Les monômes sont l'un des principaux types d'expressions étudiés dans cours scolaire algèbre. Dans ce document, nous vous expliquerons ce que sont ces expressions, définirons leur forme standard et montrerons des exemples, et comprendrons également des concepts connexes, tels que le degré d'un monôme et son coefficient.

Qu'est-ce qu'un monôme

DANS manuels scolaires La définition suivante de ce concept est généralement donnée :

Définition 1

Les monômes incluent nombres, variables, ainsi que leurs puissances avec exposants naturels et différents types ouvrages compilés à partir d'eux.

Sur la base de cette définition, nous pouvons donner des exemples de telles expressions. Ainsi, tous les nombres 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 seront des monômes. Toutes les variables, par exemple x, a, b, p, q, t, y, z, seront également des monômes par définition. Cela inclut également les puissances des variables et des nombres, par exemple 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 et t 15, ainsi que des expressions de la forme 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, etc. Veuillez noter qu'un monôme peut contenir un nombre ou une variable, ou plusieurs, et qu'ils peuvent être mentionnés plusieurs fois dans un même polynôme.

Des types de nombres tels que les nombres entiers, les nombres rationnels et les nombres naturels appartiennent également aux monômes. Vous pouvez également inclure des informations valides et nombres complexes. Ainsi, les expressions de la forme 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 seront également des monômes.

Quelle est la forme standard d'un monôme et comment y convertir une expression

Pour faciliter l'utilisation, tous les monômes sont d'abord réduits à une forme spéciale appelée standard. Formulons précisément ce que cela signifie.

Définition 2

Forme standard du monôme est appelé sa forme dans laquelle il est le produit d'un facteur numérique et diplômes naturels différentes variables. Le facteur numérique, également appelé coefficient du monôme, est généralement écrit en premier à gauche.

Pour plus de clarté, sélectionnons plusieurs monômes de la forme standard : 6 (c'est un monôme sans variables), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Cela inclut également l'expression x y(ici le coefficient sera égal à 1), −x3(ici le coefficient est - 1).

Nous donnons maintenant des exemples de monômes qui doivent être mis sous forme standard : 4 une 2 une 3(ici vous devez combiner les mêmes variables), 5 x (− 1) 3 et 2(ici, vous devez combiner les facteurs numériques à gauche).

Généralement, lorsqu'un monôme comporte plusieurs variables écrites en lettres, les facteurs alphabétiques sont écrits par ordre alphabétique. Par exemple, il est préférable d'écrire 6 un b 4 c z 2, comment b 4 6 une z 2 c. Toutefois, l’ordre peut être différent si la finalité du calcul l’exige.

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Pour ce faire, vous devez effectuer toutes les transformations d'identité nécessaires.

Le concept de degré d'un monôme

Le concept qui l'accompagne du degré d'un monôme est très important. Écrivons la définition de ce concept.

Définition 3

Par le pouvoir du monôme, écrit sous forme standard, est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans sa notation. S'il ne contient aucune variable et que le monôme lui-même est différent de 0, alors son degré sera nul.

Donnons des exemples de puissances d'un monôme.

Exemple 1

Ainsi, le monôme a a un degré égal à 1, puisque a = a 1. Si nous avons un monôme 7, alors il aura le degré zéro, car il n'a pas de variables et est différent de 0. Et voici l'enregistrement 7 une 2 x y 3 une 2 sera un monôme du 8ème degré, car la somme des exposants de tous les degrés des variables qu'il contient sera égale à 8 : 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Le monôme réduit à la forme standard et le polynôme original auront le même degré.

Exemple 2

Nous allons vous montrer comment calculer le degré d'un monôme 3 x 2 oui 3 x (− 2) x 5 oui. Sous forme standard, il peut s'écrire sous la forme − 6 x 8 et 4. On calcule le degré : 8 + 4 = 12 . Cela signifie que le degré du polynôme d'origine est également égal à 12.

Notion de coefficient monôme

Si nous avons un monôme réduit à une forme standard qui comprend au moins une variable, alors nous en parlons comme d'un produit avec un facteur numérique. Ce facteur est appelé coefficient numérique, ou coefficient monôme. Écrivons la définition.

Définition 4

Le coefficient d'un monôme est le facteur numérique d'un monôme réduit à sa forme standard.

Prenons comme exemple les coefficients de divers monômes.

Exemple 3

Ainsi, dans l'expression 8 à 3 le coefficient sera le chiffre 8, et en (− 2 , 3) ​​​​​​x y z elles vont − 2 , 3 .

Une attention particulière doit être portée aux coefficients égal à un et moins un. En règle générale, ils ne sont pas explicitement indiqués. On pense que dans un monôme de forme standard, dans lequel il n'y a pas de facteur numérique, le coefficient est égal à 1, par exemple, dans les expressions a, x · z 3, a · t · x, puisqu'ils peuvent être considéré comme 1 · a, x · z 3 – Comment 1xz3 etc.

De même, dans les monômes qui n'ont pas de facteur numérique et qui commencent par un signe moins, on peut considérer - 1 comme le coefficient.

Exemple 4

Par exemple, les expressions − x, − x 3 · y · z 3 auront un tel coefficient, puisqu'elles peuvent être représentées par − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 et z 3 etc.

Si un monôme n'a pas du tout un facteur à une seule lettre, alors nous pouvons parler de coefficient dans ce cas. Les coefficients de ces monômes-nombres seront ces nombres eux-mêmes. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 9 sera égal à 9.

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Leçon sur le thème : "Forme standard d'un monôme. Définition. Exemples"

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Monôme. Définition

Monôme est une expression mathématique qui est le produit d’un facteur premier et d’une ou plusieurs variables.

Les monômes incluent tous les nombres, variables, leurs puissances avec un exposant naturel :
42 ; 3 ; 0 ; 6 2 ; 2 3 ; b3 ; hache 4 ; 4x3 ; 5a2 ; 12xyz 3 .

Bien souvent, il est difficile de déterminer si une expression mathématique donnée fait référence à un monôme ou non. Par exemple, $\frac(4a^3)(5)$. Est-ce un monôme ou pas ? Pour répondre à cette question, nous devons simplifier l'expression, c'est-à-dire présent sous la forme : $\frac(4)(5)*a^3$.
On peut dire avec certitude que cette expression est un monôme.

Forme standard du monôme

Lors des calculs, il est conseillé de réduire le monôme à la forme standard. Il s’agit de l’enregistrement le plus concis et le plus compréhensible d’un monôme.

La procédure pour réduire un monôme à la forme standard est la suivante :
1. Multipliez les coefficients du monôme (ou des facteurs numériques) et placez le résultat obtenu en premier lieu.
2. Sélectionnez toutes les puissances avec la même base de lettres et multipliez-les.
3. Répétez le point 2 pour toutes les variables.

Exemples.
I. Réduisez le monôme donné $3x^2zy^3*5y^2z^4$ à la forme standard.

Solution.
1. Multipliez les coefficients du monôme $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Maintenant, donnons termes similaires 15 $ ^ 2 ans ^ 5z ^ 5 $.

II. Réduisez le monôme donné $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ à la forme standard.

Solution.
1. Multipliez les coefficients du monôme $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Nous présentons maintenant des termes similaires $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Pouvoir d'un monôme

Pour un monôme, il y a la notion de son degré. Voyons ce que c'est.

Définition.

Pouvoir d'un monôme la forme standard est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans son enregistrement ; s'il n'y a pas de variables dans la notation d'un monôme et qu'il est différent de zéro, alors son degré est considéré égal à zéro; le nombre zéro est considéré comme un monôme dont le degré est indéfini.

Déterminer le degré d'un monôme permet de donner des exemples. Le degré du monôme a est égal à un, puisque a est un 1. La puissance du monôme 5 est nulle, puisqu'elle est non nulle et que sa notation ne contient pas de variables. Et le produit 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 est un monôme du huitième degré, puisque la somme des exposants de toutes les variables a, x et y est égale à 2+1+3+2=8.

À propos, le degré d'un monôme non écrit sous forme standard est égal au degré du monôme correspondant de forme standard. Pour illustrer cela, calculons le degré du monôme 3 x 2 oui 3 x (−2) x 5 oui. Ce monôme sous forme standard a la forme −6·x 8 ·y 4, son degré est 8+4=12. Ainsi, le degré du monôme original est 12.

Coefficient monomial

Un monôme sous forme standard, qui a au moins une variable dans sa notation, est un produit avec un seul facteur numérique - un coefficient numérique. Ce coefficient est appelé coefficient monôme. Formulons les arguments ci-dessus sous la forme d'une définition.

Définition.

Coefficient monomial est le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard.

Nous pouvons maintenant donner des exemples de coefficients de divers monômes. Le nombre 5 est le coefficient du monôme 5·a 3 par définition, de même le monôme (−2,3)·x·y·z a un coefficient de −2,3.

Les coefficients des monômes, égaux à 1 et −1, méritent une attention particulière. Le fait est qu’ils ne sont généralement pas explicitement présents dans l’enregistrement. On pense que le coefficient des monômes de forme standard qui n'ont pas de facteur numérique dans leur notation est égal à un. Par exemple, les monômes a, x·z 3, a·t·x, etc. avoir un coefficient de 1, puisque a peut être considéré comme 1·a, x·z 3 - comme 1·x·z 3, etc.

De même, le coefficient des monômes, dont les entrées sous forme standard n'ont pas de facteur numérique et commencent par un signe moins, est considéré comme moins un. Par exemple, les monômes −x, −x 3 y z 3, etc. avoir un coefficient −1, puisque −x=(−1) x, −x 3 oui z 3 =(−1) x 3 oui z 3 et ainsi de suite.

À propos, le concept de coefficient d'un monôme est souvent appelé monômes de la forme standard, qui sont des nombres sans facteurs alphabétiques. Les coefficients de ces monômes-nombres sont considérés comme ces nombres. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 7 est considéré comme égal à 7.

Bibliographie.

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• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

1. Coefficient entier positif. Ayons un monôme +5a, puisque nombre positif+5 est considéré comme la même chose que nombre arithmétique 5 alors

5a = une ∙ 5 = une + une + une + une + une.

Aussi +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² ; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³ ; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc et ainsi de suite.

Sur la base de ces exemples, nous pouvons établir que le coefficient entier positif montre combien de fois le facteur lettre (ou : produit des facteurs lettre) d'un monôme est répété par l'addend.

Vous devez vous y habituer à tel point que vous imaginez immédiatement dans votre imagination que, par exemple, dans un polynôme

3a + 4a² + 5a³

le problème se résume au fait que d'abord a² est répété 3 fois comme terme, puis a³ est répété 4 fois comme terme et enfin a est répété 5 fois comme terme.

Aussi : 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³, etc.

2. Coefficient fractionnaire positif. Ayons un monôme +a. Puisque le nombre positif + coïncide avec le nombre arithmétique, alors +a = a ∙, ce qui signifie : il faut prendre les trois quarts du nombre a, c'est-à-dire

Par conséquent : le coefficient fractionnaire positif montre combien de fois et quelle partie du facteur lettre du monôme est répétée par l'addend.

Polynôme doit être facilement représenté sous la forme :

etc.

3. Coefficient négatif. Connaissant la multiplication des nombres relatifs, on peut facilement établir que, par exemple, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) ou (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) ou en général a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) ; aussi a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), etc.

Par conséquent, si nous prenons un monôme avec un coefficient négatif, par exemple –3a, alors

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a est pris comme terme 3 fois).

À partir de ces exemples, nous voyons que le coefficient négatif montre combien de fois la lettre d'un monôme, ou sa certaine fraction, prise avec un signe moins, est répétée par le terme.

Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux opérations standards principales sur les monômes, à savoir la réduction à une forme standard et le calcul d'une forme spécifique. valeur numérique monôme pour les valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre tâches typiques avec des monômes.

Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme

Prenons quelques exemples :

3. ;

Nous trouverons caractéristiques communes pour les expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.

Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.

Voici quelques exemples supplémentaires :

L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Maintenant, découvrons actions sur les monômes .

1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /

Dans le deuxième exemple, nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. Autrement dit, cette expression devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.

Alors, prenons un exemple :

La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :

;

Le résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :

Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Placez le coefficient résultant en premier lieu ;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;

C'est-à-dire que tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :

Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.

Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :

- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;

Écrivons la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :

Écrivons la réponse :

;

DANS dans cet exemple le coefficient du monôme est égal à un et la partie lettre est .

Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

Écrivons la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre .

Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu'un monôme est une expression algébrique composée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous disposons d'une expression numérique arithmétique qui doit être évaluée. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Regardons un exemple. Monôme donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre

Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques, c'est une caractéristique du monôme.

Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .