Parmi la variété des corps géométriques, l'un des plus intéressants est le cône. Il est formé en faisant tourner un triangle rectangle autour d’une de ses pattes.

Comment trouver le volume d'un cône - concepts de base

Avant de commencer à calculer le volume d'un cône, il convient de vous familiariser avec les concepts de base.

• Cône circulaire - la base d'un tel cône est un cercle. Si la base est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, alors la figure est appelée cône elliptique, parabolique ou hyperbolique. Il convient de rappeler que les deux derniers types de cônes ont un volume infini.
• Un tronc de cône est une partie de cône située entre la base et un plan parallèle à cette base, situé entre le sommet et la base.
• La hauteur est un segment perpendiculaire à la base étendu depuis le haut.
• La génératrice d'un cône est un segment reliant la limite de la base et du sommet.

Volume du cône

Pour calculer le volume d'un cône, utilisez la formule V=1/3*S*H, où S est la surface de base et H est la hauteur. Puisque la base du cône est un cercle, son aire est trouvée par la formule S = nR^2, où n = 3,14, R est le rayon du cercle.

Il existe une situation où certains paramètres sont inconnus : hauteur, rayon ou génératrice. Dans ce cas, il faut recourir au théorème de Pythagore. La section axiale du cône est un triangle isocèle composé de deux triangle rectangle, où l est l'hypoténuse et H et R sont les jambes. Alors l=(H^2+R^2)^1/2.

Volume d'un cône tronqué

Un cône tronqué est un cône dont le sommet est coupé.

Pour trouver le volume d’un tel cône vous aurez besoin de la formule :

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

où n=3,14, r – rayon du cercle transversal, R – rayon de la grande base, H – hauteur.

La section axiale du tronc de cône sera un trapèze isocèle. Par conséquent, si vous avez besoin de trouver la longueur de la génératrice d'un cône ou le rayon de l'un des cercles, vous devez utiliser des formules pour trouver les côtés et les bases d'un trapèze.

Trouvez le volume d'un cône si sa hauteur est de 8 cm et son rayon de base est de 3 cm.

Étant donné : H=8 cm, R=3 cm.

Tout d'abord, trouvons l'aire de la base en utilisant la formule S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26 cm^2

Maintenant, en utilisant la formule V=1/3*S*H, nous trouvons le volume du cône.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Les figures en forme de cône se retrouvent partout : cônes de stationnement, tours de construction, abat-jour. Ainsi, savoir trouver le volume d’un cône peut parfois s’avérer utile tant sur le plan professionnel que professionnel. Vie courante.

En géométrie, un cône tronqué est un corps formé en faisant tourner un trapèze rectangulaire autour de son côté perpendiculaire à la base. Comment calculer volume d'un cône tronqué, tout le monde le sait depuis cours scolaire géométrie, et dans la pratique, ces connaissances sont souvent utilisées par les concepteurs de diverses machines et mécanismes, les développeurs de certains biens de consommation, ainsi que les architectes.

Calcul du volume d'un cône tronqué

Formule pour calculer le volume d'un cône tronqué

Le volume d'un cône tronqué est calculé par la formule :

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- hauteur du cône

r- rayon de la base supérieure

R.- rayon de la base inférieure

V- volume d'un cône tronqué

π - 3,14

Avec des corps géométriques tels que cônes tronqués, dans la vie de tous les jours, tout le monde se heurte assez souvent, voire constamment. Ils sont façonnés dans une grande variété de récipients largement utilisés dans la vie quotidienne : des seaux, des verres, certaines tasses. Il va sans dire que les concepteurs qui les ont développés ont probablement utilisé la formule par laquelle il est calculé volume d'un cône tronqué, puisque cette quantité a dans ce cas très grande importance, parce que c'est elle qui détermine tel la caractéristique la plus importante, comme la capacité du produit.

Des ouvrages d'art qui représentent cônes tronqués, peut souvent être observé dans les grandes entreprises industrielles, ainsi que dans les centrales thermiques et centrales nucléaires. C'est exactement la forme des tours de refroidissement - des appareils conçus pour refroidir de grands volumes d'eau en forçant un contre-courant. air atmosphérique. Le plus souvent, ces conceptions sont utilisées dans les cas où il est nécessaire de réduire considérablement la température d'une grande quantité de liquide en peu de temps. Les promoteurs de ces structures doivent déterminer volume d'un cône tronqué la formule de calcul qui est assez simple et connue de tous ceux qui ont bien étudié au lycée.

Les pièces ayant cette forme géométrique se retrouvent assez souvent dans la conception de divers dispositifs techniques. Par exemple, les entraînements par engrenages utilisés dans les systèmes où il est nécessaire de changer la direction de la transmission cinétique sont le plus souvent mis en œuvre à l'aide d'engrenages coniques. Ces pièces font partie intégrante d’une grande variété de boîtes de vitesses, ainsi que des boîtes de vitesses automatiques et manuelles utilisées dans les voitures modernes.

Certains outils de coupe largement utilisés en production, comme les fraises, ont une forme tronconique. Avec leur aide, vous pouvez traiter des surfaces inclinées sous un certain angle. Pour affûter les couteaux des équipements de travail des métaux et du bois, des meules abrasives, qui sont également des cônes tronqués, sont souvent utilisées. En plus, volume d'un cône tronqué Il est nécessaire pour les concepteurs de tours et de fraiseuses de déterminer lesquels impliquent la fixation d'outils coupants équipés de queues coniques (forets, alésoirs, etc.).

Saisissez la hauteur et les rayons des bases :

Définition d'un cône tronqué

Un cône tronqué peut être obtenu à partir d'un cône régulier en coupant un tel cône avec un plan parallèle à la base. Alors la figure qui se situe entre deux plans (ce plan et la base d'un cône ordinaire) sera appelée un cône tronqué.

Il a deux bases, qui pour un cône circulaire sont des cercles, et l’un d’eux est plus grand que l’autre. De plus, un cône tronqué a hauteur- un segment reliant deux bases et perpendiculaire à chacune d'elles.

Calculateur en ligne

Un cône tronqué peut être direct, alors le centre d'une base est projeté au centre de la seconde. Si le cône incliné, alors une telle projection n’a pas lieu.

Considérons un cône circulaire droit. Le volume d'une figure donnée peut être calculé de plusieurs manières.

Formule pour le volume d'un cône tronqué utilisant les rayons des bases et la distance qui les sépare

Si on nous donne un cône tronqué circulaire, alors nous pouvons trouver son volume en utilisant la formule :

Volume d'un cône tronqué

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1, r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - les rayons des bases du cône ;
h h h- la distance entre ces bases (la hauteur du tronc de cône).

Regardons un exemple.

Problème 1

Trouver le volume d'un cône tronqué si l'on sait que l'aire de la petite base est égale à 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 π cm2 , grand - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 π cm2 , et sa hauteur est égale à 14 cm 14\texte( cm) 1 4 cm.

Solution

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h=14 h =1 4

Trouvons le rayon de la petite base :

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1 ^ 2 6 4 = r 1 2 ​

R 1 = 8 r_1 = 8 r 1 ​ = 8

De même, pour une grande base :

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2 ^ 2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Calculons le volume du cône :

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text( cm)^3V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

Répondre

4938 cm3. 4938\texte( cm)^3.4 9 3 8 cm3 .

Formule pour le volume d'un cône tronqué utilisant les aires des bases et leur distance au sommet

Prenons un cône tronqué. Ajoutons-y mentalement la pièce manquante, ce qui en fera un « cône ordinaire » avec un sommet. Ensuite, le volume d'un cône tronqué peut être trouvé comme la différence entre les volumes de deux cônes avec leurs bases correspondantes et leur distance (hauteur) jusqu'au sommet du cône.

Volume d'un cône tronqué

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V=3 1 ​ ⋅ S⋅H−3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S⋅H−s⋅h)

S S S- aire de la base du grand cône ;
HH H- la hauteur de ce (grand) cône ;
s s s- aire de la base du petit cône ;
h h h- la hauteur de ce (petit) cône ;

Problème 2

Déterminer le volume d'un cône tronqué si la hauteur du cône plein est HH Hégal à 10 cm 10\texte( cm) 1 0 cm, rayon de la base inférieure R RR. - 5 cm 5\texte( cm)5 cm, supérieur r rr - 4 cm 4\texte( cm)4 cm, et la hauteur du cône tronqué est 8 cm 8\texte( cm)8 cm.

Solution

R=5 R=5R.= 5
r = 4 r=4r= 4
H = 10 H=10H= 1 0
H − h = 8 H-h=8H− h= 8 ,
Où h hh- hauteur du petit cône.

Trouvez l'aire des deux bases du cône :

$S=\pi \cdot {R.}^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Trouver la hauteur du petit cône h hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Le volume est égal à la formule :

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Répondre

$228\text{cm3 .}$

Le développement de la surface d’un cône est silhouette plate, obtenu en combinant la surface latérale et la base du cône avec un certain plan.

Options pour construire un balayage :

Développement d'un cône circulaire droit

Le développement de la surface latérale d’un cône circulaire droit est un secteur circulaire dont le rayon est égal à la longueur génératrice de la surface conique l, et l'angle au centre φ est déterminé par la formule φ=360*R/l, où R est le rayon du cercle de la base du cône.

Dans un certain nombre de problèmes de géométrie descriptive, la solution préférée consiste à rapprocher (remplacer) un cône par une pyramide qui y est inscrite et à construire un développement approximatif, sur lequel il convient de tracer des lignes situées sur la surface conique.

Algorithme de construction

1. Nous insérons une pyramide polygonale dans une surface conique. Plus une pyramide inscrite a de faces latérales, plus la correspondance entre le développement réel et approximatif est précise.
2. Nous construisons le développement de la surface latérale de la pyramide en utilisant la méthode du triangle. Nous connectons les points appartenant à la base du cône avec une courbe lisse.

Exemple

Dans la figure ci-dessous, une pyramide hexagonale régulière SABCDEF est inscrite dans un cône circulaire droit, et le développement approximatif de sa surface latérale se compose de six triangles isocèles - les faces de la pyramide.

Considérons le triangle S 0 A 0 B 0 . Les longueurs de ses côtés S 0 A 0 et S 0 B 0 sont égales à la génératrice l de la surface conique. La valeur A 0 B 0 correspond à la longueur A’B’. Pour construire un triangle S 0 A 0 B 0 à un endroit arbitraire du dessin, tracez le segment S 0 A 0 =l, après quoi à partir des points S 0 et A 0 nous dessinons des cercles de rayon S 0 B 0 =l et A 0 B 0 = A'B' respectivement. On relie le point d'intersection des cercles B 0 avec les points A 0 et S 0.

On construit les faces S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 de la pyramide SABCDEF de la même manière que le triangle S 0 A 0 B0.

Les points A, B, C, D, E et F, situés à la base du cône, sont reliés par une courbe lisse - un arc de cercle dont le rayon est égal à l.

Développement du cône incliné

Considérons la procédure de construction d'un scan de la surface latérale d'un cône incliné à l'aide de la méthode d'approximation (approximation).

Algorithme

1. On inscrit l'hexagone 123456 dans le cercle de la base du cône. On relie les points 1, 2, 3, 4, 5 et 6 avec le sommet S. La pyramide S123456, ainsi construite, avec un certain degré d'approximation est un remplacement de la surface conique et est utilisé comme tel dans d'autres constructions.
2. On détermine les valeurs naturelles des arêtes de la pyramide en utilisant la méthode de rotation autour de la ligne projetée : dans l'exemple, on utilise l'axe i, perpendiculaire au plan de projection horizontal et passant par le sommet S.
   Ainsi, suite à la rotation du bord S5, sa nouvelle projection horizontale S'5' 1 prend une position dans laquelle elle est parallèle au plan frontal π 2. En conséquence, S’’5’’ 1 est la taille réelle de S5.
3. Nous construisons un scan de la surface latérale de la pyramide S123456, composée de six triangles : S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . La construction de chaque triangle s'effectue sur trois côtés. Par exemple, △S 0 1 0 6 0 a une longueur S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Le degré de correspondance entre le développement approximatif et le développement réel dépend du nombre de faces de la pyramide inscrite. Le nombre de faces est choisi en fonction de la facilité de lecture du dessin, des exigences de précision, de la présence de points et de lignes caractéristiques qui doivent être transférés au développement.

Transférer une ligne de la surface d'un cône vers un développement

La ligne n située à la surface du cône est formée à la suite de son intersection avec un certain plan (figure ci-dessous). Considérons l'algorithme de construction de la ligne n sur un scan.

Algorithme

1. On retrouve les projections des points A, B et C auxquels la ligne n coupe les arêtes de la pyramide S123456 inscrite dans le cône.
2. On détermine la taille naturelle des segments SA, SB, SC en tournant autour de la droite saillante. Dans l'exemple considéré, SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. On retrouve la position des points A 0 , B 0 , C 0 sur les arêtes correspondantes de la pyramide, en traçant sur le scan les segments S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Nous connectons les points A 0 , B 0 , C 0 avec une ligne lisse.

Développement d'un cône tronqué

La méthode décrite ci-dessous pour construire le développement d’un cône tronqué circulaire droit est basée sur le principe de similarité.