Puisque la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement circulaire ne peut pas être qualifié d’uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissons un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Dans une unité de temps, le point se déplacera vers le point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.

Période et fréquence

Période de rotation T- c'est le temps pendant lequel le corps fait un tour.

La fréquence de rotation est le nombre de tours par seconde.

La fréquence et la période sont interdépendantes par la relation

Relation avec la vitesse angulaire

Vitesse linéaire

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles provenant du dessous d’une rectifieuse se déplacent, répétant la direction de la vitesse instantanée.

Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé est la période T Le chemin parcouru par un point est la circonférence.

Accélération centripète

Lors d'un déplacement en cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.

En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes

Les points situés sur la même ligne droite partant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur les rayons d'une roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus un point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi de l'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un cadre de référence n'est pas uniforme, alors la loi s'applique aux vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre participe à deux mouvements de rotation principaux : diurne (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction allant du centre de la Terre vers un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est la force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, alors la force agissant est la force élastique.

Si un corps posé sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force arrête son action, alors le corps continuera à se déplacer en ligne droite.

Considérons le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à

Passons maintenant à un système stationnaire connecté au sol. L'accélération totale du point A restera la même tant en amplitude qu'en direction, puisque lors du passage d'un système de référence inertiel à un autre, l'accélération ne change pas. Du point de vue d'un observateur stationnaire, la trajectoire du point A n'est plus un cercle, mais une courbe plus complexe (cycloïde), le long de laquelle le point se déplace de manière inégale.

Puisque la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement circulaire ne peut pas être qualifié d’uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissons un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Dans une unité de temps, le point se déplacera vers le point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.

Période et fréquence

Période de rotation T- c'est le temps pendant lequel le corps fait un tour.

La fréquence de rotation est le nombre de tours par seconde.

La fréquence et la période sont interdépendantes par la relation

Relation avec la vitesse angulaire

Vitesse linéaire

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles provenant du dessous d’une rectifieuse se déplacent, répétant la direction de la vitesse instantanée.

Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé est la période T. Le chemin parcouru par un point est la circonférence.

Accélération centripète

Lors d'un déplacement en cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.

En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes

Les points situés sur la même ligne droite partant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur les rayons d'une roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus un point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi de l'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un cadre de référence n'est pas uniforme, alors la loi s'applique aux vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre participe à deux mouvements de rotation principaux : diurne (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction allant du centre de la Terre vers un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est la force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, alors la force agissant est la force élastique.

Si un corps posé sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force arrête son action, alors le corps continuera à se déplacer en ligne droite.

Considérons le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à vA Et vB respectivement. L'accélération est le changement de vitesse par unité de temps. Trouvons la différence entre les vecteurs.

Dans la nature, les mouvements du corps se produisent souvent le long de lignes courbes. Presque tous les mouvements curvilignes peuvent être représentés comme une séquence de mouvements le long d’arcs de cercle. En général, lorsqu'un corps se déplace en cercle, la vitesse d'un corps change en fonction de en taille, ainsi et vers.

Mouvement uniforme autour d'un cercle

Le mouvement circulaire est dit uniforme si la vitesse reste constante.

Selon la troisième loi de Newton, chaque action provoque une réaction égale et opposée. La force centripète avec laquelle la connexion agit sur le corps est contrecarrée par une force égale en ampleur et de direction opposée avec laquelle le corps agit sur la connexion. Ce pouvoir F 6 nommé centrifuge, puisqu'il est dirigé radialement à partir du centre du cercle. La force centrifuge est égale en grandeur à la force centripète :

Exemples

Prenons le cas où un athlète fait tourner un objet attaché au bout d’une ficelle autour de sa tête. L'athlète ressent une force appliquée sur le bras et le tirant vers l'extérieur. Pour maintenir l'objet sur le cercle, l'athlète (à l'aide d'un fil) le tire vers l'intérieur. Par conséquent, selon la troisième loi de Newton, un objet (toujours à travers un fil) agit sur la main avec une force égale et opposée, et c'est la force que ressent la main de l'athlète (Fig. 3.23). La force agissant sur un objet est la tension du fil vers l’intérieur.

Autre exemple : un équipement sportif « marteau » est actionné par un câble tenu par l'athlète (Fig. 3.24).

Rappelons que la force centrifuge n'agit pas sur un corps en rotation, mais sur un fil. Si la force centrifuge agissait sur le corps alors si le fil se casse, il s'éloignera radialement du centre, comme le montre la Fig. 3.25, a. Cependant, en fait, lorsque le fil se casse, le corps commence à se déplacer tangentiellement (Figure 3.25, b) dans le sens de la vitesse qu'il avait au moment de la rupture du fil.

Les forces centrifuges sont largement utilisées.

Une centrifugeuse est un appareil conçu pour entraîner et tester les pilotes, les athlètes et les astronautes. Le grand rayon (jusqu'à 15 m) et la puissance élevée du moteur (plusieurs MW) permettent de créer une accélération centripète allant jusqu'à 400 m/s 2 . La force centrifuge presse les corps avec une force dépassant de plus de 40 fois la force de gravité normale sur Terre. Une personne peut résister à une surcharge temporaire de 20 à 30 fois si elle se trouve perpendiculairement à la direction de la force centrifuge, et de 6 fois si elle se trouve dans la direction de cette force.

3.8. Éléments de description du mouvement humain

Les mouvements humains sont complexes et difficiles à décrire. Cependant, dans un certain nombre de cas, il est possible d'identifier des points significatifs qui distinguent un type de mouvement d'un autre. Considérons, par exemple, la différence entre courir et marcher.

Les éléments des mouvements de pas lors de la marche sont illustrés sur la Fig. 3.26. Dans les mouvements de marche, chaque jambe alterne entre le soutien et le portage. La période d'appui comprend l'amortissement (freinage du mouvement du corps vers l'appui) et la répulsion, tandis que la période de transfert comprend l'accélération et le freinage.

Les mouvements séquentiels du corps humain et de ses jambes lors de la marche sont représentés sur la Fig. 3.27.

Les lignes A et B fournissent une image de haute qualité du mouvement des pieds lors de la marche. La ligne supérieure A fait référence à une jambe, la ligne inférieure B à l'autre. Les sections droites correspondent aux moments d'appui du pied au sol, les sections arquées correspondent aux moments de mouvement des pieds. Pendant un certain temps (a) les deux pieds reposent sur le sol ; alors (b)- la jambe A est en l'air, la jambe B continue de se pencher ; et puis (Avec)- encore une fois, les deux jambes reposent sur le sol. Plus vous marchez vite, plus les intervalles sont courts. (UN Et Avec).

En figue. La figure 3.28 montre les mouvements séquentiels du corps humain lors de la course et une représentation graphique des mouvements des pieds. Comme vous pouvez le voir sur la figure, lors de l'exécution, il y a des intervalles de temps { b, d, /), lorsque les deux jambes sont en l’air et qu’il n’y a pas d’intervalles entre les jambes touchant simultanément le sol. C'est la différence entre courir et marcher.

Un autre type de mouvement courant consiste à repousser le support lors de divers sauts. La poussée s'effectue en redressant la jambe de poussée et en effectuant des mouvements de balancement des bras et du torse. La tâche de la répulsion est d’assurer la valeur maximale du vecteur vitesse initial du centre de masse général de l’athlète et sa direction optimale. En figue. 3,29 phases sont affichées

\ Chapitre 4

DYNAMIQUE DE CONDUITEPOINT MATÉRIEL

Dynamique est une branche de la mécanique qui étudie le mouvement d'un corps en tenant compte de son interaction avec d'autres corps.

Dans la section « Cinématique », les concepts ont été introduits vitesse Et accélération point matériel. Pour les corps réels, ces concepts nécessitent d'être clarifiés, car pour différents vrais points du corps ces caractéristiques de mouvement peuvent varier. Par exemple, un ballon de football incurvé non seulement avance, mais tourne également. Les points d'un corps en rotation se déplacent à des vitesses différentes. Pour cette raison, la dynamique d’un point matériel est d’abord considérée, puis les résultats obtenus sont étendus aux corps réels.

Nous permet d'exister sur cette planète. Comment comprendre ce qu’est l’accélération centripète ? La définition de cette grandeur physique est présentée ci-dessous.

Observations

L'exemple le plus simple de l'accélération d'un corps se déplaçant en cercle peut être observé en faisant tourner une pierre sur une corde. Vous tirez sur la corde, et la corde tire la pierre vers le centre. A chaque instant, la corde donne un certain mouvement à la pierre, et à chaque fois dans une nouvelle direction. Vous pouvez imaginer le mouvement de la corde comme une série de faibles secousses. Une secousse - et la corde change de direction, une autre secousse - un autre changement, et ainsi de suite en cercle. Si vous relâchez brusquement la corde, les secousses s'arrêteront et avec elles le changement de direction de la vitesse s'arrêtera. La pierre se déplacera dans la direction tangente au cercle. La question se pose : « Avec quelle accélération le corps va-t-il se déplacer à cet instant ? »

Formule pour l'accélération centripète

Tout d’abord, il convient de noter que le mouvement d’un corps en cercle est complexe. La pierre participe simultanément à deux types de mouvements : sous l'influence de la force elle se déplace vers le centre de rotation, et en même temps le long d'une tangente au cercle, en s'éloignant de ce centre. Selon la deuxième loi de Newton, la force qui retient une pierre sur une corde est dirigée vers le centre de rotation le long de la corde. Le vecteur accélération y sera également dirigé.

Supposons qu'après un certain temps t notre pierre, se déplaçant uniformément avec une vitesse V, passe du point A au point B. Supposons qu'au moment où le corps a franchi le point B, la force centripète a cessé d'agir sur lui. Puis, au bout d’un certain temps, il atteindrait le point K. Il se trouve sur la tangente. Si au même instant seules des forces centripètes agissaient sur le corps, alors pendant le temps t, se déplaçant avec la même accélération, il aboutirait au point O, qui est situé sur une droite représentant le diamètre d'un cercle. Les deux segments sont des vecteurs et obéissent à la règle de l’addition vectorielle. En additionnant ces deux mouvements sur une période de temps t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc AB.

Si l’intervalle de temps t est considéré comme négligeable, alors l’arc AB différera peu de la corde AB. Ainsi, il est possible de remplacer le mouvement le long d'un arc par un mouvement le long d'une corde. Dans ce cas, le mouvement de la pierre le long de la corde obéira aux lois du mouvement rectiligne, c'est-à-dire que la distance parcourue AB sera égale au produit de la vitesse de la pierre et du temps de son mouvement. AB = V x t.

Notons l'accélération centripète souhaitée par la lettre a. Ensuite, le chemin parcouru uniquement sous l'influence de l'accélération centripète peut être calculé à l'aide de la formule du mouvement uniformément accéléré :

La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, c'est-à-dire AB = V x t,

AO - calculé plus tôt en utilisant la formule du mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2 / 2.

En substituant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :

En mots, cela peut être exprimé comme suit : l'accélération centripète d'un corps se déplaçant dans un cercle est égale au quotient de la vitesse linéaire au carré par le rayon du cercle le long duquel le corps tourne. Dans ce cas, la force centripète ressemblera à l’image ci-dessous.

Vitesse angulaire

La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. L’affirmation inverse est également vraie : V = ωR, où ω est la vitesse angulaire

Si nous substituons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir une expression de l'accélération centrifuge pour la vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:

Accélération sans changement de vitesse

Et pourtant, pourquoi un corps dont l'accélération est dirigée vers le centre ne se déplace-t-il pas plus vite et ne se rapproche-t-il pas du centre de rotation ? La réponse réside dans la formulation même de l’accélération. Les faits montrent que le mouvement circulaire est réel, mais pour le maintenir, il faut une accélération dirigée vers le centre. Sous l'influence de la force provoquée par cette accélération, un changement dans l'ampleur du mouvement se produit, à la suite de quoi la trajectoire du mouvement est constamment courbée, changeant tout le temps la direction du vecteur vitesse, mais sans changer sa valeur absolue. . En se déplaçant en cercle, notre pierre qui souffre depuis longtemps se précipite vers l'intérieur, sinon elle continuerait à se déplacer tangentiellement. À chaque instant, en allant tangentiellement, la pierre est attirée vers le centre, mais n'y tombe pas. Un autre exemple d’accélération centripète serait un skieur nautique effectuant de petits cercles sur l’eau. La silhouette de l'athlète est inclinée ; il semble tomber, continuant d'avancer et se penchant en avant.

Ainsi, nous pouvons conclure que l’accélération n’augmente pas la vitesse du corps, puisque les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires les uns aux autres. Ajoutée au vecteur vitesse, l’accélération ne fait que changer la direction du mouvement et maintient le corps en orbite.

Dépassement du facteur de sécurité

Dans l’expérience précédente, nous avions affaire à une corde parfaite qui ne cassait pas. Mais disons que notre corde est la plus ordinaire, et vous pouvez même calculer la force après laquelle elle se brisera tout simplement. Pour calculer cette force, il suffit de comparer la résistance de la corde avec la charge qu'elle subit lors de la rotation de la pierre. En faisant tourner la pierre à une vitesse plus élevée, vous lui communiquez une plus grande quantité de mouvement, et donc une plus grande accélération.

Avec une corde de jute d'un diamètre d'environ 20 mm, sa résistance à la traction est d'environ 26 kN. Il est à noter que la longueur de la corde n’apparaît nulle part. En faisant tourner une charge de 1 kg sur une corde d'un rayon de 1 m, on peut calculer que la vitesse linéaire nécessaire pour la rompre est de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Ainsi, la vitesse dangereuse pour le dépassement sera égal à √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

La gravité

Lors de l'examen de l'expérience, nous avons négligé l'effet de la gravité, car à des vitesses aussi élevées, son influence est négligeable. Mais on peut remarquer qu’en déroulant une longue corde, le corps décrit une trajectoire plus complexe et se rapproche progressivement du sol.

Corps célestes

Si nous transférons les lois du mouvement circulaire dans l’espace et les appliquons au mouvement des corps célestes, nous pouvons redécouvrir plusieurs formules familières. Par exemple, la force avec laquelle un corps est attiré vers la Terre est connue par la formule :

Dans notre cas, le facteur g est la même accélération centripète dérivée de la formule précédente. Seulement dans ce cas, le rôle de la pierre sera joué par un corps céleste attiré par la Terre, et le rôle de la corde sera joué par la force de gravité. Le facteur g sera exprimé en fonction du rayon de notre planète et de sa vitesse de rotation.

Résultats

L’essence de l’accélération centripète est le travail dur et ingrat consistant à maintenir un corps en mouvement en orbite. Un cas paradoxal est observé lorsque, à accélération constante, un corps ne change pas la valeur de sa vitesse. Pour un esprit non averti, une telle affirmation est tout à fait paradoxale. Néanmoins, tant lors du calcul du mouvement d'un électron autour du noyau que lors du calcul de la vitesse de rotation d'une étoile autour d'un trou noir, l'accélération centripète joue un rôle important.

Lors de l’étude du mouvement en physique, la notion de trajectoire joue un rôle important. C'est cela qui détermine en grande partie le type de mouvement des objets et, par conséquent, le type de formules utilisées pour décrire ce mouvement. L'une des trajectoires de mouvement courantes est un cercle. Dans cet article, nous considérerons le mouvement centripète lors d'un déplacement en cercle.

Le concept de pleine accélération

Avant de caractériser l’accélération centripète lors d’un déplacement en cercle, considérons la notion d’accélération totale. Il s'agit d'une grandeur physique qui décrit simultanément la variation de la valeur absolue et du vecteur vitesse. Sous forme mathématique, cette définition ressemble à ceci :

L'accélération est la dérivée totale de la vitesse par rapport au temps.

Comme on le sait, la vitesse v¯ du corps en chaque point de la trajectoire est dirigée le long d'une tangente. Ce fait nous permet de le représenter comme un produit du module v et du vecteur tangent unitaire u¯, soit :

On peut alors le calculer comme suit :

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

La quantité a¯ est la somme vectorielle de deux termes. Le premier terme est dirigé tangentiellement (comme la vitesse d'un corps) et s'appelle Il détermine le taux de changement du module de vitesse. Deuxième mandat - Examinons-le plus en détail plus loin dans l'article.

Écrivons l'expression ci-dessus pour la composante d'accélération normale a n ¯ sous forme explicite :

a n ¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v 2 /r*r e ¯

Ici dl est le chemin parcouru par le corps le long de la trajectoire dans le temps dt, r e ¯ est le vecteur unitaire dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, r est le rayon de courbure. La formule qui en résulte conduit à plusieurs caractéristiques importantes de la composante a n ¯ de l'accélération totale :

• La quantité a n ¯ augmente comme le carré de la vitesse et diminue en proportion inverse du rayon, ce qui la distingue de la composante tangentielle. Cette dernière n'est égale à zéro que si le module de vitesse change.
• L'accélération normale est toujours dirigée vers le centre de courbure, c'est pourquoi elle est appelée centripète.

Ainsi, la condition principale pour l'existence d'une quantité non nulle a n ¯ est la courbure de la trajectoire. Si une telle courbure n'existe pas (déplacement linéaire), alors a n ¯ = 0, puisque r->∞.

Accélération centripète lors d'un déplacement en cercle

Un cercle est une ligne géométrique dont tous les points sont à la même distance d’un certain point. Ce dernier est appelé centre du cercle, et la distance mentionnée est son rayon. Si la vitesse d'un corps pendant la rotation ne change pas en valeur absolue, on parle alors de mouvement uniforme en cercle. L'accélération centripète dans ce cas peut être facilement calculée à l'aide de l'une des deux formules ci-dessous :

Où ω est la vitesse angulaire, mesurée en radians par seconde (rad/s). La deuxième égalité est obtenue grâce à la formule de la relation entre les vitesses angulaires et linéaires :

Forces centripètes et centrifuges

Lorsqu'un corps se déplace uniformément en cercle, une accélération centripète se produit en raison de l'action de la force centripète correspondante. Son vecteur est toujours dirigé vers le centre du cercle.

La nature de cette force peut être très diverse. Par exemple, lorsqu’une personne détorde une pierre attachée à une corde, celle-ci est retenue dans sa trajectoire par la force de tension de la corde. Un autre exemple de l’action de la force centripète est l’interaction gravitationnelle entre le Soleil et les planètes. C’est ce qui fait que toutes les planètes et astéroïdes se déplacent sur des orbites circulaires. La force centripète n'est pas capable de modifier l'énergie cinétique du corps, puisqu'elle est dirigée perpendiculairement à sa vitesse.

Chacun peut remarquer que lorsque la voiture tourne, par exemple, vers la gauche, les passagers sont pressés contre le bord droit de l'habitacle du véhicule. Ce processus est le résultat de la force centrifuge du mouvement de rotation. En fait, cette force est irréelle, puisqu'elle est due aux propriétés d'inertie du corps et à son désir de se déplacer sur une trajectoire rectiligne.

Les forces centrifuges et centripètes sont de même ampleur et de direction opposée. Si ce n’était pas le cas, alors la trajectoire circulaire du corps serait perturbée. Si l'on prend en compte la deuxième loi de Newton, on peut alors dire que lors d'un mouvement de rotation, l'accélération centrifuge est égale à l'accélération centripète.