Considérons l'équation x 2 = 4. Résolvez-la graphiquement. Pour ce faire, dans un système de coordonnées, on construit une parabole y = x 2 et une droite y = 4 (Fig. 74). Ils se croisent en deux points A (- 2 ; 4) et B (2 ; 4). Les abscisses des points A et B sont les racines de l'équation x 2 = 4. Donc, x 1 = - 2, x 2 = 2.

En raisonnant exactement de la même manière, on retrouve les racines de l'équation x 2 = 9 (voir Fig. 74) : x 1 = - 3, x 2 = 3.

Essayons maintenant de résoudre l'équation x 2 = 5 ; une illustration géométrique est présentée sur la Fig. 75. Il est clair que cette équation a deux racines x 1 et x 2, et ces nombres, comme dans les deux cas précédents, sont égaux en valeur absolue et opposés en signe (x 1 - - x 2) - Mais contrairement à la précédente cas , où les racines de l'équation ont été trouvées sans difficulté (et elles pouvaient être trouvées sans utiliser de graphiques), avec l'équation x 2 = 5 ce n'est pas le cas : d'après le dessin, on ne peut pas indiquer les valeurs du racines, on peut seulement établir qu'une racine est située légèrement à gauche il y a 2 points, et la seconde est un peu à droite

point 2.

Quel est ce nombre (point) qui se situe juste à droite du point 2 et qui, au carré, donne 5 ? Il est clair que ce n'est pas 3, puisque 3 2 = 9, c'est-à-dire cela s'avère être plus que nécessaire (9 > 5).

Cela signifie que le nombre qui nous intéresse se situe entre les nombres 2 et 3. Mais entre les nombres 2 et 3 il y a une infinité de nombres rationnels, par exemple etc. Peut-être que parmi eux il y aura une fraction telle que ? Alors nous n’aurons aucun problème avec l’équation x 2 - 5, nous pouvons écrire ça

Mais ici, une mauvaise surprise nous attend. Il s’avère qu’il n’existe aucune fraction pour laquelle l’égalité est vraie
La preuve de la déclaration déclarée est assez difficile. Néanmoins, nous le présentons parce qu’il est beau et instructif, et qu’il est très utile pour essayer de le comprendre.

Supposons qu'il existe une fraction irréductible pour laquelle l'égalité est vraie. Alors, c'est-à-dire m 2 = 5n 2. La dernière égalité signifie que l'entier naturel m 2 est divisible par 5 sans reste (dans le quotient ce sera n2).

Par conséquent, le nombre m 2 se termine soit par le nombre 5, soit par le nombre 0. Mais alors l'entier naturel m se termine également par le nombre 5 ou le nombre 0, c'est-à-dire le nombre m est divisible par 5 sans reste. En d’autres termes, si le nombre m est divisé par 5, alors le quotient donnera un nombre naturel k. Cela signifie,
que m = 5k.
Regardez maintenant :
m 2 = 5n 2 ;
Remplaçons 5k au lieu de m dans la première égalité :

(5k) 2 = 5n 2, soit 25k 2 = 5n 2 ou n 2 = 5k 2.
La dernière égalité signifie que le nombre. 5n 2 est divisible par 5 sans reste. En raisonnant comme ci-dessus, nous arrivons à la conclusion que le nombre n est également divisible par 5 sans reste.
Ainsi, m est divisible par 5, n est divisible par 5, ce qui signifie que la fraction peut être réduite (par 5). Mais nous avons supposé que la fraction était irréductible. Quel est le problème? Pourquoi, après avoir raisonné correctement, nous sommes arrivés à l'absurde ou, comme le disent souvent les mathématiciens, à une contradiction ! Oui, parce que la prémisse de départ était incorrecte, comme s'il existait une fraction irréductible pour laquelle l'égalité était vraie.
Nous concluons donc : une telle fraction n’existe pas.
La méthode de preuve que nous venons d’utiliser est appelée en mathématiques méthode de preuve par contradiction. Son essence est la suivante. Nous devons prouver une certaine affirmation, et nous supposons qu'elle n'est pas vraie (les mathématiciens disent : « supposez le contraire » - non pas dans le sens de « désagréable », mais dans le sens de « l'opposé de ce qui est requis »).
Si, à la suite d'un raisonnement correct, nous arrivons à une contradiction avec la condition, alors nous concluons : notre hypothèse est fausse, ce qui signifie que ce que nous devions prouver est vrai.

Ainsi, n’ayant que des nombres rationnels (et nous ne connaissons pas encore d’autres nombres), nous ne pouvons pas résoudre l’équation x 2 = 5.
Ayant rencontré une telle situation pour la première fois, les mathématiciens ont réalisé qu’ils devaient trouver un moyen de la décrire en langage mathématique. Ils ont introduit un nouveau symbole, qu'ils ont appelé racine carrée, et en utilisant ce symbole, les racines de l'équation x 2 = 5 s'écrivaient comme suit :

Il se lit comme suit : "racine carrée de 5"). Maintenant, pour toute équation de la forme x 2 = a, où a > O, vous pouvez trouver les racines - ce sont des nombres. , (Fig. 76).

Soulignons également que le nombre n'est ni un entier ni une fraction.
Cela signifie qu'il ne s'agit pas d'un nombre rationnel, mais d'un nombre d'une nature nouvelle ; nous parlerons spécifiquement de ces nombres plus tard, au chapitre 5.
Pour l'instant, notons simplement que le nouveau nombre est compris entre les nombres 2 et 3, puisque 2 2 = 4, ce qui est inférieur à 5 ; 3 2 = 9, et c'est supérieur à 5. Vous pouvez clarifier :

En fait, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Vous pouvez également
spécifier:

en effet, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Dans la pratique, on pense généralement que le nombre est égal à 2,23 ou 2,24, mais ce n'est pas une égalité ordinaire, mais une égalité approximative, désignée par le symbole « ».
Donc,

En discutant de la solution de l’équation x 2 = a, nous avons rencontré un état de fait assez typique des mathématiques. Se retrouvant dans une situation non standard, anormale (comme aiment le dire les cosmonautes) et ne trouvant pas d'issue par les moyens connus, les mathématiciens inventent un nouveau terme et une nouvelle désignation (un nouveau symbole) pour le modèle mathématique qu'ils rencontré pour la première fois; en d'autres termes, ils introduisent un nouveau concept puis étudient les propriétés de ce concept.
notions. Ainsi, le nouveau concept et sa désignation deviennent la propriété du langage mathématique. Nous avons agi de la même manière : nous avons introduit le terme « racine carrée du nombre a », introduit un symbole pour le désigner, et un peu plus tard nous étudierons les propriétés du nouveau concept. Jusqu'à présent, nous ne savons qu'une chose : si a > 0,
alors est un nombre positif satisfaisant l'équation x 2 = a. En d’autres termes, c’est un nombre positif qui, une fois mis au carré, produit le nombre a.
Puisque l'équation x 2 = 0 a une racine x = 0, nous avons convenu de supposer que
Nous sommes maintenant prêts à donner une définition stricte.
Définition. La racine carrée d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le carré est égal à a.

Ce nombre est désigné par le nombre et est appelé nombre radical.
Donc, si a est un nombre non négatif, alors :

Si un< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Ainsi, l’expression n’a de sens que pour a > 0.
Ils disent ça - le même modèle mathématique (la même relation entre nombres non négatifs
(a et b), mais seul le second est décrit dans un langage plus simple que le premier (utilise des symboles plus simples).

L’opération consistant à trouver la racine carrée d’un nombre non négatif est appelée racine carrée. Cette opération est l’inverse de la quadrature. Comparer:

Attention encore une fois, seuls les nombres positifs apparaissent dans le tableau, comme précisé dans la définition d'une racine carrée. Et bien que, par exemple, (- 5) 2 = 25 soit une vraie égalité, passez-y à la notation en utilisant la racine carrée (c'est-à-dire écrivez cela.)
c'est interdit. A-prieuré, . est un nombre positif, ce qui signifie .
Souvent, ils ne disent pas « racine carrée », mais « racine carrée arithmétique ». Nous omettons le terme « arithmétique » par souci de concision.

D) Contrairement aux exemples précédents, nous ne pouvons pas indiquer la valeur exacte du nombre. Il est seulement clair qu'il est supérieur à 4, mais inférieur à 5, puisque

4 2 = 16 (c'est moins de 17) et 5 2 = 25 (c'est plus de 17).
Cependant, la valeur approximative du nombre peut être trouvée à l'aide d'une microcalculatrice, qui contient l'opération d'extraction de la racine carrée ; cette valeur est 4,123.
Donc,
Le nombre, comme celui évoqué ci-dessus, n’est pas rationnel.
e) Il ne peut pas être calculé, puisque la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas ; l'entrée n'a aucun sens. La tâche proposée est incorrecte.
e) puisque 31 > 0 et 31 2 = 961. Dans de tels cas, il faut utiliser un tableau de carrés de nombres naturels ou une microcalculatrice.
g) puisque 75 > 0 et 75 2 = 5625.
Dans les cas les plus simples, la valeur de la racine carrée est calculée immédiatement : etc. Dans les cas plus complexes, il faut utiliser un tableau de carrés de nombres ou effectuer des calculs à l'aide d'une microcalculatrice. Mais que se passe-t-il si vous n’avez pas de table ou de calculatrice à portée de main ? Répondons à cette question en résolvant l'exemple suivant.

Exemple 2. Calculer
Solution.
Première étape. Il n'est pas difficile de deviner que la réponse sera 50 avec une queue. En fait, 50 2 = 2500, et 60 2 = 3600, alors que le nombre 2809 est compris entre les nombres 2500 et 3600.

Seconde phase. Trouvons la « queue », c'est-à-dire le dernier chiffre du numéro souhaité. Jusqu'à présent, nous savons que si la racine est prise, alors la réponse peut être 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ou 59. Il suffit de vérifier deux nombres : 53 et 57, puisque seuls eux, une fois mis au carré, le résultat sera un nombre à quatre chiffres se terminant par 9, le même nombre qui se termine par 2809.
Nous avons 532 = 2809 - c'est ce dont nous avons besoin (nous avons eu de la chance, nous avons immédiatement touché le mille). Donc = 53.
Répondre:

53
Exemple 3. Les côtés d'un triangle rectangle mesurent 1 cm et 2 cm. Quelle est l'hypoténuse du triangle ? (Fig.77)

Solution.

Utilisons le théorème de Pythagore, connu en géométrie : la somme des carrés des longueurs des branches d'un triangle rectangle est égale au carré de la longueur de son hypoténuse, c'est-à-dire a 2 + b 2 = c 2, où a , b sont les jambes, c est l'hypoténuse du triangle rectangle.

Moyens,

Cet exemple montre que l'introduction des racines carrées n'est pas un caprice des mathématiciens, mais une nécessité objective : dans la vraie vie, il existe des situations dont les modèles mathématiques contiennent l'opération d'extraction d'une racine carrée. La plus importante de ces situations concerne peut-être
résoudre des équations quadratiques. Jusqu'à présent, lorsque nous rencontrions des équations quadratiques ax 2 + bx + c = 0, soit nous prenions en compte le côté gauche (ce qui ne fonctionnait pas toujours), soit nous utilisions des méthodes graphiques (qui ne sont pas non plus très fiables, bien que belles). En fait, pour trouver
les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 dans les formules mathématiques sont utilisées

contenant, comme on peut le voir, le signe racine carrée. Ces formules sont utilisées en pratique comme suit. Supposons, par exemple, que nous devions résoudre l'équation 2x 2 + bx - 7 = 0. Ici a = 2, b = 5, c = - 7. Par conséquent,
b2 - 4ac = 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Ensuite, nous trouvons . Moyens,

Nous avons noté ci-dessus que ce n’est pas un nombre rationnel.
Les mathématiciens considèrent ces nombres comme irrationnels. Tout nombre de la forme est irrationnel si la racine carrée ne peut pas être prise. Par exemple, etc. - nombres irrationnels. Au chapitre 5, nous parlerons davantage des nombres rationnels et irrationnels. Les nombres rationnels et irrationnels constituent ensemble l’ensemble des nombres réels, c’est-à-dire l'ensemble de tous ces nombres que nous opérons dans la vie réelle (en fait,
ness). Par exemple, ce sont tous des nombres réels.
Tout comme nous avons défini ci-dessus la notion de racine carrée, nous pouvons également définir la notion de racine cubique : une racine cubique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le cube est égal à a. En d'autres termes, l'égalité signifie que b 3 = a.

Nous étudierons tout cela dans le cours d'algèbre de 11e année.

J'ai regardé à nouveau le panneau... Et c'est parti !

Commençons par quelque chose de simple :

Juste une minute. ceci, ce qui signifie qu'on peut l'écrire comme ceci :

J'ai compris? Voici le prochain pour vous :

Les racines des nombres résultants ne sont-elles pas exactement extraites ? Pas de problème, voici quelques exemples :

Et s'il n'y avait pas deux, mais plus de multiplicateurs ? Le même! La formule de multiplication des racines fonctionne avec un certain nombre de facteurs :

Désormais entièrement autonome :

Réponses: Bien joué! D'accord, tout est très simple, l'essentiel est de connaître la table de multiplication !

Division des racines

Nous avons réglé la multiplication des racines, passons maintenant à la propriété de division.

Je vous rappelle que la formule générale ressemble à ceci :

Ce qui signifie que la racine du quotient est égale au quotient des racines.

Eh bien, regardons quelques exemples :

C'est tout ce qu'est la science. Voici un exemple :

Tout n'est pas aussi fluide que dans le premier exemple, mais, comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué.

Et si vous tombiez sur cette expression :

Il suffit d'appliquer la formule dans le sens inverse :

Et voici un exemple :

Vous pouvez également rencontrer cette expression :

Tout est pareil, seulement ici, vous devez vous rappeler comment traduire les fractions (si vous ne vous en souvenez pas, regardez le sujet et revenez !). Vous souvenez-vous? Maintenant décidons !

Je suis sûr que vous avez fait face à tout, essayons maintenant d'élever les racines à un certain degré.

Exponentiation

Que se passe-t-il si la racine carrée est au carré ? C'est simple, rappelez-vous la signification de la racine carrée d'un nombre - c'est un nombre dont la racine carrée est égale.

Donc, si nous mettons au carré un nombre dont la racine carrée est égale, qu’obtenons-nous ?

Oui bien sur, !

Regardons des exemples :

C'est simple, non ? Et si la racine était à un degré différent ? C'est bon!

Suivez la même logique et rappelez-vous les propriétés et les actions possibles avec les diplômes.

Lisez la théorie sur le sujet « » et tout deviendra extrêmement clair pour vous.

Par exemple, voici une expression :

Dans cet exemple, le degré est pair, mais que se passe-t-il s’il est impair ? Encore une fois, appliquez les propriétés des exposants et factorisez le tout :

Tout semble clair avec cela, mais comment extraire la racine d'un nombre en puissance ? Voici par exemple ceci :

Assez simple, non ? Et si le degré est supérieur à deux ? Nous suivons la même logique en utilisant les propriétés des diplômes :

Eh bien, tout est clair ? Ensuite, résolvez vous-même les exemples :

Et voici les réponses :

Entrer sous le signe de la racine

Que n’avons-nous pas appris à faire avec les racines ! Il ne reste plus qu'à s'entraîner à saisir le numéro sous le signe racine !

C'est vraiment simple !

Disons que nous avons un numéro écrit

Que pouvons-nous en faire ? Eh bien, bien sûr, cachez les trois sous la racine, en vous rappelant que les trois sont la racine carrée de !

Pourquoi avons nous besoin de ça? Oui, juste pour étendre nos capacités lors de la résolution d'exemples :

Que pensez-vous de cette propriété des racines ? Est-ce que cela rend la vie beaucoup plus facile ? Pour moi, c'est tout à fait vrai ! Seulement Nous devons nous rappeler que nous ne pouvons saisir que des nombres positifs sous le signe de la racine carrée.

Résolvez cet exemple vous-même -
Avez-vous réussi ? Voyons ce que vous devriez obtenir :

Bien joué! Vous avez réussi à saisir le numéro sous le signe racine ! Passons à quelque chose de tout aussi important : voyons comment comparer des nombres contenant une racine carrée !

Comparaison des racines

Pourquoi devons-nous apprendre à comparer les nombres contenant une racine carrée ?

Très simple. Souvent, dans les expressions larges et longues rencontrées lors de l'examen, nous recevons une réponse irrationnelle (vous vous souvenez de ce que c'est ? Nous en avons déjà parlé aujourd'hui !)

Nous devons par exemple placer les réponses reçues sur la ligne de coordonnées pour déterminer quel intervalle convient pour résoudre l'équation. Et là se pose le problème : il n'y a pas de calculatrice dans l'examen, et sans elle, comment imaginer quel nombre est le plus grand et lequel est le moins ? C'est ça!

Par exemple, déterminez lequel est le plus grand : ou ?

Vous ne pouvez pas le savoir tout de suite. Eh bien, utilisons la propriété désassemblée de saisir un nombre sous le signe racine ?

Alors vas-y:

Eh bien, évidemment, plus le nombre sous le signe racine est grand, plus la racine elle-même est grande !

Ceux. si donc, .

De là, nous concluons fermement que. Et personne ne nous convaincra du contraire !

Extraire des racines à partir d'un grand nombre

Avant cela, nous saisissions un multiplicateur sous le signe de la racine, mais comment le supprimer ? Il vous suffit de le prendre en compte et d'extraire ce que vous extrayez !

Il était possible d’emprunter une voie différente et de s’étendre à d’autres facteurs :

Pas mal, non ? Chacune de ces approches est correcte, décidez comme vous le souhaitez.

La factorisation est très utile pour résoudre des problèmes non standard tels que celui-ci :

N'ayons pas peur, mais agissons ! Décomposons chaque facteur sous la racine en facteurs distincts :

Maintenant, essayez-le vous-même (sans calculatrice ! Ce ne sera pas à l’examen) :

Est-ce la fin? Ne nous arrêtons pas à mi-chemin !

C'est tout, ce n'est pas si effrayant, non ?

Arrivé? Bravo, c'est vrai !

Essayez maintenant cet exemple :

Mais l’exemple est difficile à résoudre, vous ne pouvez donc pas immédiatement comprendre comment l’aborder. Mais bien sûr, nous pouvons y faire face.

Eh bien, commençons à factoriser ? Notons tout de suite qu'on peut diviser un nombre par (rappelez-vous les signes de divisibilité) :

Maintenant, essayez-le vous-même (encore une fois, sans calculatrice !) :

Eh bien, est-ce que ça a marché ? Bravo, c'est vrai !

Résumons-le

1. La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal à.
   .
2. Si nous prenons simplement la racine carrée de quelque chose, nous obtenons toujours un résultat non négatif.
3. Propriétés d'une racine arithmétique :
4. Lorsque l'on compare des racines carrées, il ne faut pas oublier que plus le nombre sous le signe racine est grand, plus la racine elle-même est grande.

Comment est la racine carrée ? Tout est clair?

Nous avons essayé de vous expliquer sans problème tout ce que vous devez savoir lors de l'examen sur la racine carrée.

C'est ton tour. Écrivez-nous si ce sujet est difficile pour vous ou non.

Avez-vous appris quelque chose de nouveau ou tout était déjà clair ?

Écrivez dans les commentaires et bonne chance pour vos examens !

Dans cet article, nous présenterons concept de racine d'un nombre. Nous procéderons séquentiellement : nous commencerons par la racine carrée, de là nous passerons à la description de la racine cubique, après quoi nous généraliserons la notion de racine, en définissant la nième racine. Parallèlement, nous présenterons des définitions, des notations, donnerons des exemples de racines et donnerons les explications et commentaires nécessaires.

Racine carrée, racine carrée arithmétique

Pour comprendre la définition de la racine d’un nombre, et de la racine carrée en particulier, il faut avoir . À ce stade, nous rencontrerons souvent la deuxième puissance d’un nombre : le carré d’un nombre.

Commençons avec définitions de racine carrée.

Définition

Racine carrée d'un est un nombre dont le carré est égal à a.

Afin d'apporter exemples de racines carrées, prenons plusieurs nombres, par exemple 5, −0,3, 0,3, 0, et mettons-les au carré, nous obtenons les nombres 25, 0,09, 0,09 et 0, respectivement (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 et 0 2 =0·0=0 ). Alors, d'après la définition donnée ci-dessus, le nombre 5 est la racine carrée du nombre 25, les nombres −0,3 et 0,3 sont les racines carrées de 0,09 et 0 est la racine carrée de zéro.

Il convient de noter que pour aucun nombre a, il n’existe a dont le carré est égal à a. À savoir, pour tout nombre négatif a, il n’existe pas de nombre réel b dont le carré est égal à a. En fait, l'égalité a=b 2 est impossible pour tout a négatif, puisque b 2 est un nombre non négatif pour tout b. Ainsi, il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif sur l'ensemble des nombres réels. Autrement dit, sur l’ensemble des nombres réels, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie et n’a aucune signification.

Cela nous amène à une question logique : « Existe-t-il une racine carrée de a pour tout a non négatif » ? La réponse est oui. Ce fait peut être justifié par la méthode constructive utilisée pour trouver la valeur de la racine carrée.

Ensuite, la question logique suivante se pose : « Quel est le nombre de toutes les racines carrées d'un nombre non négatif donné a - un, deux, trois ou même plus » ? Voici la réponse : si a vaut zéro, alors la seule racine carrée de zéro est zéro ; si a est un nombre positif, alors le nombre de racines carrées du nombre a est deux et les racines sont . Justifions cela.

Commençons par le cas a=0 . Montrons d’abord que zéro est bien la racine carrée de zéro. Cela découle de l'égalité évidente 0 2 =0·0=0 et de la définition de la racine carrée.

Montrons maintenant que 0 est la seule racine carrée de zéro. Utilisons la méthode inverse. Supposons qu’il existe un nombre b non nul qui soit la racine carrée de zéro. Alors la condition b 2 =0 doit être satisfaite, ce qui est impossible, puisque pour tout b non nul la valeur de l'expression b 2 est positive. Nous sommes arrivés à une contradiction. Cela prouve que 0 est la seule racine carrée de zéro.

Passons aux cas où a est un nombre positif. Nous avons dit plus haut qu'il existe toujours une racine carrée de tout nombre non négatif, soit la racine carrée de a le nombre b. Disons qu'il existe un nombre c, qui est aussi la racine carrée de a. Alors, par définition d'une racine carrée, les égalités b 2 =a et c 2 =a sont vraies, d'où il résulte que b 2 −c 2 =a−a=0, mais puisque b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , alors (b−c)·(b+c)=0 . L'égalité résultante est valide propriétés des opérations avec des nombres réels possible uniquement lorsque b−c=0 ou b+c=0 . Ainsi, les nombres b et c sont égaux ou opposés.

Si l’on suppose qu’il existe un nombre d, qui est une autre racine carrée du nombre a, alors par un raisonnement similaire à ceux déjà donnés, il est prouvé que d est égal au nombre b ou au nombre c. Ainsi, le nombre de racines carrées d’un nombre positif est deux et les racines carrées sont des nombres opposés.

Pour faciliter le travail avec les racines carrées, la racine négative est « séparée » de la racine positive. A cet effet, il est introduit définition de la racine carrée arithmétique.

Définition

Racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le carré est égal à a.

La notation de la racine carrée arithmétique de a est . Le signe s’appelle le signe arithmétique de la racine carrée. On l'appelle aussi le signe radical. Par conséquent, vous pouvez parfois entendre à la fois « racine » et « radical », ce qui signifie le même objet.

Le nombre sous le signe arithmétique de la racine carrée s'appelle nombre radical, et l'expression sous le signe racine est expression radicale, tandis que le terme « nombre radical » est souvent remplacé par « expression radicale ». Par exemple, dans la notation le nombre 151 est un nombre radical, et dans la notation l'expression a est une expression radicale.

Lors de la lecture, le mot « arithmétique » est souvent omis, par exemple, l'entrée est lue comme « la racine carrée de sept virgule vingt-neuf ». Le mot « arithmétique » n’est utilisé que lorsqu’ils veulent souligner qu’il s’agit spécifiquement de la racine carrée positive d’un nombre.

À la lumière de la notation introduite, il résulte de la définition d'une racine carrée arithmétique que pour tout nombre non négatif a .

Les racines carrées d'un nombre positif a s'écrivent en utilisant le signe arithmétique racine carrée comme et . Par exemple, les racines carrées de 13 sont et . La racine carrée arithmétique de zéro est zéro, c'est-à-dire . Pour les nombres négatifs a, nous n'attacherons pas de sens à la notation tant que nous n'aurons pas étudié nombres complexes. Par exemple, les expressions et n'ont aucun sens.

Sur la base de la définition de la racine carrée, les propriétés des racines carrées sont prouvées, qui sont souvent utilisées dans la pratique.

En conclusion de ce point, notons que les racines carrées du nombre a sont des solutions de la forme x 2 =a par rapport à la variable x.

Racine cubique d'un nombre

Définition de la racine cubique du nombre a est donné de la même manière que la définition de la racine carrée. Seulement, il est basé sur le concept d'un cube composé d'un nombre et non d'un carré.

Définition

Racine cubique d'un est un nombre dont le cube est égal à a.

Donne moi exemples de racines cubiques. Pour ce faire, prenez plusieurs nombres, par exemple 7, 0, −2/3, et cubez-les : 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Ensuite, sur la base de la définition d’une racine cubique, nous pouvons dire que le nombre 7 est la racine cubique de 343, 0 est la racine cubique de zéro et −2/3 est la racine cubique de −8/27.

On peut montrer que la racine cubique d’un nombre, contrairement à la racine carrée, existe toujours, non seulement pour a non négatif, mais aussi pour tout nombre réel a. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la même méthode que celle que nous avons mentionnée lors de l'étude des racines carrées.

De plus, il n’existe qu’une seule racine cubique d’un nombre a donné. Démontrons la dernière affirmation. Pour ce faire, considérons trois cas séparément : a est un nombre positif, a=0 et a est un nombre négatif.

Il est facile de montrer que si a est positif, la racine cubique de a ne peut être ni un nombre négatif ni zéro. En effet, soit b la racine cubique de a, alors par définition on peut écrire l'égalité b 3 =a. Il est clair que cette égalité ne peut pas être vraie pour b négatif et pour b=0, puisque dans ces cas b 3 =b·b·b sera respectivement un nombre négatif ou zéro. Ainsi, la racine cubique d’un nombre positif a est un nombre positif.

Supposons maintenant qu'en plus du nombre b, il existe une autre racine cubique du nombre a, notons-la c. Alors c 3 =a. Par conséquent, b 3 −c 3 =a−a=0, mais b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(c'est la formule de multiplication abrégée différence de cubes), d'où (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. L'égalité résultante n'est possible que lorsque b−c=0 ou b 2 +b·c+c 2 =0. De la première égalité nous avons b=c, et la deuxième égalité n'a pas de solutions, puisque son côté gauche est un nombre positif pour tout nombre positif b et c comme somme de trois termes positifs b 2, b·c et c 2. Cela prouve le caractère unique de la racine cubique d'un nombre positif a.

Lorsque a=0, la racine cubique du nombre a est uniquement le nombre zéro. En effet, si l'on suppose qu'il existe un nombre b, qui est une racine cubique non nulle de zéro, alors l'égalité b 3 =0 doit être vérifiée, ce qui n'est possible que lorsque b=0.

Pour un a négatif, des arguments similaires à ceux d’un a positif peuvent être donnés. Premièrement, nous montrons que la racine cubique d’un nombre négatif ne peut être égale ni à un nombre positif ni à zéro. Deuxièmement, nous supposons qu’il existe une deuxième racine cubique d’un nombre négatif et montrons qu’elle coïncidera nécessairement avec la première.

Ainsi, il existe toujours une racine cubique de tout nombre réel a donné, et une racine unique.

Donne moi définition de la racine cubique arithmétique.

Définition

Racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le cube est égal à a.

La racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est notée , le signe est appelé le signe de la racine cubique arithmétique, le nombre 3 dans cette notation est appelé index racine. Le nombre sous le signe racine est nombre radical, l'expression sous le signe racine est expression radicale.

Bien que la racine cubique arithmétique ne soit définie que pour les nombres non négatifs a, il est également pratique d'utiliser des notations dans lesquelles les nombres négatifs se trouvent sous le signe de la racine cubique arithmétique. Nous les comprendrons ainsi : , où a est un nombre positif. Par exemple, .

Nous parlerons des propriétés des racines cubiques dans l'article général Propriétés des racines.

Calculer la valeur d'une racine cubique s'appelle extraire une racine cubique ; cette action est abordée dans l'article extraire des racines : méthodes, exemples, solutions.

Pour conclure ce point, disons que la racine cubique du nombre a est une solution de la forme x 3 =a.

racine nième, racine arithmétique du degré n

Généralisons le concept de racine d'un nombre - nous introduisons définition de la nième racine pour n.

Définition

nième racine d'un est un nombre dont la puissance n est égale à a.

De cette définition, il ressort clairement que la racine du premier degré du nombre a est le nombre a lui-même, puisque lors de l'étude du degré avec un exposant naturel, nous avons pris a 1 = a.

Ci-dessus, nous avons examiné des cas particuliers de la nième racine pour n=2 et n=3 - racine carrée et racine cubique. Autrement dit, une racine carrée est une racine du deuxième degré et une racine cubique est une racine du troisième degré. Pour étudier les racines du nième degré pour n=4, 5, 6, ..., il convient de les diviser en deux groupes : le premier groupe - les racines de degrés pairs (c'est-à-dire pour n = 4, 6, 8 , ...), le deuxième groupe - les racines des degrés impairs (c'est-à-dire avec n=5, 7, 9, ...). Cela est dû au fait que les racines des puissances paires sont similaires aux racines carrées et que les racines des puissances impaires sont similaires aux racines cubiques. Traitons-les un par un.

Commençons par les racines dont les puissances sont les nombres pairs 4, 6, 8, ... Comme nous l'avons déjà dit, elles sont semblables à la racine carrée du nombre a. Autrement dit, la racine de tout degré pair du nombre a n'existe que pour a non négatif. De plus, si a=0, alors la racine de a est unique et égale à zéro, et si a>0, alors il y a deux racines de degré pair du nombre a, et ce sont des nombres opposés.

Justifions la dernière affirmation. Soit b une racine paire (nous la notons 2·m, où m est un nombre naturel) du nombre a. Supposons qu'il existe un nombre c - une autre racine de degré 2·m du nombre a. Alors b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Mais on connaît la forme b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), alors (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De cette égalité il résulte que b−c=0, ou b+c=0, ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Les deux premières égalités signifient que les nombres b et c sont égaux ou que b et c sont opposés. Et la dernière égalité n'est valable que pour b=c=0, puisque sur son côté gauche se trouve une expression qui est non négative pour tout b et c comme somme de nombres non négatifs.

Quant aux racines du nième degré pour n impair, elles sont similaires à la racine cubique. Autrement dit, la racine de tout degré impair du nombre a existe pour tout nombre réel a, et pour un nombre donné a, elle est unique.

L'unicité d'une racine de degré impair 2·m+1 du nombre a se prouve par analogie avec la preuve de l'unicité de la racine cubique de a. Seulement ici au lieu de l'égalité a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) une égalité de la forme b 2 m+1 −c 2 m+1 = est utilisée (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). L'expression entre parenthèses peut être réécrite comme suit b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Par exemple, avec m=2 on a b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Lorsque a et b sont tous deux positifs ou négatifs, leur produit est un nombre positif, alors l'expression b 2 + c 2 + b·c dans les parenthèses imbriquées les plus hautes est positive comme la somme des nombres positifs. Maintenant, en passant séquentiellement aux expressions entre parenthèses des degrés d'imbrication précédents, nous sommes convaincus qu'ils sont également positifs comme somme de nombres positifs. En conséquence, on obtient que l'égalité b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possible uniquement lorsque b−c=0, c'est-à-dire lorsque le nombre b est égal au nombre c.

Il est temps de comprendre la notation des nièmes racines. A cet effet, il est donné définition de la racine arithmétique du nième degré.

Définition

Racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.

Le concept de racine carrée d'un nombre non négatif

Considérons l'équation x2 = 4. Résolvez-la graphiquement. Pour faire cela dans un seul système coordonnées Construisons une parabole y = x2 et une droite y = 4 (Fig. 74). Ils se croisent en deux points A (- 2 ; 4) et B (2 ; 4). Les abscisses des points A et B sont les racines de l'équation x2 = 4. Donc, x1 = - 2, x2 = 2.

En raisonnant exactement de la même manière, on retrouve les racines de l'équation x2 = 9 (voir Fig. 74) : x1 = - 3, x2 = 3.

Essayons maintenant de résoudre l'équation x2 = 5 ; une illustration géométrique est présentée sur la Fig. 75. Il est clair que cette équation a deux racines x1 et x2, et ces nombres, comme dans les deux cas précédents, sont égaux en valeur absolue et opposés en signe (x1 - - x2) - Mais contrairement aux cas précédents, où le les racines de l'équation ont été trouvées sans difficulté (et elles pouvaient être trouvées sans utiliser de graphiques), ce n'est pas le cas de l'équation x2 = 5 : à partir du dessin on ne peut pas indiquer les valeurs des racines, on peut seulement établir que un racine est situé légèrement à gauche du point - 2, et le second est situé légèrement à droite du point 2.

Mais ici, une mauvaise surprise nous attend. Il s'avère qu'il n'y a rien de tel fractions DIV_ADBLOCK32">

Supposons qu'il existe une fraction irréductible pour laquelle l'égalité est vraie https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, c'est-à-dire m2 = 5n2. La dernière égalité signifie que entier naturel m2 est divisible par 5 sans reste (au quotient il devient n2).

Par conséquent, le nombre m2 se termine soit par le nombre 5, soit par le nombre 0. Mais alors l'entier naturel m se termine également par le nombre 5 ou le nombre 0, c'est-à-dire que le nombre m est divisible par 5 sans reste. En d’autres termes, si le nombre m est divisé par 5, alors le quotient donnera un nombre naturel k. Cela signifie que m = 5k.

Regardez maintenant :

Remplaçons 5k au lieu de m dans la première égalité :

(5k)2 = 5n2, soit 25k2 = 5n2 ou n2 = 5k2.

La dernière égalité signifie que le nombre. 5n2 est divisible par 5 sans reste. En raisonnant comme ci-dessus, on arrive à la conclusion que le nombre n est également divisible par 5 sans reste.

Ainsi, m est divisible par 5, n est divisible par 5, ce qui signifie que la fraction peut être réduite (par 5). Mais nous avons supposé que la fraction était irréductible. Quel est le problème? Pourquoi, après avoir raisonné correctement, nous sommes arrivés à l'absurde ou, comme le disent souvent les mathématiciens, à une contradiction ! Oui, parce que la prémisse de départ était incorrecte, comme s'il existait une fraction irréductible pour laquelle l'égalité était vraie. ).

Si, à la suite d'un raisonnement correct, nous arrivons à une contradiction avec la condition, alors nous concluons : notre hypothèse est fausse, ce qui signifie que ce que nous devions prouver est vrai.

Alors, n'ayant que nombres rationnels(et nous ne connaissons pas encore d’autres nombres), nous ne pourrons pas résoudre l’équation x2 = 5.

Ayant rencontré une telle situation pour la première fois, les mathématiciens ont réalisé qu’ils devaient trouver un moyen de la décrire en langage mathématique. Ils ont introduit un nouveau symbole, qu’ils ont appelé racine carrée, et en utilisant ce symbole, les racines de l’équation x2 = 5 s’écrivaient comme suit : ). Maintenant, pour toute équation de la forme x2 = a, où a > O, vous pouvez trouver les racines - ce sont des nombreshttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} ni un tout ni une fraction.
Cela signifie qu'il ne s'agit pas d'un nombre rationnel, mais d'un nombre d'une nature nouvelle ; nous parlerons spécifiquement de ces nombres plus tard, au chapitre 5.
Pour l'instant, notons simplement que le nouveau nombre est compris entre les nombres 2 et 3, puisque 22 = 4, ce qui est inférieur à 5 ; Z2 = 9, et c'est supérieur à 5. Vous pouvez préciser :

Attention encore une fois, seuls les nombres positifs apparaissent dans le tableau, comme précisé dans la définition d'une racine carrée. Et bien que, par exemple, = 25 soit une vraie égalité, passez-y à la notation utilisant la racine carrée (c'est-à-dire écrivez cela. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} est un nombre positif, ce qui signifie https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Il est seulement clair qu'il est supérieur à 4, mais inférieur à 5, puisque 42 = 16 (c'est moins de 17) et 52 = 25 (c'est plus de 17).
Cependant, la valeur approximative du nombre peut être trouvée en utilisant micro calculatrice, qui contient l'opération racine carrée ; cette valeur est 4,123.

Le nombre, comme celui évoqué ci-dessus, n’est pas rationnel.
e) Il ne peut pas être calculé, puisque la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas ; l'entrée n'a aucun sens. La tâche proposée est incorrecte.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Tâche" width="80" height="33 id=">!}, puisque 75 > 0 et 752 = 5625.

Dans les cas les plus simples, la valeur de la racine carrée est calculée immédiatement :

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Tâche" width="65" height="42 id=">!}
Solution.
Première étape. Il n'est pas difficile de deviner que la réponse sera 50 avec une queue. En fait, 502 = 2500, et 602 = 3600, alors que le nombre 2809 est compris entre les nombres 2500 et 3600.

La superficie d'un terrain carré est de 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté du carré soit X décimètres. Alors la superficie de la parcelle est X² décimètres carrés. Puisque, selon la condition, cette superficie est égale à 81 dm², alors X² = 81. La longueur d'un côté d'un carré est un nombre positif. Un nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Pour résoudre le problème, il a fallu trouver le nombre x dont le carré est 81, c'est-à-dire résoudre l'équation X² = 81. Cette équation a deux racines : X 1 = 9 et X 2 = - 9, puisque 9² = 81 et (- 9)² = 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés racines carrées de 81.

Notez que l'une des racines carrées X= 9 est un nombre positif. On l'appelle la racine carrée arithmétique de 81 et on la note √81, donc √81 = 9.

Racine carrée arithmétique d'un nombre UN est un nombre non négatif dont le carré est égal à UN.

Par exemple, les nombres 6 et - 6 sont des racines carrées du nombre 36. Cependant, le nombre 6 est une racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² = 36. Le nombre - 6 n'est pas un nombre non négatif. racine arithmétique.

Racine carrée arithmétique d'un nombre UN noté comme suit : √ UN.

Le signe est appelé signe racine carrée arithmétique ; UN- appelé une expression radicale. Expression √ UN lire comme ceci : racine carrée arithmétique d'un nombre UN. Par exemple, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dans les cas où il est clair qu'il s'agit d'une racine arithmétique, ils disent brièvement : « la racine carrée de UN«.

Le fait de trouver la racine carrée d’un nombre est appelé racine carrée. Cette action est l’inverse de la quadrature.

Vous pouvez mettre au carré n’importe quel nombre, mais vous ne pouvez pas extraire les racines carrées d’un nombre. Par exemple, il est impossible d'extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors en la désignant par la lettre X, nous obtiendrions l'égalité incorrecte x² = - 4, puisqu'il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.

Expression √ UN n'a de sens que lorsque une ≥ 0. La définition de la racine carrée peut s’écrire brièvement ainsi : √ une ≥ 0, (√UN)² = UN. Égalité (√ UN)² = UN valable une ≥ 0. Ainsi, pour garantir que la racine carrée d'un nombre non négatif UNéquivaut à b, c'est-à-dire dans le fait que √ UN =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies : b ≥ 0, b² = UN.

Racine carrée d'une fraction

Calculons. Notez que √25 = 5, √36 = 6, et vérifions si l'égalité est vraie.

Parce que et , alors l’égalité est vraie. Donc, .

Théorème: Si UN≥ 0 et b> 0, c'est-à-dire que la racine de la fraction est égale à la racine du numérateur divisée par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que : et .

Depuis √ UN≥0 et √ b> 0, alors .

Sur la propriété d'élever une fraction à une puissance et la définition d'une racine carrée le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.

Calculer en utilisant le théorème éprouvé .

Deuxième exemple : prouver que , Si UN ≤ 0, b < 0. .

Autre exemple : Calculez .

.

Conversion de racine carrée

Suppression du multiplicateur sous le signe racine. Laissons l'expression être donnée. Si UN≥ 0 et b≥ 0, alors en utilisant le théorème racine du produit on peut écrire :

Cette transformation est appelée suppression du facteur du signe racine. Regardons un exemple ;

Calculer à X= 2. Substitution directe X= 2 dans l'expression radicale conduit à des calculs complexes. Ces calculs peuvent être simplifiés si vous supprimez d'abord les facteurs sous le signe racine : . En remplaçant maintenant x = 2, nous obtenons :.

Ainsi, en supprimant le facteur sous le signe racine, l'expression radicale est représentée sous la forme d'un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont des carrés de nombres non négatifs. Appliquez ensuite le théorème de la racine du produit et prenez la racine de chaque facteur. Prenons un exemple : simplifions l'expression A = √8 + √18 - 4√2 en retirant les facteurs des deux premiers termes sous le signe racine, nous obtenons :. Nous soulignons que l'égalité valable uniquement lorsque UN≥ 0 et b≥ 0. si UN < 0, то .