Cet article est consacré à l'étude du thème « Nombres rationnels ». Vous trouverez ci-dessous les définitions des nombres rationnels, des exemples sont donnés et comment déterminer si un nombre est rationnel ou non.
Nombres rationnels. Définitions
Avant de donner la définition des nombres rationnels, rappelons-nous quels autres ensembles de nombres existent et comment ils sont liés les uns aux autres.
Les nombres naturels, avec leurs opposés et le nombre zéro, forment l'ensemble des nombres entiers. À son tour, l’ensemble des nombres fractionnaires entiers forme l’ensemble des nombres rationnels.
Définition 1. Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être représentés par une fraction commune positive ab, une fraction commune négative ab ou le nombre zéro.
Ainsi, on peut retenir un certain nombre de propriétés des nombres rationnels :
- Tout nombre naturel est un nombre rationnel. Évidemment, tout nombre naturel n peut être représenté comme une fraction 1 n.
- Tout nombre entier, y compris le nombre 0, est un nombre rationnel. En effet, tout entier positif et tout entier négatif peuvent facilement être représentés respectivement comme une fraction ordinaire positive ou négative. Par exemple, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
- Toute fraction commune positive ou négative ab est un nombre rationnel. Cela découle directement de la définition donnée ci-dessus.
- Tout nombre fractionnaire est rationnel. En effet, un nombre fractionnaire peut être représenté comme une fraction impropre ordinaire.
- Toute fraction décimale finie ou périodique peut être représentée sous forme de fraction. Par conséquent, toute fraction périodique ou décimale finie est un nombre rationnel.
- Les nombres décimaux infinis et non périodiques ne sont pas des nombres rationnels. Ils ne peuvent pas être représentés sous forme de fractions ordinaires.
Donnons des exemples de nombres rationnels. Les nombres 5, 105, 358, 1100055 sont naturels, positifs et entiers. Ce sont évidemment des nombres rationnels. Les nombres - 2, - 358, - 936 sont des entiers négatifs et ils sont également rationnels selon la définition. Les fractions communes 3 5, 8 7, - 35 8 sont aussi des exemples de nombres rationnels.
La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée plus brièvement. Encore une fois, nous répondrons à la question : qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?
Définition 2. Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être représentés sous forme de fraction ± z n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.
On peut montrer que cette définition est équivalente à la définition précédente des nombres rationnels. Pour ce faire, rappelez-vous que la ligne de fraction est équivalente au signe de division. En tenant compte des règles et propriétés de division des entiers, on peut écrire les inégalités justes suivantes :
0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .
Ainsi, nous pouvons écrire :
z n = z n , p r et z > 0 0 , p r et z = 0 - z n , p r et z< 0
En fait, cet enregistrement est une preuve. Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur la deuxième définition. Considérez les nombres - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 et - 1 3 5. Tous ces nombres sont rationnels, puisqu'ils peuvent s'écrire sous forme de fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel : - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.
Donnons une autre forme équivalente pour la définition des nombres rationnels.
Définition 3. Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale périodique finie ou infinie.
Cette définition découle directement de la toute première définition de ce paragraphe.
Résumons et formulons une synthèse de ce point :
- Les fractions positives et négatives et les nombres entiers constituent l’ensemble des nombres rationnels.
- Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction ordinaire dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est un nombre naturel.
- Chaque nombre rationnel peut également être représenté comme une fraction décimale : finie ou infiniment périodique.
Quel nombre est rationnel ?
Comme nous l'avons déjà découvert, tout nombre naturel, entier, fraction ordinaire propre et impropre, fraction périodique et décimale finie sont des nombres rationnels. Fort de ces connaissances, vous pouvez facilement déterminer si un certain nombre est rationnel.
Cependant, dans la pratique, on n'a souvent pas affaire à des nombres, mais à des expressions numériques contenant des racines, des puissances et des logarithmes. Dans certains cas, la réponse à la question « le nombre est-il rationnel ? est loin d'être évident. Examinons les méthodes pour répondre à cette question.
Si un nombre est donné comme une expression contenant uniquement des nombres rationnels et des opérations arithmétiques entre eux, alors le résultat de l'expression est un nombre rationnel.
Par exemple, la valeur de l'expression 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) est un nombre rationnel et est égale à 18.
Ainsi, simplifier une expression numérique complexe permet de déterminer si le nombre qu'elle donne est rationnel.
Examinons maintenant le signe de la racine.
Il s'avère que le nombre m n donné comme racine de la puissance n du nombre m n'est rationnel que lorsque m est la nième puissance d'un nombre naturel.
Regardons un exemple. Le chiffre 2 n'est pas rationnel. Alors que 9, 81 sont des nombres rationnels. 9 et 81 sont respectivement des carrés parfaits des nombres 3 et 9. Les nombres 199, 28, 15 1 ne sont pas des nombres rationnels, puisque les nombres sous le signe racine ne sont des carrés parfaits d'aucun nombre naturel.
Prenons maintenant un cas plus complexe. 243 5 est-il un nombre rationnel ? Si vous élevez 3 à la puissance cinq, vous obtenez 243, donc l'expression originale peut être réécrite comme suit : 243 5 = 3 5 5 = 3. Ce nombre est donc rationnel. Prenons maintenant le nombre 121 5. Ce nombre est irrationnel, puisqu'il n'existe pas d'entier naturel dont l'élévation à la puissance cinquième donne 121.
Afin de savoir si le logarithme d'un nombre a en base b est un nombre rationnel, vous devez appliquer la méthode de la contradiction. Par exemple, voyons si le nombre log 2 5 est rationnel. Supposons que ce nombre soit rationnel. Si tel est le cas, alors cela peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire log 2 5 = m n. Selon les propriétés du logarithme et les propriétés du degré, les égalités suivantes sont vraies :
5 = 2 bûches 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m
Évidemment, la dernière égalité est impossible puisque les côtés gauche et droit contiennent respectivement des nombres impairs et pairs. Par conséquent, l’hypothèse formulée est incorrecte et log 2 5 n’est pas un nombre rationnel.
Il convient de noter que pour déterminer la rationalité et l'irrationalité des nombres, vous ne devez pas prendre de décisions soudaines. Par exemple, le résultat du produit de nombres irrationnels n’est pas toujours un nombre irrationnel. Un exemple illustratif : 2 · 2 = 2.
Il existe aussi des nombres irrationnels dont l'élévation à une puissance irrationnelle donne un nombre rationnel. Dans une puissance de la forme 2 log 2 3, la base et l'exposant sont des nombres irrationnels. Cependant, le nombre lui-même est rationnel : 2 log 2 3 = 3.
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Tâches pratiques pour la section 3
Le concept de prédicat et les opérations sur ceux-ci.
3.1. Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des prédicats :
UN) " X divisible par 5" ( X Î N);
b) "Rivière" X se jette dans le lac Baïkal" ( X traverse de nombreux noms de rivières de toutes sortes);
V)" x2 + 2X+ 4" ( XÎ R.) ;
G) "( X + à)2 = x2 + 2Xoui + oui 2" ( X, ouiÎ R.);
d) " X avoir un frère à» ( x, y il y a beaucoup de monde qui passe);
e)" X Et à» ( X, à parcourir l'ensemble de tous les étudiants d'un groupe donné);
et) " X Et à se trouvent sur les côtés opposés de z» ( X, à parcourir l'ensemble de tous les points, et z - toutes les lignes d'un même avion);
h) « ctg 45° = 1 » ;
Et) " X perpendiculaire à» ( X, à parcourir l'ensemble de toutes les lignes droites d'un plan).
3.2. Pour chacune des déclarations suivantes, trouvez un prédicat (simple ou pluriel) qui se transforme en une déclaration donnée en remplaçant les variables sujet par des valeurs appropriées des domaines correspondants :
a) « 3 + 4 = 7 » ;
b) « La Foi et l'Espérance sont sœurs » ;
c) « Aujourd'hui, c'est mardi » ;
d) « La ville de Saratov est située sur les rives de la Volga ;
e) « sin 30° = 1/2 » ;
f) « -grand poète russe » ;
g) « 32 + 42 = 52 ;
h) « La rivière Indigirka se jette dans le lac Baïkal » ;
Après avoir construit un tel prédicat, essayez soit d'indiquer avec précision son domaine de vérité, soit de le décrire d'une manière ou d'une autre.
Solution. i) Trois prédicats peuvent être spécifiés, chacun d'entre eux se transformant en un énoncé donné avec une substitution appropriée. Le premier prédicat est unaire :
"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48">. Il se transforme en cette instruction lors de la substitution. L'instruction résultante est vraie. La valeur spécifiée n’épuise pas l’ensemble de vérité du prédicat construit. Comme il est facile de l’établir, cet ensemble est le suivant : 
. Le deuxième prédicat est également unaire : "" (ouiÎ
R). Cela se transforme en cette déclaration en remplaçant y = 1. Il est clair que cette valeur épuise l'ensemble de vérité de ce prédicat..png" width="240" height="48">. Elle se transforme en cette déclaration lors de la substitution, à= 1. Son domaine de vérité est un ensemble de paires ordonnées, dont l'ensemble est représenté graphiquement comme une famille infinie de courbes appelées tangentsoïdes.
3.3. Lisez les affirmations suivantes et déterminez lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses, en supposant que toutes les variables parcourent l'ensemble des nombres réels :
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width="135" height="21 src=">
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width="136" height="21 src=">
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width="232" height="24 src=">
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width="204" height="24 src=">
je) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width="201" height="24 src=">
l) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" par rapport à la variable X, qui parcourt l'ensemble R. On dit que dans l'expression résultante la variable à est connecté, et la variable X gratuit. Au lieu d'une variable à nous ne pouvons plus rien substituer, alors qu'à la place X des nombres réels peuvent être substitués, à la suite de quoi le prédicat unaire se transformera en déclarations. Par exemple, la déclaration " 
» peut se lire ainsi : « Il y a un nombre réel à, tel que X)($y)( X+ à= 7)" est vrai. On peut le lire ainsi : « Pour tout nombre réel, il existe un nombre réel dont la somme avec le premier est 7. » Dans l'expression "(" X)($y)( X+ à= 7)” il n’y a plus de variables libres. Les deux variables X Et à se présentent sous les signes des quantificateurs et sont donc liés. L'expression elle-même n'est plus un prédicat, c'est un énoncé, vrai, comme nous l'avons établi. Cependant, si nous voulons développer le concept de prédicat, nous pouvons supposer qu'un énoncé est un prédicat à 0 place, c'est-à-dire un prédicat sans variables. Mais nous devons réaliser que la transition quantitative d'un prédicat à une place à un prédicat à une place conduit à un saut qualitatif, de sorte qu'un prédicat à une place est un objet qualitativement différent d'un prédicat à une place, bien que nous le subsumions conditionnellement. sous la notion de « prédicat ».
b) L'instruction « ($у)(" X)(X+ à= 7)" peut être lu comme suit : "Il existe un nombre réel qui, ajouté à n'importe quel nombre réel, donne 7." Il n’est pas difficile de voir que cette affirmation est fausse. En effet, considérons le prédicat unaire "(" X)(X+ à= 7)" par rapport à la variable oui, en appliquant le quantificateur existentiel auquel l'énoncé donné est obtenu. Il est clair que, quel que soit le nombre réel substitué à la variable sujet oui, Par exemple "(" X)(X+ 4 = 7)", le prédicat se transformera en une fausse déclaration. (La déclaration "(" X)(X+ 4 = 7)" est faux, puisque le prédicat unaire "( X+ 4 = 7)" se transforme en une fausse déclaration, par exemple, lors de la substitution d'une variable X numéro 5.) Par conséquent, la déclaration « ($y)(" X)(X+ à= 7)", résultant du prédicat unaire "(" X)(X+ à= 7)" en utilisant l'opération consistant à prendre le quantificateur d'existence par oui, FAUX.
i) Cet énoncé peut se lire comme suit : « Tout nombre réel est égal à lui-même si et seulement s'il est supérieur à 1 ou inférieur à 2. » Pour savoir si cette affirmation est vraie ou fausse, nous allons essayer de rechercher un tel nombre réel x0, ce qui transformerait le prédicat unaire
dans une fausse déclaration. Si nous parvenons à trouver un tel nombre, alors l'énoncé donné obtenu à partir de ce prédicat en « attachant » (c'est-à-dire en appliquant l'opération de prise) le quantificateur général est faux. Si nous arrivons à une contradiction, en supposant qu'elle soit x0 existe, alors la déclaration donnée est vraie.
Il est clair que le prédicat " x = x" se transforme en une déclaration vraie lorsqu'il est remplacé par X n’importe quel nombre réel, c’est-à-dire qu’il est identiquement vrai. La question est : est-il possible d'indiquer un nombre réel qui transformerait le prédicat" 
» dans une fausse déclaration ? Non, car quel que soit le nombre réel que l'on prend, il est soit supérieur à 1, soit inférieur à 2 (ou à la fois supérieur à 1 et inférieur à 2, ce qui n'est pas du tout interdit dans notre cas). Par conséquent, le prédicat " " est tout aussi vrai. Alors le prédicat sera identiquement vrai
Et cela signifie cette déclaration
par définition, l'opération de prise d'un quantificateur général est vraie.
3.4. Soient P (x) et Q (x) des prédicats unaires définis sur l'ensemble M, tels que l'instruction https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23 " height="23">faux.
3.5. Déterminer si l'un des prédicats définis sur l'ensemble des nombres réels est la conséquence d'un autre :
une) "| X |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;
b) « x4 = 16 », « x2 = - 2 » ;
c) « x - 1 > 0 », « (x - 2) (x + 5) = 0 » ;
d) « péché x = 3 », « x2 + 5 = 0 » ;
e) « x2 + 5x - 6 > 0 », « x + 1 = 1 + x » ;
e) « x2 £ 0 », « x = sin p » ;
g) « x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0 », « | x-2| = 1".
Solution. g) Le deuxième prédicat ne devient vrai qu'avec deux substitutions : x = 1 et x = 3. Il est facile de vérifier que ces substitutions transforment également le premier prédicat en un énoncé vrai (ce sont les racines de cette équation cubique) . Le premier prédicat est donc une conséquence du second.
3.6. Définir un ensemble M de valeurs de la variable sujet pour que sur cet ensemble le deuxième prédicat soit une conséquence du premier :
UN) " X multiple de 3", " X même";
b)" X 2 = 1", " X-1 = 0" ;
V)" X impair", " X- carré d'un nombre naturel" ;
G) " X- losange", " X- parallélogramme" ;
d) " X- parallélogramme", " X- losange" ;
e)" X- Scientifique russe", " X- mathématicien" ;
et) " X- carré", " X- parallélogramme."
Solution. g) Puisque chaque carré est un parallélogramme, l'ensemble de tous les quadrilatères peut être considéré comme l'ensemble sur lequel le deuxième prédicat est une conséquence du premier.
3.7. Montrer que la conjonction d'un prédicat identiquement vrai avec tout autre prédicat dépendant des mêmes variables est équivalente à ce dernier.
3.8. Montrer que l'implication de deux prédicats dépendant des mêmes variables avec une conséquence identiquement fausse équivaut à la négation de sa prémisse.
NOTES DANS LE LANGAGE DE L'ALGÈBRE DES PRÉDICAT
et Analyse du raisonnement utilisant l'algèbre des prédicats
Exemple 1. Que signifie la phrase « Les lignes a et b ne sont pas parallèles » ?
Pour révéler le sens de la formule Ø(a || b), nous devons trouver la négation de la formule $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b). Nous avons Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.
Mais la formule Ø$a(a Ì a & b Ì a), signifiant en russe « Il n'y a pas de plan contenant à la fois les lignes a et b », traduit la relation des lignes qui se croisent, et la formule a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, traduit en russe par la phrase « Les lignes a et b ont des points communs, mais ne coïncident pas », exprime la relation d'intersection des lignes.
Ainsi, les lignes non parallèles signifient leur intersection ou leur croisement. Exemple 2. Écrivez dans le langage de l’algèbre des prédicats les soi-disant « jugements catégoriques aristotéliciens » souvent utilisés dans le raisonnement : « Tout S essence R.", "Quelques S essence R.", "Aucun S ce n'est pas le but R.", "Quelques S ce n'est pas le but R.».
L'entrée est donnée dans le tableau. 1.1. La première colonne de ce tableau indique le type de jugement qui se pose lors de la classification des jugements catégoriels selon un critère complexe qui prend en compte la quantité (jugements généraux et particuliers), exprimé dans la formulation par les mots quantificateurs « tous », « certains », et qualité (jugements affirmatifs et négatifs), qui est véhiculée par les connecteurs « essence », « pas l'essence », « est ».
La deuxième colonne donne la formulation verbale standard des jugements en logique traditionnelle, et la cinquième - leur enregistrement dans le langage de l'algèbre des prédicats, tandis que S(x) doit être compris comme « x a la propriété S", UN P(x)- comme "x a la propriété R.».
La quatrième colonne montre la relation entre les volumes Vs et VP des concepts S Et R., si les jugements sont compris sous la forme la plus générale, lorsqu'ils fournissent des informations complètes uniquement sur le sujet. Par exemple, à partir du jugement « Tout S essence R."C'est clair qu'on parle de tout le monde S, la portée du prédicat n'est pas définie : parle-t-on de tous les objets qui ont la propriété P., ou seulement à propos de certains ; seulement si S essence P., ou d'autres objets sont également R.. Parfois cette incertitude quant à la portée du prédicat R.élimine le contexte, parfois cette élimination n'est pas nécessaire. Pour souligner le rapport entre le volume VP et le volume Vs, une formulation plus spécifique est utilisée : « Tous S et pas seulement S essence R." ou tout S et eux seuls sont l'essence R." La deuxième formulation s’appelle généraliser jugement affirmatif. Le premier jugement trouve sa réponse dans le diagramme de Venn illustré à la Fig. 1, a, deuxième - sur la Fig. 1, b. Cela dit, le jugement « Certains S essence R.» est généralement compris comme « Certains S et ils ne sont pas les seuls R.", ce qui correspond au schéma de la Fig. 2, a, mais cela peut aussi signifier « Certains S et eux seuls sont l'essence S"(Fig. 2, b). Le jugement « Tout S ce n'est pas le but R.", compris sous sa forme générale, correspond au schéma de la Fig. 3, une. Au même jugement sous la forme emphatique « Tout S et seulement ils ne le sont pas R." répond le schéma de la Fig. 3, b. Cette formulation correspond à la description de la relation entre notions contradictoires , c'est-à-dire ceux dont les volumes ne recoupent pas et n'épuisent pas le volume d'un concept générique plus général. Enfin, l'arrêt « Certains S ne pas manger R.» correspond en général au schéma de la Fig. 4, a, et sous forme de surlignage « Certains S et seulement ils ne le sont pas R." - schéma de la fig. 4, b. Tableau 3.1
Type de jugement | Enregistrement en logique traditionnelle des formulations verbales | Notation dans le langage de l'algèbre des prédicats | Relation entre les volumes Vs et VP |
Affirmatif général | Tous S essence P. |
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Affirmatif privé | Quelques S essence R. |
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Négatif général | Aucun S ce n'est pas le but R. |
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Partiellement négatif | Quelques S ce n'est pas le but R. |
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Fig. 1
Riz. 2
Figure 4Exemple 3. Analysez le raisonnement « Tous les hommes sont mortels ; Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel. La première prémisse de l'argument est une proposition généralement affirmative (voir exemple 2). Introduisons la notation suivante : H(x) : x - personne ; C (x) : x - mortel ; c - Socrate.
Structure de l'argumentation :
"x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)
Supposons que (3.1) ne soit pas valable. Alors dans un domaine Do, il doit exister un ensemble (a, li(x), lj(x)) pour (c, H(x), C(x)), sous lequel les conditions suivantes seront satisfaites :
"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.
Mais alors l’implication li(a) Þ lj (a) a la valeur A, ce qui signifie, par la définition du quantificateur général, « x(li(x) Þ lj (x)) = A, ce qui contredit la première condition Par conséquent, le corollaire 2.8 est correct, et le raisonnement original est correct.
Exemple 4. Analysez le raisonnement : « Toute équipe de hockey qui peut vaincre le CSKA est une équipe des ligues majeures. Aucune équipe des ligues majeures ne peut battre le CSKA. Cela signifie que le CSKA est invincible.
Notation O : P(x) : l'équipe x peut vaincre le CSKA ; B (x) : équipe x de la ligue majeure.
Structure de l'argumentation :
"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).
Nous déterminons si la conséquence résultante est correcte en utilisant la méthode des transformations équivalentes. En utilisant le corollaire b) de la généralisation de la proposition 1.10, nous transformons la formule « x(P(x) Þ B(x))& »x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x).
On a : "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $хП(х)) =
= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.
Dans ces formations équivalentes, la propriété de la conjonction A & ØA = А a été utilisée deux fois et la propriété de la disjonction A Ú A = A a été utilisée une fois.
Ainsi, la formule originale est généralement valable, ce qui signifie que le raisonnement est correct.
Exemple 5. Analysez le raisonnement : « Si une équipe pouvait battre le CSKA, alors une équipe des ligues majeures le pourrait aussi. Le Dynamo (Minsk) est une équipe des ligues majeures, mais ne peut pas battre le CSKA. Cela signifie que le CSKA est invincible.
Notation : P(x) : l'équipe x peut vaincre le CSKA ; B(x) : équipe x de la ligue majeure ; d - "Dynamo" (Minsk).
Structure de l'argumentation :
"X P( X) Þ $ X(DANS( X)&P( X)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)
Commentaire. Lors de la formalisation du raisonnement, il convient de garder à l'esprit qu'en langage naturel, afin d'éviter les répétitions fréquentes des mêmes mots ou phrases, des expressions synonymes sont largement utilisées. Il est clair que lors de la traduction, ils doivent être véhiculés par la même formule. Dans notre exemple, ces synonymes sont les prédicats « commande X peut battre le CSKA" et "l'équipe X peut battre le CSKA", et tous deux sont exprimés par la formule P( X).
L’implication de (3.2) est incorrecte. Pour le prouver, il suffit d'indiquer au moins une interprétation des formules exprimant les prémisses et la conclusion, dans laquelle les prémisses prendront la valeur I, et la conclusion - la valeur L. Une telle interprétation, par exemple, est la suivante : ré = (1, 2, 3, 4) . Dans cette interprétation on a, après calculs,
Je Þ Je, je &ØL ├ ØI, ou je, je ├ L.
Ainsi, dans cette interprétation, les deux prémisses ont la valeur I et la conclusion a la valeur L. Cela signifie que ce qui suit (3.2) est incorrect et que le raisonnement est incorrect.
3.9. Après avoir introduit des prédicats unaires appropriés sur les domaines correspondants, traduisez les énoncés suivants dans le langage de l'algèbre des prédicats :
a) Tous les nombres rationnels sont réels.
b) Aucun nombre rationnel n’est réel.
c) Certains nombres rationnels sont réels.
d) Certains nombres rationnels ne sont pas réels.
Solution. Introduisons les prédicats unaires suivants
Q(x) : « X- nombre rationnel";
R(x) : « X- nombre réel."
Ensuite, la traduction des déclarations ci-dessus dans le langage de l'algèbre des prédicats sera la suivante :
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width="144" height="21 src=">
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width="137" height="21 src=">
3.10. Introduisez des prédicats unaires sur les domaines correspondants et utilisez-les pour écrire les énoncés suivants sous la forme de formules d'algèbre des prédicats :
a) Tout nombre naturel divisible par 12 est divisible par 2, 4 et 6.
b) Les résidents de Suisse doivent parler soit le français, l'italien ou l'allemand.
c) Une fonction continue sur l'intervalle conserve son signe ou prend une valeur nulle.
d) Certains serpents sont venimeux.
e) Tous les chiens ont un bon odorat.
3.11. Dans les exemples suivants, faites la même chose que dans le problème précédent, sans forcément vous limiter aux prédicats unaires :
a) Si a est la racine d'un polynôme à une variable à coefficients réels, alors c'est aussi la racine de ce polynôme.
b) Entre deux points distincts sur une droite, il y a au moins un point qui ne coïncide pas avec eux.
c) Il n’existe qu’une seule droite passant par deux points différents.
d) Chaque étudiant a réalisé au moins un travail de laboratoire.
e) Si le produit d'entiers naturels est divisible par un nombre premier, alors au moins un des facteurs est divisible par celui-ci.
f) Un seul plan passe par trois points qui ne se trouvent pas sur la même droite.
g) Le plus grand diviseur commun des nombres un Et b est divisé par tout diviseur commun.
h) Pour tout nombre réel X il y a un tel àça pour tout le monde z, si le montant z et 1 de moins à, alors la somme X et 2 est inférieur à 4.
Et) X- Nombre premier.
j) Tout nombre pair supérieur à quatre est la somme de deux nombres premiers (conjecture de Goldbach).
3.12. Écrivez les énoncés suivants en langage algèbre des prédicats :
a) Il y en a exactement un X, tel que P(x).
b) Il existe au moins deux X, tel que P(x).
c) Il n'y en a pas plus de deux X, tel que P(x).
d) Il y a exactement deux différents X, tel que P(x).
3.13. Que peut-on dire de l'ensemble M si pour tout prédicat B(x) sur le plateau M, la déclaration est-elle vraie ?
3.14. Laisser P(x) moyens " X- Nombre premier", Ex) moyens " X- nombre pair", Oh) - « X- nombre impair", D ( X,oui) - « X divise à" ou " à divisé par X" Traduisez les notations symboliques suivantes en russe dans le langage de l'algèbre des prédicats, en tenant compte du fait que les variables X Et à parcourir l’ensemble des nombres naturels :
UN) P( 7) ;
b) E ( 2) & P( 2) ;
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width="136" height="21 src="> ;
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width="237" height="23 src="> ;
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width="248" height="23 src="> ;
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" width="108" height="23"> ├ ?
L'exactitude de ce qui suit peut également être vérifiée à l'aide de diagrammes de Venn, si les prémisses et les conclusions sont des prédicats uniques qui dépendent d'une variable. Pour les jugements catégoriques, qui sont les prémisses et les conclusions dans notre exemple, les relations entre les volumes de concepts S Et R. sont décrits dans l’exemple 2. Nous utiliserons cette description.
La méthode du diagramme de Venn pour le cas à prémisse unique est la suivante. Nous représentons par des schémas tous les cas possibles de relations entre les volumes de concepts S Et R., correspondant à la parcelle.
Si la conclusion s’avère vraie sur chacun des diagrammes résultants, alors ce qui suit est correct. Si la conclusion est fausse sur au moins un des diagrammes, alors ce qui suit est incorrect.
(a) Puisque la prémisse est une proposition négative, les diagrammes présentés sur la figure 1 sont possibles pour elle. 5.
Dans aucun de ces diagrammes, le jugement https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> n'est un jugement affirmatif particulier, alors les diagrammes possibles pour cela sont montré sur la figure 6.
10 - Logique mathématique i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; a) * xy ∨ xz ; j) (x | y) → (x | z) ; b) x ~ y ; k) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ; c) * xy ; m) (x ∨ y) x ∨ z ; d) xyz ; e) x (y ∨ z) → (xy ∨ z) ; n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; h) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. Obtenez SDNF puis accédez à SCNF : b) * (x → y) → (y → x) ; 18.* Soit une fonction f (énoncé complexe) à partir de trois arguments (énoncés élémentaires) x, y, z et f (x, y, z)= x. Construisez un SDNF pour cette fonction. 19. Obtenez SCNF puis accédez à SDNF : d) * (x | y) xy ; 20. Obtenez MDNF pour les formules : a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y ; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; e) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz ; g) * (x → y) → z ∨ x ; h) * xy ∨ xy ∨ xz ; 22.* À partir des contacts x, y, z, construisez un circuit de manière à ce qu'il se ferme si et seulement si deux des trois contacts x, y, z sont fermés. 24.* Simplifiez les diagrammes des figures 1, a et b. a) b) Fig. 1 - 11 - Logique mathématique 25.* Écrire dans le langage des prédicats : a) tous les élèves étudient ; b) certains étudiants sont d'excellents étudiants ; c) pour n'importe quel nombre, vous pouvez trouver un nombre plus grand ; d) x + y = z ; e) chaque objet a la propriété A ; f) quelque chose a la propriété A ; g) tout objet ne possède pas la propriété A ; h) quelque chose n'a pas la propriété A ; i) tout nombre rationnel est un nombre réel ; j) certains nombres réels sont rationnels ; k) aucun nombre rationnel n'est réel ; m) certains nombres rationnels ne sont pas réels. 26.* Essayez d'expliquer pourquoi l'implication a été utilisée dans les exercices 25a et 25i, et la conjonction a été utilisée dans les exercices 25b et 25k. 27.* Écrivez dans le langage des prédicats : a) il est interdit aux enfants de moins de 16 ans (D(x)) et aux robots (R(x)) d'entrer (B(x)) ; b) tous les enfants de moins de 16 ans (D(x)) et les robots (R(x)) doivent obtenir des certificats (C(x)). 28.* Écrivez dans le langage des prédicats : a) tout N divisible par 12 est divisible par 2, 4 et 6 ; b) chaque étudiant a effectué au moins un travail de laboratoire ; c) une seule droite passe par deux points différents. 29. Écrivez dans le langage des prédicats : e)* chaque élève (C(x)) - athlète (S(x)) a une idole (y) (B(x,y)) parmi les artistes de cinéma (K(y) ) ; e)* si certains grands ordinateurs (B(x)) sont connectés (C(x,y)) à un autre grand ordinateur (B(y)), alors cela signifie qu'il n'y a pas de mini-ordinateurs (M(x)) qui ont des moyens d'interface (S(x)) ; trente. * Dans quelles conditions : a) ∀x P (x) ≡ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ≡ O, une ∀x P(x) ≡ 1 ; 33.* Il s'agit d'un exemple désormais classique illustrant les difficultés supplémentaires liées à la négation : la phrase « L'actuel roi de France est chauve » est connue pour être fausse. Comment écrire ceci dans un langage de prédicat. SOLUTIONS ET RÉPONSES. - 12 - Logique mathématique 1a. Choisissons des énoncés élémentaires de manière formelle : A – l’élève est un excellent élève ; B – l'étudiant est engagé dans le travail social ; C – l'élève a des déficiences ; D – l'étudiant reçoit une bourse. Alors la forme symbolique de l’énoncé complexe sera A ⋅B⋅C → D . 1b. Une notation symbolique peut ressembler à : P⋅Z → S⋅P → P.() 3. En logique propositionnelle, des affirmations telles que « Ce n'est pas vrai que Petya est allé à l'université » doivent être considérées comme correctes, car les affirmations ne sont pas divisibles. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A & B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC ou la même chose, mais sous une forme plus simple AB ∨ AC ∨ BC. 11b. UN B ∨ BC ∨ AC. 13h. xyz. 13ème siècle La formule est déjà en DNF. Pourquoi? 14a. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14b. La formule est déjà dans le KNF. Pourquoi? 15h. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15j. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16h. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ z ∨ y y)( y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16e siècle (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF est absent, car c'est une tautologie. - 13 - Logique mathématique 17b. C’est une tautologie, donc il n’y a pas de SKNF pour cela. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 C’est une contradiction, c’est pourquoi il n’existe pas de SKNF pour cela. 20h. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕ y) ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z) (xy ∨ x y ∨ z) ∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x y z ∨ x yz ∨ xy z - sdnf x ∨ y z ∨ yz - SKDNF et MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz)∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x ∨ y z ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20ième siècle xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 Un BCD ∨ Un BCD ∨ ABCD ∨ Un BCD ∨ ABCD ∨ Un BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ Un BCD ∨ Un BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20j. A∨C∨ D. 20e. x∨z. 20g. x∨z. 20z. xy ∨ x y ∨ xz ou xy ∨ x y ∨ yz. 21e siècle xy ∨xz. 21 1. 22. Voir fig. 2. - 14 - Logique mathématique Fig. 2 23a. Voir fig. 3. a) b) Fig. 3 23. Les diagrammes simplifiés ressembleront à ceux présentés à la Fig. 4. a) b) Fig. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)), où C(x) est « x est un étudiant », et Y(x) est « x est un étudiant ». 25b. ∃x (C(x) & O(x)) . 25ème siècle Écrivons le prédicat à deux places sous la forme d'une relation ordinaire : ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.
Problème 2.1
Exprimez les déclarations symboliques énumérées ci-dessous en mots si P(x) est un prédicat unaire défini sur l'ensemble M :
Problème 2.2
Qu'arrive-t-il à l'extension du prédicat A(x), qui est défini comme l'inégalité x*x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:
Problème 2.3
Soit R(x) - "x est un nombre réel",
Q(x) - "x est un nombre rationnel." A l'aide de ces symboles, écrivez la formule :
1. tous les nombres rationnels sont réels
2. aucun nombre rationnel n'est réel
3. certains nombres rationnels sont réels
4. Certains nombres rationnels ne sont pas réels
Problème 2.4
Les prédicats suivants ont été introduits :
J(x)- "x est le juge",
L(x)- "x est avocat",
S(x)- "x est un escroc",
Q(x)- "x est un vieil homme",
V(x)- "x - joyeux",
P(x)- "x est un homme politique",
C(x)- "x est député",
W(x)- "x est une femme",
U(x)- "x est une femme au foyer",
A(x, y) - "x admire y",
j-Jones.
Trouver une correspondance entre la description verbale et les formules :
Tous les juges sont des avocats
Certains avocats sont des escrocs
Aucun juge n'est un escroc
Certains juges sont vieux, mais vigoureux
Le juge Jones n'est ni vieux ni en bonne santé
Tous les avocats ne sont pas juges
Certains avocats politiques, parlementaires
Aucun député n'est joyeux
Tous les anciens députés sont avocats
Certaines femmes sont à la fois avocates et députées
Aucune femme n’est à la fois femme politique et femme au foyer
Certaines avocates sont également des femmes au foyer
Toutes les femmes avocates admirent un juge
Certains avocats n'admirent que les juges
Certains avocats admirent les femmes
Certains escrocs n'admirent aucun avocat
Le juge Jones n'admire aucun escroc
Il y a des avocats et des escrocs qui admirent le juge Jones
Seuls les juges admirent les juges
un. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))
b. "x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))
c. "x (C(x) ® ù "(x))
d. "x (C(x)/\Q(x) ®L(x))
e. $x (W(x)/\L(x)/\C(x))
F. $x (W(x)/\L(x)/\U(x))
g. "x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))
h. "x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))
j. "x (J(x) ®L(x))
k. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
l. $x (L(x)/\S(x))
m. $x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))
n. "x (J(x) ® ù S(x))
o. "x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))
p. $x (J(x)/\Q(x)/\"(x))
q. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
r. J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)
s. ù "x (L(x) ®J(x))
t. $x (L(x)/\P(x)/\C(x))
Problème 2.5
Traduisez les phrases suivantes en langage de formule :
Si chaque nombre est divisible par chaque nombre, alors il est pair
pour tout nombre réel x, il existe un y tel que pour tout k, si la somme de k et 1 est inférieure à y, alors la somme de x et 2 est inférieure à 4
il existe un nombre pair qui est divisible par n'importe quel nombre si ce nombre est premier
Le plus grand diviseur commun des nombres a et b est divisible par chacun de leurs diviseurs communs
pour qu'un nombre soit premier, il ne doit pas être divisible par un nombre impair
pour chaque nombre réel, il existe un nombre réel plus grand
Il existe des nombres réels x, y, k tels que la somme de x et y est supérieure au produit de x et k.
si le produit d'un nombre fini de facteurs est 0, alors au moins un des facteurs est 0
Problème 2.6
Les prédicats suivants ont été introduits :
P(x) - "x est un nombre premier"
E(x) - "x est un nombre pair"
O(x) - "x est un nombre impair"
D(x, y) - "y est divisé par x"
Traduisez les formules en russe :
3. "x (D(2, x) ®E(x))
4. $x (E(x)/\D(x, 6))
5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))
6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))
7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))
8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))
Problème 2.7
Démontrer les équivalences suivantes :
1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))
2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))
Problème 2.8
Démontrez les tautologies suivantes :
1. = "x A(x)® $x A(x)
2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)
3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)
Problème 2.9
Obtenez les expressions de prédicat sous la forme normale correcte :
1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))
2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))
Problème 2.10
Réduisez l’expression à la forme normale conjonctive :
"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\
/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))
Problème 2.11
Construisez des tables de vérité pour les formules suivantes (les prédicats sont définis sur un ensemble de deux éléments) :
1. "x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))
2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)
3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))
4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)
5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)
6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))
7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)
Problème 2.12
Étant donné : D=(a, b), P(a, a)=and, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=and Déterminer les valeurs de vérité des formules :
1. "x $y P(x, y)
2. $x "y P(x, y)
3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))
4. "x "y P(x, y)
5. $y ù P(a, y)
7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))
8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)
Problème 2.13
Vérifiez la cohérence du raisonnement suivant :
Chaque élève est honnête. John n'est pas honnête. John n'est donc pas étudiant.
Saint François est aimé de tous ceux qui aiment quelqu'un. Tout le monde aime quelqu'un. C’est pourquoi tout le monde aime saint François.
Aucun animal n'est immortel. Les chats sont des animaux. Cela signifie que certains chats ne sont pas immortels.
Seuls les oiseaux ont des plumes. Aucun mammifère n'est un oiseau. Cela signifie que tous les mammifères manquent de plumes.
Tous les politiques sont des acteurs. Certains acteurs sont hypocrites. Cela signifie que certains politiciens sont hypocrites.
Un imbécile en serait capable. Je n'en suis pas capable. Donc je ne suis pas stupide.
Si quelqu’un peut résoudre ce problème, n’importe quel mathématicien le peut aussi. Sasha est mathématicien, mais il ne le peut pas. Cela signifie que le problème ne peut pas être résolu.
N’importe quel mathématicien peut résoudre ce problème si quelqu’un peut le résoudre. Sasha est mathématicien, mais il ne peut pas le résoudre. Cela signifie que le problème est insoluble.
Quiconque peut résoudre ce problème est un mathématicien. Sasha ne peut pas le résoudre. Par conséquent, Sasha n’est pas mathématicienne.
Quiconque peut résoudre ce problème est un mathématicien. Aucun mathématicien ne peut résoudre ce problème. C’est donc indécis.
Si un nombre compris strictement entre 1 et 101 divise 101, alors aucun nombre premier inférieur à 11 ne divise 101. Aucun nombre premier inférieur à 11 ne divise 101. Par conséquent, aucun nombre compris entre 1 et 101 ne divise 101.
Si chaque ancêtre d’un ancêtre d’un individu donné est également l’ancêtre du même individu, et qu’aucun individu n’est l’ancêtre de lui-même, alors il doit y avoir quelqu’un qui n’a pas d’ancêtres.
Pour chaque personne, il y a une personne qui est plus âgée que lui. Si x est un descendant de y, alors x n’est pas plus ancien que y. Tous les hommes sont les descendants d’Adam. Adam n’est donc pas un homme.
Pour tout ensemble x, il existe un ensemble y tel que la cardinalité de y est supérieure à la cardinalité de x. Si x est inclus dans y, alors la puissance de x n’est pas supérieure à la puissance de y. Chaque ensemble est inclus dans V. Par conséquent, V n’est pas un ensemble.
Tous les reptiles ont 4 pattes, voire pas de pattes du tout. La grenouille a 4 pattes. C'est donc un reptile.
Chaque étudiant qui réussit l'examen à temps reçoit une bourse. Petrov ne reçoit pas de bourse. Il n’est donc pas étudiant.
Tous les oiseaux pondent des œufs. Aucun crocodile n'est un oiseau. Par conséquent, les crocodiles ne pondent pas d’œufs.
L'enseignant est satisfait si tous ses élèves réussissent l'examen du premier coup. Personne ne peut réussir la logique du premier coup. Par conséquent, le professeur de logique est toujours insatisfait.
Chaque étudiant de cinquième année reçoit un diplôme s'il réussit tous les examens. Tout le monde n’a pas reçu de diplôme. Cela signifie que quelqu'un n'a pas réussi tous les examens.
Personne n’aime les insectes. Les araignées ne sont pas des insectes. Cela signifie que quelqu'un les aime.
Tous les professeurs d'art sont des hommes. Tous les cours des classes inférieures sont dispensés par des femmes. Le dessin n’est donc pas enseigné dans les classes inférieures.
Toute personne diplômée de l’école peut parler anglais. Personne dans la famille de Mueller ne parle anglais. Les personnes sans éducation secondaire ne sont pas acceptées dans l'institut. Par conséquent, aucun des Müller n’étudie à l’institut.
Toutes les stations-service sont rentables. Tous les points de collecte de vaisselle ne sont pas rentables. Une entreprise ne peut pas être à la fois rentable et non rentable. Par conséquent, aucune station-service n’accepte les bouteilles.
Toute personne saine d’esprit peut comprendre les mathématiques. Aucun des fils de Tom ne comprend les mathématiques. Les fous n’ont pas le droit de voter. Par conséquent, aucun des fils de Tom n'est autorisé à voter.
Chaque barbier de N rase tous ceux et seulement ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Par conséquent, il n’y a pas un seul coiffeur à N.
Chaque athlète est fort. Quiconque est fort et intelligent réussit dans la vie. Peter est un athlète. Pierre est intelligent. Par conséquent, il réussira dans la vie.
Problème 2.14
Restituez les prémisses ou la conclusion manquantes afin que le raisonnement suivant soit logique :
Seuls les courageux sont dignes d’amour. Il a de la chance en amour. Il n'est pas courageux.
Les adultes n'étaient autorisés à entrer qu'avec des enfants. Ils m'ont laissé entrer. Donc, soit je suis un enfant, soit je suis venu avec un enfant.
Problème 2.15
Les affirmations suivantes sont vraies :
la connaissance de la structure des données est nécessaire pour améliorer la discipline mentale ;
seule une expérience en programmation peut créer un esprit discipliné ;
pour écrire un compilateur, vous devez être capable d’analyser les problèmes ;
un esprit indiscipliné ne peut pas analyser les problèmes ;
Toute personne ayant écrit des programmes structurés peut être considérée comme un programmeur expérimenté.
Est-il possible de déterminer à partir de ces hypothèses la validité des affirmations suivantes :
6. une expérience en écriture de programmes structurés est nécessaire pour pouvoir écrire un compilateur ;
7. la connaissance des structures de données fait partie de l'expérience de programmation ;
8. L'analyse des tâches n'est pas possible pour ceux qui ignorent les structures de données ;
9. Un programmeur expérimenté qui a écrit des programmes structurés, est capable d’analyser les problèmes et possède un esprit discipliné est un programmeur capable d’écrire un compilateur.
Problème 2.16
Écrivez les prémisses sous forme de formules et appliquez toutes les méthodes connues pour prouver l'exactitude des conclusions.
Prémisse : 1. le dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler ;
2. Le dragon vert peut voler ;
3. un dragon est vert si au moins un de ses parents est vert, sinon il est rose vif.
Conclusions : 1. Les dragons verts sont heureux.
2. Les dragons sans enfants sont heureux (vous aurez peut-être besoin de prémisses évidentes ici).
3. Que doit faire un dragon rose vif pour être heureux ?
Problème 2.17
Utiliser des symboles introduits pour les prédicats et les signes arithmétiques (par exemple, "+" et "<"), перевести на язык формул:
1. Si le produit d'un nombre fini de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul (Px signifie « x est le produit d'un nombre fini de facteurs », et Fxy signifie « x est l'un des facteurs de y »).
2. Le plus grand diviseur commun des nombres a et b est divisé par chacun de leurs diviseurs communs (Fxy signifie « x est l'un des diviseurs du nombre y », et Gxyz - « z est le plus grand diviseur commun des nombres x Andy").
3. Pour chaque nombre réel x, il existe un nombre réel y(Rx) plus grand.
4. Il existe des nombres réels x, y, z tels que la somme des nombres x et y est supérieure au produit des nombres x et z.
5. Pour tout nombre réel x, il existe un y tel que pour tout z, si la somme de z et 1 est inférieure à y, alors la somme de x et 2 est inférieure à 4.
Problème 2.18
Soit A0, A1, ..., An, ... une suite de nombres réels. À l’aide de quantificateurs limités, traduisez sous forme symbolique :
1. L'énoncé selon lequel a est la limite de cette séquence ; 2. L'affirmation selon laquelle cette séquence a une limite ; 3. L'affirmation selon laquelle cette séquence est une séquence de Cauchy (c'est-à-dire que si on lui donne e>0, alors il existe un nombre positif k tel que n, m>k implique úAn - Amú< e).
Écrivez la négation de chacune des formules.
Problème 2.19
Tirer des conclusions correspondant au raisonnement suivant :
Aucun républicain ou démocrate n’est socialiste. Norman Thomas est socialiste. Il n’est donc pas républicain.
Tout nombre rationnel est un nombre réel. Il existe un nombre rationnel. Il existe donc un nombre réel.
Aucun étudiant de première année n’aime les étudiants de deuxième année. Tous ceux qui vivent à Dascombe sont des étudiants en deuxième année. Par conséquent, aucun étudiant de première année n’aime les gens vivant à Duscombe.
Certains étudiants de première année aiment tous les étudiants de deuxième année. Pas un seul étudiant de première année n’aime les étudiants d’avant-dernière année. Par conséquent, pas un seul étudiant de deuxième année n’est un étudiant d’avant-dernière année.
Certaines personnes aiment Elvis. Certaines personnes n'aiment pas ceux qui aiment Elvis. Par conséquent, certaines personnes ne sont pas aimées de tout le monde.
Aucun trafiquant de drogue n’est toxicomane. Certains toxicomanes ont été traduits en justice. Par conséquent, certaines des personnes poursuivies ne sont pas des trafiquants de drogue.
Tous les étudiants de première année rencontrent tous les étudiants de deuxième année. Pas un seul étudiant de première année ne sort avec un seul étudiant de l’avant-dernière année. Il y a des étudiants de deuxième année. Par conséquent, pas un seul étudiant de deuxième année n’est un étudiant d’avant-dernière année.
Tous les nombres rationnels sont des nombres réels. Certains nombres rationnels sont des entiers. Certains nombres réels sont donc des entiers.
16. Laquelle des phrases suivantes est une affirmation :
a) le fer est plus lourd que le plomb ;
b) le porridge est un plat savoureux ;
c) les mathématiques sont une matière intéressante ;
d) le temps est mauvais aujourd'hui.
17. Laquelle des phrases suivantes est une fausse déclaration :
a) le fer est plus lourd que le plomb ;
b) oxygène – gaz ;
c) l'informatique est une matière intéressante ;
d) le fer est plus léger que le plomb.
18. Laquelle des affirmations suivantes est la négation de l'affirmation : « Tous les nombres premiers sont impairs » :
a) « Il existe un nombre premier pair » ;
b) « Il existe un nombre premier impair » ;
c) « Tous les nombres premiers sont pairs » ;
d) « Tous les nombres impairs sont premiers » ?
19. Quelle opération logique correspond à la table de vérité suivante :
a) les conjonctions ;
b) les disjonctions ;
c) conséquences ;
d) équivalence.
20. Quelle opération logique correspond à la table de vérité suivante :
a) l'équivalence ;
b) les conjonctions ;
c) conséquences ;
d) disjonctions.
21. Soit A désignant l’énoncé « Ce triangle est isocèle » et soit
B – la déclaration « Ce triangle est équilatéral. » Indiquez la déclaration vraie :
22. S'il existe un ensemble d'énoncés A 1, A 2, … A n qui transforme la formule d'algèbre propositionnelle F(X 1, X 2, …, X n) en un énoncé vrai, alors cette formule s'appelle :
a) faisable ;
b) tautologie ;
c) contradictions ;
d) réfutable.
23. Une tautologie est la formule d'algèbre propositionnelle suivante F(X 1, X 2, …, X n) :
a) qui se transforme en une déclaration vraie pour tous les ensembles de variables ;
b) pour lequel il existe un ensemble d'énoncés qui transforment la formule en un énoncé vrai ;
c) qui se transforme en une fausse déclaration pour tous les ensembles de variables ;
d) pour lequel il existe un ensemble d'énoncés qui transforment la formule en un énoncé faux.
24. Laquelle des formules est réfutable :
25. Laquelle des formules est réalisable :
26. Quel énoncé correspond à l'énoncé : « Pour tout nombre il existe un nombre tel que » :
27. Quelle affirmation correspond à l'affirmation :
a) « Il y a des nombres tels que ;
b) « L'égalité est juste pour tous ;
c) « Il existe un nombre tel que pour tous les nombres » ;
d) « Pour tout nombre, il existe un nombre tel que . »
28. Laquelle des affirmations suivantes est fausse :
29. Précisez l'ensemble de vérité du prédicat « X multiple de 3", défini sur l'ensemble M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) :
une) TP=(3, 6, 9);
c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ;
d) TP=(3, 6, 9, 12).
30. Précisez l'ensemble de vérité du prédicat « X multiple de 3", défini sur l'ensemble M=(3, 6, 9, 12) :
une) TP=(3, 6, 9, 12) ; b) TP=(3, 6, 9) ;
c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ; d) TP=Æ.
31. Précisez l'ensemble de vérité du prédicat « x2 +x+6=0", défini sur l'ensemble des nombres réels :
a) TP=Æ; b) TP=(1, 6) ; c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).
32. Spécifiez l'ensemble de vérité du prédicat :
33. Spécifiez l'ensemble de vérité du prédicat :
38. Introduisons les prédicats unaires suivants :
Q(x): « X- nombre rationnel";
R(x): « X- nombre réel."
Alors le prédicat peut être considéré comme une traduction dans le langage de l'algèbre des prédicats de l'énoncé suivant :
a) certains nombres rationnels sont réels ;
b) certains nombres rationnels ne sont pas réels ;
c) aucun nombre rationnel n'est réel ;
d) tous les nombres rationnels sont réels.
