La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs. Par exemple, dans l'expression numérique \(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemple. Développez la parenthèse : \(-(4m+3)\).
Solution : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemple. Ouvrez le support et apportez termes similaires\(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemple. Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution : Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution : Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).

Exemple. Simplifiez l'expression : \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solution : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Reste à considérer la dernière situation.

Lors de la multiplication d'une parenthèse par une parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemple. Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Supprimez la première parenthèse - multipliez chacun de ses termes par la deuxième parenthèse :

Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...

Puis la seconde.

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :

Il n'est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails, vous pouvez les multiplier tout de suite. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.

Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèse dans une parenthèse

Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
- ouvrir les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.

Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solution :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Il y a ici une triple imbrication de parenthèses. Commençons par le plus intérieur (surligné en vert). Il y a un plus devant le support, donc il se détache simplement.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Vous devez maintenant ouvrir le deuxième support, celui intermédiaire. Mais avant cela, nous allons simplifier l’expression des termes fantomatiques dans cette deuxième parenthèse.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Maintenant, nous ouvrons le deuxième support (surligné en bleu). Avant la parenthèse se trouve un facteur - donc chaque terme de la parenthèse est multiplié par celui-ci.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Et ouvrez le dernier support. Il y a un signe moins devant le support, donc tous les signes sont inversés.

Développer des parenthèses est une compétence de base en mathématiques. Sans cette compétence, il est impossible d’avoir une note supérieure à C en 8e et 9e années. Par conséquent, je vous recommande de bien comprendre ce sujet.

Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques, littérales et variables. Il est pratique de passer d’une expression avec parenthèses à une expression identiquement égale sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture des parenthèses.

Développer les parenthèses signifie supprimer les parenthèses d’une expression.

Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités de l'enregistrement des décisions lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme une égalité. Par exemple, après avoir développé les parenthèses au lieu de l'expression
3−(5−7) on obtient l'expression 3−5+7. Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l’égalité 3−(5−7)=3−5+7.

Et encore un point important. En mathématiques, pour abréger les notations, il est d'usage de ne pas écrire le signe plus s'il apparaît en premier dans une expression ou entre parenthèses. Par exemple, si nous additionnons deux nombres positifs, par exemple sept et trois, alors nous n'écrivons pas +7+3, mais simplement 7+3, malgré le fait que sept soit aussi nombre positif. De même, si vous voyez, par exemple, l'expression (5+x) - sachez qu'avant la parenthèse il y a un plus, qui n'est pas écrit, et avant le cinq il y a un plus +(+5+x).

La règle d'ouverture des parenthèses lors de l'addition

Lors de l'ouverture des parenthèses, s'il y a un plus devant les parenthèses, alors ce plus est omis avec les parenthèses.

Exemple. Ouvrez les parenthèses dans l'expression 2 + (7 + 3) Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie qu'on ne change pas les signes devant les chiffres entre parenthèses.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Règle d'ouverture des parenthèses lors de la soustraction

S'il y a un moins avant les parenthèses, alors ce moins est omis avec les parenthèses, mais les termes qui étaient entre parenthèses changent de signe pour le signe opposé. L'absence de signe avant le premier terme entre parenthèses implique un signe +.

Exemple. Développez les parenthèses dans l'expression 2 − (7 + 3)

Il y a un moins avant les parenthèses, ce qui signifie que vous devez changer les signes devant les chiffres entre parenthèses. Entre parenthèses il n'y a pas de signe avant le chiffre 7, cela signifie que sept est positif, on considère qu'il y a un signe + devant.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Lors de l'ouverture des parenthèses, nous supprimons de l'exemple le moins qui se trouvait devant les parenthèses et les parenthèses elles-mêmes 2 − (+ 7 + 3), et remplaçons les signes qui étaient entre parenthèses par les signes opposés.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Développer les parenthèses lors de la multiplication

S'il y a un signe de multiplication devant les parenthèses, alors chaque nombre entre parenthèses est multiplié par le facteur devant les parenthèses. Dans ce cas, multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins, donne un moins.

Ainsi, les parenthèses dans les produits sont développées conformément à la propriété distributive de multiplication.

Exemple. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Lorsque vous multipliez une parenthèse par une parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

En fait, il n'est pas nécessaire de retenir toutes les règles, il suffit de n'en retenir qu'une seule, celle-ci : c(a−b)=ca−cb. Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle (a−b)=a−b. Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle −(a−b)=−a+b. Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèses ouvrantes lors de la division

S'il y a un signe de division après les parenthèses, alors chaque nombre entre parenthèses est divisé par le diviseur après les parenthèses, et vice versa.

Exemple. (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3

Comment développer des parenthèses imbriquées

Si une expression contient des parenthèses imbriquées, elles sont développées dans l'ordre, en commençant par les parenthèses externes ou internes.

Dans ce cas, il est important que lors de l'ouverture de l'un des crochets, ne touchez pas les crochets restants, mais simplement les réécrire tels quels.

Exemple. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Toutes les équations contenant des parenthèses ne sont pas résolues de la même manière. Bien entendu, ils nécessitent le plus souvent d'ouvrir les parenthèses et d'apporter des termes similaires (cependant, les méthodes d'ouverture des parenthèses varient). Mais parfois, il n’est pas nécessaire d’ouvrir les parenthèses. Examinons tous ces cas à l'aide d'exemples précis :

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2. 2x - 3(x + 5) = -12.
3. (x + 1)(7x - 21) = 0.

Résoudre des équations en ouvrant des parenthèses

Cette méthode de résolution d'équations est la plus courante, mais même avec toute son apparente universalité, elle est divisée en sous-types en fonction de la méthode d'ouverture des parenthèses.

1) Résoudre l'équation 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

Dans cette équation, les parenthèses sont précédées des signes moins et plus. Pour ouvrir les parenthèses dans le premier cas, où elles sont précédées d'un signe moins, tous les signes à l'intérieur des parenthèses doivent être remplacés par des signes opposés. La deuxième paire de parenthèses est précédée d'un signe plus, qui n'affectera pas les signes entre parenthèses, ce qui signifie qu'ils peuvent simplement être omis. On a:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Déplaçons les termes avec x vers la gauche de l'équation, et le reste vers la droite (les signes des termes transférés changeront à l'opposé) :

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Regardons des termes similaires :

Pour trouver le facteur inconnu x, divisez le produit 18 par le facteur connu 6 :

x = 18/6 = 3.

2) Résoudre l'équation 2x - 3(x + 5) = -12.

Dans cette équation, il faut aussi d'abord ouvrir les parenthèses, mais en utilisant la propriété distributive : pour multiplier -3 par la somme (x + 5), il faut multiplier -3 par chaque terme entre parenthèses et additionner les produits obtenus :

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Résoudre des équations sans ouvrir de parenthèses

La troisième équation (x + 1)(7x - 21) = 0 peut également être résolue en ouvrant les parenthèses, mais dans de tels cas il est beaucoup plus simple d'utiliser la propriété de multiplication : le produit est égal à zéro lorsque l'un des facteurs égal à zéro. Moyens:

x + 1 = 0 ou 7x - 21 = 0.

Une équation à une inconnue, qui, après avoir ouvert les parenthèses et ramené des termes similaires, prend la forme

hache + b = 0, où a et b sont des nombres arbitraires, est appelé équation linéaire avec une inconnue. Aujourd’hui, nous allons découvrir comment résoudre ces équations linéaires.

Par exemple, toutes les équations :

2x + 3= 7 – 0,5x ; 0,3x = 0 ; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linéaire.

La valeur de l'inconnue qui transforme l'équation en une véritable égalité est appelée décision ou racine de l'équation .

Par exemple, si dans l'équation 3x + 7 = 13 au lieu de l'inconnu x on remplace le nombre 2, on obtient l'égalité correcte 3 2 +7 = 13. Cela signifie que la valeur x = 2 est la solution ou racine de l'équation.

Et la valeur x = 3 ne transforme pas l'équation 3x + 7 = 13 en une véritable égalité, puisque 3 2 +7 ≠ 13. Cela signifie que la valeur x = 3 n'est pas une solution ou une racine de l'équation.

La résolution de n'importe quelle équation linéaire se réduit à résoudre des équations de la forme

hache + b = 0.

Déplaçons le terme libre du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe devant b au contraire, nous obtenons

Si a ≠ 0, alors x = ‒ b/a .

Exemple 1. Résolvez l'équation 3x + 2 =11.

Déplaçons 2 du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe devant 2 à l'opposé, nous obtenons
3x = 11 – 2.

Faisons la soustraction, alors
3x = 9.

Pour trouver x, vous devez diviser le produit par un facteur connu, c'est-à-dire
x = 9:3.

Cela signifie que la valeur x = 3 est la solution ou racine de l'équation.

Réponse : x = 3.

Si a = 0 et b = 0, alors nous obtenons l'équation 0x = 0. Cette équation a une infinité de solutions, car lorsque nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, mais b est également égal à 0. La solution de cette équation est n'importe quel nombre.

Exemple 2. Résolvez l'équation 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Développons les parenthèses :
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Voici quelques termes similaires :
0x = 0.

Réponse : x - n'importe quel nombre.

Si a = 0 et b ≠ 0, alors nous obtenons l'équation 0x = - b. Cette équation n'a pas de solution, puisque lorsque nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, mais b ≠ 0.

Exemple 3. Résolvez l'équation x + 8 = x + 5.

Regroupons les termes contenant des inconnues sur le côté gauche, et les termes libres sur le côté droit :
x – x = 5 – 8.

Voici quelques termes similaires :
0х = ‒ 3.

Réponse : aucune solution.

Sur Figure 1 montre un diagramme pour résoudre une équation linéaire

Composons régime général résoudre des équations à une variable. Considérons la solution de l'exemple 4.

Exemple 4. Supposons que nous devions résoudre l'équation

1) Multipliez tous les termes de l'équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs, égal à 12.

2) Après réduction on obtient
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Pour séparer les termes contenant des termes inconnus et libres, ouvrez les parenthèses :
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Regroupons dans une partie les termes contenant des inconnues, et dans l'autre - les termes libres :
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Présentons des termes similaires :
- 22x = - 154.

6) Divisez par – 22, nous obtenons
x = 7.

Comme vous pouvez le constater, la racine de l’équation est sept.

Généralement tel les équations peuvent être résolues en utilisant le schéma suivant:

a) amener l'équation à sa forme entière ;

b) ouvrir les supports ;

c) regrouper les termes contenant l'inconnue dans une partie de l'équation, et les termes libres dans l'autre ;

d) amener des membres similaires ;

e) résoudre une équation de la forme aх = b, qui a été obtenue après avoir rapproché des termes similaires.

Cependant, ce schéma n’est pas nécessaire pour toutes les équations. Lorsque vous résolvez de nombreuses équations plus simples, vous ne devez pas commencer par la première, mais par la seconde ( Exemple. 2), troisième ( Exemple. 13) et même dès la cinquième étape, comme dans l'exemple 5.

Exemple 5. Résolvez l'équation 2x = 1/4.

Trouver l'inconnu x = 1/4 : 2,
x = 1/8 .

Examinons la résolution de quelques équations linéaires trouvées dans l'examen d'État principal.

Exemple 6. Résolvez l'équation 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Réponse : - 0,125

Exemple 7. Résolvez l'équation – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Réponse : 2.3

Exemple 8. Résous l'équation

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Exemple 9. Trouver f(6) si f (x + 2) = 3 7

Solution

Puisque nous devons trouver f(6), et que nous connaissons f (x + 2),
alors x + 2 = 6.

On résout l'équation linéaire x + 2 = 6,
nous obtenons x = 6 – 2, x = 4.

Si x = 4 alors
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Réponse : 27.

Si vous avez encore des questions, vous souhaitez mieux comprendre la solution des équations. Je serai heureux de vous aider!

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