Ce sont des objets mathématiques abstraits qui ont la propriété autosimilarité. C'est-à-dire que les parties de la fractale sont similaires à la fractale elle-même, et les parties de ces parties sont similaires aux parties, etc. Ceci est clairement visible dans cette animation. En augmentant le zoom, nous voyons à nouveau des structures similaires.

Cependant, la question se pose - Dans quelle mesure les modèles mathématiques fractals sont-ils universels lorsqu’ils sont appliqués au monde réel ? Dans certains cas, ils sont applicables. Par exemple, en décrivant des côtes maritimes très découpées, en agrandissant à plusieurs reprises les images de ces côtes obtenues depuis l'espace, nous obtiendrons des structures plus petites semblables aux grandes. Mais, Le monde dans son ensemble est-il fractal ? Autrement dit, en approfondissant le micromonde et en examinant les échelles de plus en plus grandes du mégamonde, verrons-nous des structures similaires ? Bien sûr, ce serait plus simple ainsi : il n'est pas nécessaire de découvrir ou d'inventer quelque chose de nouveau, tout est construit de la même manière : les planètes tournent autour des étoiles, les satellites tournent autour des planètes, les électrons tournent autour des noyaux. En continuant plus loin, nous pouvons supposer que les électrons, les protons et les neutrons sont également des systèmes dans lesquels il existe un corps central et des corps plus petits tournant autour de lui.

Cependant, ce serait très ennuyeux- voir la même chose partout. Aucune nouveauté fondamentale... Il est peu probable que la Nature soit si ennuyeuse et monotone ! Toute notre expérience suggère qu'il existe non seulement des similitudes, mais aussi des différences même entre les objets les plus apparentés (par exemple, entre cristaux d'une même druse, entre flocons de neige, entre personnes jumelles, etc.). Bien sûr, dans la Nature, il y a lois universelles, à la découverte duquel s'efforce l'esprit connaissant (c'est son objectif principal et le plus grand ; il se fixe directement philosophie, comme le summum de l’activité cognitive humaine). Il y a donc quelque chose de commun et de similaire à tous les niveaux de l’organisation de la matière : des particules élémentaires au psychisme, en passant par la conscience et la société. Cependant, formes de manifestation lois universelles sur différents niveaux l'organisation de la matière et ses différentes parties sont différentes. C'est pourquoi nous regardons différent structures dans différentes parties du monde et à ses différents niveaux, bien que soumises aux mêmes lois (qui sont loin d'être entièrement découvertes par nous).

Je suggère d'en discuter sujet le plus intéressant, d'autant plus qu'il a déjà été évoqué par notre respecté Solaris dans sa série d'histoires de science-fiction "L'univers d'Inga Auleng" . L'auteur y exprime l'idée que l'Univers est comme une cellule d'un organisme multicellulaire et que les autres univers sont d'autres cellules de cet organisme. Une autre idée de Solaris est qu’un seul proton est comme l’Univers entier. Tout cela n'est rien d'autre que idées sur la fractalité du monde.

La vidéo que j’évoquais plus haut (avec une musique bien choisie !) évoque un sentiment intéressant de pénétration dans les profondeurs de la « matière », de sa propre réduction par la même occasion. Comme le disait l’éminent physicien Richard Feynman en 1959, anticipant le développement de la nanotechnologie : « il y a beaucoup d'espace là-bas" Et vous le ressentez physiquement lorsque vous regardez cette vidéo.
Mais surtout, ça fait réfléchir questions fondamentales sur la connexion entre les macro-, micro- et méga-mondes. Que se passe-t-il si nous rétrécissons soudainement de façon spectaculaire ? Le macromonde auquel nous sommes habitués, avec ses problèmes et ses absurdités, s'éloigne quelque part, dans la région du mégamonde. Et en même temps, ses processus, ses dimensions, ses temps et ses énergies perdent leur sens pour nous. C’est comme s’ils n’étaient plus là pour nous. Dans ce nouveau microcosme où nous « bougeons », nos propres échelles d’espace, de temps et d’énergie apparaissent. Notre vie dans ce monde ne sera qu'un instant pour les créatures restant dans notre ancien macromonde, notre taille sera au-delà des limites de visibilité pour elles, même dans les microscopes les plus puissants, et nos énergies seront... (lesquelles ? plus ? moins?). Par conséquent, pour ce monde, nous et lui serons des mystères à peine perceptibles pour nous, ayant une influence infime l'un sur l'autre.
Ou peut-être que c'est l'inverse ? Et les micro-, macro- et méga-mondes sont d'une manière ou d'une autre étroitement liés les uns aux autres et s'influencent mutuellement de manière significative, malgré la différence radicale d'échelle ? Au moins à travers ces mêmes lois universelles dont j'ai parlé plus haut.
Cette vidéo intéressante fait réfléchir à tout cela.

ÉTABLISSEMENT D'ENSEIGNEMENT BUDGÉTAIRE MUNICIPAL ÉCOLE SECONDAIRE

Avec. Mechetnoye

Conférence scientifique et pratique « Le monde merveilleux des mathématiques »

Recherche"Voyage dans le monde des fractales"

Complété par : élève de 10e année

Allahverdieva Nailya

Responsable : Davydova E.V.

1. 
   Introduction.
2. 
   Partie principale:

a) La notion de fractale ;

b) Histoire de la création des fractales ;

c) Classification des fractales ;

d) Application des fractales ;

e) Fractales dans la nature ;

f) Couleurs des fractales.

3. Conclusion.

Introduction.

Que se cache-t-il derrière le mystérieux concept de « fractale » ? Pour beaucoup, ce terme est probablement associé à de belles images, des motifs complexes et images lumineuses créé à l’aide d’infographie. Mais les fractales ne sont pas que de jolies images. Ce sont des structures spéciales qui sous-tendent tout ce qui nous entoure. Faire irruption monde scientifique il y a quelques décennies à peine, les fractales ont réussi à produire une véritable révolution dans la perception de la réalité environnante. À l'aide de fractales, une personne peut créer des modèles mathématiques très précis d'objets, de systèmes, de processus et de phénomènes naturels.

Partie principale
Le concept de fractale.

Fractale(de lat. fracturé- écrasé, cassé, brisé) est une figure géométrique complexe qui a la propriété d'auto-similarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties dont chacune est similaire à la figure entière. De nombreux objets dans la nature ont des propriétés fractales, par exemple les côtes, les nuages, les cimes des arbres, le système circulatoire et le système alvéolaire des humains ou des animaux.

Les fractales, en particulier dans un avion, sont populaires en raison de la combinaison de la beauté et de la facilité de construction à l'aide d'un ordinateur.

Histoire de la création.
Amener la science des fractales à nouveau niveau succède le mathématicien français Benoît Mandelbrot, un scientifique aujourd'hui reconnu comme le père de la géométrie fractale. Mandelbrot a été le premier à définir le terme « fractale » :

Citation

"Une fractale est une structure composée de parties qui sont en quelque sorte similaires au tout"
Dans les années 70, Benoit Mandelbrot travaillait comme analyste mathématique chez IBM. Le scientifique a d’abord pensé aux fractales en étudiant le bruit dans les réseaux électroniques. À première vue, les interférences lors de la transmission des données se sont produites de manière absolument chaotique. Mandelbrot a tracé l'apparition des erreurs et a été surpris de constater que, quelle que soit l'échelle de temps, tous les fragments se ressemblaient. A l'échelle d'une semaine, les bruits apparaissaient dans le même ordre qu'à l'échelle d'un jour, d'une heure ou d'une minute. Mandelbrot s'est rendu compte que la fréquence des erreurs dans la transmission des données se répartit dans le temps selon le principe énoncé par Cantor à la fin du XIXe siècle. Puis Benoit Mandelbrot s'est sérieusement intéressé à l'étude des fractales.
Contrairement à ses prédécesseurs, pour créer des fractales, Mandelbrot n'a pas utilisé de constructions géométriques, mais des transformations algébriques de complexité variable. Le mathématicien a utilisé la méthode d’itération inverse, qui consiste à calculer plusieurs fois la même fonction. En utilisant les capacités d'un ordinateur, le mathématicien a effectué un grand nombre de calculs séquentiels, dont il a affiché graphiquement les résultats sur un plan complexe. C'est ainsi qu'est apparu l'ensemble de Mandelbrot - une fractale algébrique complexe, aujourd'hui considérée comme un classique de la science des fractales. Dans certains cas, un même objet peut être considéré à la fois lisse et fractal. Pour expliquer pourquoi cela se produit, Mandelbrot donne un exemple visuel intéressant. Une pelote de fils de laine, retirée à une certaine distance, ressemble à un point de dimension 1. Une pelote située à proximité ressemble à un disque bidimensionnel. En le prenant dans vos mains, vous pouvez clairement sentir le volume de la balle - elle est désormais perçue comme tridimensionnelle. Une boule de fractale ne peut être considérée que du point de vue d'un observateur utilisant un appareil grossissant, ou d'une mouche se posant sur la surface d'un fil de laine irrégulier. La véritable fractalité d’un objet dépend donc du point de vue de l’observateur et de la résolution de l’appareil utilisé.
Mandelbrot a noté un modèle intéressant : plus vous regardez de près l'objet mesuré, plus sa bordure sera étendue. Cette propriété peut être clairement démontrée en mesurant la longueur de l'une des fractales naturelles : le littoral. En prenant des mesures sur une carte géographique, vous pouvez obtenir une longueur approximative, puisque toutes les irrégularités et courbures ne seront pas prises en compte. Si la mesure est effectuée en tenant compte de toutes les irrégularités du relief visibles à hauteur d'homme, le résultat sera quelque peu différent - la longueur du littoral augmentera considérablement. Et si l'on imagine théoriquement que l'appareil de mesure contournera les irrégularités de chaque caillou, alors dans ce cas la longueur du littoral sera quasiment infinie.
Classification des fractales.

Les fractales sont divisées en :

géométrique : les fractales de cette classe sont les plus visuelles, l'autosimilarité y est immédiatement visible. L'histoire des fractales a commencé précisément avec les fractales géométriques, étudiées par les mathématiciens au XIXe siècle.

algébrique : ce groupe de fractales a reçu ce nom parce que les fractales sont formées à l'aide de formules algébriques simples.

stochastique : formé en cas de changement aléatoire dans le processus itératif des paramètres fractals. Les fractales stochastiques bidimensionnelles sont utilisées dans la modélisation du terrain et des surfaces marines.

Fractales géométriques

C’est ici que commence l’histoire des fractales. Ce type de fractale est obtenu grâce à des constructions géométriques simples. Habituellement, lors de la construction de ces fractales, ils font ceci : ils prennent une « graine » - un axiome - un ensemble de segments sur la base desquels la fractale sera construite. Ensuite, un ensemble de règles est appliqué à cette « graine », qui la transforme en une sorte de figure géométrique. Ensuite, le même ensemble de règles est appliqué à nouveau à chaque partie de cette figure. A chaque étape, la figure deviendra de plus en plus complexe, et si nous effectuons (au moins dans notre esprit) un nombre infini de transformations, nous obtiendrons une fractale géométrique. Exemples classiques de fractales géométriques : Flocon de neige de Koch, Liszt, Triangle de Sierpinski, Ligne de Drakon (Annexe 1).

Fractales algébriques

Deuxième grand groupe fractales – algébriques (Annexe 2). Ils tirent leur nom du fait qu'ils sont construits sur la base de formules algébriques, parfois très simples. Il existe plusieurs méthodes pour obtenir des fractales algébriques.

Malheureusement, de nombreux termes de niveau 10-11 liés aux nombres complexes nécessaires pour expliquer la construction d'une fractale me sont inconnus et sont encore difficiles à comprendre, il ne m'est donc pas possible de décrire en détail la construction de fractales de ce type. .

Initialement, la nature fractale est en noir et blanc, mais si vous ajoutez un peu d'imagination et de couleur, vous pouvez obtenir une véritable œuvre d'art.

Fractales stochastiques

Un représentant typique de cette classe de fractales est « Plasma » (Annexe 3). Pour le construire, prenez un rectangle et définissez une couleur pour chacun de ses coins. Ensuite, nous trouvons le point central du rectangle et le peignons avec une couleur égale à la moyenne arithmétique des couleurs aux coins du rectangle plus un nombre aléatoire. Plus le nombre aléatoire est grand, plus le tirage sera « irrégulier ». Si nous disons maintenant que la couleur d'un point est la hauteur au-dessus du niveau de la mer, nous obtiendrons une chaîne de montagnes au lieu d'un plasma. C'est sur ce principe que les montagnes sont modélisées dans la plupart des programmes. À l'aide d'un algorithme similaire au plasma, une carte de hauteur est construite, divers filtres y sont appliqués, une texture est appliquée et, s'il vous plaît, des montagnes photoréalistes sont prêtes !

Application des fractales

Aujourd’hui déjà, les fractales sont largement utilisées dans des domaines très variés. La direction de l'archivage fractal des informations graphiques se développe activement. En théorie, l’archivage fractal peut compresser les images jusqu’à la taille d’un point sans perte de qualité. Lorsque vous agrandissez des images compressées selon le principe fractal, les moindres détails sont clairement affichés et l'effet granuleux est totalement absent.

Les principes de la théorie fractale sont utilisés en médecine pour analyser les électrocardiogrammes, puisque le rythme cardiaque est aussi une fractale. L'orientation de la recherche sur le système circulatoire et autres systèmes internes corps humain. En biologie, les fractales sont utilisées pour modéliser les processus se produisant au sein des populations.
Les météorologues utilisent des relations fractales pour analyser l'intensité du mouvement des masses d'air, ce qui permet de prédire plus précisément les changements météorologiques. Physique des milieux fractaux avec grand succès résout les problèmes d'étude de la dynamique des écoulements turbulents complexes, des processus d'adsorption et de diffusion. Dans l’industrie pétrochimique, les fractales sont utilisées pour modéliser des matériaux poreux. La théorie des fractales est utilisée efficacement sur les marchés financiers. La géométrie fractale est utilisée pour créer de puissants dispositifs d'antenne.
Aujourd'hui, la théorie des fractales est un domaine scientifique indépendant, sur la base duquel de plus en plus de nouvelles orientations sont créées dans divers domaines. De nombreux travaux scientifiques sont consacrés à la signification des fractales.

Mais ces objets insolites sont non seulement extrêmement utiles, mais aussi incroyablement beaux. C'est pourquoi les fractales trouvent progressivement leur place dans l'art. Leur incroyable attrait esthétique inspire de nombreux artistes à créer des peintures fractales. Les compositeurs modernes créent des œuvres musicales en utilisant des instruments électroniques présentant diverses caractéristiques fractales. Les écrivains utilisent la structure fractale pour façonner leur travaux littéraires, et les designers créent des meubles et des décorations d'intérieur fractales.

Fractalité dans la nature

En 1977, le livre de Mandelbrot « Fractals : Form, Randomness and Dimension » a été publié, et en 1982 une autre monographie a été publiée – « Fractal Geometry of Nature », sur les pages de laquelle l'auteur a démontré des exemples clairs de divers ensembles fractaux et a fourni la preuve de l'existence de fractales dans la nature. Mandelbrot a exprimé l'idée principale de la théorie fractale dans les mots suivants :

"Pourquoi la géométrie est-elle souvent qualifiée de froide et sèche ? L'une des raisons est qu'elle ne peut pas décrire avec précision la forme d'un nuage, d'une montagne, d'un arbre ou d'un bord de mer. Les nuages ​​ne sont pas des sphères, les rivages ne sont pas des cercles et la croûte n'est pas lisse. ." , et la foudre ne se déplace pas en ligne droite. La nature nous montre non seulement un degré plus élevé, mais un niveau de complexité complètement différent. Le nombre d'échelles de longueur différentes dans les structures est toujours infini. L'existence de ces structures nous met au défi dans la forme de la tâche difficile d'étudier ces formes qu'Euclide rejetait comme étant sans forme - la tâche d'étudier la morphologie de l'amorphe. Les mathématiciens, cependant, ont négligé ce défi et ont choisi de s'éloigner de plus en plus de la nature, inventant des théories qui ne correspondent pas à tout ce qui peut être vu ou ressenti.

De nombreux objets naturels ont les propriétés d'un ensemble fractal (Annexe 4).

Les fractales sont-elles vraiment des structures universelles qui ont servi de base à la création d'absolument tout ce qui existe dans ce monde ? La forme de nombreux objets naturels est aussi proche que possible des fractales. Mais toutes les fractales existantes dans le monde n'ont pas une structure aussi régulière et répétitive à l'infini que les ensembles créés par les mathématiciens. Les chaînes de montagnes, les surfaces de fractures métalliques, les écoulements turbulents, les nuages, l’écume et bien d’autres fractales naturelles manquent d’auto-similarité parfaitement précise. Et il serait absolument faux de croire que les fractales sont la clé universelle de tous les secrets de l'Univers. Malgré leur apparente complexité, les fractales ne sont qu’un modèle simplifié de la réalité. Mais parmi toutes les théories disponibles aujourd’hui, les fractales constituent le moyen le plus précis de décrire le monde qui nous entoure.

Les fractales sont-elles vraiment des structures universelles qui ont servi de base à la création d'absolument tout ce qui existe dans ce monde ? La forme de nombreux objets naturels est aussi proche que possible des fractales. Mais toutes les fractales existantes dans le monde n'ont pas une structure aussi régulière et répétitive à l'infini que les ensembles créés par les mathématiciens. Les chaînes de montagnes, les surfaces de fractures métalliques, les écoulements turbulents, les nuages, l’écume et bien d’autres fractales naturelles manquent d’autosimilarité parfaitement précise. Et il serait absolument faux de croire que les fractales sont la clé universelle de tous les secrets de l'Univers. Malgré leur apparente complexité, les fractales ne sont qu’un modèle simplifié de la réalité. Mais parmi toutes les théories disponibles aujourd’hui, les fractales constituent le moyen le plus précis de décrire le monde qui nous entoure.
Couleurs fractales

La beauté des fractales est ajoutée par leurs couleurs vives et accrocheuses. Les combinaisons de couleurs complexes rendent les fractales belles et mémorables. D'un point de vue mathématique, les fractales sont des objets en noir et blanc dont chaque point appartient à l'ensemble ou n'y appartient pas. Mais les capacités des ordinateurs modernes permettent de créer des fractales colorées et lumineuses. Et il ne s’agit pas d’une simple coloration des zones voisines de l’ensemble dans n’importe quel ordre.

En analysant la valeur de chaque point, le programme détermine automatiquement la teinte d'un fragment particulier. Les points auxquels la fonction prend une valeur constante sont indiqués en noir. Si la valeur de la fonction tend vers l’infini, alors le point est peint d’une couleur différente. L'intensité de la coloration dépend de la vitesse à laquelle on se rapproche de l'infini. Plus il faut de répétitions pour rapprocher un point d'une valeur stable, plus sa teinte devient claire. Et vice versa - les points qui se précipitent rapidement vers l'infini sont peints de couleurs vives et saturées.
Conclusion

Lorsque vous entendez parler pour la première fois des fractales, vous vous demandez ce que c'est ?

D'une part, il s'agit d'une figure géométrique complexe qui possède la propriété d'auto-similarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties dont chacune est similaire à la figure entière.

Ce concept fascine par sa beauté et son mystère, se manifestant dans les domaines les plus inattendus : météorologie, philosophie, géographie, biologie, mécanique et même histoire.

Il est presque impossible de ne pas voir une fractale dans la nature, car presque tous les objets (nuages, montagnes, littoral, etc.) ont une structure fractale. La plupart des concepteurs et programmeurs Web ont leur propre galerie de fractales (extraordinairement belles).

Essentiellement, les fractales nous ouvrent les yeux et nous permettent d’envisager les mathématiques sous un angle différent. Il semblerait que les calculs ordinaires soient effectués avec des nombres « secs » ordinaires, mais cela nous donne des résultats uniques à notre manière, nous permettant de nous sentir comme un créateur de la nature. Les fractales montrent clairement que les mathématiques sont aussi la science de la beauté.

Son travail de projet Je voulais parler d'un concept assez nouveau en mathématiques « fractale ». Qu'est-ce que c'est, quels types existent, où sont-ils distribués. J'espère vraiment que les fractales vous ont intéressé. Après tout, il s’avère que les fractales sont très intéressantes et existent à presque chaque étape.

Bibliographie

• 
  http://ru.wikipedia.org/wiki
• 
  http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
• 
  http://fractals.narod.ru/
• 
  http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
• 
  Bondarenko V.A., Dolnikov V.L. Compression d'images fractales selon Barnsley-Sloan. // Automatisation et télémécanique.-1994.-N5.-p.12-20.
• 
  Vatolin D. Application des fractales en infographie. // Computerworld-Russie.-1995.-N15.-p.11.
• 
  Feder E. Fractales. Par. de l'anglais-M. : Mir, 1991.-254 p. (Jens Feder, Plenum Press, New York, 1988)
• 
  Application des fractales et du chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Annexe 4

Les fractales sont connues depuis près d’un siècle, sont bien étudiées et ont de nombreuses applications dans la vie. Cependant, ce phénomène repose sur une idée très simple : un nombre infini de formes, belles et variées, peuvent être obtenues à partir de conceptions relativement simples en utilisant seulement deux opérations : la copie et la mise à l'échelle.

Evgueni Epifanov

Qu’ont en commun un arbre, un bord de mer, un nuage ou les vaisseaux sanguins de notre main ? À première vue, il peut sembler que tous ces objets n’ont rien en commun. Cependant, en fait, il existe une propriété de structure inhérente à tous les objets répertoriés : ils sont auto-similaires. D'une branche, comme d'un tronc d'arbre, s'étendent des pousses plus petites, d'autres encore plus petites, etc., c'est-à-dire qu'une branche est semblable à l'arbre entier. Le système circulatoire est structuré de la même manière : des artérioles partent des artères, et d'elles partent les plus petits capillaires par lesquels l'oxygène pénètre dans les organes et les tissus. Regardons les images satellite du littoral maritime : nous verrons des baies et des péninsules ; Regardons-le, mais à vol d'oiseau : nous verrons des baies et des caps ; Imaginez maintenant que nous sommes debout sur la plage et que nous regardons nos pieds : il y aura toujours des cailloux qui dépassent plus loin dans l'eau que les autres. Autrement dit, le littoral, lorsqu'on zoome, reste semblable à lui-même. Le mathématicien américain (bien qu'il ait grandi en France) Benoit Mandelbrot a appelé cette propriété des objets fractalité, et ces objets eux-mêmes - fractales (du latin fractus - brisés).

Ce concept n'a pas de définition stricte. Par conséquent, le mot « fractale » n’est pas un terme mathématique. Typiquement, une fractale est une figure géométrique qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes : Elle a une structure complexe à n'importe quelle augmentation d'échelle (contrairement, par exemple, à une ligne droite, dont n'importe quelle partie est la figure géométrique la plus simple - un segment ). Est (approximativement) auto-similaire. Il a une dimension Hausdorff (fractale) fractionnaire, qui est plus grande que la dimension topologique. Peut être construit à l’aide de procédures récursives.

Géométrie et algèbre

Étudier les fractales sur tournant du 19ème siècle et XX siècles était plus épisodique que systématique, car auparavant les mathématiciens étudiaient principalement les « bons » objets qui pouvaient être étudiés à l'aide de méthodes et de théories générales. En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass a construit un exemple de fonction continue qui n'est nulle part différentiable. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à comprendre. C'est pourquoi, en 1904, le Suédois Helge von Koch a proposé une courbe continue qui n'a de tangente nulle part et qui est assez facile à dessiner. Il s’est avéré qu’il possède les propriétés d’une fractale. Une variante de cette courbe est appelée « flocon de neige de Koch ».

Les idées d'autosimilarité des figures ont été reprises par le Français Paul Pierre Lévy, futur mentor de Benoît Mandelbrot. En 1938, son article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties similaires au tout » a été publié, qui décrivait une autre fractale - la courbe C de Levy. Toutes ces fractales énumérées ci-dessus peuvent être conditionnellement classées comme une classe de fractales constructives (géométriques).

Une autre classe est celle des fractales dynamiques (algébriques), qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières recherches dans ce sens ont débuté au début du XXe siècle et sont associées aux noms des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou. En 1918, Julia a publié un mémoire de près de deux cents pages sur les itérations de fonctions rationnelles complexes, qui décrivait les ensembles de Julia, toute une famille de fractales étroitement liées à l'ensemble de Mandelbrot. Cette œuvre a été primée par l'Académie française, mais elle ne contenait aucune illustration, il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets ouverts. Malgré le fait que ce travail ait rendu Julia célèbre parmi les mathématiciens de l'époque, il fut rapidement oublié. L'attention s'y est à nouveau tournée seulement un demi-siècle plus tard avec l'avènement des ordinateurs : ce sont eux qui ont rendu visible la richesse et la beauté du monde des fractales.

Dimensions fractales

Comme vous le savez, la dimension (nombre de dimensions) d'une figure géométrique est le nombre de coordonnées nécessaire pour déterminer la position d'un point se trouvant sur cette figure.
Par exemple, la position d'un point sur une courbe est déterminée par une coordonnée, sur une surface (pas nécessairement un plan) par deux coordonnées et dans un espace tridimensionnel par trois coordonnées.
D'un point de vue mathématique plus général, on peut définir la dimension de cette manière : une augmentation des dimensions linéaires, disons, d'un facteur deux, pour des objets (segment) unidimensionnels (d'un point de vue topologique) conduit à une augmentation de la taille (longueur) d'un facteur deux, pour les dimensions bidimensionnelles (un carré ) la même augmentation des dimensions linéaires entraîne une augmentation de la taille (surface) de 4 fois, pour les dimensions tridimensionnelles (cube) - de 8 fois. C'est-à-dire que la dimension « réelle » (dite Hausdorff) peut être calculée comme le rapport du logarithme de l'augmentation de la « taille » d'un objet au logarithme de l'augmentation de sa taille linéaire. Autrement dit, pour un segment D=log (2)/log (2)=1, pour un plan D=log (4)/log (2)=2, pour un volume D=log (8)/log (2 )=3.
Calculons maintenant la dimension de la courbe de Koch, pour construire laquelle un segment unitaire est divisé en trois parties égales et l'intervalle médian est remplacé par un triangle équilatéral sans ce segment. Lorsque les dimensions linéaires du segment minimum augmentent trois fois, la longueur de la courbe de Koch augmente de log (4)/log (3) ~ 1,26. Autrement dit, la dimension de la courbe de Koch est fractionnaire !

Sciences et arts

En 1982, le livre de Mandelbrot « Fractal Geometry of Nature » a été publié, dans lequel l'auteur a rassemblé et systématisé presque toutes les informations disponibles à l'époque sur les fractales et les a présentées de manière simple et accessible. Mandelbrot a mis l'accent dans sa présentation non pas sur des formules lourdes et des constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs. Grâce aux illustrations obtenues à l'aide d'un ordinateur et d'histoires historiques, avec lesquelles l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales sont devenues connues du grand public. Leur succès auprès des non-mathématiciens est en grande partie dû au fait qu'à l'aide de constructions et de formules très simples que même un lycéen peut comprendre, on obtient des images d'une complexité et d'une beauté étonnantes. Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus suffisamment puissants, même toute une direction artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d'ordinateurs pouvaient le faire. Désormais, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites consacrés à ce sujet.

Schéma d'obtention de la courbe de Koch

Guerre et Paix

Comme indiqué ci-dessus, l'un des objets naturels possédant des propriétés fractales est le littoral. Il y a une chose qui y est liée, ou plus précisément, à la tentative de mesurer sa longueur. histoire intéressante, qui constitue la base de l’article scientifique de Mandelbrot, et est également décrit dans son livre « Fractal Geometry of Nature ». Il s'agit deà propos d'une expérience réalisée par Lewis Richardson, un mathématicien, physicien et météorologue très talentueux et excentrique. L'un des axes de ses recherches était de tenter de trouver une description mathématique des causes et de la probabilité d'un conflit armé entre deux pays. Parmi les paramètres qu’il a pris en compte figurait la longueur de la frontière commune des deux pays en guerre. Lorsqu'il a collecté des données pour des expériences numériques, il a découvert que les données sur la frontière commune de l'Espagne et du Portugal différaient considérablement selon les sources. Cela l'a conduit à la découverte suivante : la longueur des frontières d'un pays dépend du souverain avec lequel on les mesure. Plus l’échelle est petite, plus la frontière est longue. Cela est dû au fait qu'avec un grossissement plus important, il devient possible de prendre en compte de plus en plus de nouveaux virages de la côte, auparavant ignorés en raison de la grossièreté des mesures. Et si, à chaque augmentation d'échelle, des courbures de lignes jusqu'alors inexpliquées sont révélées, alors il s'avère que la longueur des frontières est infinie ! Il est vrai que cela ne se produit pas réellement : la précision de nos mesures a une limite finie. Ce paradoxe s'appelle l'effet Richardson.

Fractales constructives (géométriques)

L'algorithme de construction d'une fractale constructive dans le cas général est le suivant. Tout d’abord, nous avons besoin de deux formes géométriques appropriées, appelons-les la base et le fragment. Dans un premier temps, la base de la future fractale est représentée. Ensuite, certaines de ses parties sont remplacées par un fragment pris à une échelle appropriée - c'est la première itération de la construction. Ensuite, la figure résultante change à nouveau certaines parties en figures similaires au fragment, etc. Si nous continuons ce processus à l'infini, alors à la limite nous obtiendrons une fractale.

Examinons ce processus en utilisant la courbe de Koch comme exemple (voir l'encadré de la page précédente). N'importe quelle courbe peut être prise comme base pour la courbe de Koch (pour le « flocon de neige de Koch », il s'agit d'un triangle). Mais nous nous limiterons au cas le plus simple : un segment. Le fragment est une ligne brisée, représentée en haut de la figure. Après la première itération de l'algorithme, dans ce cas le segment d'origine coïncidera avec le fragment, puis chacun de ses segments constitutifs sera lui-même remplacé par une ligne brisée semblable au fragment, etc. La figure montre les quatre premières étapes de cet algorithme. processus.

Dans le langage mathématique : fractales dynamiques (algébriques)

Des fractales de ce type apparaissent lors de l'étude de systèmes dynamiques non linéaires (d'où leur nom). Le comportement d'un tel système peut être décrit par une fonction non linéaire complexe (polynôme) f (z). Prenons un point initial z0 sur le plan complexe (voir encadré). Considérons maintenant une telle séquence infinie de nombres sur le plan complexe, dont chacun suivant est obtenu à partir du précédent : z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Selon le point initial z0, une telle suite peut se comporter différemment : tendre vers l'infini lorsque n -> ∞ ; converger vers un point final ; prendre cycliquement une série de valeurs fixes ; Des options plus complexes sont également possibles.

Nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre composé de deux parties - réelle et imaginaire, c'est-à-dire la somme formelle x + iy (x et y sont ici des nombres réels). je suis le soi-disant unité imaginaire, c'est-à-dire un nombre qui satisfait l'équation je^ 2 = -1. Les opérations mathématiques de base sur les nombres complexes sont définies : addition, multiplication, division, soustraction (seule l'opération de comparaison n'est pas définie). Pour afficher les nombres complexes, une représentation géométrique est souvent utilisée - sur le plan (on l'appelle complexe), la partie réelle est tracée le long de l'axe des abscisses, et la partie imaginaire est tracée le long de l'axe des ordonnées, et le nombre complexe correspondra à un point de coordonnées cartésiennes x et y.

Ainsi, tout point z du plan complexe a son propre comportement lors des itérations de la fonction f (z), et le plan entier est divisé en parties. De plus, les points situés aux limites de ces parties ont la propriété suivante : avec un déplacement arbitrairement petit, la nature de leur comportement change fortement (ces points sont appelés points de bifurcation). Ainsi, il s’avère que les ensembles de points ayant un type de comportement spécifique, ainsi que les ensembles de points de bifurcation, ont souvent des propriétés fractales. Ce sont les ensembles de Julia pour la fonction f (z).

Famille de dragons

En faisant varier la base et le fragment, vous pouvez obtenir une étonnante variété de fractales constructives.
De plus, des opérations similaires peuvent être effectuées dans un espace tridimensionnel. Des exemples de fractales volumétriques incluent « l'éponge de Menger », la « pyramide de Sierpinski » et d'autres.
La famille des dragons est également considérée comme une fractale constructive. Parfois, ils sont appelés du nom de leurs découvreurs « dragons Heavy-Harter » (dans leur forme, ils ressemblent à des dragons chinois). Il existe plusieurs façons de construire cette courbe. Le plus simple et le plus visuel d'entre eux est le suivant : il faut prendre une bande de papier assez longue (plus le papier est fin, mieux c'est) et la plier en deux. Pliez-le ensuite à nouveau en deux dans le même sens que la première fois. Après plusieurs répétitions (généralement après cinq ou six plis, la bande devient trop épaisse pour être pliée davantage), vous devez replier la bande et essayer de créer des angles de 90° au niveau des plis. Puis de profil vous obtiendrez la courbe d’un dragon. Bien entendu, ce ne sera qu’une approximation, comme toutes nos tentatives de représentation d’objets fractals. L'ordinateur permet de représenter de nombreuses autres étapes de ce processus, et le résultat est une très belle figure.

L’ensemble de Mandelbrot est construit un peu différemment. Considérons la fonction fc (z) = z 2 +c, où c est un nombre complexe. Construisons une suite de cette fonction avec z0=0 ; selon le paramètre c, elle peut diverger à l'infini ou rester limitée. De plus, toutes les valeurs de c pour lesquelles cette suite est limitée forment l'ensemble de Mandelbrot. Il a été étudié en détail par Mandelbrot lui-même et par d'autres mathématiciens, qui ont découvert de nombreuses propriétés intéressantes de cet ensemble.

On peut voir que les définitions des ensembles de Julia et de Mandelbrot sont similaires. En fait, ces deux ensembles sont étroitement liés. A savoir, l'ensemble de Mandelbrot est constitué de toutes les valeurs du paramètre complexe c pour lesquelles l'ensemble de Julia fc (z) est connexe (un ensemble est dit connexe s'il ne peut pas être divisé en deux parties disjointes, avec quelques conditions supplémentaires).

Fractales et vie

De nos jours, la théorie des fractales est largement utilisée dans divers domaines. activité humaine. En plus d'un objet de recherche purement scientifique et de la peinture fractale déjà mentionnée, les fractales sont utilisées dans la théorie de l'information pour compresser des données graphiques (la propriété d'autosimilarité des fractales est principalement utilisée ici - après tout, pour mémoriser un petit fragment d'image et les transformations avec lesquelles vous pouvez obtenir les parties restantes nécessitent beaucoup moins de mémoire que pour stocker l'intégralité du fichier). En ajoutant des perturbations aléatoires aux formules qui définissent la fractale, on peut obtenir des fractales stochastiques qui transmettent de manière très plausible certaines objets réels- des éléments de relief, la surface des réservoirs, certaines plantes, utilisés avec succès en physique, géographie et infographie pour obtenir une plus grande similitude entre les objets simulés et les objets réels. En radioélectronique, au cours de la dernière décennie, des antennes de forme fractale ont commencé à être produites. Prenant peu de place, ils assurent une réception du signal de haute qualité. Les économistes utilisent des fractales pour décrire les courbes de fluctuation des devises (cette propriété a été découverte par Mandelbrot il y a plus de 30 ans). Ceci conclut cette courte excursion dans le monde incroyablement beau et diversifié des fractales.

Martynov Daniel

Chef de projet:

Martynova Lyudmila Yurievna

Institution:

Établissement d'enseignement municipal "École secondaire Kriushinskaya"

En cours travail de recherche en mathématiques "Les fractales autour de nous" Un élève de 8e s'est fixé pour objectif de montrer que les mathématiques ne sont pas une matière sans âme, elles peuvent exprimer le monde spirituel de l'homme et de la société en créant sa propre fractale géométrique" Étoile».

Dans un travail de recherche sur les mathématiques « Les fractales autour de nous », l'auteur construit une fractale géométrique « Étoile » dans le cadre du projet et donne des recommandations sur l'application pratique de la fractale créée, tente de trouver un lien entre les fractales et les triangles de Pascal dans le processus de recherche mathématique.

Dans le proposé projet de mathématiques "Les fractales autour de nous" l'auteur arrive à la conclusion que les nouvelles idées de géométrie fractale aideront à étudier de nombreux phénomènes mystérieux de la nature environnante. Les méthodes de traitement d'images et de reconnaissance de formes utilisant de nouveaux concepts permettent aux chercheurs d'utiliser cet appareil mathématique pour décrire quantitativement un grand nombre d'objets et de structures naturels.

Introduction
1. Justification et construction de la fractale géométrique « Étoile ».
2. Trouver le lien entre les fractales et les triangles de Pascal.
3. Recommandations pour l'application pratique de la fractale créée.
Conclusion

Introduction

Beaucoup de mes camarades de classe pensent que les mathématiques sont une science exacte et ennuyeuse, des problèmes, des équations, des graphiques, des formules... Qu'est-ce qui pourrait être intéressant ici ? Géométrie du 21ème siècle. Froid, difficile, pas intéressant...

"Pourquoi s'appelle-t-on ainsi ? L'une des raisons est qu'il ne peut pas décrire la forme d'un nuage, d'une montagne, d'un arbre ou d'un bord de mer. Les nuages ​​ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les rivages ne sont pas des cercles et l'écorce n'est pas lisse, et l'éclair ne s'étend pas en ligne droite. La nature nous montre non seulement un degré supérieur, mais un tout autre niveau de complexité" Benoit Mandelbrot.

Avec mon travail de recherche, j'ai essayé de réfuter ce qui précède. Cela est devenu possible après la découverte des fractales - des figures auto-similaires qui possèdent un certain nombre de propriétés intéressantes, qui ont permis de comparer les fractales avec des objets naturels.

Hypothèse – « Tout ce qui existe dans le monde réel est une fractale».

Cible - montrer que les mathématiques ne sont pas une matière sans âme, elles peuvent exprimer le monde spirituel de l'homme et de la société en créant sa propre fractale géométrique" Étoile».

Objet d'étude - les fractales en mathématiques et dans le monde réel.

1. Analyser et passer en revue la littérature sur le sujet de recherche.
2. Révision et étude différentes sortes fractales.
3. Établir la relation entre le triangle de Pascal et les œuvres littéraires.
4. Inventez et créez votre propre fractale, créez un programme pour construire une image graphique d'une fractale géométrique " Étoile».
5. Considérez les possibilités application pratique fractale créée.

Pertinence le sujet indiqué est déterminé, tout d'abord, sujet la recherche, qui est la géométrie fractale.

Structure du travail de recherche comprend une introduction, deux chapitres, une conclusion, une liste de références et des annexes.

Dans l'introduction la pertinence et la nouveauté du sujet de recherche sont justifiées, le problème, le sujet, le but, les tâches, les étapes de travail, la signification théorique et pratique du travail sont définis.

Dans le premier chapitre La question de l'histoire de l'émergence du concept de fractale, de la classification des fractales et de l'utilisation des fractales est révélée.

Dans le deuxième chapitre Il a été étudié et prouvé que la figure géométrique que nous avons créée " Étoile"est une fractale, en modifiant les paramètres de la fractale créée, nous avons reçu toute une galerie de beaux ornements qui peuvent être utilisés pour des applications pratiques : dans la production de tissus, de matériaux de finition et en valorologie.

Les découvertes scientifiques les plus ingénieuses peuvent changer radicalement la vie humaine. Le vaccin inventé peut sauver des millions de personnes ; au contraire, la création d’armes leur enlève des vies. Plus récemment (à l'échelle de l'évolution humaine), nous avons appris à « apprivoiser » l'électricité - et maintenant nous ne pouvons pas imaginer la vie sans tous ces appareils pratiques qui utilisent l'électricité. Mais il y a aussi des découvertes auxquelles peu de gens attachent de l’importance, même si elles influencent aussi grandement nos vies.

L’une de ces découvertes « discrètes » concerne les fractales. Vous avez probablement déjà entendu ce mot accrocheur, mais savez-vous ce qu'il signifie et combien d'informations intéressantes se cachent dans ce terme ?

Chaque personne a une curiosité naturelle, une envie de comprendre le monde qui l’entoure. Et dans cet effort, une personne essaie d'adhérer à la logique dans ses jugements. En analysant les processus qui se déroulent autour de lui, il essaie de trouver la logique de ce qui se passe et d'en tirer un modèle. Les plus grands esprits de la planète s’occupent de cette tâche. En gros, les scientifiques recherchent un modèle là où il ne devrait pas y en avoir. Néanmoins, même dans le chaos, il est possible d’établir des liens entre les événements. Et cette connexion est une fractale.

Notre petite fille de quatre ans et demi a désormais cet âge merveilleux où se multiplient les questions « Pourquoi ? dépasse de plusieurs fois le nombre de réponses que les adultes parviennent à donner. Il n’y a pas si longtemps, en examinant une branche soulevée du sol, ma fille a soudainement remarqué que cette branche, avec ses brindilles et ses branches, ressemblait elle-même à un arbre. Et bien sûr, ce qui a suivi était la question habituelle « Pourquoi ? », à laquelle les parents devaient chercher une explication simple et compréhensible pour l’enfant.

La similitude d'une seule branche avec un arbre entier découverte par un enfant est une observation très précise, qui témoigne une fois de plus du principe d'autosimilarité récursive dans la nature. De nombreuses formes organiques et inorganiques dans la nature se forment de la même manière. Les nuages, les coquillages, la « maison » d’un escargot, l’écorce et la cime des arbres, le système circulatoire, etc. : les formes aléatoires de tous ces objets peuvent être décrites par un algorithme fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot : père de la géométrie fractale

Le mot « fractale » lui-même est apparu grâce au brillant scientifique Benoit B. Mandelbrot.

Il a lui-même inventé le terme dans les années 1970, empruntant le mot fractus au latin, où il signifie littéralement « cassé » ou « écrasé ». Qu'est-ce que c'est? Aujourd’hui, le mot « fractale » désigne le plus souvent une représentation graphique d’une structure qui, à plus grande échelle, lui ressemble.

Les bases mathématiques de l'émergence de la théorie des fractales ont été posées bien des années avant la naissance de Benoit Mandelbrot, mais elles n'ont pu se développer qu'avec l'avènement des appareils informatiques. Au début de son activité scientifique Benoit a travaillé au centre de recherche IBM. A cette époque, les employés du centre travaillaient à la transmission de données à distance. Au cours de leurs recherches, les scientifiques ont rencontré un problème grosses pertes résultant d'interférences sonores. Benoit a fait face à une situation difficile et très tâche importante— comprendre comment prédire l'apparition d'interférences sonores dans les circuits électroniques lorsque la méthode statistique s'avère inefficace.

En parcourant les résultats des mesures de bruit, Mandelbrot a remarqué une tendance étrange : les graphiques de bruit à différentes échelles se ressemblaient. Une tendance identique a été observée, qu’il s’agisse d’un graphique de bruit pour une journée, une semaine ou une heure. Il a fallu changer l’échelle du graphique et l’image s’est répétée à chaque fois.

Au cours de sa vie, Benoît Mandelbrot a répété à plusieurs reprises qu'il n'étudiait pas les formules, mais qu'il jouait simplement avec les images. Cet homme pensait de manière très figurative et transposait tout problème algébrique dans le domaine de la géométrie, où, selon lui, la bonne réponse est toujours évidente.

Il n’est pas surprenant que ce soit un homme doté d’une imagination spatiale si riche qui soit devenu le père de la géométrie fractale. Après tout, la prise de conscience de l'essence des fractales survient précisément lorsque vous commencez à étudier les dessins et à réfléchir à la signification d'étranges motifs de tourbillons.

Un motif fractal ne comporte pas d’éléments identiques, mais est similaire à toutes les échelles. Auparavant, il était tout simplement impossible de construire manuellement une telle image avec un haut degré de détail ; cela nécessitait une énorme quantité de calculs. Par exemple, le mathématicien français Pierre Joseph Louis Fatou a décrit cet ensemble plus de soixante-dix ans avant la découverte de Benoît Mandelbrot. Si nous parlons des principes d'autosimilarité, ils ont été mentionnés dans les travaux de Leibniz et Georg Cantor.

L'un des premiers dessins fractals était une interprétation graphique de l'ensemble de Mandelbrot, né grâce aux recherches de Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (portant toujours un masque - blessure de la Première Guerre mondiale)

Ce mathématicien français se demandait à quoi ressemblerait un ensemble s’il était construit à partir d’une formule simple itérée via une boucle de rétroaction. Si nous l'expliquons « sur nos doigts », cela signifie que pour un nombre spécifique, nous trouvons une nouvelle valeur à l'aide de la formule, après quoi nous la substituons à nouveau dans la formule et obtenons une autre valeur. Le résultat est une grande séquence de nombres.

Pour obtenir une image complète d'un tel ensemble, vous devez effectuer un grand nombre de calculs - des centaines, des milliers, des millions. Il était tout simplement impossible de le faire manuellement. Mais lorsque de puissants appareils informatiques sont devenus disponibles pour les mathématiciens, ils ont pu jeter un nouveau regard sur des formules et des expressions qui les intéressaient depuis longtemps. Mandelbrot fut le premier à utiliser un ordinateur pour calculer une fractale classique. Après avoir traité une séquence composée d’un grand nombre de valeurs, Benoit a tracé les résultats sur un graphique. C'est ce qu'il a eu.

Par la suite, cette image a été colorée (par exemple, l'une des méthodes de coloration est le nombre d'itérations) et est devenue l'une des images les plus populaires jamais créées par l'homme.

Comme le dit l’ancien dicton attribué à Héraclite d’Éphèse : « On ne peut pas se jeter deux fois dans le même fleuve ». Il est parfaitement adapté pour interpréter la géométrie des fractales. Peu importe le degré de détail avec lequel nous examinons une image fractale, nous verrons toujours un motif similaire.

Ceux qui souhaitent voir à quoi ressemblerait une image de l’espace de Mandelbrot après un zoom plusieurs fois peuvent le faire en téléchargeant le GIF animé.

⇡ Lauren Carpenter : l'art créé par la nature

La théorie des fractales a rapidement trouvé une application pratique. Puisqu’il est étroitement lié à la visualisation d’images auto-similaires, il n’est pas surprenant que les premiers à adopter des algorithmes et des principes pour construire des formes inhabituelles aient été les artistes.

Le futur co-fondateur du légendaire studio Pixar, Loren C. Carpenter, a commencé à travailler en 1967 chez Boeing Computer Services, qui était l'une des divisions de la célèbre société développant de nouveaux avions.

En 1977, il crée des présentations avec des prototypes de modèles volants. Les responsabilités de Loren comprenaient le développement d'images de l'avion en cours de conception. Il devait créer des images de nouveaux modèles, montrant les futurs avions sous différents angles. À un moment donné, le futur fondateur des studios d'animation Pixar a eu l'idée créative d'utiliser une image de montagnes comme arrière-plan. Aujourd'hui, n'importe quel écolier peut résoudre un tel problème, mais à la fin des années 70 du siècle dernier, les ordinateurs ne pouvaient pas faire face à des calculs aussi complexes - il n'existait pas d'éditeurs graphiques, encore moins d'applications pour les graphiques 3D. En 1978, Lauren a accidentellement vu le livre de Benoit Mandelbrot, Fractals : Form, Chance and Dimension, dans un magasin. Ce qui a retenu son attention dans ce livre, c'est que Benoit a donné de nombreux exemples de formes fractales dans la vie réelle et a soutenu qu'elles pouvaient être décrites par une expression mathématique.

Cette analogie n’a pas été choisie par le mathématicien par hasard. Le fait est que dès qu’il a publié ses recherches, il a dû faire face à toute une série de critiques. La principale chose que lui reprochaient ses collègues était l'inutilité de la théorie en cours d'élaboration. « Oui, dirent-ils, ce sont de belles images, mais rien de plus. La théorie des fractales n’a aucune valeur pratique. Il y avait aussi ceux qui croyaient généralement que les modèles fractals étaient simplement un sous-produit du travail des « machines diaboliques », qui, à la fin des années 70, semblaient à beaucoup quelque chose de trop complexe et inexploré pour qu'on leur fasse entièrement confiance. Mandelbrot a essayé de trouver des applications évidentes à la théorie fractale, mais dans l’ensemble, il n’en avait pas besoin. Au cours des 25 années suivantes, les adeptes de Benoit Mandelbrot ont prouvé les énormes avantages d'une telle « curiosité mathématique », et Lauren Carpenter a été l'une des premières à essayer la méthode fractale dans la pratique.

Après avoir étudié le livre, le futur animateur a étudié sérieusement les principes de la géométrie fractale et a commencé à chercher un moyen de l'implémenter en infographie. En seulement trois jours de travail, Lauren a pu restituer une image réaliste du système montagneux sur son ordinateur. En d’autres termes, il a utilisé des formules pour peindre un paysage de montagne parfaitement reconnaissable.

Le principe utilisé par Lauren pour atteindre son objectif était très simple. Cela consistait à diviser une figure géométrique plus grande en petits éléments, et ceux-ci, à leur tour, étaient divisés en figures similaires de plus petite taille.

En utilisant des triangles plus grands, Carpenter les a divisés en quatre plus petits, puis a répété ce processus encore et encore jusqu'à obtenir un paysage de montagne réaliste. Ainsi, il a réussi à devenir le premier artiste à utiliser un algorithme fractal pour construire des images en infographie. Dès que l’œuvre a été connue, des passionnés du monde entier ont repris l’idée et ont commencé à utiliser l’algorithme fractal pour imiter des formes naturelles réalistes.

Une des premières visualisations 3D utilisant un algorithme fractal

Quelques années plus tard, Lauren Carpenter a pu appliquer ses développements dans un projet beaucoup plus vaste. L'animateur a créé à partir d'eux une démo de deux minutes de Vol Libre, qui a été diffusée sur Siggraph en 1980. Cette vidéo a choqué tous ceux qui l'ont vue et Lauren a reçu une invitation de Lucasfilm.

L'animation a été rendue sur un ordinateur VAX-11/780 de Digital Equipment Corporation avec une vitesse d'horloge de cinq mégahertz, et chaque image a pris environ une demi-heure à rendre.

Travaillant pour Lucasfilm Limited, l'animateur a créé des paysages 3D en utilisant le même schéma pour le deuxième long métrage de la saga Star Trek. Dans La Colère de Khan, Carpenter a pu créer une planète entière en utilisant le même principe de modélisation de surface fractale.

Actuellement, toutes les applications populaires de création de paysages 3D utilisent un principe similaire pour générer des objets naturels. Terragen, Bryce, Vue et d'autres éditeurs 3D s'appuient sur un algorithme fractal pour modéliser les surfaces et les textures.

⇡ Antennes fractales : moins c'est plus

Au cours du dernier demi-siècle, la vie a rapidement commencé à changer. La plupart d'entre nous acceptent les réalisations technologies modernes pour acquis. On s’habitue très vite à tout ce qui rend la vie plus confortable. Il est rare que quelqu’un pose la question « D’où cela vient ? » et "Comment ça marche?" Un micro-ondes réchauffe le petit-déjeuner - super, un smartphone vous donne la possibilité de parler à une autre personne - super. Cela nous semble une possibilité évidente.

Mais la vie aurait pu être complètement différente si une personne n'avait pas cherché une explication aux événements qui se déroulaient. Prenez les téléphones portables, par exemple. Vous vous souvenez des antennes rétractables sur les premiers modèles ? Ils ont interféré, ont augmenté la taille de l'appareil et, à la fin, se sont souvent cassés. Nous pensons qu’ils sont tombés dans l’oubli pour toujours, et cela s’explique en partie par… les fractales.

Les motifs fractals fascinent par leurs motifs. Ils ressemblent définitivement à des images d'objets cosmiques - nébuleuses, amas de galaxies, etc. Il est donc tout à fait naturel que lorsque Mandelbrot a exprimé sa théorie des fractales, ses recherches ont suscité un intérêt accru parmi ceux qui étudiaient l'astronomie. L'un de ces amateurs nommé Nathan Cohen, après avoir assisté à une conférence de Benoît Mandelbrot à Budapest, s'est inspiré de l'idée d'une application pratique des connaissances acquises. Certes, il l'a fait intuitivement et le hasard a joué un rôle important dans sa découverte. En tant que radioamateur, Nathan cherchait à créer une antenne ayant la sensibilité la plus élevée possible.

La seule façon connue à l’époque d’améliorer les paramètres de l’antenne était d’augmenter ses dimensions géométriques. Cependant, le propriétaire de la propriété du centre-ville de Boston que Nathan louait était catégoriquement contre l'installation de gros appareils sur le toit. Nathan a ensuite commencé à expérimenter différentes formes d'antennes, en essayant d'obtenir le résultat maximum avec une taille minimale. Inspiré par l'idée des formes fractales, Cohen, comme on dit, a créé au hasard l'une des fractales les plus célèbres à partir de fil de fer - le "flocon de neige de Koch". Le mathématicien suédois Helge von Koch a proposé cette courbe en 1904. Il est obtenu en divisant un segment en trois parties et en remplaçant le segment médian par un triangle équilatéral sans côté coïncidant avec ce segment. La définition est un peu difficile à comprendre, mais sur la figure tout est clair et simple.

Il existe également d'autres variantes de la courbe de Koch, mais la forme approximative de la courbe reste similaire.

Lorsque Nathan a connecté l'antenne au récepteur radio, il a été très surpris : la sensibilité a considérablement augmenté. Après une série d'expériences, le futur professeur de l'Université de Boston s'est rendu compte qu'une antenne réalisée selon un motif fractal avait un rendement élevé et couvrait une gamme de fréquences beaucoup plus large que les solutions classiques. De plus, la forme de l'antenne en forme de courbe fractale permet de réduire considérablement les dimensions géométriques. Nathan Cohen a même proposé un théorème prouvant que pour créer une antenne à large bande, il suffit de lui donner la forme d'une courbe fractale auto-similaire.

L'auteur a breveté sa découverte et a fondé une entreprise pour le développement et la conception d'antennes fractales Fractal Antenna Systems, estimant à juste titre qu'à l'avenir, grâce à sa découverte, les téléphones portables pourront se débarrasser des antennes encombrantes et devenir plus compacts.

En principe, c'est ce qui s'est passé. Certes, Nathan est encore aujourd'hui engagé dans une bataille juridique avec de grandes entreprises qui utilisent illégalement sa découverte pour produire des appareils de communication compacts. Certains fabricants d'appareils mobiles bien connus, comme Motorola, ont déjà conclu un accord à l'amiable avec l'inventeur de l'antenne fractale.

⇡ Dimensions fractales : vous ne pouvez pas le comprendre avec votre esprit

Benoit a emprunté cette question au célèbre scientifique américain Edward Kasner.

Ce dernier, comme beaucoup d'autres mathématiciens célèbres, aimait communiquer avec les enfants, leur poser des questions et recevoir des réponses inattendues. Cela a parfois conduit à des conséquences surprenantes. Par exemple, le neveu d’Edward Kasner, âgé de neuf ans, a inventé le mot désormais bien connu « googol », signifiant un suivi de cent zéros. Mais revenons aux fractales. Le mathématicien américain aimait poser la question de savoir quelle est la longueur du littoral américain. Après avoir écouté l'opinion de son interlocuteur, Edward lui-même a donné la bonne réponse. Si vous mesurez la longueur sur une carte à l'aide de segments brisés, le résultat sera inexact, car le littoral présente un grand nombre d'irrégularités. Que se passe-t-il si nous mesurons aussi précisément que possible ? Vous devrez prendre en compte la longueur de chaque dénivelé - vous devrez mesurer chaque cap, chaque baie, rocher, la longueur d'un rebord rocheux, une pierre dessus, un grain de sable, un atome, etc. Puisque le nombre d’irrégularités tend vers l’infini, la longueur mesurée du trait de côte augmentera jusqu’à l’infini lors de la mesure de chaque nouvelle irrégularité.

Plus la mesure est petite lors de la mesure, plus la longueur mesurée est longue

Fait intéressant, suivant les instructions d'Edward, les enfants parlaient beaucoup plus vite que les adultes. bonne solution, alors que ce dernier a eu du mal à accepter une réponse aussi incroyable.

En utilisant ce problème comme exemple, Mandelbrot a proposé d'utiliser une nouvelle approche des mesures. Étant donné que le littoral est proche d’une courbe fractale, cela signifie qu’un paramètre caractéristique peut lui être appliqué : la dimension dite fractale.

Ce qu'est une dimension régulière est clair pour tout le monde. Si la dimension est égale à un, on obtient une ligne droite, si deux - silhouette plate, trois volumes. Cependant, cette compréhension de la dimension en mathématiques ne fonctionne pas avec les courbes fractales, où ce paramètre a une valeur fractionnaire. La dimension fractale en mathématiques peut être classiquement considérée comme une « rugosité ». Plus la rugosité de la courbe est élevée, plus sa dimension fractale est grande. Une courbe qui, selon Mandelbrot, a une dimension fractale supérieure à sa dimension topologique a une longueur approximative qui ne dépend pas du nombre de dimensions.

Actuellement, les scientifiques trouvent de plus en plus de domaines pour appliquer la théorie des fractales. Grâce aux fractales, vous pouvez analyser les fluctuations des cours boursiers, étudier toutes sortes de processus naturels, comme les fluctuations du nombre d'espèces, ou encore simuler la dynamique des flux. Les algorithmes fractals peuvent être utilisés pour la compression de données, comme la compression d'images. Et d’ailleurs, pour obtenir une belle fractale sur votre écran d’ordinateur, vous n’avez pas besoin d’avoir un doctorat.

⇡ Fractale dans le navigateur

Peut-être l'un des plus des moyens simples obtenez un motif fractal - utilisez l'éditeur de vecteurs en ligne du jeune programmeur talentueux Toby Schachman. Les outils de cet éditeur graphique simple reposent sur le même principe d'autosimilarité.

À votre disposition, il n'y a que deux formes les plus simples : un quadrilatère et un cercle. Vous pouvez les ajouter au canevas, les redimensionner (pour redimensionner le long de l'un des axes, maintenez la touche Maj enfoncée) et les faire pivoter. Se chevauchant selon le principe des opérations d'addition booléennes, ces éléments les plus simples forment de nouvelles formes moins triviales. Ces nouvelles formes peuvent ensuite être ajoutées au projet, et le programme répétera la génération de ces images à l'infini. À n'importe quelle étape du travail sur une fractale, vous pouvez revenir à n'importe quel composant d'une forme complexe et modifier sa position et sa géométrie. Une activité amusante, surtout si l’on considère que le seul outil dont vous avez besoin pour créer est un navigateur. Si vous ne comprenez pas le principe de travailler avec cet éditeur vectoriel récursif, nous vous conseillons de regarder la vidéo sur le site officiel du projet, qui montre en détail l'ensemble du processus de création d'une fractale.

⇡ XaoS : des fractales pour tous les goûts

De nombreux éditeurs graphiques disposent d'outils intégrés pour créer des modèles fractals. Cependant, ces outils sont généralement secondaires et ne permettent pas d’affiner le motif fractal généré. Dans les cas où il est nécessaire de construire une fractale mathématiquement précise, l'éditeur multiplateforme XaoS viendra à la rescousse. Ce programme permet non seulement de construire une image auto-similaire, mais également d'effectuer diverses manipulations avec celle-ci. Par exemple, en temps réel, vous pouvez « promener » le long d’une fractale en changeant son échelle. Un mouvement animé le long d'une fractale peut être enregistré sous forme de fichier XAF puis reproduit dans le programme lui-même.

XaoS peut charger un ensemble aléatoire de paramètres et également utiliser divers filtres de post-traitement d'image - ajouter un effet de mouvement flou, lisser les transitions nettes entre les points fractals, simuler une image 3D, etc.

⇡ Fractal Zoomer : générateur de fractales compact

Par rapport aux autres générateurs d’images fractales, il présente plusieurs avantages. Premièrement, il est de très petite taille et ne nécessite aucune installation. Deuxièmement, il implémente la possibilité de déterminer la palette de couleurs d'une image. Vous pouvez choisir des nuances dans les modèles de couleurs RVB, CMJN, HVS et HSL.

Il est également très pratique d'utiliser l'option de sélection aléatoire des nuances de couleurs et la fonction d'inversion de toutes les couleurs de l'image. Pour ajuster la couleur, il existe une fonction de sélection cyclique des nuances - lorsque vous activez le mode correspondant, le programme anime l'image en changeant cycliquement les couleurs.

Fractal Zoomer peut visualiser 85 fonctions fractales différentes et les formules sont clairement affichées dans le menu du programme. Il existe des filtres pour le post-traitement des images dans le programme, bien qu'en petites quantités. Chaque filtre attribué peut être annulé à tout moment.

⇡ Mandelbulb3D : éditeur de fractales 3D

Lorsque le terme « fractale » est utilisé, il fait le plus souvent référence à une image plate et bidimensionnelle. Cependant, la géométrie fractale dépasse la dimension 2D. Dans la nature, vous pouvez trouver à la fois des exemples de formes fractales plates, par exemple la géométrie de la foudre, et des figures volumétriques tridimensionnelles. Les surfaces fractales peuvent être tridimensionnelles, et une illustration très claire des fractales 3D dans la vie quotidienne est une tête de chou. La meilleure façon de voir les fractales est peut-être dans la variété Romanesco, un hybride de chou-fleur et de brocoli.

Vous pouvez aussi manger cette fractale

Le programme Mandelbulb3D peut créer des objets tridimensionnels ayant une forme similaire. Pour obtenir une surface 3D à l'aide d'un algorithme fractal, les auteurs de cette application, Daniel White et Paul Nylander, ont converti l'ensemble de Mandelbrot en coordonnées sphériques. Le programme Mandelbulb3D qu'ils ont créé est un véritable éditeur tridimensionnel qui modélise des surfaces fractales de différentes formes. Puisque nous observons souvent des motifs fractals dans la nature, un objet tridimensionnel fractal créé artificiellement semble incroyablement réaliste et même « vivant ».

Cela peut ressembler à une plante, à un animal étrange, à une planète ou à autre chose. Cet effet est renforcé par un algorithme de rendu avancé, qui permet d'obtenir des reflets réalistes, de calculer la transparence et les ombres, de simuler l'effet de profondeur de champ, etc. Mandelbulb3D dispose d'un grand nombre de paramètres et d'options de rendu. Vous pouvez contrôler les nuances des sources lumineuses, sélectionner l'arrière-plan et le niveau de détail de l'objet simulé.

L'éditeur de fractales Incendia prend en charge le double lissage d'image, contient une bibliothèque de cinquante fractales tridimensionnelles différentes et dispose d'un module séparé pour l'édition des formes de base.

L'application utilise des scripts fractals, avec lesquels vous pouvez décrire indépendamment de nouveaux types de conceptions fractales. Incendia dispose d'éditeurs de textures et de matériaux, et le moteur de rendu vous permet d'utiliser des effets de brouillard volumétrique et divers shaders. Le programme implémente l'option de sauvegarde d'un tampon lors du rendu à long terme et prend en charge la création d'animations.

Incendia vous permet d'exporter un modèle fractal vers des formats graphiques 3D populaires - OBJ et STL. Incendia inclut un petit utilitaire appelé Geographica, un outil spécial permettant de configurer l'exportation d'une surface fractale vers un modèle 3D. À l'aide de cet utilitaire, vous pouvez déterminer la résolution d'une surface 3D et spécifier le nombre d'itérations fractales. Les modèles exportés peuvent être utilisés dans des projets 3D lorsque vous travaillez avec des éditeurs 3D tels que Blender, 3ds max et autres.

Récemment, les travaux sur le projet Incendia ont quelque peu ralenti. L'auteur recherche actuellement des sponsors pour l'aider à développer le programme.

Si vous n’avez pas assez d’imagination pour dessiner une belle fractale tridimensionnelle dans ce programme, cela n’a pas d’importance. Utilisez la bibliothèque de paramètres située dans le dossier INCENDIA_EX\parameters. À l'aide des fichiers PAR, vous pouvez trouver rapidement les formes fractales les plus inhabituelles, y compris les formes animées.

⇡ Aural : comment chantent les fractales

Nous ne parlons généralement pas de projets en cours de réalisation, mais dans ce cas, nous devons faire une exception, car il s’agit d’une application très inhabituelle. Le projet, appelé Aural, a été inventé par la même personne qui a créé Incendia. Cependant, cette fois, le programme ne visualise pas l'ensemble fractal, mais le sonne, le transformant en musique électronique. L’idée est très intéressante, surtout compte tenu des propriétés inhabituelles des fractales. Aural est un éditeur audio qui génère des mélodies à l'aide d'algorithmes fractaux, c'est-à-dire essentiellement un synthétiseur-séquenceur audio.

La séquence de sons produite par ce programme est inhabituelle et... belle. Il pourrait bien être utile pour écrire des rythmes modernes et, nous semble-t-il, est particulièrement bien adapté à la création de bandes sonores pour les économiseurs d'écran de programmes de télévision et de radio, ainsi que de « boucles » de musique de fond pour les jeux informatiques. Ramiro n'a pas encore fourni de démo de son programme, mais promet que lorsqu'il le fera, pour travailler avec Aural, vous n'aurez pas besoin d'étudier la théorie fractale - il vous suffira de jouer avec les paramètres de l'algorithme de génération d'une séquence de notes. Écoutez le son des fractales, et.

Fractales : pause musicale

En fait, les fractales peuvent vous aider à écrire de la musique même sans logiciel. Mais cela ne peut être fait que par quelqu'un qui est vraiment imprégné de l'idée d'harmonie naturelle et qui ne s'est pas transformé en un malheureux « nerd ». Il est logique de suivre l'exemple d'un musicien nommé Jonathan Coulton, qui écrit, entre autres, des compositions pour le magazine Popular Science. Et contrairement à d'autres artistes, Colton publie toutes ses œuvres sous une licence Creative Commons Attribution-Non commerciale, qui (lorsqu'elle est utilisée à des fins non commerciales) prévoit la copie gratuite, la distribution, le transfert de l'œuvre à d'autres, ainsi que sa modification ( création d'œuvres dérivées) afin de l'adapter à vos tâches.

Jonathan Colton, bien sûr, a une chanson sur les fractales.

⇡Conclusion

Dans tout ce qui nous entoure, nous voyons souvent le chaos, mais en réalité ce n'est pas un accident, mais une forme idéale que les fractales nous aident à discerner. La nature est le meilleur architecte, constructeur et ingénieur idéal. Il est structuré de manière très logique, et si nous ne voyons pas de tendance quelque part, cela signifie que nous devons le rechercher à une autre échelle. Les gens le comprennent de mieux en mieux, essayant d’imiter les formes naturelles de plusieurs manières. Les ingénieurs conçoivent des systèmes de haut-parleurs en forme de coque, créent des antennes en forme de flocon de neige, etc. Nous sommes sûrs que les fractales contiennent encore de nombreux secrets, et que beaucoup d’entre eux n’ont pas encore été découverts par l’homme.