ეს სტატია ეძღვნება სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნის ტექნიკას
ცვლადი მოდულის ნიშნის ქვეშ.

თუ გამოცდაზე შეხვდებით განტოლებას ან უტოლობას მოდულთან, შეგიძლიათ ამოხსნათ იგი,
რაიმე სპეციალური მეთოდების ცოდნის გარეშე და მხოლოდ მოდულის განმარტების გამოყენებით. სიმართლე,
მას შეუძლია საათნახევარი ძვირფასი გამოცდის დრო დასჭირდეს.

ამიტომ გვინდა მოგიყვეთ ტექნიკის შესახებ, რომელიც ამარტივებს მსგავსი პრობლემების გადაჭრას.

პირველ რიგში ეს გავიხსენოთ

განვიხილოთ სხვადასხვა ტიპები განტოლებები მოდულით. (უფრო მოგვიანებით უთანასწორობაზე.)

მარცხენა მოდული, მარჯვენა ნომერი

ეს უმარტივესი შემთხვევაა. მოდი ამოვხსნათ განტოლება

არსებობს მხოლოდ ორი რიცხვი, რომელთა მოდული ოთხია. ეს არის 4 და -4. მაშასადამე, განტოლება
უდრის ორი მარტივის კომბინაციას:

მეორე განტოლებას ამონახსნები არ აქვს. პირველის ამონახსნები: x = 0 და x = 5.

პასუხი: 0; 5.

ცვლადი როგორც მოდულის ქვეშ, ასევე მოდულის გარეთ

აქ თქვენ უნდა გააფართოვოთ მოდული განსაზღვრებით. . . ან წარმოიდგინე!

განტოლება იშლება ორ შემთხვევად, რაც დამოკიდებულია მოდულის ქვეშ გამოხატვის ნიშანზე.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:

პირველი სისტემის ამოხსნა: . მეორე სისტემას არ აქვს გამოსავალი.
პასუხი: 1.

პირველი შემთხვევა: x ≥ 3. ამოიღეთ მოდული:

რიცხვი, როგორც უარყოფითი, არ აკმაყოფილებს x ≥ 3 პირობას და, შესაბამისად, არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

მოდით გავარკვიოთ აკმაყოფილებს თუ არა ნომერი ამ პირობას. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ განსხვავებას და განვსაზღვრავთ მის ნიშანს:

მაშასადამე, სამზე მეტი და შესაბამისად არის თავდაპირველი განტოლების ფესვი

მეორე შემთხვევა: x< 3. Снимаем модуль:

ნომერი . მეტია და ამიტომ არ აკმაყოფილებს x პირობას< 3. Проверим :

ნიშნავს,. არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ამოიღეთ მოდული განსაზღვრებით? ამაზე ფიქრიც კი საშინელია, რადგან დისკრიმინანტი არ არის სრულყოფილი კვადრატი. უკეთესი გამოვიყენოთ შემდეგი მოსაზრება: განტოლება |A| = B უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:

იგივე, მაგრამ ოდნავ განსხვავებული:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვხსნით ორ განტოლებას, A = B და A = −B და შემდეგ ვირჩევთ ფესვებს, რომლებიც აკმაყოფილებს B ≥ 0 პირობას.

Დავიწყოთ. პირველ რიგში, ჩვენ ვხსნით პირველ განტოლებას:

შემდეგ ჩვენ ვხსნით მეორე განტოლებას:

ახლა თითოეულ შემთხვევაში ჩვენ ვამოწმებთ მარჯვენა მხარის ნიშანს:

ამიტომ, მხოლოდ და შესაფერისია.

კვადრატული განტოლებები |x|-ით = ტ

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ვინაიდან , მოსახერხებელია ცვლილება |x| = ტ. ჩვენ ვიღებთ:

პასუხი: ±1.

მოდული უდრის მოდულს

საუბარია |A|-ის ფორმის განტოლებებზე = |B|. ეს ბედის საჩუქარია. არ არის მოდულის გაფართოება განსაზღვრებით! Ეს მარტივია:

მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება: . ეს უდრის შემდეგ კომპლექტს:

რჩება მოსახლეობის თითოეული განტოლების ამოხსნა და პასუხის ჩაწერა.

ორი ან მეტი მოდული

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ჩვენ არ შევიწუხებთ თითოეულ მოდულს ცალ-ცალკე და გავხსნით მას - ძალიან ბევრი ვარიანტი იქნება. არსებობს უფრო რაციონალური გზა - ინტერვალების მეთოდი.

მოდულების ქვეშ გამოსახულებები ქრება x = 1, x = 2 და x = 3 წერტილებში. ეს წერტილები ყოფს რიცხვითი წრფეს ოთხ ინტერვალად (ინტერვალებად). ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წერტილებს რიცხვით ხაზზე და მიღებულ ინტერვალებზე ვათავსებთ თითოეული გამონათქვამის ნიშნებს მოდულების ქვეშ. (ნიშანთა თანმიმდევრობა იგივეა, რაც განტოლებაში შესაბამისი მოდულების თანმიმდევრობა.)

ამრიგად, ჩვენ უნდა განვიხილოთ ოთხი შემთხვევა - როდესაც x არის თითოეულ ინტერვალში.

შემთხვევა 1: x ≥ 3. ყველა მოდული ამოღებულია "პლიუსით":

შედეგად მიღებული მნიშვნელობა x = 5 აკმაყოფილებს x ≥ 3 პირობას და, შესაბამისად, არის საწყისი განტოლების ფესვი.

შემთხვევა 2: 2 ≤ x ≤ 3. ბოლო მოდული ახლა ამოღებულია "მინუსით":

x-ის მიღებული მნიშვნელობაც შესაფერისია - განხილულ ინტერვალს განეკუთვნება.

შემთხვევა 3: 1 ≤ x ≤ 2. მეორე და მესამე მოდული ამოღებულია "მინუსით":

ჩვენ მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა ნებისმიერი x-სთვის განხილული ინტერვალიდან, ისინი ემსახურებიან ამ განტოლების ამონახსნებს.

შემთხვევა 4: x ≤ 1 ≤ 1. მეორე და მესამე მოდული ამოღებულია "მინუსით":

Ახალი არაფერია. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ x = 1 არის გამოსავალი.

პასუხი: ∪ (5).

მოდული მოდულის შიგნით

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ვიწყებთ შიდა მოდულის გაფართოებით.

1) x ≤ 3. ვიღებთ:

მოდულის ქვეშ გამოხატვა ქრება ზე. ეს პუნქტი განხილულს ეკუთვნის
ინტერვალი. ამიტომ ორი ქვეშემთხვევა უნდა განვიხილოთ.

1.1) ამ შემთხვევაში ვიღებთ:

x-ის ეს მნიშვნელობა არ არის კარგი, რადგან ის არ ეკუთვნის განხილულ ინტერვალს.

1.2). შემდეგ:

ეს x მნიშვნელობა ასევე არ არის კარგი.

ასე რომ, x ≤ 3-ისთვის არ არის ამონახსნები. გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე.

2) x ≥ 3. გვაქვს:

აქ ჩვენ გაგვიმართლა: გამოთქმა x + 2 დადებითია განხილულ ინტერვალში! მაშასადამე, აღარ იქნება ქვეშემთხვევები: მოდული ამოღებულია "პლიუსით":

x-ის ეს მნიშვნელობა განხილულ ინტერვალშია და, შესაბამისად, არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ასე წყდება ამ ტიპის ყველა დავალება - რიგრიგობით ვხსნით ჩადგმულ მოდულებს, დაწყებული შიდადან.

MBOU ივანოვის №17 საშუალო სკოლა

« მოდულის განტოლებები »
მეთოდური განვითარება

შედგენილი

მათემატიკის მასწავლებელი

ლებედევა ნ.ვ.

20010 წ

განმარტებითი შენიშვნა

თავი 1 შესავალი

ნაწილი 2. ძირითადი მახასიათებლები ნაწილი 3. რიცხვის მოდულის ცნების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია განყოფილება 4. y = |x| ფუნქციის გრაფიკი ნაწილი 5 კონვენციები

თავი 2

განყოფილება 1. |F(х)| ფორმის განტოლებები = m (პროტოზოა) ნაწილი 2. F(|х|) = m ფორმის განტოლებები ნაწილი 3. |F(х)| ფორმის განტოლებები = G(x) ნაწილი 4. |F(х)| ფორმის განტოლებები = ± F(x) (ლამაზი) ნაწილი 5. |F(х)| ფორმის განტოლებები = |G(x)| ნაწილი 6. არასტანდარტული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები ნაწილი 7. |F(х)| ფორმის განტოლებები + |G(x)| = 0 ნაწილი 8. ფორმის განტოლებები |а 1 x ± в 1 | ± |a 2 x ± 2 | ± …|a n x ± n-ში | = მ ნაწილი 9. განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მრავალ მოდულს

თავი 3. მოდულით სხვადასხვა განტოლების ამოხსნის მაგალითები.

ნაწილი 1. ტრიგონომეტრიული განტოლებები ნაწილი 2. ექსპონენციალური განტოლებები ნაწილი 3. ლოგარითმული განტოლებები ნაწილი 4. ირაციონალური განტოლებები ნაწილი 5. მოწინავე სირთულის ამოცანები პასუხები სავარჯიშოებზე ბიბლიოგრაფია

განმარტებითი შენიშვნა.

რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის (მოდულის) კონცეფცია მისი ერთ-ერთი არსებითი მახასიათებელია. ეს კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება ფიზიკური, მათემატიკური და ტექნიკური მეცნიერებების სხვადასხვა დარგში. საშუალო სკოლაში მათემატიკის კურსის სწავლების პრაქტიკაში, რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს პროგრამის შესაბამისად, არაერთხელ გვხვდება "რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის" კონცეფცია: მე-6 კლასში მოდულის განმარტება. , შემოტანილია მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა; მე-8 კლასში ყალიბდება აბსოლუტური ცდომილების ცნება, განიხილება მოდულის შემცველი უმარტივესი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა, შესწავლილია არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები; მე-11 კლასში ცნება გვხვდება განყოფილებაში „ფესვი ნხარისხი."სწავლების გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ მოსწავლეები ხშირად აწყდებიან სირთულეებს ამოცანების გადაჭრისას, რომლებიც საჭიროებენ ამ მასალის ცოდნას და ხშირად გამოტოვებენ შესრულებამდე. მე-9 და მე-11 კლასების კურსის საგამოცდო ამოცანების ტექსტებში ასევე ჩართულია მსგავსი ამოცანები. გარდა ამისა, მოთხოვნები, რომლებსაც უნივერსიტეტები აწესებენ სკოლის კურსდამთავრებულებს, განსხვავებულია, კერძოდ, უფრო მაღალი დონის, ვიდრე სასკოლო სასწავლო გეგმის მოთხოვნები. თანამედროვე საზოგადოებაში ცხოვრებისათვის ძალიან მნიშვნელოვანია აზროვნების მათემატიკური სტილის ჩამოყალიბება, რომელიც გამოიხატება გარკვეულ გონებრივ უნარებში. მოდულებით პრობლემების გადაჭრის პროცესში საჭიროა ისეთი ტექნიკის გამოყენების უნარი, როგორიცაა განზოგადება და კონკრეტიზაცია, ანალიზი, კლასიფიკაცია და სისტემატიზაცია, ანალოგია. ასეთი ამოცანების გადაწყვეტა საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ სასკოლო კურსის ძირითადი სექციების ცოდნა, ლოგიკური აზროვნების დონე და კვლევის საწყისი უნარები. ეს ნაშრომი ეძღვნება ერთ-ერთ განყოფილებას - მოდულის შემცველი განტოლებების ამოხსნას. იგი შედგება სამი თავისგან. პირველ თავში მოცემულია ძირითადი ცნებები და ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორიული გამოთვლები. მეორე თავში მოცემულია მოდულის შემცველი განტოლების ცხრა ძირითადი ტიპი, განიხილება მათი ამოხსნის მეთოდები და აანალიზებს სხვადასხვა დონის სირთულის მაგალითებს. მესამე თავი გთავაზობთ უფრო რთულ და არასტანდარტულ განტოლებებს (ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ირაციონალური). თითოეული ტიპის განტოლებისთვის არის სავარჯიშოები დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის (დართულია პასუხები და ინსტრუქციები). ამ სამუშაოს მთავარი მიზანია მასწავლებელთა მეთოდოლოგიური დახმარება გაკვეთილებისთვის მომზადებაში და არჩევითი კურსების ორგანიზებაში. მასალა შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც სასწავლო დამხმარე საშუალება საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის. ნაშრომში შემოთავაზებული ამოცანები საინტერესოა და ყოველთვის არ არის ადვილი გადასაჭრელი, რაც შესაძლებელს ხდის სტუდენტების სწავლის მოტივაცია უფრო ცნობიერი გახადოს, შეამოწმოს მათი შესაძლებლობები და გააუმჯობესოს სკოლის კურსდამთავრებულების მომზადების დონე უნივერსიტეტებში შესასვლელად. შემოთავაზებული სავარჯიშოების დიფერენცირებული შერჩევა გულისხმობს მასალის ასიმილაციის რეპროდუქციული დონიდან კრეატიულზე გადასვლას, ასევე შესაძლებლობას ასწავლოს როგორ გამოიყენონ თავიანთი ცოდნა არასტანდარტული პრობლემების გადაჭრაში.

თავი 1. შესავალი.

ნაწილი 1. აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრა .

განმარტება : რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული). აეწოდება არაუარყოფითი რიცხვი: აან -ა. Დანიშნულება: │ ა │ ჩანაწერი შემდეგნაირად იკითხება: „ა რიცხვის მოდული“ ან „ა რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა“

│ a თუ a > 0

│a│ = │ 0 თუ a = 0 (1)

│ - ა, თუ ა
მაგალითები: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

გამოხატვის მოდულის გაფართოება:

ა) │x - 8│ თუ x > 12 ბ) │2x + 3│ თუ x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

ნაწილი 2. ძირითადი თვისებები.

განვიხილოთ აბსოლუტური მნიშვნელობის ძირითადი თვისებები. ქონება #1: საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები, ე.ი. │а│=│-а│მოდით ვაჩვენოთ თანასწორობის სისწორე. ჩამოვწეროთ რიცხვის განმარტება - ა : │- ა│= (2) შევადაროთ სიმრავლეები (1) და (2). ცხადია, რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობების განმარტებები ადა - ადაწყვილება. აქედან გამომდინარე, │а│=│-а│
შემდეგი თვისებების განხილვისას, ჩვენ შემოვიფარგლებით მათი ფორმულირებით, რადგან მათი მტკიცებულება მოცემულია ქონება #2: რეალური რიცხვების სასრული რაოდენობის ჯამის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობების ჯამს: ქონება #3: ორ რეალურ რიცხვს შორის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება მათი აბსოლუტური სიდიდეების ჯამს: │а - в│ ≤│а│+│в│ ქონება #4: რეალური რიცხვების სასრული რაოდენობის ნამრავლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის ფაქტორების აბსოლუტური სიდიდეების ნამრავლს: │а · │=│а│·│в│ ქონება #5: რეალური რიცხვების კოეფიციენტის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის მათი აბსოლუტური სიდიდეების კოეფიციენტს:

ნაწილი 3. რიცხვის მოდულის ცნების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

თითოეული რეალური რიცხვი შეიძლება ასოცირდებოდეს რიცხვით წრფეზე არსებულ წერტილთან, რომელიც იქნება ამ რეალური რიცხვის გეომეტრიული გამოსახულება. რიცხვთა ხაზის თითოეული წერტილი შეესაბამება მის დაშორებას საწყისიდან, ე.ი. სეგმენტის სიგრძე საწყისიდან მოცემულ წერტილამდე. ეს მანძილი ყოველთვის განიხილება, როგორც არაუარყოფითი მნიშვნელობა. შესაბამისად, შესაბამისი სეგმენტის სიგრძე იქნება მოცემული რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

წარმოდგენილი გეომეტრიული ილუსტრაცია ნათლად ადასტურებს თვისებას No1, ე.ი. საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია. აქედან ადვილად გასაგებია ტოლობის მართებულობა: │x - a│= │a - x│. ასევე უფრო აშკარა ხდება │х│= m განტოლების ამოხსნა, სადაც m ≥ 0, კერძოდ x 1.2 = ± m. მაგალითები: 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1.2 = 2; 4

ნაწილი 4. ფუნქციის გრაფიკი y \u003d │х│

ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი.

ნაწილი 5. სიმბოლოები.

მომავალში, განტოლებების ამოხსნის მაგალითების განხილვისას გამოყენებული იქნება შემდეგი კონვენციები: ( - სისტემის ნიშანი [ - მითითებული ნიშანი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას (უტოლობა) გვხვდება სისტემაში შემავალი განტოლებათა (უტოლობათა) ამონახსნების კვეთა. განტოლებათა სიმრავლის (უტოლობა) ამოხსნისას მოიძებნება სიმრავლეში შემავალი განტოლებათა (უტოლობა) ამონახსნების გაერთიანება.

თავი 2

ამ თავში განვიხილავთ ალგებრულ გზებს ერთი ან მეტი მოდულის შემცველი განტოლებების ამოხსნისათვის.

ნაწილი 1. │F (х) │= m ფორმის განტოლებები

ამ ტიპის განტოლებას უმარტივესს უწოდებენ. მას აქვს ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ m ≥ 0. მოდულის განმარტებით, საწყისი განტოლება უდრის ორი განტოლების ერთობლიობას: │ ფ(x)│=მ
მაგალითები:
№1. ამოხსენით განტოლება: │7x - 2│= 9


პასუხი: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x 2 = -3 პასუხი: ფესვების ჯამი არის - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 აღნიშნავს x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 მ 2 – 5მ + 4 = 0 მ = 1; 4 - ორივე მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 პასუხი: მე-7 განტოლების ფესვების რაოდენობა. Სავარჯიშოები:
№1. ამოხსენით განტოლება და მიუთითეთ ფესვების ჯამი: │x - 5│= 3 №2 . ამოხსენით განტოლება და მიუთითეთ უფრო პატარა ფესვი: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . ამოხსენით განტოლება და მიუთითეთ უფრო დიდი ფესვი: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 ამოხსენით განტოლება და მიუთითეთ მთელი ფესვი: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .ამოხსენით განტოლება და მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

ნაწილი 2. F(│х│) = m ფორმის განტოლებები

ფუნქციის არგუმენტი მარცხენა მხარეს არის მოდულის ნიშნის ქვეშ, ხოლო მარჯვენა მხარე დამოუკიდებელია ცვლადისგან. განვიხილოთ ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ორი გზა. 1 გზა:აბსოლუტური მნიშვნელობის განმარტებით, თავდაპირველი განტოლება უდრის ორი სისტემის მთლიანობას. თითოეულ მათგანში დაწესებულია პირობა ქვემოდულის გამოხატულებაზე. ფ(│х│) =მ
ვინაიდან F(│х│) ფუნქცია ლუწია განსაზღვრების მთელ დომენზე, F(х) = m და F(-х) = m განტოლებების ფესვები საპირისპირო რიცხვების წყვილია. ამიტომ საკმარისია ერთ-ერთი სისტემის ამოხსნა (მაგალითების ამგვარად განხილვისას მოყვანილი იქნება ერთი სისტემის ამოხსნა). 2 გზა:ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდის გამოყენება. ამ შემთხვევაში შემოღებულია აღნიშვნა │х│= a, სადაც a ≥ 0. ეს მეთოდი დიზაინით ნაკლებად მოცულობითია.
მაგალითები: №1 . ამოხსენით განტოლება: 3x 2 - 4│x│ = - 1 გამოვიყენოთ ახალი ცვლადის შესავალი. აღვნიშნოთ │x│= a, სადაც a ≥ 0. ვიღებთ განტოლებას 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 ვუბრუნდებით საწყის ცვლადს: │x │ = 1 და │х│ = 1/3. თითოეულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. პასუხი: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. ამოხსენით განტოლება: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1/2 │x│ + 3x 2
მოდით ვიპოვოთ პირველი კომპლექტის სისტემის ამონახსნი: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 გაითვალისწინეთ, რომ x 2 აკეთებს არ აკმაყოფილებს x ≥ 0 პირობას. ამოხსნის მიხედვით მეორე სისტემა იქნება საპირისპირო რიცხვი x 1. პასუხი: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . ამოხსენით განტოლება: x 4 - │х│= 0 აღნიშნეთ │х│= a, სადაც a ≥ 0. მივიღებთ განტოლებას a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0 a 2 \u003d 1 ვუბრუნდებით თავდაპირველ ცვლადს: │х│=0 და │х│= 1 x = 0; ± 1 პასუხი: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Სავარჯიშოები: №6. ამოხსენით განტოლება: 2│х│ - 4.5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ამონახსნები: x 4 + │х│ - 2 = 0

ნაწილი 3. │F(х)│ = G(х) ფორმის განტოლებები

ამ ტიპის განტოლების მარჯვენა მხარე დამოკიდებულია ცვლადზე და, შესაბამისად, აქვს ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მარჯვენა მხარე არის ფუნქცია G(x) ≥ 0. თავდაპირველი განტოლება შეიძლება ამოხსნას ორი გზით: 1 გზა:სტანდარტი ეფუძნება მოდულის გამჟღავნებას მისი განმარტების საფუძველზე და შედგება ორი სისტემის კომბინაციაზე ექვივალენტურ გადასვლაში. │ ფ(x)│ =გ(X)

რაციონალურია ამ მეთოდის გამოყენება G(x) ფუნქციის რთული გამოხატვის შემთხვევაში და F(x) ფუნქციის ნაკლებად რთული გამოხატვის შემთხვევაში, ვინაიდან ის უტოლობების ამოხსნას ითვალისწინებს F(x) ფუნქციით. 2 გზა:იგი შედგება ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლაში, რომელშიც პირობა დაწესებულია მარჯვენა მხარეს. │ ფ(x)│= გ(x)

ეს მეთოდი უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, თუ G(x) ფუნქციის გამოხატულება ნაკლებად რთულია, ვიდრე F(x) ფუნქციისთვის, ვინაიდან ნავარაუდევია G(x) ≥ 0 უტოლობის ამოხსნა. გარდა ამისა, იმ შემთხვევაში რამდენიმე მოდულიდან, ამ მეთოდით რეკომენდებულია მეორე ვარიანტის გამოყენება. მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება: │x + 2│= 6 -2x
(1 გზა) პასუხი: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2 გზა) პასუხი: ფესვების ნამრავლია 3.
№3. ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

პასუხი: ფესვების ჯამი არის 4.
Სავარჯიშოები: №9. │x + 4│= - 3x №10. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ამონახსნების რაოდენობა: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

ნაწილი 4. │F(x)│= F(x) და │F(x)│= - F(x) ფორმის განტოლებები.

ამ ტიპის განტოლებებს ზოგჯერ "ლამაზს" უწოდებენ. ვინაიდან განტოლებების მარჯვენა მხარე დამოკიდებულია ცვლადზე, ამონახსნები არსებობს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მარჯვენა მხარე არაუარყოფითია. მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლებები უდრის უტოლობას:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 და │F(x)│= - F(x) F(x) მაგალითები: №1 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ უფრო მცირე მთელი ფესვი: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 პასუხი: x = 1№2. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ უფსკრულის სიგრძე: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] პასუხი: უფსკრულის სიგრძეა 6.№3 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი რიცხვების ამონახსნები: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] პასუხი: 4 მთლიანი ხსნარი.№4 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ყველაზე დიდი ფესვი:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

პასუხი: x = 3.

Სავარჯიშოები: №12. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ფესვი: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი რიცხვების ამონახსნები: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი რიცხვი, რომელიც არ არის განტოლების ფესვი:

ნაწილი 5. │F(x)│= │G(x)│ ფორმის განტოლებები

ვინაიდან განტოლების ორივე მხარე არაუარყოფითია, გამოსავალი მოიცავს ორი შემთხვევის განხილვას: ქვემოდულის გამონათქვამები ტოლია ან საპირისპირო ნიშნით. მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას: │ ფ(x)│= │ გ(x)│
მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ფესვი: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
პასუხი: მთელი რიცხვი ფესვი x = 4.№2. ამოხსენით განტოლება: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
პასუხი: x = 2.№3 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი:




განტოლების ფესვები 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 პასუხი: ფესვების ნამრავლია 0,25. Სავარჯიშოები: №15 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ამონახსნი: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ უფრო მცირე ფესვი: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი:

ნაწილი 6. არასტანდარტული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ არასტანდარტული განტოლებების მაგალითებს, რომელთა ამოხსნაში გამოხატვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ვლინდება განმარტებით. მაგალითები:

№1. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
პასუხი: ფესვების ჯამი არის 1 №2. . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ უფრო პატარა ფესვი: x 2 - 4x
- 5 = 0
პასუხი: უფრო პატარა ფესვი x = - 5. №3. ამოხსენით განტოლება:

პასუხი: x = -1. Სავარჯიშოები: №18. ამოხსენით განტოლება და დაწერეთ ფესვების ჯამი: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. ამოხსენით განტოლება: x 2 - 3x \u003d

№20. ამოხსენით განტოლება:

ნაწილი 7. │F(x)│+│G(x)│=0 ფორმის განტოლებები

ადვილი დასანახია, რომ ამ ტიპის განტოლების მარცხენა მხარეს არის არაუარყოფითი სიდიდეების ჯამი. მაშასადამე, თავდაპირველ განტოლებას აქვს გამოსავალი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ორივე წევრი ერთდროულად ნულის ტოლია. განტოლება უტოლდება განტოლებათა სისტემას: │ ფ(x)│+│ გ(x)│=0
მაგალითები: №1 . ამოხსენით განტოლება:
პასუხი: x = 2. №2. ამოხსენით განტოლება: პასუხი: x = 1. Სავარჯიშოები: №21. ამოხსენით განტოლება: №22 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი: №23 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ამონახსნების რაოდენობა:

ნაწილი 8. ფორმის განტოლებები

ამ ტიპის განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება ინტერვალების მეთოდი. თუ ის მოგვარებულია მოდულების თანმიმდევრული გაფართოებით, მაშინ მივიღებთ ნსისტემების ნაკრები, რაც ძალიან შრომატევადი და მოუხერხებელია. განვიხილოთ ინტერვალის მეთოდის ალგორითმი: 1). იპოვეთ ცვლადი მნიშვნელობები X, რომლისთვისაც თითოეული მოდული ნულის ტოლია (ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები):
2). ნაპოვნი მნიშვნელობები აღინიშნება რიცხვით ხაზზე, რომელიც იყოფა ინტერვალებად (ინტერვალების რაოდენობა, შესაბამისად, უდრის ნ+1 ) 3). დაადგინეთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული თითოეულ მიღებულ ინტერვალზე (ამოხსნის მიღებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვითი წრფე, რომ მონიშნოთ მასზე ნიშნები) 4). თავდაპირველი განტოლება სიმრავლის ტოლფასია ნ+1 სისტემები, რომელთაგან თითოეულში მითითებულია ცვლადის წევრობა Xერთ-ერთი ინტერვალი. მაგალითები: №1 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ყველაზე დიდი ფესვი:
ერთი). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: x = 2; x = -3 2). ჩვენ აღვნიშნავთ ნაპოვნი მნიშვნელობებს რიცხვით ხაზზე და განვსაზღვრავთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული მიღებულ ინტერვალებზე:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- ამონახსნების გარეშე განტოლებას ორი ფესვი აქვს. პასუხი: ყველაზე დიდი ფესვი არის x = 2. №2. ამოხსენით განტოლება, ჩაწერეთ მთელი ფესვი პასუხში:
ერთი). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: x = 1,5; x = - 1 2). ჩვენ აღვნიშნავთ აღმოჩენილ მნიშვნელობებს რიცხვით ხაზზე და განვსაზღვრავთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული მიღებულ ინტერვალებზე: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
ბოლო სისტემას არ აქვს ამონახსნები, შესაბამისად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს. განტოლების ამოხსნისას ყურადღება უნდა მიაქციოთ „-“ ნიშანს მეორე მოდულის წინ. პასუხი: მთელი რიცხვი ფესვი x = 7. №3. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: 1). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები: x = 5; x = 1; x = - 2 2). ჩვენ აღვნიშნავთ აღმოჩენილ მნიშვნელობებს რიცხვით ხაზზე და ვადგენთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული მიღებულ ინტერვალებზე: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
განტოლებას აქვს ორი ფესვი x = 0 და 2. პასუხი: ფესვების ჯამი არის 2. №4 . ამოხსენით განტოლება: 1). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები: x = 1; x = 2; x = 3. 2). განვსაზღვროთ ნიშანი, რომლითაც თითოეული მოდული გაფართოებულია მიღებულ ინტერვალებზე. 3).
ჩვენ ვაერთიანებთ პირველი სამი სისტემის გადაწყვეტილებებს. პასუხი: ; x = 5.
Სავარჯიშოები: №24. ამოხსენით განტოლება:
№25. ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი: №26. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ პატარა ფესვი: №27. ამოხსენით განტოლება, მიეცით უფრო დიდი ფესვი თქვენს პასუხში:

ნაწილი 9. განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მრავალ მოდულს

განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მრავალ მოდულს, ვარაუდობენ აბსოლუტური მნიშვნელობების არსებობას ქვემოდულის გამოსახულებებში. ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ძირითადი პრინციპია მოდულების თანმიმდევრული გამჟღავნება, დაწყებული „გარედან“. ამოხსნის პროცესში გამოიყენება No1, No3 სექციებში განხილული ტექნიკა.

მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება:
პასუხი: x = 1; - თერთმეტი. №2. ამოხსენით განტოლება:
პასუხი: x = 0; 4; - 4. №3. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი:
პასუხი: ფესვების ნამრავლია 8. №4. ამოხსენით განტოლება:
აღნიშნეთ მოსახლეობის განტოლებები (1) და (2) და განიხილეთ თითოეული მათგანის გადაწყვეტა ცალკე დიზაინის მოხერხებულობისთვის. ვინაიდან ორივე განტოლება შეიცავს ერთზე მეტ მოდულს, უფრო მოსახერხებელია ექვივალენტური გადასვლის განხორციელება სისტემების სიმრავლეზე. (1)

(2)


პასუხი:
Სავარჯიშოები: №36. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. ამოხსენით განტოლება, თუ ერთზე მეტი ფესვია, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. ამოხსენით განტოლება: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა: 2 │ sin x │ = √2 №40 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა:

ნაწილი 3. ლოგარითმული განტოლებები.

შემდეგი განტოლებების ამოხსნამდე აუცილებელია ლოგარითმების თვისებების და ლოგარითმული ფუნქციის განხილვა. მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

შემთხვევა 1: თუ x ≥ - 1, მაშინ log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – აკმაყოფილებს პირობას x ≥ - 1 2 შემთხვევა: თუ x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 ჟურნალი 2 (-(x+1) 3) = ჟურნალი 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – აკმაყოფილებს x - 1 მდგომარეობას
პასუხი: ფესვების ნამრავლია 15.
№2. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: lg
ო.დ.ზ.

პასუხი: ფესვების ჯამი არის 0,5.
№3. ამოხსენით განტოლება: log 5
ო.დ.ზ.

პასუხი: x = 9. №4. ამოხსენით განტოლება: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 გამოვიყენოთ ფორმულა სხვა ბაზაზე გადასასვლელად. │2 - ჟურნალი 5 x│+ 3 = │1 + ჟურნალი 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 ვიპოვოთ ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: x = 25; x \u003d ეს რიცხვები ყოფს დასაშვები მნიშვნელობების ფართობს სამ ინტერვალად, ამიტომ განტოლება უდრის სამი სისტემის მთლიანობას.
პასუხი :)