Gamme fonctionnelle s'appelle une expression formellement écrite

toi1 (X) + toi 2 (X) + toi 3 (X) + ... + toi n ( X) + ... , (1)

Où toi1 (X), toi 2 (X), toi 3 (X), ..., toi n ( X), ... - séquence de fonctions de la variable indépendante X.

Notation abrégée d'une série fonctionnelle avec sigma : .

Des exemples de séries fonctionnelles comprennent :

(2)

(3)

Donner la variable indépendante X une certaine valeur X0 et en le substituant dans la série fonctionnelle (1), on obtient la série numérique

toi1 (X 0 ) + toi 2 (X 0 ) + toi 3 (X 0 ) + ... + toi n ( X 0 ) + ...

Si la série numérique résultante converge, alors la série fonctionnelle (1) est dite converger pour X = X0 ; si elle diverge, on dit que la série (1) diverge en X = X0 .

Exemple 1. Étudier la convergence d'une série fonctionnelle(2) aux valeurs X= 1 et X = - 1 .
Solution. À X= 1 nous obtenons une série de nombres

qui converge selon le critère de Leibniz. À X= - 1 on obtient une série de nombres

,

qui diverge comme le produit d'une série harmonique divergente par – 1. Ainsi, la série (2) converge en X= 1 et diverge à X = - 1 .

Si une telle vérification de la convergence de la série fonctionnelle (1) est effectuée par rapport à toutes les valeurs de la variable indépendante du domaine de définition de ses membres, alors les points de ce domaine seront divisés en deux ensembles : pour les valeurs X, prise dans l'une d'elles, la série (1) converge, et dans l'autre elle diverge.

L'ensemble des valeurs de la variable indépendante vers lesquelles converge la série fonctionnelle est appelé son zone de convergence .

Exemple 2. Trouver l'aire de convergence de la série fonctionnelle

Solution. Les termes de la série sont définis sur toute la droite numérique et forment une progression géométrique avec un dénominateur q= péché X. La série converge donc si

et diverge si

(valeurs impossibles). Mais pour les valeurs et pour d'autres valeurs X. La série converge donc pour toutes les valeurs X, sauf . La région de sa convergence est la droite numérique entière, à l'exception de ces points.

Exemple 3. Trouver l'aire de convergence de la série fonctionnelle

Solution. Les termes de la série forment une progression géométrique avec le dénominateur q=ln X. Par conséquent, la série converge si , ou , d’où . C'est la région de convergence de cette série.

Exemple 4. Étudier la convergence d'une série fonctionnelle

Solution. Prenons une valeur arbitraire. Avec cette valeur, nous obtenons une série de nombres

(*)

Trouvons la limite de son terme commun

Par conséquent, la série (*) diverge pour un choix arbitraire, c'est-à-dire à n'importe quelle valeur X. Sa région de convergence est l’ensemble vide.

Convergence uniforme d'une série fonctionnelle et de ses propriétés

Passons au concept convergence uniforme de la série fonctionnelle . Laisser s(X) est la somme de cette série, et sn ( X) - somme n les premiers membres de cette série. Gamme fonctionnelle toi1 (X) + toi 2 (X) + toi 3 (X) + ... + toi n ( X) + ... est dit uniformément convergent sur l'intervalle [ un, b] , si pour un nombre arbitrairement petit ε > 0 il y a un tel nombre Nça devant tout le monde n ≥ N l'inégalité sera comblée

|s(X) − s n ( X)| < ε

pour tout le monde X du segment [ un, b] .

La propriété ci-dessus peut être illustrée géométriquement comme suit.

Considérons le graphique de la fonction oui = s(X) . Construisons une bande de largeur 2 autour de cette courbe ε n, c'est-à-dire que nous allons construire des courbes oui = s(X) + ε n Et oui = s(X) − ε n(sur la photo ci-dessous, ils sont verts).

Alors pour tout ε n graphique d'une fonction sn ( X) se situera entièrement dans la bande considérée. La même bande contiendra des graphiques de toutes les sommes partielles ultérieures.

Toute série fonctionnelle convergente qui ne présente pas la caractéristique décrite ci-dessus est inégalement convergente.

Considérons une autre propriété des séries fonctionnelles uniformément convergentes :

la somme d'une série de fonctions continues convergeant uniformément sur un certain intervalle [ un, b] , il existe une fonction continue sur cet intervalle.

Exemple 5. Déterminer si la somme d'une série fonctionnelle est continue

Solution. Trouvons la somme n les premiers membres de cette série :

Si X> 0, alors

,

Si X < 0 , то

Si X= 0, alors

Et donc .

Nos recherches ont montré que la somme de cette série est une fonction discontinue. Son graphique est présenté dans la figure ci-dessous.

Test de Weierstrass pour la convergence uniforme des séries fonctionnelles

Nous abordons le critère de Weierstrass à travers le concept majorisabilité des séries fonctionnelles . Gamme fonctionnelle

toi1 (X) + toi 2 (X) + toi 3 (X) + ... + toi n ( X) + ...

– peut-être que le complexe ne s'avérera pas si complexe ;) Et le titre de cet article est également fallacieux - les séries qui seront discutées aujourd'hui ne sont plutôt pas complexes, mais des « terres rares ». Cependant, même les étudiants à temps partiel n’en sont pas à l’abri et cette leçon apparemment supplémentaire doit donc être prise avec le plus grand sérieux. Après tout, après avoir travaillé dessus, vous serez capable d'affronter presque n'importe quelle « bête » !

Commençons par les classiques du genre :

Exemple 1

Tout d'abord, notez qu'il ne s'agit PAS d'une série de puissances (je vous rappelle à quoi ça ressemble). Et, deuxièmement, ici la valeur attire immédiatement l'attention, qui ne peut évidemment pas être incluse dans la zone de convergence de la série. Et c’est déjà une petite réussite de l’étude !

Mais quand même, comment obtenir un grand succès ? Je m'empresse de vous plaire - de telles séries peuvent être résolues exactement de la même manière que pouvoir– basé sur le signe de d’Alembert ou le signe radical de Cauchy !

Solution: la valeur n'est pas dans la plage de convergence de la série. C’est un fait significatif, et il faut le noter !

L'algorithme de base fonctionne en standard. En utilisant le critère de d'Alembert, on trouve l'intervalle de convergence de la série :

La série converge vers . Déplaçons le module vers le haut :

Vérifions tout de suite le « mauvais » point : la valeur n’est pas incluse dans la plage de convergence de la série.

Etudions la convergence des séries aux extrémités « intérieures » des intervalles :
si donc
si donc

Les deux séries de nombres divergent parce que signe nécessaire de convergence.

Répondre: zone de convergence :

Faisons une petite vérification analytique. Remplaçons une valeur du bon intervalle dans la série fonctionnelle, par exemple :
– converge vers signe de d'Alembert.

Dans le cas de substitution de valeurs de l'intervalle de gauche, des séries convergentes sont également obtenues :
si donc .

Et enfin, si , alors la série – diverge vraiment.

Quelques exemples simples pour vous réchauffer :

Exemple 2

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

Exemple 3

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

Soyez particulièrement doué pour gérer les « nouveaux » module– cela se produira 100 500 fois aujourd’hui !

Brèves solutions et réponses à la fin de la leçon.

Les algorithmes utilisés semblent universels et sans problème, mais en réalité ce n'est pas le cas - pour de nombreuses séries fonctionnelles, ils « glissent » souvent et conduisent même à des conclusions erronées (Je considérerai également de tels exemples).

Les aspérités commencent déjà au niveau de l'interprétation des résultats : considérons, par exemple, les séries. Ici, dans la limite, nous obtenons (vérifiez-le vous-même), et en théorie, vous devez répondre que la série converge en un seul point. Pourtant, le point est « joué », ce qui fait que notre « patient » diverge partout !

Et pour une série, la solution « évidente » de Cauchy ne donne rien du tout :
– pour TOUTE valeur de « x ».

Et la question se pose, que faire ? Nous utilisons la méthode à laquelle sera consacrée l'essentiel de la leçon ! Il peut être formulé ainsi :

Analyse directe de séries de nombres pour diverses valeurs

En fait, nous avons déjà commencé à le faire dans l’exemple 1. Tout d’abord, nous examinons un « X » spécifique et la série de nombres correspondante. Il faut prendre la valeur :
– la série de nombres résultante diverge.

Et cela suscite immédiatement la réflexion : et si la même chose se produisait à d’autres moments ?
Allons vérifier un signe nécessaire de convergence d'une série Pour arbitraire significations :

Le point est pris en compte ci-dessus, pour tous les autres "X" Nous organiserons en standard deuxième limite merveilleuse:

Conclusion: la série diverge sur toute la droite numérique

Et cette solution est l’option la plus réalisable !

En pratique, les séries fonctionnelles doivent souvent être comparées à série harmonique généralisée :

Exemple 4

Solution: tout d'abord, parlons de domaine de définition: dans ce cas, l'expression radicale doit être strictement positive, et, de plus, tous les termes de la série doivent exister, à partir du 1er. Il en résulte que :
. Avec ces valeurs, on obtient des séries conditionnellement convergentes :
etc.

Les autres « x » ne conviennent pas, par exemple lorsque nous avons un cas illégal où les deux premiers termes de la série n’existent pas.

Tout va bien, tout est clair, mais une autre question importante demeure : comment formaliser correctement la décision ? Je propose un schéma qui peut être familièrement appelé « traduction de flèches » en séries de nombres :

Considérons arbitraire signification et étudier la convergence des séries de nombres. Routine Le signe de Leibniz:

1) Cette série est en alternance.

2) – les termes de la série diminuent en module. Chaque membre suivant de la série est moins modulo que le précédent : , ce qui signifie que la diminution est monotone.

Conclusion : la série converge selon le critère de Leibniz. Comme déjà noté, la convergence ici est conditionnelle - pour la raison que la série – diverge.

Juste comme ça - soigné et correct ! Parce que derrière « alpha », nous avons intelligemment caché toutes les séries de chiffres autorisées.

Répondre: la série fonctionnelle existe et converge conditionnellement vers .

Un exemple similaire pour une solution indépendante :

Exemple 5

Étudier la convergence d’une série fonctionnelle

Un échantillon approximatif du devoir final à la fin de la leçon.

Voilà pour votre « hypothèse de travail » ! – la série fonctionnelle converge vers l’intervalle !

2) Avec un intervalle symétrique tout est transparent, considérons arbitraire valeurs et on obtient : – des séries de nombres absolument convergentes.

3) Et enfin, le « milieu ». Ici aussi, il convient de souligner deux lacunes.

Nous envisageons arbitraire valeur de l'intervalle et nous obtenons une série de nombres :

! Encore une fois - si c'est difficile , remplacez un numéro spécifique, par exemple . Cependant... tu voulais des difficultés =)

Terminé pour toutes les valeurs de "en" , Moyens:
- ainsi, selon comparaison la série converge avec une progression infiniment décroissante.

Pour toutes les valeurs de « x » de l’intervalle on obtient – séries de nombres absolument convergentes.

Tous les « X » ont été explorés, il n’y a plus de « X » !

Répondre: plage de convergence de la série :

Je dois dire, un résultat inattendu ! Et il faut ajouter aussi que l'utilisation ici des signes de d'Alembert ou de Cauchy sera définitivement trompeuse !

L'évaluation directe est la « voltige » de l'analyse mathématique, mais cela nécessite bien sûr de l'expérience, et dans certains cas même de l'intuition.

Ou peut-être que quelqu'un trouvera un moyen plus simple ? Écrire! À propos, il existe des précédents - des lecteurs ont proposé à plusieurs reprises des solutions plus rationnelles et je les ai publiées avec plaisir.

Bon atterrissage :)

Exemple 11

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

Ma version de la solution est très proche.

Du hardcore supplémentaire peut être trouvé dans Section VI (Lignes) La collection de Kouznetsov (Problèmes 11-13). Il existe des solutions toutes faites sur Internet, mais ici j'ai besoin de vous avertir– beaucoup d’entre eux sont incomplets, incorrects, voire complètement erronés. Et c’est d’ailleurs l’une des raisons pour lesquelles cet article est né.

Résumons les trois enseignements et systématisons nos outils. Donc:

Pour trouver le(s) intervalle(s) de convergence d’une série de fonctions, vous pouvez utiliser:

1) Le signe de D'Alembert ou le signe de Cauchy. Et si la ligne n'est pas calme– nous faisons preuve d'une prudence accrue lors de l'analyse du résultat obtenu par substitution directe de diverses valeurs.

2) Test de Weierstrass pour la convergence uniforme. N'oubliez pas !

3) Comparaison avec les séries de numéros standards– règles dans le cas général.

Alors examiner les extrémités des intervalles trouvés (si besoin) et on obtient la région de convergence de la série.

Vous disposez désormais d'un arsenal assez sérieux qui vous permettra de faire face à presque toutes les tâches thématiques.

Je te souhaite du succès!

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: la valeur n'est pas dans la plage de convergence de la série.
On utilise le signe de d'Alembert :


La série converge vers :

Ainsi, les intervalles de convergence des séries fonctionnelles : .
Etudions la convergence de la série aux extrémités :
si donc ;
si donc .
Les deux séries de nombres divergent, car le critère de convergence nécessaire n’est pas rempli.

Répondre : zone de convergence :

Zone de convergence Une série fonctionnelle est une série dont les membres sont des fonctions / définies sur un certain ensemble E de l'axe des nombres. Par exemple, les termes d'une série sont définis sur un intervalle, et les termes d'une série sont définis sur un intervalle. Une série fonctionnelle (1) est dite converger au point Ho € E si elle converge SÉRIE FONCTIONNELLE Région de convergence Uniforme convergence Test de Weierstrass Propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes série numérique Si la série (1) converge en chaque point x de l'ensemble D C E et diverge en chaque point qui n'appartient pas à l'ensemble D, alors on dit que la série converge vers l'ensemble D, et D est appelé la région de convergence de la série. Une série (1) est dite absolument convergente sur un ensemble D si la série converge sur cet ensemble. Dans le cas de convergence d'une série (1) sur un ensemble D, sa somme S sera une fonction définie sur D. La région de convergence de certaines séries fonctionnelles peut être trouvée à l'aide de critères suffisants connus établis pour les séries à termes positifs, par exemple le test de Dapambert, le test de Cauchy. Exemple 1. Trouver la région de convergence de la série M Puisque la série numérique converge pour p > 1 et diverge pour p ^ 1, alors, en supposant p - Igx, nous obtenons cette série. qui convergera vers Igx > T c'est-à-dire si x > 10, et divergent lorsque Igx ^ 1, c'est-à-dire à 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > La ligne 0 diverge, puisque A =. La divergence de la série en x = 0 est évidente. Exemple 3. Trouver la région de convergence de la série.Les termes de la série donnée sont définis et continus sur l'ensemble. En utilisant le critère Kosh et, on trouve pour tout. Par conséquent, la série diverge pour toutes les valeurs de x. Notons Sn(x) la nième somme partielle de la série fonctionnelle (1). Si cette série converge vers l'ensemble D et que sa somme est égale à 5(g), alors elle peut être représentée sous la forme où est la somme des séries convergeant vers l'ensemble D qui est appelée le nième reste de la série fonctionnelle ( 1). Pour toutes les valeurs de x € D la relation et est donc vraie. c'est-à-dire que le reste Rn(x) d'une série convergente tend vers zéro lorsque n oo, quel que soit x 6 D. Convergence uniforme Parmi toutes les séries fonctionnelles convergentes, les séries dites uniformément convergentes jouent un rôle important. Soit une série de fonctions convergentes sur un ensemble D dont la somme est égale à S(x). Prenons sa nième somme partielle Définition. Série fonctionnelle SÉRIE FONCTIONNELLE Domaine de convergence Convergence uniforme Test de Weierstrass Les propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes sont dites uniformément convergentes sur l'ensemble PS1) si pour tout nombre e > O il existe un nombre Γ > O tel que l'inégalité est vraie pour tous les nombres n > N et pour tout x de l'ensemble fI. Commentaire. Ici le nombre N est le même pour tous x € Yu, c'est-à-dire ne dépend pas de z, mais dépend du choix du nombre e, on écrit donc N = N(e). La convergence uniforme de la série fonctionnelle £ /n(®) vers la fonction S(x) sur l'ensemble ft est souvent notée comme suit : La définition de la convergence uniforme de la série /n(x) sur l'ensemble ft peut s'écrire plus brièvement en utilisant des symboles logiques : expliquons géométriquement la signification de la plage fonctionnelle de convergence uniforme. Prenons le segment [a, 6] comme ensemble ft et construisons des graphiques des fonctions. L'inégalité |, qui vaut pour les nombres n > N et pour tout a ; G [a, b], peut s'écrire sous la forme suivante. Les inégalités obtenues montrent que les graphiques de toutes les fonctions y = 5n(x) de nombres n > N seront entièrement contenus dans la bande £ limitée par les courbes y = S(x) - e et y = 5(g) + e (Fig. 1). Exemple 1 converge uniformément sur l'intervalle Cette série est de signe alterné, satisfait aux conditions du critère de Leibniz pour tout x € [-1,1] et, donc, converge sur l'intervalle (-1,1). Soit S(x ) soit sa somme, et Sn (x) est sa nième somme partielle. Le reste de la série en valeur absolue n'excède pas la valeur absolue de son premier terme : et puisque Prenons n'importe quel e. Alors l'inégalité | sera satisfaite si. De là, nous trouvons que n > \. Si l'on prend un nombre (ici [a] désigne le plus grand entier ne dépassant pas a), alors l'inégalité | e sera valable pour tous les nombres n > N et pour tout x € [-1,1). Cela signifie que cette série converge uniformément sur l'intervalle [-1,1). I. Toutes les séries fonctionnelles convergeant sur un ensemble D ne convergent pas uniformément sur l'exemple 2. Montrons que la série converge sur un intervalle, mais pas uniformément. 4 Calculons la nième somme partielle £„(*) de la série. On a Où cette série converge-t-elle sur le segment et sa somme si La valeur absolue de la différence S(x) - 5„(x) (le reste de la série) est égale. Prenons un nombre e tel que. Soit on résout l'inégalité par rapport à n, on a d'où (puisque, et en divisant par Inx, le signe de l'inégalité change à l'opposé). L'inégalité sera satisfaite quand. Par conséquent, il existe un tel nombre N(e) indépendant de x que l'inégalité est satisfaite pour chacun) pour tous les x du segment à la fois. , n'existe pas. Si l'on remplace le segment 0 par un segment plus petit, où, alors sur ce dernier cette série convergera uniformément vers la fonction S0. En fait, pour, et donc pour pour tous x à la fois §3. Test de Weierstrass Un test suffisant pour la convergence uniforme d'une série fonctionnelle est donné par le théorème de Weierstrass. Théorème 1 (test de Weierstrass). Soit pour tout x de l'ensemble Q les termes de la série fonctionnelle en valeur absolue ne dépassent pas les membres correspondants de la série numérique convergente P = 1 à termes positifs, c'est-à-dire pour tout x € Q. Alors la série fonctionnelle (1 ) sur l'ensemble P converge absolument et uniformément . Et Tek puisque, d'après les conditions du théorème, les termes de la série (1) satisfont la condition (3) sur l'ensemble Q, alors par comparaison la série 2 \fn(x)\ converge pour tout x € I, et , par conséquent, la série (1) converge absolument vers P. Montrons la convergence uniforme de la série (1). Soient Sn(x) et an les sommes partielles des séries (1) et (2), respectivement. Nous avons Prenez n'importe quel nombre (arbitrairement petit) e > 0. Ensuite, de la convergence de la série de nombres (2), il résulte de l'existence d'un nombre N = N(e) tel que, par conséquent, -e pour tous les nombres n > N (e) et pour tout xbP , c'est-à-dire la série (1) converge uniformément vers l'ensemble P. Remarque. La série numérique (2) est souvent appelée majorante, ou majorante, pour la série fonctionnelle (1). Exemple 1. Examinez la convergence uniforme de la série. L'inégalité est valable pour tous. et pour tout le monde. La série de nombres converge. Grâce au critère de Weierstrass, la série fonctionnelle considérée converge de manière absolue et uniforme sur tout l'axe. Exemple 2. Examinez la convergence uniforme de la série. Les termes de la série sont définis et continus sur l'intervalle [-2,2|. Puisque sur l'intervalle [-2,2) pour tout nombre naturel n, alors Ainsi, l'inégalité est valable pour. Puisque la série numérique converge, alors, selon le critère de Weierstrass, la série fonctionnelle originale converge de manière absolue et uniforme sur le segment. Commentaire. La série fonctionnelle (1) peut converger uniformément vers l'ensemble Piv dans le cas où il n'y a pas de série numérique majorante (2), c'est-à-dire que le critère de Weierstrass n'est qu'un critère suffisant pour une convergence uniforme, mais n'est pas nécessaire. Exemple. Comme cela a été montré ci-dessus (exemple), la série converge uniformément sur le segment 1-1,1]. Cependant, pour cela, il n’existe pas de série de nombres convergents majeurs (2). En fait, pour tout naturel n et pour tout x € [-1,1) l'inégalité est satisfaite et l'égalité est atteinte quand. Par conséquent, les membres de la série majorante souhaitée (2) doivent certainement satisfaire à la condition mais la série de nombres SÉRIE FONCTIONNELLE Zone de convergence Convergence uniforme Test de Weierstrass Propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes diverge. Cela signifie que les séries £op divergeront également. Propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes Les séries fonctionnelles uniformément convergentes ont un certain nombre de propriétés importantes. Théorème 2. Si tous les termes d'une série convergeant uniformément sur l'intervalle [a, b] sont multipliés par la même fonction d(x) bornée à [a, 6], alors la série fonctionnelle résultante convergera uniformément vers. Soit sur l'intervalle [a, b\ la série £ fn(x) convergeant uniformément vers la fonction 5(x), et la fonction d(x) étant bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante C > 0 telle que Par la définition de convergence uniforme de la série pour tout nombre e > 0 il existe un nombre N tel que pour tout n > N et pour tout x € [a, b] l'inégalité sera satisfaite où 5n(ar) est la somme partielle des série à l'étude. Nous l’aurons donc pour tout le monde. la série converge uniformément vers [a, b| à la fonction Théorème 3. Soient tous les termes fn(x) de la série fonctionnelle et la série converge uniformément sur l'intervalle [a, b\. Alors la somme S(x) de la série est continue sur cet intervalle. M Prenons deux points arbitraires ig + Ax sur le segment [o, b]. Puisque cette série converge uniformément sur l'intervalle [a, b], alors pour tout nombre e > O il existe un nombre N = N(e) tel que pour tout i > N les inégalités sont satisfaites où 5µ(g) sont les sommes partielles de la série fn (x). Ces sommes partielles 5n(x) sont continues sur l'intervalle [a, 6] comme sommes d'un nombre fini de fonctions fn(x) continues sur [a, 6]. Donc, pour un nombre fixe no > N(e) et un nombre e donné, il existe un nombre 6 = 6(e) > 0 tel que pour l'incrément Ax satisfaisant la condition |, l'inégalité sera vraie : L'incrément AS de la somme S(x) peut être représentée sous la forme suivante : où. Compte tenu des inégalités (1) et (2), pour les incréments Ax satisfaisant la condition |, on obtient Cela signifie que la somme Six) est continue au point x. Puisque x est un point arbitraire du segment [a, 6], alors 5(x) est continue sur |a, 6|. Commentaire. Une série fonctionnelle dont les termes sont continus sur l'intervalle [a, 6), mais qui converge inégalement vers (a, 6], peut avoir une fonction discontinue comme somme. Exemple 1. Considérons une série fonctionnelle sur l'intervalle |0,1 ). Calculons sa nième somme partielle. Elle est donc discontinue sur le segment, bien que les termes de la série y soient continus. En vertu du théorème prouvé, cette série n’est pas uniformément convergente sur l’intervalle. Exemple 2. Considérons la série Comme indiqué ci-dessus, cette série converge vers, la série convergera uniformément selon le test de Weierstrass, puisque 1 et la série numérique convergent. Par conséquent, pour tout x > 1, la somme de cette série est continue. Commentaire. La fonction s'appelle la fonction de Riemann (cette fonction joue un rôle important dans la théorie des nombres). Théorème 4 (sur l'intégration terme à terme d'une série fonctionnelle). Soit tous les termes fn(x) de la série continus et la série converge uniformément sur l'intervalle [a, b] vers la fonction S(x). Alors l'égalité est vraie : Du fait de la continuité des fonctions f„(x) et de la convergence uniforme de cette série sur l'intervalle [a, 6], sa somme 5(x) est continue et donc intégrable sur . Considérons la différence De la convergence uniforme de la série sur [o, b] il s'ensuit que pour tout e > 0 il existe un nombre N(e) > 0 tel que pour tous les nombres n > N(e) et pour tout x € [a, 6] l'inégalité sera satisfaite. Si la série fn(0 n'est pas uniformément convergente, alors, d'une manière générale, elle ne peut pas être intégrée terme à terme, c'est-à-dire Théorème 5 (sur la différenciation terme à terme d'une série fonctionnelle) . Soit tous les termes de la série convergente 00 ayant des dérivées continues et la série composée de ces dérivées converge uniformément sur l'intervalle [a, b]. Alors en tout point l'égalité est vraie, c'est-à-dire que cette série peut être différenciée en terme par terme. M Prenons deux points quelconques. Alors, en vertu du théorème 4, nous aurons La fonction o-(x) est continue comme la somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues. Par conséquent, en différenciant l'égalité, nous obtenons Exercices Trouver les zones de convergence de ces séries fonctionnelles : A l'aide du test de Weierstrass, prouver la convergence uniforme de ces séries fonctionnelles sur les intervalles indiqués :

Thème 2. Série fonctionnelle. Série de puissance

2.1. Série fonctionnelle

Jusqu'à présent, nous avons considéré des séries dont les membres étaient des nombres. Passons maintenant à l'étude des séries dont les membres sont des fonctions.

Gamme fonctionnelle appelé une ligne

dont les membres sont des fonctions du même argument défini sur le même ensemble E.

Par exemple,

1.
;

2.
;

Si nous donnons l'argument X une valeur numérique
,
, alors nous obtenons la série de nombres

qui peut converger (converger absolument) ou diverger.

Si à
la série de nombres résultante converge, alors le point
appelépoint de convergence gamme fonctionnelle. L’ensemble de tous les points de convergence s’appellezone de convergence gamme fonctionnelle. Notons la région de convergence X, évidemment,
.

Si pour les séries numériques de signe positif la question se pose : « La série converge-t-elle ou diverge-t-elle ? », pour les séries alternées la question se pose : « Est-ce qu'elle converge, conditionnellement ou absolument, ou diverge ? », alors pour une série fonctionnelle le La question principale est : « Converger (converger absolument) vers quoi X?».

Gamme fonctionnelle
établit une loi selon laquelle chaque valeur de l'argument
,
, se voit attribuer un nombre égal à la somme des séries de nombres
. Ainsi, sur le plateau X la fonction est spécifiée
, qui est appelée la somme des séries fonctionnelles.

Exemple 16.

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

.

Solution.

Laisser X est un nombre fixe, alors cette série peut être considérée comme une série de nombres avec un signe positif lorsque
et en alternance à
.

Faisons une série de valeurs absolues des termes de cette série :

c'est-à-dire pour n'importe quelle valeur X cette limite est inférieure à un, ce qui signifie que cette série converge, et absolument (puisque nous avons étudié une série de valeurs absolues des termes de la série) sur tout l'axe numérique.

Ainsi, la région de convergence absolue est l’ensemble
.

Exemple 17.

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles
.

Solution.

Laisser X- nombre fixe,
, alors cette série peut être considérée comme une série de nombres avec un signe positif lorsque
et en alternance à
.

Considérons une série de valeurs absolues des termes de cette série :

et appliquez-y le test de D'Alembert.

D’après le test de DAlembert, une série converge si la valeur limite est inférieure à un, c’est-à-dire cette série convergera si
.

En résolvant cette inégalité, on obtient :


.

Ainsi, lorsque , la série composée des valeurs absolues des termes de cette série converge, ce qui signifie que la série originale converge absolument, et lorsque
cette série diverge.

À
la série peut converger ou diverger, puisque pour ces valeurs X la valeur limite est égale à l'unité. Par conséquent, nous examinons également la convergence d’un certain nombre de points
Et
.

Remplacement dans cette rangée
, on obtient une série de nombres
, dont on sait qu'il s'agit d'une série harmonique divergente, ce qui signifie le point
– point de divergence d'une série donnée.

À
nous obtenons une série de nombres alternés

autour duquel on sait qu'il converge conditionnellement (voir exemple 15), ce qui signifie le point
– point de convergence conditionnelle de la série.

Ainsi, la région de convergence de cette série est , et la série converge absolument vers .

Gamme fonctionnelle

appelémajorisé dans une région de variation de x, s'il existe une telle série convergente de signe positif

,

que pour tout x de cette région la condition est satisfaite
à
. Rangée
appelémajorante.

En d’autres termes, une série est dominée si chacun de ses termes n’est pas supérieur en valeur absolue au terme correspondant d’une série positive convergente.

Par exemple, une série

est majorisable pour tout X, parce que pour tout le monde X la relation est vraie

à
,

et une rangée , comme on le sait, est convergente.

ThéorèmeWeierstrass

Une série majoritaire dans une certaine région converge absolument dans cette région.

Considérons par exemple la série fonctionnelle
. Cette série est majorisée lorsque
, depuis quand
les membres de la série ne dépassent pas les membres correspondants de la série positive . Par conséquent, selon le théorème de Weierstrass, la série fonctionnelle considérée converge absolument pour
.

2.2. Série de puissance. Théorème d'Abel. Région de convergence des séries de puissances

Parmi la variété des séries fonctionnelles, les plus importantes du point de vue de l'application pratique sont les séries de puissance et trigonométriques. Regardons ces séries plus en détail.

Série de puissance graduellement
est appelée une série fonctionnelle de la forme

Où – un numéro fixe,
– des nombres appelés coefficients de série.

À
on obtient une série de puissances en puissances X, qui a la forme

.

Pour plus de simplicité, nous considérerons les séries de puissances en puissances X, puisqu'à partir d'une telle série il est facile d'obtenir une série en puissances
, en remplaçant à la place X expression
.

La simplicité et l’importance de la classe des séries entières sont dues principalement au fait que la somme partielle d’une série entière

est un polynôme - une fonction dont les propriétés sont bien étudiées et dont les valeurs sont facilement calculées en utilisant uniquement des opérations arithmétiques.

Puisque les séries entières sont un cas particulier de série fonctionnelle, il est également nécessaire de trouver leur région de convergence. Contrairement au domaine de convergence d'une série fonctionnelle arbitraire, qui peut être un ensemble de n'importe quelle forme, le domaine de convergence d'une série entière a une forme complètement définie. Le théorème suivant en parle.

ThéorèmeAbel.

Si la série entière
converge à une certaine valeur
, alors il converge, absolument, pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
. Si une série entière diverge à une certaine valeur
, alors il diverge pour les valeurs qui satisfont à la condition
.

Du théorème d'Abel il résulte que Tous points de convergence des séries de puissances en puissances X situé à partir de l'origine des coordonnées non plus loin que n’importe lequel des points de divergence. Évidemment, les points de convergence comblent un certain écart centré à l'origine. le théorème sur la région de convergence d'une série entière est valide.

Théorème.

Pour toute série de puissance
il y a un numéroR. (R.>0)tel que pour tout x situé à l'intérieur de l'intervalle
, la série converge absolument et pour tout x situé en dehors de l'intervalle
, la série diverge.

NombreR.appelérayon de convergence séries entières et intervalle
– intervalle de convergence séries entières en puissances de x.

Notez que le théorème ne dit rien sur la convergence des séries aux extrémités de l'intervalle de convergence, c'est-à-dire aux points
. À ces points, différentes séries de puissances se comportent différemment : la série peut converger (absolument ou conditionnellement) ou elle peut diverger. Par conséquent, la convergence des séries en ces points doit être vérifiée directement par définition.

Dans des cas particuliers, le rayon de convergence d'une série peut être égal à zéro ou à l'infini. Si
, alors la série de puissances en puissances X converge en un seul point
; si
, alors la série entière converge sur tout l’axe des nombres.

Faisons encore une fois attention au fait que la série puissance
graduellement
peut être réduit à une série de puissances
en utilisant le remplacement
. Si la ligne
converge vers
, c'est à dire. Pour
, puis après la substitution inverse on obtient

 ou
.

Ainsi, l'intervalle de convergence de la série entière
ressemble à
. Arrêt complet appelé centre de convergence. Pour plus de clarté, il est d'usage de représenter l'intervalle de convergence sur l'axe numérique (Figure 1)

Ainsi, la région de convergence consiste en un intervalle de convergence auquel des points peuvent être ajoutés
, si la série converge en ces points. L'intervalle de convergence peut être trouvé en appliquant directement le test de DAlembert ou le test radical de Cauchy à une série composée des valeurs absolues des membres d'une série donnée.

Exemple 18.

Trouver l'aire de convergence de la série
.

Solution.

Cette série est une série de puissances en puissances X, c'est à dire.
. Considérons une série constituée des valeurs absolues des membres de cette série et utilisons le signe de DAlembert.

La série convergera si la valeur limite est inférieure à 1, c'est-à-dire

, où
.

Ainsi, l'intervalle de convergence de cette série
, rayon de convergence
.

Nous étudions la convergence des séries aux extrémités de l'intervalle, aux points
. Remplacer la valeur dans cette série
, on obtient la série

.

La série résultante est donc une série harmonique divergente au point
la série diverge, ce qui signifie un point
n’est pas inclus dans la région de convergence.

À
on obtient une série alternée

,

qui est conditionnellement convergent (exemple 15), d’où le point
– point de convergence (conditionnel).

Ainsi, la région de convergence de la série
, et au point
La série converge de manière conditionnelle et, en d’autres points, elle converge de manière absolue.

Le raisonnement utilisé pour résoudre l’exemple peut avoir un caractère général.

Considérons la série de puissances

Compilons une série de valeurs absolues des membres de la série et appliquons-lui le critère de D'Alembert.

S'il existe une limite (finie ou infinie), alors selon la condition de convergence du critère de D'Alembert, la série convergera si

,

,

.

Ainsi, à partir de la définition de l’intervalle et du rayon de convergence, nous avons

En utilisant le test radical de Cauchy et en raisonnant de la même manière, nous pouvons obtenir une autre formule pour trouver le rayon de convergence

Exemple 19

Solution.

La série est une série de puissances en puissances X. Pour trouver l'intervalle de convergence, nous calculons le rayon de convergence en utilisant la formule ci-dessus. Pour une série donnée, la formule du coefficient numérique a la forme

, Alors

Ainsi,

Parce que R. = , alors la série converge (et absolument) pour toutes les valeurs X, ceux. région de convergence X (–; +).

A noter qu’il serait possible de trouver la région de convergence sans utiliser de formules, mais en appliquant directement le critère d’Alembert :

Puisque la valeur de la limite ne dépend pas de X et inférieur à 1, alors la série converge pour toutes les valeurs X, ceux. à X(-;+).

Exemple 20

Trouver l'aire de convergence de la série

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P.!(X + 5) P. +...

Solution .

x + 5), ceux. centre de convergence X 0 = - 5. Coefficient numérique de la série UN P. = n!.

Trouvons le rayon de convergence de la série

.

Ainsi, l'intervalle de convergence se compose d'un point - le centre de l'intervalle de convergence x = - 5.

Exemple 21

Trouver l'aire de convergence de la série
.

Solution.

Cette série est une série de puissances en puissances ( X–2), ceux.

centre de convergence X 0 = 2. Notez que la série est de signe positif pour tout fixe X, puisque l'expression ( X- 2) élevé à la puissance 2 P. Appliquons le test radical de Cauchy à la série.

La série convergera si la valeur limite est inférieure à 1, c'est-à-dire

,
,
,

Cela signifie que le rayon de convergence
, alors l'intégrale de convergence

,
.

Ainsi, la série converge absolument en X
. Notez que l'intégrale de convergence est symétrique par rapport au centre de convergence XÔ = 2.

Etudions la convergence des séries aux extrémités de l'intervalle de convergence.

Croire
, on obtient une série numérique de signe positif

Utilisons le critère nécessaire à la convergence :

par conséquent, les séries de nombres divergent et le point
est le point de divergence. Notez que lors du calcul de la limite, nous avons utilisé la deuxième limite remarquable.

Croire
, nous obtenons la même série de nombres (vérifiez-le vous-même !), ce qui signifie point
n’est pas non plus inclus dans l’intervalle de convergence.

Ainsi, la région de convergence absolue de cette série X
.

2.3. Propriétés des séries de puissances convergentes

Nous savons qu'une somme finie de fonctions continues est continue ; la somme des fonctions différentiables est différentiable, et la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées ; la somme finale peut être intégrée terme par terme.

Il s’avère que pour les « sommes infinies » de fonctions – les séries de fonctions – les propriétés ne sont pas valables dans le cas général.

Par exemple, considérons la série fonctionnelle

Il est évident que tous les termes de la série sont des fonctions continues. Trouvons la région de convergence de cette série et sa somme. Pour ce faire, on trouve les sommes partielles de la série

alors la somme de la série

Donc le montant S(X) d'une série donnée, comme limite d'une séquence de sommes partielles, existe et est finie pour X (-1;1), Cela signifie que cet intervalle est la région de convergence de la série. De plus, sa somme est une fonction discontinue, puisque

Ainsi, cet exemple montre que dans le cas général, les propriétés des sommes finies n'ont pas d'analogue pour les sommes infinies - les séries. Cependant, pour un cas particulier de séries fonctionnelles – les séries entières – les propriétés de la somme sont similaires aux propriétés des sommes finies.

4.1. Séries fonctionnelles : concepts de base, zone de convergence

Définition 1. Une série dont les membres sont des fonctions d'un ou
plusieurs variables indépendantes définies sur un certain ensemble sont appelées gamme fonctionnelle.

Considérons une série fonctionnelle dont les membres sont des fonctions d'une variable indépendante X. Somme du premier n les membres d’une série sont une somme partielle d’une série fonctionnelle donnée. Membre général il y a une fonction de X, défini dans une certaine région. Considérons la série fonctionnelle au point . Si la série de numéros correspondante converge, c'est-à-dire il y a une limite sur les sommes partielles de cette série
(Où − somme d'une série de nombres), alors le point est appelé point de convergence gamme fonctionnelle . Si la série de numéros diverge, alors le point est appelé point de divergence gamme fonctionnelle.

Définition 2. Zone de convergence gamme fonctionnelle est appelé l'ensemble de toutes ces valeurs X, auquel la série fonctionnelle converge. La région de convergence, composée de tous les points de convergence, est notée . Noter que R.

La série fonctionnelle converge dans la région , si pour quelque il converge comme une série de nombres, et sa somme sera une fonction . C'est ce qu'on appelle fonction limite séquences : .

Comment trouver l'aire de convergence d'une série de fonctions ? Vous pouvez utiliser un signe similaire à celui de d'Alembert. Pour une rangée composer et considérez la limite pour un montant fixe X:
. Alors est une solution à l'inégalité et résoudre l'équation (nous prenons uniquement les solutions de l'équation dans
quelles séries de nombres correspondantes convergent).

Exemple 1. Trouvez l'aire de convergence de la série.

Solution. Notons , . Composons et calculons la limite
, alors la région de convergence de la série est déterminée par l'inégalité et l'équation . Examinons plus en détail la convergence de la série originale aux points qui sont les racines de l'équation :

et si , , alors on obtient une série divergente ;

b) si , , puis la série converge conditionnellement (par

Le critère de Leibniz, exemple 1, cours 3, section. 3.1).

Ainsi, la région de convergence la série ressemble à : .

4.2. Séries entières : concepts de base, théorème d'Abel

Considérons un cas particulier de série fonctionnelle, dite série de puissance , Où
.

Définition 3. Série de puissance est appelée une série fonctionnelle de la forme,

Où − nombres constants appelés coefficients de la série.

Une série de puissances est un « polynôme infini » disposé en puissances croissantes. . N'importe quelle série de nombres est
un cas particulier d'une série entière pour .

Considérons le cas particulier d'une série entière pour :
. Voyons de quel type il s'agit
région de convergence de cette série .

Théorème 1 (théorème d'Abel). 1) Si la série entière converge en un point , alors il converge absolument pour tout X, pour lequel l'inégalité est vraie .

2) Si la série de puissances diverge à , alors il diverge pour tout X, Pour qui .

Preuve. 1) Par condition, la série de puissances converge au point ,

c'est-à-dire que la série de nombres converge

(1)

et selon le critère nécessaire de convergence, son terme commun tend vers 0, c'est-à-dire . Il existe donc un tel nombre que tous les membres de la série sont limités par ce nombre :
.

Considérons maintenant n'importe quel X, Pour qui , et faites une série de valeurs absolues : .
Écrivons cette série sous une forme différente : puisque , puis (2).

Des inégalités
nous obtenons, c'est-à-dire rangée

se compose de termes supérieurs aux termes correspondants de la série (2). Rangée représente une série convergente d'une progression géométrique avec un dénominateur , et , parce que . Par conséquent, la série (2) converge en . Ainsi, la série entière correspond absolument.

2) Laissez la série diverge à , autrement dit,

les séries de nombres divergent . Prouvons que pour tout X () la série diverge. La preuve est par contradiction. Laisse pour un peu

fixé ( ) la série converge, alors elle converge pour tout (voir la première partie de ce théorème), en particulier lorsque , ce qui contredit la condition 2) du théorème 1. Le théorème est prouvé.

Conséquence. Le théorème d'Abel permet de juger de l'emplacement du point de convergence d'une série entière. Si le point est le point de convergence de la série entière, alors l'intervalle rempli de points de convergence; si le point de divergence est le point , Que
intervalles infinis rempli de points de divergence (Fig. 1).

Riz. 1. Intervalles de convergence et de divergence de la série

On peut montrer qu'il existe un tel nombre ça devant tout le monde
série de puissance converge absolument, et quand − diverge. Nous supposerons que si la série ne converge qu’en un point 0, alors , et si la série converge pour tout , Que .

Définition 4. Intervalle de convergence série de puissance un tel intervalle est appelé ça devant tout le monde cette série converge et, d'ailleurs, absolument, et pour tous X, située en dehors de cet intervalle, la série diverge. Nombre R. appelé rayon de convergence série de puissance.

Commentaire. Aux fins de l'intervalle la question de la convergence ou de la divergence d'une série de puissances est résolue séparément pour chaque série spécifique.

Montrons l'une des façons de déterminer l'intervalle et le rayon de convergence d'une série de puissances.

Considérons la série de puissances et désigne .

Faisons une série de valeurs absolues de ses membres :

et lui appliquer le test de d'Alembert.

Laisse-le exister

.

D'après le test de d'Alembert, une série converge si , et diverge si . Donc la série converge en , alors l’intervalle de convergence est : . Quand les séries divergent, puisque .
Utiliser la notation , on obtient une formule pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière :

,

Où − coefficients de séries de puissances.

S'il s'avère que la limite , alors nous supposons .

Pour déterminer l'intervalle et le rayon de convergence d'une série entière, vous pouvez également utiliser le test radical de Cauchy ; le rayon de convergence de la série est déterminé à partir de la relation .

Définition 5. Série de puissances généralisées est appelée une série de la forme

. On l'appelle aussi série de puissances .
Pour une telle série, l’intervalle de convergence a la forme : , Où − rayon de convergence.

Montrons comment trouver le rayon de convergence d'une série de puissances généralisée.

ceux. , Où .

Si , Que , et la région de convergence R ; Si , Que et région de convergence .

Exemple 2. Trouver l'aire de convergence de la série .

Solution. Notons . Fixons une limite

Résoudre l’inégalité : , , donc l'intervalle

la convergence a la forme : , et R.= 5. De plus, nous examinons les extrémités de l’intervalle de convergence :
UN) , , on obtient la série , qui diverge ;
b) , , on obtient la série , qui converge
conditionnellement. Ainsi, la zone de convergence est : , .

Répondre: région de convergence .

Exemple 3. Rangée différent pour tout le monde , parce que à , rayon de convergence .

Exemple 4. La série converge pour tout R, rayon de convergence .