Valeur attendue. Attente mathématique variable aléatoire discrète X, en prenant un nombre fini de valeurs Xje avec probabilités R.je, le montant s'appelle :

Attente mathématique variable aléatoire continue X s'appelle l'intégrale du produit de ses valeurs X sur la densité de distribution de probabilité F(X):

(6b)

Intégrale impropre (6 b) est supposé absolument convergent (sinon on dit que l’espérance mathématique M(X) n'existe pas). L'espérance mathématique caractérise valeur moyenne Variable aléatoire X. Sa dimension coïncide avec la dimension de la variable aléatoire.

Propriétés de l'espérance mathématique :

Dispersion. Variance Variable aléatoire X le numéro s'appelle :

L'écart est caractéristique de diffusion valeurs de variables aléatoires X par rapport à sa valeur moyenne M(X). La dimension de la variance est égale à la dimension de la variable aléatoire au carré. Sur la base des définitions de la variance (8) et de l'espérance mathématique (5) pour une variable aléatoire discrète et (6) pour une variable aléatoire continue, nous obtenons des expressions similaires pour la variance :

(9)

Ici m = M(X).

Propriétés de dispersion :

Écart-type:

(11)

Étant donné que l’écart type a la même dimension qu’une variable aléatoire, il est plus souvent utilisé comme mesure de dispersion que de variance.

Moments de distribution. Les concepts d'espérance mathématique et de dispersion sont des cas particuliers de plus concept général pour les caractéristiques numériques Variables aléatoires – instants de répartition. Les moments de distribution d'une variable aléatoire sont présentés comme des attentes mathématiques de certaines fonctions simples d'une variable aléatoire. Alors, moment de la commande k par rapport au point X 0 est appelé l'espérance mathématique M(X–X 0 )k. Moments sur l'origine X= 0 sont appelés premiers instants et sont désignés :

(12)

L'instant initial du premier ordre est le centre de la distribution de la variable aléatoire considérée :

(13)

Moments sur le centre de distribution X= m sont appelés points centraux et sont désignés :

(14)

De (7) il résulte que le moment central du premier ordre est toujours égal à zéro:

Les moments centraux ne dépendent pas de l'origine des valeurs de la variable aléatoire, puisque lorsqu'ils sont décalés d'une valeur constante AVEC son centre de distribution se décale de la même valeur AVEC, et l'écart par rapport au centre ne change pas : X – m = (X – AVEC) – (m – AVEC).
Maintenant, il est évident que dispersion- Ce moment central du deuxième ordre:

Asymétrie. Moment central du troisième ordre :

(17)

sert à l'évaluation asymétries de distribution. Si la distribution est symétrique par rapport au point X= m, alors le moment central du troisième ordre sera égal à zéro (comme tous les moments centraux d'ordres impairs). Par conséquent, si le moment central du troisième ordre est différent de zéro, alors la distribution ne peut pas être symétrique. L'ampleur de l'asymétrie est évaluée à l'aide d'un modèle sans dimension coefficient d'asymétrie:

(18)

Le signe du coefficient d'asymétrie (18) indique une asymétrie du côté droit ou du côté gauche (Fig. 2).

Riz. 2. Types d'asymétrie de distribution.

Excès. Moment central du quatrième ordre :

(19)

sert à évaluer ce qu'on appelle excès, qui détermine le degré d'inclinaison (pointu) de la courbe de distribution près du centre de la distribution par rapport à la courbe distribution normale. Puisque pour une distribution normale, la valeur prise comme kurtosis est :

(20)

En figue. La figure 3 montre des exemples de courbes de distribution avec différentes valeurs d'aplatissement. Pour une distribution normale E= 0. Les courbes plus pointues que la normale ont un kurtosis positif, celles dont le sommet est plus plat ont un kurtosis négatif.

Riz. 3. Courbes de distribution avec différents degrés d'inclinaison (kurtosis).

Moments d'ordre supérieur dans les applications d'ingénierie statistiques mathématiques généralement pas utilisé.

Mode discret une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Mode continu une variable aléatoire est sa valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale (Fig. 2). Si la courbe de distribution a un maximum, alors la distribution est appelée unimodal. Si une courbe de distribution a plus d'un maximum, alors la distribution est appelée multimodal. Il existe parfois des distributions dont les courbes ont un minimum plutôt qu'un maximum. De telles distributions sont appelées anti-modal. Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier, pour modal, c'est à dire. ayant un mode de distribution symétrique et à condition qu'il y ait une espérance mathématique, cette dernière coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Médian Variable aléatoire X- c'est sa signification Meh, pour lequel l'égalité est vraie : c'est-à-dire il est également probable que la variable aléatoire X sera moins ou plus Meh. Géométriquement médian est l'abscisse du point auquel l'aire sous la courbe de distribution est divisée en deux (Fig. 2). Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane, le mode et l'espérance mathématique sont les mêmes.

En résolvant plusieurs problèmes pratiques Il n’est pas toujours nécessaire de caractériser complètement une variable aléatoire, c’est-à-dire de déterminer les lois de distribution. De plus, construire une fonction ou une série de distributions pour une variable aléatoire discrète et une densité pour une variable aléatoire continue est fastidieux et inutile.

Parfois, il suffit d'indiquer des paramètres numériques individuels qui caractérisent en partie les caractéristiques de la distribution. Il est nécessaire de connaître une valeur moyenne de chaque variable aléatoire autour de laquelle est regroupée sa valeur possible, ou le degré de dispersion de ces valeurs par rapport à la moyenne, etc.

Les caractéristiques des éléments les plus significatifs de la distribution sont appelées caractéristiques numériques. Variable aléatoire. Avec leur aide, il est plus facile de résoudre de nombreux problèmes probabilistes sans définir pour eux des lois de distribution.

La caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire sur l'axe des nombres est valeur attendue M[X]= un, qui est parfois appelée la moyenne de la variable aléatoire. Pour variable aléatoire discrète X avec valeurs possibles X 1 , X 2 , … , xn et probabilités p 1 , p 2 ,… , pn il est déterminé par la formule

En considérant que =1, on peut écrire

Ainsi, espérance mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités. Avec un grand nombre d'expériences, la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire se rapproche de son espérance mathématique.

Pour variable aléatoire continue X l'espérance mathématique n'est pas déterminée par la somme, mais intégral

Où F(X) - densité de distribution de quantité X.

L'espérance mathématique n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Pour certains d’entre eux, la somme, ou intégrale, diverge et il n’y a donc aucune espérance mathématique. Dans ces cas, pour des raisons de précision, la gamme de changements possibles dans la variable aléatoire doit être limitée. X, pour lequel la somme, ou intégrale, convergera.

En pratique, des caractéristiques de la position d'une variable aléatoire telles que le mode et la médiane sont également utilisées.

Mode variable aléatoiresa valeur la plus probable est appelée. En général, le mode et l’espérance mathématique ne coïncident pas.

Médiane d'une variable aléatoireX est la valeur par rapport à laquelle il est également probable qu'une valeur plus grande ou plus petite de la variable aléatoire sera obtenue, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'abscisse du point auquel l'aire limitée par la courbe de répartition est divisée en deux. Pour une distribution symétrique, les trois caractéristiques sont identiques.

En plus de l'espérance mathématique, du mode et de la médiane, d'autres caractéristiques sont utilisées dans la théorie des probabilités, chacune décrivant une propriété spécifique de la distribution. Par exemple, les caractéristiques numériques qui caractérisent la dispersion d'une variable aléatoire, c'est-à-dire montrant dans quelle mesure ses valeurs possibles sont regroupées autour de l'espérance mathématique, sont la dispersion et l'écart type. Ils complètent de manière significative la variable aléatoire, car dans la pratique, il existe souvent des variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales, mais des distributions différentes. Lors de la détermination des caractéristiques de dispersion, utilisez la différence entre la variable aléatoire X et son espérance mathématique, c'est-à-dire

Où UN = M[X] - valeur attendue.

Cette différence est appelée variable aléatoire centrée, valeur correspondante X, et est désigné :

Variance d'une variable aléatoire est l'espérance mathématique de l'écart carré d'une valeur par rapport à son espérance mathématique, c'est-à-dire :

D[ X]=M[( X–un) 2 ], ou

D[ X]=M[ 2 ].

La dispersion d'une variable aléatoire est une caractéristique pratique de la dispersion et de la diffusion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cependant, il n’est pas visuel, puisqu’il a la dimension d’un carré d’une variable aléatoire.

Pour caractériser visuellement la dispersion, il est plus pratique d'utiliser une valeur dont la dimension coïncide avec la dimension de la variable aléatoire. Cette quantité est écart-type variable aléatoire, qui est positive Racine carrée de sa variance.

Attente, mode, médiane, variance, écart type - les caractéristiques numériques les plus couramment utilisées des variables aléatoires. Lors de la résolution de problèmes pratiques, lorsqu'il est impossible de déterminer la loi de distribution, une description approximative d'une variable aléatoire est constituée de ses caractéristiques numériques, exprimant certaines propriétés de la distribution.

Outre les principales caractéristiques de la distribution du centre (espérance mathématique) et de la dispersion (dispersion), il est souvent nécessaire d'en décrire d'autres caractéristiques importantes distributions - symétrie Et pointillisme, qui peut être représenté à l’aide de moments de distribution.

La distribution d'une variable aléatoire est complètement spécifiée si tous ses moments sont connus. Cependant, de nombreuses distributions peuvent être complètement décrites à l'aide des quatre premiers moments, qui ne sont pas seulement des paramètres qui décrivent les distributions, mais sont également importants dans la sélection des distributions empiriques, c'est-à-dire en calculant les valeurs numériques des moments pour une statistique donnée. séries et à l'aide de graphiques spéciaux, vous pouvez déterminer la loi de distribution.

En théorie des probabilités, on distingue deux types de moments : initiaux et centraux.

Moment initial du kème ordre Variable aléatoire T s'appelle l'espérance mathématique d'une quantité Xk, c'est à dire.

Par conséquent, pour une variable aléatoire discrète, elle est exprimée par la somme

et pour continu – par l’intégrale

Parmi les moments initiaux d'une variable aléatoire, le moment du premier ordre, qui est l'espérance mathématique, revêt une importance particulière. Les moments initiaux d'ordre supérieur sont principalement utilisés pour calculer les moments centraux.

Moment central du kème ordre La variable aléatoire est l'espérance mathématique de la valeur ( X-M [X])k

Où UN = M[X].

Pour une variable aléatoire discrète, elle est exprimée par la somme

UN pour continu – par intégrale

Parmi les moments centraux d'une variable aléatoire, celui-ci revêt une importance particulière moment central du deuxième ordre, qui représente la variance de la variable aléatoire.

Le moment central du premier ordre est toujours nul.

Troisième moment de départ caractérise l'asymétrie (asymétrie) de la distribution et, sur la base des résultats d'observations de variables aléatoires discrètes et continues, est déterminée par les expressions correspondantes :

Puisqu'il a la dimension d'un cube d'une variable aléatoire, pour obtenir une caractéristique sans dimension, m3 divisé par l'écart type à la puissance trois

La valeur résultante est appelée coefficient d'asymétrie et, selon le signe, caractérise le positif ( Comme> 0) ou négatif ( Comme< 0) asymétrie de distribution (Fig. 2.3).

VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS DE LEUR DISTRIBUTION.

Aléatoire Ils appellent une quantité qui prend des valeurs en fonction d'une combinaison de circonstances aléatoires. Distinguer discret et aléatoire continu quantités.

Discret Une quantité est appelée si elle prend un ensemble dénombrable de valeurs. ( Exemple: le nombre de patients à un rendez-vous chez le médecin, le nombre de lettres sur une page, le nombre de molécules dans un volume donné).

Continu est une quantité qui peut prendre des valeurs dans un certain intervalle. ( Exemple: température de l'air, poids corporel, taille humaine, etc.)

Loi de répartition Une variable aléatoire est un ensemble de valeurs possibles de cette variable et, correspondant à ces valeurs, des probabilités (ou fréquences d'occurrence).

EXEMPLE:

Caractéristiques numériques des variables aléatoires.

Dans de nombreux cas, parallèlement ou à la place de la distribution d'une variable aléatoire, des informations sur ces quantités peuvent être fournies par des paramètres numériques appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire . Les plus courants d'entre eux :

1 .Valeur attendue - (valeur moyenne) d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et des probabilités de ces valeurs :

2 .Dispersion Variable aléatoire:

3 .Écart-type :

Règle des « TROIS SIGMA » - si une variable aléatoire est distribuée selon une loi normale, alors l'écart de cette valeur par rapport à la valeur moyenne en valeur absolue ne dépasse pas trois fois l'écart type

Loi de Gauss - loi de distribution normale

Il y a souvent des quantités réparties sur loi normale (Loi de Gauss). caractéristique principale : c'est la loi limite à laquelle se rapprochent d'autres lois de distribution.

Une variable aléatoire est distribuée selon la loi normale si elle densité de probabilité a la forme :

M(X) - l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ;

 - écart type.

Densité de probabilité (fonction de distribution) montre comment la probabilité attribuée à un intervalle change dx variable aléatoire, en fonction de la valeur de la variable elle-même :

Concepts de base des statistiques mathématiques

Statistiques mathématiques - une branche des mathématiques appliquées directement adjacente à la théorie des probabilités. La principale différence entre les statistiques mathématiques et la théorie des probabilités est que les statistiques mathématiques ne considèrent pas les actions sur les lois de distribution et les caractéristiques numériques des variables aléatoires, mais des méthodes approximatives pour trouver ces lois et caractéristiques numériques basées sur les résultats d'expériences.

Concepts de base les statistiques mathématiques sont :

Population générale;

échantillon;

séries de variations;

mode;

médian;

centile,

gamme de fréquences,

diagramme à bandes.

Population - une large population statistique parmi laquelle est sélectionnée une partie des objets de recherche

(Exemple: l'ensemble de la population de la région, les étudiants universitaires d'une ville donnée, etc.)

Échantillon (échantillon de population) - un ensemble d'objets sélectionnés dans la population générale.

Série de variantes - une distribution statistique constituée de variantes (valeurs d'une variable aléatoire) et de leurs fréquences correspondantes.

Exemple:

X , kg

m

X - valeur d'une variable aléatoire (masse des filles âgées de 10 ans) ;

m - fréquence d'apparition.

Mode – la valeur de la variable aléatoire qui correspond à la fréquence d'occurrence la plus élevée. (Dans l'exemple ci-dessus, le mode correspond à la valeur 24 kg, il est plus courant que les autres : m = 20).

Médian – la valeur d'une variable aléatoire qui divise la distribution en deux : la moitié des valeurs sont situées à droite de la médiane, la moitié (pas plus) - à gauche.

Exemple:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Dans l'exemple nous observons 40 valeurs d'une variable aléatoire. Toutes les valeurs sont classées par ordre croissant, en tenant compte de la fréquence de leur apparition. Vous pouvez voir qu'à droite de la valeur 7 en surbrillance se trouvent 20 (la moitié) des 40 valeurs. Donc 7 est la médiane.

Pour caractériser la dispersion, on trouvera des valeurs ne dépassant pas 25 et 75% des résultats de mesure. Ces valeurs sont appelées 25ème et 75ème percentiles . Si la médiane divise la distribution en deux, alors les 25e et 75e percentiles sont coupés d’un quart. (Soit dit en passant, la médiane elle-même peut être considérée comme le 50e centile.) Comme le montre l'exemple, les 25e et 75e centiles sont respectivement égaux à 3 et 8.

Utiliser discret (point) distribution statistique et continu (intervalle) distribution statistique.

Pour plus de clarté, les distributions statistiques sont représentées graphiquement sous la forme gamme de fréquences ou - histogrammes .

Polygone de fréquence - une ligne brisée dont les segments relient des points avec des coordonnées ( X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., ou pour polygone de fréquence relative – avec les coordonnées ( X 1 ,R * 1 ), (X 2 ,R * 2 ), ...(Fig. 1).

mm je / nf(x)

X X

Figure 1 Figure 2

Histogramme de fréquence - un ensemble de rectangles adjacents construits sur une même ligne droite (Fig. 2), les bases des rectangles sont les mêmes et égales dx , et les hauteurs sont égales au rapport de la fréquence à dx , ou R. * À dx (densité de probabilité).

Exemple:

x, kg

"Unités de mesure des grandeurs physiques" - L'erreur absolue est égale à la moitié de la valeur de division de l'appareil de mesure. Micromètre. Le résultat est obtenu directement à l'aide de l'appareil de mesure. Longueur de la boîte : 4 cm avec un déficit, 5 cm avec un excédent. Pour chaque quantité physique il existe des unités de mesure correspondantes. Montre. Erreur relative.

« Valeurs de longueur » - 2. Quelles quantités peuvent être comparées entre elles : 2. Expliquez pourquoi le problème suivant est résolu par addition : 2. Justifiez le choix d'action lors de la résolution du problème. Combien de colis avez-vous reçu ? Combien y a-t-il de stylos dans trois de ces boîtes ? Les robes ont été confectionnées à partir de 12 m de tissu, en utilisant 4 m pour chacune. Combien de robes ont été confectionnées ?

« Grandeurs physiques » - Les frontières séparant la physique des autres sciences naturelles sont historiquement conditionnelles. Le résultat de toute mesure contient toujours une erreur. Nouveau sujet. Vitesse. Interaction des corps. Les lois physiques sont présentées sous forme de relations quantitatives exprimées dans le langage mathématique. Erreur de mesure.

« Nombre résultant de la mesure d'une quantité » - Cours de mathématiques « Nombre résultant de la mesure d'une quantité » en 1ère année. Mesurer la longueur d'un segment à l'aide d'un bâton de mesure.

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