INÉGALITÉS LOGARITHMIQUES D'UTILISATION
Setchine Mikhaïl Alexandrovitch
Petite Académie des Sciences pour étudiants de la République du Kazakhstan « Iskatel »
MBOU "École secondaire Sovetskaya n° 1", 11e année, ville. District de Sovetski Sovetski
Gunko Lyudmila Dmitrievna, Professeur MBOU"École secondaire soviétique n° 1"
Quartier Sovetski
Objectif du travail :étude du mécanisme de solution inégalités logarithmiques C3 en utilisant des méthodes non standards, identifiant faits intéressants logarithme
Sujet d'étude:
3) Apprendre à résoudre des inégalités logarithmiques spécifiques C3 à l'aide de méthodes non standards.
Résultats:
Contenu
Introduction………………………………………………………………………………….4
Chapitre 1. Historique du problème……………………………………………………...5
Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques ………………………… 7
2.1. Transitions équivalentes et méthode généralisée des intervalles…………… 7
2.2. Méthode de rationalisation……………………………………………………………… 15
2.3. Substitution non standard……………….................................................. ............ ..... 22
2.4. Tâches avec pièges……………………………………………………27
Conclusion………………………………………………………………………………… 30
Littérature……………………………………………………………………. 31
Introduction
Je suis en 11e année et j'ai l'intention d'entrer dans une université dont la matière principale est les mathématiques. C'est pourquoi je travaille beaucoup avec les problèmes de la partie C. Dans la tâche C3, je dois résoudre une inégalité ou un système d'inégalités non standard, généralement lié aux logarithmes. Lors de la préparation de l'examen, j'ai été confronté au problème du manque de méthodes et techniques de résolution des inégalités logarithmiques à l'examen proposé en C3. Les méthodes étudiées dans programme scolaire sur ce sujet, ne fournissent pas de base pour résoudre les tâches C3. Le professeur de mathématiques m'a suggéré de travailler sur les devoirs C3 de manière indépendante sous sa direction. De plus, la question m'intéressait : rencontrons-nous des logarithmes dans nos vies ?
C'est dans cette optique que le thème a été choisi :
« Inégalités logarithmiques à l'examen d'État unifié »
Objectif du travail :étude du mécanisme de résolution des problèmes C3 à l'aide de méthodes non standard, identifiant des faits intéressants sur le logarithme.
Sujet d'étude:
1) Trouvez les informations nécessaires sur les méthodes non standard de résolution des inégalités logarithmiques.
2) Trouvez des informations supplémentaires sur les logarithmes.
3) Apprenez à résoudre des problèmes C3 spécifiques en utilisant des méthodes non standard.
Résultats:
L'importance pratique réside dans l'expansion de l'appareil permettant de résoudre les problèmes C3. Ce matériel peut être utilisé dans certains cours, pour les clubs et les cours au choix de mathématiques.
Le produit du projet sera la collection « Inégalités logarithmiques C3 avec solutions ».
Chapitre 1. Contexte
Tout au long du XVIe siècle, le nombre de calculs approximatifs augmente rapidement, principalement en astronomie. L'amélioration des instruments, l'étude des mouvements planétaires et d'autres travaux ont nécessité des calculs colossaux, parfois pluriannuels. L’astronomie risquait réellement de se noyer sous des calculs non réalisés. Des difficultés sont apparues dans d'autres domaines, par exemple dans le secteur des assurances, des tableaux d'intérêts composés étaient nécessaires pour différentes significations pour cent. La principale difficulté était la multiplication et la division des nombres à plusieurs chiffres, en particulier les quantités trigonométriques.
La découverte des logarithmes s'appuie sur les propriétés des progressions bien connues à la fin du XVIe siècle. Sur le lien entre les termes de la progression géométrique q, q2, q3, ... et progression arithmétique leurs indicateurs sont 1, 2, 3,... Archimède parlait dans son « Psalmite ». Une autre condition préalable était l'extension du concept de degré aux exposants négatifs et fractionnaires. De nombreux auteurs ont souligné que multiplication, division, exponentiation et extraction de racine en progression géométrique correspondent en arithmétique - dans le même ordre - addition, soustraction, multiplication et division.
Voici l'idée du logarithme comme exposant.
Dans l'histoire du développement de la doctrine des logarithmes, plusieurs étapes ont été franchies.
Étape 1
Les logarithmes ont été inventés au plus tard en 1594 indépendamment par le baron écossais Napier (1550-1617) et dix ans plus tard par le mécanicien suisse Bürgi (1552-1632). Tous deux voulaient fournir un nouveau moyen pratique de calculs arithmétiques, bien qu'ils aient abordé ce problème de différentes manières. Napier a exprimé cinématiquement la fonction logarithmique et est ainsi entré dans nouvelle zone théorie de la fonction. Bürgi est resté sur la base d’envisager des progressions discrètes. Cependant, la définition du logarithme pour les deux n'est pas similaire à la définition moderne. Le terme « logarithme » (logarithme) appartient à Napier. Il est né d'une combinaison de mots grecs : logos - « relation » et ariqmo - « nombre », qui signifiait « nombre de relations ». Initialement, Napier utilisait un terme différent : numeri artificiales - « nombres artificiels », par opposition à numeri naturalts - « nombres naturels ».
En 1615, lors d'une conversation avec Henry Briggs (1561-1631), professeur de mathématiques au Gresh College de Londres, Napier suggéra de prendre zéro comme logarithme de un et 100 comme logarithme de dix, ou, ce qui revient au même. chose, juste 1. C'est ainsi que les logarithmes décimaux et les premiers tableaux logarithmiques ont été imprimés. Plus tard, les tableaux de Briggs furent complétés par le libraire néerlandais et passionné de mathématiques Adrian Flaccus (1600-1667). Napier et Briggs, bien qu'ils soient arrivés aux logarithmes plus tôt que tout le monde, ont publié leurs tableaux plus tard que les autres - en 1620. Les signes log et Log ont été introduits en 1624 par I. Kepler. Le terme « logarithme naturel » a été introduit par Mengoli en 1659, suivi par N. Mercator en 1668, et le professeur londonien John Speidel a publié des tableaux de logarithmes naturels de nombres de 1 à 1000 sous le nom de « New Logarithms ».
Les premiers tableaux logarithmiques ont été publiés en russe en 1703. Mais dans tous les tableaux logarithmiques, il y avait des erreurs de calcul. Les premiers tableaux sans erreur ont été publiés en 1857 à Berlin, élaborés par le mathématicien allemand K. Bremiker (1804-1877).
Étape 2
Le développement ultérieur de la théorie des logarithmes est associé à une application plus large de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal. À ce moment-là, le lien entre la quadrature d’une hyperbole équilatérale et un algorithme naturel. La théorie des logarithmes de cette période est associée aux noms d'un certain nombre de mathématiciens.
Le mathématicien, astronome et ingénieur allemand Nikolaus Mercator dans un essai
"Logarithmotechnics" (1668) donne une série donnant le développement de ln(x+1) en
puissances de x :
Cette expression correspond exactement à sa pensée, même si, bien sûr, il n'a pas utilisé les signes d, ..., mais une symbolique plus encombrante. Avec la découverte des séries logarithmiques, la technique de calcul des logarithmes change : ils commencent à être déterminés à l'aide de séries infinies. Dans ses conférences « Mathématiques élémentaires d'un point de vue supérieur », données en 1907-1908, F. Klein a proposé d'utiliser la formule comme point de départ pour construire la théorie des logarithmes.
Étape 3
Définition fonction logarithmique comme fonction inverse
exponentiel, logarithme comme exposant d'une base donnée
n’a pas été formulée immédiatement. Essai de Leonhard Euler (1707-1783)
"Une introduction à l'analyse des infinitésimaux" (1748) a servi à approfondir
développement de la théorie des fonctions logarithmiques. Ainsi,
134 ans se sont écoulés depuis l'introduction des logarithmes
(à partir de 1614), avant que les mathématiciens ne parviennent à la définition
la notion de logarithme, qui constitue désormais la base du cursus scolaire.
Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques
2.1. Transitions équivalentes et méthode généralisée des intervalles.
Transitions équivalentes
, si a > 1
, si 0 <
а <
1
Méthode généralisée intervalles
Cette méthode est la plus universelle pour résoudre les inégalités de presque tous types. Le diagramme de solution ressemble à ceci :
1. Amenez l'inégalité sous une forme où la fonction du côté gauche est 
, et à droite 0.
2. Trouvez le domaine de la fonction .
3. Trouver les zéros de la fonction , c'est-à-dire résoudre l'équation 
(et résoudre une équation est généralement plus facile que résoudre une inégalité).
4. Dessinez le domaine de définition et les zéros de la fonction sur la droite numérique.
5. Déterminer les signes de la fonction sur les intervalles obtenus.
6. Sélectionnez les intervalles où la fonction prend les valeurs requises et notez la réponse.
Exemple 1.
Solution:
Appliquons la méthode des intervalles
où
Pour ces valeurs, toutes les expressions sous les signes logarithmiques sont positives.
Répondre:
Exemple 2.
Solution:
1er chemin . Les AVQ sont déterminées par l'inégalité X> 3. Prendre des logarithmes pour tel X en base 10, on obtient
La dernière inégalité pourrait être résolue en appliquant des règles d'expansion, c'est-à-dire comparer les facteurs à zéro. Cependant, dans ce cas, il est facile de déterminer les intervalles de signe constant de la fonction
par conséquent, la méthode des intervalles peut être appliquée.
Fonction F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ est continu à X> 3 et disparaît à certains endroits X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Ainsi, on détermine les intervalles de signe constant de la fonction F(X):
Répondre:
2ème méthode . Appliquons directement les idées de la méthode des intervalles à l'inégalité originale.
Pour ce faire, rappelons que les expressions un b- un c et ( un - 1)(b- 1) avoir un signe. Alors notre inégalité à X> 3 équivaut à une inégalité
ou
La dernière inégalité est résolue en utilisant la méthode des intervalles
Répondre:
Exemple 3.
Solution:
Appliquons la méthode des intervalles
Répondre:
Exemple 4.
Solution:
Depuis 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pour tout réel X, Que
Pour résoudre la deuxième inégalité, nous utilisons la méthode des intervalles
Dans la première inégalité, nous effectuons le remplacement
on arrive alors à l'inégalité 2y 2 - oui - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те oui, qui satisfont l'inégalité -0,5< oui < 1.
D'où, parce que
on obtient l'inégalité
qui est effectué lorsque X, pour lequel 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Maintenant, compte tenu de la solution de la deuxième inégalité du système, on obtient finalement
Répondre:
Exemple 5.
Solution:
L'inégalité équivaut à un ensemble de systèmes
ou
Utilisons la méthode des intervalles ou
Répondre:
Exemple 6.
Solution:
Inégalité égale système
Laisser
Alors oui > 0,
et la première inégalité
le système prend la forme
ou, se dépliant
trinôme quadratique factorisé,
En appliquant la méthode des intervalles à la dernière inégalité,
on voit que ses solutions satisfont à la condition oui> 0 sera tout oui > 4.
Ainsi, l'inégalité originelle est équivalente au système :
Ainsi, les solutions aux inégalités sont toutes
2.2. Méthode de rationalisation.
Auparavant, les inégalités n'étaient pas résolues par la méthode de rationalisation ; elles n'étaient pas connues. C'est le "nouveau moderne" méthode efficace solutions aux inégalités exponentielles et logarithmiques" (citation du livre de S.I. Kolesnikova)
Et même si l'enseignant le connaissait, il y avait une crainte : l'expert de l'examen d'État unifié le connaît-il, et pourquoi ne le donne-t-on pas à l'école ? Il y a eu des situations où l'enseignant a dit à l'élève : "Où l'as-tu eu ? Asseyez-vous - 2."
Aujourd’hui, la méthode est promue partout. Et pour les experts, il existe des lignes directrices associées à cette méthode, et dans les « Éditions les plus complètes des options standard… » de la solution C3, cette méthode est utilisée.
MERVEILLEUSE MÉTHODE !
"Table magique"
Dans d'autres sources
Si a >1 et b >1, puis enregistrez a b >0 et (a -1)(b -1)>0 ;
Si un >1 et 0 si 0<un<1 и b
>1, puis enregistrez a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<un<1 и 00 et (a -1)(b -1)>0. Le raisonnement effectué est simple, mais simplifie considérablement la solution des inégalités logarithmiques. Exemple 4.
journal x (x 2 -3)<0
Solution:
Exemple 5.
journal 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Solution: Exemple 6.
Pour résoudre cette inégalité, au lieu du dénominateur, on écrit (x-1-1)(x-1), et au lieu du numérateur, on écrit le produit (x-1)(x-3-9 + x). Exemple 7.
Exemple 8.
2.3. Remplacement non standard. Exemple 1.
Exemple 2.
Exemple 3.
Exemple 4.
Exemple 5.
Exemple 6.
Exemple 7.
journal 4 (3 x -1)log 0,25 Faisons le remplacement y=3 x -1; alors cette inégalité prendra la forme Journal 4 journal 0,25 Parce que journal 0,25 Faisons le remplacement t =log 4 y et obtenons l'inégalité t 2 -2t +≥0 dont la solution est les intervalles - Ainsi, pour trouver les valeurs de y on dispose d'un ensemble de deux inégalités simples Par conséquent, l’inégalité originale est équivalente à l’ensemble de deux inégalités exponentielles, La solution de la première inégalité de cet ensemble est l'intervalle 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemple 8.
Solution:
Inégalité égale système La solution de la deuxième inégalité définissant l’ODZ sera l’ensemble de ces X,
Pour qui X > 0.
Pour résoudre la première inégalité, nous effectuons la substitution On obtient alors l'inégalité ou L'ensemble des solutions à la dernière inégalité est trouvé par la méthode intervalles: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, on a ou Beaucoup de ceux-là X, qui satisfont la dernière inégalité appartient à ODZ ( X> 0), est donc une solution du système, et donc l'inégalité originelle. Répondre: 2.4. Tâches avec des pièges. Exemple 1.
Solution. L'ODZ de l'inégalité est tout x satisfaisant la condition 0 Exemple 2.
journal 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Répondre. (0 ; 0,5)U.
Répondre :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , puis nous réécrivons la dernière inégalité sous la forme 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solution de cet ensemble est les intervalles 0<у≤2 и 8≤у<+.
c'est-à-dire des agrégats 
. Ainsi, l'inégalité d'origine est satisfaite pour toutes les valeurs de x des intervalles 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Par conséquent, tous les x appartiennent à l’intervalle 0
Conclusion
Il n’a pas été facile de trouver des méthodes spécifiques pour résoudre les problèmes C3 à partir d’une grande abondance de sources pédagogiques différentes. Au cours des travaux effectués, j'ai pu étudier des méthodes non standards de résolution d'inégalités logarithmiques complexes. Ce sont : les transitions équivalentes et la méthode généralisée des intervalles, la méthode de rationalisation , substitution non standard , tâches avec pièges sur ODZ. Ces méthodes ne sont pas incluses dans le programme scolaire.
En utilisant différentes méthodes, j'ai résolu 27 inégalités proposées à l'examen d'État unifié de la partie C, à savoir C3. Ces inégalités avec solutions par méthodes ont constitué la base de la collection « Inégalités logarithmiques C3 avec solutions », qui est devenue un produit de projet de mon activité. L'hypothèse que j'avais posée au début du projet s'est confirmée : les problèmes C3 peuvent être résolus efficacement si l'on connaît ces méthodes.
De plus, j'ai découvert des faits intéressants sur les logarithmes. C'était intéressant pour moi de faire ça. Les produits de mon projet seront utiles à la fois aux étudiants et aux enseignants.
Conclusions :
Ainsi, l'objectif du projet a été atteint et le problème a été résolu. Et j'ai reçu l'expérience la plus complète et la plus variée des activités du projet à toutes les étapes du travail. En travaillant sur le projet, mon principal impact sur le développement a porté sur la compétence mentale, les activités liées aux opérations mentales logiques, le développement de la compétence créative, l'initiative personnelle, la responsabilité, la persévérance et l'activité.
Un gage de réussite lors de la création d'un projet de recherche pour J'ai acquis : une expérience scolaire significative, la capacité d'obtenir des informations de diverses sources, d'en vérifier la fiabilité et de les classer par importance.
En plus de mes connaissances directes en mathématiques, j'ai élargi mes compétences pratiques dans le domaine de l'informatique, acquis de nouvelles connaissances et expériences dans le domaine de la psychologie, établi des contacts avec des camarades de classe et appris à coopérer avec des adultes. Au cours des activités du projet, des compétences pédagogiques générales organisationnelles, intellectuelles et communicatives ont été développées.
Littérature
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systèmes d'inégalités à une variable (tâches standards C3).
2. Malkova A. G. Préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques.
3. Samarova S. S. Résoudre les inégalités logarithmiques.
4. Mathématiques. Recueil d'ouvrages de formation édité par A.L. Semenov et I.V. Iachchenko. -M. : MTsNMO, 2009. - 72 p.-
L'article est consacré à l'analyse des tâches 15 du profil Examen d'État unifié en mathématiques pour 2017. Dans cette tâche, les écoliers sont invités à résoudre des inégalités, le plus souvent logarithmiques. Bien qu'il puisse y en avoir des indicatifs. Cet article propose une analyse d'exemples d'inégalités logarithmiques, y compris celles contenant une variable dans la base du logarithme. Tous les exemples sont tirés de la banque ouverte de tâches de l'examen d'État unifié en mathématiques (profil), de telles inégalités sont donc susceptibles d'apparaître dans l'examen en tant que tâche 15. Idéal pour ceux qui veulent apprendre à résoudre la tâche 15 de la deuxième partie du profil Examen d'État unifié dans un court laps de temps en mathématiques pour obtenir plus de notes à l'examen.
Analyse des tâches 15 du profil Examen d'État unifié en mathématiques
| Exemple 1. Résoudre l'inégalité : |
Dans les tâches 15 de l'examen d'État unifié de mathématiques (profil), des inégalités logarithmiques sont souvent rencontrées. La résolution des inégalités logarithmiques commence par déterminer la plage de valeurs acceptables. Dans ce cas, il n’y a pas de variable dans la base des deux logarithmes, il n’y a que le nombre 11, ce qui simplifie grandement le problème. La seule limitation que nous avons ici est donc que les deux expressions sous le signe du logarithme sont positives :
Title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}
La première inégalité du système est l’inégalité quadratique. Pour le résoudre, nous aimerions vraiment factoriser le côté gauche. Je pense que vous savez que tout trinôme quadratique de la forme 
est factorisé comme suit :
où et sont les racines de l’équation. Dans ce cas, le coefficient est 1 (c'est le coefficient numérique devant ). Le coefficient est également égal à 1, et le coefficient est un terme fictif, il est égal à -20. Les racines d'un trinôme sont plus facilement déterminées à l'aide du théorème de Vieta. L'équation que nous avons donnée signifie que la somme des racines sera égale au coefficient de signe opposé, soit -1, et le produit de ces racines sera égal au coefficient, soit -20. Il est facile de deviner que les racines seront -5 et 4.
Maintenant, le côté gauche de l'inégalité peut être factorisé : title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X aux points -5 et 4. Cela signifie que la solution requise à l'inégalité est l'intervalle . Pour ceux qui ne comprennent pas ce qui est écrit ici, vous pouvez regarder les détails dans la vidéo, à partir de ce moment. Vous y trouverez également une explication détaillée de la façon dont la deuxième inégalité du système est résolue. C'est en train d'être résolu. De plus, la réponse est exactement la même que pour la première inégalité du système. C'est-à-dire que l'ensemble écrit ci-dessus est la région des valeurs admissibles de l'inégalité.
Ainsi, compte tenu de la factorisation, l'inégalité originelle prend la forme :
À l'aide de la formule, nous ajoutons 11 à la puissance de l'expression sous le signe du premier logarithme, et déplaçons le deuxième logarithme vers la gauche de l'inégalité, en changeant son signe à l'opposé :
Après réduction on obtient :
La dernière inégalité, due à l'augmentation de la fonction, est équivalente à l'inégalité 
, dont la solution est l'intervalle 
. Il ne reste plus qu'à le couper avec la région des valeurs acceptables de l'inégalité, et ce sera la réponse à toute la tâche.
Ainsi, la réponse requise à la tâche ressemble à :
Nous avons traité cette tâche, passons maintenant à l'exemple suivant de la tâche 15 de l'examen d'État unifié en mathématiques (profil).
| Exemple 2. Résoudre l'inégalité :
|
Nous commençons la solution en déterminant la plage de valeurs acceptables de cette inégalité. A la base de chaque logarithme il doit y avoir un nombre positif différent de 1. Toutes les expressions sous le signe du logarithme doivent être positives. Le dénominateur de la fraction ne doit pas contenir zéro. La dernière condition est équivalente au fait que , puisque sinon les deux logarithmes du dénominateur disparaissent. Toutes ces conditions déterminent la plage de valeurs admissibles de cette inégalité, donnée par le système d'inégalités suivant :
Title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}
Dans la plage de valeurs acceptables, nous pouvons utiliser des formules de conversion logarithmique pour simplifier le côté gauche de l'inégalité. Utiliser la formule 
on se débarrasse du dénominateur :
Maintenant, nous n’avons que des logarithmes avec une base. C'est déjà plus pratique. Ensuite, nous utilisons la formule, et aussi la formule afin d'amener l'expression digne de gloire à la forme suivante :
Dans les calculs, nous avons utilisé ce qui se situait dans la plage des valeurs acceptables. En utilisant la substitution, nous arrivons à l'expression :
Utilisons un remplacement supplémentaire : . De ce fait, nous arrivons au résultat suivant :
On revient donc progressivement aux variables d'origine. D'abord à la variable :
Sections: Mathématiques
Souvent, lors de la résolution d'inégalités logarithmiques, des problèmes surviennent avec une base de logarithme variable. Ainsi, une inégalité de la forme
est une inégalité scolaire standard. En règle générale, pour le résoudre, une transition vers un ensemble équivalent de systèmes est utilisée :
L’inconvénient de cette méthode est la nécessité de résoudre sept inégalités, sans compter deux systèmes et une population. Déjà avec ces fonctions quadratiques, la résolution de la population peut prendre beaucoup de temps.
Il est possible de proposer une manière alternative, moins chronophage, de résoudre cette inégalité standard. Pour ce faire, nous prenons en compte le théorème suivant.
Théorème 1. Soit une fonction croissante continue sur un ensemble X. Alors sur cet ensemble le signe de l'incrément de la fonction coïncidera avec le signe de l'incrément de l'argument, c'est-à-dire , Où 
.
Remarque : s'il s'agit d'une fonction décroissante continue sur un ensemble X, alors .
Revenons aux inégalités. Passons au logarithme décimal (vous pouvez passer à n'importe lequel avec une base constante supérieure à un).
Vous pouvez maintenant utiliser le théorème en remarquant l'incrément des fonctions au numérateur 
et au dénominateur. Donc c'est vrai
En conséquence, le nombre de calculs menant à la réponse est réduit d'environ la moitié, ce qui permet non seulement de gagner du temps, mais vous permet également de commettre potentiellement moins d'erreurs arithmétiques et d'inattention.
Exemple 1.
En comparant avec (1), on trouve 
, 
, .
En passant à (2), nous aurons :
Exemple 2.
En comparant avec (1), nous trouvons , , .
En passant à (2), nous aurons :
Exemple 3.
Puisque le côté gauche de l’inégalité est une fonction croissante à mesure que 
, alors la réponse sera multiple.
Les nombreux exemples dans lesquels le Thème 1 peut être appliqué peuvent facilement être élargis en prenant en compte le Thème 2.
Laisse sur le plateau X les fonctions , , , sont définies, et sur cet ensemble les signes et coïncident, c'est-à-dire , alors ce sera juste.
Exemple 4.
Exemple 5.
Avec l'approche standard, l'exemple est résolu selon le schéma suivant : le produit est inférieur à zéro lorsque les facteurs sont de signes différents. Ceux. on considère un ensemble de deux systèmes d'inégalités dans lesquels, comme indiqué au début, chaque inégalité se décompose en sept autres.
Si l'on prend en compte le théorème 2, alors chacun des facteurs, compte tenu de (2), peut être remplacé par une autre fonction qui a le même signe dans cet exemple O.D.Z.
La méthode consistant à remplacer l'incrément d'une fonction par un incrément d'argument, en tenant compte du théorème 2, s'avère très pratique pour résoudre des problèmes typiques de l'examen d'état unifié C3.
Exemple 6.
Exemple 7.
. Notons . On a
. A noter que le remplacement implique : . En revenant à l'équation, on obtient
.
Exemple 8.
Dans les théorèmes que nous utilisons, il n’y a aucune restriction sur les classes de fonctions. Dans cet article, à titre d’exemple, les théorèmes ont été appliqués à la résolution d’inégalités logarithmiques. Les quelques exemples suivants démontreront la promesse de la méthode pour résoudre d’autres types d’inégalités.
