Un pentagone régulier est une figure géométrique formée par l’intersection de cinq lignes droites créant cinq angles égaux. Ce chiffre s'appelle le Pentagone. Le travail des artistes est étroitement lié au pentagone : leurs dessins sont basés sur des formes géométriques régulières. Pour ce faire, vous devez savoir construire rapidement un Pentagone.
Pourquoi ce chiffre est-il intéressant ? Le bâtiment a la forme d'un Pentagone Département de la Défense des États-Unis. Cela peut être vu sur des photographies prises à une altitude de vol. Il n’existe pas dans la nature de cristaux ou de pierres dont la forme ressemble à un pentagone. Seulement dans cette figure, le nombre de faces coïncide avec le nombre de diagonales.
Paramètres d'un pentagone régulier
Un pentagone rectangulaire, comme toute figure géométrique, a ses propres paramètres. Connaissant les formules nécessaires, vous pouvez calculer ces paramètres, ce qui facilitera le processus de construction d'un pentagone. Méthodes et formules de calcul :
- la somme de tous les angles des polygones est de 360 degrés. Dans un pentagone régulier, tous les angles sont égaux, respectivement, l'angle au centre se trouve ainsi : 360/5 = 72 degrés ;
- l'angle interne se trouve ainsi : 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 degrés. Somme de tous les angles intérieurs : 108*5 = 540 degrés.
Le côté du pentagone est trouvé en utilisant les paramètres déjà donnés dans l'énoncé du problème :
- si un cercle est circonscrit autour d'un pentagone et que son rayon est connu, le côté est trouvé à l'aide de la formule suivante : a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R .
- Si le rayon du cercle inscrit dans le pentagone est connu, alors la formule pour calculer le côté du polygone est : 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
- Compte tenu de la taille connue de la diagonale du pentagone, son côté est calculé comme suit : a = D/1,618.
La zone du Pentagone est la même, comme son côté, dépend des paramètres déjà trouvés :
- En utilisant le rayon connu du cercle inscrit, l'aire est trouvée comme suit : S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
- un cercle circonscrit autour d'un pentagone permet de trouver l'aire à l'aide de la formule suivante : S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
- selon le côté du pentagone : S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.
Construire le Pentagone
Vous pouvez construire un pentagone régulier à l'aide d'une règle et d'un compas, en vous basant sur un cercle qui y est inscrit ou sur l'un des côtés.
Comment dessiner un pentagone à partir d'un cercle inscrit ? Pour ce faire, vous devez vous approvisionner en compas et en règle et suivre les étapes suivantes :
- Vous devez d’abord dessiner un cercle de centre O, puis sélectionner un point dessus, A - le sommet du pentagone. Un segment est dessiné du centre vers le haut.
- Ensuite, un segment perpendiculaire à la droite OA est construit, qui passe également par O - le centre du cercle. Son intersection avec le cercle est désignée par le point B. Le segment O.B. est divisé en deux par le point C.
- Le point C deviendra le centre d'un nouveau cercle passant par A. Le point D est son intersection avec la droite OB dans les limites de la première figure.
- Après cela, un troisième cercle est tracé par D, dont le centre est le point A. Il coupe le premier chiffre en deux points, ils doivent être désignés par les lettres E et F.
- Le cercle suivant a son centre au point E et passe par A, et son intersection avec l'original se fait en un nouveau point G.
- Le dernier cercle de cette figure est tracé par le point A de centre F. A son intersection avec le cercle initial, le point H est placé.
- Sur le premier cercle, après toutes les étapes franchies, cinq points sont apparus qui doivent être reliés par des segments. Ainsi, un pentagone régulier AE G H F a été obtenu.
Comment construire un pentagone régulier autrement ? À l'aide d'une règle et d'un compas, vous pouvez construire un pentagone un peu plus rapidement. Pour ce faire, vous avez besoin de :
- Tout d’abord, vous devez utiliser une boussole pour tracer un cercle dont le centre est le point O.
- Le rayon OA est dessiné - un segment tracé sur le cercle. Il est divisé en deux par le point B.
- Un segment OS est tracé perpendiculairement au rayon OA, les points B et C sont reliés par une droite.
- L'étape suivante consiste à tracer la longueur du segment BC à l'aide d'un compas sur la ligne médiane. Le point D apparaît perpendiculaire au segment OA. Les points B et D sont reliés pour former un nouveau segment.
- Afin d'obtenir la taille du côté du pentagone, il faut relier les points C et D.
- D est transféré au cercle à l'aide d'une boussole et est désigné par le point E. En reliant E et C, vous pouvez obtenir le premier côté d'un pentagone régulier. En suivant ces instructions, vous pourrez apprendre à construire rapidement un pentagone à côtés égaux, en poursuivant la construction de ses côtés restants comme le premier.
Dans un pentagone à côtés égaux, les diagonales sont égales et forment une étoile à cinq branches, appelée pentagramme. Le nombre d’or est le rapport de la diagonale au côté du pentagone.
Le pentagone n'est pas adapté pour remplir complètement l'avion. L’utilisation de n’importe quel matériau sous cette forme laisse des espaces ou crée des chevauchements. Bien que les cristaux naturels de cette forme n'existent pas dans la nature, lorsque de la glace se forme à la surface de produits en cuivre lisses, des molécules en forme de pentagone apparaissent, qui sont reliées en chaînes.
Le moyen le plus simple d'obtenir un pentagone régulier à partir d'une bande de papier est de le nouer et de l'appuyer un peu. Cette méthode est utile pour les parents d’enfants d’âge préscolaire qui souhaitent apprendre à leurs enfants à reconnaître les formes géométriques.
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Découvrez comment dessiner rapidement un pentagone.
5.3. Pentagone doré ; construction d'Euclide.
Un merveilleux exemple du « nombre d'or » est un pentagone régulier - convexe et en forme d'étoile (Fig. 5).
Pour construire un pentagramme, vous devez construire un pentagone régulier.
Soit O le centre du cercle, A le point du cercle et E le milieu du segment OA. La perpendiculaire au rayon OA, restituée au point O, coupe le cercle au point D. A l'aide d'un compas, tracez le segment CE = ED sur le diamètre. La longueur du côté d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle est égale à DC. Nous traçons les segments DC sur le cercle et obtenons cinq points pour dessiner un pentagone régulier. Nous connectons les coins du pentagone les uns aux autres avec des diagonales et obtenons un pentagramme. Toutes les diagonales du pentagone se divisent en segments reliés par le nombre d'or.
Chaque extrémité de l'étoile pentagonale représente un triangle d'or. Ses côtés forment un angle de 36° au sommet, et la base, posée sur le côté, le divise dans la proportion du nombre d'or.
Il existe également un cuboïde doré - il s'agit d'un parallélépipède rectangle dont les bords ont des longueurs de 1,618, 1 et 0,618.
Considérons maintenant la preuve offerte par Euclide dans les Éléments.
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du centre du cercle circonscrit. Commençons avec
segment ABE, divisé à la moyenne et
Soit donc AC=AE. Notons a les angles égaux EBC et CEB. Puisque AC=AE, l’angle ACE est également égal à a. Le théorème selon lequel la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés permet de trouver l'angle ALL : il est égal à 180-2a, et l'angle EAC est 3a - 180. Mais alors l'angle ABC est égal à 180 -un. En résumant les angles du triangle ABC, nous obtenons,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Où 5a=360 signifie a=72.
Ainsi, chacun des angles de base du triangle WEIGHT est le double de l’angle du sommet, qui est de 36 degrés. Ainsi, pour construire un pentagone régulier, il suffit de tracer n'importe quel cercle de centre au point E, coupant EC au point X et le côté EB au point Y : le segment XY sert d'un des côtés d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle; En faisant le tour du cercle en entier, vous pourrez retrouver toutes les autres faces.
Montrons maintenant que AC = AE. Supposons que le sommet C soit relié par un segment de droite au milieu N du segment BE. Notez que puisque CB = CE, alors l’angle CNE est droit. D'après le théorème de Pythagore :
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
On a donc (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Donc AC = ja = jAB = AE, ce qui restait à prouver
5.4.La spirale d'Archimède.
En découpant successivement des carrés dans des rectangles dorés à l'infini, en reliant à chaque fois des points opposés par un quart de cercle, on obtient une courbe plutôt élégante. Le premier à attirer l'attention sur ce sujet fut l'ancien scientifique grec Archimède, dont il porte le nom. Il l'a étudié et a dérivé l'équation de cette spirale.
Actuellement, la spirale d'Archimède est largement utilisée en technologie.
6.Numéros de Fibonacci.
Le nom du mathématicien italien Leonardo de Pise, mieux connu sous son surnom de Fibonacci (Fibonacci - abrégé filius Bonacci, c'est-à-dire le fils de Bonacci), est indirectement lié au nombre d'or.
En 1202 il a écrit le livre "Liber abacci", c'est-à-dire "Le Livre du Boulier". "Liber abacci" est un ouvrage volumineux contenant presque toutes les informations arithmétiques et algébriques de l'époque et a joué un rôle important dans le développement des mathématiques en Europe de l'Ouest au cours des prochains siècles. C’est notamment grâce à ce livre que les Européens se sont familiarisés avec les chiffres hindous (« arabes »).
Le matériel rapporté dans le livre est expliqué à travers un grand nombre de problèmes qui constituent une partie importante de ce traité.
Considérons un de ces problèmes :
« Combien de couples de lapins naissent d’un seul couple en un an ?
Quelqu'un a placé une paire de lapins dans un certain endroit, clôturé de tous côtés par un mur, afin de savoir combien de paires de lapins naîtront au cours de cette année, si la nature des lapins est telle que dans un mois une paire de les lapins en reproduiront un autre, et les lapins mettront bas à partir du deuxième mois après leur naissance.
| Mois | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Des couples de lapins | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Passons maintenant des lapins aux chiffres et considérons ce qui suit séquence de nombres:
tu 1 , tu 2 … tu
dans lequel chaque terme est égal à la somme des deux précédents, c'est-à-dire pour tout n>2
u n = u n -1 + u n -2 .
Cette séquence tend asymptotiquement (se rapprochant de plus en plus lentement) vers une relation constante. Cependant, ce rapport est irrationnel, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un nombre avec une séquence infinie et imprévisible de chiffres décimaux dans la partie fractionnaire. Il est impossible de l'exprimer avec précision.
Si un terme de la séquence de Fibonacci est divisé par son prédécesseur (par exemple 13:8), le résultat sera une valeur qui fluctue autour de sens irrationnel 1.61803398875... et de temps en temps il le dépasse, puis il ne l'atteint pas.
Le comportement asymptotique de la séquence et les oscillations amorties de son rapport autour du nombre irrationnel Ф peuvent devenir plus compréhensibles si nous montrons les rapports des premiers termes de la séquence. Cet exemple montre les relations du deuxième terme au premier, du troisième au deuxième, du quatrième au troisième, et ainsi de suite :
1:1 = 1,0000, ce qui est inférieur à phi de 0,6180
2:1 = 2,0000, soit 0,3820 de plus que phi
3:2 = 1,5000, ce qui est inférieur à phi de 0,1180
5:3 = 1,6667, soit 0,0486 de plus que phi
8:5 = 1,6000, ce qui est inférieur à phi de 0,0180
Au fur et à mesure que vous avancez dans la séquence de sommation de Fibonacci, chaque nouveau terme divisera le suivant avec une approximation de plus en plus grande de l'inatteignable F.
L'homme recherche inconsciemment la proportion divine : elle est nécessaire pour satisfaire son besoin de confort.
Lorsque l'on divise un membre de la séquence de Fibonacci par le suivant, le résultat est simplement l'inverse de 1,618 (1 : 1,618 = 0,618). Mais il s’agit là aussi d’un phénomène très inhabituel, voire remarquable. Puisque le rapport initial est une fraction infinie, ce rapport ne devrait pas non plus avoir de fin.
En divisant chaque nombre par le suivant, nous obtenons le nombre 0,382.
En sélectionnant ainsi les ratios, nous obtenons l'ensemble principal des ratios de Fibonacci : 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Citons également 0,5. Ils jouent tous rôle spécial dans la nature et en particulier dans analyse technique.
Il convient de noter ici que Fibonacci n'a fait que rappeler à l'humanité sa séquence, puisqu'elle était connue dès l'époque les temps anciens appelé le Nombre d’Or.
Le nombre d'or, comme nous l'avons vu, apparaît en relation avec un pentagone régulier, c'est pourquoi les nombres de Fibonacci jouent un rôle dans tout ce qui concerne les pentagones réguliers - convexes et en forme d'étoile.
La série de Fibonacci n'aurait pu rester qu'un incident mathématique, sans le fait que tous les chercheurs de la division d'or dans le monde végétal et animal, sans parler de l'art, en venaient invariablement à cette série comme une expression arithmétique de la loi de l'or. division. Les scientifiques ont continué à développer activement la théorie des nombres de Fibonacci et du nombre d'or. Yu. Matiyasevich résout le 10ème problème de Hilbert (sur la résolution des équations diophantiennes) en utilisant les nombres de Fibonacci. Des méthodes élégantes émergent pour résoudre un certain nombre de problèmes cybernétiques (théorie de la recherche, jeux, programmation) en utilisant les nombres de Fibonacci et le nombre d'or. Aux États-Unis, même la Mathematical Fibonacci Association est en cours de création, qui publie une revue spéciale depuis 1963.
L'une des réalisations dans ce domaine est la découverte des nombres de Fibonacci généralisés et des nombres d'or généralisés. La série de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) et la série « binaire » de nombres découverte par lui 1, 2, 4, 8, 16... (c'est-à-dire une série de nombres jusqu'à n , où que ce soit entier naturel, moins de n peut être représenté par la somme de certains nombres de cette série) à première vue sont complètement différents. Mais les algorithmes pour leur construction sont très similaires les uns aux autres : dans le premier cas, chaque nombre est la somme du nombre précédent avec lui-même 2 = 1 + 1 ; 4 = 2 + 2..., dans le second - c'est la somme des deux nombres précédents 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Est-il possible de trouver un général formule mathématique à partir de laquelle on obtient « les séries binaires et les séries de Fibonacci ?
En effet, définissons un paramètre numérique S, qui peut prendre n'importe quelles valeurs : 0, 1, 2, 3, 4, 5... Considérons série de nombres, dont S + 1 des premiers termes sont des uns, et chacun des suivants est égal à la somme de deux termes du précédent, qui est séparé du précédent par S pas. Si nième mandat On note cette série par S (n), on obtient formule générale S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Il est évident qu'à S = 0 à partir de cette formule nous obtiendrons une série « binaire », à S = 1 – une série de Fibonacci, à S = 2, 3, 4 – une nouvelle série de nombres, appelés nombres S-Fibonacci. .
En général rapport S doré est la racine positive de l'équation de la section dorée x S+1 – x S – 1 = 0.
Il est facile de montrer qu'à S = 0, le segment est divisé en deux et qu'à S = 1, le nombre d'or classique et familier est obtenu.
Les rapports des nombres S de Fibonacci voisins coïncident avec une précision mathématique absolue dans la limite des proportions S dorées ! Autrement dit, les sections dorées S sont des invariants numériques des nombres S de Fibonacci.
7. Nombre d'or dans l'art.
7.1. Nombre d’or en peinture.
Passant aux exemples du « nombre d'or » en peinture, on ne peut s'empêcher de se concentrer sur l'œuvre de Léonard de Vinci. Sa personnalité est l'un des mystères de l'histoire. Léonard de Vinci lui-même a dit : « Que personne, s'il n'est pas mathématicien, n'ose lire mes œuvres. »
Il ne fait aucun doute que Léonard de Vinci était un grand artiste, cela était déjà reconnu par ses contemporains, mais sa personnalité et ses activités resteront entourées de mystère, puisqu'il a laissé à ses descendants non pas une présentation cohérente de ses idées, mais seulement de nombreux écrits manuscrits. des croquis, des notes qui disent « sur tout le monde dans le monde ».
Le portrait de Monna Lisa (La Gioconda) a attiré l'attention des chercheurs depuis de nombreuses années, qui ont découvert que la composition de l'image est basée sur des triangles d'or, qui font partie d'un pentagone régulier en forme d'étoile.
En outre, la proportion du nombre d’or apparaît dans la peinture de Shishkin. Dans ce célèbre tableau de I. I. Shishkin, les motifs du nombre d'or sont clairement visibles. Un pin brillamment ensoleillé (au premier plan) divise la longueur de l’image selon le nombre d’or. À droite du pin se trouve une butte ensoleillée. Il divise le côté droit de l’image horizontalement selon le nombre d’or.
Dans le tableau de Raphaël "Le Massacre des Innocents", un autre élément de la proportion dorée est visible - la spirale dorée. Dans l'esquisse préparatoire de Raphaël, des lignes rouges partent du centre sémantique de la composition - le point où les doigts du guerrier se referment autour de la cheville de l'enfant - le long des figures de l'enfant, de la femme qui le serre contre lui, du guerrier avec son épée levée, puis le long des figures du même groupe sur le côté droit du croquis. On ne sait pas si Raphaël a construit la spirale dorée ou s'il l'a sentie.
T. Cook a utilisé le nombre d’or lors de l’analyse du tableau de Sandro Botticelli « La Naissance de Vénus ».
7.2. Pyramides du nombre d'or.
Les propriétés médicales des pyramides, notamment le nombre d’or, sont largement connues. Selon certaines des opinions les plus répandues, la pièce dans laquelle se trouve une telle pyramide semble plus grande et l'air est plus transparent. Les rêves commencent à être mieux mémorisés. On sait également que le nombre d’or était largement utilisé en architecture et en sculpture. Un exemple en est : le Panthéon et le Parthénon en Grèce, bâtiments des architectes Bajenov et Malevitch.
8. Conclusion.
Il faut dire que le nombre d’or a une grande application dans nos vies.
Il a été prouvé que le corps humain est divisé proportionnellement au nombre d'or par la ligne de la ceinture.
La coquille du nautile est tordue comme une spirale dorée.
Grâce au nombre d'or, la ceinture d'astéroïdes entre Mars et Jupiter a été découverte - selon la proportion, il devrait y avoir une autre planète là-bas.
Exciter la corde au point qui la divise par rapport à la division dorée ne fera pas vibrer la corde, c'est-à-dire qu'il s'agit du point de compensation.
Sur avion avec des sources d'énergie électromagnétiques, des cellules rectangulaires avec la proportion du nombre d'or sont créées.
Mona Lisa est construite sur des triangles dorés ; la spirale dorée est présente dans le tableau de Raphaël « Massacre des Innocents ».
La proportion a été découverte dans le tableau de Sandro Botticelli "La Naissance de Vénus".
Il existe de nombreux monuments architecturaux connus construits selon le nombre d'or, notamment le Panthéon et le Parthénon à Athènes, bâtiments des architectes Bajenov et Malevitch.
John Kepler, qui a vécu il y a cinq siècles, a déclaré : "La géométrie possède deux grands trésors. Le premier est le théorème de Pythagore, le second est la division d'un segment en rapport extrême et moyen."
Bibliographie
1. D. Pidou. Géométrie et art. – M. : Mir, 1979.
2. Revue "Science et Technologie"
3. Revue "Quantum", 1973, n°8.
4. Revue « Mathématiques à l'école », 1994, n° 2 ; N ° 3.
5. Kovalev F.V. Nombre d’or en peinture. K. : École Vyshcha, 1989.
6. Stakhov A. Codes de la proportion d'or.
7. Vorobiev N.N. "Nombres de Fibonacci" - M. : Nauka 1964
8. "Mathématiques - Encyclopédie pour enfants" M. : Avanta +, 1998
9. Informations provenant d'Internet.
Matrices de Fibonacci et matrices dites « dorées », nouvelle arithmétique informatique, nouvelle théorie du codage et nouvelle théorie de la cryptographie. L'essence nouvelle science, dans une révision du point de vue du nombre d'or de toutes les mathématiques, à commencer par Pythagore, ce qui, naturellement, entraînera de nouveaux résultats mathématiques certainement très intéressants dans la théorie. Concrètement, c’est l’informatisation « en or ». Et depuis...
N'affectera pas ce résultat. La base de la proportion d'or est un invariant des relations récursives 4 et 6. Cela démontre la « stabilité » du nombre d'or, l'un des principes d'organisation de la matière vivante. De plus, la base de la proportion d'or est une solution à deux séquences récursives exotiques (Fig. 4.) Fig. 4 séquences récursives de Fibonacci...
L'oreille est j5 et la distance entre l'oreille et la couronne est j6. Ainsi, dans cette statue, nous voyons progression géométrique avec dénominateur j : 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Fig.9). Ainsi, le nombre d’or est l’un des principes fondamentaux de l’art de la Grèce antique. Rythmes du cœur et du cerveau. Le cœur humain bat régulièrement – environ 60 battements par minute au repos. Mon cœur serre comme un piston...
Si vous n’avez pas de boussole à portée de main, vous pouvez dessiner une simple étoile à cinq rayons puis simplement relier ces rayons. Comme vous pouvez le voir sur l’image ci-dessous, on obtient un pentagone absolument régulier.
Les mathématiques sont une science complexe et elles recèlent de nombreux secrets, dont certains sont assez amusants. Si de telles choses vous intéressent, je vous conseille de retrouver le livre Fun Math.
Un cercle peut être tracé non seulement à l'aide d'une boussole. Vous pouvez par exemple utiliser un crayon et du fil. Nous mesurons le diamètre requis sur le fil. Nous fixons fermement une extrémité sur une feuille de papier où nous dessinerons un cercle. Et à l'autre extrémité du fil, installez un crayon et attachez-le. Maintenant, cela fonctionne comme avec une boussole : on tire le fil et, en appuyant légèrement avec un crayon, on marque le cercle autour de la circonférence.
A l'intérieur du cercle, nous dessinons des paysans à partir du centre : une ligne verticale et une ligne horizontale. Le point d'intersection de la ligne verticale et du cercle sera le sommet du pentagone (point 1). Maintenant, nous divisons la moitié droite de la ligne horizontale en deux (point 2). On mesure la distance de ce point au sommet du pentagone et on pose ce segment à gauche du point 2 (point 3). À l'aide d'un fil et d'un crayon, tracez un arc du point 1 avec un rayon jusqu'au point 3, coupant le premier cercle à gauche et à droite - les points d'intersection seront les sommets du pentagone. Appelons-les les points 4 et 5.
Maintenant à partir du point 4 on fait un arc coupant le cercle du bas avec un rayon égal à la longueur du point 1 au point 4 - ce sera le point 6. De la même manière, du point 5 - appelons-le point 7.
Il ne reste plus qu'à relier notre pentagone aux sommets 1, 5, 7, 6, 4.
Je sais comment construire un pentagone simple à l'aide d'un compas : construire un cercle, marquer cinq points, les relier. Nous pouvons construire un pentagone avec des côtés égaux ; pour cela nous aurons également besoin d'un rapporteur. On vient de mettre les mêmes 5 points sur le rapporteur. Pour ce faire, marquez les angles à 72 degrés. Ensuite, nous nous connectons également avec des segments et obtenons le chiffre dont nous avons besoin.
Le cercle vert peut être dessiné avec un rayon arbitraire. Nous allons inscrire un pentagone régulier dans ce cercle. Il est impossible de tracer un cercle exact sans boussole, mais ce n’est pas nécessaire. Le cercle et toutes les autres constructions peuvent être réalisés à la main. Ensuite, passant par le centre du cercle O, vous devez tracer deux lignes droites mutuellement perpendiculaires et désigner l'un des points d'intersection de la ligne avec le cercle comme A. Le point A sera le sommet du pentagone. Nous divisons le rayon OB en deux et plaçons le point C. À partir du point C, nous dessinons un deuxième cercle de rayon AC. A partir du point A, nous traçons un troisième cercle de rayon AD. Les points d'intersection du troisième cercle avec le premier (E et F) seront aussi les sommets du pentagone. A partir des points E et F de rayon AE, nous faisons des encoches sur le premier cercle et obtenons les sommets restants du pentagone G et H.
Adeptes de l'art noir : afin de dessiner simplement, joliment et rapidement un pentagone, vous devez dessiner la base correcte et harmonieuse du pentagramme (étoile à cinq branches) et relier les extrémités des rayons de cette étoile à l'aide de lignes droites et régulières. Si tout a été fait correctement, la ligne de connexion autour de la base sera le pentagone souhaité.
(sur la photo il y a un pentagramme terminé mais non rempli)
Pour ceux qui ne sont pas sûrs de l'exactitude du pentagramme : prenez comme base l'Homme de Vitruve de Da Vinci (voir ci-dessous)
Si vous avez besoin d'un pentagone, percez simplement 5 points au hasard et leur contour extérieur sera un pentagone.
Si vous avez besoin d'un pentagone régulier, alors sans boussole mathématique, cette construction ne peut pas être complétée, car sans elle, il est impossible de dessiner deux segments identiques, mais non parallèles. Tout autre outil permettant de dessiner deux segments identiques mais non parallèles équivaut à une boussole mathématique.
Vous devez d'abord dessiner un cercle, puis des guides, puis un deuxième cercle en pointillés, trouver le point supérieur, puis mesurer les deux coins supérieurs, en dessiner les inférieurs. Notez que le rayon de la boussole est le même tout au long de la construction.
Tout dépend du type de pentagone dont vous avez besoin. Le cas échéant, placez cinq points et reliez-les les uns aux autres (bien sûr, nous ne mettons pas les points en ligne droite). Et si vous avez besoin d'un pentagone de la bonne forme, prenez-en cinq sur toute la longueur (bandes de papier, allumettes, crayons, etc.), disposez le pentagone et tracez-le.
Un pentagone peut être dessiné, par exemple, à partir d'une étoile. Si vous savez dessiner une étoile, mais ne savez pas dessiner un pentagone, dessinez une étoile avec un crayon, puis reliez les extrémités adjacentes de l'étoile, puis effacez l'étoile elle-même.
Deuxième façon. Coupez une bande de papier d'une longueur égale au côté souhaité du pentagone et d'une largeur étroite, disons 0,5 à 1 cm. Selon le modèle, découpez quatre autres bandes similaires le long de cette bande pour obtenir un total de 5. .
Placez ensuite une feuille de papier (il est préférable de la fixer sur la table avec quatre boutons ou aiguilles). Placez ensuite ces 5 bandes sur la feuille de papier afin qu'elles forment un pentagone. Épinglez ces 5 bandes sur une feuille de papier avec des épingles ou des aiguilles pour qu'elles restent immobiles. Encerclez ensuite le pentagone obtenu et retirez ces rayures de la feuille.
Si vous n'avez pas de boussole et que vous devez construire un pentagone, je peux vous conseiller ce qui suit. Je l'ai construit de cette façon moi-même. Vous pouvez dessiner une étoile ordinaire à cinq branches. Et après cela, pour obtenir un pentagone, il suffit de relier tous les sommets de l'étoile. C'est ainsi que vous obtenez un pentagone. C'est ce que nous obtenons
Nous avons relié les sommets de l'étoile avec des lignes noires droites et obtenu un pentagone.
Première façon- de ce côté S à l'aide d'un rapporteur.
Tracez une ligne droite et mettez AB = S dessus ; Nous prenons cette ligne comme rayon et utilisons ce rayon pour décrire les arcs partant des points A et B : puis, à l'aide d'un rapporteur, on construit en ces points des angles de 108° dont les côtés couperont les arcs aux points C et D ; A partir de ces points de rayon AB = 5 nous décrivons des arcs qui se coupent en E et relient les points L, C, E, D, B par des lignes droites.
Le pentagone résultant- recherché.
Deuxième façon. Traçons un cercle de rayon r. À partir du point A, à l'aide d'un compas, tracez un arc de rayon AM jusqu'à ce qu'il coupe le cercle aux points B et C. Nous connectons B et C avec une ligne qui se coupe axe horizontal au point E.
Ensuite, à partir du point E, nous traçons un arc qui coupera la ligne horizontale au point O. Enfin, à partir du point F, nous décrivons un arc qui coupera le cercle aux points H et K. Après avoir tracé la distance FO = FH = FK le long du cercle cinq fois et en reliant les points de division avec des lignes, nous obtenons un pentagone régulier.
Troisième voie. Inscrivez un pentagone régulier dans ce cercle. Nous dessinons deux diamètres AB et MC mutuellement perpendiculaires. Divisez le rayon AO par le point E en deux. A partir du point E, comme à partir du centre, tracez un arc de cercle de rayon EM et marquez avec lui le diamètre AB au point F. Segment MF égal au côté le pentagone régulier souhaité. En utilisant une solution de boussole égale à MF, nous réalisons les empattements N 1, P 1, Q 1, K 1 et les connectons par des lignes droites.
Sur la figure, un hexagone est construit le long de ce côté.
Droite AB = 5, comme rayon, à partir des points A et B nous décrivons les arcs qui se coupent en C ; à partir de ce point, de même rayon, on décrit un cercle sur lequel le côté A B sera déposé 6 fois.
Hexagone ADEFGB- recherché.
"Concevoir les pièces pendant la rénovation"
N.P. Krasnov
La première méthode de construction. On trace les axes horizontal (AB) et vertical (CD) et à partir du point de leur intersection M on trace le demi-axe à l'échelle appropriée. On trace le demi-petit axe du point M sur le grand axe jusqu'au point E. Ellipse, la première méthode de construction. On divise BE en 2 parties et on en trace une à partir du point M sur le grand axe (vers F ou H)…
La base de la peinture est constituée des surfaces entièrement peintes des murs, plafonds et autres structures ; la peinture est réalisée à l'aide de colle de haute qualité et de peintures à l'huile conçues pour le détourage ou le cannelage. Lorsqu'il commence à élaborer un croquis de finition, le maître doit clairement imaginer l'ensemble de la composition dans un environnement domestique et comprendre clairement l'intention créative. Ce n'est que si cette condition de base est remplie que l'on peut correctement...
La mesure des travaux effectués, à l'exception de cas spécialement indiqués, est effectuée sur la base de la surface de la surface effectivement traitée, en tenant compte de son relief et moins les zones non traitées. Pour déterminer les surfaces réellement traitées lors des travaux de peinture, vous devez utiliser les facteurs de conversion indiqués dans les tableaux. A. Dispositifs de fenêtres en bois (la mesure est effectuée par la surface des ouvertures le long du contour extérieur des cadres) Nom des dispositifs Coefficient à ...
Pentagone régulier(Grec πενταγωνον ) - une figure géométrique, un polygone régulier à cinq côtés.
Propriétés
- Le dodécaèdre est le seul polyèdre régulier dont les faces sont des pentagones réguliers.
- Le Pentagone, le bâtiment du département américain de la Défense, a la forme d’un pentagone régulier.
- Un pentagone régulier est un polygone régulier avec le moins d'angles qui ne peuvent pas être carrelés sur un plan.
- Dans la nature, il n’existe pas de cristaux dont les faces ont la forme d’un pentagone régulier.
- Le pentagone avec toutes ses diagonales est la projection du 4-simplex.
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Remarques
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Extrait caractérisant le Pentagone Régulier
Petya ne savait pas combien de temps cela durait : il s'amusait, était constamment surpris par son plaisir et regrettait de n'avoir personne à qui le dire. Il fut réveillé par la douce voix de Likhachev.- Prêt, votre honneur, vous diviserez la garde en deux.
Petya s'est réveillé.
- C'est déjà l'aube, vraiment, ça se lève ! - il a crié.
Les chevaux auparavant invisibles sont devenus visibles jusqu'à leur queue, et une lumière aqueuse était visible à travers les branches nues. Petya s'est secoué, a bondi, a sorti un rouble de sa poche et l'a donné à Likhachev, lui a fait signe, a essayé le sabre et l'a mis dans le fourreau. Les Cosaques détachèrent les chevaux et resserrèrent les sangles.
"Voici le commandant", a déclaré Likhachev. Denisov sortit du poste de garde et, appelant Petya, leur ordonna de se préparer.
Rapidement, dans la pénombre, ils démontèrent les chevaux, resserrèrent les sangles et trièrent les attelages. Denisov se tenait au poste de garde et donnait les derniers ordres. L'infanterie du groupe, avançant sur une centaine de pieds, avança le long de la route et disparut rapidement entre les arbres dans le brouillard d'avant l'aube. Esaul a commandé quelque chose aux Cosaques. Petya tenait son cheval sur les rênes, attendant avec impatience l'ordre de monter à cheval. Lavé à l'eau froide, son visage, en particulier ses yeux, brûlait de feu, un frisson lui parcourut le dos et quelque chose dans tout son corps tremblait rapidement et uniformément.
- Eh bien, tout est prêt pour toi ? - Denissov a dit. - Donnez-nous les chevaux.
Les chevaux ont été amenés. Denisov s'est mis en colère contre le Cosaque parce que les sangles étaient faibles et, le grondant, s'est assis. Petya saisit l'étrier. Le cheval, par habitude, voulait se mordre la jambe, mais Petya, ne sentant pas son poids, sauta rapidement en selle et, regardant les hussards qui avançaient derrière dans l'obscurité, se dirigea vers Denisov.
- Vasily Fedorovich, veux-tu me confier quelque chose ? S'il vous plaît... pour l'amour de Dieu... - dit-il. Denissov semblait avoir oublié l’existence de Petya. Il le regarda.
«Je vous demande une chose», dit-il sévèrement, «m'obéissez et n'intervenez nulle part.»
Pendant tout le voyage, Denisov n'a pas dit un mot à Petya et a roulé en silence. Lorsque nous arrivons à la lisière de la forêt, le champ s'éclaircit sensiblement. Denisov a parlé à voix basse avec l'Esaul et les Cosaques ont commencé à dépasser Petya et Denisov. Quand ils furent tous passés, Denissov démarra son cheval et descendit la pente. Assis sur leurs arrière-trains et glissant, les chevaux descendaient avec leurs cavaliers dans le ravin. Petya est monté à côté de Denisov. Les tremblements dans tout son corps s’intensifièrent. Il devenait de plus en plus léger, seul le brouillard cachait les objets lointains. En descendant et en regardant en arrière, Denissov hocha la tête en direction du Cosaque qui se tenait à côté de lui.
- Signalez ! - il a dit.
Le cosaque leva la main et un coup de feu retentit. Et au même instant, le piétinement des chevaux au galop se fit entendre devant, des cris de différents côtés et encore des coups de feu.
Au même instant où se firent entendre les premiers bruits de piétinement et de cris, Petya, frappant son cheval et lâchant les rênes, sans écouter Denisov, qui lui criait dessus, galopa en avant. Il sembla à Petya qu'à ce moment-là, le coup de feu retentit, l'aube se leva soudainement aussi clairement que le milieu de la journée. Il galopa vers le pont. Les cosaques galopaient le long de la route. Sur le pont, il rencontra un cosaque à la traîne et poursuivit son chemin. Quelques personnes devant nous - il devait s'agir de Français - couraient du côté droit de la route vers la gauche. L'un d'eux est tombé dans la boue sous les pieds du cheval de Petya.
Les cosaques se pressaient autour d'une hutte pour faire quelque chose. Un cri terrible retentit au milieu de la foule. Petya a galopé vers cette foule, et la première chose qu'il a vue fut un pâle et tremblant mâchoire inférieure le visage d'un Français tenant le manche d'une pique pointait vers lui.
"Hourra!... Les gars... les nôtres..." cria Petya et, donnant les rênes au cheval en surchauffe, il galopa dans la rue.
Des coups de feu ont été entendus devant nous. Cosaques, hussards et prisonniers russes en haillons, courant des deux côtés de la route, criaient tous fort et maladroitement quelque chose. Un beau Français, sans chapeau, au visage rouge et renfrogné, en pardessus bleu, combattit les hussards à la baïonnette. Lorsque Petya galopa, le Français était déjà tombé. J'étais encore en retard, Petya a flashé dans sa tête et il a galopé là où des coups de feu fréquents ont été entendus. Des coups de feu ont retenti dans la cour du manoir où il se trouvait la nuit dernière avec Dolokhov. Les Français se sont assis derrière une clôture dans un jardin dense envahi par les buissons et ont tiré sur les Cosaques entassés devant la porte. En s'approchant de la porte, Petya, dans la fumée de poudre, aperçut Dolokhov au visage pâle et verdâtre, criant quelque chose aux gens. « Faites un détour ! Attendez l'infanterie ! - a-t-il crié pendant que Petya s'approchait de lui.
"Attendez?.. Hourra!.." Petya a crié et, sans hésiter une seule minute, il a galopé jusqu'à l'endroit d'où les coups de feu ont été entendus et où la fumée de poudre était plus épaisse. Une volée a été entendue, des balles vides ont crié et ont touché quelque chose. Les Cosaques et Dolokhov ont galopé après Petya à travers les portes de la maison. Les Français, dans l'épaisse fumée ondulante, certains jetèrent leurs armes et coururent hors des buissons à la rencontre des Cosaques, d'autres coururent vers l'étang. Petya galopa sur son cheval le long de la cour du manoir et, au lieu de tenir les rênes, agita étrangement et rapidement les deux bras et tomba de plus en plus loin de la selle sur le côté. Le cheval, courant vers le feu qui couvait dans la lumière du matin, se reposa et Petya tomba lourdement sur le sol mouillé. Les Cosaques ont vu à quelle vitesse ses bras et ses jambes se contractaient, malgré le fait que sa tête ne bougeait pas. La balle lui a transpercé la tête.
Après avoir discuté avec l'officier supérieur français, qui est sorti vers lui de derrière la maison avec un foulard sur son épée et lui a annoncé qu'ils se rendaient, Dolokhov descendit de cheval et s'approcha de Petya, qui gisait immobile, les bras tendus.
"Prêt", dit-il en fronçant les sourcils, et il franchit la porte pour rencontrer Denissov qui venait vers lui.
- Tué?! - Cria Denisov, voyant de loin la position familière, sans doute sans vie, dans laquelle gisait le corps de Petya.
"Prêt", répéta Dolokhov, comme si prononcer ce mot lui faisait plaisir, et se dirigea rapidement vers les prisonniers, qui étaient entourés de cosaques démontés. - Nous ne le prendrons pas ! – a-t-il crié à Denisov.
