4.1. Séries fonctionnelles : concepts de base, zone de convergence

Définition 1. Une série dont les membres sont des fonctions d'un ou
plusieurs variables indépendantes définies sur un certain ensemble sont appelées gamme fonctionnelle.

Considérons une série fonctionnelle dont les membres sont des fonctions d'une variable indépendante X. Somme du premier n les membres d’une série sont une somme partielle d’une série fonctionnelle donnée. Membre général il y a une fonction de X, défini dans une certaine région. Considérons la série fonctionnelle au point . Si la série de numéros correspondante converge, c'est-à-dire il y a une limite sur les sommes partielles de cette série
(Où − somme d'une série de nombres), alors le point est appelé point de convergence gamme fonctionnelle . Si la série de numéros diverge, alors le point est appelé point de divergence gamme fonctionnelle.

Définition 2. Zone de convergence gamme fonctionnelle est appelé l'ensemble de toutes ces valeurs X, auquel la série fonctionnelle converge. La région de convergence, composée de tous les points de convergence, est notée . Noter que R.

La série fonctionnelle converge dans la région , si pour quelque il converge comme une série de nombres, et sa somme sera une fonction . C'est ce qu'on appelle fonction limite séquences : .

Comment trouver l'aire de convergence d'une série de fonctions ? Vous pouvez utiliser un signe similaire à celui de d'Alembert. Pour une rangée composer et considérez la limite pour un montant fixe X:
. Alors est une solution à l'inégalité et résoudre l'équation (nous prenons uniquement les solutions de l'équation dans
quelles séries de nombres correspondantes convergent).

Exemple 1. Trouvez l'aire de convergence de la série.

Solution. Notons , . Composons et calculons la limite, alors la région de convergence de la série est déterminée par l'inégalité et l'équation . Examinons plus en détail la convergence de la série originale aux points qui sont les racines de l'équation :

et si , , alors on obtient une série divergente ;

b) si , , puis la série converge conditionnellement (par

Le critère de Leibniz, exemple 1, cours 3, section. 3.1).

Ainsi, la région de convergence la série ressemble à : .

4.2. Séries entières : concepts de base, théorème d'Abel

Considérons un cas particulier de série fonctionnelle, dite série de puissance , Où
.

Définition 3. Série de puissance est appelée une série fonctionnelle de la forme,

Où − nombres constants appelés coefficients de la série.

Une série de puissances est un « polynôme infini » disposé en puissances croissantes. . N'importe quelle série de nombres est
un cas particulier d'une série entière pour .

Considérons le cas particulier d'une série entière pour :
. Voyons de quel type il s'agit
région de convergence de cette série .

Théorème 1 (théorème d'Abel). 1) Si la série entière converge en un point , alors il converge absolument pour tout X, pour lequel l'inégalité est vraie .

2) Si la série de puissances diverge à , alors il diverge pour tout X, Pour qui .

Preuve. 1) Par condition, la série de puissances converge au point ,

c'est-à-dire que la série de nombres converge

(1)

et selon le critère nécessaire de convergence, son terme commun tend vers 0, c'est-à-dire . Il existe donc un tel nombre que tous les membres de la série sont limités par ce nombre :
.

Considérons maintenant n'importe quel X, Pour qui , et faites une série de valeurs absolues : .
Écrivons cette série sous une forme différente : puisque , puis (2).

Des inégalités
nous obtenons, c'est-à-dire rangée

se compose de termes supérieurs aux termes correspondants de la série (2). Rangée représente une série convergente d'une progression géométrique avec un dénominateur , et , parce que . Par conséquent, la série (2) converge en . Ainsi, la série entière correspond absolument.

2) Laissez la série diverge à , autrement dit,

les séries de nombres divergent . Prouvons que pour tout X () la série diverge. La preuve est par contradiction. Laisse pour un peu

fixé ( ) la série converge, alors elle converge pour tout (voir la première partie de ce théorème), en particulier pour , ce qui contredit la condition 2) du théorème 1. Le théorème est prouvé.

Conséquence. Le théorème d'Abel permet de juger de l'emplacement du point de convergence d'une série entière. Si le point est le point de convergence de la série entière, alors l'intervalle rempli de points de convergence; si le point de divergence est le point , Que
intervalles infinis rempli de points de divergence (Fig. 1).

Riz. 1. Intervalles de convergence et de divergence de la série

On peut montrer qu'il existe un tel nombre ça devant tout le monde
série de puissance converge absolument, et quand − diverge. Nous supposerons que si la série ne converge qu’en un point 0, alors , et si la série converge pour tout , Que .

Définition 4. Intervalle de convergence série de puissance un tel intervalle est appelé ça devant tout le monde cette série converge et, d'ailleurs, absolument, et pour tous X, située en dehors de cet intervalle, la série diverge. Nombre R. appelé rayon de convergence série de puissance.

Commentaire. Aux fins de l'intervalle la question de la convergence ou de la divergence d'une série de puissances est résolue séparément pour chaque série spécifique.

Montrons l'une des façons de déterminer l'intervalle et le rayon de convergence d'une série de puissances.

Considérons la série de puissances et désigne .

Faisons une série de valeurs absolues de ses membres :

et lui appliquer le test de d'Alembert.

Laisse-le exister

.

D'après le test de d'Alembert, une série converge si , et diverge si . Donc la série converge en , alors l’intervalle de convergence est : . Quand les séries divergent, puisque .
Utiliser la notation , on obtient une formule pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière :

,

Où − coefficients de séries de puissances.

S'il s'avère que la limite , alors nous supposons .

Pour déterminer l'intervalle et le rayon de convergence d'une série entière, vous pouvez également utiliser le test radical de Cauchy ; le rayon de convergence de la série est déterminé à partir de la relation .

Définition 5. Série de puissances généralisées est appelée une série de la forme

. On l'appelle aussi série de puissances .
Pour une telle série, l’intervalle de convergence a la forme : , Où − rayon de convergence.

Montrons comment trouver le rayon de convergence d'une série de puissances généralisée.

ceux. , Où .

Si , Que , et la région de convergence R ; Si , Que et région de convergence .

Exemple 2. Trouver l'aire de convergence de la série .

Solution. Notons . Fixons une limite

Résoudre l’inégalité : , , donc l'intervalle

la convergence a la forme : , et R.= 5. De plus, nous examinons les extrémités de l’intervalle de convergence :
UN) , , on obtient la série , qui diverge ;
b) , , on obtient la série , qui converge
conditionnellement. Ainsi, la zone de convergence est : , .

Répondre: région de convergence .

Exemple 3. Rangée différent pour tout le monde , parce que à , rayon de convergence .

Exemple 4. La série converge pour tout R, rayon de convergence .

– peut-être que le complexe ne s'avérera pas si complexe ;) Et le titre de cet article est également fallacieux - les séries qui seront discutées aujourd'hui ne sont plutôt pas complexes, mais des « terres rares ». Cependant, même les étudiants à temps partiel n’en sont pas à l’abri et cette leçon apparemment supplémentaire doit donc être prise avec le plus grand sérieux. Après tout, après avoir travaillé dessus, vous serez capable d'affronter presque n'importe quelle « bête » !

Commençons par les classiques du genre :

Exemple 1

Tout d'abord, notez qu'il ne s'agit PAS d'une série de puissances (je vous rappelle à quoi ça ressemble). Et, deuxièmement, ici la valeur attire immédiatement l'attention, qui ne peut évidemment pas être incluse dans la zone de convergence de la série. Et c’est déjà une petite réussite de l’étude !

Mais quand même, comment obtenir un grand succès ? Je m'empresse de vous plaire - de telles séries peuvent être résolues exactement de la même manière que pouvoir– basé sur le signe de d’Alembert ou le signe radical de Cauchy !

Solution: la valeur n'est pas dans la plage de convergence de la série. C’est un fait significatif, et il faut le noter !

L'algorithme de base fonctionne en standard. En utilisant le critère de d'Alembert, on trouve l'intervalle de convergence de la série :

La série converge vers . Déplaçons le module vers le haut :

Vérifions tout de suite le « mauvais » point : la valeur n’est pas incluse dans la plage de convergence de la série.

Examinons la convergence des séries aux extrémités « intérieures » des intervalles :
si donc
si donc

Les deux séries de nombres divergent parce que signe nécessaire de convergence.

Répondre: zone de convergence :

Faisons une petite vérification analytique. Remplaçons une valeur du bon intervalle dans la série fonctionnelle, par exemple :
– converge vers signe de d'Alembert.

Dans le cas de substitution de valeurs de l'intervalle de gauche, des séries convergentes sont également obtenues :
si donc .

Et enfin, si , alors la série – diverge vraiment.

Quelques exemples simples pour vous réchauffer :

Exemple 2

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

Exemple 3

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

Soyez particulièrement doué pour gérer les « nouveaux » module– cela se produira 100 500 fois aujourd’hui !

Brèves solutions et réponses à la fin de la leçon.

Les algorithmes utilisés semblent universels et sans problème, mais en réalité ce n'est pas le cas - pour de nombreuses séries fonctionnelles, ils « glissent » souvent et conduisent même à des conclusions erronées (Je considérerai également de tels exemples).

Les aspérités commencent déjà au niveau de l'interprétation des résultats : considérons, par exemple, les séries. Ici, dans la limite, nous obtenons (vérifiez-le vous-même), et en théorie, vous devez répondre que la série converge en un seul point. Pourtant, le point est « joué », ce qui fait que notre « patient » diverge partout !

Et pour une série, la solution « évidente » de Cauchy ne donne rien du tout :
– pour TOUTE valeur de « x ».

Et la question se pose, que faire ? Nous utilisons la méthode à laquelle sera consacrée l'essentiel de la leçon ! Il peut être formulé ainsi :

Analyse directe de séries de nombres pour diverses valeurs

En fait, nous avons déjà commencé à le faire dans l’exemple 1. Tout d’abord, nous examinons un « X » spécifique et la série de nombres correspondante. Il faut prendre la valeur :
– la série de nombres résultante diverge.

Et cela suscite immédiatement la réflexion : et si la même chose se produisait à d’autres moments ?
Allons vérifier un signe nécessaire de convergence d'une série Pour arbitraire significations :

Le point est pris en compte ci-dessus, pour tous les autres "X" Nous organiserons en standard deuxième limite merveilleuse:

Conclusion: la série diverge sur toute la droite numérique

Et cette solution est l’option la plus réalisable !

En pratique, les séries fonctionnelles doivent souvent être comparées à série harmonique généralisée :

Exemple 4

Solution: tout d'abord, parlons de domaine de définition: dans ce cas, l'expression radicale doit être strictement positive, et, de plus, tous les termes de la série doivent exister, à partir du 1er. Il en résulte que :
. Avec ces valeurs, on obtient des séries conditionnellement convergentes :
etc.

Les autres « x » ne conviennent pas, par exemple lorsque nous avons un cas illégal où les deux premiers termes de la série n’existent pas.

Tout va bien, tout est clair, mais une autre question importante demeure : comment formaliser correctement la décision ? Je propose un schéma qui peut être familièrement appelé « traduction de flèches » en séries de nombres :

Considérons arbitraire signification et étudier la convergence des séries de nombres. Routine Le signe de Leibniz:

1) Cette série est en alternance.

2) – les termes de la série diminuent en module. Chaque membre suivant de la série est moins modulo que le précédent : , ce qui signifie que la diminution est monotone.

Conclusion : la série converge selon le critère de Leibniz. Comme déjà noté, la convergence ici est conditionnelle - pour la raison que la série – diverge.

Juste comme ça - soigné et correct ! Parce que derrière « alpha », nous avons intelligemment caché toutes les séries de chiffres autorisées.

Répondre: la série fonctionnelle existe et converge conditionnellement vers .

Un exemple similaire pour une solution indépendante :

Exemple 5

Étudier la convergence d’une série fonctionnelle

Un échantillon approximatif du devoir final à la fin de la leçon.

Voilà pour votre « hypothèse de travail » ! – la série fonctionnelle converge vers l’intervalle !

2) Avec un intervalle symétrique tout est transparent, considérons arbitraire valeurs et on obtient : – des séries de nombres absolument convergentes.

3) Et enfin, le « milieu ». Ici aussi, il convient de souligner deux lacunes.

Nous envisageons arbitraire valeur de l'intervalle et nous obtenons une série de nombres :

! Encore une fois - si c'est difficile , remplacez un numéro spécifique, par exemple . Cependant... tu voulais des difficultés =)

Terminé pour toutes les valeurs de "en" , Moyens:
- ainsi, selon comparaison la série converge avec une progression infiniment décroissante.

Pour toutes les valeurs de « x » de l’intervalle on obtient – séries de nombres absolument convergentes.

Tous les « X » ont été explorés, il n’y a plus de « X » !

Répondre: plage de convergence de la série :

Je dois dire, un résultat inattendu ! Et il faut ajouter aussi que l'utilisation ici des signes de d'Alembert ou de Cauchy sera définitivement trompeuse !

L'évaluation directe est la « voltige » de l'analyse mathématique, mais cela nécessite bien sûr de l'expérience, et dans certains cas même de l'intuition.

Ou peut-être que quelqu'un trouvera un moyen plus simple ? Écrire! À propos, il existe des précédents - des lecteurs ont proposé à plusieurs reprises des solutions plus rationnelles et je les ai publiées avec plaisir.

Bon atterrissage :)

Exemple 11

Trouver l'aire de convergence des séries fonctionnelles

Ma version de la solution est très proche.

Du hardcore supplémentaire peut être trouvé dans Section VI (Lignes) La collection de Kouznetsov (Problèmes 11-13). Il existe des solutions toutes faites sur Internet, mais ici j'ai besoin de vous avertir– beaucoup d’entre eux sont incomplets, incorrects, voire complètement erronés. Et c’est d’ailleurs l’une des raisons pour lesquelles cet article est né.

Résumons les trois enseignements et systématisons nos outils. Donc:

Pour trouver le(s) intervalle(s) de convergence d’une série de fonctions, vous pouvez utiliser:

1) Le signe de D'Alembert ou le signe de Cauchy. Et si la ligne n'est pas calme– nous faisons preuve d'une prudence accrue lors de l'analyse du résultat obtenu par substitution directe de diverses valeurs.

2) Test de Weierstrass pour la convergence uniforme. N'oubliez pas !

3) Comparaison avec les séries de numéros standards- les règles dans le cas général.

Alors examiner les extrémités des intervalles trouvés (si besoin) et on obtient la région de convergence de la série.

Vous disposez désormais d'un arsenal assez sérieux qui vous permettra de faire face à presque toutes les tâches thématiques.

Je te souhaite du succès!

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: la valeur n'est pas dans la plage de convergence de la série.
On utilise le signe de d'Alembert :


La série converge vers :

Ainsi, les intervalles de convergence des séries fonctionnelles : .
Etudions la convergence de la série aux extrémités :
si donc ;
si donc .
Les deux séries de nombres divergent, car le critère de convergence nécessaire n’est pas rempli.

Répondre : zone de convergence :

Zone de convergence Une série fonctionnelle est une série dont les membres sont des fonctions / définies sur un certain ensemble E de l'axe des nombres. Par exemple, les termes d'une série sont définis sur un intervalle, et les termes d'une série sont définis sur un intervalle. Une série fonctionnelle (1) est dite converger au point Ho € E si elle converge SÉRIE FONCTIONNELLE Région de convergence Uniforme convergence Test de Weierstrass Propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes série numérique Si la série (1) converge en chaque point x de l'ensemble D C E et diverge en chaque point qui n'appartient pas à l'ensemble D, alors on dit que la série converge vers l'ensemble D, et D est appelé la région de convergence de la série. Une série (1) est dite absolument convergente sur un ensemble D si la série converge sur cet ensemble. Dans le cas de convergence d'une série (1) sur un ensemble D, sa somme S sera une fonction définie sur D. La région de convergence de certaines séries fonctionnelles peut être trouvée à l'aide de critères suffisants connus établis pour les séries à termes positifs, par exemple le test de Dapambert, le test de Cauchy. Exemple 1. Trouver la région de convergence de la série M Puisque la série numérique converge pour p > 1 et diverge pour p ^ 1, alors, en supposant p - Igx, nous obtenons cette série. qui convergera vers Igx > T c'est-à-dire si x > 10, et divergent lorsque Igx ^ 1, c'est-à-dire à 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > La ligne 0 diverge, puisque A =. La divergence de la série en x = 0 est évidente. Exemple 3. Trouver la région de convergence de la série.Les termes de la série donnée sont définis et continus sur l'ensemble. En utilisant le critère Kosh et, on trouve pour tout. Par conséquent, la série diverge pour toutes les valeurs de x. Notons Sn(x) la nième somme partielle de la série fonctionnelle (1). Si cette série converge vers l'ensemble D et que sa somme est égale à 5(g), alors elle peut être représentée sous la forme où est la somme des séries convergeant vers l'ensemble D qui est appelée le nième reste de la série fonctionnelle ( 1). Pour toutes les valeurs de x € D la relation et est donc vraie. c'est-à-dire que le reste Rn(x) d'une série convergente tend vers zéro lorsque n oo, quel que soit x 6 D. Convergence uniforme Parmi toutes les séries fonctionnelles convergentes, les séries dites uniformément convergentes jouent un rôle important. Soit une série de fonctions convergentes sur un ensemble D dont la somme est égale à S(x). Prenons sa nième somme partielle Définition. Série fonctionnelle SÉRIE FONCTIONNELLE Domaine de convergence Convergence uniforme Test de Weierstrass Les propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes sont dites uniformément convergentes sur l'ensemble PS1) si pour tout nombre e > O il existe un nombre Γ > O tel que l'inégalité est vraie pour tous les nombres n > N et pour tout x de l'ensemble fI. Commentaire. Ici le nombre N est le même pour tous x € Yu, c'est-à-dire ne dépend pas de z, mais dépend du choix du nombre e, on écrit donc N = N(e). La convergence uniforme de la série fonctionnelle £ /n(®) vers la fonction S(x) sur l'ensemble ft est souvent notée comme suit : La définition de la convergence uniforme de la série /n(x) sur l'ensemble ft peut s'écrire plus brièvement en utilisant des symboles logiques : expliquons géométriquement la signification de la plage fonctionnelle de convergence uniforme. Prenons le segment [a, 6] comme ensemble ft et construisons des graphiques des fonctions. L'inégalité |, qui vaut pour les nombres n > N et pour tout a ; G [a, b], peut s'écrire sous la forme suivante. Les inégalités obtenues montrent que les graphiques de toutes les fonctions y = 5n(x) de nombres n > N seront entièrement contenus dans la bande £ limitée par les courbes y = S(x) - e et y = 5(g) + e (Fig. 1). Exemple 1 converge uniformément sur l'intervalle Cette série est de signe alterné, satisfait aux conditions du critère de Leibniz pour tout x € [-1,1] et, donc, converge sur l'intervalle (-1,1). Soit S(x ) soit sa somme, et Sn (x) est sa nième somme partielle. Le reste de la série en valeur absolue n'excède pas la valeur absolue de son premier terme : et puisque Prenons n'importe quel e. Alors l'inégalité | sera satisfaite si. De là, nous trouvons que n > \. Si l'on prend un nombre (ici [a] désigne le plus grand entier ne dépassant pas a), alors l'inégalité | e sera valable pour tous les nombres n > N et pour tout x € [-1,1). Cela signifie que cette série converge uniformément sur l'intervalle [-1,1). I. Toutes les séries fonctionnelles convergeant sur un ensemble D ne convergent pas uniformément sur l'exemple 2. Montrons que la série converge sur un intervalle, mais pas uniformément. 4 Calculons la nième somme partielle £„(*) de la série. On a Où cette série converge-t-elle sur le segment et sa somme si La valeur absolue de la différence S(x) - 5„(x) (le reste de la série) est égale. Prenons un nombre e tel que. Soit on résout l'inégalité par rapport à n, on a d'où (puisque, et en divisant par Inx, le signe de l'inégalité change à l'opposé). L'inégalité sera satisfaite quand. Par conséquent, il existe un tel nombre N(e) indépendant de x que l'inégalité est satisfaite pour chacun) pour tous les x du segment à la fois. , n'existe pas. Si l'on remplace le segment 0 par un segment plus petit, où, alors sur ce dernier cette série convergera uniformément vers la fonction S0. En fait, pour, et donc pour pour tous x à la fois §3. Test de Weierstrass Un test suffisant pour la convergence uniforme d'une série fonctionnelle est donné par le théorème de Weierstrass. Théorème 1 (test de Weierstrass). Soit pour tout x de l'ensemble Q les termes de la série fonctionnelle en valeur absolue ne dépassent pas les membres correspondants de la série numérique convergente P = 1 à termes positifs, c'est-à-dire pour tout x € Q. Alors la série fonctionnelle (1 ) sur l'ensemble P converge absolument et uniformément . Et Tek puisque, d'après les conditions du théorème, les termes de la série (1) satisfont la condition (3) sur l'ensemble Q, alors par comparaison la série 2 \fn(x)\ converge pour tout x € I, et , par conséquent, la série (1) converge absolument vers P. Montrons la convergence uniforme de la série (1). Soient Sn(x) et an les sommes partielles des séries (1) et (2), respectivement. Nous avons Prenez n'importe quel nombre (arbitrairement petit) e > 0. Ensuite, de la convergence de la série de nombres (2), il résulte l'existence d'un nombre N = N(e) tel que, par conséquent, -e pour tous les nombres n > N (e) et pour tout xbP , c'est-à-dire la série (1) converge uniformément vers l'ensemble P. Remarque. La série numérique (2) est souvent appelée majorante, ou majorante, pour la série fonctionnelle (1). Exemple 1. Examinez la convergence uniforme de la série. L'inégalité est valable pour tous. et pour tout le monde. La série de nombres converge. Grâce au critère de Weierstrass, la série fonctionnelle considérée converge de manière absolue et uniforme sur tout l'axe. Exemple 2. Examinez la convergence uniforme de la série. Les termes de la série sont définis et continus sur l'intervalle [-2,2|. Puisque sur l'intervalle [-2,2) pour tout nombre naturel n, alors Ainsi, l'inégalité est valable pour. Puisque la série numérique converge, alors, selon le critère de Weierstrass, la série fonctionnelle originale converge de manière absolue et uniforme sur le segment. Commentaire. La série fonctionnelle (1) peut converger uniformément vers l'ensemble Piv dans le cas où il n'y a pas de série numérique majorante (2), c'est-à-dire que le critère de Weierstrass n'est qu'un critère suffisant pour une convergence uniforme, mais n'est pas nécessaire. Exemple. Comme cela a été montré ci-dessus (exemple), la série converge uniformément sur le segment 1-1,1]. Cependant, pour cela, il n’existe pas de série de nombres convergents majeurs (2). En fait, pour tout naturel n et pour tout x € [-1,1) l'inégalité est satisfaite et l'égalité est atteinte quand. Par conséquent, les membres de la série majorante souhaitée (2) doivent certainement satisfaire à la condition mais la série de nombres SÉRIE FONCTIONNELLE Zone de convergence Convergence uniforme Test de Weierstrass Propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes diverge. Cela signifie que les séries £op divergeront également. Propriétés des séries fonctionnelles uniformément convergentes Les séries fonctionnelles uniformément convergentes ont un certain nombre de propriétés importantes. Théorème 2. Si tous les termes d'une série convergeant uniformément sur l'intervalle [a, b] sont multipliés par la même fonction d(x) bornée à [a, 6], alors la série fonctionnelle résultante convergera uniformément vers. Soit sur l'intervalle [a, b\ la série £ fn(x) convergeant uniformément vers la fonction 5(x), et la fonction d(x) étant bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante C > 0 telle que Par la définition de convergence uniforme de la série pour tout nombre e > 0 il existe un nombre N tel que pour tout n > N et pour tout x € [a, b] l'inégalité sera satisfaite où 5n(ar) est la somme partielle des série à l'étude. Nous l’aurons donc pour tout le monde. la série converge uniformément vers [a, b| à la fonction Théorème 3. Soient tous les termes fn(x) de la série fonctionnelle et la série converge uniformément sur l'intervalle [a, b\. Alors la somme S(x) de la série est continue sur cet intervalle. M Prenons deux points arbitraires ig + Ax sur le segment [o, b]. Puisque cette série converge uniformément sur l'intervalle [a, b], alors pour tout nombre e > O il existe un nombre N = N(e) tel que pour tout i > N les inégalités sont satisfaites où 5µ(g) sont les sommes partielles de la série fn (x). Ces sommes partielles 5n(x) sont continues sur l'intervalle [a, 6] comme sommes d'un nombre fini de fonctions fn(x) continues sur [a, 6]. Donc, pour un nombre fixe no > N(e) et un nombre e donné, il existe un nombre 6 = 6(e) > 0 tel que pour l'incrément Ax satisfaisant la condition |, l'inégalité sera vraie : L'incrément AS de la somme S(x) peut être représentée sous la forme suivante : où. Compte tenu des inégalités (1) et (2), pour les incréments Ax satisfaisant la condition |, on obtient Cela signifie que la somme Six) est continue au point x. Puisque x est un point arbitraire du segment [a, 6], alors 5(x) est continue sur |a, 6|. Commentaire. Une série fonctionnelle dont les termes sont continus sur l'intervalle [a, 6), mais qui converge inégalement vers (a, 6], peut avoir une fonction discontinue comme somme. Exemple 1. Considérons une série fonctionnelle sur l'intervalle |0,1 ). Calculons sa nième somme partielle. Elle est donc discontinue sur le segment, bien que les termes de la série y soient continus. En vertu du théorème prouvé, cette série n’est pas uniformément convergente sur l’intervalle. Exemple 2. Considérons la série Comme indiqué ci-dessus, cette série converge vers, la série convergera uniformément selon le test de Weierstrass, puisque 1 et la série numérique convergent. Par conséquent, pour tout x > 1, la somme de cette série est continue. Commentaire. La fonction s'appelle la fonction de Riemann (cette fonction joue un rôle important dans la théorie des nombres). Théorème 4 (sur l'intégration terme à terme d'une série fonctionnelle). Soit tous les termes fn(x) de la série continus et la série converge uniformément sur l'intervalle [a, b] vers la fonction S(x). Alors l'égalité est vraie : Du fait de la continuité des fonctions f„(x) et de la convergence uniforme de cette série sur l'intervalle [a, 6], sa somme 5(x) est continue et donc intégrable sur . Considérons la différence De la convergence uniforme de la série sur [o, b] il s'ensuit que pour tout e > 0 il existe un nombre N(e) > 0 tel que pour tous les nombres n > N(e) et pour tout x € [a, 6] l'inégalité sera satisfaite. Si la série fn(0 n'est pas uniformément convergente, alors, d'une manière générale, elle ne peut pas être intégrée terme à terme, c'est-à-dire Théorème 5 (sur la différenciation terme à terme d'une série fonctionnelle) . Soit tous les termes de la série convergente 00 ayant des dérivées continues et la série composée de ces dérivées converge uniformément sur l'intervalle [a, b]. Alors en tout point l'égalité est vraie, c'est-à-dire que cette série peut être différenciée en terme par terme. M Prenons deux points quelconques. Alors, en vertu du théorème 4, nous aurons La fonction o-(x) est continue comme la somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues. Par conséquent, en différenciant l'égalité, nous obtenons Exercices Trouver les zones de convergence de ces séries fonctionnelles : A l'aide du test de Weierstrass, prouver la convergence uniforme de ces séries fonctionnelles sur les intervalles indiqués :

Gamme fonctionnelle s'appelle une expression formellement écrite

toi1 (X) + toi 2 (X) + toi 3 (X) + ... + toi n( X) + ... , (1)

Où toi1 (X), toi 2 (X), toi 3 (X), ..., toi n( X), ... - séquence de fonctions de la variable indépendante X.

Notation abrégée d'une série fonctionnelle avec sigma : .

Des exemples de séries fonctionnelles comprennent :

(2)

(3)

Donner la variable indépendante X une certaine valeur X0 et en le substituant dans la série fonctionnelle (1), on obtient la série numérique

toi1 (X 0 ) + toi 2 (X 0 ) + toi 3 (X 0 ) + ... + toi n( X 0 ) + ...

Si la série numérique résultante converge, alors la série fonctionnelle (1) est dite converger pour X = X0 ; si elle diverge, on dit que la série (1) diverge en X = X0 .

Exemple 1. Étudier la convergence d'une série fonctionnelle(2) aux valeurs X= 1 et X = - 1 .
Solution. À X= 1 nous obtenons une série de nombres

qui converge selon le critère de Leibniz. À X= - 1 on obtient une série de nombres

,

qui diverge comme le produit d'une série harmonique divergente par – 1. Ainsi, la série (2) converge en X= 1 et diverge à X = - 1 .

Si une telle vérification de la convergence de la série fonctionnelle (1) est effectuée par rapport à toutes les valeurs de la variable indépendante du domaine de définition de ses membres, alors les points de ce domaine seront divisés en deux ensembles : pour les valeurs X, prise dans l'une d'elles, la série (1) converge, et dans l'autre elle diverge.

L'ensemble des valeurs de la variable indépendante vers lesquelles converge la série fonctionnelle est appelé son zone de convergence .

Exemple 2. Trouver l'aire de convergence de la série fonctionnelle

Solution. Les termes de la série sont définis sur toute la droite numérique et forment une progression géométrique avec un dénominateur q= péché X. La série converge donc si

et diverge si

(valeurs impossibles). Mais pour les valeurs et pour d'autres valeurs X. La série converge donc pour toutes les valeurs X, sauf . La région de sa convergence est la droite numérique entière, à l'exception de ces points.

Exemple 3. Trouver l'aire de convergence de la série fonctionnelle

Solution. Les termes de la série forment une progression géométrique avec le dénominateur q=ln X. Par conséquent, la série converge si , ou , d’où . C'est la région de convergence de cette série.

Exemple 4. Étudier la convergence d'une série fonctionnelle

Solution. Prenons une valeur arbitraire. Avec cette valeur, nous obtenons une série de nombres

(*)

Trouvons la limite de son terme commun

Par conséquent, la série (*) diverge pour un choix arbitraire, c'est-à-dire à n'importe quelle valeur X. Sa région de convergence est l’ensemble vide.

Convergence uniforme d'une série fonctionnelle et de ses propriétés

Passons au concept convergence uniforme de la série fonctionnelle . Laisser s(X) est la somme de cette série, et sn( X) - somme n les premiers membres de cette série. Gamme fonctionnelle toi1 (X) + toi 2 (X) + toi 3 (X) + ... + toi n( X) + ... est dit uniformément convergent sur l'intervalle [ un, b] , si pour un nombre arbitrairement petit ε > 0 il y a un tel nombre Nça devant tout le monde n ≥ N l'inégalité sera comblée

|s(X) − s n( X)| < ε

pour tout le monde X du segment [ un, b] .

La propriété ci-dessus peut être illustrée géométriquement comme suit.

Considérons le graphique de la fonction oui = s(X) . Construisons une bande de largeur 2 autour de cette courbe ε n, c'est-à-dire que nous allons construire des courbes oui = s(X) + ε n Et oui = s(X) − ε n(sur la photo ci-dessous, ils sont verts).

Alors pour tout ε n graphique d'une fonction sn( X) se situera entièrement dans la bande considérée. La même bande contiendra des graphiques de toutes les sommes partielles ultérieures.

Toute série fonctionnelle convergente qui ne présente pas la caractéristique décrite ci-dessus est inégalement convergente.

Considérons une autre propriété des séries fonctionnelles uniformément convergentes :

la somme d'une série de fonctions continues convergeant uniformément sur un certain intervalle [ un, b] , il existe une fonction continue sur cet intervalle.

Exemple 5. Déterminer si la somme d'une série fonctionnelle est continue

Solution. Trouvons la somme n les premiers membres de cette série :

Si X> 0, alors

,

Si X < 0 , то

Si X= 0, alors

Et donc .

Nos recherches ont montré que la somme de cette série est une fonction discontinue. Son graphique est présenté dans la figure ci-dessous.

Test de Weierstrass pour la convergence uniforme des séries fonctionnelles

Nous abordons le critère de Weierstrass à travers le concept majorisabilité des séries fonctionnelles . Gamme fonctionnelle

toi1 (X) + toi 2 (X) + toi 3 (X) + ... + toi n( X) + ...

Série fonctionnelle. Série de puissance.
Plage de convergence de la série

Le rire sans raison est un signe de d'Alembert

L’heure des grades fonctionnels a sonné. Pour maîtriser avec succès le sujet, et en particulier cette leçon, vous devez avoir une bonne compréhension des séries de nombres ordinaires. Vous devez avoir une bonne compréhension de ce qu'est une série et être capable d'appliquer des critères de comparaison pour examiner la convergence de la série. Ainsi, si vous venez de commencer à étudier le sujet ou si vous êtes débutant en mathématiques supérieures, nécessaire travaillez sur trois leçons en séquence : Des lignes pour les nuls,Le signe de D'Alembert. Les signes de Cauchy Et Rangées alternées. Le test de Leibniz. Certainement les trois ! Si vous possédez des connaissances et des compétences de base pour résoudre des problèmes avec des séries de nombres, alors gérer les séries fonctionnelles sera assez simple, car il n'y a pas beaucoup de nouveau matériel.

Dans cette leçon, nous examinerons le concept de série fonctionnelle (ce qu'elle est), nous familiariserons avec les séries de puissances, que l'on retrouve dans 90 % des tâches pratiques, et apprendrons à résoudre un problème typique courant de recherche du rayon. de convergence, d'intervalle de convergence et de région de convergence d'une série de puissances. Ensuite, je recommande de considérer le matériel sur extension des fonctions en séries entières, et les premiers secours seront prodigués au débutant. Après avoir repris un peu notre souffle, on passe au niveau suivant :

Également dans la section des séries fonctionnelles, il y en a de nombreuses applications au calcul approximatif, et se démarquent à certains égards des séries de Fourier, qui, en règle générale, font l'objet d'un chapitre distinct dans la littérature pédagogique. Je n’ai qu’un seul article, mais il est long et il y a de très nombreux exemples supplémentaires !

Voilà, les repères sont posés, c'est parti :

Le concept de série fonctionnelle et de série de puissance

Si la limite s'avère être l'infini, alors l'algorithme de solution termine également son travail, et nous donnons la réponse finale à la tâche : « La série converge vers » (ou vers l'un ou l'autre « ). Voir cas n°3 du paragraphe précédent.

Si la limite s'avère n'être ni zéro ni l'infini, nous avons alors le cas le plus courant dans la pratique n°1 - la série converge sur un certain intervalle.

Dans ce cas, la limite est . Comment trouver l’intervalle de convergence d’une série ? On compense l'inégalité :

DANS TOUTE tâche de ce type du côté gauche de l’inégalité devrait être résultat du calcul de la limite, et du côté droit de l’inégalité – strictement unité. Je n’expliquerai pas exactement pourquoi il y a une telle inégalité et pourquoi il y en a une à droite. Les cours sont orientés vers la pratique, et c'est déjà très bien que mes histoires n'aient pas accroché le personnel enseignant et que certains théorèmes soient devenus plus clairs.

La technique consistant à travailler avec un module et à résoudre les doubles inégalités a été discutée en détail au cours de la première année dans l'article Domaine de fonction, mais pour plus de commodité, j'essaierai de commenter toutes les actions de manière aussi détaillée que possible. Expansion de l'inégalité avec le module selon la règle scolaire . Dans ce cas:

La moitié du chemin est parcourue.

Dans un deuxième temps, il faut étudier la convergence des séries aux extrémités de l'intervalle trouvé.

Tout d’abord, nous prenons l’extrémité gauche de l’intervalle et la substituons dans notre série entière :

À

Nous avons obtenu une série de nombres et nous devons en examiner la convergence (une tâche déjà familière dans les leçons précédentes).

1) La série est en alternance.
2) – les termes de la série diminuent en module. De plus, chaque membre suivant de la série est inférieur au précédent en valeur absolue : , ce qui signifie que la diminution est monotone.
Conclusion : la série converge.

À l’aide d’une série composée de modules, nous découvrirons exactement comment :
– converge (séries « standards » de la famille des séries harmoniques généralisées).

Ainsi, la série de nombres résultante converge absolument.

à – converge.

! Je vous rappelle que toute série positive convergente est aussi absolument convergente.

Ainsi, la série de puissances converge, et de manière absolue, aux deux extrémités de l’intervalle trouvé.

Répondre: zone de convergence de la série de puissances étudiée :

Une autre forme de réponse a droit à la vie : Une série converge si

Parfois, l'énoncé du problème vous demande d'indiquer le rayon de convergence. Il est évident que dans l'exemple considéré .

Exemple 2

Trouver la région de convergence de la série entière

Solution: on trouve l'intervalle de convergence de la série en utilisant signe de d'Alembert (mais pas l'attribut BY ! – un tel attribut n'existe pas pour les séries fonctionnelles):

La série converge vers

Gauche nous devons partir seulement, on multiplie donc les deux côtés de l'inégalité par 3 :

– La série est en alternance.
– – les termes de la série diminuent en module. Chaque membre suivant de la série est inférieur au précédent en valeur absolue : , ce qui signifie que la diminution est monotone.

Conclusion : la série converge.

Examinons-le pour la nature de la convergence :

Comparons cette série avec une série divergente.
Nous utilisons le critère de comparaison limite :

On obtient un nombre fini différent de zéro, ce qui signifie que la série diverge de la série.

Ainsi, la série converge conditionnellement.

2) Quand – diverge (d’après ce qui a été prouvé).

Répondre: Aire de convergence de la série de puissances étudiée : . Lorsque la série converge conditionnellement.

Dans l'exemple considéré, la région de convergence de la série entière est un demi-intervalle, et en tout point de l'intervalle la série entière converge absolument, et au point , il s'est avéré – conditionnellement.

Exemple 3

Trouver l'intervalle de convergence de la série entière et étudier sa convergence aux extrémités de l'intervalle trouvé

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Examinons quelques exemples rares, mais qui surviennent.

Exemple 4

Trouver l'aire de convergence de la série :

Solution: A l'aide du test de d'Alembert on trouve l'intervalle de convergence de cette série :

(1) Nous composons le rapport du membre suivant de la série au précédent.

(2) On se débarrasse de la fraction de quatre étages.

(3) Selon la règle des opérations avec puissances, on place les cubes sous une seule puissance. Au numérateur, nous développons intelligemment le degré, c'est-à-dire Nous l'arrangeons de telle manière qu'à l'étape suivante, nous puissions réduire la fraction de . Nous décrivons les factorielles en détail.

(4) Sous le cube, on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme, indiquant que . En une fraction on réduit tout ce qui peut l'être. On prend le facteur au-delà du signe limite, on peut le retirer, puisqu'il n'y a rien qui dépende de la variable « dynamique » « en ». Veuillez noter que le signe du module n'est pas dessiné - car il prend des valeurs non négatives pour tout « x ».

A la limite, on obtient zéro, ce qui signifie que l'on peut donner la réponse finale :

Répondre: La série converge vers

Mais au début, il semblait que cette dispute avec le « terrible remplissage » serait difficile à résoudre. Zéro ou l'infini dans la limite est presque un cadeau, car la solution est sensiblement réduite !

Exemple 5

Trouver l'aire de convergence de la série

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Soyez prudent ;-) La solution complète se trouve à la fin de la leçon.

Regardons quelques exemples supplémentaires qui contiennent un élément de nouveauté en termes d'utilisation de techniques techniques.

Exemple 6

Trouver l'intervalle de convergence de la série et étudier sa convergence aux extrémités de l'intervalle trouvé

Solution: Le terme commun de série de puissances inclut un facteur qui assure l'alternance des signes. L'algorithme de solution est entièrement conservé, mais lors de l'établissement de la limite, nous ignorons (n'écrivons pas) ce facteur, puisque le module détruit tous les « moins ».

On trouve l'intervalle de convergence de la série à l'aide du test de d'Alembert :

Créons une inégalité standard :
La série converge vers
Gauche nous devons partir module uniquement, on multiplie donc les deux côtés de l'inégalité par 5 :

Maintenant, nous ouvrons le module de manière familière :

Au milieu de la double inégalité, il ne faut laisser que « X » ; pour cela, on soustrait 2 à chaque partie de l'inégalité :

– intervalle de convergence de la série de puissances étudiée.

Nous étudions la convergence des séries aux extrémités de l'intervalle trouvé :

1) Remplacez la valeur dans notre série entière :

Soyez extrêmement prudent, le multiplicateur ne permet pas d'alternance de signe pour un « en » naturel. Nous prenons le moins résultant en dehors de la série et l'oublions, car il (comme toute constante factorielle) n'affecte en rien la convergence ou la divergence de la série de nombres.

Veuillez noter à nouveau qu'au cours de la substitution de la valeur dans le terme général de la série entière, notre facteur a été réduit. Si cela ne se produisait pas, cela signifierait que nous avons mal calculé la limite ou que nous avons mal étendu le module.

Nous devons donc examiner la convergence des séries de nombres. Ici, le plus simple est d'utiliser le critère de comparaison limite et de comparer cette série avec une série harmonique divergente. Mais, pour être honnête, je suis terriblement fatigué du signe limitatif de comparaison, je vais donc ajouter un peu de variété à la solution.

La série converge donc vers

On multiplie les deux côtés de l'inégalité par 9 :

On extrait la racine des deux parties, tout en se souvenant de la blague de la vieille école :


Extension du module :

et ajoutez-en un à toutes les parties :

– intervalle de convergence de la série de puissances étudiée.

Etudions la convergence des séries de puissances aux extrémités de l'intervalle trouvé :

1) Si , alors la série de nombres suivante est obtenue :

Le multiplicateur a disparu sans laisser de trace, puisque pour toute valeur naturelle « en » .