Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Les solutions (racines) d'une équation quadratique sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Si la parabole décrite fonction quadratique, ne coupe pas l'axe des x, l'équation n'a pas de vraies racines. Si une parabole coupe l'axe des x en un point (le sommet de la parabole), l'équation a une racine réelle (on dit aussi que l'équation a deux racines coïncidantes). Si une parabole coupe l’axe des x en deux points, l’équation a deux racines réelles.

Si le coefficient UN positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ; si négatif, les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Si le coefficient b est positif, alors le sommet de la parabole se situe dans le demi-plan gauche, s'il est négatif, dans le demi-plan droit.

Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique

La formule pour résoudre une équation quadratique peut être obtenue comme suit :

un x2 + b x+ c = 0
un x2 + b x = - c

Multipliez l'équation par 4 un

4un 2 x 2 + 4 un B x = -4 ca
4un 2 x 2 + 4 un B x+ b 2 = -4ca + b 2
(2un x+ b) 2 = b 2 -4ca
2un x+ b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Trouver les racines d'une équation quadratique

Une équation quadratique à coefficients réels peut avoir de 0 à 2 racines réelles selon la valeur du discriminant D = b 2 − 4ca:

• pour D > 0, il y a deux racines, et elles sont calculées par la formule
• pour D = 0 il y a une racine (deux racines égales ou coïncidantes), multiplicité 2 :

DANS la société moderne la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve des preuves dans la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. Grâce à de tels calculs, les trajectoires de mouvement des plus différents corps, y compris les objets spatiaux. Exemples avec solution équations du second degré sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais aussi dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, lors d'événements sportifs, dans les magasins pour faire des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque le côté gauche de l'expression est constitué de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l’expression semble comporter deux termes sur le côté droit, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de mettre la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes dans des cas plus complexes. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1; 3.

Racine carrée

Un autre cas équation incomplète le deuxième ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré vers la droite, puis extrait des deux côtés de l'égalité Racine carrée. Il convient de noter que dans ce cas, l’équation a généralement deux racines. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, puisque les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calcul est apparue dans les temps anciens, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine a été largement déterminé par la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles de terrain.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du terrain si vous savez que sa superficie est de 612 m2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, nous ferons les transformations nécessaires, puis l'apparition de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu l'expression sous une forme correspondant à la norme spécifiée précédemment, où a=1, b=16, c= -612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici, les calculs nécessaires sont effectués selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de trouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine le nombre d'options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18 +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l’égalité, effectuons une transformation, c’est-à-dire que nous obtiendrons le type d’équation que l’on appelle habituellement standard et l’assimilerons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre type.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est pratique de résoudre des équations quadratiques en utilisant les formules ci-dessus et le discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom de celui qui vécut au XVIe siècle en France et fit une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence des nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Ce sujet peut paraître compliqué au premier abord en raison des nombreuses formules pas si simples. Non seulement les équations quadratiques elles-mêmes ont des notations longues, mais les racines se trouvent également grâce au discriminant. Au total, trois nouvelles formules sont obtenues. Pas très facile à retenir. Cela n’est possible qu’après avoir résolu fréquemment de telles équations. Ensuite, toutes les formules seront mémorisées d'elles-mêmes.

Vue générale d'une équation quadratique

Nous proposons ici leur enregistrement explicite, lorsque le plus grand degré est écrit en premier, puis par ordre décroissant. Il arrive souvent que les termes soient incohérents. Il est alors préférable de réécrire l'équation par ordre décroissant du degré de la variable.

Introduisons quelques notations. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Si l'on accepte ces notations, toutes les équations quadratiques se réduisent à la notation suivante.

De plus, le coefficient a ≠ 0. Que cette formule soit désignée numéro un.

Lorsqu’une équation est donnée, il n’est pas clair combien de racines il y aura dans la réponse. Parce que l’une des trois options suivantes est toujours possible :

• la solution aura deux racines ;
• la réponse sera un chiffre ;
• l'équation n'aura aucune racine du tout.

Et jusqu'à ce que la décision soit finalisée, il est difficile de comprendre quelle option apparaîtra dans un cas particulier.

Types d'enregistrements d'équations quadratiques

Il peut y avoir différentes entrées dans les tâches. Ils ne ressembleront pas toujours à la formule générale de l’équation quadratique. Parfois, il manquera certains termes. Ce qui a été écrit ci-dessus est l’équation complète. Si vous en supprimez le deuxième ou le troisième terme, vous obtenez autre chose. Ces enregistrements sont également appelés équations quadratiques, mais incomplètes.

De plus, seuls les termes avec les coefficients « b » et « c » peuvent disparaître. Le nombre « a » ne peut en aucun cas être égal à zéro. Car dans ce cas la formule se transforme en une équation linéaire. Les formules de la forme incomplète des équations seront les suivantes :

Il n'y a donc que deux types : en plus des équations quadratiques complètes, il existe également des équations quadratiques incomplètes. Soit la première formule le numéro deux et la seconde le numéro trois.

Discriminant et dépendance du nombre de racines à sa valeur

Vous devez connaître ce nombre pour calculer les racines de l’équation. Il peut toujours être calculé, quelle que soit la formule de l’équation quadratique. Afin de calculer le discriminant, vous devez utiliser l'égalité écrite ci-dessous, qui portera le numéro quatre.

Après avoir remplacé les valeurs des coefficients dans cette formule, vous pouvez obtenir des nombres avec des signes différents. Si la réponse est oui, alors la réponse à l’équation sera deux racines différentes. Si le nombre est négatif, il n’y aura pas de racines de l’équation quadratique. S’il est égal à zéro, il n’y aura qu’une seule réponse.

Comment résoudre une équation quadratique complète ?

En fait, l’examen de cette question a déjà commencé. Parce qu'il faut d'abord trouver un discriminant. Une fois qu'il a été déterminé qu'il existe des racines de l'équation quadratique et que leur nombre est connu, vous devez utiliser des formules pour les variables. S'il y a deux racines, vous devez alors appliquer la formule suivante.

Puisqu’il contient un signe « ± », il y aura deux valeurs. L'expression sous le signe racine carrée est le discriminant. La formule peut donc être réécrite différemment.

Formule numéro cinq. Il ressort clairement du même enregistrement que si le discriminant est égal à zéro, alors les deux racines prendront les mêmes valeurs.

Si la résolution d'équations quadratiques n'a pas encore été élaborée, il est préférable d'écrire les valeurs de tous les coefficients avant d'appliquer les formules discriminantes et variables. Plus tard, ce moment ne posera pas de difficultés. Mais au tout début, il y a une confusion.

Comment résoudre une équation quadratique incomplète ?

Tout est beaucoup plus simple ici. Il n’est même pas nécessaire de recourir à des formules supplémentaires. Et ceux qui ont déjà été écrits pour le discriminant et l'inconnu ne seront pas nécessaires.

Examinons d’abord l’équation incomplète numéro deux. Dans cette égalité, il faut sortir l’inconnue des parenthèses et résoudre l’équation linéaire, qui restera entre parenthèses. La réponse aura deux racines. Le premier est nécessairement égal à zéro, car il existe un multiplicateur constitué par la variable elle-même. La seconde sera obtenue en résolvant une équation linéaire.

L’équation incomplète numéro trois est résolue en déplaçant le nombre du côté gauche de l’égalité vers la droite. Ensuite, vous devez diviser par le coefficient face à l'inconnue. Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et penser à l'écrire deux fois avec des signes opposés.

Voici quelques étapes qui vous aideront à apprendre à résoudre toutes sortes d’égalités qui se transforment en équations quadratiques. Ils aideront l'étudiant à éviter les erreurs dues à l'inattention. Ces lacunes peuvent entraîner de mauvaises notes lors de l’étude du vaste sujet « Équations quadratiques (8e année) ». Par la suite, ces actions ne devront plus être réalisées en permanence. Parce qu'une compétence stable apparaîtra.

• Vous devez d’abord écrire l’équation sous forme standard. C'est-à-dire d'abord le terme avec le plus grand degré de la variable, puis - sans degré, et enfin - juste un nombre.

• Si un moins apparaît avant le coefficient « a », cela peut compliquer le travail d'un débutant étudiant les équations quadratiques. Il vaut mieux s'en débarrasser. Pour cela, toute égalité doit être multipliée par « -1 ». Cela signifie que tous les termes changeront de signe en sens inverse.

• Il est recommandé de se débarrasser des fractions de la même manière. Multipliez simplement l’équation par le facteur approprié pour que les dénominateurs s’annulent.

Exemples

Il est nécessaire de résoudre les équations quadratiques suivantes :

x 2 - 7x = 0 ;

15 − 2x − x2 = 0 ;

x2 + 8 + 3x = 0 ;

12x + x2 + 36 = 0 ;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La première équation : x 2 − 7x = 0. Elle est incomplète, elle est donc résolue comme décrit pour la formule numéro deux.

Après l'avoir sorti des parenthèses, il s'avère : x (x - 7) = 0.

La première racine prend la valeur : x 1 = 0. La seconde sera trouvée à partir de l'équation linéaire : x - 7 = 0. Il est facile de voir que x 2 = 7.

Deuxième équation : 5x 2 + 30 = 0. Encore une fois incomplète. Seulement, il est résolu comme décrit pour la troisième formule.

Après avoir déplacé 30 vers la droite de l'équation : 5x 2 = 30. Vous devez maintenant diviser par 5. Il s'avère : x 2 = 6. Les réponses seront les nombres : x 1 = √6, x 2 = - √6.

La troisième équation : 15 − 2x − x 2 = 0. Ci-après, la résolution d'équations quadratiques commencera par les réécrire sous forme standard : − x 2 − 2x + 15 = 0. Il est maintenant temps d'utiliser la deuxième astuce utile et de tout multiplier par moins un . Il s'avère que x 2 + 2x - 15 = 0. En utilisant la quatrième formule, vous devez calculer le discriminant : D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. C'est un nombre positif. D’après ce qui précède, il s’avère que l’équation a deux racines. Ils doivent être calculés à l'aide de la cinquième formule. Il s'avère que x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Alors x 1 = 3, x 2 = - 5.

La quatrième équation x 2 + 8 + 3x = 0 se transforme en ceci : x 2 + 3x + 8 = 0. Son discriminant est égal à cette valeur : -23. Puisque ce nombre est négatif, la réponse à cette tâche sera l’entrée suivante : « Il n’y a pas de racines ».

La cinquième équation 12x + x 2 + 36 = 0 doit être réécrite comme suit : x 2 + 12x + 36 = 0. Après avoir appliqué la formule du discriminant, le nombre zéro est obtenu. Cela signifie qu'il aura une racine, à savoir : x = -12/ (2 * 1) = -6.

La sixième équation (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) nécessite des transformations, qui consistent dans le fait qu'il faut rapprocher des termes similaires, en ouvrant d'abord les parenthèses. A la place de la première il y aura l'expression suivante : x 2 + 2x + 1. Après l'égalité, cette entrée apparaîtra : x 2 + 3x + 2. Après avoir compté les termes similaires, l'équation prendra la forme : x 2 - x = 0. Il est devenu incomplet. Quelque chose de similaire a déjà été discuté un peu plus haut. Les racines de celui-ci seront les nombres 0 et 1.

Équations du second degré. Discriminant. Solution, exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Types d'équations quadratiques

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? À quoi cela ressemble-t-il? En terme équation quadratique le mot clé est "carré". Cela signifie que dans l'équation Nécessairement il doit y avoir un x au carré. En plus de cela, l'équation peut (ou non !) contenir uniquement X (à la première puissance) et juste un nombre. (Membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de X à une puissance supérieure à deux.

En termes mathématiques, une équation quadratique est une équation de la forme :

Ici a, b et c- quelques chiffres. b et c- absolument aucun, mais UN– autre chose que zéro. Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Dans ces équations quadratiques de gauche, il y a ensemble complet membres. X au carré avec un coefficient UN, x à la puissance première avec coefficient b Et membres gratuits s.

De telles équations quadratiques sont appelées complet.

Et si b= 0, qu'obtient-on ? Nous avons X sera perdu à la première puissance. Cela se produit lorsqu'il est multiplié par zéro.) Il s'avère, par exemple :

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Et ainsi de suite. Et si les deux coefficients b Et c sont égaux à zéro, alors c’est encore plus simple :

2x2 =0,

-0,3x2 =0

De telles équations dans lesquelles quelque chose manque sont appelées équations quadratiques incomplètes. Ce qui est tout à fait logique.) Veuillez noter que x au carré est présent dans toutes les équations.

Au fait, pourquoi UN ne peut pas être égal à zéro ? Et tu remplaces à la place UN zéro.) Notre X au carré disparaîtra ! L'équation deviendra linéaire. Et la solution est complètement différente...

Ce sont tous les principaux types d’équations quadratiques. Complet et incomplet.

Résolution d'équations quadratiques.

Résolution d'équations quadratiques complètes.

Les équations quadratiques sont faciles à résoudre. Selon des formules et des règles claires et simples. Dans un premier temps, il est nécessaire de ramener l'équation donnée à une forme standard, c'est-à-dire au formulaire :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape.) L'essentiel est de déterminer correctement tous les coefficients, UN, b Et c.

La formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant. Mais plus sur lui ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c Nous calculons dans cette formule. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, dans l'équation :

UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est la réponse.

Tout est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs diminuera fortement. Nous écrivons donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essaie. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, rapide ou correct ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d’inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Mais souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

L'avez-vous reconnu ?) Oui ! Ce équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes.

Ils peuvent également être résolus à l’aide d’une formule générale. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune formule. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il de cela ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x1 = 0, x2 = 4.

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser la formule générale. Permettez-moi, en passant, de noter quel X sera le premier et lequel sera le second - absolument indifférent. Il est pratique d'écrire dans l'ordre, x1- ce qui est plus petit et x2- ce qui est plus grand.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x1 = -3, x2 = 3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Discriminant. Formule discriminante.

mot magique discriminant ! Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! C'est simple et sans problème à utiliser.) Je vous rappelle la formule la plus générale pour résoudre n'importe lequeléquations du second degré:

L'expression sous le signe racine est appelée discriminant. Généralement, le discriminant est désigné par la lettre D. Formule discriminante :

D = b 2 - 4ac

Et qu’y a-t-il de si remarquable dans cette expression ? Pourquoi méritait-il un nom spécial ? Quoi le sens du discriminant ? Après tout -b, ou 2a dans cette formule, ils ne l'appellent pas spécifiquement... Des lettres et des lettres.

Voici le truc. Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide de cette formule, il est possible seulement trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Vous aurez alors une solution. Puisque ajouter ou soustraire zéro au numérateur ne change rien. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais, dans une version simplifiée, il est d'usage de parler de une solution.

3. Le discriminant est négatif. La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être prise. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Pour être honnête, lors de la simple résolution d’équations quadratiques, le concept de discriminant n’est pas vraiment nécessaire. Nous substituons les valeurs des coefficients dans la formule et comptons. Tout y arrive tout seul, deux racines, une et aucune. Cependant, lors de la résolution de tâches plus complexes, sans connaissance sens et formule du discriminant pas assez. Surtout dans les équations avec paramètres. De telles équations sont de la voltige pour l'examen d'État et l'examen d'État unifié !)

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont vous vous souvenez. Ou vous avez appris, ce qui n'est pas mal non plus.) Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Vous comprenez que le mot clé ici est attentivement ?

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous . Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernière chose l'équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur.

Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Il y aura de moins en moins d'erreurs.

Troisième réception . Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par un dénominateur commun comme décrit dans la leçon « Comment résoudre des équations ? Transformations d'identité ». Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Il est la.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On a:

C'est tout! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques :

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l’aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Maintenant, nous pouvons décider.)

Résoudre des équations :

8x2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Réponses (en désarroi) :

x1 = 0
x2 = 5

x 1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - n'importe quel nombre

x1 = -3
x2 = 3

aucune solution

x1 = 0,25
x2 = 0,5

Est-ce que tout rentre ? Super! Les équations quadratiques ne sont pas un casse-tête. Les trois premiers ont fonctionné, mais pas les autres ? Le problème ne vient alors pas des équations quadratiques. Le problème réside dans les transformations identiques des équations. Jetez un oeil au lien, c'est utile.

Ça ne marche pas vraiment ? Ou ça ne marche pas du tout ? Alors vous serez aidé par l’article 555. Tous ces exemples y sont détaillés. Montré principal erreurs dans la solution. Bien entendu, nous parlons également de l’utilisation de transformations identiques pour résoudre diverses équations. Aide beaucoup !

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de racines réelles, multiples et complexes sont considérés. Factoriser un trinôme quadratique. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de factorisation.

Contenu

Voir également: Résoudre des équations quadratiques en ligne

Formules de base

Considérons l'équation quadratique :
(1) .
Racines d'une équation quadratique(1) sont déterminés par les formules :
; .
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines d'une équation quadratique sont connues, alors un polynôme du deuxième degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé) :
.

Ensuite, nous supposons qu'il s'agit de nombres réels.
Considérons discriminant d'une équation quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
; .
Alors la factorisation du trinôme quadratique a la forme :
.
Si le discriminant est égal à zéro, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines conjuguées complexes :
;
.
Voici l'unité imaginaire, ;
et sont les parties réelles et imaginaires des racines :
; .
Alors

.

Interprétation graphique

Si vous tracez la fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
Lorsque , le graphique coupe l'axe des x (axe) en deux points ().
Lorsque , le graphique touche l'axe des x en un point ().
Lorsque , le graphique ne coupe pas l'axe des x ().

Formules utiles liées à l'équation quadratique

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous effectuons des transformations et appliquons les formules (f.1) et (f.3) :




,
Où
; .

Ainsi, nous avons obtenu la formule d'un polynôme du deuxième degré sous la forme :
.
Cela montre que l'équation

effectué à
Et .
Autrement dit, et sont les racines de l'équation quadratique
.

Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique

Exemple 1

(1.1) .

.
En comparant avec notre équation (1.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est positif, l’équation a deux racines réelles :
;
;
.

De là on obtient la factorisation du trinôme quadratique :

.

Graphique de la fonction y = 2 x 2 + 7 x + 3 coupe l'axe des x en deux points.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des abscisses (axis) en deux points :
Et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).

;
;
.

Exemple 2

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(2.1) .

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.

Alors la factorisation du trinôme a la forme :
.

Graphique de la fonction y = x 2 - 4 x + 4 touche l’axe des x à un moment donné.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des x (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l’équation originale (2.1). Car cette racine est factorisée deux fois :
,
alors une telle racine est généralement appelée un multiple. Autrement dit, ils croient qu'il existe deux racines égales :
.

;
.

Exemple 3

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(3.1) .

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
(1) .
Réécrivons l'équation originale (3.1) :
.
En comparant avec (1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Le discriminant est négatif, . Il n’y a donc pas de véritables racines.

Vous pouvez trouver des racines complexes :
;
;
.

Alors


.

Le graphique de la fonction ne traverse pas l'axe des x. Il n’y a pas de véritables racines.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il ne coupe pas l'axe des x (axe). Il n’y a donc pas de véritables racines.

Il n’y a pas de véritables racines. Racines complexes :
;
;
.

Voir également: