses :

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. On sépare les variables :

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Pour ce faire, nous divisons les deux côtés de l'équation par xu(u²+1)≠0 (en conséquence, nous ajoutons les exigences x≠0 (déjà notées), u≠0) :

Intégrons :

Du côté droit de l'équation se trouve une intégrale tabulaire, et nous décomposons la fraction rationnelle du côté gauche en facteurs simples :

(ou dans la deuxième intégrale, au lieu de substituer le signe différentiel, il a été possible de faire le remplacement t=1+u², dt=2udu - celui qui aime quelle méthode est la meilleure). On a:

D'après les propriétés des logarithmes :

Remplacement inversé

On rappelle la condition u≠0. Donc y≠0. Lorsque C=0 y=0, cela signifie qu'il n'y a pas de perte de solutions, et y=0 est inclus dans l'intégrale générale.

Commentaire

Vous pouvez obtenir une solution écrite sous une forme différente si vous laissez le terme avec x à gauche :

La signification géométrique de la courbe intégrale dans ce cas est une famille de cercles dont les centres sont sur l'axe Oy et passant par l'origine.

Tâches d'auto-test :

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) On vérifie que l'équation est homogène, après quoi on fait le remplacement u=y/x, d'où y=ux, dy=xdu+udx. Remplacez par la condition : (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. En divisant les deux côtés de l'équation par x²≠0, nous obtenons : (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Donc dx+u²dx-xudu-u²dx=0. En simplifiant, nous avons : dx-xudu=0. D'où xudu=dx, udu=dx/x. Intégrons les deux parties :

Homogène

Dans cette leçon, nous examinerons ce qu'on appelle équations différentielles homogènes du premier ordre. Avec équations séparables Et équations linéaires inhomogènes Ce type de télécommande se retrouve dans presque tous les travaux de test sur le thème des diffuseurs. Si vous êtes arrivé sur la page à partir d'un moteur de recherche ou si vous n'êtes pas très sûr de comprendre les équations différentielles, je vous recommande fortement de suivre d'abord une leçon d'introduction sur le sujet - Équations différentielles du premier ordre. Le fait est que bon nombre des principes de résolution d’équations homogènes et des techniques utilisées seront exactement les mêmes que pour les équations les plus simples à variables séparables.

Quelle est la différence entre les équations différentielles homogènes et les autres types d’équations différentielles ? La façon la plus simple d’expliquer immédiatement cela est de donner un exemple spécifique.

Exemple 1

Solution:
Quoi Premièrement doit être analysé pour décider n'importe lequeléquation différentielle Premier ordre? Tout d'abord, il faut vérifier s'il est possible de séparer immédiatement les variables à l'aide d'actions « scolaires » ? Habituellement, cette analyse se fait mentalement ou en essayant de séparer les variables dans un brouillon.

Dans cet exemple les variables ne peuvent pas être séparées(vous pouvez essayer de déplacer les termes d'une partie à l'autre, de faire sortir les facteurs entre parenthèses, etc.). D'ailleurs, dans cet exemple, le fait que les variables ne puissent pas être divisées est tout à fait évident en raison de la présence du multiplicateur.

La question se pose : comment résoudre ce problème diffus ?

Il faut vérifier et Cette équation n'est-elle pas homogène ?? La vérification est simple et l'algorithme de vérification lui-même peut être formulé comme suit :

À l'équation originale :

au lieu de nous remplaçons, au lieu de nous remplaçons, on ne touche pas à la dérivée:

La lettre lambda est un paramètre conditionnel, et elle joue ici le rôle suivant : si, grâce à des transformations, il est possible de « détruire » TOUS les lambdas et d'obtenir l'équation d'origine, alors cette équation différentielle est homogène.

Il est évident que les lambdas sont immédiatement réduites de l'exposant :

Maintenant, sur le côté droit, nous retirons le lambda des parenthèses :

et divisez les deux parties par ce même lambda :

Par conséquent Tous Les lambdas ont disparu comme un rêve, comme une brume matinale, et nous avons obtenu l’équation originale.

Conclusion: Cette équation est homogène

Comment résoudre une équation différentielle homogène ?

J'ai une très bonne nouvelle. Absolument toutes les équations homogènes peuvent être résolues en utilisant une seule (!) substitution standard.

La fonction « jeu » doit être remplacer travail une fonction (dépend également de « x ») et "x":

Ils écrivent presque toujours brièvement :

On découvre ce que deviendra la dérivée avec un tel remplacement, on utilise la règle de différenciation du produit. Si donc:

Nous substituons dans l'équation originale :

Que donnera un tel remplacement ? Après ce remplacement et ces simplifications, nous garanti on obtient une équation à variables séparables. SOUVIENS-TOI comme le premier amour :) et, en conséquence, .

Après substitution, nous effectuons des simplifications maximales :

Puisque est une fonction dépendant de « x », sa dérivée peut s’écrire sous forme de fraction standard : .
Ainsi:

Nous séparons les variables, tandis que sur le côté gauche, vous devez collecter uniquement « te », et sur le côté droit - uniquement « x » :

Les variables sont séparées, intégrons :


D'après mon premier conseil technique de l'article Équations différentielles du premier ordre, dans de nombreux cas, il convient de « formuler » une constante sous forme de logarithme.

Une fois l’équation intégrée, nous devons effectuer remplacement inversé, il est aussi standard et unique :
Si donc
Dans ce cas:

Dans 18 à 19 cas sur 20, la solution d'une équation homogène s'écrit sous la forme d'une intégrale générale.

Répondre: intégrale générale :

Pourquoi la réponse à une équation homogène est-elle presque toujours donnée sous la forme d'une intégrale générale ?
Dans la plupart des cas, il est impossible d'exprimer explicitement le « jeu » (pour obtenir une solution générale), et si cela est possible, alors le plus souvent la solution générale s'avère lourde et maladroite.

Ainsi, par exemple, dans l'exemple considéré, une solution générale peut être obtenue en pesant les logarithmes de part et d'autre de l'intégrale générale :

- Eh bien, ça va. Même si, il faut l’admettre, c’est encore un peu tordu.

À propos, dans cet exemple, je n'ai pas écrit l'intégrale générale de manière assez «décente». Ce n'est pas une erreur, mais dans un « bon » style, je vous rappelle que l'intégrale générale s'écrit généralement sous la forme . Pour ce faire, immédiatement après avoir intégré l'équation, la constante doit être écrite sans aucun logarithme (voici l'exception à la règle !):

Et après la substitution inverse, obtenez l'intégrale générale sous la forme « classique » :

La réponse reçue peut être vérifiée. Pour ce faire, vous devez différencier l'intégrale générale, c'est-à-dire trouver dérivée d'une fonction spécifiée implicitement:

On se débarrasse des fractions en multipliant chaque côté de l'équation par :

L’équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement.

Il est conseillé de toujours vérifier. Mais les équations homogènes sont désagréables dans la mesure où il est généralement difficile de vérifier leurs intégrales générales - cela nécessite une technique de différenciation très, très décente. Dans l'exemple considéré, lors de la vérification, il fallait déjà trouver les dérivées les plus simples (bien que l'exemple lui-même soit assez simple). Si vous pouvez le vérifier, vérifiez-le !

L'exemple suivant est à résoudre par vous-même - afin que vous vous familiarisiez avec l'algorithme d'actions :

Exemple 2

Vérifiez l’homogénéité de l’équation et trouvez son intégrale générale.

Écrivez la réponse dans le formulaire, effectuez la vérification.

Ici aussi, il s’est avéré qu’il s’agissait d’un contrôle assez simple.

Et maintenant le point important promis, mentionné au tout début du sujet,
Je soulignerai en lettres noires grasses :

Si lors des transformations on « réinitialise » le multiplicateur (pas une constante)au dénominateur, alors nous RISQUEONS de perdre des solutions !

Et en fait, nous avons rencontré cela dans le premier exemple leçon d'introduction sur les équations différentielles. Dans le processus de résolution de l'équation, le « y » s'est avéré être au dénominateur : , mais, évidemment, c'est une solution du DE et à la suite d'une transformation (division) inégale, il y a toutes les chances de le perdre ! Une autre chose est qu'il a été inclus dans la solution générale à une valeur nulle de la constante. La réinitialisation du « X » dans le dénominateur peut également être ignorée, car ne satisfait pas le diffuseur d'origine.

Une histoire similaire avec la troisième équation de la même leçon, lors de la solution de laquelle nous sommes « tombés » dans le dénominateur. À proprement parler, il fallait ici vérifier si ce diffuseur est la solution ? Après tout, c'est le cas ! Mais même ici « tout s'est bien passé », puisque cette fonction était incluse dans l'intégrale générale à .

Et si cela fonctionne souvent avec des équations « séparables », alors avec des diffuseurs homogènes et certains autres, cela peut ne pas fonctionner. Hautement probable.

Analysons les problèmes déjà résolus dans cette leçon : en Exemples 1-2 La « réinitialisation » de X s'est également avérée sûre, car il existe et , et il est donc immédiatement clair que cela ne peut pas être une solution. D’ailleurs, dans Exemple 2 s'est avéré être au dénominateur, et ici nous risquions de perdre la fonction, qui satisfait évidemment l'équation . Cependant, même ici, cela « est passé », parce que... il est entré dans l'intégrale générale à la valeur nulle de la constante.

Mais, bien sûr, j'ai créé exprès des « occasions heureuses », et ce n'est pas un fait qu'en pratique ce sont celles-là qui se présenteront :

Exemple 3

Résoudre l'équation différentielle

N'est-ce pas un exemple simple ? ;-)

Solution: l'homogénéité de cette équation est évidente, mais quand même - sur la première étape Nous vérifions TOUJOURS s'il est possible de séparer les variables. Car l'équation est également homogène, mais les variables qu'elle contient sont facilement séparées. Oui, il y en a !

Après avoir vérifié la « séparabilité », nous effectuons un remplacement et simplifions l'équation au maximum :

Nous séparons les variables, collectons « te » à gauche et « x » à droite :

Et là STOP. En divisant, nous risquons de perdre deux fonctions à la fois. Depuis , voici les fonctions :

La première fonction est évidemment une solution de l'équation . Nous vérifions le second - nous substituons également son dérivé dans notre diffuseur :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la fonction est aussi une solution.

ET nous risquons de perdre ces décisions.

De plus, le dénominateur s'est avéré être « X », et donc assurez-vous de vérifier, n'est pas une solution à l'équation différentielle d'origine. Non ce n'est pas.

Prenons note de tout cela et continuons :

Je dois dire que j'ai eu de la chance avec l'intégrale du côté gauche, ça peut être bien pire.

Nous collectons un seul logarithme sur le côté droit et nous débarrassons des chaînes :

Et maintenant, juste le remplacement inverse :

Multiplions tous les termes par :

Maintenant tu devrais vérifier - si les solutions « dangereuses » étaient incluses dans l’intégrale générale. Oui, les deux solutions ont été incluses dans l'intégrale générale à valeur nulle de la constante : , elles n'ont donc pas besoin d'être indiquées en plus dans répondre:

intégrale générale :

Examen. Pas même un test, mais du pur plaisir :)

L’équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement.

Pour le résoudre vous-même :

Exemple 4

Effectuer un test d'homogénéité et résoudre l'équation différentielle

Vérifiez l'intégrale générale par différenciation.

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Regardons quelques exemples plus typiques :

Exemple 5

Résoudre l'équation différentielle

Solution Nous nous habituerons à le concevoir de manière plus compacte. Tout d'abord, mentalement ou sur un brouillon, nous nous assurons que les variables ne peuvent pas être séparées ici, après quoi nous effectuons un test d'homogénéité - ceci n'est généralement pas effectué sur un brouillon final. (sauf si cela est spécifiquement requis). Ainsi, la solution commence presque toujours par l'entrée : « Cette équation est homogène, faisons le remplacement : ...».

Remplacement, et on sort des sentiers battus :

Le « X » convient ici, mais qu'en est-il du trinôme quadratique ? Puisqu'il n'est pas décomposable en facteurs : , alors nous ne perdons certainement pas de solutions. Ce serait toujours comme ça ! Sélectionnez le carré complet sur le côté gauche et intégrez :

Il n'y a rien à simplifier ici, et donc le remplacement inverse :

Répondre: intégrale générale :

L'exemple suivant pour une solution indépendante :

Exemple 6

Résoudre l'équation différentielle

Cela semblerait des équations similaires, mais non - grande différence ;)

Et maintenant, le plaisir commence ! Tout d'abord, voyons quoi faire si une équation homogène est donnée avec des différentielles toutes faites :

Exemple 7

Résoudre l'équation différentielle

C'est un exemple très intéressant, tout un thriller !

Solution: si une équation homogène contient des différentielles toutes faites, alors elle peut être résolue par une substitution modifiée :

Mais je ne recommande pas d'utiliser une telle substitution, car cela se révélera être une Grande Muraille de différentiels chinois, où vous aurez besoin d'un œil et d'un œil. D'un point de vue technique, il est plus avantageux de passer à la désignation « en pointillés » de la dérivée ; pour ce faire, on divise les deux côtés de l'équation par :

Et là, nous avons déjà réalisé une transformation « dangereuse » ! Le différentiel nul correspond à une famille de droites parallèles à l'axe. Sont-ils les racines de notre DU ? Remplaçons l'équation d'origine :

Cette égalité est valable si, c'est-à-dire, en divisant par on risque de perdre la solution, et nous l'avons perdu- puisqu'il ne satisfait plus l'équation résultante .

Il convient de noter que si nous initialement l'équation a été donnée , alors on ne parlerait plus de la racine. Mais nous l’avons, et nous l’avons compris à temps.

Nous continuons la solution avec un remplacement standard :
:

Après substitution, on simplifie l'équation autant que possible :

On sépare les variables :

Et là encore STOP : en divisant par on risque de perdre deux fonctions. Depuis , voici les fonctions :

Évidemment, la première fonction est une solution de l’équation . On vérifie le second - on substitue également sa dérivée :

- reçu la vraie égalité, ce qui signifie que la fonction est également une solution de l'équation différentielle.

Et en divisant par nous risquons de perdre ces solutions. Cependant, ils peuvent entrer dans l’intégrale générale. Mais ils ne peuvent pas entrer

Prenons-en note et intégrons les deux parties :

L’intégrale du côté gauche est résolue de manière standard en utilisant mettre en évidence un carré complet, mais c'est beaucoup plus pratique à utiliser dans les diffuseurs méthode des coefficients incertains:

En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :


Ainsi:

Trouver les intégrales :

– puisque nous n’avons dessiné que des logarithmes, nous plaçons également la constante sous le logarithme.

Avant de remplacer encore une fois simplifier tout ce qui peut être simplifié:

Réinitialisation des chaînes :

Et le remplacement inverse :

Rappelons maintenant les « objets perdus » : la solution était incluse dans l'intégrale générale à , mais elle « a survolé la caisse », car s'est avéré être le dénominateur. Par conséquent, dans la réponse, une phrase distincte lui est attribuée, et oui, n'oubliez pas la solution perdue, qui, soit dit en passant, s'est également avérée ci-dessous.

Répondre: intégrale générale : . Plus de solutions :

Il n'est pas si difficile d'exprimer la solution générale ici :
, mais c'est déjà une frimerie.

Pratique cependant pour vérifier. Trouvons la dérivée :

et remplacer au côté gauche de l’équation :

– en conséquence, le côté droit de l’équation a été obtenu, ce qui devait être vérifié.

Maintenant la quête des racines, c'est aussi un cas courant et très insidieux :

Exemple 8

Résoudre l'équation différentielle

Solution: Assurez-vous verbalement que l'équation est homogène et remplacez le premier amour dans l'équation d'origine :

Et le danger nous attend déjà ici. Le fait est que, et ce fait est très facile à perdre de vue :

Bonne promotion !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: Vérifions l'homogénéité de l'équation, à cet effet dans l'équation originale au lieu de remplaçons , et au lieu de remplaçons :

En conséquence, l'équation originale est obtenue, ce qui signifie que ce DE est homogène.

Arrêt! Essayons de comprendre cette lourde formule.

La première variable de la puissance avec un certain coefficient devrait venir en premier. Dans notre cas c'est

Dans notre cas, c'est le cas. Comme nous l’avons découvert, cela signifie que le degré de la première variable converge. Et la deuxième variable au premier degré est en place. Coefficient.

Nous l'avons.

La première variable est une puissance et la deuxième variable est un carré, avec un coefficient. C'est le dernier terme de l'équation.

Comme vous pouvez le constater, notre équation correspond à la définition sous la forme d'une formule.

Regardons la deuxième partie (verbale) de la définition.

Nous avons deux inconnues et. Il converge ici.

Considérons tous les termes. En eux, la somme des degrés des inconnues devrait être la même.

La somme des degrés est égale.

La somme des puissances est égale à (à et à).

La somme des degrés est égale.

Comme vous pouvez le constater, tout s'accorde !!!

Pratiquons maintenant à définir des équations homogènes.

Déterminez lesquelles des équations sont homogènes :

Équations homogènes - équations avec des nombres :

Considérons l'équation séparément.

Si on divise chaque terme en factorisant chaque terme, on obtient

Et cette équation relève entièrement de la définition des équations homogènes.

Comment résoudre des équations homogènes ?

Exemple 2.

Divisons l'équation par.

D’après notre condition, y ne peut pas être égal. Nous pouvons donc diviser en toute sécurité par

En effectuant la substitution, nous obtenons une équation quadratique simple :

Puisqu’il s’agit d’une équation quadratique réduite, nous utilisons le théorème de Vieta :

Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons la réponse

Répondre:

Exemple 3.

Divisons l'équation par (par condition).

Répondre:

Exemple 4.

Trouvez si.

Ici, vous ne devez pas diviser, mais multiplier. Multiplions l'équation entière par :

Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique :

Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons la réponse :

Répondre:

Résolution d'équations trigonométriques homogènes.

La résolution d'équations trigonométriques homogènes n'est pas différente des méthodes de résolution décrites ci-dessus. Seulement ici, entre autres, il faut connaître un peu de trigonométrie. Et être capable de résoudre des équations trigonométriques (pour cela vous pouvez lire la section).

Examinons ces équations à l'aide d'exemples.

Exemple 5.

Résous l'équation.

Nous voyons une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale.

De telles équations homogènes ne sont pas difficiles à résoudre, mais avant de diviser les équations, considérons le cas où

Dans ce cas, l'équation prendra la forme : , donc. Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. Par conséquent, nous pouvons le diviser en toute sécurité en :

Puisque l’équation est donnée, alors selon le théorème de Vieta :

Répondre:

Exemple 6.

Résous l'équation.

Comme dans l'exemple, vous devez diviser l'équation par. Considérons le cas où :

Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. C'est pourquoi.

Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique :

Faisons la substitution inverse et trouvons et :

Répondre:

Résolution d'équations exponentielles homogènes.

Les équations homogènes sont résolues de la même manière que celles évoquées ci-dessus. Si vous avez oublié comment résoudre des équations exponentielles, regardez la section correspondante () !

Regardons quelques exemples.

Exemple 7.

Résous l'équation

Imaginons-le ainsi :

Nous voyons une équation homogène typique, avec deux variables et une somme de puissances. Divisons l'équation en :

Comme vous pouvez le voir, en effectuant la substitution, on obtient l'équation quadratique ci-dessous (il n'y a pas lieu d'avoir peur de diviser par zéro - elle est toujours strictement supérieure à zéro) :

D'après le théorème de Vieta :

Répondre: .

Exemple 8.

Résous l'équation

Imaginons-le ainsi :

Divisons l'équation en :

Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique :

La racine ne satisfait pas à la condition. Faisons la substitution inverse et trouvons :

Répondre:

ÉQUATIONS HOMOGÈNES. NIVEAU MOYEN

Tout d'abord, en utilisant l'exemple d'un problème, permettez-moi de vous rappeler que sont les équations homogènes et quelle est la solution des équations homogènes.

Résoudre le problème:

Trouvez si.

Ici, vous pouvez remarquer une chose curieuse : si nous divisons chaque terme par, nous obtenons :

Autrement dit, il n'y a plus de et séparé - maintenant la variable dans l'équation est la valeur souhaitée. Et il s'agit d'une équation quadratique ordinaire qui peut être facilement résolue à l'aide du théorème de Vieta : le produit des racines est égal et la somme est constituée des nombres et.

Répondre:

Équations de la forme

est dit homogène. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une équation à deux inconnues, dont chaque terme a la même somme des puissances de ces inconnues. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, ce montant est égal à. Les équations homogènes sont résolues en divisant par l'une des inconnues à ce degré :

Et le remplacement ultérieur des variables : . On obtient ainsi une équation de puissance à une inconnue :

Le plus souvent nous rencontrerons des équations du deuxième degré (c'est-à-dire quadratiques), et nous savons comment les résoudre :

Notez qu’on ne peut diviser (et multiplier) l’équation entière par une variable que si l’on est convaincu que cette variable ne peut pas être égale à zéro ! Par exemple, si on nous demande de trouver, nous comprenons immédiatement cela puisqu’il est impossible de diviser. Dans les cas où cela n'est pas si évident, il est nécessaire de vérifier séparément le cas où cette variable est égale à zéro. Par exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Nous voyons ici une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale.

Mais, avant de diviser par et d'obtenir une équation quadratique relative, nous devons considérer le cas où. Dans ce cas, l'équation prendra la forme : , ce qui signifie . Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base : . Par conséquent, nous pouvons le diviser en toute sécurité en :

J'espère que cette solution est complètement claire ? Sinon, lisez la section. S'il n'est pas clair d'où il vient, vous devez revenir encore plus tôt - à la section.

Décider vous-même:

1. Trouvez si.
2. Trouvez si.
3. Résous l'équation.

Ici, j'écrirai brièvement directement la solution d'équations homogènes :

Solutions:

Répondre: .

Mais ici, il faut multiplier plutôt que diviser :

Répondre:

Si vous ne l'avez pas encore suivi, vous pouvez ignorer cet exemple.

Puisqu’ici nous devons diviser par, assurons-nous d’abord que cent n’est pas égal à zéro :

Et c'est impossible.

Répondre: .

ÉQUATIONS HOMOGÈNES. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La solution de toutes les équations homogènes se réduit à la division par l'une des inconnues de la puissance et à un changement ultérieur des variables.

Algorithme:

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

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