En mathématiques, toute collection de nombres qui se suivent, organisés d’une manière ou d’une autre, est appelée une séquence. De toutes les séquences de nombres existantes, on en distingue deux cas intéressants: progressions algébriques et géométriques.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Il faut dire tout de suite que la progression algébrique est souvent appelée arithmétique, puisque ses propriétés sont étudiées par la branche des mathématiques - l'arithmétique.

Cette progression est une séquence de nombres dans laquelle chaque membre suivant diffère du précédent par un certain nombre constant. C'est ce qu'on appelle la différence d'une progression algébrique. Pour plus de précision, nous le désignons par la lettre latine d.

Un exemple d'une telle séquence pourrait être le suivant : 3, 5, 7, 9, 11..., ici vous pouvez voir que le nombre est 5 plus de numéro 3 est 2, 7 est supérieur à 5 est également 2, et ainsi de suite. Ainsi, dans l'exemple présenté, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Quels sont les types de progressions arithmétiques ?

La nature de ces séquences ordonnées de nombres est largement déterminée par le signe du nombre d. On distingue les types de progressions algébriques suivants :

• augmentant lorsque d est positif (d>0) ;
• constante lorsque d = 0 ;
• décroissant lorsque d est négatif (d<0).

L’exemple donné au paragraphe précédent montre une progression croissante. Un exemple de séquence décroissante est la séquence de nombres suivante : 10, 5, 0, -5, -10, -15... Une progression constante, comme il ressort de sa définition, est une collection de nombres identiques.

nième terme de progression

Du fait que chaque nombre suivant dans la progression considérée diffère d'une constante d du précédent, son nième terme peut être facilement déterminé. Pour ce faire, vous devez connaître non seulement d, mais aussi a 1 - le premier terme de la progression. En utilisant une approche récursive, on peut obtenir une formule de progression algébrique pour trouver le nième terme. Cela ressemble à : a n = a 1 + (n-1)*d. Cette formule est assez simple et peut être comprise intuitivement.

Ce n’est pas non plus difficile à utiliser. Par exemple, dans la progression donnée ci-dessus (d=2, a 1 =3), on définit son 35ème terme. D'après la formule, il sera égal à : a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Formule pour le montant

Lorsqu'on leur en donne progression arithmétique, alors la somme de ses n premiers termes est un problème fréquemment rencontré, tout comme la détermination de la valeur du nième terme. La formule de la somme d'une progression algébrique s'écrit sous la forme suivante : ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, ici le symbole ∑ n 1 indique que les 1er au nième termes sont additionnés.

L’expression ci-dessus peut être obtenue en recourant aux propriétés de la même récursion, mais il existe un moyen plus simple de prouver sa validité. Écrivons les 2 premiers et les 2 derniers termes de cette somme, en les exprimant en nombres a 1, a n et d, et nous obtenons : a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Notez maintenant que si l'on ajoute le premier terme au dernier, il sera exactement égal à la somme du deuxième et de l'avant-dernier terme, c'est-à-dire a 1 + a n. De la même manière, on peut montrer que la même somme peut être obtenue en additionnant le troisième et l’avant-dernier terme, et ainsi de suite. Dans le cas d'une paire de nombres dans la suite, on obtient n/2 sommes dont chacune est égale à a 1 + a n. Autrement dit, nous obtenons la formule ci-dessus pour la progression algébrique de la somme : ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Pour un nombre impair de termes n, une formule similaire est obtenue si vous suivez le raisonnement décrit. N'oubliez pas d'ajouter le terme restant, qui se trouve au centre de la progression.

Montrons comment utiliser la formule ci-dessus en utilisant l'exemple d'une progression simple introduite ci-dessus (3, 5, 7, 9, 11...). Par exemple, il faut déterminer la somme de ses 15 premiers termes. Tout d’abord, définissons un 15. En utilisant la formule du nième terme (voir paragraphe précédent), nous obtenons : a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Nous pouvons maintenant appliquer la formule pour la somme d'une progression algébrique : ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Il est intéressant de citer un fait historique intéressant. La formule de la somme d'une progression arithmétique a été obtenue pour la première fois par Carl Gauss (le célèbre mathématicien allemand du XVIIIe siècle). Alors qu'il n'avait que 10 ans, son professeur lui a demandé de trouver la somme des nombres de 1 à 100. On dit que le petit Gauss a résolu ce problème en quelques secondes, remarquant qu'en additionnant les nombres du début et de la fin de la séquence par paires, on peut toujours obtenir 101, et comme il y a 50 sommes de ce type, il a rapidement donné la réponse : 50*101 = 5050.

Exemple de solution de problème

Pour compléter le sujet de la progression algébrique, nous donnerons un exemple de résolution d'un autre problème intéressant, renforçant ainsi la compréhension du sujet considéré. Soit une certaine progression pour laquelle la différence d = -3 est connue, ainsi que son 35ème terme a 35 = -114. Il faut trouver le 7ème terme de la progression a 7 .

Comme le montrent les conditions du problème, la valeur de a 1 est inconnue, il ne sera donc pas possible d'utiliser directement la formule pour le nième terme. La méthode de récursivité est également peu pratique, difficile à mettre en œuvre manuellement et il existe une forte probabilité de commettre une erreur. Procédons comme suit : écrivons les formules pour a 7 et a 35, nous avons : a 7 = a 1 + 6*d et a 35 = a 1 + 34*d. Soustrayez la seconde de la première expression, nous obtenons : a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Il s'ensuit : a 7 = a 35 - 28*d. Il reste à remplacer les données connues de l'énoncé du problème et à noter la réponse : a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Progression géométrique

Pour révéler plus complètement le sujet de l'article, nous fournissons une brève description d'un autre type de progression - géométrique. En mathématiques, ce nom est compris comme une séquence de nombres dans laquelle chaque terme suivant diffère du précédent par un certain facteur. Notons ce facteur par la lettre r. C'est ce qu'on appelle le dénominateur du type de progression considéré. Un exemple de cette séquence de nombres serait : 1, 5, 25, 125, ...

Comme le montre la définition ci-dessus, les progressions algébriques et géométriques ont une idée similaire. La différence entre eux est que le premier évolue plus lentement que le second.

La progression géométrique peut également être croissante, constante ou décroissante. Son type dépend de la valeur du dénominateur r : si r>1, alors il y a une progression croissante, si r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Formules de progression géométrique

Comme dans le cas de l'algébrique, les formules d'une progression géométrique se réduisent à déterminer son nième terme et la somme de n termes. Ci-dessous ces expressions :

• a n = a 1 *r (n-1) - cette formule découle de la définition de la progression géométrique.
• ∑ n 1 = une 1 *(r n -1)/(r-1). Il est important de noter que si r = 1, alors la formule ci-dessus donne une incertitude et ne peut donc pas être utilisée. Dans ce cas, la somme de n termes sera égale au produit simple a 1 *n.

Par exemple, trouvons la somme de seulement 10 termes de la suite 1, 5, 25, 125, ... Sachant que a 1 = 1 et r = 5, on obtient : ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. La valeur résultante est un exemple clair de la rapidité avec laquelle la progression géométrique croît.

La première mention de cette progression dans l'histoire est peut-être la légende de l'échiquier, lorsqu'un ami d'un sultan, lui ayant appris à jouer aux échecs, demanda du grain pour son service. De plus, la quantité de grain aurait dû être la suivante : un grain doit être placé sur la première case de l'échiquier, deux fois plus sur la deuxième que sur la première, sur la troisième deux fois plus que sur la deuxième, et ainsi de suite. . Le sultan accepta volontiers de répondre à cette demande, mais il ne savait pas qu'il lui faudrait vider toutes les poubelles de son pays pour tenir parole.

Oui, oui : la progression arithmétique n'est pas un jouet pour vous :)

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : TELLEMENT !) vouloir savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre les nombres adjacents est déjà de cinq, mais cette différence reste constante. Dans le troisième cas, il y a complètement des racines. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques notes importantes. Premièrement, la progression n’est prise en compte que commandé séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple. :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : le dernier exemple peut sembler trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

1. augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout ici dépend uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

1. Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
2. Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
3. Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire de nombres identiques : (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Il ressemblera à ceci:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme nous pouvons le constater, dans les trois cas, la différence s’est avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Conditions de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite\)\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est tout! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est comme ça qu'il est facile de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de la progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Une propriété simple mais très utile que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est tout! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel nombre naturel $n$) reste la négativité des termes :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme à travers le premier et la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec la tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

La solution entière minimale de cette inégalité est le nombre 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à une stricte inégalité, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir. :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

Termes d'une progression arithmétique sur la droite numérique

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et notons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Eh bien, et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Les termes de la progression se situent à la même distance du centre

Qu'est ce que cela veut dire pour nous? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Regarde:

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Puisque ces nombres sont membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : l'élément central $x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Le résultat est une équation quadratique classique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse 1; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

En général, en résolvant les derniers problèmes, nous sommes tombés sur un autre fait intéressant qu'il faut également retenir :

Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne arithmétique du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l’avenir, comprendre cet énoncé nous permettra de « construire » littéralement les progressions nécessaires en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à nouveau à l'axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Il y a 6 éléments marqués sur la droite numérique

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à partir de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), alors les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Des indentations égales donnent des quantités égales

Comprendre ce fait nous permettra de résoudre des problèmes d'un niveau de complexité fondamentalement plus élevé que ceux que nous avons considérés ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : j’ai pris le multiplicateur total de 11 sur la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est un nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches ascendantes :

graphique d'une fonction quadratique - parabole

Attention : cette parabole prend sa valeur minimale en son sommet d'abscisse $((d)_(0))$. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse en utilisant le schéma standard (il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L'abscisse est donc égale à la moyenne arithmétique des nombres −66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend la plus petite valeur (d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse. :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, le premier et le dernier nombre étant déjà connus. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si on ne peut actuellement pas obtenir $y$ à partir des nombres $x$ et $z$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Un problème encore plus complexe, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. . au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais examiner quelques problèmes relativement simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tous les mêmes:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que ses conséquences importantes et très utiles.

Certaines personnes traitent le mot « progression » avec prudence, car il s’agit d’un terme très complexe issu des branches des mathématiques supérieures. Pendant ce temps, la progression arithmétique la plus simple est le travail du taximètre (là où ils existent encore). Et comprendre l'essence (et en mathématiques il n'y a rien de plus important que « comprendre l'essence ») d'une suite arithmétique n'est pas si difficile, après avoir analysé quelques concepts élémentaires.

Suite de nombres mathématiques

Une séquence numérique est généralement appelée une série de nombres, chacun ayant son propre numéro.

un 1 est le premier membre de la séquence ;

et 2 est le deuxième terme de la suite ;

et 7 est le septième membre de la séquence ;

et n est le nième membre de la séquence ;

Cependant, aucun ensemble arbitraire de nombres et de nombres ne nous intéresse. Nous concentrerons notre attention sur une séquence numérique dans laquelle la valeur du nième terme est liée à son nombre ordinal par une relation qui peut être clairement formulée mathématiquement. En d’autres termes : la valeur numérique du nième nombre est une fonction de n.

a est la valeur d'un membre d'une séquence numérique ;

n est son numéro de série ;

f(n) est une fonction, où le nombre ordinal dans la séquence numérique n est l'argument.

Définition

Une progression arithmétique est généralement appelée une séquence numérique dans laquelle chaque terme suivant est supérieur (inférieur) au précédent du même nombre. La formule du nième terme d’une suite arithmétique est la suivante :

a n - la valeur du membre actuel de la progression arithmétique ;

a n+1 - formule du nombre suivant ;

d - différence (certain nombre).

Il est facile de déterminer que si la différence est positive (d>0), alors chaque membre suivant de la série considérée sera supérieur au précédent et une telle progression arithmétique augmentera.

Dans le graphique ci-dessous, il est facile de comprendre pourquoi séquence de nombres appelé « croissant ».

Dans les cas où la différence est négative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valeur de membre spécifiée

Parfois, il est nécessaire de déterminer la valeur de tout terme arbitraire d'une progression arithmétique. Cela peut être fait en calculant séquentiellement les valeurs de tous les membres de la progression arithmétique, du premier au souhaité. Cependant, cette voie n'est pas toujours acceptable si, par exemple, il faut trouver la valeur du cinq millième ou du huit millionième terme. Les calculs traditionnels prendront beaucoup de temps. Cependant, une progression arithmétique spécifique peut être étudiée à l'aide de certaines formules. Il existe également une formule pour le nième terme : la valeur de n'importe quel terme d'une progression arithmétique peut être déterminée comme la somme du premier terme de la progression avec la différence de la progression, multipliée par le nombre du terme souhaité, réduit de un.

La formule est universelle pour une progression croissante et décroissante.

Un exemple de calcul de la valeur d'un terme donné

Résolvons le problème suivant consistant à trouver la valeur du nième terme d'une progression arithmétique.

Condition : il existe une progression arithmétique avec des paramètres :

Le premier terme de la suite est 3 ;

La différence dans la série de nombres est de 1,2.

Tâche : vous devez trouver la valeur de 214 termes

Solution : pour déterminer la valeur d'un terme donné, on utilise la formule :

une(n) = a1 + d(n-1)

En remplaçant les données de l'énoncé du problème dans l'expression, nous avons :

une(214) = une1 + ré(n-1)

une(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Réponse : Le 214ème terme de la suite est égal à 258,6.

Les avantages de cette méthode de calcul sont évidents : la solution complète ne prend pas plus de 2 lignes.

Somme d'un nombre donné de termes

Très souvent, dans une série arithmétique donnée, il est nécessaire de déterminer la somme des valeurs de certains de ses segments. Pour ce faire, il n’est pas non plus nécessaire de calculer les valeurs de chaque terme puis de les additionner. Cette méthode est applicable si le nombre de termes dont la somme doit être trouvée est faible. Dans d’autres cas, il est plus pratique d’utiliser la formule suivante.

La somme des termes d'une progression arithmétique de 1 à n est égale à la somme du premier et du nième termes, multipliée par le numéro du terme n et divisée par deux. Si dans la formule la valeur du nième terme est remplacée par l'expression du paragraphe précédent de l'article, on obtient :

Exemple de calcul

Par exemple, résolvons un problème avec les conditions suivantes :

Le premier terme de la suite est zéro ;

La différence est de 0,5.

Le problème nécessite de déterminer la somme des termes de la série de 56 à 101.

Solution. Utilisons la formule pour déterminer le montant de la progression :

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Tout d'abord, nous déterminons la somme des valeurs de 101 termes de la progression en substituant les conditions données de notre problème dans la formule :

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Évidemment, pour connaître la somme des termes de la progression du 56ème au 101ème, il faut soustraire S 55 de S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Ainsi, la somme de la progression arithmétique pour cet exemple est :

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Exemple d'application pratique de la progression arithmétique

A la fin de l'article, revenons à l'exemple d'une séquence arithmétique donnée dans le premier paragraphe - un taximètre (taxi car meter). Considérons cet exemple.

Monter à bord d'un taxi (qui comprend 3 km de trajet) coûte 50 roubles. Chaque kilomètre suivant est payé au taux de 22 roubles/km. La distance parcourue est de 30 km. Calculez le coût du voyage.

1. Laissons de côté les 3 premiers kilomètres dont le prix est inclus dans le prix de l'atterrissage.

30 - 3 = 27 km.

2. Un calcul ultérieur n’est rien d’autre que l’analyse d’une série de nombres arithmétiques.

Numéro de membre - le nombre de kilomètres parcourus (moins les trois premiers).

La valeur du membre est la somme.

Le premier terme de ce problème sera égal à a 1 = 50 roubles.

Différence de progression d = 22 r.

le nombre qui nous intéresse est la valeur du (27+1)ème terme de la progression arithmétique - le relevé du compteur à la fin du 27ème kilomètre est 27,999... = 28 km.

une 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Les calculs de données calendaires pour une période arbitrairement longue sont basés sur des formules décrivant certaines séquences numériques. En astronomie, la longueur de l'orbite dépend géométriquement de la distance du corps céleste à l'étoile. En outre, diverses séries de nombres sont utilisées avec succès en statistiques et dans d’autres domaines appliqués des mathématiques.

Un autre type de séquence de nombres est géométrique

La progression géométrique se caractérise par des taux de changement plus élevés que la progression arithmétique. Ce n'est pas un hasard si en politique, en sociologie et en médecine, pour montrer la vitesse élevée de propagation d'un phénomène particulier, par exemple une maladie lors d'une épidémie, on dit que le processus se développe selon une progression géométrique.

Le Nième terme de la série de nombres géométriques diffère du précédent en ce qu'il est multiplié par un nombre constant - le dénominateur, par exemple, le premier terme est 1, le dénominateur est respectivement égal à 2, alors :

n=1 : 1 ∙ 2 = 2

n=2 : 2 ∙ 2 = 4

n=3 : 4 ∙ 2 = 8

n=4 : 8 ∙ 2 = 16

n=5 : 16 ∙ 2 = 32,

b n - la valeur du terme actuel de la progression géométrique ;

b n+1 - formule du terme suivant de la progression géométrique ;

q est le dénominateur de la progression géométrique (un nombre constant).

Si le graphique d’une progression arithmétique est une ligne droite, alors une progression géométrique dresse un tableau légèrement différent :

Comme dans le cas de l'arithmétique, la progression géométrique a une formule pour la valeur d'un terme arbitraire. Tout nième terme d'une progression géométrique est égal au produit du premier terme et du dénominateur de la progression à la puissance n réduit de un :

Exemple. On a une progression géométrique dont le premier terme est égal à 3 et le dénominateur de la progression est égal à 1,5. Trouvons le 5ème terme de la progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

La somme d'un nombre donné de termes est également calculée à l'aide d'une formule spéciale. La somme des n premiers termes d'une progression géométrique est égale à la différence entre le produit du nième terme de la progression et son dénominateur et le premier terme de la progression, divisé par le dénominateur réduit de un :

Si b n est remplacé à l'aide de la formule discutée ci-dessus, la valeur de la somme des n premiers termes de la série de nombres considérée prendra la forme :

Exemple. La progression géométrique commence avec le premier terme égal à 1. Le dénominateur est fixé à 3. Trouvons la somme des huit premiers termes.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280